18最小二乘快速横向滤波FTF

估计误差矢量为
(3.4.129)
e(n
|
n)

P 0,M
1
(n)d
(n)
(3.4.130)
式中，P0,M 1 (n)
和
P 0,M
1
(n)
分别是数据子空间 {X 0,M 1 (n)}
的投影矩阵和正交
投影矩阵。
利用单位现时矢量 (n) , 可求出误差矢量 e(n | n)的当前分量:
e(n | n) (n),e(n | n) (n), P0,M 1(n)d(n)

1

PUu, PUu
1 uT PU
(f)
K u,U

0KTMU1


1

K
U
u
PUu, PUu
1 uT PU
(2)横向滤波算子的更新
(a) K 0,M 1 (n) 的时间更新关系式
令
U X 0,M 1 (n)
u (n)
1
XT 1,M
(n)
x(n)
引入横向滤波算子
K1,M (n)
X1,M (n), X1,M (n)
1
X
T 1, N
(n)
考虑到数据子空间 {X1,M (n)}的投影矩阵:
(3.4.133)
P1,M (n)
X1,M (n)
X1,M (n), X1,M (n)
1
X
T 1,M
(n)
因此得到
f M (n) K1,M (n) x(n)
b)估计误差矢量与角参量
在上述情况下, 由 x(n)对 (n) 进行最小二乘估计的误差矢量为
e (n) (n) Px (n) (n) Px (n) (n)
式中, Px (n) 是对{x(n)} 的正交投影矩阵. 由角参量的定义可知, e (n) 的当前分量等于该时刻的角参量
于是有
(U , u) [( X 0,M 1 (n), (n)]
由 (U, u)的 (M 1)个列矢量张成的(M 1) 维子空间为
(n)
因此得到
bM (n) K0,M1(n)z M x(n)
(3.4.141)
xˆ(n M ) P0,M1(n)zM x(n)
(3.4.142)
式(3.4.141)表明, 用横向滤波算子K0,M 1(n) 作用于延时数据矢量z N x(n) ,
便可求出最小二乘后向预测系数矢量 bM (n) (即最佳权矢量).
最小二乘横向滤波器
wM (n) K 0,M 1 (n)d (n)
wM(n)由K0,M-1(n) 作用于x(n)得到
前向预测误差滤波器
f M (n) K1,M (n) x(n)
wM(n) 由 K0,M-1(n) 作用于x(n)得到
后向预测误差滤波器 bM (n) K0,M1(n)z M x(n)
(3.4.145)
（4）增益滤波器 gM (n)
a) 什么是增益滤波器?
确切而言, 增益滤波器实际是关于角参量的滤波器. 现以图3.4.9所示的
一维数据空间为例予以说明.
设 n 1 时刻的数据子空间为x(n 1) , n 时刻的数据子空间为 x(n) , 两者
之间的夹角为 , 角参量为 1 (n) cos2
Px (n) (n) g(n) x(n)
(3.4.147)
很明显, 矢量 g(n)x(n) 就是 x(n)对 (n)的最小二乘估计. 如果把这种估计
看成是x(n) 通过一个最小二乘滤波器的输出, 则 g(n) 便是这个最佳滤波器
的增益(即最小二乘滤波器系数), 因此,把该滤波器称为增益滤波器.
由于最小二乘横向滤波器的权矢量由下式决定:
wM (n)
X
T 0,M
1
(n),
X
0,M
1
(n)
1
X
T 0,M
1
(n)d
(n)
定义横向滤波算子(又称横向滤波器的投影矩阵):
K 0,M 1 (n)
X 0,M 1 (n), X 0,M 1 (n)
1
X
T 0,M
1
(n)
则式(3.4.126)可写成
由已知的 x(n)来估计d (n) , 这时, 横向滤波器的输出是 d(n) 的最小二乘
估计 dˆ(n) , 即滤波方程为
dˆ(n) X0,M 1(n)wM (n)
其中, 采用前加窗法时的数据矩阵
X0,M1(n) [x(n) z1 x(n) z(M1) x(n)]
(3.4.125)
3.4.4 快速横向滤波(FTF)自适应算法
Fast Transversal Filter (FTF) Adaptive Algorithm
FTF算法是由4个横向滤波器组合起来的一种自适应算法. 由于这4个滤
波器都是用横向滤波算子描述的, 因此这些滤波器的参数更新可利用该算
子的时间更新来实现, 并进而达到横向自适应滤波器参数更新的目的.
增益滤波器
wM(n) 由 K0,M-1(n) 作用于x(n)得到
g M (n) K 0,M 1 (n) (n)
wM(n)由K0,M-1(n) 作用于x(n)得到
以上权矢量的时间更新, 皆归结为相应的横向滤波算子的时间更新问题.
2. 横向滤波算子的时间更新
(1)子空间{U ,u}的横向滤波算子KU,u 的更新
(3.4.126) (3.4.127)
wM (n) K 0,M 1 (n)d (n)
(3.4.128)
上式表明, 权矢量wM (n) 是横向滤波算子 K 0,M 1(n) 各行矢量与d(n)的内积. 将式(3.4.128)代入式(3.4.125), 可得
dˆ(n) X 0,M 1(n)K0,M 1(n)d(n) P0,M 1(n)d(n)
预测误差能量为
k 1
(3.4.136) (3.4.137)
f (n) e f (n | n),e f (n | n) x(n), P1,M (n)x(n)
（3）后向预测误差滤波器 bM (n)
(3.4.138)
最小二乘后向预测器, 是利用(n M ) 时刻以后的 M 个相继数据
{x(n M 1),, x(n)} ,向后一步预测x(n M ) [即延时数据 z M x(n)]. 根据上
M (n) (n), P0,M 1 (n) (n)

