高2019届高2016级甘肃省兰州第一中学高三9月月考文科数学试题及试题解析

高2016级甘肃省兰州第一中学 高三9月月考文科数学试题
数学
注意事项：
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题
1.集合U ＝R ,A ＝{x |x 2
－x －2<0},B ＝{x |y ＝ln(1－x )},则图中阴影部分所表示的集合是
A. {x |x ≥1}
B. {x |1≤x <2}
C. {x |0<x ≤1}
D. {x |x ≤1}
2.函数f (x )＝log 2(x 2
＋2x －3)的定义域是 A. [－3,1] B. (－3,1)
C. (－∞,－3]∪[1,＋∞)
D. (－∞,－3)∪(1,＋∞)
3.设,则 A.
B.
C.
D.
4.设
在内单调递增；,则是的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
5.设是奇函数,则使的x 的取值范围是
A. (—1,0)
B. (0,1)
C. (一∞,0)
D. (一∞,0)(1,+∞)
6.若函数
的图象如图所示,则函数
的图象可能是
A. B.
C. D.
7.已知函数
有两个极值点,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
8.已知函数是(－∞,＋∞)上的减函数,则a 的取值范围是
A. (0,3)
B. (0,3]
C. (0,2)
D. (0,2]
9.函数的图象向右平移个单位后,与函数的图象重合,
则
的值为
A. B. C. D.
10.若的内角满足,则的最大值为
A. B. C. D.
11.函数
上有两个零点,则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
此
卷
只
装
订
不
密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
12.函数定义域为,若满足①在内是单调函数；②存在使在上的值域为
,那么就称为“成功函数”,若函数是“成功函数”,则的取值范围为
A. B. C. D.
13.在等差数列中,,其前项和为,等比数列的各项均为正数,,
公比为
,且.
(1)求与；
(2)证明：.
二、填空题
14.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则f= .
15.已知sin α＋cos α＝,则sin 2＝________.
16.已知c＞0,设命题p：函数y＝c x为减函数.命题q：当x ∈时,函数f(x)＝x ＋恒成立.如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则c的取值范围是________.
17.设函数,若曲线在点处的切线方程为,则________.
三、解答题
18.在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程；
(2)设为曲线上一点,为曲线上一点,求的最小值.
19.已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|. (Ⅰ)解不等式f(x)>1；
(Ⅱ)当x>0时,若函数g(x )(a>0)的最小值恒大于f(x),求实数a的取值范围.
20.已知函数
⑴求的最小正周期及对称中心；
⑵若,求的最大值和最小值.
21.已知定义域为(－1,1)的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1),且当x∈(0,1)时,.
(1)求f(x)在区间(－1,1)上的解析式；
(2)若存在x∈(0,1),满足f(x)＞m,求实数m的取值范围.
22.已知函数,.
(1)若,曲线在点处的切线与轴垂直,求的值；
(2)在(1)的条件下, 恒成立,求的最大值.
高2016级甘肃省兰州第一中学
高三9月月考文科数学试题
数学答案
参考答案
1.B
【解析】
A＝{x|x2－x－2<0}=, B＝{x|y＝ln(1－x )}=,
图中阴影部分所表示的集合是
故选B
2.D
【解析】
【分析】
根据函数的解析式,列出不等式,即可求解函数的定义域.
【详解】
因为函数,所以,
即,解得或,
所以函数的定义域为或,故选D.
【点睛】
本题主要靠考查了函数的定义域的求解问题,其中熟记函数的定义域的定义,熟练求解一元二次不等式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.
3.C
【解析】
【分析】
利用底数的换底公式,指数与对数的运算性质,即可求解.
【详解】
由题意,因为,又由,
所以,故选C.
【点睛】
本题主要靠考查了指数式与对数式的比较大小问题,其中熟记对数的换底公式和指数与对数的运算性质是解答的关键,着重考查了推理能力与运算能力,属于基础题.
4.C
【解析】
【分析】
利用导数将函数在上单调递增,转化为恒成立,求得,再利用充要条件的判定,即可得到结论.
【详解】
由题意,函数,则,
因为函数在上单调递增,
则恒成立,所以,解得,
即命题等价于命题：,
所以命题是命题的充要条件,故选C.
