数据结构:二叉树子系统

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数据结构二叉树PPT课件

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A
B
CX
E FGH I
J
8
四. 基本名词术语
1. 结点的度:该结点拥有的子树的数目。
2. 树的度:树中结点度的最大值。
3. 叶结点:度为0 的结点. 4. 分支结点: 度非0 的结点. 5. 层次的定义: 根结点为第一层,若某结点在第i 层,
则其孩子结点(若存在)为第i+1层.
A
第1层
B
CX
第2层
12
完全二叉树.
三.i 层最多有2i–1个结点(i1)。
2. 深度为h 的非空二叉树最多有2h -1个结点.
3. 若非空二叉树有n0个叶结点,有n2个度为2的结点,

n0=n2+1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度h=log2n+1.
13
二叉树的存储结构
39

A
BC D
E F GH I
对树进行先根遍历,获得的先根序列是: ABEFCDGHI
对树进行后根遍历,获得的后根序列是: EFBCGHIDA
40
2.森林的遍历
先序遍历(对森林中的每一棵树进行先根遍历)
1)若森林不空,访问森林中第一棵树的根结点; 2)先序遍历森林中第一棵树的子树森林; 3)先序遍历森林中(除第一棵树外)其余树构成的森林。
(空) 根 根 根

左 子 树
右 子 树
左 子 树
右 子 树
11
二. 两种特殊形态的二叉树
1. 满二叉树
若一棵二叉树中的结点, 或者为叶结点, 或者具有两 棵非空子树,并且叶结点都集 中在二叉树的最下面一层.这 样的二叉树为满二叉树.
2.完全二叉树
若一棵二叉树中只有最下 面两层的结点的度可以小于2, 并且最下面一层的结点(叶结 点)都依次排列在该层从左至 右的位置上。这样的二叉树为

数据结构二叉树实验报告

数据结构二叉树实验报告

一 、实验目的和要求(1)掌握树的相关概念,包括树、节点的度、树的度、分支节点、叶子节点、孩子节点、双亲节 点、树的深度、森林等定义。

(2)掌握树的表示,包括树形表示法、文氏图表示法、凹入表示法和括号表示法等。

(3)掌握二叉树的概念,包括二叉树、满二叉树和完全二叉树的定义。

(4)掌握二叉树的性质。

(5)重点掌握二叉树的存储结构,包括二叉树顺序存储结构和链式存储结构。

(6)重点掌握二叉树的基本运算和各种遍历算法的实现。

(7)掌握线索二叉树的概念和相关算法的实现。

(8)掌握哈夫曼树的定义、哈夫曼树的构造过程和哈夫曼编码的产生方法。

(9)掌握并查集的相关概念和算法。

(10)灵活运用二叉树这种数据结构解决一些综合应用问题。

二、实验内容注:二叉树b 为如图7-123所示的一棵二叉树图7-123+实验7.1 编写一个程序algo7-1.cpp,实现二叉树的各种运算,并在此基础上设计一个程序exp7-1.cpp 完成如下功能:(1)输出二叉树b ;(2)输出H 节点的左、右孩子节点值; (3)输出二叉树b 的深度; (4)输出二叉树b 的宽度; (5)输出二叉树b 的节点个数;(6)输出二叉树b 的叶子节点个数。

