赤城县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

赤城县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在极坐标系中，圆
的圆心的极坐标系是( )。

A
B C D
2． 已知M={（x ，y ）|y=2x }，N={（x ，y ）|y=a}，若M ∩N=∅，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．（﹣∞，1）
B ．（﹣∞，1]
C ．（﹣∞，0）
D ．（﹣∞，0]
3． 已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1（n ∈N *），且a 2+a 4+a 6=9，则log （a 5+a 7+a 9）的值是（
）
A ．
﹣
B ．﹣5
C ．5
D ．
4． 设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α；②若m ∥l ，m ∥α，则l ∥α；
③若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，则l ∥m ∥n ；④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，n ∥β，则l ∥m ．其中正确命题的个数是（ ）A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5． 设函数f （x ）的定义域为A ，若存在非零实数l 使得对于任意x ∈I （I ⊆A ），有x+l ∈A ，且f （x+l ）≥f （x ），则称f （x ）为I 上的l 高调函数，如果定义域为R 的函数f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）=|x ﹣a 2|﹣a 2，且函数f （x ）为R 上的1高调函数，那么实数a 的取值范围为（ ）
A ．0＜a ＜1
B ．﹣≤a
≤C ．﹣1≤a ≤1
D ．﹣2≤a ≤2
6． 若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数在复平面内对应的点在12,z z y 12i z =-1
2
z z （
）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．
7． 在等差数列{a n }中，a 3=5，a 4+a 8=22，则{}的前20项和为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即
（），试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于90分）的人数占总
()2~100,X N a 0a >人数的
，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（ ）1
10
（A ） 400
（ B ） 500
（C ） 600
（D ） 800
9． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC 的面积是（ ）
A ．16
B ．6
C ．4
D ．8
10．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A ．0.648
B ．0.432
C ．0.36
D ．0.312
11．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（
）
A ．
B ．（4+π）
C ．
D ．
12．如图，在长方形ABCD 中，AB=
，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在
面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．一个总体分为A ，B ，C 三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B 层中每个个体被抽到的概率都为，则总体的个数为 ．
14．设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），则数列{
}的前10项的和为 ．
15．若直线：与直线：垂直，则 .
012=--ay x 2l 02=+y x =a 16．抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线所围成的三角形面积为__________
17．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．　
18．设变量x ，y 满足约束条件，则的最小值为 ．
三、解答题
19．已知矩阵M=
的一个属于特质值3的特征向量
=
，正方形区域OABC 在矩阵N 应对的变换作
用下得到矩形区域OA ′B ′C ′，如图所示．（1）求矩阵M ；
（2）求矩阵N 及矩阵（MN ）﹣1．
20．已知p ：“直线x+y ﹣m=0与圆（x ﹣1）2+y 2=1相交”；q ：“方程x 2﹣x+m ﹣4=0的两根异号”．若p ∨q 为真，￢p 为真，求实数m 的取值范围．　
21．【常州市2018届高三上武进区高中数学期中】已知函数，．
()()2
21ln f x ax a x x =+--R a ∈⑴若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；()y f x =()()
1,1f ()2,11a ⑵若函数在区间上单调，求实数的取值范围；()f x ()2,3a ⑶设，若对，，使得成立，求整数的最小值．()1
sin 8
g x x =
()10,x ∀∈+∞[]20,πx ∃∈()()122f x g x +≥a
22．已知直线l ：x ﹣y+9=0，椭圆E ： +=1，
（1）过点M （，）且被M 点平分的弦所在直线的方程；
（2）P 是椭圆E 上的一点，F 1、F 2是椭圆E 的两个焦点，当P 在何位置时，∠F 1PF 2最大，并说明理由；（3）求与椭圆E 有公共焦点，与直线l 有公共点，且长轴长最小的椭圆方程．　
23．在中，、、是 角、、所对的边，是该三角形的面积，且
（1）求的大小;
（2）若，，求的值。

24．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，，EF=2，BE=3，CF=4．（Ⅰ）求证：EF⊥平面DCE；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．
赤城县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为，选B。

