本第二章-2控制系统的动态数学模型
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自动控制理论-第二章 控制系统的数学模型
a y+a
(n) 0 (m) 0 ( n −1 ) 1
y +L+ a y + a y &
n −1 n m −1
=b x+b
( m −1 )
1
Y (s) b s + b s + L + b s + b 两边拉氏变换 G ( s ) = = X (s) a s + a s + L + a s + a x +L+ b x + b x &
4 微分环节 微分环节的传递函数为：
G(s) = C (s) = Ts R( s)
5 二阶环节
二阶环节又称为振荡环节，其的传递函数为
G (s) =
6 延迟环节
G(s) =
C (s) K = R( s) T s + s + 1
2 2
延迟环节的传递函数为：
C ( s) =e R( s)
−τs
第四节 用方块图表示的模型
2
由此可得
X (s) = 1 1 1 1 = = − s + 5s + 4 ( s + 1)( s + 4) 3( s + 1) 3( s + 4)
2
再对 X ( s) 进行逆拉氏变换，可得
e e x(t ) = − 3 3
−t −4 t
第二节 系统输入-输出的传递函数描述
• 传递函数是在控制理论中表示定常系统输入输出关 系的最常用方法，一般只适用于线性定常系统。 • 线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时， 输出量的拉普拉氏变换与输入量的拉普拉氏变换之比。 • 微分方程与传递函数转变关系：
(n) 0 (m) 0 ( n −1 ) 1
y +L+ a y + a y &
n −1 n m −1
=b x+b
( m −1 )
1
Y (s) b s + b s + L + b s + b 两边拉氏变换 G ( s ) = = X (s) a s + a s + L + a s + a x +L+ b x + b x &
4 微分环节 微分环节的传递函数为：
G(s) = C (s) = Ts R( s)
5 二阶环节
二阶环节又称为振荡环节，其的传递函数为
G (s) =
6 延迟环节
G(s) =
C (s) K = R( s) T s + s + 1
2 2
延迟环节的传递函数为：
C ( s) =e R( s)
−τs
第四节 用方块图表示的模型
2
由此可得
X (s) = 1 1 1 1 = = − s + 5s + 4 ( s + 1)( s + 4) 3( s + 1) 3( s + 4)
2
再对 X ( s) 进行逆拉氏变换，可得
e e x(t ) = − 3 3
−t −4 t
第二节 系统输入-输出的传递函数描述
• 传递函数是在控制理论中表示定常系统输入输出关 系的最常用方法，一般只适用于线性定常系统。 • 线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时， 输出量的拉普拉氏变换与输入量的拉普拉氏变换之比。 • 微分方程与传递函数转变关系：
自控原理课件 第2章-自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
2．2．2 传递函数 建立数学模型的目的是为了对系统进行性能分析。分析 自动控制系统最直接的方法是求解微分方程，求得被控 量在动态过程中的时间函数，然后根据时间函数的曲线 对系统性能进行分析。求解的方法有经典法、拉氏变换 法等。 拉氏变换法是求解微分方程的简便方法，当采用这一方 法时。微分方程的求解就成为象函数的代数方程和查表 求解，使计算大为简化。更重要的是，采用拉氏变换法 能把以线性微分方程描述的数学模型转换成复数域中代 数形式的数学模型——传递函数。传递函数不仅可以表 征系统的性能，而且可以用来分析系统的结构和参数变 化对系统性能的影响。经典控制理论中应用最广泛的频 率特性法和根轨迹法就是以传递函数为基础建立起来的， 传递函数是经典控制理论中最基本最重要的概念。
解：(1)确定输入和输出量。网络的输入量为 电压ur(t)，输出量为电压uc(t) (2)根据电路理论，列出原始微分方程。
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
