人教版八年级数学(下)学期 第二次质量检测测试卷

一、选择题
1．如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=2，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．23 2．已知点A （4，0），B （0，﹣4），C （a ，2a ）及点D 是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD 的长的最小值为（ ）
A ．655
B ．1255
C ．32
D ．42
3．如图，在边长为5的正方形ABCD 中，以A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形的个数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
4．如图，菱形ABCD 中，4, 120AB ABC =∠=，点E 是边AB 上一点，占F 在BC 上，下列选项中不正确的是( )
A ．若4AE CF +=，则ADE BDF ∆∆≌
B ．若, DF AD DE CD ⊥⊥， 则23EF =
C ．若DEB DFC ∠=∠,则BEF ∆的周长最小值为423+
D ．若D
E D
F =，则60ADE FDC ︒∠+∠=
5．如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝4，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是线段BO 上一动点，F 是射线DC 上一动点，若∠AEF ＝120°，则线段EF 的长度的整数值的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．如图，在平行四边形ABCD 中，120C ∠=︒，4=AD ，2AB =，点E 是折线BC CD DA --上的一个动点(不与A 、B 重合)．则ABE △的面积的最大值是( )
A ．32
B ．1
C ．32
D ．23
7．如图所示，在周长是10cm 的ABCD 中，AB AD ≠，AC 、BD 相交于点O ，点E 在AD 边上，且OE BD ⊥，是ABE △的周长是( )
A ．2cm
B ．3cm
C ．4cm
D ．5cm
8．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BF ＝4CF ，四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．3
B ．4
C ．6
D ．8
9．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 为边BC 上一点，且12
BD CD =．点E ，F 分别在边,AB AC 上，且90,EDF M ︒∠=为边EF 的中点，连接CM 交DF 于点N ．若//DF AB ，则CM 的长为( )
A 233
B 334
C 536
D 310．如图，已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （10，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点，将△OBP 沿OP 折叠得到△OPD ，连接CD 、AD ．则下列结论中：①当∠BOP ＝45°时，四边形OBPD 为正方形；②当∠BOP ＝30°时，
△OAD 的面积为15；③当P 在运动过程中，CD 的最小值为234﹣6；④当OD ⊥AD 时，BP ＝2．其中结论正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
11．在平行四边形ABCD 中，30,23,2A AD BD ∠=︒==，则平行四边形ABCD 的面积等于_____．
12．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边CD 的中点，点P 在线段AB 上运动，F 是CP 的中点，则CEF ∆的周长的最小值是____________．
13．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG ，BG ，BD ，DG ，下列结论：①BC=DF ；②135DGF ︒∠=；③BG DG ⊥；④34AB AD =，则254BDG FDG S S =，正确的有__________________．
14．在ABCD 中，5AD =，BAD ∠的平分线交CD 于点E ，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，若线段EF=2，则AB 的长为__________．
15．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥AB ，AC 与BD 相交于点O ，在同一平面内将△ABC 沿AC 翻折，得到△AB’C ，若四边形ABCD 的面积为24cm 2，则翻折后重叠部分（即S △ACE ) 的面积为________cm 2．
16．如图，在ABC 中，D 是AB 上任意一点，E 是BC 的中点，过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ，连BF ,CD ，若30FDB ∠=︒，45ABC ∠=︒，22BC =，则
DF =_________．
17．在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD 交边 BC 于 E ，DF 平分∠ADC 交边 BC 于 F ，若 AD=11，EF=5，则 AB= ___．
18．已知：如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，BE AC ⊥，垂足为点E ，M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ，设4AB =，30DAC ∠=︒则
EM =______；EDM 的面积为______，
19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 为平面内动点，且满足AD ＝4，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE ，则CE 的最大值为_____．
20．如图所示，在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E 、F 、G 、H ，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成一个菱形，这个条件是__________．
三、解答题
21．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，,E F 分别是,AB AC 边上的点，且DE DF ⊥，若12BE =，5CF =，求线段EF 的长．
22．如图，矩形OBCD 中，OB ＝5，OD ＝3，以O 为原点建立平面直角坐标系，点B ，点D 分别在x 轴，y 轴上，点C 在第一象限内，若平面内有一动点P ，且满足S △POB ＝13S 矩形OBCD ，问：
（1）当点P 在矩形的对角线OC 上，求点P 的坐标；
