模块综合检测

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一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“∃x 0∈R,2x 0－3>1”的否定是( ) A ．∃x 0∈R,2x 0－3≤1 B ．∀x ∈R,2x －3>1 C ．∀x ∈R,2x －3≤1
D ．∃x 0∈R,2x 0－3>1
解析：选C 由特称命题的否定的定义即知．
2．函数y ＝－1
x 的图象在点(1，－1)处的切线的方程是( )
A ．x －y －2＝0
B ．2x －2y ＋3＝0
C ．x ＋y ＝0
D ．x －y ＝0
解析：选A ∵y ′＝1
x
2，∴y ′
|
x ＝1＝1
，
∴y ＝－1
x 在点(1，－1)处的切线的斜率为1， ∴切线的方程为y －(－1)＝x －1， 即x －y －2＝0，故选A.
3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－1
8
C ．8
D ．－8
解析：选B 由y ＝ax 2得x 2＝1a y ,∴1a ＝－8，∴a ＝－1
8.
4．下列说法中正确的是( )
A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价
C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”
D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
解析：选D 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D. 5．已知甲：a ，b ，c 成等差数列；乙：a b ＋c
b ＝2.则甲是乙的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 若a b ＋c
b ＝2，则a ＋
c ＝2b ，
由此可得a ，b ，c 成等差数列；
当a ，b ，c 成等差数列时，可得a ＋c ＝2b ， 但不一定得出a b ＋c
b ＝2，如a ＝－1，b ＝0，
c ＝1.
所以甲是乙的必要不充分条件，故选A.
6．双曲线x 2m －y 2
n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )
A.316
B.38
C.163
D.83
解析：选A 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 故双曲线x 2m －y 2
n ＝1中，
m >0，n >0且m ＋n ＝c 2＝1. ① 又双曲线的离心率e ＝c
m
＝
m ＋n
m ＝2， ②
联立方程①②，解得⎩⎨⎧
m ＝14
，
n ＝3
4.
故mn ＝
316
. 7．下列命题的否定是真命题的是( )
A ．存在向量m ，使得在△ABC 中，m ∥A
B ―→且m ∥A
C ―→
B ．对所有正实数x ，都有x ＋1
x ≥2
C ．对所有第四象限的角α，都有sin α<0
D ．有的幂函数的图象不经过点(1,1)
解析：选D A 中，当m ＝0时，满足m ∥AB ―→且m ∥AC ―→
， 所以A 是真命题，其否定是假命题； B 中，由于x >0，所以x ＋1
x ≥2
x ·1x ＝2，
当且仅当x ＝1
x ，即x ＝1时等号成立，所以B 是真命题，其否定是假命题； C 中，由于第四象限角的正弦值是负数，所以C 是真命题，其否定是假命题；
D 中，对于幂函数f (x )＝x α，均有f (1)＝1， 所以幂函数的图象均经过点(1,1)，
所以D 是假命题，其否定是真命题．故选D.
8.函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝ax 2＋3
2bx ＋c 3的
单调递增区间是( )
A ．(－∞，－2] B.⎣⎡⎭⎫1
2，＋∞ C ．[－2,3]
D.⎣⎡⎭
⎫9
8，＋∞ 解析：选D 由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1， ∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .
由图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0， ∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0，
∴b ＝－32，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －9
4
.
当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94
x －6的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫98，＋∞.故选D. 9．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2m ＋y 2
n ＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α.当α＝
2π
3
时，△F 1PF 2面积最大，则m ＋n 的值是( ) A ．41 B ．15 C ．9
D ．1
解析：选B 由S △F 1PF 2＝1
2|F 1F 2|·y P ＝3y P ，知P 为短轴端点时，△F 1PF 2面积最大．此
时∠F 1PF 2＝2π
3
，得a ＝m ＝2 3，b ＝n ＝3，故m ＋n ＝15.
10．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )
A.14
B.13
C.24
D.
23
解析：选A 由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
|F 1A |－|F 2A |＝2a ，
|F 1A |＝2|F 2A |，
解得|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a ，
又由已知可得c
a ＝2，所以c ＝2a ，即|F 1F 2|＝4a ，
∴cos ∠AF 2F 1＝|F 2A |2＋|F 1F 2|2－|F 1A |22|F 2A |·|F 1F 2|＝4a 2＋16a 2－16a 22×2a ×4a
＝1
4.故选A.
11．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞)
D ．[4，＋∞)
解析：选B 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 得a ≤2ln x ＋x ＋3
x ， 设h (x )＝2ln x ＋x ＋3
x (x ＞0)，
则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)
x 2
.
当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增， 所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4. 故a 的取值范围是(－∞，4]．
12．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )
A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)
B ．e x 1f (x 2)＜e x 2 (x 1)
C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)
D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定 解析：选A 设g (x )＝f (x )
e
x ，
则g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )(e x )′(e x )2＝f ′(x )－f (x )
e x ，
由题意g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增，
当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f (x 1)e x 1＜f (x 2)
e x 2，
所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________． 解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，
所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：3
14．命题“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0为假命题， ∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤2 2. 答案：[－22，2 2 ]
15．若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线x 2＝4y 的准线所围成的三角形的
面积为2，则该双曲线的离心率为________．
解析：依题意，得双曲线的渐近线方程是y ＝±b
a x ，
抛物线的准线方程是y ＝－1，
因此所围成的三角形的三个顶点坐标分别是⎝⎛⎭⎫－a b ，－1，⎝⎛⎭⎫a
b ，－1，(0,0)， 该三角形的面积等于2×12×a
b ×1＝a b ＝2，
因此该双曲线的离心率e ＝c
a ＝1＋⎝⎛⎭⎫
b a 2＝
1＋⎝⎛⎭⎫122＝5
2.