实验7.2设计一个程序exp7-2.cpp,实现二叉树的先序遍历、中序遍历和后序遍历和非递归算法, 以及层次变量里的算法。

并对图7-123所示的二叉树b 给出求解结果。

b+ACF GIKL+NM+E+HdJD₄B臣1607-1.CPPif(b?-HULL)re3P4+;Qu[rear]-p-b;Qu[rear].1no=1;while(reart=front){Front++;b=Qu[front]-P;lnum-Qu[front].1no;if(b->Ichildt=NULL)rpar+t;Qu[rear]-p=b->1child;Qu[rear].Ino-lnun+1;if(D->rch11d?=NULL)1/根结点指针入队//根结点的层次编号为1 1/队列不为空1/队头出队1/左孩子入队1/右孩子入队redr+t;qu[rear]-p=b->rchild;Qu[rear].1no-lnun*1;}}nax-0;lnun-1;i-1;uhile(i<=rear){n=0;whdle(i<=rear ge Qu[1].1no==1num)n+t;it+;Inun-Qu[i].1n0;if(n>max)nax=n;}return max;田1607-1.CPPreturn max;}elsereturn o;口×int Modes(BTNode *D) //求二叉树D的结点个数int nun1,nun2;if(b==NULL)returng,else if(b->ichild==NULL&D->rchild==NULL)return 1;else{num1-Hodes(b->Ichild);num2=Nodes(b->rchild);return(num1+nun2+1);LeafNodes(BINode *D) //求二叉树p的叶子结点个数int num1,num2;1f(D==NULL)return 0;else if(b->1chi1d==NULLc& b->rch11d==NULL)return 1;else{num1-LeafModes(b->lchild);num2=LeafNodes(b->rchild);return(nun1+nun2);int程序执行结果如下:xCProrn FlslirosfViu l SudiollyPrjecslro7 LJebuglFoj7 ex<1)输出二叉树:A<B<D,E<H<J,K<L,M<,N>>>>),C<F,G<,I>>)<2)'H’结点:左孩子为J石孩子为K(3)二叉树b的深度:7<4)二叉树b的宽度:4(5)二叉树b的结点个数:14(6)二叉树b的叶子结点个数:6<?>释放二叉树bPress any key to continue实验7 . 2程序exp7-2.cpp设计如下:坠eTPT-2.EPP#include<stdio.h》winclude<malloc.h>deFn Masie 00typde chr ElemTyetypede sruct nde{ElemType data;stuc node *lclldstruct node rchild;》BTHode;extern vod reaeBNodeBTNode extrn void DispBTHode(BTNodeuoid ProrderBTNode *b)if(b?-NULL)- 回1 / 数据元素1 / 指向左孩子1 / 指向右孩子*eb car *str)xb1 / 先序遍历的递归算法1 / 访问根结点/ / 递归访问左子树1 7 递归访问右子树/ / 根结点入栈//栈不为空时循环/ / 退栈并访问该结点/ / 右孩子入栈{》v oidprintf(*c“,b->data); Preorder(b->lchild); Pre0rder(b->rchild);Preorder1(BTNode *b)BTNode xSt[Maxsize],*p;int top=-1;if(b!-HULL)top++;St[top]-b;uhle (op>-)p-St[top];top--;printf("%c“,p->data);if(p->rchild?-HULL)A约e程p7-2.CPPprintF(”后序逅历序列:\n");printf(" 递归算法=");Postorder(b);printf("\n");printf(“非递归算法:“);Postorder1(b);printf("\n");序执行结果如下:xCAPrograFleicsoftVisal SudlyrjecsProj 2Debuzlroj72ex"二叉树b:A(B(D,ECH<J,K(L,M<,N)>))),C(F,GC.I>))层次遍历序列:A B C D E F G H I J K L M N先序遍历序列:递归算法:A B D E H J K L M N C F G I非归算法:A B D E H J K L M N C F G I中序遍历序列:递归算法: D B J H L K M N E A F C G I非递归算法:D B J H L K M N E A F C G I后序遍历序列:递归算法: D J L N M K H E B F I G C A非递归算法:D J L N H K H E B F I G C APress any key to continue臼p7-3.CPP15Pp a t h[p a t h l e n]-b->d a t a;//将当前结点放入路径中p a t h l e n t+;/7路任长度培1Al1Path1(b->ichild,patn,pathlen);1/递归扫描左子树Al1Path1(b->rchild,path,pathlen); //递归扫描右子树pathlen-- ; //恢复环境uoid Longpath(BTNode *b,Elemtype path[1,int pathlen,Elemtype longpath[],int elongpatnien) int i;1f(b==NULL){if(pathlen>longpatnlen) //若当前路径更长,将路径保存在1ongpatn中for(i-pathlen-1;i>-8;i--)longpath[i]=path[1];longpathlen-pathlen;elsepath[pathlen]=b->data; pathlen4; //将当前结点放入路径中//路径长度增1iongPath(b->lchild,path₇pathlen,langpath,longpathien);//递归扫描左子树LongPath(b->rchiid,path,pathien,longpath,longpathien);//递归扫描石子树pathlen--; /7饮其环境oid DispLeaf(BTNode xb)- 口凶uoid DispLeaf(BTNode xb)iE(D!=NULL){ if(b->1child--HULL B& b->rchild--HULL)printf("3c“,b->data);elsepispLeaf(b->ichild);DispLeaf(b->rchild);oid nain()8TNodexb;ElenType patn[Maxsize],longpath[Maxsize];int i.longpathien-U;CreateBTNode(b,"A(B(D,E(H(J,K(L,H(,N))))),C(F,G(,I)))");printf("\n二灾树b:");DispBTNode(b);printf("\n\n*);printf(”b的叶子结点:");DispLeaf(b);printf("\n\n");printf("A11Path:");A11Path(b);printf("m");printf("AiiPath1:n");AliPath1(b.path.);printf("");LongPath(b,path,8,longpath,longpathlen);printf(”第一条量长路径长度=d\n”,longpathlen);printf(”"第一茶最长路径:");for(i=longpathlen;i>=0;i--)printf("c",longpatn[1]);printf("\n\n");。

数据结构-C语言-树和二叉树

数据结构-C语言-树和二叉树

练习
一棵完全二叉树有5000个结点,可以计算出其
叶结点的个数是( 2500)。
二叉树的性质和存储结构
性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度必为[log2n]+1
k-1层 k层
2k−1−1<n≤2k−1 或 2k−1≤n<2k n k−1≤log2n<k,因为k是整数
所以k = log2n + 1
遍历二叉树和线索二叉树
遍历定义
指按某条搜索路线遍访每个结点且不重复(又称周游)。
遍历用途
它是树结构插入、删除、修改、查找和排序运算的前提, 是二叉树一切运算的基础和核心。
遍历规则 D
先左后右
L
R
DLR LDR LRD DRL RDL RLD
遍历规则
A BC DE
先序遍历:A B D E C 中序遍历:D B E A C 后序遍历:D E B C A
练习 具有3个结点的二叉树可能有几种不同形态?普通树呢?
5种/2种
目 录 导 航 Contents
5.1 树和二叉树的定义 5.2 案例引入 5.3 树和二叉树的抽象数据类型定义 5.4 二叉树的性质和存储结构 5.5 遍历二叉树和线索二叉树 5.6 树和森林 5.7 哈夫曼树及其应用 5.8 案例分析与实现
(a + b *(c-d)-e/f)的二叉树
目 录 导 航 Contents
5.1 树和二叉树的定义 5.2 案例引入 5.3 树和二叉树的抽象数据类型定义 5.4 二叉树的性质和存储结构 5.5 遍历二叉树和线索二叉树 5.6 树和森林 5.7 哈夫曼树及其应用 5.8 案例分析与实现
二叉树的抽象数据类型定义
特殊形态的二叉树
只有最后一层叶子不满,且全部集中在左边

