《二次根式全章复习与巩固》 配套知识讲解 人教初中数学八下(2022版)

《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（提高）
【学习目标】
1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.
2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.
3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】
【要点梳理】
知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式
形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如1
3,,0.02,02
等式子，都叫做二次根式.
要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子
a 才是二次根式，a 才有意义.
2.二次根式的性质 （1）； （2）
；
（3）.
要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即
a 2)a =（0a ≥），如22211
22););)33
x x ===（0x ≥）.
（2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a .
（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.
（42
的异同
a 可以取任何实数，而2
中的a 必须取非负数；
a ，2=a （0a ≥）.
相同点：被开方数都是非负数，当a 2
.
3. 最简二次根式
1）被开方数是整数或整式；
2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.都是最简二次根式.
要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方
数是否相同，再判断.显然是同类二次根式.
知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法
（1）乘除法法则：
类型 法则 逆用法则
二次根式的乘法
0,0)a b =≥≥
积的算术平方根化简公式：
0,0)a b =≥≥
二次根式的除法
0,0)a b
=≥>
商的算术平方根化简公式：
0,0)a b =≥>
要点诠释：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的
法则，如= （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如
.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
要点诠释：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二
+-=+-=-.
次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22
【典型例题】
类型一、二次根式的概念与性质
1． x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)； (2).
【答案】（1）;
（2）.
【解析】(1) 要使在实数范围内有意义，
则必有
∴当时，在实数范围内有意义；
(2) 要使在实数范围内有意义，则必有
∴当时，在实数范围内有意义；
a≥时a才是二次根【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0
式.
举一反三：
【变式】已知，求的值.
【答案】根据二次根式的意义有
将代入已知等式得
2.把根号外的因式移到根号内，得( ).
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C.
【解析】由二次根式的意义知x ＜0，则
.
【总结升华】在利用二次根式性质化简时，要注意其符号，要明确a 是非负数，反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。

如此例中x ＜0，所以只能向根号里移x -，到根号里面要变成()2
x -.
举一反三：
【变式】（2020春•团风县校级期中）已知x 为奇数，且
=
，
求•．
【答案】解：∵
=，
∴6≤x＜9，
∵x 为奇数， ∴x=7， 则
•
=8×
=12
．
3. 实数,,a b c 在数轴上对应的点如图：
22()1()a c c b a b c --+++.
【答案与解析】由数轴可知0,0,0,,a c b a c b ><<>>并且b a >
,00,100,0,00,00
a c a c c c a
b b a b a b
c b c >∴-><∴-<><>∴+<<<∴+<
∴22()1()a c c b a b c -+-++-+
=1a c c b a b c -+-++-+ =1a c c b a b c -+---++ =1c -
【总结升华】本题不仅考查了二次根式和绝对值的化简问题，同时考查了学生的观察能力.通过观察确定,,a b c 的大小关系是本题的关键. 举一反三：
【变式】∆ABC 的三边长为a 、b 、c ，则2
2
()()a b c a b c ---+-= . 【答案】22c a -. 类型二、二次根式的运算 4．（2015•昆山市一模）计算 （1）
（2）
．
【答案与解析】解：（1）原式=2﹣1+3=4；
（2）原式=2﹣3﹣﹣2=﹣﹣3．
【总结升华】此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算 公式是解决问题的关键． 举一反三：
【变式】计算
【答案】
5.已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，化简
【答案与解析】∵a 、b 、c 为△ABC 的三边长，
∴原式
【总结升华】利用三角形任意两边之和大于第三边和进行化简.
6.若0x >___________x xy xy y xy y
x xy
+-=+-.
【答案与解析】
【总结升华】把分子分母分别分解因式，然后约分，可以简化化简步骤. 举一反三：
【变式】当222
1221
123
a a a a a a a a -+-+=---+. 【答案】23,10.23
a a =
=-<+由得
22(1)(1)1
=11a a a a a --∴-=-+
-原式，
将
2323a =
=+代入，原式=3.
