2020年高考数学理科一轮温习第10章计数原理概率随机变量及其散布第7讲课后作业

A 组 基础关
1．设某项实验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次实验的成功次数，那么
P (X ＝0)等于( )
A ．0 B.12 C.13 D.23
答案 C
解析 P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，且P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1.因此P (X ＝0)＝1
3.应选C.
2．某一随机变量ξ的概率散布如下，且m ＋2n ＝1.2，那么m －n
2
＝( )
ξ 0 1 2 3 p
0.1
m
n
0.1
A ．－0.2 C ．0.1 D ．－0.1
答案 B
解析 由m ＋n ＋0.2＝1，m ＋2n ＝1.2，可得m ＝n ＝0.4，因此m －n
2＝0.2.应选B. 3．已知离散型随机变量X 的散布列如下：
□为丢失的数据，那么丢失的数据之前到后别离为 ( )
A ．2,5
B ．3,5
C ．2,0
D ．3,0
答案 B
解析 由散布列的性质知后面丢失的数据为5，由0.10＋0.
□5＋0.30＋0.25＝1，得前面丢失
的数为3.
4．一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的
个数记为X ，那么以下概率等于C 122C 14＋C 222
C 226
的是( )
A ．P (0＜X ≤2)
B ．P (X ≤1)
C ．P (X ＝1)
D ．P (X ＝2)
答案 B
解析 由题意可知，P (X ＝1)＝C 122C 14C 226，P (X ＝0)＝C 222C 226，C 1
22C 1
4＋C 2
22
C 226
表示取1个白球或一个白球
都没有取得，即P (X ≤1)．
5．袋中装有除颜色外其他完全相同的10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球，假设取得黑球那么另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．假设抽取的次数为ξ，那么表示“放回5个红球”事件的是( )
A ．ξ＝4
B ．ξ＝5
C ．ξ＝6
D ．ξ≤5
答案 C
解析 “放回5个红球”表示前5次摸到黑球，第6次摸到红球，故ξ＝6. 6．(2018·潍坊模拟)假设随机变量X 的散布列为
那么当P (X <a )＝0.8A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2] D ．(1,2)
答案 C
解析 由随机变量X 的散布列，知P (X <－1)＝0.1，P (X <0)＝0.3，P (X <1)＝0.5，P (X <2)＝0.8，那么当P (X <a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2]．应选C.
7．假设离散型随机变量X 的散布列为P (X ＝k )＝m ·2k
(2k ＋1－1)(2k －1)(1≤k ≤5，k ∈Z )，那么
P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
2≤X ≤52的值为( ) A.631 B.6162 C.2531 D.6263
答案 A
解析 ∵离散型随机变量X 的散布列为
P (X ＝k )＝m ·2k
(2k ＋1－1)(2k －1)
(1≤k ≤5，k ∈Z )，
∴m ×2(4－1)(2－1)＋m ×4(8－1)(4－1)＋m ×8(16－1)(8－1)＋m ×16(32－1)(16－1)＋m ×32(64－1)(32－1)＝1，解得m ＝6362.
∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2≤X ≤52＝P (X ＝2)＝4m 7×3＝421×6362＝631. 8．(2019·安康质检)设随机变量X 的概率散布列为
则P (|X －3|＝1)＝________. 答案 512
解析 由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝1
4， P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝5
12.
9．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将那个小正方体抛掷2次，那么向上的数之积X 的散布列为________．
答案
解析 随机变量X 的可能取值为0,1,2,4，P (X ＝0)＝C 13C 13＋C 13C 13＋C 13C 13C 16C 1
6＝34，P (X ＝1)＝C 12C 12C 16C 16＝1
9，P (X ＝2)＝C 12C 11＋C 11C 12C 16C 16＝19，P (X ＝4)＝C 11C 11C 16C 16＝1
36
，因此散布列为
10．设离散型随机变量X 的概率散布列为P (X ＝k )＝m
k ＋1
(k ＝0,1,2,3)，那么m ＝________. 答案 1225
解析 因为离散型随机变量X 的概率散布列为P (X ＝k )＝m k ＋1(k ＝0,1,2,3)，因此m 0＋1＋m 1＋1
＋m 2＋1＋m 3＋1
＝1，可得m ＝1225.
B 组 能力关
1．假设P (X ≤x 2)＝1－β，P (X ≥x 1)＝1－α，其中x 1<x 2，那么P (x 1≤X ≤x 2)等于( ) A ．(1－α)(1－β) B ．1－(α＋β) C ．1－α(1－β) D ．1－β(1－α)
答案 B
解析 显然P (X ＞x 2)＝β，P (X <x 1)＝α.由概率散布列的性质可知P (x 1≤X ≤x 2)＝1－P (X >x 2)－P (X <x 1)＝1－α－β.应选B.
