八年级上有关全等三角形_探究题_总结

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(文末带解析)八年级数学全等三角形常考必考知识点总结

(文末带解析)八年级数学全等三角形常考必考知识点总结单选题1、工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC=OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．这里构造全等三角形的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS2、小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A．第1块B．第2块 C．第3块D．第4块3、如图，△ABC和△EDF中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，点B，F，C，D在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定△ABC≌△EDF的是( )A．AB＝EDB．AC＝EFC．AC∥EFD．BF＝DC4、如图，AB//DC，AB=DC，要使∠A=∠C，直接利用三角形全等的判定方法是()A．AASB．SASC．ASAD．SSS∠AOB，则OC是∠AOB的平分线③a>b，则5、下列说法：①若AC=BC，则C为AB的中点②若∠AOC=12a2>b2④若a=b，则|a|=|b|，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6、如图是作ΔABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（）A．已知两边及夹角B．已知三边C．已知两角及夹边D．已知两边及一边对角7、作∠AOB平分线的作图过程如下：作法：（1）在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE．DE的长为半径作弧，两弧交于点C．（2）分别以D，E为圆心，大于12（3）作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．用下面的三角形全等的判定解释作图原理，最为恰当的是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS8、如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个填空题9、如图，已知AD=AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线）10、如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，若∠A=50°，则∠DFE的度数为________．11、如图，△ABC≌△DEF，BE＝5，BF＝1，则CF＝_____．12、如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动______分钟后△CAP与△PQB全等．13、如图，在△ABC中，点E在AB上，D为AC的中点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．若AB＝15cm，CF＝10cm，则BE＝_____cm．解答题14、如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．15、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.(文末带解析)八年级数学全等三角形_009参考答案1、答案：D解析：根据全等三角形的判定条件判断即可．解：由题意可知OC=OD,MC=MD在△OCM和△ODM中{OC=OD OM=OM MC=MD∴△OCM≅△ODM(SSS)∴∠COM=∠DOM∴OM就是∠AOB的平分线故选：D小提示：本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键．2、答案：B解析：本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：B．小提示：本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3、答案：C解析：根据全等三角形的判定方法即可判断.A. AB＝ED，可用ASA判定△ABC≌△EDF；B. AC＝EF，可用AAS判定△ABC≌△EDF；C. AC∥EF，不能用AAA判定△ABC≌△EDF，故错误；D. BF＝DC，可用AAS判定△ABC≌△EDF；故选C.小提示：此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法.4、答案：B解析：根据平行线性质得出∠ABD=∠CDB，再加上AB=DC，BD=DB，根据全等三角形的判定定理SAS即可推出△ABD≌△CDB，从而推出∠A=∠C，即可得出答案．∵AB//DC，∴∠ABD=∠CDB，在△ABD和△CDB中，{AB=CD∠ABD=∠CDBBD=BD，∴△ABD≌△CDB(SAS)，∴∠A=∠C，故选B．小提示：本题考查了平行线性质、全等三角形的判定与性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键.5、答案：A解析：根据直线中点、角平分线、有理数大小比较以及绝对值的性质，逐一判定即可.当三点不在同一直线上的时候，点C不是AB的中点，故错误；当OC位于∠AOB的内部时候，此结论成立，故错误；当a、b为负数时，a2＜b2，故错误；若a=b，则|a|=|b|，故正确；故选：A.小提示：此题主要考查直线中点、角平分线、有理数大小比较以及绝对值的性质，熟练掌握，即可解题.6、答案：C解析：观察ΔABC的作图痕迹，可得此作图的条件.解：观察ΔABC的作图痕迹，可得此作图的已知条件为：∠α，∠β，及线段AB,故已知条件为：两角及夹边，故选C.小提示：本题主要考查三角形作图及三角形全等的相关知识.7、答案：A解析：根据作图过程可得OD=OE，CE=CD，根据OC为公共边，利用SSS即可证明△OCE≌△OCD，即可得答案．∵分别以D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点C；∴CE=CD，在△OCE和△OCD中，{OE=OD CD=CE OC=OC，∴△OCE≌△OCD（SSS），故选：A．小提示：本题考查全等三角形的判定，正确找出相等的线段并熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．8、答案：C解析：根据全等三角形对应边相等，对应角相等，结合图象逐个分析即可．解：∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，EF＝BC，∠EAF＝∠BAC，故①③正确；∵∠EAF＝∠EAB＋∠BAF，∠BAC＝∠FAC＋∠BAF，∴∠EAB＝∠FAC，故④正确；条件不足，无法证明∠FAB＝∠EAB，故②错误；综上所述，结论正确的是①③④共3个．故选：C．小提示：本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．9、答案：AB=AC或∠ADC=∠AEB或∠ABE=∠ACD.解析：根据图形可知证明△ADC≌△AEB已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA、SAS、AAS证明两三角形全等．∵∠A=∠A，AD=AE，∴可以添加AB=AC，此时满足SAS；添加条件∠ADC=∠AEB，此时满足ASA；添加条件∠ABE=∠ACD，此时满足AAS，故答案为AB=AC或∠ADC=∠AEB或∠ABE=∠ACD；小提示：本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．10、答案：40°解析：先利用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，得出∠D的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可得出∠DFE的度数．解：在Rt△ABC与Rt△DEF中，∵∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）∴∠D=∠A=50°，∴∠DFE=90°-∠D=90°-50°=40°．所以答案是：40°．小提示：此题主要考查直角三角形全等的HL定理．理解斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等是解题关键．11、答案：3解析：先利用线段和差求EF＝BE﹣BF＝4，根据全等三角形的性质BC=EF，再结合线段和差求出FC 可得答案．解：∵BE＝5，BF＝1，∴EF＝BE﹣BF＝4，∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝4，∴CF＝BC﹣BF＝4-1=3，所以答案是：3．小提示：本题考查全等三角形的性质，线段和差,解题的关键是根据全等三角形的性质得出BC=EF．12、答案：4解析：分当△CPA≌△PQB时和当△CPA≌△PQB时，两种情况进行讨论，求得BQ和BP的长，分别求得P和Q运动的时间，若时间相同即可，满足全等，若不等，则不能成立．当△CPA≌△PQB时，BP=AC=4（米），则BQ=AP=AB-BP=12-4=8（米），P的运动时间是：4÷1=4（分钟），Q的运动时间是：8÷2=4（分钟），则当t=4分钟时，两个三角形全等；当△CPA≌△QPB时，BQ=AC=4（米），AB=6（米），AP=BP=12则P运动的时间是：6÷1=6（分钟），Q运动的时间是：4÷2=2（分钟），故不能成立．综上，运动4分钟后，△CPA与△PQB全等，所以答案是：4．小提示：本题考查了全等三角形的判定，注意分△CPA≌△PQB和△CPA≌△QPB两种情况讨论是关键．13、答案：5解析：由D为AC的中点可得AD=CD，由CF∥AB可得∠AED=∠F,∠A=∠FCD，根据全等三角形的判定定理AAS证得结论即可．解：∵D为AC的中点∴AD=CD∵CF∥AB∴∠AED=∠F,∠A=∠FCD在△AED和△CFD中{AD=CD∠AED=∠F∠A=∠FCD∴△AED≌△CFD（AAS）∴AE=CF∵AB＝15cm，CF＝10cm，BE=AB-AE=AB-CF=15-10=5cm所以答案是：5小提示：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL根据具体情况选择恰当的判定方法是解题关键14、答案：（1）全等，理由见详解；PC⊥PQ，理由见解析；（2）存在，{t=1x=1或{t=2x=32．解析：（1）利用SAS 证得△ACP ≌△BPQ ，得出∠ACP=∠BPQ ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP ≌△BPQ ，分两种情况：①AC=BP ，AP=BQ ，②AC=BQ ，AP=BP ，建立方程组求得答案即可．解：（1）当t =1时，AP =BQ =1，BP =AC =3，又∵∠A =∠B =90°，在ΔACP 和ΔBPQ 中，{AP =BQ ∠A =∠B AC =BP∴ΔACP ≅ΔBPQ (SAS )．∴∠ACP =∠BPQ ，∴∠APC +∠BPQ =∠APC +∠ACP =90°．∴∠CPQ =90°，即线段PC 与线段PQ 垂直．（2）①若ΔACP ≅ΔBPC ，则AC =BP ，AP =BQ ，则{3=4−t t =xt，解得：{t =1x =1； ②若ΔACP ≅ΔBQP ，则AC =BQ ，AP =BP ，则{3=xt t =4−t，解得：{t =2x =32 ；综上所述，存在{t =1x =1 或{t =2x =32使得ΔACP 与ΔBPQ 全等．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用．15、答案：证明见解析.解析：延长CE 、BA 交于F ，根据角边角定理，证明△BEF ≌△BEC ，进而得到CF=2CE 的关系．再证明∠ACF=∠1，根据角边角定理证明△ACF ≌△ABD ，得到BD=CF ，至此问题得解．证明：分别延长BA ，CE 交于点F.∵BE ⊥CE ，∴∠BEF ＝∠BEC ＝90°.又∵∠1＝∠2，BE ＝BE ，∴△BEF ≌△BEC(ASA)，∴CE ＝FE ＝12CF. ∵∠1＋∠F ＝90°，∠ACF ＋∠F ＝90°，∴∠1＝∠ACF.又∵AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAF ＝90°，∴△ABD ≌△ACF(ASA)，∴BD＝CF，∴BD＝2CE小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键是恰当添加辅助线，构造全等三角形，将所求问题转化为全等三角形内边间的关系来解决．。

