六年级下册奥数试题简单消长、工程、浓度问题全国通用(含答案)

第8讲简单消长、工程、浓度问题
知识网络
1．牛吃草问题
有这样的问题，如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周？这类问题称为“牛吃草”问题。

2．盈亏问题
盈亏问题的基本数量关系：
（盈+亏）÷两次分得的差=份数
（大盈-小盈）÷两次分得的差=份数
（大亏-小亏）÷两次分得的差=份数
3．工程问题
涉及工作量、工作时间和工作效率之间的数量关系的应用题，叫做工程问题。

这类问题的特点是：问题给出一项工程或者一项任务时，并没有给出具体的数量，往往给出某人或几个单独完成或共同完成该工程所需要的时间，要求解答的是完成一定工作任务所需要的时间或在一定时间内所完成的工作。

解答这类问题时，常常将这项工程或任务看做整体“1”，也就是用“1”来表示整个工作量，然后，抓住如下的基本关系式：
工作效率×工作时间=工作量
就可使问题顺利地得到解决。

4．浓度问题
一般地，我们把两种不同物体（其中至少有一种是液体）的混合物称为溶液，其中的一种物体称为溶质（可以是固体，如盐、糖，也可以是液体，如酒精），另一种物体称为溶剂（液体，如水）。

浓度是溶质质量与溶液质量的比值，即：
（1）
由于溶液质量=溶质质量+溶剂质量，所以
（2）
（1）、（2）两式是有关浓度问题的基本关系式。

许多与浓度有关的应用题，都可以通过（l）、（2）两式得到解决。

5．鸡兔同笼问题
鸡兔同笼的基本问题是：已知鸡、兔总头数和总脚数，求鸡、兔各有多少只？
（1）解决鸡兔同笼问题的方法通常是用假设法，解题思路是：
先假设笼子里装的全是鸡，根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数之差除以2，就可以算出共有多少只兔。

（2）解决鸡兔同笼问题的基本关系式是：
鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）。

兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）。

应注意到，这两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，又知总数，就可以算另一个。

（3）鸡兔同笼问题的变型有两类：
将鸡、兔的总头数和总脚数中的“两数之和”变成“两数之差”，这样得到三种情况：
1）已知鸡、兔头数之差和总脚数，求鸡兔各有多少只；
2）已知鸡、兔脚数之差和总头数，求鸡兔各有多少只；
3）已知鸡、兔头数之差和脚数之差，求鸡兔各有多少只。

将基本问题中同笼的是鸡、兔两种不同东西，还可以引申到同笼中不同东西是三种、四种等等。

注意：鸡兔同笼问题的两种变型均可转化成基本问题来解决（详见例题）。

重点·难点
（1）解决牛吃草问题的关键是了解有关牧场的草的情况，即原有草量及每天新增的草量，这时，题目给出的条件往往是上述两种情况，涉及3个量，即牛数、草场面积、天数（时间），使用方法往往是比较的方法。

注意，为比较方便，要使两种情况的草场面积一致。

了解有关牧场草的情况之后，再研究牛的情况。

一般可以从两个不同角度考虑：天数固定，草场的草的总量就知道；每天牧场新增加草量已知，就可以对牛的具体吃草情况分配。

注意，也可以用追及问题的想法处理。

（2）在解答盈亏问题时，不论所求的问题是什么，最主要的是先求出份数，然后再解决其他问题。

学法指导
解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天、每周都在均匀地生长，时间越长，草的总量越多。

草的总量由两部分组成：①某个时间期限前草场上原有的草量；②这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量。

因此，必须设法找出这两个量来。

经典例题
［例1］小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合，问小明解题的起始时间？小明解题共用了多少时间？
思路剖析
要求小明解题共用了多少时间，必须先求出小明解题开始时是什么时刻，解完题时是什么时刻。

（1）小明开始解题时的时刻：因为小明开始解题时，分针与时针正好成一条直线，也就是分针与时针的夹角为180°，此时分针落后时针60×（180÷360）=30（个格），而7点整时分针落后时针5×7=35（个格），因此在这段时间内分针要比时针多走35-30=5（个格），则这一段时间为：
（分）。

