【 解析】【 首发】吉林省吉林市普通高中2014届高三上学期期末复习检测(一模)数学(文)试题Word版含解析

吉林市普通高中2013—2014学年度高中毕业班上学期期末复习检测
数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形
码上的准考证号，并将条形码粘贴在答题卡指定的位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非
选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卡面清洁，不折叠、不破损。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

1． 已知集合{}5,6,7,8,9M =和{}1,3,5,7,9,11N =,则M
N =
A ． {}5,7,9 B. {}1,3,5,7,9 C. {}1,3,5
D. φ
【答案】A
【KS5U 解析】因为集合{}5,6,7,8,9M =，{}1,3,5,7,9,11N =,所以M
N ={}5,7,9。

2. 复数1i i
-=
A. 2i
B. 2i -
C. 0
D.
2
i 【答案】A
【KS5U 解析】12i i i i i
-=+=。

3. 一项射击实验的标靶为圆形.在子弹命中标靶的前提下，一次射击能够击中标靶的 内接正方形的概率是 A. 50%
B.
3
π
C. 0.2π
D.
2
π
【答案】D
【KS5U 解析】设正方形的边长为a
，则圆的半径为
2
a ，所以圆的面积为212a π，正方形
的面积为2
a ，所以一次射击能够击中标靶的内接正方形的概率是
2=S S π
正圆。

4. 执行如图所示的程序框图，若每次分别输入如下四个函数：
①()1f x x =+；
②1,0
()1,0x f x x >⎧=⎨-<⎩
；
③1()f x x x -=+；
④()lg f x x =． 则输出函数的序号为
A. ①
B. ②
C. ②③
D. ①④
【答案】D
【KS5U 解析】由程序框图知：输出的函数不是奇函数。

又 ①()1f x x =+是偶函数；②1,0
()1,0
x f x x >⎧=⎨-<⎩是奇函数；③1()f x x x -=+是奇函数；④()lg f x x =是非奇非偶函数． 因
此输出函数的序号为①④。

5. 已知数列{}n a 为等差数列，且41043
a a π
+=，则7tan a 的值为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【KS5U 解析】由等差数列的性质得：(
)7410788=2tan 33
a a a a ππ+=
==，所以tan 6. 已知曲线C ：22220x y x y +-+=与直线L ：2(2)y k x +=-，则C 与L 的公共点
A. 有2个
B. 最多1个
C. 至少1个
D. 不存在
【答案】C
【KS5U 解析】圆心到直线L 的距离为：
d r =
=
≤=，所以C 与
L 的至少有一个公共点。

7. 正方体1111ABCD A BC D -中
E 为棱1BB 的中点（如图1），用过点1,,A E C 的平 面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【KS5U 解析】取1DD 的中点F ，连接AF 、1C F ,则剩余几何体为11111A B C D AFC E -,因此其左视图为选项C 。

8. 设函数()sin(2)3
f x x π
=+
，则下列结论正确的是
A. ()f x 的图像关于直线3
x π
=对称
B. ()f x 的图像关于点(
,0)4
π
对称
C. ()f x 的最小正周期为π
D. ()f x 在[0,
]6
π
上为增函数
【答案】C 【KS5U 解析】22
T π
π==，因此正确的为选项C 。

9. 已知等边ABF ∆的顶点F 是抛物线21:2C y px =的焦点，顶点B 在抛物线的准
线l 上且AB ⊥l ,则点A 的位置
A
B
C
D
A B C D 1
1
1
1
E
图1
A. 在1C 开口内
B. 在1C 上
C. 在1C 开口外
D. 与p 值有关
【答案】B
【KS5U 解析】因为点B 在准线上，F 为抛物线的焦点，且满足AB=AF ，所以点A 在抛物线上，因此选B 。