答案：
52
16．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为 ______元时利润最大，利润的最大值为______元．
解析：设商场销售该商品所获利润为y 元，则
y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)
＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)， 则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0， 解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 则p ，y ，y ′变化关系如下表：
故当p ＝30时，y 取极大值为23 000元．
又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．
答案：30 23 000
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知命题p ：方程x 22＋y 2
m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：
∀x ∈R,4x 2－4mx ＋4m －3≥0.若(綈p )∧q 为真，求m 的取值范围．
解：p 真时，m >2.
q 真时，4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立． Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0，解得1≤m ≤3. ∵(綈p )∧q 为真，∴p 假，q 真．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m ≤2，1≤m ≤3，
即1≤m ≤2. ∴所求m 的取值范围为[1,2]．
18．(本小题满分12分)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点M (m,4)到其焦点的距离为5.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若过点M 的双曲线y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个顶点为抛物线C 的焦点，求该双曲
线的渐近线方程．
解：(1)由抛物线的定义可得4＋p
2＝5，
解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)把M (m,4)代入x 2＝4y 可得m ＝±4， 所以M 点的坐标为(±4,4)，
∵抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，∴a ＝1， ∴双曲线的方程为
y 2－
x 2
b 2
＝1(b ＞0)， 代入M (±4,4)得b 2＝1615，b ＝4
15，
∴双曲线的渐近线方程为y ＝±
1
415
x ， 即为y ＝±
154
x . 19．(本小题满分12分)已知a ＜2，函数f (x )＝(x 2＋ax ＋a )·e x . (1)当a ＝1时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )的极大值是6e －
2，求a 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝(x 2＋x ＋1)e x ， 则f ′(x )＝(x 2＋3x ＋2)e x . 由f ′(x )≥0得x 2＋3x ＋2≥0， 即x ≥－1或x ≤－2，
所以函数的单调递增区间为(－∞，－2]和[－1，＋∞)． (2)f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax ＋a )e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋2a ]e x .
由f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝－a ， 因为a ＜2，所以－a ＞－2.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：
即(4－2a ＋a )e －2＝6e －2，所以a ＝－2.
20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；
(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．
解：(1)由题意，得椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
2＝1，
所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2
2.
(2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA ―→·OB ―→
＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0
.
又x 20＋2y 20＝4，
所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝
⎛⎭⎫x 0＋2y 0
x 0
2＋(y 0－2)2 ＝x 20＋y 2
0＋
4y 20x 20＋4＝x 2
0＋4－x 202＋2(4－x 20)x 20
＋4 ＝x 20
2＋8x 20＋4(0＜x 20≤4)． 因为x 20
2＋8x 20
≥4(0＜x 20≤4)， 当且仅当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.
故线段AB 长度的最小值为2 2.
21．(本小题满分12分)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1(a ＞0)的焦点在x 轴上．
(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；
(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上的第一象限内的点，直线F 2P
交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q ，证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．
解：(1)因为a 2＞1－a 2,2c ＝1，a 2＝1－a 2＋c 2， 则a 2＝
5
8，所以椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23
＝1. (2)证明：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x ，y )，Q (0，m )， 则F 2P ―→＝(x －c ，y )，QF 2―→
＝(c ，－m )， F 1P ―→＝(x ＋c ，y )，F 1Q ―→
＝(c ，m )． 由F 2P ―→∥QF 2―→，F 1P ―→⊥F 1Q ―→，
得⎩⎪⎨⎪⎧
m (c －x )＝yc ，c (x ＋c )＋my ＝0，
所以(x －c )(x ＋c )＝y 2，即x 2－y 2＝c 2.
由椭圆E 的方程可知，c 2＝a 2－(1－a 2)＝2a 2－1， 所以x 2－y 2＝2a 2－1, 即y 2＝x 2－2a 2＋1.
将上式代入椭圆E 的方程，得x 2a 2＋x 2－2a 2
＋1
1－a 2
＝1，
解得x 2＝a 4.
因为点P 是第一象限内的点，所以x ＝a 2，y ＝1－a 2. 故点P 在定直线x ＋y ＝1上．
22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x ＋2x 2－3x . (1)求证：函数f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极值点．
(2)当x ≥12时，若关于x 的不等式f (x )≥5
2x 2＋(a －3)x ＋1恒成立，试求实数a 的取值范
围．
解：(1)证明：f ′(x )＝e x ＋4x －3， ∵f ′(0)＝e 0－3＝－2<0，f ′(1)＝e ＋1>0， ∴f ′(0)·f ′(1)<0.
令h (x )＝f ′(x )＝e x ＋4x －3，则h ′(x )＝e x ＋4>0， ∴f ′(x )在区间[0,1]上单调递增，
∴f ′(x )在区间[0,1]上存在唯一零点， ∴f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极小值点． (2)由f (x )≥5
2x 2＋(a －3)x ＋1，
得e x ＋2x 2－3x ≥5
2x 2＋(a －3)x ＋1，
即ax ≤e x －1
2x 2－1，
∵x ≥1
2，∴a ≤e x －1
2x 2－1
x . 令g (x )＝e x －1
2
x 2－1
x ，
则g ′(x )＝e x (x －1)－1
2
x 2＋1
x 2
.
令φ(x )＝e x (x －1)－1
2x 2＋1，则φ′(x )＝x (e x －1)．
∵x ≥1
2
，∴φ′(x )>0.
∴φ(x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增． ∴φ(x )≥φ⎝⎛⎭⎫12＝78－1
2e>0.
因此g ′(x )>0，故g (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增， 则g (x )≥g ⎝⎛⎭⎫12＝e 12
－1
8－1
12＝2e －9
4
， ∴a 的取值范围是⎝
⎛⎭⎫－∞，2e －9
4.。