2021年八年级数学上册第十二章《全等三角形》知识点总结(答案解析)

一、选择题1．如图，△ABC≌△ADE，AB＝AD，AC＝AE，∠B＝28︒，∠E＝95︒，∠EAB＝20︒，则∠BAD等于（）A．75︒B．57︒C．55︒D．77︒D解析：D【分析】先根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°，再由三角形内角和为180°，求出∠DAE=57°，然后根据∠BAD=∠DAE+∠EAB即可得出∠BAD的度数．【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D=28°，又∵∠D+∠E+∠DAE=180°，∠E=95°，∴∠DAE=180°-28°-95°=57°，∵∠EAB=20°，∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=77°．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，比较简单．由全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°是解题的关键．OF OD OE．若2．如图O是ABC内的一点，且O到三边AB、BC、CA的距离== 70∠=︒，则BOCA∠（）．A．125°B．135°C．105°D．100°A解析：A【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，然后求出∠OBC+∠OCB，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，∴点O是三角形三条角平分线的交点，∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，∴∠OBC+∠OCB= 12（∠ABC+∠ACB）=12×110°=55°，在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-55°=125°．故选：A．【点睛】本题考查了角平分线判定定理，三角形的内角和定理，要注意整体思想的利用．3．如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形和ABC全等的图形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有丙D．只有乙B解析：B【分析】甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据SAS判定与△ABC全等；丙可根据AAS判定与△ABC全等，可得答案．【详解】解：甲三角形只知道两条边长无法判断是否与△ABC全等；乙三角形夹50°内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与△ABC全等；丙三角形72°内角及所对边与△ABC对应相等且均有50°内角，可根据AAS判定乙与△ABC 全等；则与△ABC全等的有乙和丙，故选：B．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．4．如图，ABC和DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，要使ABC DEF，还需增加的条件是（）A ．AB=EFB ．AC=DFC ．∠B=∠ED ．CB=DE B解析：B【分析】根据AAS 定理或ASA 定理即可得．【详解】在ABC 和DEF 中，,A C F D ∠∠∠=∠=，∴要使ABC DEF ≅，只需增加一组对应边相等即可，即需增加的条件是AB DE =或AC DF =或BC EF =，观察四个选项可知，只有选项B 符合，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 5．如图，123,,l l l 是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（）处．A ．1B ．2C ．3D ．4D解析：D【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点，把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．【详解】（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处（2）三个外角两两平分线的交点，共三处，共四处，故选：D ．．【点睛】此题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质是正确解题的关键．6．下列判断正确的个数是（）①三角形的三条高都在三角形的内部，并且相交于一点；②两边及一角对应相等的两个三角形全等；③两角及一边对应相等的两个三角形全等；④到三角形的三边所在的直线距离相等的点有三个；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．A．4 B．3 C．2 D．1D解析：D【分析】根据三角形的高线、角平分线的性质及全等三角形的判定分析各个选项即可．【详解】解：①只有当三角形是锐角三角形时，三条高才在三角形的内部，此选项错误；②有两边及一角对应相等的两个三角形全等，此选项错误；③有两角和一边对应相等，满足AAS或ASA，此选项正确；④在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，交点重合，只有一点；在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点是外角平分线的交点，交点不重合，有三个．则到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，此选项错误；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，此选项错误．正确的有一个③，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法及三角形的角平分线，垂心等概念，熟练掌握概念和性质是解题的关键．7．下列命题中，真命题是（）A．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等D解析：D【分析】根据三角形全等的判定方法对A 、D 进行判断；利用三角形高的位置不同可对B 、C 进行判断．【详解】A 、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A 选项错误；B 、有两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以B 选项错误；C 、有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以C 选错误；D 、有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题考査了判断命题真假，以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，仔细分类讨论是解题关键．8．已知如图，AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（）A ．BD +ED ＝BCB ．DE 平分∠ADBC ．AD 平分∠EDC D ．ED +AC ＞AD B解析：B【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE ＝DC ，然后利用AAS 证明△ACD ≌△AED ，再对各选项分析判断后利用排除法．【详解】解：∵AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，∴DE ＝DC ，A 、BD +ED ＝BD +DC ＝BC ，故本选项正确；在△ACD 与△AED 中，90DAC DAE ACD AED AD AD ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴∠ADC ＝∠ADE ，∴AD 平分∠EDC ，故C 选项正确；但∠ADE 与∠BDE 不一定相等，故B 选项错误；D 、∵△ACD ≌△AED ，∴AE ＝AC ，∴ED+AC＝ED+AE＞AD（三角形任意两边之和大于第三边），故本选项正确．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，证明ACD AED△≌△是解题的关键．9．如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于，且OD=2，△ABC的面积是（）A．20 B．24 C．32 D．40A解析：A【分析】连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F；然后利用角平分线定理可得OF=OE=DO=2,然后用S△ABC=S△AOC+S△OBC+S△ABO求解即可．【详解】解：如图:连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F,∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OD=OE,OF=OD,即OF=OE=DO=2,∴S△ABC=12×2AC+12×2BC +12×2AB=12×2（AC+BC+AB）= AC+BC+AB =20．故答案为A．【点睛】本题主要考查了角平分线定理，正确作出辅助线、利用角平分线定理得到OF=OE=DO=2是解答本题的关键．10．下列命题，真命题是（）A．全等三角形的面积相等B．面积相等的两个三角形全等C．两个角对应相等的两个三角形全等D．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等A解析：A【分析】根据全等三角形的性质、全等三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A、全等三角形的面积相等，本选项说法是真命题；B、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；C、两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，本选项说法是假命题；D、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定义、性质及判定是解题关键．二、填空题11．如图，D，E分别是AB，AC上的点，AD=AE，请添加一个条件，使得ABE≌ACD．这个条件可以为_____（只填一个条件即可）．∠B=∠C（或∠ADC=∠AEB或AB=AC）【分析】根据已知条件知两个三角形已经具有∠A=∠AAD=AE两个条件对应相等故再添加一组对应角相等或是AB=AC即可得到ABE≌ACD【详解】∵∠A=∠解析：∠B=∠C（或∠ADC=∠AEB或AB=AC）【分析】根据已知条件知两个三角形已经具有∠A=∠A，AD=AE两个条件对应相等，故再添加一组对应角相等或是AB=AC即可得到ABE≌ACD．