麦克斯韦

4、
D ds = ∫ ρ dV
V
高斯定律
s
s
D ds = ∫ (i D )dV = ∫ ρ dV
V V
i D = ρ
22:55:16
8 8
麦克斯韦方程组的微分形式 麦克斯韦方程组的微分形式
D × H = J + t B × E = t
D = ρ
B = 0
22:55:16
9 9
电流连续性方程（课本P42） 电流连续性方程
全电流定律
电磁感应定律
3、
∫
s
B ds = 0
V
磁通连续性定律
4、 ∫ D ds = ∫ ρ dV
s
高斯定律
22:55:16
5 5
斯托克斯定理： 斯托克斯定理： 矢量场H沿空间任一闭合曲线L的环量等于 该矢量场的旋度穿过以L作为边界曲线的任以 开放曲面S的通量。
∫
c
H dl = ∫ ( × H ) ds
2、
B ∫ c E dl = ∫s t ds B ∫ c E dl = ∫s ( × E ) ds = ∫s t ds B × E = t
电磁感应定律
22:55:16
7 7
3、
∫ ∫
∫ ∫
s
B ds = 0 B ds = ∫ (i B)dV = 0
V
磁通连续性定律
s
i B = 0
d ∫ C Es dl = dt ∫s B ds
得出： 得出：
B E dl = ∫ ds ∫C s t
时变电磁场的基本方程之一， 时变电磁场的基本方程之一，预示着变化的磁场将产生漩涡电场
22:55:16
3 3
2 麦克斯韦位移电流假设 位移电流概念:穿过电场中某以截面的电位移通量 Ψ e 随时间的变化率为通过该截面的位移电流强度，记为 id
id = dΨ e dt
而电场中某一点的电位移矢量随时间的变化率为该 点位移电流密度，记为 J d ，即 J d = D
全电流：传导电流，位移电流， 全电流：传导电流，位移电流，真空或气体中自由电荷运动形成的运流电流 麦克斯韦位移电流假设（全电流定律）： 麦克斯韦位移电流假设（全电流定律）：
t
D ∫C H dl = it = ∫s ( J + t ) ds
n
方程左边
S
ε1
D1n
D1
h
∫ D dS = D nS + D ( n) S + D S '
1 2 s
= ( D1n D2n ) S
穷 小 量 小
ε2
方程右边 Q = ρS 电位移矢量D 的边界条件
D2
D2n
D1n D2n = ρs
用矢量表示 将电场基本方程 ∫ D dS = Q 用于所 s 作的圆柱形表面。 作的圆柱形表面。
S = E×H
为单位时间内垂直通过单位面积的电磁 场能量，即功率流密度矢量。 坡印亭定理的物理意义：当体积内无其它 能源时，单位时间内体积内电磁场能量的 减少等于体积中的功率损耗与经体积表面 流出的功率流之和。
22:55:17 23 23
静态场的情况： （“－”的意义）
∫ E × H ds = ∫ S ds = ∫ J EdV
(
)
22:55:16
I = Jl Sl
（其中 S 的方向为 回路所围面积的法 线方向） 线方向）
n × H1 H2 = 0
(
)
14 14
二、电场强度E 的边界条件 在分界面上作一小的矩形回路， 分居于分界面两侧， 在分界面上作一小的矩形回路，其两边 l 分居于分界面两侧，而高h → 0 。 将方程 ∫ E dl = 0 用于此回路
B D i ( E × H ) = H i E i J iE t t
B ×E = t
19 19
EiD D ( ) = Ei t 2 t H iB EiD i ( E × H ) = ( ) ( ) J iE t 2 t 2 H iB EiD = ( + ) J iE t 2 2 H iB EiD ∫v i( E × H )dv = t ∫v ( 2 + 2 )dv ∫v J i Edv
∫
高斯散度定理
S
J dS =
∫
v
ρ dV = ∫
v
ρ dv t
∫
S
J dS =
∫
v
Jdν = ∫
v
ρ dv t
微分形式
22:55:16
J =
ρ t
10 10
电荷守恒定律：单位时间内由任意闭合曲面内流 出电荷量应等于曲面内的电荷减少量。 积分形式：
微分形式：
dq ρ ∫s J ds = dt = ∫V t dV
H iB EiD ∫ s ( E × H )ids = t ∫v ( 2 + 2 )dv ∫v J i Edv
22:55:17 20 20
1 1 ∫ s ( E × H ) ds + ∫V J EdV = t ∫V 2 E D + 2 H B dV
1.