（2）当点P 到O ，B 两点的距离之和PO +PB 取最小值时，求点P 的坐标．
23．如图，点E 为▱ABCD 的边AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ，AF ．
（1）若∠BAE ＝70°，∠DCE ＝20°，求∠DEC 的度数；
（2）求证：四边形AFHD 为平行四边形；
（3）连接EH ，交BC 于点O ，若OC ＝OH ，求证：EF ⊥EG ．
24．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行
线交于BE 的延长线于点F ，且AF=DC ，连接CF ．
（1）求证：D 是BC 的中点；
（2）如果AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．
25．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE ∆沿BE 折叠，点A 的对应点为点G ．
图1 图2
（1）填空：如图1，当点G 恰好在BC 边上时，四边形ABGE 的形状是________； （2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F ．
①求证：BF AB DF =+． ②若3AD AB =，试探索线段DF 与FC 的数量关系．
26．如图1，已知四边形ABCD 是正方形，E 是对角线BD 上的一点，连接AE ，CE ．
（1）求证：AE ＝CE ；
（2）如图2，点P 是边CD 上的一点，且PE ⊥BD 于E ，连接BP ，O 为BP 的中点，连接EO ．若∠PBC ＝30°，求∠POE 的度数；
（3）在（2）的条件下，若OE 2，求CE 的长．
27．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．
（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；
（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；
（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC ．（直接写出结果）
28．如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点B 落在AD 边上的G 处，E 、F 分别在BC 、AB 边上且F(1，4)．
(1)求G 点坐标
(2)求直线EF 解析式
(3)点N 在坐标轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由
29．点E 在正方形ABCD 的边BC 上，点F 在AE 上，连接FB ，FD ，∠ABF=∠AFB ． （1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF ；
（2）如图2，过点F 作垂线交AB 于G ，交DC 的延长线于H ，求证：DH=2 AG ； （3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC 的长．
30．如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），ADE ∆是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，交直线AC 于点F ，连接BE ．
（1）判断四边形BCFE的形状，并说明理由；
（2）当DE AB
⊥时，求四边形BCFE的周长；
（3）四边形BCFE能否是菱形？若可为菱形，请求出BD的长，若不可能为菱形，请说明理由．
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可.
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴AB=2BC=4，
∵D，E分别是直角边BC，AC的中点，
∴
1
2
2
DE AB
==，故选：D.
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题意可判定此题需分两种情况讨论，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，根据垂直及F点坐标可先求的直线FC的函数解析式，进而通过求得点C坐标来求CD；如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝42
况即可求得CD最小值.
【详解】
解：如图，由题意点C在直线y＝2x上，
如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，易知直线AB为y＝x﹣4，
∵AF＝FB，
∴点F坐标为（2，﹣2），
∵CF⊥直线y＝2x，
设直线CF为y＝﹣1
2
x+b′F（2，﹣2）代入得b′＝﹣1
∴直线CF为y＝﹣1
2
x﹣1，
由
2
1
1
2
y x
y x
=
⎧
⎪
⎨
=--
⎪⎩
解得
2
5
4
5
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，
∴点C坐标（
2
5
-，
4
5
-）．
∴CD＝2CF＝2
22
24
22
55
⎛⎫⎛⎫
++-+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
125
．
如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝42125
5
，
∴CD
125
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，解本题的关键是找到何时CD最短.
3．C
解析：C
【分析】
分别以3为底和以3为腰构造等腰三角形即可.注意等腰三角形的大小不同.
【详解】
①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可,此时三角形为腰为3的等腰三角形；
②连接AC，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、
AB 两点，连接即可
理由如下：∵四边形ABCD 为正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°，
∵EF⊥AC
∴△AEH 与△AHF 为等腰直角三角形
∴EF=EH+FH=AH+AH=3.且AE=AF=2AH
故△AEF 为底为3的等腰三角形；
③以A 为端点在AB 上截取3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画弧，交BC 一个点，连接即可，此时三角形为腰为3的等腰三角形；
④连接AC ，在AC 上，以C 为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC 的垂线，交BC 、DC 两点，然后连接A 与这两个点即可；
理由如下：与②同理可证EF=3，且EC=FC ，
在△DEC 和△DFC 中，
∵AC=AC,∠ACE=∠ACF，EC=FC ∴△DEC≌△DFC
∴AE=AF,
故△AEF 为底为3的等腰三角形.