【详解】∵∠A=∠A，AD=AE，∴当∠B=∠C时，可利用AAS证明ABE≌ACD；当∠ADC=∠AEB时，可利用ASA证明ABE≌ACD；当AB=AC时，可利用SAS证明ABE≌ACD；故答案为：∠B=∠C（或∠ADC=∠AEB或AB=AC）．【点睛】此题考查添加一个条件证明三角形全等，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． 12．如图（1），已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上一点，连接BD ，CD ；如图（2），已知AB AC =，D ，E 为BAC ∠的角平分线上两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图（3），已知AB AC =，D ，E ，F 为BAC ∠的角平分线上三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；……，依此规律，第7个图形中有全等三角形的对数是________．28【分析】设第n 个图形中有an （n 为正整数）对全等三角形根据各图形中全等三角形对数的变化可找出变化规律an=（n 为正整数）再代入n=7即可求出结论【详解】解：设第n 个图形中有an （n 为正整数）对全解析：28【分析】设第n 个图形中有a n （n 为正整数）对全等三角形，根据各图形中全等三角形对数的变化可找出变化规律“a n =(1)2n n +（n 为正整数）”，再代入n=7即可求出结论．【详解】解：设第n 个图形中有a n （n 为正整数）对全等三角形．∵点E 在∠BAC 的平分线上∴∠BAD=∠CAD 在△ABD 和△ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SAS ），∴a 1=1；同理，可得：a 2=3=1+2，a 3=6=1+2+3，a 4=10=1+2+3+4，…，∴a n =1+2+3+…+n=(1)2n n +（n 为正整数）， ∴a 7=7(71)282⨯+=．故答案为：28．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及规律型：图形的变化类，根据各图形中全等三角形对数的变化，找出变化规律“a n =(1)2n n +（n 为正整数）”是解题的关键．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝8cm，BD＝5cm，AB=10cm,则S△ABD=______．15cm2【分析】过点D作DE⊥AB于E根据角平分线的性质可得DE=CD根据三角形的面积公式即可求得△ABD的面积【详解】解：过点D作DE⊥AB于E∵AD是∠BAC的角平分线∠C＝90°DE⊥AB∴解析：15cm2【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得DE=CD，根据三角形的面积公式即可求得△ABD的面积．【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB∴DE=DC，∵BC＝8cm，BD＝5cm，∴DE=DC=3cm，∴S△ABD=12·AB·DE=12×10×3=15(cm2)，故答案为：15cm2．【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．14．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝_____．55°【分析】由∠AFD＝145°可求得∠CFD=35°证明Rt△BDE≌△Rt△CFD根据对应角相等推知∠BDE=∠CFD=35°进而可求出∠EDF 的值【详解】解：∵∠DFC+∠AFD=180°∠解析：55°【分析】由∠AFD ＝145°可求得∠CFD=35°，证明Rt △BDE ≌△Rt △CFD ，根据对应角相等推知∠BDE=∠CFD=35°，进而可求出∠EDF 的值．【详解】解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，∴∠CFD=35°．又∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠BED=∠CDF=90°，在Rt △BDE 与△Rt △CFD 中，BE CD BD CF=⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌△Rt △CFD （HL ），∴∠BDE=∠CFD=35°，∴∠EDF =180°-90°-35°=55°．故答案是：55°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．15．如图，AC//BD ，OA ，OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，垂足为E ，如果OE 5=，那么AC 与BD 的距离是________【分析】过点作于作于利用平行线的性质可证得OM ⊥BD进而可证得MN 为AC 和BD 的距离根据角平分线的性质可知OE=OM=OE 即可求得MN 的长度【详解】解：如图过点作于作于∵分别平分和∴又∥∴又∴三点共解析：10【分析】过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ，利用平行线的性质可证得OM ⊥BD ，进而可证得MN 为AC 和BD 的距离，根据角平分线的性质可知OE=OM=OE ，即可求得MN 的长度．【详解】解：如图，过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ．∵OA 、OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，∴OM OE ON 5===，又 AC ∥BD ，OM AC ⊥，∴OM BD ⊥，又ON BD ⊥，∴M ，O ，N 三点共线，∴ AC 与BD 之间的距离为MN=OM ON 10+=．故答案为：10．【点睛】本题考查求平行线间的距离、角平分线的性质、八个基本事实，熟练掌握角平分线的性质，作出AC 和BD 之间的距离是解答的关键．16．如图，四边形ABDC 中，对角线AD 平分BAC ∠，136ACD ∠=︒，44BCD ∠=︒，则ADB ∠的度数为_____【分析】先添加辅助线过点作交的延长线于点过点作交的延长线于点过点作于点根据角平分线的判定性质定义以及三角形外角的性质邻补角的定义角的和差等可求得【详解】解：过点作交的延长线于点过点作交的延长线于点过解析：46︒【分析】先添加辅助线“过点D 作DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，过点D 作DG BC ⊥于点G ”，根据角平分线的判定、性质、定义以及三角形外角的性质、邻补角的定义、角的和差等可求得()1462ADB CBE BAC ∠=∠-∠=︒．【详解】解：过点D 作DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，过点D 作DG BC ⊥于点G ，如图：∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥ ∴12BAD BAC ∠=∠，DE DF = ∵136ACD ∠=︒ ∴18044DCF ACD ∠=︒-∠=︒∵44BCD ∠=︒，92ACB ACD BCD ∠=∠-∠=︒∴CD 平分BCF ∠∵DF AC ⊥，DG BC ⊥∴DF DG =∴DE DG =∵DE AB ⊥，DG BC ⊥∴BD 平分CBE ∠ ∴12DBE CBE ∠=∠ ∴ADB DBE BAD ∠=∠-∠1122CBE BAC =∠-∠ ()12CBE BAC =∠-∠ 12BCA =∠ 46=︒．故答案是：46︒【点睛】本题考查了角平分线的判定、性质、定义以及三角形外角的性质、邻补角的定义、角的和差等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．17．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ，MB ⊥OQ ，垂足为A ，B ，S △AOM =8cm 2，OA=4cm ，则MB=___．4cm 【分析】根据求得AM 的长度利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解【详解】解：解得∵OM 平分∠POQ ∴故答案为：4cm【点睛】本题考查角平分线的性质掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解解析：4cm【分析】根据12AOM SOA AM =⋅求得AM 的长度，利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解．【详解】解：114822AOM S OA AM AM =⋅=⨯=，解得4cm AM =，∵OM 平分∠POQ ，∴4cm MB AM ==，故答案为：4cm ．【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 18．如图，//AD BC ，ABC ∠的角平分线BP 与BAD ∠的角平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ．若9PE =，则两平行线AD 与BC 间的距离为_______．；【分析】过点P 作MN ⊥AD 根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2PE=PN=2即可得出答案【详解】过点P 作MN ⊥AD ∵AD ∥BC ∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交解析：18；【分析】过点P 作MN ⊥AD ，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE =2，PE=PN =2，即可得出答案．【详解】过点P 作MN ⊥AD∵AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，PE ⊥AB 于点E ∴AP ⊥BP ，PN ⊥B C∴PM=PE =9，PE=PN =9∴MN =9+9=18故答案为18．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质,根据题意作出辅助线是解决问题的关键．19．如图，ABC ∆的两条高AD 、CE 交于点H ，已知6EH EB ==，8AE =，则ACH ∆的面积为______．8【分析】由题意可得进而证明结合已知条件证明故根据分别求出与的面积即可【详解】在和中故答案为：【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质熟记全等三角形的判定定理是解题关键解析：8【分析】由题意可得90ADC CEA ∠=∠=︒，进而证明EAH HCD ∠=∠，结合已知条件证明BEC HEA ∆≅∆，故8EC EA == ，根据AHC AEC AEH S S S ∆∆∆=-分别求出AEH S ∆与AEC S ∆的面积即可．【详解】AD BC ⊥，CE AB ⊥，90ADC CEA ∴∠=∠=︒，AHE CHD ∠=∠，EAH CEH HCD ADC ∴∠+∠=∠+∠，EAH HCD ∴∠=∠，在BEC △和HEA △中，90BEC HEA HCD EAHEB EH ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BEC HEA AAS ∴≅，EC EA ∴=，8EA =，8EC ∴=，6EH =， 11862422AEH S AE EH ∆∴=⨯⋅=⨯⨯=， 11883222AEC S AE EC ∆=⋅=⨯⨯=， 32248AHC AEC AEH S S S ∆∆∆∴=-=-=．