1．信号线 信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标 记信号的象函数，如图2．20(a)所示。 2．引出点 引出点表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在 数值和性质上完全相同， 图2．20(b)所示。 3．比较点 比较点表示多个信号在此处叠加，输出量等于输入量的代数和。 因此在信号输入处要标明信号的极性，如图2．20(c)所示。 4．功能框 功能框表示一个相对独立的环节对信号的影响。框左边的箭头 处标以输人量的象函数，框右边的箭头处标以输出量的象函数， 框内为这一单元的传递函数。输出量等于输入量与传递函数的 乘积，即
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
第二章_控制系统的数学模型
+
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
控制工程基础 清华大学 董景新 第二章 控制系统的动态数学模型
2.1 基本环节数学模型
数学模型是描述物理系统的运动规律、特性 和输入输出关系的一个或一组方程式。 系统的数学模型可分为静态和动态数学模型。 静态数学模型：反映系统处于平衡点（稳态） 时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。 即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学 关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过 去的工作状态（历史）无关。因此静态模型都是 代数式，数学表达式中不含有时间变量。
控制工程基础
（第二章）
清华大学
第二章
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
控制系统的动态数学模型
基本环节数学模型 数学模型的线性化 拉氏变换及反变换 传递函数以及典型环节的传递函数 系统函数方块图及其简化 系统信号流图及梅逊公式 受控机械对象数学模型 绘制实际机电系统的函数方块图 状态空间方程
式中， a1 , a2 是常值，可由以下步骤求得 将上式两边乘 s j s j , 两边同 时令s j（或同时令s j ）， 得
a1s a2 s j X s s j s j s j
s3 例 试求 X s 2 s 3s 2
的拉氏反变换。
s 3 解： X s 2 s 3s 2 s3 s 1s 2 a1 a2 s 1 s 2
s3 a1 s 1 2 s 1s 2 s 1 s3 a2 s 2 1 s 1s 2 s 2 2 1 X s s 1 s 2 t 2t xt 2e e 1t
T st
2T T
xt e
st
n 1T dt
自动控制原理(胡寿松)第六版-第二章-控制系统的数学模型--2
if=常数
dia La Ra ia Ea ua dt
ua
ia
Ra Ea La
M
电动机轴上机械运动方程：
d J MD ML dt
J — 负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD — 电枢电流产生的电磁转矩; ML — 合到电动机轴上的总负载转矩。 （4）列写辅助方程 Ea = ke
Ra J Tm 令机电时间常数Tm : ke k m 二阶系统 La 令电磁时间常数Ta : Ta Ra 2 Tm TaTm dML d d 1 TaTm 2 Tm ua ML dt dt ke J J dt
1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：
Ta 0
第二章 控制系统的数学模型
前言 数学模型基础
2.1 控制系统的时域数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图与信号流图
2.4 控制系统建模实例
End
前言 数学模型基础
2.2 2.3 2.4 2.5
1.定义：数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态 关系的表达式。 2.建立数学模型的目的
d nc d n1c dc d mr d m 1r dr a0 n a1 n1 an1 an c b0 m b1 m 1 bm 1 bm r dt dt dt dt dt dt
式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：
统 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合 理
3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析
4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数