⑤以A 为端点在AB 上截取3个单位，再作着个线段的垂直平分线交CD 一点，连接即可根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，三角形为底为3的等腰三角形． 故满足条件的所有图形如图所示：
故选C.
【点睛】 本题考查作图——应用与设计作图, 等腰三角形的性质与判定, 勾股定理, 正方形的性质. 明确等腰三角形的性质是解答本题的关键.
4．D
解析：D
【分析】
A.正确，只要证明ADE BDF ≅即可；
B.正确，只要证明,DF BC ⊥进而得到EDF 是等边三角形，进而得到结论；
C.正确，只要证明DBE DCF ≅得出DEF 是等边三角形，因为BEF 的周长为4BE BF EF BF CF EF BC EF EF ++=++=+=+，所以等边三角形DEF 的边长最小时，BEF 的周长最小，只要求出DEF 的边长最小值即可；
D.错误，当EF AC 时，DE DF =，由此即可判断.
【详解】
A 正确，理由如下：
=120ABCD ABC ∠︒四边形是平行四边形，
4,60,AD DC BC AB ABD DBC ∴====∠=∠=︒
ADB BDC ∴、都是等边三角形，
,60,AD BD DAE DBF ∴=∠=∠=︒
4,4,AE CF BF CF +=+=
,AE BF ∴=
,,AD BD DAE DBF =∠=∠又
.ADE BDF ∴≅
B 正确，理由如下：
,,DF AD AD BC ⊥
,DF BC ∴⊥ DBC 是等边三角形，
30,2
BDF DF CD ∴∠=︒==
同理30,BDE DE ∠=︒=
,60,DE DF EDF ∴=∠=︒
EDF ∴是等边三角形，
EF DE ∴==
C 正确，理由如下：
,,,DBE DCF DEB DFC DB DC ∠=∠∠=∠=
,DBE DCF ∴≅
,,,DE DF BDE CDF BE CF ∴=∠=∠=
60,EDF BDC ∴∠=∠=︒
DEF ∴是等边三角形， BEF 的周长为：
4BE BF EF BF CF EF BC EF EF ++=++=+=+，
∴等边三角形DEF 边长最小时，BEF 的周长最小，
∴当DE AB ⊥时，DE 最小为
BEF ∴的周长最小值为4+.
D 错误，当EF AC 时，D
E D
F =，此时ADE FDC ∠+∠时变化的不是定值，故错误.
故选D.
【点睛】
本题主要考查全等的判定的同时，结合等边三角形的性质，涉及到最值问题，仔细分析图形，明确图形中的全等三角形是解决问题的关键.
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
连结CE，根据菱形的性质和全等三角形的判定可得△ABE≌△CBE，根据全等三角形的性质可得AE＝CE，设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，可得∠ECF＝∠EFC，根据等角对等边可得CE＝EF，从而得到AE＝EF，在Rt△ABO中，根据含30°的直角三角形的性质得到AO＝2，可得2≤AE≤4，从而得到EF的长的整数值可能是2，3，4．
【详解】
解：如图，连结CE
，
∵在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝CE，
设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，
∴∠DEF＝120°﹣（90°﹣a）＝30°+a，
∴∠EFC＝∠CDE+∠DEF＝30°+30°+a＝60°+a，
∵∠ECF＝∠DCO+∠OCE＝60°+a，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴CE＝EF，
∴AE＝EF，
∵AB＝4，∠ABE＝30°，
∴在Rt△ABO中，AO＝2，
∵OA≤AE≤AB，
∴2≤AE≤4，
∴AE的长的整数值可能是2，3，4，即EF的长的整数值可能是2，3，4．
故选：C．
【点睛】
考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，根据含30°的直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，证明△ABE≌△CBE．
6．D
解析：D
【分析】
分三种情况讨论：①当点E在BC上时，高一定，底边BE最大时面积最大；②当E在CD 上时，△ABE的面积不变；③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，根据三
角形的面积公式可得结论．
【详解】
解：分三种情况：
①当点E在BC上时，E与C重合时，△ABE的面积最大，如图1，
过A作AF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠C+∠B=180°，
∵∠C=120°，
∴∠B=60°，
Rt△ABF中，∠BAF=30°，
∴BF=1
2
AB=1，AF=3，
∴此时△ABE的最大面积为：1
2
×4×3=23；
②当E在CD上时，如图2，此时，△ABE的面积=1
2
S▱ABCD=
1
2
×4×3=23；
③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，此时，△ABE的面积3
综上，△ABE的面积的最大值是3
故选：D．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题．
7．D
解析：D
【分析】