所以小明开始解题时是7点分。

（2）小明解题结束时的时刻：因为小明解题结束时，两针正好重合，那么从7点整到这一时刻分针要比时针多走5×7＝35（个格），因此这一段时间为：（分）。

所小明解题
结束时是7点分。

这样小明解题所用的时间就可以求出来了。

解答
先求小明开始解题的时刻：
（分），所以小明开始解题时是7点分。

再求小明结束解题的时刻：
（分），所以小明结束解题时是7点分。

最后求小明解题所用的时间：
7点分-7点分=（分）
答：小明解题共用了分。

［例2］由于打字员的辞职，一个公司积压下一批需要打印的材料，而且每天还要新增加固定数量需要打印的材料。

假设材料以页计数，每个打字员的打字速度是相同的、固定的（单位是页／天）。

如果公司聘任5名打字员，24天就恰好打完所有材料；如果公司聘任9名打字员，12天就恰好打完所有材料。

公司聘任了若干名打字员，工作8天之后，由于业务减少，每天新增的需要打印的材料少了一半，结果这些打字员共用40天才恰好完成打字工作。

问：公司聘任了多少名打字员？
思路剖析
和解决牛吃草问题类似，需要了解打印材料的有关情况：积压下的材料数量和每天增加的材料数量。

设每个打字员的打字速度为单位1／天（具体页数不知道，用单位1表示），比较“如果公司聘任5名打字员，24天就恰好打完所有材料；如果公司聘任9名打字员，12天就恰好打完所有材料。

”可以得到：
由“5名打字员，24天就恰好打完所有材料”得材料总量为
5×24＝120（单位1）
由“9名打字员，12天就恰好打完所有材料”，得材料总量为
9×12＝108（单位1）
比较这两个总量，可以得到材料每天的增加情况：
（120-108）÷（24-12）=l（单位1／天）
进一步，可以得到原有材料的情况：
120-24×1＝96（单位1）
或者108-12×1＝96（单位1）
最后，看一下所求问题中的总量，“工作8天之后，每天新增的材料少了一半，这些打字员共用40天恰好完成。

”计算材料总量
96+l×8+（40-8）×l÷2＝120（单位1）
聘任的打字员人数为
120÷40=3（人）
这里，利用材料总量观察比较简明，而从打字员的工作情况看，就需要一点技巧。

不妨先看看每天新增材料数量如果不变的情况下，人员的具体使用情况。

由于材料增加的速度是1（单位1／天），所以聘任的打字员中可以安排1人专门打印这些新增材料。

再留意一下材料增加的速度变化了，这个打字员的工作情况。

实际上，在剩下的40-8=32天中，这个打字员只需要用一半的精力应付每天新增的材料，剩余的一半精力做什么？帮助做原有的材料，并帮做了
32×1÷2=16（单位1）
其他专门打原有材料的打字员实际工作的总量不是原有的96（单位1），而是
96-16=80（单位1）
这些人（打原有材料）工作40天，需要
80÷40＝2（人）
再考虑专打新增材料的一个人，共有1+2=3（人）。

解答
设每个打字员的打字速度为单位1／天。

由“5名打字员，24天就恰好打完所有材料。

”得材料总量为
5×24=120（单位1）
由“9名打字员，12天就恰好打完所有材料。

”得材料总量为
9×12=108（单位1）
材料每天增加
（120-108）÷（24-12）=1（单位1／天）
原有材料
120-24×1=96（单位1）
或者108-12×1=96（单位1）
实际材料总量
96+l×8+（40-8）×l÷2=120（单位1）
打字员人数为
120÷40=3（人）
答：公司聘任了3名打字员。

[例3]修一条长2．7千米的公路，前6天修好540米，照这样计算，修完这条公路还要多少天？
思路剖析
本题有多种解法：
（l）要求出“修完这条公路还要多少天”，需要两个条件：①还剩下多少没有修；②每天修多少米。

这两个条件虽然题中没有给出，但我们可以通过已知条件求出。

（2）可以先求出修完这条公路一共需要多少天。

然后用总天数减去已经修的天数就可得到本题的结果。

要求一共需要多少天，需用总长度除以每天修多少米，即“单一量”。

总长度是已知的，每天修多少米可用540÷6＝90（米）求得。

（3）可先求总长度是已修完的多少倍，2700÷540＝5，那么，修完这条公路的总天数就应该是6天的多少倍。

因此，用6×5＝30（天）就得到总天数，再用总天数减去已修的天数就得到本题的结果。

（4）可先求出没修的路程是已修路程的多少倍，（2700－540）÷540=4，那么，修完这条公路还要多少天就是已修天数的多少倍，6×4=24（天）。

解答
解法一：2.7千米=2700米
（2700－540）÷（540÷6）=24（天）
☆解法二：2700÷（540÷6）－6＝24（天）
☆解法三：6×（2700÷540）－6＝24（天）
☆解法四：6×［（2700－540）÷540］＝24（天）
答：修完这条公路还要24天。