10. 已知正数b a ,满足304＝＋b a ，使得
b
a 1
1+取最小值的实数对(,)a b 是 A ．(5，10） B ．（6，6）
C ．（10，5）
D ．（7，2）
【答案】A 【
KS5U
解
析
】
因
为
30
4＝＋b a ，所以
b a 11+()(
1111414552230303
b a a b a b a b ⎛⎫⎛
⎫=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
当且
仅当4,4305,10b a a b a b a b
=+===，即时等号成立，因此选A 。

11. 设函数()()()()()f x x a x b x c x d =----其中a b c d <<<，则0)(='x f 有
A. 分别位于区间(,),(,),(,)a b b c c d 内的三个根
B. 四个不等实根
C. 分别位于区间(,),(,),(,),(,)a a b b c c d -∞内的四个根
D. 分别位于区间(,),(,),(,)a a b b c -∞内的三个根
【答案】A
【KS5U 解析】因为()()()()()f x x a x b x c x d =----，所以画出函数()f x 的图像，由图像可知：函数()f x 在区间(,),(,),(,)a b b c c d 内分别有极小值、极大值、极小值点。

因此
0)(='x f 分别位于区间(,),(,),(,)a b b c c d 内的三个根。

12. 关于x 的方程1
x e
--0kx =（其中e 2.71828=是自然对数的底数）的有三个不
同实根，则k 的取值范围是 A. {-2，0，2} B. （1，+∞） C. {k |2
1k >}
D. {k |k > e }
【答案】C
【KS5U 解析】设()00,A x y 为函数1x y e -=上的一点，则函数1x y e -=在点()00,x y 处的切线方程为()0
01
10x x y e e x x ---=-，把原点代入得：001,1x y ==，所以要使关于x 的方程
1x e --0kx =（其中e 2.71828=是自然对数的底数）的有三个不
同实根，则k 的取值范围是2
1k >。

第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二. 填空题：（本大题共4小题，每小题5分, 共20分）
13. 设变量,x y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≥+-0300
5x y x y x ，则目标函数x y z -=2的最小值
为 .
【答案】-9
【KS5U 解析】画出约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≥+-03005x y x y x 的可行域，由可行域知：目标函数x y z -=2过
点（3，-3）时取最小值，其最小值为-9.
14.若A 、B 、C 、D 四点共线，且满足(3,2)(0)AB a a a =≠，(2,)CD t =，则
t = .
【答案】
43
【KS5U 解析】因为A 、B 、C 、D 四点共线，所以340,0at a a -=≠又，所以t =
43。

15. 若α为锐角，且3cos()6
5π
α+=
，则sin(2)3
π
α+= . 【答案】
24
25
【KS5U 解析】因为
α为锐角，且3c o s ()
6
5π
α
+=，所以4
s i n ()65
πα
+=，所以24
sin(2)2sin()cos()36625
πππααα+=++=。

16. 下列说法正确的是 .(只填序号)
① 函数()y f x =的图象与直线1x =的交点个数为0或1; ② “a c b d +>+”是“a b >且c d >”的充分而不必要条件；
③ 命题“存在x R ∈，使得2
250x x ++=”的否定是“对任意x R ∈，都有
2250x x ++≠”.
【答案】(1)(3)
【KS5U 解析】由函数的定义可知：函数()y f x =的图象与直线1x =的交点个数最多有一个，所以①正确；a c b d +>+不一定是a b >且c d >，因此②不正确；特称命题的否定是全称命题，因此③正确。

三. 解答题
17. (本小题满分10分) 已知A B C 、、为△ABC 的三个内角，且其对边分别为
a b c 、、.若(2cos
,sin ),(cos ,2sin ),2222
B B B B
p q ==-且1p q =-. ( I ) 求B ；
( II ) 若b =S =
ac 、a c +的值.
18. (本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+
（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求数列11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和.n T
19．(本小题满分12分)
某河流上的一座水利发电站，每年六月份的发电量Y （单位：万千瓦时）与该河 流上游在六月份的降雨量X （单位：毫米）有关。