根据平行四边形的性质求出AB+AD=5cm,根据线段的垂直平分线求出BE=DE,求出ABE
的周长等于AB+AD，代入求出即可．
【详解】
∵10ABCD C cm =
∴=5AB AD cm +
∵在ABCD 中，OB=OD ，OE BD ⊥
∴EB=ED
∴AEB C
AB AE BE AB AE BE AB AD =++=++=+ ∴5AEB C cm =
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查的知识点是平行四边形对边相等的这条性质，结合线段的垂直平分线的性质来进行计算是解题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
连接EC ，过A 作AM ∥BC 交FE 的延长线于M ，求出平行四边形ACFM ，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE 的面积和△CDE 的面积相等，△ADE 的面积和△AME 的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM 的面积的一半，求出CF×h CF 的值即可．
【详解】
连接DE 、EC ，过A 作AM ∥BC 交FE 的延长线于M ，
∵四边形CDEF 是平行四边形，
∴DE ∥CF ，EF ∥CD ，
∴AM ∥DE ∥CF ，AC ∥FM ，
∴四边形ACFM 是平行四边形，
∵△BDE 边DE 上的高和△CDE 的边DE 上的高相同，
∴△BDE 的面积和△CDE 的面积相等，
同理△ADE 的面积和△AME 的面积相等，
即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM 的面积的一半，是
12×CF×h CF ， ∵△ABC 的面积是24，BC ＝3CF ∴12BC×h BC ＝12
×3CF×h CF ＝24， ∴CF×h CF ＝16， ∴阴影部分的面积是
12×16＝8， 故选：D ．
【点睛】
此题考查平行四边形的判定及性质，同底等高三角形面积的关系，解题中注意阴影部分面积的求法，根据图形的特点选择正确的求法是解题的关键.
9．C
解析：C
【分析】
根据等边三角形边长为2，在Rt BDE ∆中求得DE 的长，再根据CM 垂直平分DF ，在Rt CDN ∆中求得CN ，利用三角形中位线求得MN 的长，最后根据线段和可得CM 的长．
【详解】 解：等边三角形边长为2，12BD CD =， ∴23BD =，43
CD =， 等边三角形ABC 中，//DF AB ，
60FDC B ∴∠=∠=︒，
90EDF ∠=︒，
30BDE ∴∠=︒，
DE BE ∴⊥，
1123BE BD ∴==，2
222213()33DE BD BE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 如图，连接DM ，则Rt DEF ∆中，12
DM EF FM ==，
60FDC FCD ∠=∠=︒，
CDF ∴∆是等边三角形，
43
CD CF ∴==，
CM ∴垂直平分DF ，
30DCN ∴∠=︒，
Rt CDN ∴∆中，43
DF =，32DN =，CN =， ∵EM =FM ，DN =FN ，
∴12MN ED =，
CM CN MN ∴=+． 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
①由矩形的性质得到90OBC ∠=︒，根据折叠的性质得到OB OD =，
90PDO OBP ，BOP DOP ∠=∠，推出四边形OBPD 是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形OBPD 为正方形；故①正确；
②过D 作DH OA ⊥于H ，得到10OA =，6OB =，根据直角三角形的性质得到132DH OD ，根据三角形的面积公式得到OAD ∆的面积为113101522OA DH ，故②正确； ③连接OC ，于是得到OD CD OC ，即当OD CD OC +=时，CD 取最小值，根据勾
股定理得到CD 的最小值为6；故③正确；
④根据已知条件推出P ，D ，A 三点共线，根据平行线的性质得到OPB
POA ，等量代换得到OPA
POA ，求得10AP OA ，根据勾股定理得到1082BP BC CP ，故④正确．
【详解】
解：①四边形OACB 是矩形，
90OBC ∴∠=︒，
将OBP ∆沿OP 折叠得到OPD ∆， OB OD ∴=，90PDO OBP ，BOP DOP ∠=∠，
45BOP ，
45DOP BOP ，
90BOD =∴∠︒，
90BOD OBP ODP ， ∴四边形OBPD 是矩形，
OB OD =，
∴四边形OBPD 为正方形；故①正确；
②过D 作DH OA ⊥于H ，
点(10,0)A ，点(0,6)B ，
10OA ∴=，6OB =，
6OD OB
，30BOP DOP ， 30DOA ， 132DH OD ， OAD ∴∆的面积为
113101522OA DH ，故②正确； ③连接OC ，
则OD CD OC ，
即当OD CD OC +=时，CD 取最小值，
6AC
OB ，10OA =， 2222106234OC OA AC ，
2346CD OC OD ，
即CD 的最小值为2346；故③正确；
④
⊥OD AD ，
90ADO ∴∠=︒， 90ODP OBP ，
180ADP ，
P ∴，D ，A 三点共线，
//OA CB ，
OPB
POA ， OPB
OPD ， OPA
POA ， 10AP OA ，