【点睛】
本题主要靠考查了本题主要考查了充要条件的定义及判定方法,其中解答中利用导数解决函数的单调性,转化为不等式的恒成立问题是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及转化思想的应用.
5.A
【解析】
为奇函数,所以,则,可得。

当时
,
,可得,解得,所以函数的定义域为关于原点对称,
且
,所以时为奇函数。

则等价于,
即,解得,故选A
6.B
【解析】
由图可知,周期为,所以函数是由函数向左平移b个单位得到的.所以应选B.
7.B
【解析】
f′(x)＝(ln x－ax)＋x (－a)＝ln x＋1－2ax,
令f′(x)＝0,得2a ＝,
设φ(x)＝,则φ′(x)＝,
易知φ(x)在(0,1)上递增,在(1,＋∞)上递减,
∴φ(x)在(0,＋∞)上的极大值为φ(1)＝1.
大致图象如图
若f(x)有两个极值点,y＝2a和y＝φ(x)图象有两个交点,∴0<2a<1,∴0<a <.
8.D
【解析】
【分析】
由为上的减函数,根据和时,均单调递减,且,即可求解.
【详解】
因为函数为上的减函数,
所以当时,递减,即,当时,递减,即,
且,解得,
综上可知实数的取值范围是,故选D.
【点睛】
本题主要靠考查了分段函数的单调性及其应用,其中熟练掌握分段的基本性质,列出相应的不等式关系式是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
9.B
【解析】
【分析】
由题意,结合函数的图象变换规律,即可列出方程,得到答案.
【详解】
把函数的图象向右平移哥单位后,得到的图象,
根据所得图象与函数的图象重合,可得,
令时,,故选B.
【点睛】
本题主要靠考查了三角函数的图象变换及其应用,其中解答中熟练应用三角函数的图象变换与三角函数图象的性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
10.A
【解析】
【分析】
由条件求得,确定为钝角,利用诱导公式及三角函数的内角和定理、三角函数恒等变换的公式,化简求得,代入利用基本不等式即可求解.
【详解】
在中,因为,所以,即,
所以角为钝角,且,
又由,
所以,即
,
所以,
所以,
当且仅当,即时等号成立,
即的最大值为,故选A.
【点睛】
本题主要靠考查了同角三角函数的基本关系式,两角和与差的正弦、正切函数的公式,以及基本不等式的运用,其中熟练掌握基本关系式和三角恒等变换的公式,以及合理使用基本不等式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,试题有一定的综合性,属于中档试题.
11.A
【解析】
【分析】
由函数在区间上有两个零点,令,得,,
令,利用导数得到函数的单调性与极值,即可求解.
【详解】
由函数,令,即,得,,
记,则,
由此可知在区间上单调递减,在区间上单调递增,
且,
所以要使得在上由两个零点,则,
所以实数的取值范围是,故选A.
【点睛】
本题主要靠考查了函数与方程的综合应用问题,其中解答中把由函数在区间上有两个零点,转化为和函数的图象有两个交点,再利用导数得到函数的单调性求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及转化思想的应用.
12.C
【解析】
【分析】
由是“成功函数”,知在其定义域内为增函数,,
故
,由此能求出的取值范围.
【详解】
∵是“成功函数”,
∴在其定义域内为增函数,,
∴,,
令,∴有两个不同的正数根,
∴,解得,故选C.
【点睛】
本题考查函数的值域的求法,解题的关键是正确理解“成功函数”,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
13.(1)；(2)详见解析
【解析】试题分析：(1)利用等差数列的求和公式及等比数列的通项公式表示已知条件,然后解方程可求等比数列的公比q,等差数列的公差d,即可求解；
(2)利用裂项法求和,即可得到结论.
试题解析：(1)设{a n}的公差为d,因为
所以解得q＝3或q＝－4(舍),d＝3.
故a n＝3＋3(n－1)＝3n,b n ＝.
(2)证明：因为
所以＝＝.
故＋＋…＋＝＝.
因为n≥1,所以0<,于是1－<1,
所以<,
即＋＋…＋<.
14.
【解析】
f =f =f =f
=+1
=.
15.
【解析】
【分析】
由题意,根据,求得,再由公式化简得,代入即可求解. 【详解】
由题意,则,
则,
又由.