据统计，当X=70时，Y=460；
X 每增加10，Y 增加5. 已知近20年的X 值为：
140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160.
（I ）完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
（II ） 求近20年降雨量的中位数和平均降雨量；
（III ）假定2014年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并
将频率视为概率，求2014年六月份该水力发电站的发电量不低于520（万 千瓦时）的概率.
20. （本题满分12分）
如图，在四棱锥P A B C D -中，
90ABC ACD ∠=∠=︒
,60BAC CAD ∠=∠=︒, PA ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点，22PA AB ==.
( I ) 求证：CE ∥平面PAB ; ( II ) 求四面体PACE 的体积.
B
D
21. (本小题满分12分)
已知圆锥曲线C 的焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2
3
，其上的动点P 满足12||||4PF PF +=,
( I ) 求曲线C 的标准方程；
( II ) 若曲线C 的一条切线l 交x 、y 轴正半轴交于,A B 两点，求AOB S ∆的最小值和
此时直线l 的方程.
22. (本小题满分12分)
已知函数()ln f x x =
(1) 若直线1y kx =+与函数)(x f 的图象相切，求实数k 的值； (2) 若函数()()x
e g x
f e =，a b <，试证明
()()2g a g b +>()()
g b g a b a
--.
命题、校对：董英武 李红 任宝江 孙长青
吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测
数学(文科)参考答案与评分标准
一、选择题 AADDA CCCBA AC
二、填空题： 13：-9 ； 14：
43； 15： 2425
； 16： (1)(3) 17 、答案：解：(1)
(2cos
,sin ),(cos ,2sin ),2222
B B B B
p q ==- ∴2
22cos
2sin 2cos 22
B B
p q B =-=， (2分) 又1p q =- 1
cos 2
B ∴=-
，又(0,)B π∈ (3分) 23
B π
∴=
. (4分)
(2)
1sin 2ABC
S
ac B =
== 4,ac ∴= (6分) 由余弦定理，得2
2
2
2
2
2cos b a c ac B a c ac =+-=++ (8分)
又b =4,ac = 216()a c ∴=+，故4a c +=. (10分)
18、答案：1）当1n =时，113a S ==； (1分)
当2n ≥时，()
()()2
2
1212121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦
(3分)
对1=3a 仍成立。