数据结构——- 二叉树

数据结构——- 二叉树

证明: 5.1 二叉树的概念
(1)总结点数为 ●二叉树的主要性质 n=n0+n1+n2 (2)除根结点外,每个 ●性质3: 结点都有一个边e进入 任何一棵二叉树,若其终端结点数为n0, n=e+1 度为2的结点数为n2,则n0=n2+1 (3)边e又是由度为1或2 A 的点射出,因此 e=n1+2n2 G B (4)由(2)(3) F C D n=n1+2n2+1 (5)由(4)-(1)可得 G n0=n2+1
《数据结构与算法》
★★★★★
第五章 二叉树
廊坊师范学院 数学与信息科学学院
树型结构--实例:五子棋
A
B
D
E
F
C
…...........
…...........
第五章 二叉树
本章重点难点
重点: 二叉树的定义,性质,存储结 构以及相关的应用——遍历,二叉搜 索树,堆优先 队列,Huffman树等 难点: 二叉树的遍历算法及相关应用
证明: 5.1 二叉树的概念
(1)总结点数为 ●二叉树的主要性质 n=n0+n1+n2 (2)除根结点外,每个 ●性质3: 结点都有一个边e进入 任何一棵二叉树,若其终端结点数为n0, n=e+1 度为2的结点数为n2,则n0=n2+1 (3)边e又是由度为1或2 A 的点射出,因此 e=n1+2n2 G B (4)由(2)(3) F C D n=n1+2n2+1 (5)由(4)-(1)可得 G n0=n2+1
A B C E D F G
证明: 由性质4可推出
由性质2(深度为k的 二叉树,至多有2k+1-1 个结点)可知,高度 为h(k+1)的二叉树,其 有n (n>0)个结点的完全二叉树的高度为 结点个数n满足: 「log2(n+1) ,深度为「log2(n+1) -1 2h-1-1<n<=2h-1 高度:二叉树中最大叶结点的层数+1 2h-1<n+1<=2h 取对数得到: 0层 1 h-1<log2(n+1)<=h 3 1层 2 因为h是整数,所以 h= log2(n+1) 5 2层 4

数据结构:第9章 查找2-二叉树和平衡二叉树

数据结构:第9章 查找2-二叉树和平衡二叉树
NODE *t; char x; {if(t==NULL)
return(NULL); else
{if(t->data==x) return(t);
if(x<(t->data) return(search(t->lchild,x));
else return(search(t->lchild,x)); } }
——这种既查找又插入的过程称为动态查找。 二叉排序树既有类似于折半查找的特性,又采用了链表存储, 它是动态查找表的一种适宜表示。
注:若数据元素的输入顺序不同,则得到的二叉排序树形态 也不同!
讨论1:二叉排序树的插入和查找操作 例:输入待查找的关键字序列=(45,24,53,45,12,24,90)
二叉排序树的建立 对于已给定一待排序的数据序列,通常采用逐步插入结点的方 法来构造二叉排序树,即只要反复调用二叉排序树的插入算法 即可,算法描述为: BiTree *Creat (int n) //建立含有n个结点的二叉排序树 { BiTree *BST= NULL;
for ( int i=1; i<=n; i++) { scanf(“%d”,&x); //输入关键字序列
– 法2:令*s代替*p
将S的左子树成为S的双亲Q的右子树,用S取代p 。 若C无右子树,用C取代p。
例:请从下面的二叉排序树中删除结点P。
F P
法1:
F
P
C
PR
C
PR
CL Q
CL QL
Q SL
S PR
QL S
SL
法2:
F
PS
C
PR
CL Q
QL SL S SL

数据结构二叉树知识点总结

数据结构二叉树知识点总结

数据结构二叉树知识点总结二叉树是一种常见的数据结构,它由节点组成,每个节点最多可以有两个子节点,分别称为左子节点和右子节点。

二叉树有很多重要的特性和操作,下面是一些关于二叉树的知识点总结。

1.二叉树的基本概念-根节点:树的顶部节点,没有父节点。

-子节点:根节点下的节点。

-叶节点:没有子节点的节点。

-父节点:一个节点的直接上级节点。

-高度:树的最大层数,根节点的层数为0。

-深度:树的层数,叶节点的深度为最大深度。

-层次遍历:按层次的顺序依次访问每个节点。

2.二叉树的分类-满二叉树:每个节点要么没有子节点,要么有两个子节点。

-完全二叉树:除了最后一层外,其它层的节点都是满的,并且最后一层的节点都靠左排列。

-二叉树:左子节点的值小于父节点的值,右子节点的值大于父节点的值。

3.二叉树的表示方法- 数组表示法:将树的节点按层次遍历的顺序存储在一个数组中,对于任意节点i,它的父节点在位置floor((i-1)/2),左子节点在位置2*i+1,右子节点在位置2*i+2-链表表示法:使用节点对象保存节点的数据和指向左右子节点的指针。

4.二叉树的遍历-前序遍历:先访问根节点,然后递归地遍历左子树和右子树。

-中序遍历:先递归地遍历左子树,然后访问根节点,最后遍历右子树。

-后序遍历:先递归地遍历左子树和右子树,最后访问根节点。

-层次遍历:按层次的顺序依次访问每个节点。

5.二叉树的应用-表达式树:使用二叉树表示数学表达式,可以方便地计算表达式的值。

-堆:一种特殊的二叉树,用于实现优先队列。

-平衡二叉树:保持左右子树高度差不超过1的二叉树,用于实现高效的查找操作。

-哈夫曼树:用于数据压缩,将出现频率较高的字符编码为较短的二进制串。

6.二叉树的操作-插入节点:将新节点插入到树的适当位置,保持二叉树的性质。

-删除节点:删除指定节点,保持二叉树的性质。

-节点:在树中指定节点。

-最小值和最大值:找到树中的最小值和最大值。

-判断是否相等:判断两个二叉树是否相等。

数据结构 -第12周查找第3讲-二叉排序树.pdf

数据结构 -第12周查找第3讲-二叉排序树.pdf

以二叉树或树作为表的组织形式,称为树表,它是一类动态查找表,不仅适合于数据查找,也适合于表插入和删除操作。

常见的树表:二叉排序树平衡二叉树B-树B+树9.3.1 二叉排序树二叉排序树(简称BST)又称二叉查找(搜索)树,其定义为:二叉排序树或者是空树,或者是满足如下性质(BST性质)的二叉树:❶若它的左子树非空,则左子树上所有节点值(指关键字值)均小于根节点值;❷若它的右子树非空,则右子树上所有节点值均大于根节点值;❸左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。