故答案为：8．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理是解题关键． 20．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A 的平分线交BC 于D ，若20ABD S ∆=cm 2，AB =10cm ，则CD 为__________cm ．4【分析】由角平分线的性质可知D 到AB 的距离等于DC 可得出答案【详解】解：作DE ⊥AB 于E ∵AD 平分∠CAB 且DC ⊥ACDE ⊥AB ∴DE=DC ∵S △ABD=20cm2AB=10cm ∴•AB•DE=2解析：4【分析】由角平分线的性质可知D 到AB 的距离等于DC ，可得出答案．【详解】解：作DE ⊥AB 于E ．∵AD 平分∠CAB ，且DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DE=DC ，∵S △ABD =20cm 2，AB=10cm ，∴12•AB•DE=20， ∴DE=4cm ，∴DC=DE=4cm故答案为：4．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．三、解答题21．已知：如图，120AOB ∠=︒，过点O 作射线OP ，若OM 平分AOP ∠，ON 平分BOP ∠，AOP α∠=（1）如图1，补全图形，直接写出MON ∠=____________︒（2）如图2，若4BOM BON ∠=∠，求α的值．解析：（1）图形见解析，60；（2）144︒【分析】（1）根据尺规作图，以点O 为圆心，任意长度为半径画弧，交角的两边于C 、D ，然后再分别以C 、D 为圆心，大于CD/2长度为半径用圆规画圆弧；即可得到点M ，连接OM ，BOP ∠的角平分线同理可得，由已知条件120AOB ∠=︒，然后根据角平分线的性质即可求得MON ∠的度数；（2）根据题目已知条件可知120POB α∠=-︒，根据角平分线的性质可知2AOM POM α∠=∠=，112022PON BON POB α-∠=∠=∠=，再根据 4BOM BON ∠=∠，120AOB ∠=︒即可求得α的值．【详解】（1）根据尺规作图，首先以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交AOP ∠两边于C 、D ，然后以C 为圆心，大于CD/2长度为半径用圆规画圆弧，接着以D 为圆心，同以上步骤一样的长度为半径用圆规画圆弧，最后两圆弧交于M 点，连接顶点O 和M ，OM 即为角平分线．BOP ∠的角平分线同理可得；∵OM 平分AOP ∠，ON 平分BOP ∠，∴12POM AOM AOP ∠=∠=∠， 12BON PON BOP ∠=∠=∠，∵AOB AOP BOP ∠=∠+∠，∵MON POM PON ∠=∠+∠， ∴11()6022MON AOP BOP AOB ∠=∠+∠=∠=︒；（2）∵AOP α∠=，120AOB ∠=︒，OM 平分AOP ∠，ON 平分BOP ∠，∴120POB α∠=-︒，2AOM POM α∠=∠=，112022PON BON POB α-∠=∠=∠=， ∵4BOM BON ∠=∠，∴)12021204(2αα+=-︒，解得：144．【点睛】本题考查了尺规作图、角平分线的性质，解题的关键是找准等量关系列出方程． 22．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8cm AC =，6cm BC =，点D 在AC 上，且6cm AD =，过点A 作射线AE AC ⊥（AE 与BC 在AC 同侧），若点P 从点A 出发，沿射线AE 匀速运动，运动速度为1cm/s ，设点P 运动时间为t 秒．连结PD 、BD ．（1）如图①，当PD BD ⊥时，求证：PDA DBC △≌△；（2）如图②，当PD AB ⊥于点F 时，求此时t 的值．解析：（1）见解析；（2）8秒【分析】（1）根据垂直及角之间的关系证明出PDA CBD ∠=∠，又有90PAD C ∠=∠=︒，=6AD BC =，根据三角形全等的判定定理则可证明PDA DBC △≌△．（2）根据垂直及角之间的关系证明APF DAF ∠=∠，又因为90PAD C ∠=∠=︒，AD BC =，则可证明PAD ACB △≌△，所以8cm AP AC ==，即t=8秒．【详解】（1）证明：PD BD ⊥，90PDB ∴∠=︒，即90BDC PDA ∠+∠=︒又90C ∠=︒，90BDC CBD ∠+∠=︒ PDA CBD ∴∠=∠又AE AC ⊥，90PAD ∴∠=︒90PAD C ∴∠=∠=︒又6cm BC =，6cm AD =AD BC ∴=在PAD △和DCB 中 PAD C AD CBPDA DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()PDA DBC ASA ∴△≌△（2）PD AB ⊥，90AFD AFP ∴∠=∠=︒，即90PAF APF ∠+∠=︒又AE AC ⊥， 90PAF DAF ∴∠+∠=︒APF DAF ∴∠=∠又90PAD C ∠=∠=︒，AD BC =在APD △和CAB △中APD CAB PAD C AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PAD ACB AAS ∴△≌△8cm AP AC ∴==即8t =秒．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用角之间的关系是解题关键．23．如图所示，A ，C ，E 三点在同一直线上，且ABC DAE △△≌．（1）求证：BC DE CE =+；（2）当ABC 满足什么条件时，//BC DE ？解析：（1）证明见解析；（2）ACB ∠为直角时，//BC DE【分析】（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE ，AD=CE ，代入求出即可；2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA= 90︒，推出∠BDE=90︒ ，根据平行线的判定求出即可．【详解】（1）证明：∵ABC DAE △△≌，∴AE=BC ，AC=DE ，又∵AE AC CE =+，∴BC DE CE =+．（2）若//BC DE ，则BCE E ∠=∠，又∵ABC DAE △△≌，∴ACB E ∠=∠，∴ACB BCE ∠=∠，又∵180ACB BCE ∠+∠=︒，∴90ACB ∠=︒，即当ABC 满足ACB ∠为直角时，//BC DE ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和平行线的判定的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论．24．已知矩形ABCD 中，点E 是AD 中点，连接CE ，经过点A ，B ，E 三点作O ，交BC 于点F ，过点F 作FH CE ⊥于H ．（1）求证：直线FH 是O 的切线；（2）若42AD =H 恰好为CE 中点时，判断此时CE 与O 的位置关系？说明理由，并求出弧EF ，线段EH ，FH 围成的图形的面积．解析：（1）见解析；（2）EC 与O 相切，理由见解析，4π-【分析】（1）连接BE ，OF ，易得出BE 是圆的直径，根据全等三角形的判定证得△EAB ≌△EDC ，继而根据平行线的性质和切线的判定即可求证结论；（2）连接EF ，易求得四边形OFHE 的边长，再利用面积的和差即可求解．【详解】（1）连接BE ，OF∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒，AB CD =，∵90A ∠=︒，∴BE 是O 的直径，∵点E 是AD 中点，∴EA EC =，∴△EAB ≌△EDC ，∴EB EC =，∴EBC ECB ∠=∠，∵OB OF =，∴ECB OFB ∠=∠，∴ECB OFB ∠=∠，∴//OF EC ，∴OFH FHC ∠=∠，∵FH CE ⊥，∴90FHC OFH ∠=∠=︒，又∵OF 是O 的半径，∴直线FH 是O 的切线．（2）EC 与O 相切．理由如下：连接EF ，由（1）知，BE 是O 直径，∴90EFB EFC ∠=∠=︒，∵点H 是CE 中点，∴FH EH HC ==，∵FH CE ⊥，∴90FHC ∠=︒，∴45ECF HFC ∠=∠=︒，∴90BEC ∠=︒，又∵OE 是O 的半径，∴直线EC 与圆O 相切．由上可知四边形ABFE 和四边形OFHE 都是正方形， ∴11422222AE AB AD ===⨯=， ∴224BE AB AE =+=，∴2OE OF ==，∴2290π224π360OFHE OEFS S S ⨯=-=-=-正方形扇形．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，矩形的性质，全等三角形的判定和性质、切线的判定、勾股定理，解题的关键是综合运用所学知识．25．OAB 和ODE 均为等腰三角形，且AOB DOE β∠=∠=，OA OB =，OD OE =，连接AD 、BE ，它们所在的直线交于点F ．（1）观察发现：如图1，当60β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______；（2）探究证明：如图2，当90β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______，根据图2证明你的猜想；（3）拓展推广：当β为任意角时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______．（用含β的式子表示）解析：（1）AD BE =，60°；（2）AD BE =，90°，理由见解析；（3）AD BE =，β【分析】（1）设AF 交BD 于G ，证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，得到60AFB AOB ∠=∠=︒；（2）证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，根据OFA DFB ∠=∠及三角形内角和定理即可证得90AFB AOB ∠=∠=︒；（3）根据（1）与（2）直接得到结论．【详解】（1）证明：设AF 交BO 于G ，∵60AOB DOE ∠=∠=︒，∴AOB BOD DOE BOD ∠-∠=∠-∠，即AOD BOE ∠=∠，∵OA OB =，OD OE =，∴AOD BOE ≌△△，∴AD BE =，OAD OBE ∠=∠，∵OGA FGB ∠=∠，∴180180OGA OAD FGB OBE ∠-∠=∠--∠︒-︒，∴60AFB AOB ∠=∠=︒，故答案为：AD BE =，60°；（2）AD BE =，90°证明：设AF 交BO 于G ，∵90AOB DOE ︒∠=∠=，∴AOB BOD DOE BOD ∠+∠=∠+∠，即AOD BOE ∠=∠，∵OA OB =，OD OE =，∴AOD BOE ≌△△，∴AD BE =，OAD OBE ∠=∠，∵OGA DGB ∠=∠，∴90AFB AOB ∠=∠=︒；故答案为：AD BE =，90°；（3）证明：由（1）与（2）可得AD BE =，AFB AOB β∠=∠=故答案为：AD BE =，β．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．26．已知ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BC AC =．直角顶点C 在x 轴上，锐角顶点B 在y 轴上，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．当点B 不动，点C 在x 轴上滑动的过程中．（1）如图1，当点C 的坐标是()1,0-，点A 的坐标是()3,1-时，请求出点B 的坐标；（2）如图2，当点C 的坐标是()1,0时，请写出点A 的坐标；（3）如图3，过点A 作直线AE y ⊥轴，交y 轴于点E ，交BC 延长线于点F ．