控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型对于一个控制系统，建立数学模型的目的有二个：第一，模型可以用在现存的控制系统特性的研究中，模型代表了我们对系统特性的认识，并且在我们对系统知道得更多时还可以修改和扩展模型。
第二，在实际系统尚不存在时，例如在建设工程刚刚开始时，可以借助模型来预测设计思想和不同控制策略的效果，而不招致建造和试验系统所带来的费用浪费，也避免了冒危险的可能。
2－1 物理系统的动态描述—数学模型每一个自动控制系统都是由若干个元件组成的。
每个元件在系统中都具有各自的功能，它们相互配合起来就构成一个完整的控制系统，共同实现对某个物理量（被控制量）的控制，而满足所要求的特定规律。
如果把控制系统中各物理量（变量）之间的关系用数学表达式描述出来，就得到了此控制系统的数学模型。
在静态条件下（即变量的各阶导数为零），描述各变量之间关系的数学方程，称为静态模型，而各变量在动态过程中的数学方程，称为动态模型。
在自动控制系统的分析中，主要是研究动态模型。
微分方程中，各变量的导数表示了它们随时间变化的特性。
因此，微分方程完全可以描绘系统的动态特性，微分方程是物理系统数学模型中最基本的一种。
系统的数学模型可以用实验法和分析法建立。
应当指出：同一个控制系统的数学模型可以有许多不同的形式，另外，对于一个具体系统而言，为了在系统分析中，既不包罗万象，把系统数学模型搞得很复杂，又不要忽略主要因素，而失去系统的准确性，必须对系统有全面的、透彻的了解。
得到控制系统的一个既简化又准确的数学模型，这是我们的根本出发点。
2－2 建立系统数学模型的一般步骤由于控制系统是由各种功能不同的元件组成的，因此，要正确建立系统的运动方程式，首先必须研究系统中各个元件的运动方程式，以及这些元件在控制系统中相互联系时的彼此影响等问题。
应当指出，在列写系统和各元件的运动方程式时，往往将系统分成若干个环节，能使问题简化。
所谓环节，就是指可以组成独立的运动方程式的那一部分。
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
控制工程基础 第二章 控制系统的数学模型
R1 ui C1 K
R2 C2 uc
U c ( s) K U i ( s ) ( R1C1s 1)( R2C2 s 1)
有源网络：
Ur R0
R1
C1 +12V
+
-12V
Uc
U c ( s) R1C1s 1 U r ( s) R0C1s
2-3 典型环节及其传递函数
环节：具有某种确定信息传递关系的元 件、元件组或元件的一部分称为一个环 节。 系统传递函数可写为：
例2 电学系统： 其中：电阻为R，电感为L，电容为C。
＋ ur(t) － i
＋ uc(t) －
解：系统的微分方程如下
d U c (t ) dUc (t ) LC RC U c (t ) U r (t ) 2 dt dt
2
拉氏变换后（零初始条件下）
U c ( s) 1 2 U r ( s ) LCs RCs 1
2 2
1 1 1 , 2 2 s Ts 1, T s 2Ts 1
各典型环节名称：
比例环节：K 一阶微分环节：s 1 2 2 s 二阶微分环节： 2 s 1 1 积分环节： s 1 惯性环节： 1 Ts 1 二阶振荡环节：2 s 2 2Ts 1 T
传递函数的性质： （1）传递函数只取决于系统或元件的结构和 参数，与输入输出无关； （2）传递函数概念仅适用于线性定常系统， 具有复变函数的所有性质； （3）传递函数是复变量s 的有理真分式， 即n≥m； （4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；
传递函数的性质： （5）传递函数与真正的物理系统不存在一 一对应关系； （6）由于传递函数的分子多项式和分母多 项式的系数均为实数，故零点和极点可以是 实数，也可以是成对的共轭复数。
第2章_控制系统的动态数学模型_2.3拉氏变换及反变换
式中p1，p2为共轭复数， 由 (α1s + α 2 ) s =− p1 B( s) ( s − p1 )( s − p2 ) 求取α1，α 2 = A( s ) s = p1 （i = 3, 4 L n)
α1 s + α 2
B(s) ki = ( s − pi ) A( s ) s = pi
1 ( e iω t − e − iω t ) 2j 1 iω t ( e + e − iω t ) 2
e dt − ∫ e
0 ∞ − jωt − st
1 L[sin ωt ] = 2j
(∫ e
∞ 0
jωt − st
e t
)
1 1 1 ω = − = 2 2 j s − jω s + jω s + ω 2
