步步高高三数学大一轮复习9.6双曲线课件

(2－k2≠0)．①
[6 分]
∴x0＝x1＋2 x2＝k21－－kk2. 由题意，得k21－－kk2＝1，解得 k＝2.
x2 2
k(1 k) . 2k2
k(1 k) 2 k2
1, 解得k
2.
∴存在直线l:y=2x-1与双曲线交于A、B两点，并 且点p是线段AB的中点.
审题视角 (1)本题属探索性问题，若存在可用 点差法求出 AB 的斜率，进而求方程；也可以 设斜率 k，利用待定系数法求方程．(2)求得的 方程是否符合要求，一定要注意检验．
性 质 实虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的 长|A1A2|＝2a；线段 B1B2 叫做双曲线 的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做 双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的
虚半轴长
a、b、c 的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
[难点正本 疑点清源] 1．双曲线中 a，b，c 的关系
2．双曲线方程：|k|x－2 2＋5－y2 k＝1，那么 k 的取 值范围是 (－2,2)∪(5，＋∞) ．
解析 由题意知(|k|－2)(5－k)<0， 解得－2<k<2 或 k>5.
3．若双曲线ax22－by22＝1 的一条渐近线方程为3x＋
10 y＝0，则此双曲线的离心率为___3_____．
程． (1)已知双曲线的渐近线方程为 y＝±23x，且过 点 M 92，－1； (2)与椭圆4x92 ＋2y42 ＝1 有公共焦点，且离心率 e＝54.
解(1)∵双曲线的渐近线方程为 2x±3y＝0，
∴可设双曲线的方程为 4x2－9y2＝λ (λ≠0)． 又∵双曲线过点 M 92，－1， ∴λ＝4×841－9＝72.
探究提高 在研究双曲线的性质时，实半轴、 虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一 个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较 多．由于 e＝ac是一个比值，故只需根据条件得 到关于 a、b、c 的一个关系式，利用 b2＝c2－ a2 消去 b，然后变形求 e，并且需注意 e>1.
变式训练 3 已知双曲线的中心在原点，焦点 F1、F2 在 坐标轴上，离心率为 2，且过点 P(4，－ 10)． (1)求双曲线方程； (2)若点 M（3,m）在双曲线上，求证： MF1 MF 2 0 ; (3)求△F1MF2 的面积．
学生解答展示
解：设点A（x,y）,B(x2,y2)在双曲线上，
且线段AB的中点为（x0,y0）.若直线l的斜率不存 在，显然不符合题意.
设过点p的直线l的方程为y-1=k(x-1),
y kx 1 k
由
x2
y2 2
1
得(2 k 2 )x2 2k(1 k)x
（1-k2）-2=0.
x0
x1
又 e＝54，∴λ4－9－24λ＝2156－1，解得 λ＝33. ∴双曲线的标准方程为1x62 －y92＝1.
题型三 双曲线的几何性质
例 3 中心在原点，焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线
有共同的焦点 F1，F2，且|F1F2|＝2 13，椭圆的长半 轴与双曲线实半轴之差为 4，离心率之比为 3∶7.
MF1• MF2 ＝0.
(3)解 △F1MF2 的底|F1F2|＝4 3，
△F1MF2 的高 h＝|m|＝ 3，∴ ＝6. SF1MF2
易错警示
17．忽视直线与双曲线相交的判断致误 试题：(12 分)已知双曲线 x2－y22＝1，过点 P(1,1)能否作一条直线 l，与双曲线交于 A、
B 两点，且点 P 是线段 AB 的中点？
3．渐近线与离心率 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线的斜率
为
b a
＝
b2 a2
＝
c2－a2 a2 ＝ e2－1. 可以看
出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表
示双曲线张口的大小．
1．双曲线 mx2＋y2＝1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m＝__－__14____.
解析 由题意知 a2＝1，b2＝－m1 ， 则 a＝1， b＝ －m1 . ∴ －m1 ＝2，解得 m＝－14.