AC 与y 轴交于点G ．当y 轴恰好平分ABC ∠时，请写出AE 与BG 的数量关系．解析：（1）（0，2）；（2）（-1，-1）；（3）BG=2AE ，理由见详解【分析】（1）先证明Rt∆ADC ≅Rt∆COB ，结合条件，即可得到答案；（2）先证明∆ADC ≅∆COB ，结合点B ，C 的坐标，求出AD ，OD 的长，即可得到答案；（3）先证明∆BGC ≅∆AFC ，再证明∆ABE ≅∆FBE ，进而即可得到答案．【详解】（1）∵点C 的坐标是()1,0-，点A 的坐标是()3,1-，∴AD=OC ，又∵AC=BC ，∴Rt∆ADC ≅ Rt∆COB （HL ），∴OB=CD=2，∴点B 的坐标是（0，2）；（2）∵AD ⊥x 轴，∴∠DAC+∠ACD=90°，又∵∠OCB+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠OCB ，又∵∠ADC=∠COB=90°，AC=BC ，∴∆ADC ≅ ∆COB （AAS ），∵点C 的坐标是()1,0∴AD=OC=1，∵点B 的坐标是（0，2），∴CD=OB=2，∴OD=2-1=1，∴点A 的坐标是（-1，-1）；（3）BG=2AE ，理由如下：∵ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BC AC =，AE y ⊥轴，∴∠BCA=∠ACF=90°，∠AEG=90°，∴∠GBC+∠BGC=90°，∠GAE+∠AGE=90°，又∵∠BGC=∠AGE ，∴∠GBC=∠FAC ，在∆BGC 和 ∆AFC 中，∵∠GBC=∠FAC ，BC AC =， ∠GBC=∠FAC ，∴∆BGC ≅∆AFC （ASA ），∴BG=AF ，∵BE ⊥AF ，y 轴恰好平分ABC ∠，∴∠ABE=∠FBE ，∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE ，∴∆ABE ≅∆FBE ，∴AE=FE ，∴AF=2AE∴BG=2AE ．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三垂直”模型，是解题的关键．27．如图，∠ACB 和∠ADB 都是直角，BC ＝BD ，E 是AB 上任意一点．（1）求证：△ABC ≌△ABD ．（2）求证：CE ＝DE ．解析：（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用“HL ”证明Rt △ACB ≌Rt △ADB 即可；（2）由Rt △ACB ≌Rt △ADB 得到∠CAB ＝∠DAB ，AC ＝AD ，然后利用“SAS ”可证明△ACE ≌△ADE ，从而得到CE ＝DE ．【详解】证明：（1）在Rt △ACB 和Rt △ADB 中，AB AB BC BD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ACB ≌Rt △ADB （HL ）；（2）∵Rt △ACB ≌Rt △ADB ，∴∠CAB ＝∠DAB ，AC ＝AD ，在△ACE 和△ADE 中，AC AD CAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△ADE （SAS ），∴CE ＝DE ．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，根据图形的特点确定对应相等的条件，利用：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 或HL 证明两个三角形全等由此解决问题是解题的关键．28．在数学课本中，有这样一道题：如图1，AB ∥CD ，试用不同的方法证明∠B +∠C ＝∠BEC（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．已知：如图1，∠B +∠C ＝∠BEC求证：AB ∥CD证明：如图2，过点E ，作EF ∥AB ，∴∠B ＝∠∵∠B +∠C ＝∠BEC ，∠BEF +∠FEC ＝∠BEC （已知）∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）∴∠＝∠（等式性质）∴EF∥∵EF∥AB∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．解析：（1）BEF，C，CEF，CD；（2）证明见解析；（3）∠E＝2∠F【分析】（1）过点E，作EF∥AB，根据内错角性质即可得出∠B＝∠BEF，利用等量代换即可证出∠C＝∠CEF，进而得出EF∥CD．（2）如图3，过点N作NG∥AB，交BM于点G，可以知道NG∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，由三角形的外角性质得出∠BMN＝∠BCM+∠CBM，证出∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，进而得出∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，由角平分线得出∠BCM＝∠NCD，即可得出结论．（3）如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．【详解】（1）证明：如图2，过点E，作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知），∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换），∴∠C＝∠CEF（等式性质），∴EF∥CD，∵EF∥AB，∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；故答案为：BEF，C，CEF，CD；（2）如图3所示，过点N作NG∥AB，交BM于点G，则NG∥AB∥CD，∴∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，∵∠BMN是△BCM的一个外角，∴∠BMN＝∠BCM+∠CBM，又∵∠BMN＝∠BNM，∠BNM＝∠BNG+∠GNC，∴∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，∴∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，∵CN平分∠BCD，∴∠BCM＝∠NCD，∴∠CBM＝∠ABN．（3）如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，∴∠BEG＝∠ABE，∠CEG＝∠DCE，∴∠BEC＝∠BEG+∠CEG＝∠ABE+∠DCE，同理可得∠BFC＝∠ABF+∠DCF，∵∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F，∴∠ABE＝2∠ABF，∠DCE＝2∠DCF，∴∠BEC＝2（∠ABF+∠DCF）＝2∠BFC．【点睛】本题考察了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．。

人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》知识点总结(含答案解析)(1)

一、选择题1．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（）A ．1厘米/秒B ．2厘米/秒C ．3厘米/秒D ．4厘米/秒D解析：D【分析】根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解．【详解】解：设△BPD ≌△CPQ 时运动时间为t ，点Q 的运动速度为v ，则由题意得：BP CP BD CQ =⎧⎨=⎩，即3634t t vt =-⎧⎨=⎩，解之得：14t v =⎧⎨=⎩， ∴点Q 的运动速度为4厘米/秒，故选D ．【点睛】本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键．2．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在BC 上，连接AD ，AE ，若只添加一个条件使DAB EAC ∠=∠，则添加的条件不能为（）A ．BD CE =B ．AD AE =C ．BE CD = D ．DA DE = D解析：D【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、添加BD ＝CE ，可以利用“边角边”证明△ABD 和△ACE 全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；B 、添加AD ＝AE ，根据等边对等角可得∠ADE ＝∠AED ，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；C 、添加BE ＝CD 可以利用“边角边”证明△ABE 和△ACD 全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠BAE=∠CAD ，可得∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；D 、添加DA ＝DE 无法求出∠DAB ＝∠EAC ，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．3．如图，,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥，垂足为,F AD 与BF 交于点,5,2E AD BD DC ===，则AE 的长为（）A ．2B ．5C ．3D ．7C解析：C【分析】先证明△ACD ≌△BED ，得到CD=ED=2，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵AD BC ⊥，BF AC ⊥，∴90AFE BDE ADC ∠=∠=∠=︒，∵AEF BED ∠=∠，∴EAF EBD ∠=∠，∵5AD BD ==，∴△ACD ≌△BED ，∴CD=ED=2，∴523AE AD ED =-=-=；故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，从而进行解题．4．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA C解析：C【分析】根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC ≌△ONC(SSS)，即可得到结论.【详解】在△OMC 和△ONC 中，OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，∴∠MOC=∠NOC ，∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，故选：C.【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.5．如图所示的正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，把ADE 绕点A 顺时针旋转得到ABF ，20FAB ∠=︒．旋转角的度数是（）A ．110°B ．90°C ．70°D ．20°B解析：B【分析】根据正方形的性质得到AB=AD ，∠BAD=90︒，由旋转的性质推出ADE ≌ABF ，求出∠FAE=∠BAD=90︒，即可得到答案．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90︒，由旋转得ADE ≌ABF ，∴∠FAB=∠EAD ，∴∠FAB+∠∠BAE=∠EAD+∠BAE ，∴∠FAE=∠BAD=90︒，∴旋转角的度数是90︒，故选：B ．【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 6．