1
x
T M
(n) g M
(n)
式中,
xM (n) x(n) x(n 1) x(n M 1)T
(3.4.154) (3.4.155)
[小结]
由上得到4种滤波器的权矢量(或预测系数矢量, 增益矢量)的计算公式:
最小二乘后向预测误差矢量为
eb
(n
|
n)

P 0,M
1
(n)
z
M
x(n)
其当前分量为
(3.4.143)
eb (n | n) (n), P0,N1(n)z M x(n)
(3.4.144)
误差能量为 b (n) z M x(n), P0,M 1(n)z M x(n)
(3.4.131)
（2）前向预测误差滤波器fM (n)
最小二乘前向预测器是用 n 时刻以前相继的M个数据, 对该时刻的 x(n)
做最小二乘估计, 即
xˆ (n) X1,M (n) f M (n)
(3.4.132)
在最小二乘意义下, 预测系数(权系数)矢量的最佳解为
f M (n)
X1,M (n), X1,M (n)
节分析, z M x(n) 的最小二乘后向预测矢量为
xˆ (n M ) X 0,M 1 (n)bM (n)
在最小二乘意义下, 后向预测系数(权系数)矢量的最佳解为
(3.4.139)
bM (n)
X 0,M 1 (n), X 0,M 1 (n)
1
X
T 0,M
1
(n)
z
M
x(n)
K U,u PU,u K U,u
(b) KU,u (U , u) I
(c)
KU,uU

I MM

0TM
1

;
K U,u u

0 M1

1

(d)
K U,u PU

KU
0
T M
1

(e)K U,u NhomakorabeaU0
T M
1


KU u
(3.4.146)
(n) e (n) e (n) (n)

x(n)
(n)
Px (n) (n) g(n) x(n)
x(n 1)
图3.4.9 最小二乘增益滤波器的几何说明
若一维子空间 {x(n)}的投影矩阵为 Px (n) , 单位现时矢量 (n)在{x(n)} 上投影为 Px (n) (n) , 令
(3.4.135)
其当前分量为
e f (n | n) (n),e f (n | n) (n), P1,M (n)x(n)
根据前向线性预测滤波器的输入输出关系, 上式还可表示为
M
e f (n | n) x(n) xˆ(n) fk (n)x(n k) x(n) xT (n) fM (n)
设 U 是 n (行) M(列)数据矩阵, 则横向滤波算子定义为
又设:
KU U,U 1U T
参照式(3.4.127)
u n 1列矢量; {U} 由U 的 M个列矢量张成的 M 维子空间;
PU {U}的投影矩阵;
PU 对{U} 的正交投影矩阵;
(U, u) 将 u 附加到 U 的最后一列, 构成的n (M 1) 维新矩阵;
(3.4.134)
xˆ (n) P1,M (n)x(n)
式(3.4.134)表明, 用横向滤波算子K1,M (n) 作用于数据矢量 x(n), 便可求出
最小二乘前向预测系数矢量 fM (n) (即最佳权矢量).
最小二乘前向预测误差矢量为
e
f
(n
|
n)

x(n)

xˆ (n)

P 1,M
(n) x(n)
c) M维情况
这时, 数据子空间为 {X 0,M 1 (n)}, 相应的投影矩阵为 P0,M 1 (n), 将一维的式 (3.4.147)推广, 得
X 0,M 1 (n) g M (n) P0,M 1 (n) (n)
(3.4.152)
式中, gM (n)称为增益滤波器的增益矢量(或系数矢量, 权矢量).
1. 用矢量空间法描述FTF算法中的4个横向滤波器
（1）最小二乘横向滤波器 wM (n) 设一 M 阶横向滤波器的权矢量为
wM (n) w1 (n), w2 (n), , wM (n)T n 时刻的输入信号矢量
x(n) x(1), x(2), , x(n)T
期望信号矢量
d (n) d (1), d (2), , d (n)T
(3.4.148)
e (n) (n), Px (n) (n) 1(n) 将式(3.4.148)代入上式, 得
参见华中教材 (3.4.149)
p83, 式(3.186):
x (3) (3), Px (3) (3)
1(n) (n),( (n) Px (n) (n)) (n),( (n) g(n)x(n))
引入横向滤波算子
K0,M 1(n)
X0,M 1(n), X0,M 1(n)
1
X
T 0,
M
1(n)
(3.4.140)
考虑到子空间{X 0,M 1 (n)}的投影矩阵
P0,M 1 (n)
X 0,M 1 (n)
X 0,M 1 (n), X 0,M 1 (n)
1
X
T 0,M
1
(n), (n) (n), g(n)x(n) 即
1 (n) 1 g(n)x(n) cos2
(3.4.150)
由上式得到
g(n)x(n) (n), g(n)x(n) sin2
(3.4.151)
可以看出, 增益滤波器的增益 g(n) 与 1(n) 一样, 也是两个子空间 {x(n)} 与{x(n 1)} 之间夹角的一种度量.
上式两边同乘以
X
1 0,M
1
(n)
, 可进一步得到
g M (n) K 0,M 1 (n) (n)
(3.4.153)
其中, K0,M 1(n)是增益滤波器的横向滤波算子. 上式说明, 增益矢量 gM (n)
可以通过 K0,M 1(n) 作用于单位现时矢量 (n) 来得到.
M 维时的角参量为
{U , u} 由(U, u) 的 (M 1) 个列矢量张成的 (M 1)维矢量空间;
PU,u {U , u}的投影矩阵;
PU,u 对{U ,u}的正交投影矩阵; K U,u {U ,u}的横向滤波算子.
可以证明，横向滤波算子
K
具有以下性质(证明参见教材):
U,u
(a)