6AC =， 22
1068CP ， 1082BP BC CP ，故④正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题
11．43或23 【分析】
分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：过D 作DE AB ⊥于E ，
在Rt ADE △中，
30A ∠=︒，23AD =， 132DE AD ∴==，332
AE AD ==， 在Rt BDE △中，2BD =，
22222(3)1BE BD DE ∴=-=-=，
如图1，
4AB ∴=，
∴平行四边形ABCD 的面积4343AB DE ==⨯=，
如图2，
2AB =，
∴平行四边形ABCD 的面积2323AB DE ==⨯=，
如图3，过B 作BE AD ⊥于E ，
在Rt ABE △中，设AE x =，则23DE x =，
30A ∠=︒，33BE x =
， 在Rt BDE △中，2BD =，
22232()(23)x x ∴=+-， 3x ∴=，23x =（不合题意舍去），
1BE ∴=， ∴平行四边形ABCD 的面积12323AD BE ==⨯=， 如图4，
当AD BD ⊥时，平行四边形ABCD 的面积43AD BD ==，
故答案为：323
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．
12．222
【分析】
由题意根据三角形的中位线的性质得到EF=
12PD ，得到C △CEF =CE+CF+EF=CE+12（CP+PD ）=12（CD+PC+PD ）=12
C △CDP ，当△CDP 的周长最小时，△CEF 的周长最小；即PC+P
D 的值最小时，△CEF 的周长最小；并作D 关于AB 的对称点D ′，连接CD ′交AB 于P ，进而分析即可得到结论．
【详解】
解：∵E 为CD 中点，F 为CP 中点，
∴EF=12
PD ， ∴C △CEF =CE+CF+EF=CE+
12（CP+PD ）=12（CD+PC+PD ）=12C △CDP ∴当△CDP 的周长最小时，△CEF 的周长最小；
即PC+PD 的值最小时，△CEF 的周长最小；
如图，作D 关于AB 的对称点T ，连接CT ，则PD=PT ，
∵AD=AT=BC=2，CD=4，∠CDT=90°，
∴2222
4442 CT CD DT
++=
∵△CDP的周长=CD+DP+PC=CD+PT+PC，∵PT+PC≥CT，
∴PT+PC≥42
∴PT+PC的最小值为2，
∴△PDC的最小值为4+42
∴C△CEF=1
2
C△CDP=222．
故答案为：222．
【点睛】
本题考查轴对称-最短距离问题以及三角形的周长的计算等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题．
13．①③④
【分析】
由矩形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD，由角平分线的性质和余角的性质可得∠F=∠FAD=45°，可得AD=DF=BC，可判断①；通过证明
△DCG≌△BEG，可得∠BGE=∠DGC，BG=DG，即可判断②③；过点G作GH⊥CD于H，设AD=4x=DF，AB=3x，由勾股定理可求BD=5x，由等腰直角三角形的性质可得
HG=CH=FH=1
2
x，DG=GB=
52
2
x，由三角形面积公式可求解，可判断④．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD，∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠F=∠FAD，
∴AD=DF，
∴BC=DF，故①正确；
∵∠EAB=∠BEA=45°，
∴AB=BE=CD ，
∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，
∴△CEF 是等腰直角三角形，
∵点G 为EF 的中点，
∴CG=EG ，∠FCG=45°，CG ⊥AG ，
∴∠BEG=∠DCG=135°，
在△DCG 和△BEG 中，
===BE CD BEG DCG CG EG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
，
∴△DCG ≌△BEG （SAS ）．
∴∠BGE=∠DGC ，BG=DG ，
∵∠BGE ＜∠AEB ，
∴∠DGC=∠BGE ＜45°，
∵∠CGF=90°，
∴∠DGF ＜135°，故②错误；
∵∠BGE=∠DGC ，
∴∠BGE+∠DGA=∠DGC+∠DGA ，
∴∠CGA=∠DGB=90°，
∴BG ⊥DG ，故③正确；
过点G 作GH ⊥CD 于H ，
∵34
AB AD =， ∴设AD=4x=DF ，AB=3x ，
∴CF=CE=x ，22AB AD x +，
∵△CFG ，△GBD 是等腰直角三角形，
∴HG=CH=FH=
12x ，DG=GB=522x ， ∴S △DGF =12×DF×HG=x 2，S △BDG =12DG×GB=254
x 2，
∴
25
4
BDG FDG
S S
=，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．
14．8或12
【分析】
根据平行四边形的性质得到BC=AD=5，∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠BFC，根据角平分线的性质得到DE=AD=5，CF=BC=5，即可求出答案.