2．【答案】D
【解析】解：如图，
M={（x，y）|y=2x}，N={（x，y）|y=a}，若M∩N=∅，
则a≤0．
∴实数a的取值范围为（﹣∞，0]．
故选：D．
【点评】本题考查交集及其运算，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．
3．【答案】B
【解析】解：∵数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1（n∈N*），
∴a n+1=3a n＞0，
∴数列{a n}是等比数列，公比q=3．
又a2+a4+a6=9，
∴=a5+a7+a9=33×9=35，
则log（a5+a7+a9）==﹣5．
故选；B．
4．【答案】B
【解析】解：∵①若m∥l，m⊥α，
则由直线与平面垂直的判定定理，得l⊥α，故①正确；
②若m∥l，m∥α，则l∥α或l⊂α，故②错误；
③如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
平面ABB1A1∩平面ABCD=AB，
平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，
平面ABCD∩平面BCC1B1=BC，
由AB、BC、BB1两两相交，得：
若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n不成立，故③是假命题；
④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，
则由α∩γ=n知，n⊂α且n⊂γ，由n⊂α及n∥β，α∩β=m，
得n∥m，同理n∥l，故m∥l，故命题④正确．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．　
5．【答案】B
【解析】解：定义域为R的函数f（x）是奇函数，
当x≥0时，
f（x）=|x﹣a2|﹣a2=图象如图，
∵f（x）为R上的1高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a2，要满足f（x+l）≥f（x），
1大于等于区间长度3a2﹣（﹣a2），
∴1≥3a2﹣（﹣a2），
∴﹣≤a≤
故选B
【点评】考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．　
6． 【答案】B 【
解
析
】
7． 【答案】B
【解析】解：在等差数列{a n }中，由a 4+a 8=22，得2a 6=22，a 6=11．又a 3=5，得d=，∴a 1=a 3﹣2d=5﹣4=1．
{}的前20项和为：
=
=
．
故选：B ．　
8． 【答案】A 【解析】
P （X ≤90）＝P （X ≥110）＝，P （90≤X ≤110）＝1－＝，P （100≤X ≤110）＝，1000×＝400. 故选A.
1101545252
5
9．【答案】D
【解析】解：∵a=5，b=4，cosC=，可得：sinC==，
∴S△ABC=absinC==8．
故选：D．
10．【答案】A
【解析】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），
该同学通过测试的概率为=0.648．
故选：A．
11．【答案】D
【解析】解：由三视图知，几何体是一个组合体，
是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，
圆柱的底面直径和母线长都是2，
四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，
四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=，
∴几何体的体积是=，
故选D．
【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．
12．【答案】D
【解析】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，
则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，
如图当E与C重合时，AK==，
取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．
故∠K0A=，∴∠K0D'=，
其所对的弧长为=，
故选：D．
二、填空题
13．【答案】　300　．
【解析】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等，
所以总体中的个体的个数为15÷=300．
故答案为：300．
【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目．　
14．【答案】 ．
【解析】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），
∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．
当n=1时，上式也成立，
∴a n=．
∴=2．
∴数列{}的前n项的和S n=
=
=．
∴数列{}的前10项的和为．
故答案为：．
15．【答案】1
【解析】
试题分析：两直线垂直满足，解得，故填：1.()02-12=⨯+⨯a 1=a 考点：直线垂直
【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，
，，当两直线垂直时，需满足，当两直线平行时，
0:1111=++c y b x a l 0:2222=++c y b x a l 02121=+b b a a 需满足且，或是，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直
01221=-b a b a 1221c b c b ≠212121c c
b b a a ≠=，两直线平行时，，.1
121-=k k 21k k =21b b ≠16．【答案】
【解析】【知识点】抛物线双曲线【试题解析】抛物线的准线方程为：x=2;
双曲线的两条渐近线方程为：
所以故答案为：17．【答案】12π【解析】
考
点：球的体积与表面积．
【方法点晴】本题主要考查了球的体积与表面积的计算，其中解答中涉及到正方体的外接球的性质、组合体的结构特征、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中仔细分析，得出正方体的体对角线的长就外接球的直径是解答的关键．18．【答案】　4　．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，则的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象可知，OC 的斜率最小，由
，解得
，
即C （4，1），
此时=4，
故的最小值为4，
故答案为：4
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的定义以及数形结合是解决本题的关键．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，可得，
故，解得
所以矩阵M=；
（2）矩阵N所对应的变换为，
故N=，
MN=．
∵det（MN）=，
∴
=．
【点评】本题考查矩阵与变换、矩阵的特征值、特征向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想．　
20．【答案】
【解析】解：若命题p 是真命题：“直线x+y ﹣m=0与圆（x ﹣1）2+y 2=1相交”，则
＜1，解得1﹣；
若命题q 是真命题：“方程x 2﹣x+m ﹣4=0的两根异号”，则m ﹣4＜0，解得m ＜4．若p ∨q 为真，￢p 为真，则p 为假命题，q 为真命题．∴
．
∴实数m 的取值范围是
或
．
【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、直线与圆的位置关系、一元二次的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．【答案】⑴⑵⑶2a =11,,64
⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣
⎭
2
【解析】试题分析：（1）根据题意，对函数求导，由导数的几何意义分析可得曲线 在点f x （）y f x =（）
处的切线方程，代入点
，计算可得答案；11f （，（））211（，）（2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；
23，）（3）由题意得， 分析可得必有 ，对求导，2min max f x g x +≥（）（），()()215
218
f x ax a x lnx +--≥＝f x （）对分类讨论即可得答案．a 试题解析：
⑵，
()()()211'ax x f x x
-+=
若函数在区间上单调递增，则在恒成立，
∴()f x ()2,3210y ax =-≥()2,3，得；
410{ 610a a -≥∴-≥14a ≥若函数在区间上单调递减，则在恒成立，
()f x ()2,3210y ax =-≤()2,3，得，
410{
610a a -≤∴-≤1
6
a ≤综上，实数的取值范围为；
a 11,,64
⎛
⎤
⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦
⎣
⎭
⑶由题意得，，
()()min max 2f x g x +≥，
()max 1
28g x g π⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，即，
()min 158f x ∴≥()()215
21ln 8
f x ax a x x =+--≥由，()()()()()2
22112111'221ax a x ax x f x ax a x x x
+---+=+--==当时，，则不合题意；
0a ≤()10f < 当时，由，得或（舍去），0a >()'0f x =1
2x a
=1x =-当时，，单调递减，1
02x a
<<()'0f x <()f x 当时，，单调递增．1
2x a
>
()'0f x >()f x ，即，()min 115
28
f x f a ⎛⎫∴=≥ ⎪⎝⎭117ln 428a a --≥
整理得，， ()117ln 2228a a -⋅≥设，，单调递增，()1ln 2h x x x =-()2
11
02h x x x
∴=+>'()h x ∴，为偶数，
a Z ∈ 2a ∴又，，
()172ln248h =-<()17
4ln488
h =->，故整数的最小值为。