注意:二叉排序树中没有相同关键字的节点。

二叉树结构满足BST性质:节点值约束二叉排序树503080209010854035252388例如:是二叉排序树。

66不试一试二叉排序树的中序遍历序列有什么特点?二叉排序树的节点类型如下:typedef struct node{KeyType key;//关键字项InfoType data;//其他数据域struct node*lchild,*rchild;//左右孩子指针}BSTNode;二叉排序树可看做是一个有序表,所以在二叉排序树上进行查找,和二分查找类似,也是一个逐步缩小查找范围的过程。

1、二叉排序树上的查找Nk< bt->keybtk> bt->key 每一层只和一个节点进行关键字比较!∧∧p查找到p所指节点若k<p->data,并且p->lchild=NULL,查找失败。

若k>p->data,并且p->rchild=NULL,查找失败。

查找失败的情况加上外部节点一个外部节点对应某内部节点的一个NULL指针递归查找算法SearchBST()如下(在二叉排序树bt上查找关键字为k的记录,成功时返回该节点指针,否则返回NULL):BSTNode*SearchBST(BSTNode*bt,KeyType k){if(bt==NULL||bt->key==k)//递归出口return bt;if(k<bt->key)return SearchBST(bt->lchild,k);//在左子树中递归查找elsereturn SearchBST(bt->rchild,k);//在右子树中递归查找}在二叉排序树中插入一个关键字为k的新节点,要保证插入后仍满足BST性质。

数据结构:二叉树、平衡二叉树、红黑树详解

数据结构:二叉树、平衡二叉树、红黑树详解

数据结构:⼆叉树、平衡⼆叉树、红⿊树详解⼀、⼆叉树(binary tree)指每个节点最多含有两个⼦树的树结构。

时间复杂度为O(log N),在退化成链表的情况下时间复杂度为O(N)。

特点:1.所有节点最多拥有两个⼦节点;2.节点的左⼦树只包含⼩于当前根节点的数,节点的右⼦树只包含⼤于当前根节点的数。

缺点:只会以我们第⼀次添加的节点为根节点,如果后⾯添加的节点值都⼤于或⼩于根节点的值,在这种情况下会退化成链表。

⼆、平衡⼆叉树(Balanced Binary Tree)⼜称为AVL树,具有⼆叉树的全部特性,解决⼆叉树退化成链表情况的问题,每个节点的左⼦树和右⼦树的⾼度之差不会超过1,AVL树是严格的平衡⼆叉树,追求完全平衡,⽐较严格。

缺点:由于要求每个节点的左⼦树和右⼦树⾼度之差不超过1,这个要求⾮常严格,追求完全平衡,这就导致了在频繁插⼊和删除的场景中,可能就会导致AVL树失去平衡,AVL树就需要频繁的通过左旋右旋使其重新达到平衡,这时就会时得其性能⼤打折扣。

三、红⿊树和AVL树相⽐,红⿊树放弃追求完全平衡,⽽是追求⼤致平衡,保证每次插⼊节点最多只需要三次旋转就能达到平衡,维持平衡的耗时较少,实现起来也更为简单,它的旋转次数较少,对于频繁插⼊和删除操作的场景,相⽐AVL树,红⿊树更具优势。

特征:1.红⿊树是也是平衡⼆叉树实现的⼀种⽅式2.节点只能是⿊⾊或者红⾊,root根节点⼀定是⿊⾊3.新增时默认新增的节点是红⾊,不允许两个红⾊节点相连4.红⾊节点的两个⼦节点⼀定是⿊⾊红⿊树变换规则三种规则:1.改变节点颜⾊2.左旋转3.右旋转变⾊的情况:当前节点的⽗亲节点是红⾊,并且它的祖⽗节点的另外⼀个⼦节点(叔叔节点)也是红⾊:以当前节点为指针进⾏操作1.将⽗亲节点变为⿊⾊2.将叔叔节点变为⿊⾊3.将祖⽗节点变为红⾊4.再把指针定义到祖⽗节点进⾏旋转操作左旋转:当⽗亲节点为红⾊情况,叔叔节点为⿊⾊情况,且当前节点是右⼦树,左旋转以⽗节点作为左旋。

数据结构实验二叉树

数据结构实验二叉树

实验六:二叉树及其应用一、实验目的树是数据结构中应用极为广泛的非线性结构,本单元的实验达到熟悉二叉树的存储结构的特性,以及如何应用树结构解决具体问题。

二、问题描述首先,掌握二叉树的各种存储结构和熟悉对二叉树的基本操作。

其次,以二叉树表示算术表达式的基础上,设计一个十进制的四则运算的计算器。

如算术表达式:a+b*(c-d)-e/f三、实验要求如果利用完全二叉树的性质和二叉链表结构建立一棵二叉树,分别计算统计叶子结点的个数。

求二叉树的深度。

十进制的四则运算的计算器可以接收用户来自键盘的输入。

由输入的表达式字符串动态生成算术表达式所对应的二叉树。

自动完成求值运算和输出结果。

四、实验环境PC微机DOS操作系统或Windows 操作系统Turbo C 程序集成环境或Visual C++ 程序集成环境五、实验步骤1、根据二叉树的各种存储结构建立二叉树;2、设计求叶子结点个数算法和树的深度算法;3、根据表达式建立相应的二叉树,生成表达式树的模块;4、根据表达式树,求出表达式值,生成求值模块;5、程序运行效果,测试数据分析算法。