【详解】
在ABCD中，AB∥CD，BC=AD=5，
∴∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠BFC，
∵BAD
∠的平分线交CD于点E，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD=5，
同理：CF=BC=5，
∴AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8或AB=DE+CF+EF=5+5+2=12，
故答案为：8或12.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的等角对等边的判定，解题中注意分类思想的运用，避免漏解.
15．6
【分析】
由折叠的性质可得∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S△ABC=S△AB'C=12cm2，可证点B，点A，点B'三点共线，通过证明四边形ACDB'是平行四边形，可得B'E=CE，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，S△ABC=1
24
2
⨯=12cm2，
∵在同一平面内将△ABC沿AC翻折，得到△AB′C，
∴∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S△ABC=S△AB'C=12cm2，∴∠BAB'=180°，
∴点B，点A，点B'三点共线，
∵AB∥CD，AB'∥CD，
∴四边形ACDB'是平行四边形，
∴B'E=CE，
∴S△ACE=1
2
S△AB'C=6cm2，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了翻折变换，平行四边形的判定和性质，证明点B，点A，点B'三点共线是本题的关键．
16．4
【分析】
证明CF∥DB，CF=DB，可得四边形CDBF是平行四边形，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可．
【详解】
解：∵CF∥AB，
∴∠ECF=∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE=BE．
∵∠CEF=∠BED，
∴△CEF≌△BED（ASA）．
∴CF=BD．
∴四边形CDBF是平行四边形．
作EM⊥DB于点M，
∵四边形CDBF是平行四边形，22
BC=
∴BE=1
2
2
BC=，DF=2DE，
在Rt△EMB中，EM2+BM2=BE2且EM=BM ∴EM=1，
在Rt△EMD中，
∵∠EDM=30°，
∴DE=2EM=2，
∴DF=2DE=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，
17．8或3
【分析】
根据AE和DF是否相交分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边即可得出结论．
【详解】
解：①当AE和DF相交时，如下图所示
∵四边形ABCD为平行四边形，AD=11，EF=5，
∴BC=AD=11，AD∥BC，AB=CD
∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD
∵AE 平分∠BAD，DF 平分∠ADC
∴∠DAE=∠BAE，∠ADF=∠CDF
∴∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF
∴BE=AB，CF=CD
∴BE=AB= CD= CF
∵BE＋CF=BC＋EF
∴2AB=11＋5
解得：AB=8；
②当AE和DF不相交时，如下图所示
∵四边形ABCD为平行四边形，AD=11，EF=5，
∴BC=AD=11，AD∥BC，AB=CD
∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD
∵AE 平分∠BAD，DF 平分∠ADC
∴∠DAE=∠BAE，∠ADF=∠CDF
∴∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF
∴BE=AB，CF=CD
∴BE=AB= CD= CF
∵BE ＋CF ＋EF =BC
∴2AB ＋5=11
解得：AB=3
综上所述：AB=8或3
故答案为：8或3．
【点睛】
此题考查的是平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的性质，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边是解决此题的关键．
18．2
【分析】
根据EM 是Rt ABE △斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EM 的长；根据已知条件推导出DME 是等边三角形，且边长为2，进一步计算即可得解．
【详解】
解：∵AD BC ⊥，M 为AB 边的中点，4AB =
∴在Rt ABD △中，114222
DM AM AB ===⨯= 同理，在Rt ABE △中，114222EM AM AB ==
=⨯= ∴MDA MAD ∠=∠，MEA MAE ∠=∠