24a ∴≥a 222．【答案】
【解析】解：（1）设以点M （，）为中点的弦的端点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴x 1+x 2=1，y 1+y 2=1，
把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）代入椭圆E ：
+
=1，
得，∴k AB =
=﹣=﹣，
∴直线AB 的方程为y ﹣=﹣（x ﹣），即2x+8y ﹣5=0．（2）设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 1，则cos ∠F 1PF 2==
﹣1=
﹣1=
﹣1，
又r 1r 2≤（
）2=a 2（当且仅当r 1=r 2时取等号）
∴当r 1=r 2=a ，即P （0，）时，cos ∠F 1PF 2最小，
又∠F 1PF 2∈（0，π），∴当P 为短轴端点时，∠F 1PF 2最大．
（3）∵
=12，
=3，∴
=9．
则由题意，设所求的椭圆方程为
+
=1（a 2＞9），
将y=x+9代入上述椭圆方程，消去y ，得（2a 2﹣9）x 2+18a 2x+90a 2﹣a 4=0，依题意△=（18a 2）2﹣4（2a 2﹣9）（90a 2﹣a 4）≥0，化简得（a 2﹣45）（a 2﹣9）≥0，∵a 2﹣9＞0，∴a 2≥45，
故所求的椭圆方程为=1．
【点评】本题考查直线方程、椭圆方程的求法，考查当P在何位置时，∠F1PF2最大的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、余弦定理、椭圆性质的合理运用．
23．【答案】
【解析】
解：（1）由得
，即
（2）
24．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，∴EC=，
∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE由已知条件知，DC⊥平面EFCB，
∴DC⊥EF，又DC与EC相交于C，∴EF⊥平面DCE
解：（Ⅱ）
方法一：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．
由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC，
AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF．
所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角．
在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4．EC=
∴∠CEF=90°，由CE∥BH，得∠BHE=90°，又在Rt△BHE中，BE=3，
∴
由二面角A﹣EF﹣C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得，
所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°
方法二：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz ．
设AB=a（a＞0），则C（0，0，0），A（，0，a），B（，0，0），E（，3，0），F（0，4，0）．从而，
设平面AEF的法向量为，由得，，取x=1，
则，即，
不妨设平面EFCB的法向量为，
由条件，得
解得．所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．
【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，其中（I）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直与面面垂直的之间的相互转化，（II）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题，转化为向量的夹角问题．　。