【巩固练习】
一.选择题
1. 将方程37x y +=全部的解写成坐标（x ，y ）的形式，那么用全部的坐标描出的点都
()()()()
x x y y x y y x y x x y y x y
x
xy xv y x y xy xy
+-+
+-=+=
+=原式
在直线（ ）上． A ．1733
y x =
- B ．17
33
y x =
+ C ．1733y x =-
+ D ．17
33
y x =-- 2. 函数y ax b =+与函数y cx d =+的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程
组y ax b
y cx d =+⎧⎨=+⎩
有（ ）解.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
3. 如图，已知函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x 、y 的
二元一次方程组y ax b
y kx =+⎧⎨
=⎩
的解是（ ）
A. 4.53x y =⎧⎨
=⎩ B. 31x y =-⎧⎨=⎩ C. 13x y =⎧⎨=-⎩ D. 03
x y =⎧⎨=⎩
4. 若函数y x a =-+与41y x =-的图象交于x 轴上一点，则a 的值为（ ）
A ．4
B ．－4
C ．
1
4
D ．±4 5.（2020•宜城市模拟）一次函数y=2x+4的图象与坐标轴交点的距离是（ ） A ．2 B ．2 C ．2 D ．4
6. 如图，过点A 的一次函数的图象与正比例函数2y x =的图象相交于点B ，能表示这个一次函数的解析式为（ ）
A ．230x y -+=
B ．30x y --=
C ．230y x -+=
D ．30x y +-=
二.填空题
7．若直线y kx b =+与x 轴交于（6，0）点，那么关于x 的方程0kx b +=的解为_________.
8. 直线1y x =-和3y x =+的位置关系是________,由此可知方程组1
3
y x y x =-⎧⎨=+⎩解的情况
为________.
9. 如果一次函数y ax b =+和y cx d =+在同一坐标系内的图象如图，并且方程组
y ax b y cx d =+⎧⎨=+⎩的解x m
y n
=⎧⎨
=⎩，则m ，n 的取值范围是__________.
10.（2020春•永安市校级月考）一次函数y=kx+b 的图象如图，看图填空： （1）当x=0时，y= ；当x= 时，y=0； （2）k= ，b= （把解答过程写在空白处）； （3）一次函数的解析式为： ；
（4）当x=5时，y= ；当y=6时，x= ．
11. 一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则方程kx b x a +=+的解是________.
12.如图，点A 的坐标可以看成是方程组_________的解.
三.解答题
13．已知：直线1
2.2y x =-
- （1）求直线1
22
y x =--与x 轴的交点B 的坐标，并画图；
（2）若过y 轴上一点A （0，3）作与x 轴平行的直线l ，求它与直线1
22
y x =-
-的交点M 的坐标；
（3）若过x 轴上一点C （3，0）作与x 轴垂直的直线m ，求它与直线1
22
y x =-
-的交点N 的坐标．
14．（2020•高青县模拟）直线y=x+2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，D 是x 轴上一点，坐标为（x ，0），△ABD 的面积为S ．
（1）求点A 和点B 的坐标； （2）求S 与x 的函数关系式； （3）当S=12时，求点D 的坐标．
15.甲、乙两人分别乘不同的冲锋舟同时从A 地逆流而上前往B 地．甲所乘冲锋舟在静水中
的速度为
1112千米/分钟，甲到达B 地立即返回．乙所乘冲锋舟在静水中的速度为712
千米/分钟．已知A 、B 两地的距离为20千米，水流速度为1
12
千米/分钟，甲、乙乘冲锋舟行
驶的距离y （千米）与所用时间x （分钟）之间的函数图象如图所示． （1）求甲所乘冲锋舟在行驶的整个过程中，y 与x 之间的函数关系式．
（2）甲、乙两人同时出发后，经过多少分钟相遇？
【答案与解析】 一.选择题
1. 【答案】C ；
【解析】将37x y +=变形为1733
y x =-
+.