点Р在AOB ∠的角平分线上，点Р到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（）A ．5PQ >B ．5PO ≥C ． 5PQ <D ．5PO ≤ B 解析：B【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P 到OB 的距离为5，再根据垂线段最短解答．【详解】∵点P 在∠AOB 的平分线上，点P 到OA 边的距离等于5，∴点P 到OB 的距离为5，∵点Q 是OB 边上的任意一点，∴PQ≥5．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．7．如图，在ABC 和△FED 中，AD FC =，AB FE =，下列条件中不能证明F ABC ED ≌△△的是（）A ．BC ED =B ．A F ∠=∠C ．B E ∠=∠D ．//AB EF C解析：C【分析】由AD FC =推出AC=FD ，根据已知AB FE =添加夹角相等或第三边相等即可判定．【详解】∵AD FC =，∴AC=FD ，∵AB FE =，∴当A F ∠=∠（//AB EF 也可得到）或BC ED =时，即可判定F ABC ED ≌△△，故B E ∠=∠不能判定F ABC ED ≌△△，故选：C ．【点睛】此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理并熟练应用是解题的关键．8．下列命题，真命题是（）A ．全等三角形的面积相等B ．面积相等的两个三角形全等C ．两个角对应相等的两个三角形全等D ．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等A解析：A【分析】根据全等三角形的性质、全等三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A 、全等三角形的面积相等，本选项说法是真命题；B 、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；C 、两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，本选项说法是假命题；D 、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定义、性质及判定是解题关键． 9．如图，C 是∠AOB 的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC ≌△BOC 的是（）A ．OA =OBB ．AC =BC C ．∠A =∠BD ．∠1=∠2B解析：B【分析】根据题意可以得到∠AOC=∠BOC，OC=OC，然后即可判断各个选项中条件是否能判定△AOC≌△BOC，从而可以解答本题．【详解】解：由已知可得，∠AOC=∠BOC，OC=OC，∴若添加条件OA=OB，则△AOC≌△BOC（SAS），故选项A不符合题意；若添加条件AC=BC，则无法判断△AOC≌△BOC，故选项B符合题意；若添加条件∠A=∠B，则△AOC≌△BOC（AAS），故选项C不符合题意；若添加条件∠1=∠2，则∠ACO=∠BCO，则△AOC≌△BOC（ASA），故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．如图，△ACB≌△A'CB'，∠BCB'=25°，则∠ACA'的度数为（）A．35°B．30°C．25°D．20°C解析：C【分析】利用全等三角形的性质可得∠A′CB′=∠ACB，再利用等式的性质可得答案．【详解】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠A′CB′=∠ACB，∴∠A′CB′-∠A′CB=∠ACB-∠A′CB，∴∠ACA′=∠BCB′=25°，故选：C．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．二、填空题11．如图，AC=BC，请你添加一个条件，使AE=BD．你添加的条件是：________．∠A=∠B或CD=CEAD=BE∠AEC=∠BDC等【分析】根据全等三角形的判定解答即可【详解】解：因为AC=BC∠C=∠C所以添加∠A=∠B或CD=CEAD=BE∠AEC=∠BDC可得△ADC与△解析：∠A=∠B或CD=CE、AD=BE、∠AEC=∠BDC等【分析】根据全等三角形的判定解答即可．【详解】解：因为AC=BC，∠C=∠C，所以添加∠A=∠B或CD=CE、AD=BE、∠AEC=∠BDC，可得△ADC与△BEC全等，利用全等三角形的性质得出AD=BE，故答案为：∠A=∠B或CD=CE、AD=BE、∠AEC=∠BDC．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．0,3，另12．如图，把等腰直角三角板放平面直角坐标系内，已知直角顶点C的坐标为()8,8，则点A的坐标为____________一个顶点B的坐标为()（5－5）【分析】根据余角的性质可得∠BCP=∠CAQ根据全等三角形的判定与性质可得AQCQ根据线段的和差可得OQ可得答案【详解】解：作BP⊥y轴AQ⊥y轴如图∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=A解析：（5，－5）【分析】根据余角的性质，可得∠BCP=∠CAQ，根据全等三角形的判定与性质，可得AQ，CQ，根据线段的和差，可得OQ，可得答案．【详解】解：作BP⊥y轴，AQ⊥y轴，如图，∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=AC，∠BCA=90°，∴∠BCP+∠ACQ=90°．又∠CAQ+∠ACQ=90°∴∠BCP=∠CAQ ．在△BPC 和△CQA 中，BPC CQA BCP CAQ BC AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ Rt △BPC ≌Rt △ACQ （AAS ），AQ=PC=8-3=5；CQ=BP=8．∵QO=QC-CO=8-3=5，∴A （5，-5），故答案为：（5，-5）．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质得出AQ ，CQ 是解题关键．13．如图，在ABC 中，=6AB ，=4AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，2BD AE CE ===，//CE AB 交DE 的延长线于点F ，则CF 的长为_____________．4【分析】根据ASA 证明△ADE ≌△CFE 得CF=AD 再求出AD 的长即可【详解】解：∵AB=6BD=2∴AD=AB-BD=6-2=4∵∴∠BAC=∠FCE 在△ADE 和△CFE 中∴△ADE ≌△CFE ∴解析：4【分析】根据ASA 证明△ADE ≌△CFE 得CF=AD ，再求出AD 的长即可．【详解】解：∵AB=6，BD=2∴AD=AB-BD=6-2=4∵//CE AB∴∠BAC=∠FCE ，在△ADE 和△CFE 中BAC FCE AE CEAED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△CFE∴CF=AD=4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△ADE ≌△CFE 是解答此题的关键．14．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，12AB =，5BC =，射线AP AB ⊥于点A ，点E 、D 分别在线段AB 和射线AP 上运动，并始终保持DE AC =，要使ABC 和DAE △全等，则AE 的长为______．5或12【分析】本题要分情况讨论：①Rt △ABC ≌Rt △DAE此时AE=BC=5可据此求出E 点的位置②Rt △CBA ≌Rt △DAE 此时AE=AB=12EB 重合【详解】解：①当AE=CB 时∵∠B=∠EA解析：5或12【分析】本题要分情况讨论：①Rt △ABC ≌Rt △DAE ，此时AE=BC=5，可据此求出E 点的位置．②Rt △CBA ≌Rt △DAE ，此时AE=AB=12，E 、B 重合．【详解】解：①当AE=CB 时，∵∠B=∠EAP=90°，在Rt △ABC 与Rt △DAE 中，AE CB DE AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △DAE （HL ），即AE=BC=5；②当E 运动到与B 点重合时，AE=AB ，在Rt △CBA 与Rt △DAE 中，AE AB DE AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CBA ≌Rt △DAE （HL ），即AE=AB=12，∴当点E 与点B 重合时，△CBA 才能和△DAE 全等．综上所述，AE=5或12．故答案为：5或12．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．15．已知点A 、E 、F 、C 在同一条直线l 上，点B 、D 在直线l 的异侧，若AB=CD ，AE=CF ，BF=DE ，则AB 与CD 的位置关系是_______．AB//CD 【分析】先利用SSS 证明△ABF ≌△CDE 然后根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠BAF 最后根据内错角相等两直线平行即可解答【详解】解：∵AE=CF ∴AE+EF=CF+EF 即AF=EC 在解析：AB//CD【分析】先利用SSS 证明△ABF ≌△CDE ，然后根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠BAF ，最后根据内错角相等、两直线平行即可解答．【详解】解：∵AE=CF ，∴AE+EF=CF+EF,即AF=EC在△ABF 和△CDE 中，,,,AB CD AF EC BF DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△CDE （SSS ），∴∠DCE=∠BAF ．∴AB//CD ．故答案为：AB//CD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，运用全等三角形的知识得到∠DCE=∠BAF 成为解答本题的关键．16．如图所示，己知ABC ∆的周长是22,,OB OC 分别平分ABC ∠和ACB OD BC D ∠⊥，于,且3OD =，则ABC ∆的面积是__________．【分析】连接OA 过O 作OE ⊥AB 于EOF ⊥AC 于F 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到ABACBC 的距离都相等（即OE ＝OD ＝OF ）从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以3代入求出即解析：33【分析】连接OA ，过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等（即OE ＝OD ＝OF ），从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．【详解】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D∴OE＝OF＝OD＝3，∵△ABC的周长是22，∴S△ABC＝12×AB×OE＋12×BC×OD＋12×AC×OF＝12×（AB＋BC＋AC）×3＝12×22×3＝33．故答案为：33．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积求法，熟知角平分线的性质，并根据题意合理添加辅助线是解题关键．17．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为___．