直线与双曲线的位置关系

ba
e 2
小结
(1)直线与双曲线的位置关系,和直线与椭圆的位置关系在 分类上是一致的,但在相交时情形不尽相同,椭圆中相交必 有两个公共点,双曲线中可能有一个也可能有两个公共点
(2)直线与圆锥曲线有且仅有一个公共点,是直线与圆锥曲 线相切的必要不充分条件
(3)注意二次曲线(圆锥曲线),二次方程,二次函数三者之间 的内在联系,直线与双曲线的位置关系的相关问题通常可转 化成二次方程和二次函数问题,运用判别式和根与系数的关 系来解决
1 y1 y2 2 k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)有关中点弦问题的两种处理方法
例4．过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与 双曲线的两支相交，求该双曲线离心率的范围.
x2 y 2 解：设双曲线的方程为 2 2 1(a 0, b 0) ,F (c, 0) a b b 渐近线 y x a a
则过 F 的直线方程为 则
变式练习 (1) 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点,求k的 取值范围 5 5 k 且k 1 2 2 (2)如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有一个公共点,求k的 取值范围 5 5 k 或k 2 2 (3)如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两个公共点,求k 的取值范围
2 y 2 1 截得的弦长 例3 (1)求直线y=x+1被双曲线 x 4 2
2
y (2)求过定点(0,1)的直线被双曲线 x 4 1 截 得的弦
中点轨迹方程
d
2 2
8 2 3
4x y y 0 y 4或y 0
注
1弦长公式 AB
1 k 2 x1 x2 1
3
4.在双曲线y2-x2=1的上半支上求一点P,使P到直线y=-x的距 离为 2 2
注 (1)和渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点
(2)直线与双曲线有一个交点时有两种情况
练习 一.求下列直线与双曲线的交点个数
x2 y2 12 x y 10 0与 1 20 5
3x y 1 0与x
x2 y2 24 x 3 y 16 0与 1 25 10
5 1 k 2
(4)如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支仅有一个公共点,求 k的取值范围
1 k 1或k 5 2
直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线相交
{
有两个相异的公共点
⊿>0
有一个公共点（直线与渐近线平行） ⊿=0 ⊿<0.
直线与双曲线相切:有两个重合的公共点,
直线与双曲线相离:没有公共点,
湖南省临湘市第一中学
李君英
当m取何值时,直线y=x+m与椭圆9x2+16y2=144相切,相交,相离?
5 5 m , ,时相 离 3 3
5 m 时 相 切 3
5 5 m , 时 相 交 3 3
注
(1)直线与椭圆位置关系实质就是方程组的解的个数问题, 这种等价转化思想是处理直线与圆锥曲线关系的常用思 想.
2弦长公式AB
1 k 2 x1 x2 1
1 y1 y2 2 k
例1 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有且仅有一个公共点, 求k的取值范围
5 k 1或 2
2
y 3
2
二.过点(1,0)与双曲线x2-y2=4有且只有一个公共点的 直线有多少条? 过点(2,2)呢?过点(3,1)呢?
例2 求过点A(3,-1)且被点A平分的双曲线x2-4y2=4的弦MN 所在的直线方程,并求此时弦MN的长度 3x+4y-5=0
MN 3 5
解题回顾 在解题中要注意先有⊿≥0,而后才有与解有关的中点和弦长 等问题.如果先判定⊿≥0有困难,也可以先求出k,而后代入 方程验证
作业
1.直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1相交于A,B两点,当k 为何值时OA⊥OB
2.直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=6的右支有两个不同的交 点,求实数k的取值范围.
x2 y2 1 3.垂直于直线x+2y-3=0的直线l被双曲线 20 5 截得的弦长为 4 5 ,求直线l的方程
b2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2 0 a y ( x c) b
y ( x c) b
代入得 (b4 a4 ) x2 2a4cx a4c2 a2b4 0 ∴
0 得 x1 x2 0
∴
b4 a 4
∴
y2 1.过双曲线 x 3 1 的右焦点F,作直线l与双曲线的两 2
2
支都相交,则直线l的倾斜角α
, 0, 3 3 的取值范围是__________
y2 1 ,问双曲线上是否存在关于 2.已知双曲线出 x 3
2
直线y=x+4对称的两点?如有算出其中点坐标 (-1,3)