2. 【答案】B ；
【解析】函数所表示的直线的交点即为函数所组成的方程组的解，方程组有几个解就是
要看有几个交点．
3. 【答案】B ；
【解析】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未
知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
4. 【答案】C ；
【解析】函数y x a =-+与41y x =-的图象交于x 轴上一点，令两方程中y ＝0，即
x ＝a ＝
14
. 5. 【答案】B ；
【解析】解：∵一次函数y=2x+4的图象与坐标轴交于A 、B 两点， 令y=0得，x=-2，令x=0得，y=4，
∴A（0，4），B （﹣2，0）， ∴OA=4，OB=2，
∴AB=
=2
故选B ．
6. 【答案】D ；
【解析】过点A 的一次函数的图象过点A （0，3），与正比例函数2y x =的图象相交于
点B （1，2），代入一次函数解析式，即可求出．
二.填空题
7. 【答案】x ＝6；
8. 【答案】平行，无解；
【解析】直线1y x =-和3y x =+的x 的系数相等，可以得出直线1y x =-和3y x =+的位置关系是平行，从而得出方程组解的情况. 9. 【答案】m ＞0，n ＞0；
【解析】方程组的解实际上是两个一次函数图象的交点的横纵坐标，而交点在一象限，
从而得到m ，n 的范围．
10.【答案】(1)4，2；（2）﹣2，4；（3）y=﹣2x+4；（4）﹣6，﹣1． 【解析】解：（1）根据图示知，当x=0时，y=4；当x=2时，y=0；
故答案是：4，2；
（2）根据图示知，该函数图象经过点（0，4），（2，0），则依题意，得
，
解得，
． 故答案是：﹣2，4；
（3）由（2）知，k=﹣2，b=4．所以该直线的解析式为y=﹣2x+4．
故答案是：y=﹣2x+4；
（4）由（3）知，该直线的解析式为y=﹣2x+4．
所以当x=5时，y=﹣2×5+4=﹣6．
当y=6时，6=﹣2x+4，解得，x=﹣1．
故答案是：﹣6，﹣1．
11.【答案】3；
【解析】一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象的交点的横坐标是3，故方程的解是：
x ＝3．
12.【答案】521
y x y x =-+⎧⎨=-⎩
【解析】由图象知：两个一次函数过A （2，3），再根据两个一次函数分别过（5，0），
（0，－1），即可求出一次函数解析式，从而得出答案．
三.解答题
13.【解析】
解：（1）令y ＝0，可得x ＝－4
所以直线122y x =--与x 轴的交点B 的坐标为（－4，0）. 图略.
（2）令y ＝3，可得x ＝－10
所以M 点的坐标为（－10，3）
（3）令x ＝3，代入117232222y x =-
-=-⨯-=-. 所以N 点的坐标为（3，72-）. 14.【解析】
解：（1）令y=0，则x+2=0，解得x=﹣4，
令x=0，则y=2， 所以，点A ，B 的坐标分别为（﹣4，0）和（0，2）；
（2）∵A（﹣4，0），D （x ，0），
∴AD=|x﹣（﹣4）|，
∴S=AD•OB=|x ﹣（﹣4）|×2=|x+4|；
（3）∵S=12，
∴|x+4|=12，
即x+4=12或x+4=﹣12，
解得x=8或x=﹣16，
所以，D 的坐标为（8，0）或（﹣16，0）．
15.【解析】
解：（1）甲由A 地到B 地的函数解析式是：1111212y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，即56y x =；
甲到达B 地所用时间是：20÷1111212⎛⎫- ⎪⎝⎭
＝24分钟， 甲由B 地到A 地所用时间是：20÷1111212⎛⎫+
⎪⎝⎭＝20分钟， 设甲由B 地到A 地的函数解析式是：y kx b =+， ∵点（24，20）与（44，0）在此函数图象上， ∴2420440
k b k b +=⎧⎨+=⎩，
解得：144k b =-⎧⎨=⎩
， ∴甲由B 地到A 地函数解析式是：44y x =-+，
（2）乙由A 地到B 地的函数解析式是：711212y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即12y x =； 根据题意得：4412
y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得：883x =
， 则经过
883
分钟相遇．。