1 1 E D + H B dV t ∫V 2 2
s
高斯散度定理： 高斯散度定理： 矢量场H穿过空间任一闭合曲面S的通量等于该 矢量的散度在曲面S所包围体积V内的体积分。
∫
22:55:16
s
H ds = ∫ (i H )dV
V
6 6
D ) ds 1、∫ H dl = ∫ ( J + c s t
D × H = J + t
全电流定律
D ∫ c H dl = ∫s ( × H ) ds = ∫s ( J + t ) ds
麦克斯韦对法拉第电磁感应定律的推广： 麦克斯韦对法拉第电磁感应定律的推广： 不但适用于闭合导电回路，也适用于任意空间的 任何回路（不需要导电）
22:55:16
2 2
假设所取的回路c及其所限定的面积 不随时间而变化 则下式中对时间t 假设所取的回路 及其所限定的面积S不随时间而变化，则下式中对时间 及其所限定的面积 不随时间而变化， 的求导数运算和对面积S的求积分运算就可以对调 的求积分运算就可以对调， 的求导数运算和对面积 的求积分运算就可以对调，
22:55:16 12 12
2． 1）分界面上电场的切向分量：电场的切向分量在 分界面上是连续的 2）分界面上磁场的法向分量：磁场的法向分量在 分界面上是连续的
22:55:16
13 13
一、磁场强度H的边界条件 在分界面上作一小的矩形回路， 分居于分界面两侧， 在分界面上作一小的矩形回路，其两边l 分居于分界面两侧，而高h → 0 ， 取H 沿此回路的环积分为 n ◇ 矢量 l 可写为 l = ( S × n) l ∫ H dl = H1 l H2 l c H1t ◇ 方程 ∫ H dl = I 变为 H1 c 1 l ( H1 H2 ) ( S × n) l = Jl Sl
n
将磁场基本方程 ∫ B dS = 0 用于所 S 作的圆柱形表面。 作的圆柱形表面。
S
1 2
B2
B1n
B 1
h
方程左边 ∫ B dS = B1 nS + B2 ( n) S + B S '
s
= ( B1n B2n ) S
小 量 ， 该 面 积 趋 于 零
小 圆 柱 侧 面 积 ， 为 无 穷 h
漩涡电场假设：变化的磁场可以激发漩涡电场， 漩涡电场假设：变化的磁场可以激发漩涡电场， 位移电流假设： 位移电流假设：变化的电场激发漩涡磁场
22:55:16 4 4
麦克斯韦方程组的积分形式
B ds 2、 ∫ c E dl = ∫s t
D ) ds 1、∫ H dl = ∫ ( J + c s t
ρ J = t
媒质的状态方程：
22:55:16
D = εE
B = H
Jc = σ E
11 11
§1.8 电磁场的边界条件 1．为什么需要边界条件： 1）描述媒质分界面两侧电磁场的变化情况， 由于媒质和场量不连续，微分不存在，所以 微分方程不能用。 2）从数学上讲，用麦克斯韦微分方程求解电 磁场时必须有边界条件才能有确定解。用积 分方程求解不需要边界条件，事实上积分方 程就包含了边界条件。我们正是用积分方程 导出边界条件的。
1 ED 和 2
1 H B 2
分别是电场和磁场能 量密度。故 表示体积 V
1 1 ∫ E D + H B dV t V 2 2
内电磁场能量单位时间内的减少量。
22:55:17 21 21
2.