cm2【分析】如图延长AP交BC于T利用全等三角形的性质证明AP=PT即可解决问题【详解】解：如图延长AP交BC于T∵BP⊥AT∴∠BPA=∠BPT=90°∵BP=BP∠PBA=∠PBT∴△BPA≌解析：12cm2【分析】如图，延长AP交BC于T．利用全等三角形的性质证明AP=PT即可解决问题．【详解】解：如图，延长AP交BC于T．∵BP ⊥AT ，∴∠BPA=∠BPT=90°，∵BP=BP ，∠PBA=∠PBT ，∴△BPA ≌△BPT （ASA ），∴PA=PT ，∴BPA BPT CAP CPT S S S S ==， 1122PBC ABC S S ∴==，故答案为12cm 2. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题．18．如图，△ACB 和△DCE 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ，若AB ＝17，BD ＝5，则S △BDE ＝_______．30【分析】根据∠ACB ＝∠DCE ＝90°可得∠ACD ＝∠BCE 利用三角形全等判定可得△ACD ≌△BCE 则BE ＝AD ∠DAC ＝∠EBC 再证明∠DBE ＝90°根据三角形面积计算公式便可求得结果【详解】解析：30【分析】根据∠ACB ＝∠DCE ＝90°，可得∠ACD ＝∠BCE ，利用三角形全等判定可得△ACD ≌△BCE ，则BE ＝AD ，∠DAC ＝∠EBC ，再证明∠DBE ＝90°，根据三角形面积计算公式便可求得结果．【详解】解：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ．即∠ACD ＝∠BCE ．∵AC ＝BC ，∠ADC ＝∠BEC ，∴△ACD ≌△BCE ．∴BE ＝AD ，∠DAC ＝∠EBC ．∵∠DAC ＋∠ABC ＝90°，∴∠EBC ＋∠ABC ＝90°．∴△BDE 为直角三角形．∵AB ＝17，BD ＝5，∴AD ＝AB －BD ＝12．∴S △BDE ＝12BD ⋅BE ＝30．故答案为：30．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过分析题意找出三角形全等的条件并能结合全等性质解决相应的计算问题是解题的关键．19．ABC 中，4AB =，6AC =，则第三边BC 边上的中线m 的取值范围是______．【分析】如图延长AD 至点E 使得DE=AD 可证△ABD ≌△CDE 可得AB=CEAD=DE 在△ACE 中根据三角形三边关系即可求得AE 的取值范围即可解题【详解】解：延长AD 至点E 使得DE=AD ∵点D 是BC解析：15a <<【分析】如图延长AD 至点E ，使得DE=AD ，可证△ABD ≌△CDE ，可得AB=CE ，AD=DE ，在△ACE 中，根据三角形三边关系即可求得AE 的取值范围，即可解题．【详解】解：延长AD 至点E ，使得DE=AD ，∵点D 是BC 的中点，∴BD=CD在△ABD 和△CDE 中，AD DE ADB CDE BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△CDE （SAS ），∴AB=CE ，∵△ACE 中，AC-CE ＜AE ＜AC+CE ，即：AC-AB ＜AE ＜AC+AB ，∴2＜AE ＜10，∴1＜AD ＜5．故答案为：1＜AD ＜5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD ≌△CDE 是解题的关键．20．如图，ABC ∆的两条高AD 、CE 交于点H ，已知6EH EB ==，8AE =，则ACH ∆的面积为______．8【分析】由题意可得进而证明结合已知条件证明故根据分别求出与的面积即可【详解】在和中故答案为：【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质熟记全等三角形的判定定理是解题关键解析：8【分析】由题意可得90ADC CEA ∠=∠=︒，进而证明EAH HCD ∠=∠，结合已知条件证明BEC HEA ∆≅∆，故8EC EA == ，根据AHC AEC AEH S S S ∆∆∆=-分别求出AEH S ∆与AEC S ∆的面积即可．【详解】AD BC ⊥，CE AB ⊥，90ADC CEA ∴∠=∠=︒，AHE CHD ∠=∠，EAH CEH HCD ADC ∴∠+∠=∠+∠，EAH HCD ∴∠=∠，在BEC △和HEA △中，90BEC HEA HCD EAHEB EH ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BEC HEA AAS ∴≅，EC EA ∴=，8EA =，8EC ∴=，6EH =，11862422AEH S AE EH ∆∴=⨯⋅=⨯⨯=， 11883222AEC S AE EC ∆=⋅=⨯⨯=，32248AHC AEC AEH S S S ∆∆∆∴=-=-=．故答案为：8．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理是解题关键．三、解答题21．如图，点E ，F 在线段BD 上，已知AF BD ⊥，CE BD ⊥，//AD CB ，DE BF =，求证：AF CE =．解析：见解析【分析】根据ASA 定理证明三角形全等，从而利用全等三角形的性质求解．【详解】证明：∵DE=BF ，∴DE+EF=BF+EF ；∴DF=BE ；∵AF BD ⊥，CE BD ⊥∴∠AFD=∠CEB=90°∵//AD CB∴∠B=∠D在Rt △ADF 和Rt △BCE 中B D DF BE AFD CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴Rt △ADF ≌Rt △BCE∴AF CE =【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质；由DE=BF 通过等式的性质得DF=BE 在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．22．如图，AD CB =，AB CD =．求证：ABC CDA ∠=∠．解析：见解析【分析】根据SSS 可证明△ABD ≌△CDB ，即可得∠ABD ＝∠CDB ，∠ADB ＝∠CBD ，进而可证明结论．【详解】在ABD ∆和CDB ∆中AB CD AD CB BD DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩()ABD CDB SSS ∴∆≅∆ABD CDB ∴∠=∠ADB CBD ∠=∠ABC ABD CBD ∠=∠-∠CDA CDB ADB ∠=∠-∠ABC CDA ∴∠=∠【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，利用SSS 证明△ABD ≌△CDB 是解题的关键． 23．已知：如图，BAD CAE ∠=∠，AB AD =，AC AE =．（1）求证：ABC ADE △≌△．（2）若42,86B C ∠=︒∠=︒，求DAE ∠的度数．解析：（1）详见解析；（2）52︒【分析】（1）先证明∠BAC=∠DAE ，即可根据SAS 证得结论；（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，再根据全等三角形的性质得到答案．【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ．即∠BAC=∠DAE ．在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴ABC ADE △≌△；（2）∵42,86B C ∠=︒∠=︒，∴18052BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．∵ABC ADE △≌△，∴52DAE BAC ∠=∠=︒．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．24．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，B E ∠=∠．小聪的探究方法是对B 分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当B 是直角时，如图1，在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠=︒，根据“HL ”定理，可以知道Rt Rt ABC DEF ≌△△．第二种情况：当B 是锐角时，如图2，90B E ∠=∠<︒，BC EF =．（1）在射线EM 上是否存在点D ，使DF AC =？若存在，请在图中作出这个点，并连接DF ；若不存在，请说明理由；（2）这种情形下，ABC 和DEF 的关系是（选填“全等”“不全等”或“不一定全等”）；第三种情况：当B 是钝角时，如图3，在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠>︒．（3）请判断这种情形下，ABC 和DEF 是否全等，并说明理由．解析：（1）存在，见解析；（2）不一定全等；（3）全等，见解析【分析】（1）根据尺规作图的方法画出图形即可．（2）根据题（1）所得两种情况及全等三角形的判定即可求解；（3）第三种情况：如图所示，过点C 作AB 边的垂线交AB 的延长线于点M ，过点F 作DE 边的垂线交DE 的延长线于N,先证明△CMA ≌△FND ，推出AM =DN ，推出AB =DE ，再证明△ABC ≌△DEF 即可．【详解】解：（1）存在，如图所示．射线EM 上有两个点满足要求．（2）不一定全等．如题（1）所示：由于满足条件的D 有两个，故△ABC 和△DEF 不一定全等，故答案为：不一定全等；（3）△ABC 和△DEF 全等．理由如下：如图所示，过点C 作AB 边的垂线交AB 的延长线于点M ，过点F 作DE 边的垂线交DE 的延长线于N ．∵ABC DEF ∠=∠，∴CBM FEN ∠=∠．∵CM AB ⊥，FN DE ⊥，∴90CMB FNE ∠=∠=︒．在△CBM 和△FEN 中，∵,,,CMB FNE CBM FEN BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBM ≌△FEN （AAS ）．∴BM EN =，∴CM FN =．在Rt △ACM 和Rt △DFN 中，∵,,AC DF CM FN =⎧⎨=⎩∴Rt △ACM ≌Rt △DFN （HL ）．∴AM DN =，∴AM BM DN EN -=-，即AB DE =．又∵BC EF =，∴△ABC 和△DEF （SSS ）．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，学会作辅助线，难度适中．25．OAB 和ODE 均为等腰三角形，且AOB DOE β∠=∠=，OA OB =，OD OE =，连接AD 、BE ，它们所在的直线交于点F ．（1）观察发现：如图1，当60β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______；（2）探究证明：如图2，当90β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______，根据图2证明你的猜想；（3）拓展推广：当β为任意角时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______．（用含β的式子表示）解析：（1）AD BE =，60°；（2）AD BE =，90°，理由见解析；（3）AD BE =，β【分析】（1）设AF 交BD 于G ，证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，得到60AFB AOB ∠=∠=︒；（2）证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，根据OFA DFB ∠=∠及三角形内角和定理即可证得90AFB AOB ∠=∠=︒；（3）根据（1）与（2）直接得到结论．