六、测试数据1、输入数据:2.2*(3.1+1.20)-7.5/3正确结果:6.962、输入数据:(1+2)*3+(5+6*7);正确输出:56七、表达式求值由于表达式求值算法较为复杂,所以单独列出来加以分析:1、主要思路:由于操作数是任意的实数,所以必须将原始的中缀表达式中的操作数、操作符以及括号分解出来,并以字符串的形式保存;然后再将其转换为后缀表达式的顺序,后缀表达式可以很容易地利用堆栈计算出表达式的值。

例如有如下的中缀表达式:a+b-c转换成后缀表达式为:ab+c-然后分别按从左到右放入栈中,如果碰到操作符就从栈中弹出两个操作数进行运算,最后再将运算结果放入栈中,依次进行直到表达式结束。

如上述的后缀表达式先将a 和b 放入栈中,然后碰到操作符“+”,则从栈中弹出a 和b 进行a+b 的运算,并将其结果d(假设为d)放入栈中,然后再将c 放入栈中,最后是操作符“-”,所以再弹出d和c 进行d-c 运算,并将其结果再次放入栈中,此时表达式结束,则栈中的元素值就是该表达式最后的运算结果。

二叉树结构的特点

二叉树结构的特点

二叉树结构的特点二叉树是一种常见的数据结构,它具有以下特点:1. 结构简单:二叉树是一种有序树结构,每个节点最多只有两个子节点,分别称为左子节点和右子节点。

这种结构的简洁性使得二叉树在实际应用中得到广泛使用。

2. 层次性:二叉树具有明显的层次性,即树的每一层都可以通过节点间的父子关系来确定。

根节点是第一层,根节点的子节点是第二层,以此类推。

3. 有序性:在二叉树中,每个节点的左子节点小于它,右子节点大于它。

这种有序性使得二叉树在查找和排序方面具有很高的效率。

4. 高度平衡:二叉树的高度平衡性是指树的左右子树的高度差不超过1。

高度平衡的二叉树可以保证查找、插入和删除操作的平均时间复杂度为O(log n)。

5. 递归性:二叉树的定义是递归的,即每个子树都是二叉树。

这种递归性质使得在二叉树上的操作可以通过递归算法来实现。

6. 存储结构灵活:二叉树的存储结构可以采用顺序存储和链式存储两种方式。

顺序存储是将二叉树的节点按照层次顺序存储在一维数组中,链式存储是通过每个节点的指针来连接各个节点。

在二叉树的基础上,还可以扩展出以下几种特殊的二叉树结构:1. 完全二叉树:完全二叉树是指除了最后一层外,其他层的节点个数都达到最大值,并且最后一层的节点依次从左到右排列。

完全二叉树的特点是高度平衡,可以用数组来存储。

2. 满二叉树:满二叉树是指每个节点都有两个子节点的二叉树,即除了叶子节点外,每个节点都有两个子节点。

满二叉树的特点是节点个数达到最大值,高度平衡。

3. 平衡二叉树:平衡二叉树是指任意节点的左右子树的高度差不超过1的二叉树。

平衡二叉树的特点是高度平衡,可以保证各种操作的时间复杂度较低。

4. 二叉搜索树:二叉搜索树是一种特殊的二叉树,它具有以下性质:对于树中的任意节点,其左子树中的节点值都小于它,右子树中的节点值都大于它。

二叉搜索树的特点是可以高效地进行查找、插入和删除操作。

5. 线索二叉树:线索二叉树是对二叉树的一种扩展,它的特点是在每个节点上增加了指向前驱节点和后继节点的指针。

数据结构树和二叉树知识点总结

数据结构树和二叉树知识点总结

数据结构树和二叉树知识点总结
1.树的概念:树是一种非线性的数据结构,由节点和边构成,每个节点只能有一个父节点,但可以有多个子节点。

2. 二叉树的概念:二叉树是一种特殊的树结构,每个节点最多只有两个子节点,一个是左子节点,一个是右子节点。

3. 二叉树的遍历:二叉树的遍历分为前序遍历、中序遍历和后序遍历三种方式。

前序遍历是先访问根节点,再访问左子树,最后访问右子树;中序遍历是先访问左子树,再访问根节点,最后访问右子树;后序遍历是先访问左子树,再访问右子树,最后访问根节点。

4. 二叉搜索树:二叉搜索树是一种特殊的二叉树,它满足左子树中所有节点的值均小于根节点的值,右子树中所有节点的值均大于根节点的值。

因此,二叉搜索树的中序遍历是一个有序序列。

5. 平衡二叉树:平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树,它的左子树和右子树的高度差不超过1。

