浙江省东阳中学2021届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案

东阳中学2020年下学期期中考试卷（高三数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,3,5,7,9,11}U =，{1,3}A =，{9,11}B =，则()U A B = （ ）A ．∅B ．{1,3}C ．{9,11}D ．{5,7,9,11}2．设,a b R ∈，则“21a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 为 （ ） A ．40 B ．403C ．48D ．164．函数cos e x y x =⋅ (其中e 为自然对数的底数)的图象可能是（ ）A B C D5．孔子曰“三人行，必有我师焉”，从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔子的概率为1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔子的概率约为 （ ） 【参考数据：3600.990.03≈ ，3600.010≈，30.970.912673≈】A ．0B ．0.0027%C ．91.2673%D ．99.9973% 6．已知tan()23πα+=，则sin(2)6πα+= （ ）A ．35-B ．35C ．310D ．310-7．实数a ,b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2a b+、ab 按一定顺序构成的数列（ ） A ．可能是等差数列，但不可能是等比数列 B ．不可能是筹差数列，但可能是等比数列 C ．可能是等差数列，也可能是等比数列 D ．不可能是等差数列，也不可能是等比数列8．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝1，BC ＝AA 1＝2，点E ，O 分别是线段C 1C ，BC 的中点，1113A F A A =，分别记二面角F －OB 1－E ，F －OE －B 1，F －EB 1－O的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ） A ．γβα>> B ．αβγ>> C ．γαβ>> D ．αγβ>>9．已知,a t 为正实数，函数()22f x x x a =-+，且对任意[]0,x t ∈，都有()f x a ≤成立．若对每一个正实数a ，记t 的最大值为()g a ，若函数()g a 的值域记为B ，则下列关系正确的是 （ ）A ．2B ∈ B ．12B ∉C ．3B ∈D ．13B ∉10．已知直线1y x =+上有两点1122(,),(,)A a b B a b ，且12a a >．已知1122,,,a b a b 满足12122||a ab b +||2AB =A 个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11．已知i 为虚数单位，复数z 满足2(11)i z i -＋＝，则z 的虚部为 ，|z|= ． 12．在3()(11)x a x x+-+的展开式中，若a ＝2，则x 项的系数为________；若所有项的系数之和为－32，则实数a 的值为________．X 0 1 2 P12p- 122p 13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若16cos 1611b C a c =-，3b =，c ＝2，则cos B =________，ABC S ∆=________．14．已知01p <<，随机变量X 的分布列如右图．若13p =时，()E X = ；在p 的变化过程中，(21)D X +的最大值为______．15．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线12,l l 与直线1x =围成区域Ω(包含边界)，对于区域Ω内任意一点(,)x y ，若23y x x --+的最大值小于0，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________． 16．设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得00(1)()(1)f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“可拆点”．若函数22()log 1af x x =+在(0,)+∞上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为 ． 17．已知()1212,,,,,*k a a b b b k ∈N 是平面内两两互不相等的向量，满足12||1a a -=，且||{1,2}i j a b -∈（其中1,2,1,2,,i j k ==）则k 的最大值为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知函数()sin (0)f x x =>ωω．（1）求()f x 的周期是4π，求ω，并求此时1()2f x =的解集； （2）若1=ω，2()()3()()2g x f x f x f x =+--π，[0,]4x ∈π，求()g x 的值域．19．如图所示，平面ABEF ⊥平面ABC ，四边形ABEF 是矩形，AB ＝2，AF ＝23，△ABC 是以A 为直角的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，PF ＝3． （1）证明：AC ⊥BF ；（2）求直线BC 与平面PAC 所成角的正切值．20．已知数列{},{}n n a b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和． （1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =．i)求{}n a 通项公式；ii)求证：122421111n nb a b a b a +++<． 21．已知椭圆1C ：22221(0)y x a b a b+=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直于长轴的弦长为1．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设点P 在抛物线2C ：2y x h =+上，抛物线2C 在点P 处的切线与椭圆1C 交于点M ,N ，当线段AP 的中点与MN 的中点Q 的横坐标相等时，求h 的最小值．22．已知函数2()ln f x x ax x =-+． （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）对任意0a <，满足2()ln f x x ax x =-+的图象与直线y kx =恒有且仅有一个公共点，求k 的取值范围．高三数学期中考试参考答案：1~10 CBACD BACAD 11.310,2 12. 4 －4 13. 1116 31514. 56，2 15. (1,10) 16. [35,2)- 17. 618.解：（1）12=ω， …………………………………………2分 5{|44,}33x x k k k ππ=+π+π∈Z 或；………………………………6分 （2）1()sin(2)26g x x π=-+， …………………………………………10分 值域为1[,0]2-． …………………………………………14分19.