∫ J EdV
V
J EdV = ∫ σE 2 dV + ∫ ρv EdV ∫
V V V
18 18
电磁场能量关系—坡印亭定理 §1.9 电磁场能量关系 坡印亭定理
i ( E × H ) = H i × E E i × H
D × H = J + t
H iB 1 B H ( ) = ( H i + Bi )= t 2 2 t t 1 ( H ) H B [H i + H i ] = Hi t t t 22:55:17 2
磁感应强度B 磁感应强度 的边界条件
B1n = B2n
B2n
用
量表
n B1 B2 = 0
分界面上B 分界面上 的法向分量
22:55:17
(
)
17 17
n × H1 H2 = {
n × E1 E2 = 0
(
)
Jl 0
(
)
n D1 D2 = {0
n B1 B2 = 0
(
)
ρs
(
)
22:55:17
22:55:17
h
n D1 D2 = ρs
(
)
ρs为分界面上的自由电荷面密度
16 16
四、磁感应强度B的边界条件 磁感应强度B 设两种不同的磁介质 1, 2 其分界面的法线方向为 。在分界面上作一小圆柱形表 ，其分界面的法线方向为n。 两底面分别位于介质两侧， 为无穷小量。 面，两底面分别位于介质两侧，底面积为 S ，h为无穷小量。 为无穷小量
l
∫ E dl = E l E
1 l
2
l
n
E1t
( E1 E2 ) ( S0 × n) l = 0
E1
（其中 S0为回路所 围面积的法线方向） 围面积的法线方向）
ε1
ε2
S0
l
E2
E2t
h
因为回路是任意的， 因为回路是任意的，其所围面 的法向也是任意的， 的法向也是任意的，因而有 电场强度E的边界条件： 电场强度E的边界条件：
1 电磁感应定律
法拉第电磁感应定律 一个闭合导电回路的感应电动势
dΦ d ε = = ∫ B ds dt dt s
d ε = ∫ Es dl = ∫ B ds C dt s
22:55:16 1 1
麦克斯韦的漩涡电场假设： 麦克斯韦的漩涡电场假设： 即使导体回路不存在，变化的磁场也将在周围空间激发出感应电场。
2
S
H2 H2t Js
h
n × ( H1 H2 ) Sl = Jl Sl
因为回路是任意的， ◇ 因为回路是任意的，其所围 面的法向也是任意的， 面的法向也是任意的，因而有 ◇ 设分界面上的自由电流面密度为Js ◇ 则回路所围面积上通过的电流为 磁场强度H 的边界条件： 磁场强度 的边界条件：n × H1 H2 = Jl 若分界面上没有自由的表面电流
上式右边第一项表示体积 V 内单位时间内传导电流的热损耗、第二项表示体积 V 内单位时间内电场能转换为运动电荷的动能。 3.
∫ (E × H ) ds
s
22 22
22:55:17
由此可以看出
∫ ( E × H ) ds
s
为单位时间内由体积V的表面S流出 流出（不是流 流出 进）的电磁场能量。故我们假设 假设坡印亭矢量 假设
s s V
(
)
22:55:17
24 24
取一闭合曲面S,S 所包围的体积为 ν ， 从闭合面内流出的总的电流等于单位 取一闭合曲面 时间流出的电荷量。由电荷守恒定律， 内电荷的减少率， 时间流出的电荷量。由电荷守恒定律，它应等于体积 ν 内电荷的减少率，即
S
∫
S
J dS =
dq dt
v
d dt
体积V内体电荷密度 体积 内体电荷密度 ρ 为
n × E1 E2 = 0
或表示为
(
)
E1t = E2t
15 15ຫໍສະໝຸດ 22:55:16介质分界面两侧电场强度的切向分量连续 介质分界面两侧电场强度的切向分量连续 切向分量
三、电位移矢量D 的边界条件 其分界面的法线方向为n， 设两种不同的电介质 ε1, ε 2 ，其分界面的法线方向为 ，在分界面上作一小圆柱形 表面，两底面分别位于介质两侧， 为无穷小量。 表面，两底面分别位于介质两侧，底面积为 S ，h 为无穷小量。