2.3.1 拉氏变换的定义
设函数 f(t) 满足: ① t < 0 时 f(t)=0； ② t≥0 时，f(t)分段连续，且 则拉普拉斯变换的定义为：
F ( s) = L[ f (t )] = ∫ f (t )e − st dt
0 ∞
∫
∞
0
| f (t )e − st | dt < ∞ ，
t ≥0
式中f (0)、f ' (0)、 f ( n −1) (0)为f (t )及其各阶导数在 L t = 0时的值。 如f (0) = f ' (0) = L = f ( n −1) (0) = 0，则有 dn n L n f (t ) = s F ( s ) dt
根据微分定理，可以将微分方程变换为代数方程。
f (t) — 原函数（时间函数） F(s) — 象函数，s是复变数
α1 s + α 2
B(s) ki = ( s − pi ) A( s ) s = pi
1 ( e iω t − e − iω t ) 2j 1 iω t ( e + e − iω t ) 2
e dt − ∫ e
0 ∞ − jωt − st
1 L[sin ωt ] = 2j
(∫ e
∞ 0
jωt − st
e t
)
1 1 1 ω = − = 2 2 j s − jω s + jω s + ω 2
2.3.1 拉氏变换的定义
设函数 f(t) 满足: ① t < 0 时 f(t)=0； ② t≥0 时，f(t)分段连续，且 则拉普拉斯变换的定义为：
F ( s) = L[ f (t )] = ∫ f (t )e − st dt
0 ∞
∫
∞
0
| f (t )e − st | dt < ∞ ，
t ≥0
式中f (0)、f ' (0)、 f ( n −1) (0)为f (t )及其各阶导数在 L t = 0时的值。 如f (0) = f ' (0) = L = f ( n −1) (0) = 0，则有 dn n L n f (t ) = s F ( s ) dt
根据微分定理，可以将微分方程变换为代数方程。
f (t) — 原函数（时间函数） F(s) — 象函数，s是复变数
控制系统的动态数学模型
控制工程基础
2.1 系统的数学模型
数学模型是描述系统输入、输出量以及 内部各变量之间关系的数学表达式，它 揭示了系统结构及其参数与其性能之间 的内在关系。
静态数学模型 : 静态条件（变量各阶导
数为零）下描述变量之间关系的代数方 程。反映系统处于稳态时，系统状态有 关属性变量之间关系的数学模型。
控制工程基础
2.2 数学模型的线性化
线性化的提出： 线性系统是有条件存在的，只在一定的范围内 具有线性特性； 非线性系统的分析和综合是非常复杂的； 对于实际系统而言，在一定条件下，采用线性 化模型近似代替非线性模型进行处理，能够满 足实际。
控制工程基础
非线性系统数学模型的线性化
控制工程基础
非线性系统数学模型的线性化
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移
到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是
以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，
系统所有的初始条件均为零。 对多变量系统，如：y=f(x1,x2)，同样可采用 泰勒级数展开获得线性化的增量方程：数的拉式变换
幂函数(Power Function)：
函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变 换表直接或通过一定的转换得到。
控制工程基础
控制工程基础
拉氏变换积分下限的说明: 在某些情况下，函数 在t＝0处有一个脉冲函数。 这时必须明确拉氏变换的积分下限是0-还是0+， 并相应记为：
控制工程基础
拉普拉斯变换的定义
（1）当t<0时， ； t>0时， 区间上分段连续。 （2）存在一正实常数σ，使得： 为指数级的； 则函数 在任一有限
的拉普拉氏变换存在，并定义为： F (s) L f (t ) f (t )e st dt 0 s：拉普拉斯算子；Res> ；量纲为时间的倒数 f(t)：原函数（时间域）F(s)：象函数（复数域） L为拉氏变换的符号;
自动控制理论-第二章
2-1 控制系统的时域数学模型
1、控制系统微分方程的建立 （1）举例 例1：电路无源网络 试列写以 u (t ) 为输入量，以 u (t )为 输出量的网络微分方程
i
o
解：设回路电流为 i(t ) ，由基尔霍夫 定律可写出回路方程为
di ( t ) 1 + i ( t ) dt + Ri ( t ) = u i ( t ) dt C ∫ 1 u o (t ) = i ( t ) dt C ∫ L