解：(1)证明：因为△ABC 是以A 为直角的等腰直角三角形， 所以AC ⊥AB ，又平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF ∩平面ABC ＝AB ， 所以AC ⊥平面ABEF .因为BF ⊂平面ABEF ，所以AC ⊥BF . ……………………………………… 6分 (2)在矩形ABEF 中，AB ＝2，AF ＝23， 则BF ＝4，又PF ＝3，所以FA 2＝PF ·BF ，所以BF ⊥AP ， 由(1)知AC ⊥BF ，又AC ∩AP ＝A ，所以BF ⊥平面PAC ， 则∠BCP 为直线BC 与平面PAC 所成的角．…………………10分如图，过点P 作PM ∥AB 交BE 于点M ，过点P 作PN ⊥AB 于点N ， 连接NC ，因为BF ＝4，PF ＝3，所以PB ＝1，则14PM BM PB EF BE BF ===， 所以PM ＝BN ＝12，BM ＝PN，AN ＝AB －BN ＝2－12＝32， 所以CN52=，PC.在Rt △BCP 中，tan ∠BCP＝BP PC =故直线BC 与平面PAC. ………………………………………15分 20.解：（1）由题意知，121()33n n a -=⋅，21(1())1331()1313n n n S -==--，所以3131n n n b -=+.…………………………5分 （2）由题意知，2(2)n n S a n =+， ①， 当2n ≥时，112(2)(1)n n S a n --=+-，② 则①-②得 1122(1)2n n n n S S na n a ---=--+， 得12(1)2n n n a na n a -=--+， ③ 112(1)2n n n a n a na ++=+-+， ④④-③得11122(1)(1)n n n n n n a a n a na na n a ++--=+--+-化简得112n n n a a a -+=+， 所以数列{}n a 是等差数列，12a =，21321d a a =-=-=， 所以1n a n =+. …………………………10分 ii ）令2112211(21)2(21)(21)(21)2121n n n c b a n n n n n n n n ===<=-++-+-+…………13分122421111111111+=11335212121n n n T b a b a b a n n n =+++<-+-+--<-++ …………………………15分21.解：（I ）由题意得212,,121b a b b a=⎧=⎧⎪∴⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩所求的椭圆方程为2214y x +=.………4分（II ）不妨设21122(,),(,),(,),M x y N x y P t t h + 则抛物线2C 在点P 处的切线斜率为2x t y t ='=，直线MN 的方程为22y tx t h =-+， …………………6分 将上式代入椭圆1C 的方程中，得2224(2)40x tx t h +-+-=，即()22222414()()40t x t t h x t h +--+--=，因为直线MN 与椭圆1C 有两个不同的交点，所以有4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦，设线段MN 的中点的横坐标是3x ，则21232()22(1)x x t t h x t +-==+， …………………8分 设线段PA 的中点的横坐标是4x ，则412t x +=， …………………10分 由题意得34x x =，即有2(1)10t h t +++=，其中的22(1)40,1h h ∆=+-≥∴≥或3h ≤-； …………………12分当3h ≤-时有220,40h h +<-<，因此不等式4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦不成立；因此1h ≥，当1h =时代入方程2(1)10t h t +++=得1t =-，将1,1h t ==-代入不等式4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦成立，因此h 的最小值为1．………… ………15分22.解：（1）2121'()21(0)ax x f x ax x x x-++=-+=>当0a ≤时，恒有'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，令2210ax x -++=，则180a ∆=+>，则10x => ，20x <（舍去），当x ∈时，'()0f x >，()f x在单调递增；当)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x在)+∞单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x在单调递增，()f x在)+∞单调递减． ………………………………6分 （2）原命题等价于对任意0a <，2ln x ax x kx -+= 有且仅有一解， 即2ln x ax xk x-+=；令ln ()1x h x ax x =-+ 则21ln '()x h x a x-=-，332(ln )2''()x h x x -=，令''()0h x =得32x e = 所以'()h x 在32(0,)e 上递减，在32(,)e +∞上递增，3232min331ln 1'()'()2e h x h e a a e e-==-=-- 当312a e≤-时，'()0h x ≥，所以()h x 在R 上单调递增， 又当0x →时，ln ,0xax x→-∞-→，所以()h x →-∞； 当x →+∞时，ln ,xax x→+∞-→+∞，所以()h x →+∞. 所以()h x 在R 上必存在唯一零点，此时k R ∈；当3102a e -<<时，32min '()'()0h x h e =<，同时又当0x →时，21ln ,x a x -→+∞-→+∞， 所以'()h x →+∞；当x →+∞时，21ln 0,xa x-→-→+∞，所以'()h x →+∞. 所以方程'()0h x =存在两根12,x x ，即2211221ln 1ln 0x ax x ax --=--=且332212(0,),(,)x e x e ∈∈+∞，所以()h x 在1(0,)x 上单调递增，12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，所以()h x 的极大值为1()h x ，极小值为2()h x要使有方程2ln x ax xk x-+=唯一解，必有1()k h x >或2()k h x <，又2222222222ln ln 1ln 2ln 1()111x x x x h x ax x x x x --=-+=-+=+， 又322(,)x e ∈+∞ ，则2ln 1()1x x x ϕ-=+，232ln '()0x x xϕ-=<，所以()x ϕ在32(,)e +∞递减， 且x →+∞时，2ln 1()11x x xϕ-=+→，所以1k ≤； 同理1112ln 1()1x h x x -=+，321(0,)x e ∈，2ln 1()1x x x ϕ-=+在32(0,)e 递增， 3322322()()121x e eeϕϕ-<=+=+，所以3221k e -+≥.综上可得，1k ≤或3221k e -+≥. ………………………………15分。