平衡二叉树的插入和删除操作可以保证树的平衡性,从而提高树的查询效率。

6. 堆:堆是一种特殊的树结构,它分为最大堆和最小堆两种。

最大堆的每个节点的值都大于等于其子节点的值,最小堆的每个节点的值都小于等于其子节点的值。

堆常用于排序和优先队列。

7. Trie树:Trie树是一种特殊的树结构,它用于字符串的匹配和检索。

Trie树的每个节点代表一个字符串的前缀,从根节点到叶子节点的路径组成一个完整的字符串。

以上是数据结构树和二叉树的一些基本知识点总结,对于深入学
习数据结构和算法有很大的帮助。

计算机数据结构知识点梳理 二叉树的定义及其主要特征

计算机数据结构知识点梳理		二叉树的定义及其主要特征

当 n ≠ 2k , 即 n 不是2的方幂或者 n = 2k 但是一棵满二叉树,其高度为

当 n = 2k 但是非满二叉树,其高度为

②有n个结点的完全k叉树的高度为

性质5推广:一棵满k叉树,如果按层次顺序从1开始对全部结点编号,
①编号为p=1的结点无父结点,否则编号为p结点的父结点的编号是
(k≥2);
[题1]若一棵二叉树有126个结点,在第7层(根结点在第1层)至多有( )个结点。
A.32
B.64
C.63
D.不存在第7层
分析:根据二叉树的性质,第7层至多有64(27-1)个结点,但是题目中给出了二叉树的结点 总数126,由此来判断第7层是否可以有64个结点?
要在二叉树的第7层达到最多的结点个数,其上面6层必须是一个满二叉树,深度为6的满 二叉树有63(26-1)个结点,由此可以判断出此二叉树的第7层不可能达到64个结点,最 多是126-63=63个结点。
(2)完全二叉树:一棵深度为k的有n个结点的二叉树,对树中的结点按从上至下、从左到 右的顺序进行编号,如果编号为i(1≤i≤n)的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树 中的位置相同,则这棵二叉树称为完全二叉树。它的特点是:叶子结点只能出现在最下 层和次下层,且最下层的叶子结点集中在树的左部。
任何完全二叉树中度为1的结点只有0个或1个。
中的所有结点从1开始顺序编号,则对于任意的序号为i的结点,有:
(1)如果i>1,则序号i的结点的双亲结点的序号为 ;如果i=1,则序号为i的结点是根 结点,无双亲结点。
(2)如果2i≤n,则序号为i的结点的左孩子结点的序号为2i;如果2i>n,则序号为i的结 点无左孩子。
(3)如果2i+1≤n,则序号为i的结点的右孩子结点的序号为2i+1;如果2i+1>n,则 序号为i的结点无右孩子。

【数据结构】二叉树

【数据结构】二叉树

【数据结构】⼆叉树【⼆叉树】 ⼆叉树是最为简单的⼀种树形结构。

所谓树形结构,其特征(部分名词的定义就不明确给出了,毕竟不是学术⽂章。

)在于: 1. 如果是⾮空的树形结构,那么拥有⼀个唯⼀的起始节点称之为root(根节点) 2. 除了根节点外,其他节点都有且仅有⼀个“⽗节点”;除此外这些节点还都可以有0到若⼲个“⼦节点” 3. 树中的所有节点都必须可以通过根节点经过若⼲次后继操作到达 4. 节点之间不会形成循环关系,即任意⼀个节点都不可能从⾃⾝出发,经过不重复的径路再回到⾃⾝。

说明了树形结构内部蕴含着⼀种“序”,但是不是线性表那样的“全序” 5. 从树中的任意两个节点出发获取到的两个任意⼦树,要不两者⽆交集,要不其中⼀者是另⼀者的⼦集 限定到⼆叉树,⼆叉树就是任意⼀个节点⾄多只能有两个⼦节点的树形结构。