f 2 (t )
c(t ) = c1 (t )
作用时， c(t ) = c2 (t ) 叠加性：当 f (t ) 、 f (t ) 同时作用时，c(t ) = c1 (t ) + c2 (t ) 均匀性：当 f (t ) = A ⋅ f1 (t ) 时， c(t ) = A ⋅ c1 (t ) 线性系统的叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的 总输出，为各个外作用单独作用时分别产生的输出之和。
[
]
1 1 1 F ( s ) + n f ( −1) (0) + L + f ( − n ) (0) n s s s
式中
f
( −1)
f ( −1) (0)、f ( −2) (0) L f ( − n ) (0)
(−n)
为
f (t )
的各重积分在 t = 0 时的值。如果
(0) = f ( −2 ) (0) = L = f
(0) = 0 ，则有
L ∫ L ∫ f (t )(dt ) n =
[
]
1 F (s) sn
（4）初值定理 若函数 f (t ) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则
f (0 + ) = lim f (t ) = lim sF ( s)
第2章 控制系统动态数学模型1
25
2.1基本环节数学模型
2.1.3 直流电动机
电枢控制式直流电动机
+
绕组电阻
-
-
+
输入：ei(t) 输出：θo(t)
2.1基本环节学模型
26
直流电动机电枢绕组中的电枢电流Ia与磁通相互作用，产生电磁转矩 线圈在磁场中旋转，将在线圈中产生感应电动势
2.1基本环节数学模型
27
2.1.3 电动机
2.1基本环节数学模型
19
2.1.2 电气系统 电气系统三个基本元件
电阻 电容 电感
电阻
耗能元件
2.1基本环节数学模型
20
2.1.2 电气系统 电容
电感
2.1基本环节数学模型
21
2.1.2 RLC无源电路网络
不依靠外加电源的存在，就能独 立表现出其外特性的器件就是无 源器件
输入：ui(t) 输出：uO(t)
举例
一阵大风过后摇晃的树会慢慢停下 用手拨一下吉他的弦后声音会越来越小
2.1基本环节数学模型
14
2.1.1 机械运动系统的三要素 在机械系统中，多数阻尼以阻力形式出现
两物体表面的摩擦阻力 加入润滑剂后油膜的粘性阻力 物体在流体中运动受到的介质阻力 振荡电路中的电阻、材料和结构的内阻引起的结构阻尼
产生阻尼作用的原因有以下几种：
d (y ) d (y ) pL A M D 2 dt dt
2
联立方程，消去中间变量，得到线性方程
K c M d 2 (y ) K c D d (y ) A K q (x) 2 A dt A dt
K cM KcD (t ) K q x (t ) y( t ) Ay A A
2.1基本环节数学模型
2.1.3 直流电动机
电枢控制式直流电动机
+
绕组电阻
-
-
+
输入：ei(t) 输出：θo(t)
2.1基本环节学模型
26
直流电动机电枢绕组中的电枢电流Ia与磁通相互作用，产生电磁转矩 线圈在磁场中旋转，将在线圈中产生感应电动势
2.1基本环节数学模型
27
2.1.3 电动机
2.1基本环节数学模型
19
2.1.2 电气系统 电气系统三个基本元件
电阻 电容 电感
电阻
耗能元件
2.1基本环节数学模型
20
2.1.2 电气系统 电容
电感
2.1基本环节数学模型
21
2.1.2 RLC无源电路网络
不依靠外加电源的存在，就能独 立表现出其外特性的器件就是无 源器件
输入：ui(t) 输出：uO(t)
举例
一阵大风过后摇晃的树会慢慢停下 用手拨一下吉他的弦后声音会越来越小
2.1基本环节数学模型
14
2.1.1 机械运动系统的三要素 在机械系统中，多数阻尼以阻力形式出现
两物体表面的摩擦阻力 加入润滑剂后油膜的粘性阻力 物体在流体中运动受到的介质阻力 振荡电路中的电阻、材料和结构的内阻引起的结构阻尼
产生阻尼作用的原因有以下几种：
d (y ) d (y ) pL A M D 2 dt dt
2
联立方程，消去中间变量，得到线性方程
K c M d 2 (y ) K c D d (y ) A K q (x) 2 A dt A dt
K cM KcD (t ) K q x (t ) y( t ) Ay A A
第第二章 控制系统的数学模型
1
sa
1
(s a)n
18
拉普拉斯变换简表
f (t)
9
sin t
10
cost
11
1 (1 eat )
a
12
1 a
(a0
(a0
a)eat
)
13
1 a2
(at
1
e at
)
14
a0t a2
(
a0 a2
