平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算 课件

差的2坐．标若等a于＝这(x两1，个y1向)，量b相＝应(x2坐，标y2)的，差则．a－b＝__(x_1_－__x_2_，__y1_－__y_2_) ，即两个向量
3．若 a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝_____(_λ_x_，__λ_y)_____，即实数与向量的积的
坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
(2)12A→B＝12(O→B－O→A) ＝12（－5，－1）－（3，－2） ＝12(－8，1)＝－4，12，∴12A→B＝－4，12.
【答案】 (1)B (2)A (3)∵A→B＝(－2，10)，B→C＝(－8，4)，A→C＝(－10，14)， ∴A→B＋2B→C＝(－2，10)＋2(－8，4) ＝(－2，10)＋(－16，8) ＝(－18，18)， B→C－12A→C＝(－8，4)－12(－10，14) ＝(－8，4)－(－5，7) ＝(－3，－3)．
平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
教材整理 1 平面向量的正交分解及坐标表示 1．平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相____垂__直___的向量，叫做把向量正交分解．
2．平面向量的坐标表示： 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向__相__同__的两个_单__位___向量 i、 j 作为__基__底__．对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理知，__有__且__只__有____ 一对实数 x，y，使得 a＝xi＋yj，我们把有序数对(_x_，__y_)_叫做向量 a 的坐标，记
B．4，－12
C．－1，－32
D．(8，1)
(3)若 A、B、C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，求A→B＋2B→C，
B→C－12A→C的坐标．
【精彩点拨】 (1)可利用向量加法的三角形法则将D→A分解为D→C＋C→B＋B→A 来求解．
(2)可借助A→B＝O→B－O→A来求12A→B坐标． (3)可利用A→B＝(xB－xA，yB－yA)来求解． 【自主解答】 (1)D→A＝D→C＋C→B＋B→A ＝－C→D－B→C－A→B ＝－(－1，4)－(m，n)－(2，3) ＝(－1－m，－7－n)．
4．向量坐标的几何意义： 在平面直角坐标系中，若 A(x，y)，则O→A＝_(_x_，__y_)，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A→B＝_(_x2_－__x_1_，__y_2－__y_1_)____．如图 2－3－14 所示．
图 2－3－14
平面向量的坐标表示
(1)已知A→B＝(1，3)，且点 A(－2，5)，则点 B 的坐
平面向量的坐标运算
(1)设A→B＝(2，3)，B→C＝(m，n)，C→D＝(－1，4)，则D→A等于( )
A．(1＋m，7＋n)
B．(－1－m，－7－n)
C．(1－m，7－n)
D．(－1＋m ，－7＋n)
(2)已知向量O→A＝(3，－2)，O→B＝(－5，－1)，则向量12A→B的坐标是(
)
A．－4，12
平面向量坐标的线性运算的方法： (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则 进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向 量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
[再练一题] 2．已知 a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)12a－13b. 【解】 (1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1) ＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)． (2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)． (3)12a－13b＝12(－1，2)－13(2，1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
【答案】 (1)B (2)(1，－1) (1，1) (－1，1) (3)由题意知 B, D 分别是 30°，120°角的终边与以点 O 为圆心的单位圆的 交点．设 B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义， 得 x1＝cos30°＝ 23，y1＝sin30°＝12， 所以 B 23，12.
标为，2)
D．(－3，2)
(2)如图 2－3－15，在正方形 ABCD 中，O 为中心，且O→A＝
(－1，－1)，则O→B＝________；O→C＝________；O→D________.
图 2－3－15
(3)如图 2－3－16，已知在边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴 成 30°角，求点 B 和点 D 的坐标和A→B与A→D的坐标．
x2＝cos120°＝－12， y2＝sin120°＝ 23， 所以 D－12， 23. 所以A→B＝ 23，12，A→D＝－12， 23.
求点、向量坐标的常用方法： (1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置 向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标． (2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点 坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．
已知点 A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若A→P＝A→B＋λA→C(λ∈R)，试 求 λ 为何值时，
(1)点 P 在一、三象限角平分线上； (2)点 P 在第三象限内．
【精彩点拨】 解答本题可先用 λ 表示点 P 的横、纵坐标，再根据条件列 方程或不等式求解．
【自主解答】 设点 P 的坐标为(x，y)， 则A→P＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)， A→B＋λ·A→C＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)] ＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∵A→P＝A→B＋λA→C， ∴xy－ －23＝ ＝31＋ ＋57λλ， ，则xy＝＝54＋＋57λλ，.
【精彩点拨】 得相应向量的坐标
图 2－3－16 表示出各点的坐标 → 用终点坐标减去起点坐标 →
【自主解答】 (1)设 B 的坐标为(x，y)，A→B＝(x，y)－(－2，5)＝(x＋2，y －5)＝(1，3)，所以xy＋ －25＝ ＝13， ，解得yx＝＝8－，1，
所以点 B 的坐标为(－1，8)． (2)如题干图，O→C＝－O→A＝－(－1，－1)＝(1，1)， 由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以O→B＝(1，－1)， 同理O→D＝(－1，1)．
探究 3 已知在非平行四边形 ABCD 中，AB∥DC，且 A，B，D 三点的坐 标分别为(0，0)，(2，0)，(1，1)，则顶点 C 的横坐标的取值范围是什么？
图 2－3－17 【提示】 当 ABCD 为平行四边形时，则A→C＝A→B＋A→D＝(2，0)＋(1，1)＝ (3，1)，故满足条件的顶点 C 的横坐标的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．
(1)若 P 在一、三象限角平分线上，
则 5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝12， ∴λ＝12时，点 P 在一、三象限角平分线上． (2)若 P 在第三象限内，则54＋＋57λλ<<00，，∴λ<－1.
当 λ<－1 时，点 P 在第三象限内．
1．解答本题可用待定系数法．此法是最基本的数学方法之一，实质是先将 未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也 是方程思想的一种基本应用．
2．坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等 的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．
[再练一题] 3．向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图 2－3－18 所示，若 c＝λa＋μb(λ，
μ∈R)，则λμ＝________．
图 2－3－18
【解析】 以向量 a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直 线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为 1，则 a＝(－
作 a＝(x，y)，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，a＝(x， y)叫做向量的坐标表示．显然，i＝_(_1_，__0_)，j＝_(0_，__1_)_，0＝_(_0_，__0_)．
教材整理 2 平面向量的坐标运算 和的1坐．标若等a于＝这(x两1，个y1向)，量b相＝应(x2坐，标y2)的，和则．a＋b＝__(x_1_＋__x_2，__y_1_＋__y_2)_，即两个向量
向量坐标运算的综合应用 探究 1 已知点 O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及O→P＝O→A＋tA→B.
当 t 为何值时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ 【提示】 ∵O→P＝O→A＋tA→B＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)． 若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，∴t＝－23. 若点 P 在 y 轴上，则 1＋3t＝0，∴t＝－13. 若点 P 在第二象限，则12＋ ＋33tt<>00， ，∴－23<t<－13.
探究 2 对于探究 1 条件不变，四边形 OABP 能为平行四边形吗？若能， 求出 t 的值；若不能，请说明理由．
【提示】 ∵O→A＝(1，2)，P→B＝(3－3t，3－3t)． 若四边形 OABP 为平行四边形， 则O→A＝P→B， ∴33－ －33tt＝ ＝12， ，该方程组无解． 故四边形不能成为平行四边形．
1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)．由 c＝λa＋ μb，即(－1，－3)＝λ(－1，1) ＋μ(6，2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故 λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.
【答案】 4