也就是说,某个节点的⼦节点数可以是0,1或2。

由于可以有两个⼦节点,所以区别两个⼦节点可以将其分别定义为左⼦节点和右⼦节点。

但是需要注意的是,若⼀个节点只有⼀个⼦节点,那么也必须明确这个⼦节点是左⼦节点还是右⼦节点。

不存在“中⼦节点”或者“单⼦节点”这种表述。

由于上述规则对所有节点都⽣效,所以⼆叉树也是⼀个递归的结构。

事实上,递归就是⼆叉树⼀个⾮常重要的特点,后⾯还会提到很多通过递归的思想来建⽴的例⼦。

对于左⼦节点作为根节点的那颗⼆叉树被称为相对本节点的左⼦树,右⼦树是同理。

■ 基本概念 空树 不包含任何节点的⼆叉树,连根节点也没有 单点树 只包含⼀个根节点的⼆叉树是单点树 ⾄于兄弟关系,⽗⼦关系,长辈后辈关系是⼀⾔既明的就不说了。

树中没有⼦节点的节点被称为树叶(节点),其余的则是分⽀节点。

⼀个节点的⼦节点个数被称为“度数”。

正如上所说,⼆叉树任意节点的度数取值可能是0,1或2。

节点与节点之间存在关联关系,这种关联关系的基本长度是1。

通过⼀个节点经过若⼲个关联关系到达另⼀个节点,经过的这些关联关系合起来被称为⼀个路径。

数据结构二叉树知识点总结

数据结构二叉树知识点总结

数据结构二叉树知识点总结二叉树是指每个节点最多有两个子节点的树结构。

它是一种重要的数据结构,在算法和程序设计中被广泛应用。

下面是对二叉树的主要知识点进行详细总结。

1.二叉树的基本概念:-树节点:树的基本单元,包含数据项(节点值)和指向其他节点的指针。

-根节点:树的第一个节点。

-叶节点(又称为终端节点):没有子节点的节点。

-子节点:一些节点的下一级节点。

-父节点:一些节点的上一级节点。

-兄弟节点:拥有同一父节点的节点。

-深度:从根节点到当前节点的路径长度。

-高度:从当前节点到最远叶节点的路径长度。

2.二叉树的分类:-严格二叉树:每个节点要么没有子节点,要么有两个子节点。

-完全二叉树:除了最后一层外,其他层的节点数都达到最大,并且最后一层的节点依次从左到右排列。

-满二叉树:每个节点要么没有子节点,要么有两个子节点,并且所有叶节点都在同一层上。

-平衡二叉树:任意节点的两棵子树的高度差不超过13.二叉树的遍历:-前序遍历:根节点->左子树->右子树。

递归实现时,先访问当前节点,然后递归遍历左子树和右子树。

-中序遍历:左子树->根节点->右子树。

递归实现时,先递归遍历左子树,然后访问当前节点,最后递归遍历右子树。

-后序遍历:左子树->右子树->根节点。

递归实现时,先递归遍历左子树,然后递归遍历右子树,最后访问当前节点。

-层序遍历:从上到下,从左到右依次访问每个节点。

使用队列实现。

4.二叉查找树(BST):-二叉查找树是一种有序的二叉树,对于树中的每个节点,其左子树的节点的值都小于当前节点的值,右子树的节点的值都大于当前节点的值。

-插入操作:从根节点开始,递归地比较要插入的值和当前节点的值,根据比较结果向左或向右移动,直到找到插入位置为止。

-查找操作:从根节点开始,递归地比较要查找的值和当前节点的值,根据比较结果向左或向右移动,直到找到目标节点或到叶节点。

-删除操作:有三种情况:-被删除节点是叶节点:直接将其删除。

数据结构与算法(3):二叉树

数据结构与算法(3):二叉树
证!
1.3.3 性质三
包含n个结点的二二叉树的高高度至至少为log2(n + 1);
证明:根据"性质2"可知,高高度为h的二二叉树最多有2{h}–1个结点。反之,对于包含n个节点的二二
叉树的高高度至至少为log2(n + 1)。
1.3.4 性质四
对任何一一颗二二叉树T,如果其终端结点数为n0 ,度为2的结点数为n2 ,则n0 = n2 + 1 证明:因为二二叉树中所有结点的度数均不不大大于2,所以结点总数(记为n)="0度结点数(n0)" + "1度 结点数(n1)" + "2度结点数(n2)"。由此,得到等式一一。(等式一一) n = n0 + n1 + n2
}
还有一一种方方式就是利利用用栈模拟递归过程实现循环先序遍历二二叉树。这种方方式具备扩展性,它模拟 了了递归的过程,将左子子树不不断的压入入栈,直到null,然后处理理栈顶节点的右子子树。
java
public void preOrder(Node root){ if(root==null)return;
2. 叶子子数为2h 3. 第k层的结点数是:2k−1; 4. 总结点数是2k − 1,且总节点数一一定是奇数。
1.4.2 完全二二叉树
定义:一一颗二二叉树中,只有最小小面面两层结点的度可以小小于2,并且最下一一层的叶结点集中在靠左 的若干干位置上。这样现在最下层和次下层,且最小小层的叶子子结点集中在树的左部。显然,一一颗 满二二叉树必定是一一颗完全二二叉树,而而完全二二叉树未必是满二二叉树。
} root = s.pop(); root = root.right;//如果是null,出栈并处理理右子子树 } }

数据结构之二叉树PPT

数据结构之二叉树PPT

2015年5月16日星期六
12
二叉树性质
3. 任何一颗二叉树,度为0的结点比度为2的结点 多一个。
证明:设有n个结点的二叉树的度为0、1、2的结点数分 别为=n0,n1,n2,n=n0 +n1 +n2 (公式1) 设边数为e。因为除根以外,每个结点都有一条边进入, 故n=e+1。 由于这些边是有度为1和2的结点射出的,因此e=n1+ 2*n2,于是n=e+1= n1 +2*n2 +1(公式2) 因此由公式(1)(2)得 n0+n1+n2=n1+2*n2+1 即n0 =n2 +1
}
2015年5月16日星期六
21
由二叉树的先序和中序序列建树
仅知二叉树的先序序列“abcdefg” 不能唯 一确定一棵二叉树,
如果同时已知二叉树的中序序列“cbdaegf”,
则会如何?
二叉树的先序序列
二叉树的中序序列
2015年5月16日星期六
根 左子树 右子树 左子树 根 右子树
22
例如:
a b c d e f g c b d a e g f
2015年5月16日星期六
10
二叉树性质
2、满二叉树定理的推论: 一棵非空二叉树空子树 的数目等于其结点数目加1。
证明1:设二叉树T,将其所有空子树换成叶结点,把新 的二叉树记为T‘。所有原来树T的结点现在是树T’的分支 结点。 根据满二叉树定理,新添加的叶结点数目等于树T的 结点数目加1, 而每个新添加的叶结点对应树T的一棵空子树,因此 树T中空子树的数目等于树T中结点数目加1。
29
顺序存储

非完全二叉树在置空值而转换为完全二叉树存储 CEDJFX//K/G/I/////L

数据结构课程设计-二叉树

数据结构课程设计-二叉树

《数据结构》课程设计说明书二叉平衡树算法实现班级组别:二指导老师:完成时间:2019.6.19 组长:学号:05 组员1:学号:33 组员2:学号:组员3:学号:成绩:目录目录一、课题设计任务 (2)二、任务分析 (2)1. 数据逻辑结构(算法描述) (2)2. 关键算法思想 (3)三、概要设计(总体设计) (3)四、详细设计 (4)1. 数据存储结构 (4)2. 各模块流程图及算法 (5)3. 算法效率分析 (9)五、测试 (10)1. 删除 (10)2. 查找 (10)3. 遍历 (10)六、课程设计心得 (10)七、参考文献 (11)八、附录 (11)一、课题设计任务针对给定的序列建立存储结构,实现各种遍历;实现树的生成,实现数据的查找、插入、删除,输出各种遍历。