【点睛】
本题主要靠考查了三角函数的化简求值问题,其中解答中涉及到三角函数的基本关系式及二倍角的正弦函数、余弦函数的公式的合理应用,合理利用公式化简是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
16.
【解析】
【分析】
根据指数函数的图象与性质,可求出命题真时的取值范围,根据对勾函数的图象与性质,可求得命题真时的范围,再由中一真一假,即可求解.
【详解】
若命题：函数为碱函数为真,则；
又命题：当时,函数恒为真,则,则,
因为为真命题,为假命题,所以中一真一假,
若真假时,则,若假真时,则,
所以实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要靠考查了复合命题的真假判定及应用,同时考查了指数函数的图象与性质,以及对勾函数的图象与性质,其中根据命题为真时,求得的取值范围是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与计算能力.
17.
【解析】
【分析】
根据题意,曲线在点处的切线方程,由,求得点的坐标,进而求解得值,可得结论.
【详解】
因为,所以,
因为函数在点处的切线方程,
则,即,解得,
【点睛】
本题主要靠考查了导数的几何意义的应用,其中解答中熟记导数的几何意义,即函数在某点处的导数值就是对应曲线上该点处的切线的斜率是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,以及转化思想的应用.
18.(1)曲线的普通方程得,曲线的直角坐标方程为；(2).
【解析】
【分析】
(1)由消去参数得,即可得到曲线的普通方程；利用,
代入即可求解曲线
的直角坐标方程；
(2)设,利用两点间的距离公式求得点到曲线的距离为
,即可求解.
【详解】
(1)由消去参数得,曲线的普通方程得.
由得,曲线的直角坐标方程为.
(2)设,则点到曲线的距离为
.
当时,有最小值,所以的最小值为
【点睛】
本题主要靠考查了参数方程与极坐标方程的互化,其中数据曲线的参数方程和普通方程的互化,以及极坐标与直角坐标的互化公式,合理运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.
19.(Ⅰ)；(Ⅱ)。

【解析】
【分析】
(Ⅰ)分类讨论,去掉绝对值,求得原绝对值不等式的解集；(Ⅱ)
由条件利用基本不等式求得,,再由,求得的范围.
【详解】
(Ⅰ)当时,原不等式可化为,此时不成立；
当时,原不等式可化为,解得,即；
当时,原不等式可化为,解得.
综上,原不等式的解集是.
(Ⅱ)因为,当且仅当时等号成立,
所以.
当时,,所以.
所以,解得,故实数的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式的解法,以及转化与化归思想,难度一般；常见的绝对值不等式的解法,法一：利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
20.(1),；(2),.
【解析】
略
21.(1)；(2)
.
【解析】 【分析】
(1)根据奇函数的性质求出在
上的解析式,再根据条件和奇函数,计算
,
,
,即可求
解.
(2)判断在
上的单调性,得出
的最大值,从而得出的范围.
【详解】
(1)当x ∈(－1,0)时,－x ∈(0,1).由f (x )为R 上的奇函数,
得f (－x )＝－f (x )＝
＝
,即f (x )＝
,x ∈(－1,0).
又由f (x )为R 上的奇函数,得f (0)＝0,
故f (x )在区间(－1,1)上的解析式为f (x )＝.
(2)∵f (x )＝
＝
＝1－
.
又x ∈(0,1),∴2x ∈(1,2),∴1－
∈
.
若存在x ∈(0,1),满足f (x )＞m ,则m ＜,
故实数m 的取值范围是.
【点睛】
本题主要靠考查了函数的解析式和函数的基本性质的应用,其中利用函数的奇偶性,求解函数的解析式是解答的一个难点,同时注意函数的单调性的应用是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
22.(1)；(2).
【解析】 【分析】 (1)当
时,由已知得到
在
处的导数为0,即可求得的值；
(2)由(1),把恒成立转化为
在
上恒成立,
设
,求得导数,确定函数的单调性,即可作出求解.
【详解】
(1)
时,
所以
由题
(2)由(1)可得
即
在
上恒成立. 设
,
令
,得
.
当
时,
,
当
时,
,
所以,
所以.即的最大值为.
【点睛】
点睛：本题主要考查导数在函数中的应用,不等式的恒成立问题,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义,求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性；已知单调性,求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用.。