数学竞赛专题讲座 十二、多面体与旋转体

十二、多面体与旋转体

知识、方法、技能

多面体与旋转体的概念和性质是解决其计算与证明的基础，因此对概念的深刻，对性质、公式和定理要熟练掌握．

I ．柱体

柱体包括梭往和圆柱． 1．柱体侧面积和体积

侧面积公式：S cl =（c 为直截面周长，l 为侧棱长） 体积公式: V Sh =（S 为底面积，h 为高）. 2．四梭柱

四棱柱

−−−−−→−底面是平行四边形平行六面体−−−−→−侧棱垂直于底面

直平行六面体

−−−→

−底面是矩形

长方体

−−−−→−底面是正方形正四棱柱−−−→−棱长都相等

正方体.

(l)长方体的性质

①长方体的四条对角线长度相等，它们交于一点且在该点互相平分． ②长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．

③长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别是,,αβγ，则

1cos cos cos 2

2

2

=++γβα．

④长方体的一条对角线与过一个顶点的三个面所成的角分别是123,,θθθ，则

12

2

2

23cos cos cos 1θθθ++=．

(2)正方体的性质

①正方体的对角线和与它不相交的面对角线垂直．

②正方体过同一条对角线的三个对角面两两所成的小于90 的二面角都等于60 ． II ．锥体（锥体包括棱锥和圆锥） 1．锥体的侧面积和体积 正棱锥的侧面积公式：'

12

S ch =（c 是底面周长，'

h 是斜高；

圆锥的侧面积公式：12S cl =（c 是底面周长，l 是母线长）；

锥体的体积公式：13V Sh =

(S 为底面积，h 为高）．

2．四面体

四面体是立体几何中最基本的，也是最重要的几何体，它相当于平面几何中三角形所处的地位．四面体与三角形有着相类似的性质．

四面体的性质：

①连接四面体对棱中点的线段交于一点，且这点平分这些线段． ②连接四面体任一顶点与它对面重心的线段交于一点G ，且这点将所在线段分成的比为3:1，G 称为四面体重心．

③四面体的二面角的平分面粉对棱所成的比等于形成这个二面角的两个侧面的面积之比．

④每个四面体都有内切球，球心I 是四面体的各个二面角的平分面的交点，此点到各面的距离等于球半径．

设四面体四个面的面积分别为1234,,,S S S S , V 表示它的体积，r 表示内切球的半径,

1234,,,h h h h 分别表示各顶点到对面所作的高，有

1234

3V r S S S S =

+++，

1

2

3

4

11111r

h h h h =

+

+

+

．

⑤每个四面体都有外接球，球心O 是各条棱的中垂面的交点，此点到各个顶点的距离等于球半径，

（2）直角四面体及其性质

同一顶点上的三条棱两两垂直的四面体称为直角四面体． 直角四面体的性质：

①直角四面体中，不含直角的面是锐角三角形，其面积S =其

中,,a b c 为互为垂直的三条棱长．

②直角四面体六条棱长的和l 为定值时，直角四面体的体积的最大值为3

7162

l ．

③直角四面体的内切球半径为1234

3S S S S V r a b c S

++-=

=++．

其中4S 表示锐角三角形的面积，123,,S S S 表示三个直角三角形的面积，S 表示表面积．

④直角四面体的外接球半径为R =

．

⑤直角四面体的对棱中点连线长相等，且等于外接球半径． (3)等腰四面体及其性质

对棱都相等的四面体称为等腰四面体．

以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体 等腰四面体的性质：

①等腰四面体各面为全等的锐角三角形，且各面的面积相等．

②等腰四面体的体积为V =

其中,,a b c 分别为三组对棱棱长，2222

1()2

k a b c =

++．

③等腰四面体中，三个侧面间的二面角的余弦值的和等于1．

④等腰四面体中，三个侧面间二面角的正弦值满足：sin sin sin a b c

αβγ==

． ⑤等腰四面体的对棱中点连线长,,a b c d d d 为

a b c d d d =

=

=

⑥等腰四面体的对棱中点的连线共点，互相垂直平分对棱的公垂线．

⑦等腰四面体的外接球的球心、内切球的球心、重心（四面体顶点和对面重的交点）重合．

⑧等腰四面体的内切球半径为r =

其中，1()2

p a b c =

++．

⑨等腰四面体的外接球半径为R =

⑩等腰四面体四条中线（四面体顶点和对面重心连接的线段）长相等为

m =

○

11等腰四面体的四条高相等，且等于内切球半径r 的四倍，即4h r =． (4)正四面体及其性质

每个面都是全等的正三角形的正三棱锥称为正四面体．

对棱都垂直的等腰四面体是正四面体． 两组对棱垂直的等腰四面体是正四面体． 对棱都垂直相等的四面体是正四面体．

对棱中点连线都垂直相等的四面体是正四面体． 正四面体的性质：

①正四面体ABCD 中，过顶点D 的高DE 的中点是O ，那么四面体OABC 是直角四面体．

②正四面体的全面积是棱长平方的12

倍．即2

S =，

3

12

V a =

．

③正四面体两侧面间的二面角为arcsin 3

．

④正四面体各棱中点是正八面体的六个顶点．

⑤正四面体对棱中点连线是对棱的距离为棱长的

2

倍，即2

d a =

．

⑥正四面体的内切球，外接球的球心相同，半径分别为,12

4r R ==

．

III.台体（台体包括棱台和圆台）

台体是锥体被一个平行锥体的底面的平面截得而成，因此在研究台体问题时，往往需要将之恢复成锥体．

2.台体的侧面积和体积

正棱台的侧面积公式：'

'

1()2

S c c h =+，（',c c 分别是上、下底面周长，'

h 是斜高）．

圆台的侧面积公式：'

1()2S c c l =+，（'

,c c 分别是上、下底面周长，l 是斜高）．

台体的体积公式：'

1()3V S S h =

+

（'

,S S 分别是上、下底面面积，h 是高）．

IV ．球体

1．球体的表面积和体积

球的表面积2

4S R π=． 球的体积3

43

V R π=

，其中R 为球的半径．

2．球面两点间的距离

过球面两点大圆所夹劣弧的长度，称为球面两点间的距离．球面上任意两点距离是球面距离．

设半径为R 的球上有两点M 、N ，它们的纬度差为α，经度差为β，则MN 的球面距离为2arcsin(cos sin

)2

l R β

α=．

3．多面体的内切球

若多面体有内切球，则内切球的半径r ，表面积S ，体积V 之间有关系式13

V Sr =．

赛题精讲

例1.已知四面体ABCD 中，AB =m, CD=n ，AB 与CD 间距离为h ，AB 与CD 所成角为θ，求该四面体的体积．

【思路分析】 已知AB 与CD 所成角为θ，将AB 平移得到该角，从而又补出一个四面