(1)解 ∵e＝ 2，∴可设双曲线方程为 x2－y2＝λ. ∵过点(4，－ 10)，∴16－10＝λ，即 λ＝6. ∴双曲线方程为 x2－y2＝6.
(2)证明 方法一 由(1)可知，双曲线中 a＝b＝
6，
∴c＝2 3，∴F1(－2 3，0)，F2(2 3，0)，
∴ kMF1 ＝3＋m2
， 3
k
MF2
思维启迪：设双曲线方程为ax22－by22＝1，求双 曲线方程，即求 a、b，为此需要关于 a、b
的两个方程，由题意易得关于 a、b 的两个
方程．
解 方法一 (1)设双曲线的方程为ax22－by22＝1，
ba＝43， 由题意，得－a232－2 b232＝1， 故所求双曲线的方程为x92－y42＝1.
＝3－m2
， 3
kMF1 ·kMF2 ＝9－m212＝－m32.
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故 · =-1, k k MF1 MF2
MF1 MF 2,MF1• MF 2 0
方法二 MF1＝(－3－2 3，－m)，
MF2 ＝(2 3－3，－m)， MF1• MF2 ＝ (3＋ 2 3)×(3－2 3)＋ m2＝ －3＋ m2. ∵M 点在双曲线上，∴9－m2＝6，即 m2－3＝0，
ay22－bx22＝1 (a>0，b>0)
范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a 或 y≥a
性
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
质
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0,－a),A2(0，a)
渐近线 离心率
y＝±bax
y＝±abx
e＝ac，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2＋b2
集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c， 其中 a、c 为常数且 a>0，c>0：
(1)当 a<c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当 a＝c 时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当 a>c 时，P 点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程
图 形
ax22－by22＝1 (a>0，b>0)
点评 本题的关键是运用双曲线的定义将点 P 到左焦点距离转化为点 P 到右焦点距离解决．
题型二 求双曲线的标准方程
例 2 根据下列条件，求双曲线方程： (1)与双曲线x92－1y62 ＝1 有共同的渐近线，且
过点(－3,2 3)； (2)与双曲线1x62 －y42＝1 有公共焦点，且过点
(3 2，2)．
分别为 a、b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为
m、n，
a－m＝4
则 7·
a13＝3·m13
，
解得 a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.
∴椭圆方程为4x92 ＋3y62 ＝1，双曲线方程为 x92－y42＝1.
(2)不妨设 F1、F2 分别为左、右焦点，P 是第一 象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14， |PF1|－|PF2|＝6， 所以|PF1|＝10，|PF2|＝4. 又|F1F2|＝2 13， ∴cos∠F1PF2＝|PF1|2＋2|P|PFF1|2|P|2－F2||F1F2|2 ＝102＋2×42－10×2 4132＝45.
(1)求这两曲线方程；
(2)若 P 为这两曲线的一个交点，求 cos∠F1PF2 的值．
思维启迪：
设椭圆方程为ax22＋by22＝1 (a>b>0)，
双曲线方程为
x2 m2
y2 n2
1(m>0,n>0)
→
分别求 a,b,m ,n 的值 →
利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求得 cos F1 P F2
解 (1)由已知：c＝ 13，设椭圆长、短半轴长
将点(3 2，2)代入得 k＝4， ∴所求双曲线方程为1x22 －y82＝1.
探究提高 求双曲线的方程，关键是求 a、b，在解
题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系，
并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方
程为 ax±by＝0，可设双曲线方程为 a2x2－b2y2＝λ
(λ≠0)．
变式训练 2 根据下列条件求双曲线的标准方
双曲线中有一个重要的 Rt△OAB(如右图)， 它的三边长分别是 a、b、c.易 见 c2＝a2＋b2，若记∠AOB＝θ， 则 e＝ac＝co1s θ.