t)(eat
1)
F (s)
s2 2
s
s2 2
s s(s a)
s a0 s(s a)
1 s2 (s a)
(1)独立性（可加性）：线性系统内各个 激励产生的响应互不影响
xi1(t) xi2(t)
xo1(t) xo2(t)
xi1(t)+xi2(t) xo1(t)+xo2(t)
(2)均匀性（齐次性）
8
线形系统的一般形式
an
dn dtn
y(t) an1
d n1 d t n 1
y(t) ... a1
d dt
dt
s
则
证：
f (0) lim sF (s)
s
由微分定理有：
L( df (t)) sF (s) f (0) dt
两边取极限
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
s 0 dt
s
27
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
0 dt s0
s0
lim est 1
s0
[ df (t) dt] lim[sF (s) f (0)]
自动控制原理第二章
1 ui (t ) 1(t ), U i ( s) s Ui 0.1s 0.2 1 1 u0 (t ) L [U 0 ( s )] L [ 2 2 ] s s 1 s s 1 1 0.1s 0.2 1 L [ 2 ] 2 s ( s s 1) s s 1
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
输入： Fi 1(t )
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
相似系统
RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系 统的数学模型均是二阶微分方程，为相似 系统。 相似系统便于用一个简单系统去研究与其 相似的复杂系统，也便于控制系统的计算 机数字仿真。
化的过程。
4、线性系统的基本特性 叠加性：系统在几个输入信号同时作用 下的总响应，等于这几个输入信号单独 作用的响应之和。
如果元件输入为： r1(t)、r2(t)、r(t) ，
对应的输出为： c1(t)、c2(t)、c(t) 。
如果 r(t)=r1(t)+r2(t) 时， c(t)=c1(t)+c2(t) 满足叠加性。
满足齐次性。
满足叠加性和齐次性的元件才是线性元件
例如 y=kx 是线性元件
输入 x1 输出 y1=kx1 x2 输入x1 ＋x2 C为常数， Cx1 y2=kx2 y1 ＋ y2 满足迭加性 Cy1 满足齐次性
所表示的元件 为线性元件
线性方程不一定满足迭加性和齐次性
y=kx+b(b为常数 0)线性方程，所表示的元件不是 线性元件 . 输入 x1y1 输出 y1＝ kx1+b x2 y2 y2 =kx2+b 输入 x1 ＋ x2 输出 y=k(x1 ＋ x2)+b =k x1 +kx2+b y1 +y2 不满足迭加性 k为常数 :kx1输出y=k(kx1)+b=k2x1+b ky1=k(kx1+b)= k2x1+kb yky1 不满足齐次方程。 所表示的元件不是线性元件。
第2章控制系统的数学模型
自动控制理论
同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统 也可以有相同形式的数学模型。
相似系统： 具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-1
与例2-3为力－－电荷相似系统。
1/15/2020
自动控制理论
思考题：给出双RC电路的微分方程
i1 ui
R1 ic
C1
R2 i2 u C2
1
C
i1dt R1(i1 i2 ) 0
R1
ui
i2
R2
uO
R2i2 uO
进行拉氏变换
1/15/2020
R1I1 (s) (R1 R2 )I2 (s) Ui (s)
(1 Cs
R1 )I1 (s)
R1I 2 (s)
0
R2 I2 (s) UO (s)
自动控制理论
dt
L[ d 2 f (t) ] s2 F (s) sf (0) f （0） dt 2
L
d
nf dt
(t
n
)
snF (s)
n k 1
s nk
f
(k 1) (0)
⑶积分定理：（设初值为零）
L[
f
(t)dt]
F (s) s
1/15/2020
L[ f (t)(dt)n自]动控F制s(理ns)论
第2章 控制系统的数学模型
主要内容:
数学模型基础 控制系统的微分方程 控制系统的传递函数 控制系统的结构图 信号流图与梅逊公式
1/15/2020
自动控制理论
2.1 数学模型基础
1.数学模型：用数学的方法和形式表示并描述系统中各