平面向量综合试题(含答案)

A

平面向量

一.选择题: 1. 在平面上，已知点A (2，1)，B (0，2)，C (－2，1)，O (0，0)．给出下面的结论： ①BC CA AB =- ②OB OC OA =+ ③OA OB AC 2-=

其中正确．．结论的个数是 （ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 2． 下列命题正确的是 （ ）

A ．向量A

B 的长度与向量BA 的长度相等 B ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同

C ．若非零向量AB 与C

D 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线 D ．若→

a

→

b →

c ，则→

a →

c

3. 若向量= (1,1), = (1,－1), =(－1,2),则 等于( )

A.+

B.

C.

D.+

4． 若

，且与也互相垂直，则实数的值为( )

A ．

C.

5．已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的正射影的数量为（ ）A. B. C.

D.

6． 己知 (2,－1) .

(0,5) 且点P 在

的延长线上,

, 则P 点坐标为( )

A.(－2,11)

B.(

C.(

,3) D.(2,－7)

7．设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ） A ．⊥a b

B ．∥a b

C ．||||=a b

D ．||||≠a b

8．已知D 点与ABC 三点构成平行四边形，且A （－2,1），B （－1,3），C （3,4），则D 点坐标为（ ） A.（2,2） B.（4,6） C. （－6,0） D.（2,2）或（－6,0）或（4,6） 9.在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是 （A ）2AC AC AB =⋅ （B ） 2

BC BA BC =⋅ （C ）2

AB AC CD =⋅ （D ） 2

2

()()

AC AB BA BC CD AB

⋅⨯⋅=

10． 设两个向量22

(2,cos )a λλα=+-和(,

sin ),2m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m

λ

的取值范围是 ( ) A.[6,1]- B.[4,8]

C.(,1]-∞

D.[1,6]-

10．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A ．{(1,1)} B ．{(－1,1)} C ．{(1,0)} D ．{(0,1)} 二. 填空题:11．若向量a b ，

的夹角为

60，1a b ==，则()

a a

b -= ．

12．向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 ．

13．向量a 、b 满足

a =

b =1，b a 23-=3，则 b a +3 =

14． 如图，在ABC ∆中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是边BC 上一点，2,DC BD =则

AD BC =__________.

15．如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为

．

三. 解答题：

16.设两个非零向量e 1、e 2不共线.如果AB =e 1+e 2,=BC 2e 1+8e 2,CD =3(e 1-e 2) ⑴求证:A 、B 、D 共线; ⑵试确定实数k,使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线.

17. 已知△ABC 中,A (2,4),B (-1,-2),C (4,3),BC 边上的高为AD .⑴求证:AB ⊥AC ;⑵求点D 与向量AD 的坐标.

17．(10分)已知sin(α＋π2)＝－5

5，α∈(0，π)．(1)求

sin α－π2－cos 3π

2＋α

sin π－α＋cos 3π＋α的值；(2)

求cos(2α－3π

4)的值．

18．已知矩形相邻的两个顶点是A （－1，3），B （－2，4），若它的对角线交点在x 轴上，求另两个顶点的坐标．

19. 已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、. （1）若5=c ，求sin ∠A 的值;（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围.

20．已知向量(sin ,1),(1,cos ),2

2

a b π

π

θθθ==-

<<

．(1)若a b ⊥，求θ； (2)求a b +的最大值．

21.设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈，函数()()f x a a b =⋅+.

B

A

O

N

M

（Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求使不等式3

()2

f x ≥成立的x 的集合.

22．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝25

5

．

(1)求cos(α－β)的值； (2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－5

13，求sin α．

平面向量参考答案

一、选择题：1-5:BABBC 7. A 【解析】2

2

2

()()()(||||)f x x x x x =+-=-+-+a b a b a b a b a b ,

若函数()f x 的图象是一条直线，即其二次项系数为0， ∴a b =0， ⇒⊥a b.

9. C.【分析】： 2

()00AC AC AB AC AC AB AC BC =⋅⇔⋅-=⇔⋅=，A 是正确的，同理B 也正确，对于D 答案可变形为2

2

2

2

CD AB AC BC ⋅=⋅，通过等积变换判断为正确.

10. A 【分析】由2

2

(2,cos )a λλα=+-,(,sin ),2m

b m α=+2,a b =可得22

22cos 2sin m m λλαα+=⎧⎨-=+⎩

，设k m λ

=代入方程组可得222

22cos 2sin km m k m m αα

+=⎧⎨-=+⎩消去m 化简得2

2

22cos 2sin 22k k k αα⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭，再化简得2

2

422cos 2sin 022k k αα⎛⎫+-+

-= ⎪--⎝⎭

再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1

[1,]8

t ∈--因而

11128

k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A 10. A

二、填空题： 11. 2

1【解析】()

2211

cos60122a a b a a b a a b -=-⋅=-⋅︒=-=。

.解析：已知向量2411a b ()()，，

，==．向量(2,4)a b λλλ+=++，()b a b λ⊥+，则2+λ+4+λ=0，实数λ=－3．

13.

14. 8

3

-【分析】根据向量的加减法法则有:BC AC AB =-

112

()333

AD AB BD AB AC AB AC AB =+=+-=+,此时

2212122

()()33333

AD BC AC AB AC AB AC AC AB AB

=+-=+-··

A

B

D

C