2．双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2|| ＝2a，其中 2a<|F1F2|，这里要注意两点： (1)距离之差的绝对值．
(2)2a<|F1F2|. 这两点与椭圆的定义有本质的不同： ①当|MF1|－|MF2|＝2a 时，曲线仅表示焦点 F2 所对应的一支； ②当|MF1|－|MF2|＝－2a 时，曲线仅表示焦 点 F1 所对应的一支； ③当 2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以 F1、 F2 为端点向外的两条射线； ④当 2a>|F1F2|时，动点轨迹不存在．
4 (2)设双曲线方程为ax22－by22＝1.
解得 a2＝94，b2＝4.
由题意易求 c＝2 5. 又双曲线过点(3 2，2)，∴3a222－b42＝1.
又∵a2＋b2＝(2 5)2，∴a2＝12，b2＝8. 故所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
方法二 (1)设所求双曲线方程为x92－1y62 ＝λ (λ≠0)， 将点(－3,2 3)代入得 λ＝14， ∴所求双曲线方程为x92－1y62 ＝14. (2)设双曲线方程为16x－2 k－4＋y2 k＝1，
解析 设右焦点为 F′，由题可知 F′坐标为(4,0)， 根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝4，∴|PF|＋|PA|＝4 ＋|PF′|＋|PA|， ∴要使|PF|＋|PA|最小，只需|PF′|＋|PA|最小即可， |PF′|＋|PA|最小需 P、F′、A 三点共线， ∴最小值即为 4＋|F′A|＝4＋ 9＋16＝4＋5＝9.
规范解答
解 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段 AB 的中点为(x0，y0)， 若直线 l 的斜率不存在，显然不符合题意．[2 分]
设经过点 P 的直线 l 的方程为 y－1＝ k(x－1)，
即 y＝kx＋1－k. y＝kx＋1－k，
由x2－y22＝1，
[3 分]ຫໍສະໝຸດ 得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0
故填65.
答案
5 6
探究提高 在圆锥曲线的问题中，充分应用定 义来解决问题可以使解答过程简化．本题从双 曲线的方程中可以确定 A、C 就是双曲线的焦 点，从而根据双曲线的定义可以确定△ABC 的 三边的关系，再巧妙应用正弦定理就可以轻松 求解．
变式训练 1 已知 F 是双曲线x42－1y22 ＝1 的左焦点， A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的 最小值为___9_____．
∴双曲线方程为 4x2－9y2＝72， 即1x82 －y82＝1.
(2)方法一 (设标准方程) 由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，
即 c＝5 且焦点在 x 轴上， ∴可设双曲线的标准方程为ax22－by22＝1 (a>0，b>0)，且 c＝5.
又 e＝ac＝54，∴a＝4，∴b2＝c2－a2＝9. ∴双曲线的标准方程为1x62 －y92＝1. 方法二 (设共焦点双曲线系方程) ∵椭圆的焦点在 x 轴上， ∴可设双曲线方程为49x－2 λ－λ－y224＝1 (24<λ<49)．
D．4
解析 依题意得，双曲线的右焦点坐标是(2,0)， 一条渐近线的方程是 y＝ 3x，即 3x－y＝0，
因此焦点到渐近线的距离为 2332＋1＝ 3.
题型分类 深度剖析
题型一 双曲线的定义
例 1 在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC 的
顶点 A(－6，0)和 C(6,0)，若顶点 B 在双曲
解析 渐近线方程为3x＋y＝0，∴ba＝13.
又 a2＋b2＝c2，从而ac＝
310，即 e＝
10 3.
4．双曲线 y2－x2＝2 的渐近线方程是( A )
A．y＝±x
B．y＝± 2x
C．y＝± 3x
D．y＝±2x
5．已知双曲线 x2－y32＝1，那么它的焦点到渐
近线的距离为( B )
A．1 B. 3 C．3
线
x2 25
－
y2 11
＝
1
的 左 支 上 ， 则 sin
A－sin sin B
C＝
________.
解析 如图，由条件可知|BC|－|BA|＝10，且|AC|
＝12，
又在△ABC 中，有s|BinCA| ＝s|iAnBC| ＝
s|AinCB| ＝2R，
sin 从而
A－sin sin B
C＝|BC||A－C||AB|＝56.