2．(2018·新乡模拟)设随机变量的概率散布如表所示：
F (x )＝P (X ≤x )，那么当x ) A.13 B.16 C.12 D.56
答案 D
解析 因为a ＋13＋16＝1，因此a ＝12，又x ∈[1,2)，因此F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝5
6. 3．已知某一离散型随机变量X 的散布列为
则1m ＋1
n 的最小值为________． 答案 454
解析 由题意得m ＋4n ＋0.2＝1，m ＞0，n ＞0. 即m ＋4n ＝45，5
4(m ＋4n )＝1. 因此1m ＋1n ＝54(m ＋4n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n
＝54⎝ ⎛⎭
⎪⎫5＋4n m ＋m n ≥54(5＋24)＝454， 当且仅当4n m ＝m n 即m ＝2n ，n ＝215，m ＝4
15时，“＝”成立．
4．假设n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，那么称n 为“三位递增数”(如137,359,567等)．
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”
中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规那么如下：假设抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；假设能被5整除，但不能被10整除，得－1分；假设能被10整除，得1分．
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)假设甲参加活动，求甲得分X 的散布列．
解 (1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.
(2)由题意知，全数“三位递增数”的个数为C 3
9＝84，随机变量X 的取值为0，－1,1，因此P (X
＝0)＝C 38C 39
＝23，
P (X ＝－1)＝C 24C 39
＝1
14，
P (X ＝1)＝1－114－23＝11
42.因此X 的散布列为
X 0 －1 1 P
23
114
1142
1．依照某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情形如下图．
(1)已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a ，b 的值； (2)该电子商务平台将年龄在[30,50)内的人群概念为高消费人群，其他年龄段的人群概念为潜在消费人群，为了鼓舞潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采纳分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人取得的代金券总和X (单位：元)的散布列．
解 (1)由题意可知
⎩⎪⎨⎪⎧
2b ＝a ＋0.015，
(0.01＋0.015×2＋b ＋a )×10＝1， 解得a ＝0.035，b ＝0.025.
(2)利用分层抽样从样本中抽取10人，易知其中属于高消费人群的有6人，属于潜在消费人群的有4人．
从该10人中抽取3人，此3人所取得的代金券的总和为X (单位：元)， 则X 的所有可能取值为150,200,250,300.
P (X ＝150)＝C 36C 310＝16，P (X ＝200)＝C 26C 14C 310＝1
2，
P (X ＝250)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝300)＝C 34C 310
＝1
30.
X 的散布列为
2．某班级50x 的散布频率是f (x )且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
n 10－0.4，10n ≤x ＜10(n ＋1)，n ＝5，6，7，－n 5＋b ，10n ≤x ＜10(n ＋1)，n ＝8，9.
考试成绩采纳“5分制”，规定：考试分数在
[50,60)内的成绩记为1分，考试分数在[60,70)内的成绩记为2分，考试分数在[70,80)内的成绩记为3分，考试分数在[80,90)内的成绩记为4分，考试分数在[90,100)内的成绩记为5分．在50名学生顶用分层抽样的方式，从成绩为1分、2分及3分的学生中随机抽出6人，再从这6人中随机抽出3人，记这3人的成绩之和为ξ(将频率视为概率)．
(1)求b 的值，并估量该班的考试平均分数； (2)求P (ξ＝7)；
(3)求随机变量ξ的散布列． 解 (1)因为
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
n
10－0.4，10n ≤x ＜10(n ＋1)，n ＝5，6，7，－n
5＋b ，10n ≤x ＜10(n ＋1)，n ＝8，9.
因此⎝ ⎛⎭⎪⎫510－0.4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫610－0.4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫710－0.4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－85＋b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
－95＋b ＝1，
因此b ＝1.9.
估量该班的考试平均分数为
⎝ ⎛⎭⎪⎫510－0.4×55＋⎝ ⎛⎭⎪⎫610－0.4×65＋⎝ ⎛⎭⎪⎫710－0.4×75＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－85＋1.9×85＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
－95＋1.9×95＝76. (2)由题意可知，考试成绩记为1分，2分，3分，4分，5分的频率别离是0.1,0.2,0.3,0.3,0.1，按分层抽样的方式别离从考试成绩记为1分，2分，3分的学生中抽出1人，2人，3人，再从这6人中抽出3人，
因此P(ξ＝7)＝C23C11＋C13C22
C36
＝3
10.
(3)由题意，ξ的可能取值为5,6,7,8,9，
P(ξ＝5)＝C11C22
C36
＝1
20
，P(ξ＝6)＝C11C12C13
C36
＝3
10
，
P(ξ＝7)＝3
10
，P(ξ＝8)＝C23C12
C36
＝3
10
，
P(ξ＝9)＝C33
C36
＝1
20.
因此ξ的散布列为。