点津
由本题的解法一、解法二可知，正确地求出单一量的数值是解答归一应用题的关键；弄清题中“照这样计算”等句子的含义，注意抓准题中的数量的对应关系是解答归一应用题的基础。

像本例题这种归一应用题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法来解答，这种方法叫“倍比法”。

如本题的解法三、解法四。

［例4］托儿所小朋友分杏，若每人分2个就多出30个；如果每人分4个，杏正好分完。

阿姨买来多少个杏？
思路剖析
通过读题可以知道，在两种分杏的方案中，第二种方案中每人分得的4个杏比第一种方案中每人分得的2个多了4-2=2（个），也就是第二次分杏时，相当于在实施第一种方案的基础上每人又分到2个杏，而每人分的2个杏，又是从实施第一种方案后剩的30个杏中拿走的。

概括地说，就是每人分2个杏，一共分了30份。

根据这个分析可以求出这个托儿所小朋友的人数，再根据小朋友的人数就可以求出阿姨买来杏的个数。

解答
小朋友人数：30÷（4-2）
=30÷2
=15（人）
杏的个数：4×15=60（个）
答：阿姨买来60个杏。

也可以列综合算式：
30÷（4－2）×4
=30÷2×4
=60（个）
答：阿姨买来了60个杏。

点津
本例题中的两种分配方案中只有盈没有亏，可以理解为盈余30个，缺少0个，然后用盈亏问题的数量关系式。

在列式计算时，要根据自己的能力决定是否用综合算式。

如果能力比较强，能充分理解题意，熟悉题目中的数量关系，建议列综合算式计算。

[例5]甲、乙两个科研小组共同获得一笔奖金，这笔奖金若只给甲组，则平均每人50000元还余40000元；若只给乙组，则每人110000元还缺10000元。

甲组人数是乙组人数的2倍。

这笔奖金一共有多少？
思路剖析
通过读题能发现，假如没有“甲组人数是乙组人数的2倍”这个已知条件，本题就是一道基本的盈亏问题，很容易解答；假如能使两组的人数同样多，本题也能变换成一道基本的盈亏问题。

根据题中的已知条件，有两种方法能使两组人数同样多，第一种方法，乙组再来一份与它同样多的人数，这时两组人数同样多，奖金怎样分呢？只好1人奖金2人平分了，每人得110000÷2＝55000（元），这样分的过程与剩余奖金无关；第二种方法，甲组的人数平均分成2份，调走1份，这时甲组人数就与乙组人数同样多，调走的人把奖金留下，这样留下的人每人得了2份奖金，每人就得50000×2＝100000（元），这样分的过程同样与剩余奖金无关。

上述两种方法都可以把复杂的盈亏问题转换成基本盈亏问题，然后按照基本盈亏的解题思路就可以分析解答了。

解答
☆解法一：假设乙组人数与甲组人数同样多。

甲组人数：（40000+10000）÷（110000÷2-50000）
=50000÷5000=10（人）
奖金总额：50000×10+40000
=500000+40000=540000（元）
答：这笔奖金一共有540000元。

☆解法二：假设甲级人数与乙组人数同样多。

乙组人数：（40000+10000）÷（11000-50000×2）
=50000÷10000=5（人）
奖金总额：110000×5-10000
=550000-10000
=540000（元）
注：两种不同的解法还可以互相验证题答案的正确与否。

[例6]1刘老师准备把一些课外书分发给某班的同学们。

若发给每位同学3本，还余11本；发给每位同学5本，还差3本，问王老师一共有多少本课外书？该班有多少位同学？
解答
该班同学的人数：（11+3）÷（5－3）＝7（人）
☆解法一：本题是一盈一亏问题。

按两种不同分配方案发书，结果书的本数相差为（11+3）本。

产生差异的原因是每人多分了（5-3）本书，由此可算出人数。

书的本数3×7+11=32或5×7-3=32
☆解法二：设该班有x位同学，这样王老师一共有（3x+11）本书，或者（5x-3）本书。

根据王老师所拥有的课外书数目是一不变量，可列方程
3x+11=5x-3
移项11+3=5x-3x
即2x=14
所以x=7
3x+11=32或5x-3=32
答：王老师一共有课外书32本，该班有7位同学。