∵2BME MEA MAE MAE ∠=∠+∠=∠，2BMD MDA MAD MAD ∠=∠+∠=∠ ∴DME BME BMD ∠=∠-∠
22MAE MAD =∠-∠
()2MAE MAD =∠-∠
2DAC =∠
60=︒
∵=DM EM
∴DME 是等边三角形，且边长为2
∴122
EDM S =⨯=
故答案是：2
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提．
19．【分析】
作AB 的中点E ，连接EM 、CE ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE 和EM 的长，然后确定CM 的范围．
【详解】
解：作AB的中点M，连接EM、CM．
在Rt△ABC中，AB＝22
AC BC
+＝22
86
+＝10，∵M是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CM＝1
2
AB＝5．
∵E是BD的中点，M是AB的中点，
∴ME＝1
2
AD＝2．
∴5﹣2≤CE≤5+2，即3≤CE≤7．
∴最大值为7，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握基本性质定理是解题的关键．
20．答案不唯一，例AC=BD 等
【分析】
连接AC、BD，先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的特点添加条件即可.【详解】
连接AC，
∵点E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，EF=1
2 AC，
同理HG∥AC，HG=1
2 AC,
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
连接BD,同理EH=FG,EF∥FG，
当AC=BD时，四边形EFGH是平行四边形，故答案为：答案不唯一，例AC=BD 等.
【点睛】
此题考查三角形中位线性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定.
三、解答题
21．EF ＝13．
【分析】
首先连接AD ，由△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，可得：AD=DC ，∠EAD=∠C=45°，AD ⊥BC ，即∠CDF+∠ADF=90°，又DE ⊥DF ，可得：∠EDA+∠ADF=90°，故∠EDA=∠CDF ，从而可证：△AED ≌△CFD ；根据全等三角形的性质得到AE=CF=5，进而得出BE=AF=12．然后在Rt △AEF 中，运用勾股定理可将EF 的值求出；
【详解】
解：连接AD ．
∵△ABC 是等腰直角三角形，AB =AC ，D 是斜边BC 的中点，
∴AD =DC =DB ，AD ⊥BC ，
∴∠BAD =∠C =45°，
∵∠EDA +∠ADF =90°，
又∵∠CDF +∠ADF =90°，
∴∠EDA =∠CDF ．
在△AED 与△CFD 中，
EDA FDC AD CD
EAD C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AED ≌△CFD (ASA )．
∴AE =CF =5．
∵AB =AC ，
∴BE =AF =12．
在Rt △AEF 中，
∵∠EAF =90°，
∴22222512169EF AE AF =+=+=，
∴EF =13．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形, 直角三角形斜边上的中线，掌握等腰三角形“三线合一”的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质为解题关键．
22．（1）P （103，2）；（2）（52，2）或（﹣52，2） 【分析】
（1）根据已知条件得到C （5，3），设直线OC 的解析式为y ＝kx ，求得直线OC 的解析式为y ＝35x ，设P （m ，35m ），根据S △POB ＝13
S 矩形OBCD ，列方程即可得到结论； （2）设点P 的纵坐标为h ，得到点P 在直线y ＝2或y ＝﹣2的直线上，作B 关于直线y ＝2的对称点E ，则点E 的坐标为（5，4），连接OE 交直线y ＝2于P ，则此时PO +PB 的值最小，设直线OE 的解析式为y ＝nx ，于是得到结论．
【详解】
（1）如图：
∵矩形OBCD 中，OB ＝5，OD ＝3，
∴C （5，3），
设直线OC 的解析式为y ＝kx ，
∴3＝5k ，
∴k ＝35
， ∴直线OC 的解析式为y ＝
35x ， ∵点P 在矩形的对角线OC 上，
∴设P （m ，
35m ）， ∵S △POB ＝
13S 矩形OBCD ， ∴12⨯5×35m ＝13
⨯3×5，
∴m＝10
3
，
∴P（10
3
，2）；
（2）∵S△POB＝1
3
S矩形OBCD，
∴设点P的纵坐标为h，
∴1
2
h×5＝
1
3
3
⨯⨯5，
∴h＝2，
∴点P在直线y＝2或y＝﹣2上，
作B关于直线y＝2的对称点E，
则点E的坐标为（5，4），
连接OE交直线y＝2于P，则此时PO+PB的值最小，
设直线OE的解析式为y＝nx，
∴4＝5n，
∴n＝4
5
，
∴直线OE的解析式为y＝4
5 x，
当y＝2时，x＝5
2
，
∴P（5
2
，2），
同理，点P在直线y＝﹣2上，