二、任务分析1.数据逻辑结构(算法描述)//中序--递归void InorderTra(PNode root) {if (root) {InorderTra(root->leftChild); //中序遍历左子树printf("%d\t", root->keyValue); //访问根节点InorderTra(root->rightChild); //中序遍历右子数}}//前序--递归void PreOrderTra(PNode root) {if (root != NULL) {printf("%d\t", root->keyValue); //访问根节点PreOrderTra(root->leftChild); //前序遍历左子树PreOrderTra(root->rightChild); //前序遍历右子数}}//后序--递归void PostOrderTra(PNode root) {if (root) {PostOrderTra(root->leftChild); //后序遍历左子树PostOrderTra(root->rightChild); //后序遍历右子树printf("%d\t", root->keyValue); //访问根节点}}//求树的最大深度int getDeep(PNode root) {if (!root) {return 0;}int leftDeep = getDeep(root->leftChild) + 1;int rightDeep = getDeep(root->rightChild) + 1;return leftDeep > rightDeep ? leftDeep : rightDeep;}//从根节点开始打印出所有层void printByLevel(PNode root, int deep) {for (int i = 0; i < deep; i++) {LevelOrderTra(root, i);}printf("\n");}2.关键算法思想树的生成过程保持左右平衡,插入删除过程中保证树的平衡。

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typedef struct bTree//二叉树结点{
char data;//值域
struct bTree *lchild;//左孩子
struct bTree *rchild;//右孩子
}BT;
BT *createTree();
void showTree(BT *t);
void preOrder(BT *t);
case 0:
k = 0; break;
default:
k = 1;
break;
}
}
/*************************************************
Function: createTree()
Description:建立二叉树
Calls: createTree()
{
if (t)//结点不为空
{
in Order(t->lchild);
printf("%3c", t->data); //显示
in Order(t->rchild);
}
} /*************************************************
Function: levelOrder()
fflush(stdi n);
scan f("%d",&choice);
switch(choice)
{
case 1:
printf("请输入根结点(’O'表示该结点为空):”);
t=createTree();
printf("二叉树建立成功。\n");
break;
case 2: showTree(t); break;
BT *q[100]; //指针数组
BT *p;
p = t;
if (p != NULL) //结点非空
{
i = 1;
q[i] = p;
j = 2;
}
while (i != j) //先将每个结点的指针存入指针数组中,在显示出来{
p=q[i];
prin tf("%3c", p->data);
if (p->lchild != NULL) //左孩子非空{
Others: NULL
***********************************************
void preOrder(BT *t)//先序遍历
if (t)//结点不为空
{
printf("%3c", t->data); //显示preOrder(t->lchild); //递归调用preOrder(t->rchild);
Description:求二叉树叶子数
Calls: leafNum()
In put:t:结点指针
Return: int
Others: NULL
*************************************************/
int leafNum(BT *t)//叶子数
{
int i = 0;
Description:主调函数
Calls: createTree() showTree() preOrder() postOrder() in Order() leafNum() levelOrder() no deNum() treeDepth()
In put: NULL
Return: void
Function: in Order()
Description:中序遍历
Calls: in Order()
In put: t:结点指针
Return: void
Others: NULL
***********************************************
void inOrder(BT *t)//中序遍历
}
}
/*************************************************
Function: postOrder()
Description:后序遍历
Calls: postOrder()
In put:t:结点指针
Return: void
Others: NULL
*************************************************/
}
if (p->rchild != NULL)
{
tp++;
sta[tp] = p->rchild;
lev[tp][0] = n+wid;
lev[tp][1] = 2;
***********************************************
Function: preOrder() Description:先序遍历Calls: preOrder() In put: t:结点指针Return: void
if (x ==
:'0')//输入的值为零,结点为空
{
t:
=NULL;
}
else
{
t = (BT *)malloc(sizeof(BT));
t->data = x; //赋值
printf("请输入结点%c的左孩子:", t->data); t->lchild = createTree(); //递归建立左孩子printf("请输入结点%c的右孩子:", t->data); t->rchild=createTree();//递归调用
if (t != NULL)//结点非空
{
printf(”凹入表示法:\n");
tp= 1;
sta[tp] = t; //将各个结点的指针放在指针数组中lev[tp][O]=wid;//显示的前面的空白长度while (tp> 0)
{
p=sta[tp];
n = lev[tp][O];
//显示
for (i = 0; i< n; i++)
q[j] = p->lchild;
j++;
}
if (p->rchild != NULL) //左孩子非空{
q[j] = p->rchild;
j++;
}
i++;//为了显示下一个结点
}
} /*************************************************
Function: leafNum()
if (t->lchild == NULL && t->rchild == NULL) //左右孩子都为空{
7—
--求叶子数
*\n");
prin tf("*
8——
--求结点数
*\n");
prin tf("*
9——
--求树深度
*\n");
prin tf("*
0——
--返回
*\n");
prin tf("*******************************\n")・
printf("请选择菜单号
(0--9):");
} return t;
}
/*************************************************
Function: showTree()
Description:凹入显示二叉树
Calls: void
In put: t:结点指针
Return: void
Others: NULL
void postOrder(BT *t)//后序遍历
{
if (t)//结点不为空
{
postOrder(t->lchild); postOrder(t->rchild); printf("%3c", t->data); //显示
}
}
***********************************************
/**题目:按屏幕提示用前序方法建立一棵二叉树,并能按凹入法显示二叉树结构。
*编写前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历程序。
*编写求二叉树的叶结点数、总结点数和深度的程序。
*设计一个选择式菜单,以菜单方式选择下列操作。
*
二叉树子系统
*
*******************************
*
Others: NULL
***********************************************
void mai n()
{
BT *t = NULL;
int choice, k = 1;
while (k)
{
prin tf("\n
二叉树子系统\n");
prin tf("*******************************\n")・
{
printf("0。\n");
}
else
{
printf("%d。\n", nodeNum(t)); } break;
case 9:
printf("该二叉树的深度为:"); if (t == NULL)
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