点津
这是本题的算术解法，利用的是：该班同学的人数等于两次发书的结果的差除以每人两次分配书数的差，即
两次结果差÷两次分配数差=人数
［例7］少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中2人各挖4个树坑，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖完所有树坑，求共有少先队员几人？一共要挖多少个树坑?
思路剖析
本题第二次的任务分配：“如果其中2人各挖4个树坑，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖完”，这里所有少先队员挖的树坑数不一致，可将其改为“如果每人挖6个树坑，还少4个树坑”。

这样，问题就变成典型的一盈（多3个树坑）、一亏（少4个树坑）问题了。

解答
☆解法一：算术解法。

（l）共有少先队员
（3+4）÷（6-5）=（3+4）÷1=7（人）
☆解法二：代数解法。

设有少先队员x人，则总树坑数可表示为5x+3或2×4+（x-2）×6，列方程
5x+3=2×4+（x-2）×6
解此方程，得x=7（人）
一共有树坑：
5x+3=38（个）或2×4+(x-2)×6=38（个）
答：共有少先队员7个，一共要挖38个树坑。

点津
通过上述例题，我们不难发现，两种解法中，代数解法的思路更具一般性。

设某字母x表示一个未知数，然后让未知数x直接参与题目中某一个不变量的表示，利用两次分配的结果，表示出两种形式，因其相等，所以可列方程，然后解方程，就可以求出未知数的值了。

［例8］某工厂的一个车间，组装一批电脑。

当每个工人在自己的岗位上工作时，9个小时可完成这项任务；如果交换工人A与B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1小时完成这项任务；如果交换工人C与D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可提前1小时完成这项任务。

问：如果同时交换A与B及C与D的工作岗位，其他工人生产效率不变，可以提前多少时间完成这项任务？
思路剖析
工作效率问题的基本关系式，即
工作效率×工作时间=工作量
虽然很简单，但是实际的生产问题要复杂得多。

这是因为实际生产中一项任务的完成要涉及诸多环节，某一环节的工作效率发生变化后，其他环节的工作效率也相应地随之发生改变。

在本例题中，我们不可由已知“A与B交换工作岗位后，可提前1小时完成任务；C与D交换工作岗位后，也可提前1小时完成任务”，简单地得出，同时交换A与B及C与D的工作岗位，可提前1＋l=2（小时）完成这项任务。

事实上，A与B交换工作岗位后，还有一个条件是“其他工人的生产效率不变”，也就是说，交换岗位的工人们是两两互相影响对方的，而对其他工人的效率不发生影响；C 与D交换岗位的情形也一样。

同时交换A与B及C与D的工作岗位后，其整个生产计划与分别只交换A与B，或者只交换C与D的情形是不一样的。

下面我们给出本题的三种解法。

解答
☆解法一：（1）设总工作量为1，原来全车间每小时完成。

（2）A与B交换后，8小时完成。

全车间每小时完成。

由于其他工人工作效率不变，所以，A 与B每小时多了；同时，C与D交换后，每小时也多干了。

（3）A与B、C与D同时交换后，这四人每小时多干，全车间每小时完成，所以，完成这项任务需要
（小时）
比原来提前
（小时）
☆解法二：题目中8和9的最小公倍数是72，所以把这项任务分成72份，原来每小时全车间完成72÷9＝8（份），每份需要
60÷8=7．5（分钟）
A与B交换后，每小时完成72÷8=9（份），比原来多干了1份，由于其他工人工作效率不变，所以这一份是A、B两人干的。

同理，C与D交换后，这两人每小时也多干了1份任务。

同时交换后，A与B、C与D每小时都多干1份任务，故全车间工人每小时干了8+l+1＝10（份）任务，每份任务只要60÷10=6（分钟）即可完成。

所以，每干1份任务，可提前7．5-6=1．5（分钟），
72份任务一共可提前72×1．5＝108（分钟）（小时）。

☆解法三：A与B交换后，全车间在8小时内完成原来9小时的工作。

由于其他工人工作效率不变，所以A、B二人在8小时中多干了原来全车间1小时的工作；同时，C与D交换后，这二人在8小时中也多干了原来全车间1小时的工作。

A与B、C与D同时交换后，他们四人就在4小时内多干了原来全车间1小时的工作。

这就是说，
A与B、C与D同时交换后，全车间在4小时内干了原来全车间在5小时内干的工作，缩短工作时间。

原来9小时的工作，在A与B、C与D同时交换后，就可以缩短（小时）
答：可以提前小时完成这项任务。

发散思维训练
1．22头牛吃33亩草地上的草，54天可以吃完。

17头牛吃28亩同样草地上的草，84天可以吃完。

问：同样的牧草40亩可供多少头牛食用24天（每亩草地原有草量相等，草生长速度相等）？
2．在6点和7点之间，两针什么时刻重合？
3．现有一瓶浓度为38％的橘子汁水800克，问这瓶橘子汁水中含橘子汁和水各多少克？
4．在同一个笼子中，有若干只鸡和兔，从笼子上看有40个头，从笼子下数有130只脚，那么这个笼子中装有兔、鸡各多少只？
5．一个牧场，草每天匀速生长，每头牛每天吃的草量相同，17头牛30天可以将草吃完，19头牛只需要24天就可以将草吃完，现有一群牛，吃了6天后，卖掉4头牛，余下的牛再吃2天就将草吃完。