P（5
2
，﹣2），
∴点P的坐标为（5
2
，2）或（﹣
5
2
，2）．
【点睛】
本题考查了轴对称——最短路线问题，矩形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的找到点P在位置是解题的关键．
23．（1）50°；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，得出
BC∥FG，BC＝1
2
FG，证出AD∥FH，AD∥FH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；
（3）连接EH，CH，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，
∵∠DCE＝20°，
∵AB∥CD，
∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝1
2 FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝1
2 FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD∥FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；（3）连接EH，CH，
∵CE＝CG，FH＝HG，
∴CH＝1
2
EF，CH∥EF，
∵EB＝BF＝1
2 EF，
∴BE＝CH，
∴四边形EBHC是平行四边形，∴OB＝OC，OE＝OH，
∵OC＝OH，
∴OE＝OB＝OC＝1
2 BC，
∴△BCE是直角三角形，∴∠FEG＝90°，
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
24．（1）见详解；（2）四边形ADCF 是矩形；证明见详解．
【分析】
（1）可证△AFE ≌△DBE ，得出AF=BD ，进而根据AF=DC ，得出D 是BC 中点的结论； （2）若AB=AC ，则△ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD ⊥BC ；而AF 与DC 平行且相等，故四边形ADCF 是平行四边形，又AD ⊥BC ，则四边形ADCF 是矩形．
【详解】
（1）证明：∵E 是AD 的中点，
∴AE=DE ．
∵AF ∥BC ，
∴∠FAE=∠BDE ，∠AFE=∠DBE ．
在△AFE 和△DBE 中，
FAE BDE AFE DBE AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AFE ≌△DBE （AAS ）．
∴AF=BD ．
∵AF=DC ，
∴BD=DC ．
即：D 是BC 的中点．
（2）解：四边形ADCF 是矩形；
证明：∵AF=DC ，AF ∥DC ，
∴四边形ADCF 是平行四边形．
∵AB=AC ，BD=DC ，
∴AD ⊥BC 即∠ADC=90°．
∴平行四边形ADCF 是矩形．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用．解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，以及全等三角形的判定和性质
25．（1）四边形ABGE 的形状是正方形；（2）①详见解析；②DF=3CF
【分析】
（1）由四边形ABCD 是矩形，可得90A ABC ︒∠=∠=，由折叠得：
90BGE A ︒∠=∠=，根据三个内角是直角可判断四边形ABGE 为矩形，由折叠得：AB=BG ，根据一组邻边相等的矩形是正方形可判断矩形ABGE 为正方形；
（2）①如图，连结EF ，在矩形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，∠A=∠C=∠D=90°，由△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，可得BG=AB ，EG=AE=ED ，∠A=∠BGE=90°，故∠EGF=∠D=90°，由HL 可判断Rt △EGF ≌Rt △EDF ，得到DF=FG ，问题得证；
②设AB=DC=a ，则AD=BC=3a ，另设CF=x ，则DF=DC-CF=a-x ，由①得BF=AB+DF =2a-x ，在Rt △BCF 中，由勾股定理得：BF 2=BC 2+CF 2，代入数据运算可得：x=14a ，即CF=14
a ，DF=a-x=
34
a ，进而可得DF 与CF 关系． 【详解】 （1）四边形ABGE 的形状是正方形．
理由是：∵四边形ABCD 是矩形，
∴90A ABC ︒∠=∠=，
由折叠得：90BGE A ︒∠=∠=，
∴四边形ABGE 为矩形，
由折叠得：AB=BG ，
∴矩形ABGE 为正方形；
故答案为：正方形．
（2）①如图，连结EF ，
在矩形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，∠A=∠C=∠D=90°，
∵E 是AD 的中点，
∴AE=DE ，
∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，
∴BG=AB ，EG=AE=ED ，∠A=∠BGE=90°，
∴∠EGF=∠D=90°，
Rt △EGF 和Rt △EDF 中，。