苏教版数学高一必修4同步测试 3.3 几个三角恒等式

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3.3 几个三角恒等式
一、填空题(每小题6分,共30分)
1. 等腰三角形顶角的余弦值为,那么这个三角形一底角的余弦值为________.
2.已知α为锐角,sin α=3
5,β是第四象限角,
cos(π+β
)=-4
5
.则sin(α+β)的值为 .
3.已知sin θ=
35,θ为锐角,则sin 2
θ= . 4.函数f (x )=sin x (1+tan xtan 2
x
)的最小
正周期是 .
5.sin 22cos x
x
(1+tan x·tan 2x )= .
二、解答题(共70分) 6.(15分)已知tan 262
=

α,tan αtan β=7
13
,求cos (α-β)的值.
7.(20分)已知f (x )=-21+2
sin 225sin
x
x
,x ∈(0,π).
(1)将f (x )表示成cos x 的多项式;
(2)求f (x )的最小值.
8.(20分)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足:
A +C =2
B ,B
C A cos 2cos 1cos 1-=+,求cos 2C
A -的
值.
9.(15分)已知sin α+sin β=2,cos α+cos β=3
2
,求tan (α+β)的值.
3.3 几个三角恒等式 答案
一、填空题 1.
66 解析:设底角为α,顶角为β,则α=π2
-2
β
,cos
β=2
3,
∴cos
α=cos(π
2-
2
β)=sin
2
β
=6
6. 2. 0 解析:∵α为锐角,sin α=3
5,∴cos α=4
5.
∵cos(π+β)=-4
5,∴cos
β=4
5. 又β为第四象限角,∴sin β=-3
5,
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=35×45+45×(-35
)=0.
3.
解析:∵ θ为锐角且sin θ=3
5, ∴ sin
2
θ>0且cos θ=45, ∴ sin

10
. 4. 2π 解析:f (x )=sin x·(1+
2
2
2tan 21tan 2
x
x
-) =sin x·
221tan 21tan 2x x +-=sin x·2222sin cos 22cos sin 22x x x x +-=sin
2cos
2
x
x
=tan x. ∵ 目标函数f (x )的定义域为x ≠k π+π2且2x ≠k π+π2,k ∈Z ,即x ≠k π+π
2
且x ≠2k π+π,k ∈Z .
显然有f (0)=0,而f (π)无意义,∴ T =2π.
5. tan x 解析:原式=
2sin cos sin 1cos (1)2cos cos sin x x x x x x x
-+•
=1cos sin (1)cos x x x
-+ =sin cos x
x =tan x.
二、解答题
6.解: ∵tan αtan β=
7
13
)cos()cos()cos()cos(cos cos sin sin =++-+--=βαβαβαβαβαβα,
∴cos (α-β)=-
3
10
cos (α+β). 又tan 26=
2+βα,∴cos (α+β)=51)2
6(1)
26(
1tan 1tan 12222
-=+-=2++2+-βαβ
α, 从而cos (α-β)=-3
10
×(-51)=32.
7.解:(1)f (x )=
2cos 23cos 22
sin 2sin 23cos 22sin 22sin 25sin
x x x x
x x x x ==-=cos 2x+cos x=2cos 2x+cos x
-1.
(2)∵f (x )=2(cos x+41)2-8
9
,且-1≤cos x ≤1, ∴当cos x=-
41时,f (x )取得最小值-8
9
. 8. 解:由题设条件知B =60°,A+C=120°, ∴B
cos 2-
-︒60cos 2=-22, ∴
C
A cos 1
cos 1+
=-22. 将上式化简为cosA+cosC=-22cosAcosC , 利用和差化积及积化和差公式,上式可化为 2cos
2C A +cos 2
C
A -=-2[cos (A+C )+cos (A -C )], 将cos
2C A +=cos60°=21,cos (A+C )=cos120°=-2
1代入上式得cos 2C
A -=22-2cos
(A -C ),
将cos (A -C )=2cos 22C A --1代入上式并整理得42cos 22C A -+2cos 2
C
A --32=0, 即[2cos
2C A --2][22cos 2C
A -+3]=0. ∵22cos 2C A -+3≠0,∴2cos 2
C
A --2=0. ∴cos
2
C A -=22.
9. 解:
3
22cos cos sin sin =
++β
αβ
α,由和差化积公式得
2-2+2-2+βαβαβ
αβ
αcos cos 2cos
sin
2=3, ∴tan
2
+βα=3,从而tan (αβ+)=
433132tan
tan
22
2-=-⨯=2
+-12+βαβ
α.。

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