问没有卖掉4头牛之前，这一群牛共有多少头？
参考答案
发散思维训练
1．解：
一亩草地一天新生长草量可供多少头牛吃一天？（17×84÷28－22×54÷33）÷（84－54）=0．5（头）。

40亩草地原有草量可供多少头牛吃一天？40×（17×84－84×0．5×28）÷28=360（头）。

40亩牧草可供多少头牛食用24天？
0.5×40+360÷24=35（头）。

答：40亩草地可供35头牛食用24天。

2．解：
在6点整时，分针落后时针5×6=30（个）格，到分针与时针重合时，分针要比时针多走30个格，而每分钟分钟比时针多走（）个格，所以到达这一时刻所用的时间为：（分）。

因此所求的时刻为6点分。

答：在6点分时分针与时针重合。

3．解：
由已知浓度和溶液质量，要求的橘子汁质量为
800×38％=304（克）
水的质量=溶液质量一溶质质量
=800－304=496（克）
答：含橘子汁304克，水496克。

4．解：
题目中给出了鸡、兔共有40只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看做是一只脚，两只后脚也捆起来，也看成是一只脚，那么兔子就成了2只脚（即把兔子都当成两只脚的鸡）。

鸡兔总的脚数是40×2=80（只）比题中所说的130只要少。

130－80=50（只）
现在松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2，即80+2=82。

再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，即82+2=84，…，一直继续下去，直至增加到50。

因此，兔子数是
50÷2=25（只）
实际上，这就是基本关系式
（130－40×2）÷（4－2）
=（130－80）÷2
=50÷2
=25（只）
40-25=15（只）
答：笼中有兔25只、鸡15只。

5．解：
类似前面的例题，首先要了解牧场上草的情况，即关键要知道两个量：一个是牧场原有的草量，另一个是牧场每天生长的草量。

不同的是，本题牧场的面积一定，因此可直接考虑由于时间不同而引起的牧草总量的变化。

作为单位，不妨把每头牛每天吃的草量取作单位1。

因为由“17头牛30天可以将草吃完”得总草量为：
17×30=510（单位1）
再由“19头牛24天可以将草吃完”得总草量为
19×24=456（单位1）
比较上述两种情况，可知牧场每天生长的草为
（510－456）÷（30－24）=9（单位1）
牧场原有的草量为
510－9×30=240（单位1）
或者456－9×24＝240（单位1）
从题目条件“吃了6天后，卖掉4头牛，余下的牛再吃2天就将草吃完”可知牧场的草共生长了6+2=8天，进而可算出这8天草的总量为240+9×8＝312（单位1）。

但是如果假设没有卖掉牛，也就是卖掉的4头牛也吃8天，那么总草量将为：
312+4×2＝320（单位1）
所以卖掉4头牛之前这群牛8天吃了320单位1．即牛的总数为：320÷8=40（头）。

设每头牛每天吃的草量为单位1，由“17头牛30天可将草吃完”，得知总草量为：
17×30＝510（单位1）（1）
再由“19头牛24天可将草吃完”，求得总草量为
19×24=456（单位1）（2）
因为总草量（1）与总草量（2）的差
510-456＝54（单位1）
所以总草量（1）比总草量（2）多长的时间为
30天一24天=6天
从而牧场草每天生长的草量为
54÷6=9（单位1）
由此可知：牧场原有的草量为
510-9×30＝240（单位1）
或者456－9×24＝240（单位1）
由于牧场的草共生长的时间为
6+2=8（天）
所以牧场生长的草量为
9×8=72（单位1）
进而可知牧场在8天内的总草量为
240+72=312（单位1）
假设没有卖牛，即让卖掉的4头牛也吃了8天，算得总草量为
312+4×2＝320（单位1）
因此，这群牛的头数为
320+8＝40（头）
答：没有卖掉4头牛之前，这群牛共有40头。

11。