苏教版数学高一必修4同步测试 3.3 几个三角恒等式

3.3 几个三角恒等式
一、填空题（每小题6分，共30分）
1. 等腰三角形顶角的余弦值为，那么这个三角形一底角的余弦值为________．
2．已知α为锐角，sin α＝3
5，β是第四象限角，
cos(π＋β
)＝－4
5
.则sin(α＋β)的值为 .
3.已知sin θ=
35，θ为锐角，则sin 2
θ= . 4．函数f （x ）=sin x （1+tan xtan 2
x
）的最小
正周期是 ．
5．sin 22cos x
x
（1+tan x·tan 2x ）= ．
二、解答题(共70分) 6．（15分）已知tan 262
=
+β
α，tan αtan β=7
13
，求cos （α－β）的值．
7.（20分）已知f （x ）=－21+2
sin 225sin
x
x
，x ∈（0，π）．
（1）将f （x ）表示成cos x 的多项式；
（2）求f （x ）的最小值．
8．(20分)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：
A +C =2
B ，B
C A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2C
A -的
值．
9.（15分）已知sin α+sin β=2，cos α+cos β=3
2
，求tan （α+β）的值．
3.3 几个三角恒等式 答案
一、填空题 1.
66 解析：设底角为α，顶角为β,则α＝π2
－2
β
，cos
β＝2
3,
∴cos
α＝cos(π
2－
2
β)＝sin
2
β
＝6
6. 2. 0 解析：∵α为锐角，sin α＝3
5，∴cos α＝4
5.
∵cos(π＋β)＝－4
5，∴cos
β＝4
5. 又β为第四象限角，∴sin β＝－3
5，
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝35×45＋45×(－35
)＝0.
3.
解析：∵ θ为锐角且sin θ=3
5， ∴ sin
2
θ＞0且cos θ=45， ∴ sin
2θ
10
. 4. 2π 解析：f （x ）=sin x·（1+
2
2
2tan 21tan 2
x
x
-） =sin x·
221tan 21tan 2x x +-=sin x·2222sin cos 22cos sin 22x x x x +-=sin
2cos
2
x
x
=tan x. ∵ 目标函数f （x ）的定义域为x ≠k π+π2且2x ≠k π+π2,k ∈Z ，即x ≠k π+π
2
且x ≠2k π+π,k ∈Z .
显然有f （0）=0，而f （π）无意义，∴ T =2π.
5. tan x 解析：原式=
2sin cos sin 1cos (1)2cos cos sin x x x x x x x
-+•
=1cos sin (1)cos x x x
-+ =sin cos x
x =tan x.
二、解答题
6.解： ∵tan αtan β=
7
13
)cos()cos()cos()cos(cos cos sin sin =++-+--=βαβαβαβαβαβα，
∴cos （α－β）=－
3
10
cos （α+β）． 又tan 26=
2+βα，∴cos （α+β）=51)2
6(1)
26(
1tan 1tan 12222
-=+-=2++2+-βαβ
α， 从而cos （α－β）=－3
10
×（－51）=32．
7．解：（1）f （x ）=
2cos 23cos 22
sin 2sin 23cos 22sin 22sin 25sin
x x x x
x x x x ==-=cos 2x+cos x=2cos 2x+cos x
－1．
（2）∵f （x ）=2（cos x+41）2－8
9
，且－1≤cos x ≤1， ∴当cos x=－
41时，f （x ）取得最小值－8
9
． 8. 解：由题设条件知B =60°，A+C=120°， ∴B
cos 2-
－︒60cos 2=－22， ∴
C
A cos 1
cos 1+
=－22． 将上式化简为cosA+cosC=－22cosAcosC ， 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 2cos
2C A +cos 2
C
A -=－2［cos （A+C ）+cos （A －C ）］， 将cos
2C A +=cos60°=21，cos （A+C ）=cos120°=－2
1代入上式得cos 2C
A -=22－2cos
（A －C ），
将cos （A －C ）=2cos 22C A -－1代入上式并整理得42cos 22C A -+2cos 2
C
A -－32=0， 即［2cos
2C A -－2］［22cos 2C
A -+3］=0． ∵22cos 2C A -+3≠0，∴2cos 2
C
A -－2=0． ∴cos
2
C A -=22．
9. 解：
3
22cos cos sin sin =
++β
αβ
α，由和差化积公式得
2-2+2-2+βαβαβ
αβ
αcos cos 2cos
sin
2=3， ∴tan
2
+βα=3，从而tan （αβ+）=
433132tan
tan
22
2-=-⨯=2
+-12+βαβ
α．。