(4分)
所以，数列{}n a 的通项公式:21n a n =+ (5分) 2)由1）知
()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫
==- ⎪++++⎝⎭ (7分) 所以，11111111
123557792123n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
111232369
n
n n ⎛⎫=-= ⎪
++⎝⎭ (12分)
19、19答案：1）
320，720，220
(3分) 2）中位数是160 (4分)
平均降雨量()1
701103140416072003220215620
x =
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= (6分) 3）由已知可设 1
2
Y X B =+ 因为，X=70时Y=460所以，B=425 所以，1
4252
Y X =
+ (9分) 当Y ≥520时,X ≥190
所以，发电量不低于520（万千瓦时）包含降雨量200和220两类，它们彼此互斥 (11分)
所以，发电量低于520（万千瓦时）的概率32120204
P =
+= (12分) 法二：P （“发电量不低于520万千瓦时”）
=P （Y ≥520）=P （X ≥190） (9分)
=P （X=200）+P （X=220）=
32120204
+= (11分) 故今年六月份该水利发电站的发电量不低于520（万千瓦时）的概率为：1
4
(12分)
20、答案： 答案：1)
法一： 取AD 得中点M ，连接EM,CM. 则EM//PA
因为,,EM PAB PA PAB ⊄⊂平面平面
所以，//EM PAB 平面 （2分） 在Rt ACD 中，60,CAD CM AM ∠=︒= 所以，60ACM ∠=︒
而60BAC ∠=︒,所以,MC//AB. （3分） 因为,,MC PAB AB PAB ⊄⊂平面平面 所以，//MC PAB 平面 （4分） 又因为EM
MC M =
所以，//EMC PAB 平面平面
因为,//EC EC PAB ⊂平面EMC 所以，平面 （6
法二： 延长DC,AB,交于N 点，连接PN. 因为60,NAC DAC AC CD ∠=∠=︒⊥ 所以，C 为ND 的中点. （3分）
M E
P
D
C
B
A N
D
因为E 为PD 的中点 所以，EC//PN
因为,,EC PAB PN PAB ⊄⊂平面平面
//EC PAB 所以，平面 （6分）
2)
法一：由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= （7分） 因为，PA ABCD ⊥平面 所以，PA CD ⊥ （8分） 又因为,CD AC AC
PA A ⊥=
所以， CD PAC ⊥平面 （10分） 因为E 是PD 的中点
所以点E 平面PAC 的距离1
2
h CD =
= 1
2222
PAC
S
=
⨯⨯=
所以，四面体PACE 的体积11233PAC
V S h =
⨯=⨯= （12分）
法二：由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=因为，PA ABCD ⊥平面
所以，1
12333
P ACD ACD
V S PA -=
⨯=⨯⨯= （10分） 因为E 是PD 的中点
所以，四面体PACE 的体积12P ACD V V -==
（12分）
21 (1)2
214
x y += （3分） 说明 求a 、c 、b 各一分 (2)由已知直线l 的斜率存在且不为0，l 交x 、y 轴正半轴交于A 、B 两点可设方程为
(0,0)y kx b k b =+<> （4分）
22
14
y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得 222
(41)8440k x k b x b +++-= （6分） 2222644(41)(44)0k b k b ∆=-+-= 2241b k ∴=+ （8分）
2111114222222AOB
b b S b k k k k k k
∆=-==+=+≥
（9分） 当且仅当1
1
2(k 0),k 22k k =
<=-即时等号成立，此时b =（11分） 直线l 的方程1
2
y x =-
+AOB ∆面积的最小值为2. （12分）
22 （1）
()ln f x x = 1
()(0)f x x x
'∴=
> （1分） 直线1y kx =+与函数)(x f 的图象相切，可设切点坐标（00,x y ）
000
1
()(0)f x k x x '∴=
=> 可得01x k =代入1y kx =+ 解出02y = （3分）
将切点坐标代入()ln f x x =得11()ln 2f k k == 21
k e
∴= （5分）
（2）()()ln x x
e e x g x
f e e e === （6分）
()()()()()()2()
222()a b b a a b b a g a g b g b g a e e e e b a e e e e b a b a b a +-+--+--∴-=-=
--- [()(1)2(1)]2()
b a b a a
b a e e e b a ----+--=-
()()[()2()2]2()
b a b a a
b a e e b a e b a -----+-+=
- （7分） 说明 可以不是这个结构 整理正确就可以赋相同分值
002()
a
a
e b a e
b a -->>∴>-且 （8分）
令t b a =- 说明 可以不进行等量代换。

构造其他函数结构正确得1分，整理
分析函数性质正确再 得2分 应用性质并写清结论再得1分 设()22(0)t t h t te e t t =-++> ()1(0)
t t h t te e t '∴=-+>
（9分） ()1(0)t t m t te e t =-+>设 ()0(0
)t m t t e t '∴=>> （10分） ()m t ∴在(0,)t ∈+∞上单调递增，又(0)0()0()0m m t h t '=∴>>即在(0,)t ∈+∞恒成立。

()h t ∴在(0,)t ∈+∞上单调递增，又(0)0()0h h t =∴>在(0,)t ∈+∞恒成立。

()()[()2()2]02()
b a b a a b a e e b a e b a -----+-+∴>-
()()()()
02g a g b g b g a b a
+-∴
->-
即a b <时，()()2g a g b +>()()
g b g a b a
-- （12分）。