【详解】（1）证明：设AF 交BO 于G ，∵60AOB DOE ∠=∠=︒，∴AOB BOD DOE BOD ∠-∠=∠-∠，即AOD BOE ∠=∠，∵OA OB =，OD OE =，∴AOD BOE ≌△△，∴AD BE =，OAD OBE ∠=∠，∵OGA FGB ∠=∠，∴180180OGA OAD FGB OBE ∠-∠=∠--∠︒-︒，∴60AFB AOB ∠=∠=︒，故答案为：AD BE =，60°；（2）AD BE =，90°证明：设AF 交BO 于G ，∵90AOB DOE ︒∠=∠=，∴AOB BOD DOE BOD ∠+∠=∠+∠，即AOD BOE ∠=∠，∵OA OB =，OD OE =，∴AOD BOE ≌△△，∴AD BE =，OAD OBE ∠=∠，∵OGA DGB ∠=∠，∴90AFB AOB ∠=∠=︒；故答案为：AD BE =，90°；（3）证明：由（1）与（2）可得AD BE =，AFB AOB β∠=∠=故答案为：AD BE =，β．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．26．已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 绕点C 旋转，过点A 作AD l ⊥于D ，过点B 作BE l ⊥于E ，若6AD =，3BE =，画图并直接写出DE 的长．解析：图见解析，9DE =或3DE =【分析】分直线l 不经过线段AB 和直线l 经过线段AB 两种情况画图，证明△ACD ≌△CBE 即可求出DE 的长．【详解】解：如图1∵AD l ⊥于D ， BE l ⊥于E ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵90ACB ∠=︒，∴∠BCE+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB在△ACD 和△CBE 中，===ADC CEB DAC ECB AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴ △ACD ≌△CBE∴AD=CE=6，DC=EB=3，∴DE=DC+CE=9；如图2，∵AD l ⊥于D ， BE l ⊥于E ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵90ACB ∠=︒，∴∠BCE+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB在△ACD 和△CBE 中，===ADC CEB DAC ECB AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴ △ACD ≌△CBE∴AD=CE=6，DC=EB=3，∴DE=CE-CD=3；∴9DE =或3DE =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意分类画图证明全等三角形是解题关键． 27．如图，BC ⊥AD 于C ，EF ⊥AD 于F ，AB ∥DE ，分别交BC 于B ，交EF 于E ，且BC =EF ．求证：AF =CD ．解析：证明见解析．【分析】由BC ⊥AD ，EF ⊥AD 得∠EFD =∠BCA =90°，由AB ∥DE ，得∠D =∠A ，又BC =EF ，从而△ABC ≌△DEF ，则AC =FD ， AF =CD ．【详解】证明：∵BC ⊥AD ，EF ⊥AD ，∴∠EFD =∠BCA =90°∵AB ∥DE ，∴∠D =∠A∵BC =EF ，∴△ABC ≌△DEF ，∴AC =FD ，∴AF =CD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 28．已知：如图，AC ＝BD ，BD ⊥AD 于点D ，AC ⊥BC 于点C ．求证：∠ABC ＝∠BAD ．解析：详见解析【分析】利用HL 证明Rt △ABD ≌Rt △BAC ，即可得到结论．【详解】∵BD ⊥AD ，AC ⊥BC ，∴∠D=∠C=90︒，在Rt △ABD 和Rt △BAC 中，AB BA BD AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABD ≌Rt △BAC （HL ），∴∠ABC ＝∠BAD ．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，根据题中的已知条件确定两个三角形的对应相等的条件，根据全等的判定定理证得这两个三角形全等是解题的关键．。

八年级全等三角形专题练习(解析版)

一、八年级数学全等三角形解做题压轴题〔难〕1. 〔1〕如图〔1〕,：在△ ABC中,N BAC=90.,AB二AC,直线m经过点A, 8口,直线m, CE J_直线m,垂足分别为点D、E.证实:DE=BD+CE.〔2〕如图〔2〕,将〔1〕中的条件改为：在△ ABC中,AB=AC, D、A、E三点都在直线m 上,并且有N BDA=Z AEC=Z BAC=.,其中.为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立? 如成立,请你给出证实;假设不成立,请说明理由.〔3〕拓展与应用：如图〔3〕 , D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点〔D、A、E 三点互不重合〕,点F为N BAC平分线上的一点,且△ ABF和^ ACF均为等边三角形,连接BD、CE,假设N BDA=Z AEC=Z BAC,试判断△ DEF 的形状.【答案】(1)见解析(2)成立(3) 4DEF为等边三角形【解析】解：(1)证实：BDL直线m, CEJ_直线m,,N BDA=N CEA=900.: Z BAC=90°, /. Z BAD+Z CAE=90°.•/ Z BAD+Z ABD=90°, /. Z CAE=Z ABD.又AB二“AC〞,「・△ ADB合△ CEA (AAS) . /. AE=BD, AD=CE./. DE=,,AE+AD=H BD+CE.(2)成立.证实如下：: Z BDA =Z BAC=a , /. Z DBA+Z BAD=Z BAD+Z CAE=180°-O r . /. Z DBA=Z CAE.Z BDA=Z AEC=., AB=AC,「・△ AD於△ CEA (AAS). /. AE=BD, AD=CE.DE二AE+AD=BD+CE.(3)△ DEF为等边三角形.理由如下：由(2)知,△ ADB合△ CEA, BD=AE, Z DBA =Z CAE,: △ ABF 和^ ACF 均为等边三角形,J Z ABF=Z CAF=60°.・•, Z DBA+Z ABF=Z CAE+Z CAF. /. Z DBF=Z FAE.; BF=AF,,•・丛DBF合△ EAF (AAS) . /. DF=EF, Z BFD=Z AFE.・•, Z DFE=Z DFA+z AFE=Z DFA+Z BFD=60°.・•.A DEF为等边三角形.(1)由于DE=DA+AE,故由AAS证△ ADB合4 CEA,得出DA=EC, AE=BD,从而证得DE=BD+CE.(2)成立,仍然通过证实△ ADB2 J CEA,得出BD=AE, AD=CE,所以DE=DA+AE=EC+BD.(3)由△ ADB2△ CEA得BD=AE, NDBA=N CAE,由△ ABF和△ ACF均等边三角形,得Z ABF=Z CAF=60°, FB=FA,所以N DBA+N ABF=N CAE+N CAF,即N DBF二N FAE,所以△ DBF^ △ EAF,所以FD=FE, Z BFD=Z AFE,再根据N DFE=Z DFA+Z AFE=Z DFA+Z BFD=60°得到△ DEF是等边三角形.2.如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE, PE 交CD 于 F〔1〕证实：PC=PE；〔2〕求N CPE的度数：〔3〕如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当N ABC=12〔T时,连接【答案】(1)证实见解析(2) 90° (3) AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC, ZABP=ZCBP=45%结合PB=PB得出aABP g^CBP,从而得出结论：⑵、根据全等得出NBAP=NBCP, ZDAP=ZDCP,根据PA=PE得出NDAP=NE,即ZDCP=ZE,易得答案；(3)、首先证实4ABP和^CBP全等,然后得出PA=PC, NBAP=NBCP,然后得出NDCP二NE,从而得出NCPF=NEDF=60°,然后得出AEPC是等边三角形,从而得出AP=CE.【详解】⑴、在正方形ABCD 中,AB=BC, ZABP=ZCBP=45%在ZkABP 和4CBP 中,XV PB=PB AAABP^ACBP (SAS) , ,PA=PC, VPA=PE>:.PC=PE；⑵、由(1)知,A ABP^ACBP,.\ZBAP=ZBCP, JNDAP=NDCP,VPA=PE, .\ZDAP=ZE> /. ZDCP=ZE. VZCFP=ZEFD (对顶角相等), A180° - ZPFC - ZPCF=1800 - ZDFE - NE, BPZCPF=ZEDF=90<>：⑶、AP = CE理由是：在菱形ABCD 中,AB=BC, NABP二NCBP,在2\ABP ^lACBP 中,XV PB=PB /.△ABP^ACBP (SAS),,PA二PC, NBAP=NDCP,VPA=PE,,PC=PE,,NDAP=NDCP, V PA=PC,/DAP=NE, A ZDCP=ZE V ZCFP=ZEFD (对顶角相等),A180°- ZPFC - ZPCF=180° - ZDFE - NE, RPZCPF=ZEDF=180° - ZADC=180° - 120°=60°, AAEPC 是等边三角形,,PC=CE, AAP=CE考点：三角形全等的证实3.如图,在AA8C中,NAC8为锐角,点£＞为射线8C上一动点,连接AO.以AO为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF.图①图②图③〔1〕假设A3 = AC, ABAC = 90°①当点.在线段BC上时〔与点3不重合〕,试探讨CF与8.的数量关系和位置关系：②当点O在线段C的延长线上时,①中的结论是否仍然成立,请在图2中而出相应的图形并说明理由；〔2〕如图3,假设ABwAC, ABAC90° , ZBC4 = 45°,点.在线段8C上运动,试探究CF与8.的位置关系.【答案】〔1〕①CF_LBD,证实见解析：②成立,理由见解析：〔2〕 CF1BD,证实见解析.【解析】【分析】〔1〕①根据同角的余角相等求出NCAF=NBAD,然后利用"边角边"证实4ACF和4ABD全等,②先求出NCAF=NBAD,然后与①的思路相同求解即可：〔2〕过点A作AE_LAC交BC于E,可得4ACE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE, NAED=45.,再根据同角的余角相等求出NCAF=NEAD,然后利用“边角边〞证实4ACF 和4AED全等,根据全等三角形对应角相等可得NACF=NAED,然后求出ZBCF=90°,从而得到CFJ_BD.【详解】解：〔1〕①•••NBAC=90°, 4ADF是等腰直角三角形,.\ZCAF+ZCAD=90% ZBAD+ZACD=90°,.\ZCAF=ZBAD,在4ACF和4ABD中,VAB=AC, ZCAF=ZBAD, AD=AF,.,.△ACF^AABD〔SAS〕,.・.CF=BD, ZACF=ZABD=45",ZACB=45",AZFCB=90°,.-.CF±BD：②成立,理由如下：如图2：VZCAB=ZDAF=90%,ZCAB+ ZCAD= ZDAF+ ZCAD, 即NCAF=NBAD,在aACF和AABD中,VAB=AC, ZCAF=ZBAD, AD=AF, AAACF^AABD(SAS), ACF=BD, NACF=NB,VAB=AC, ZBAC=90%AZB=ZACB=45%/. Z BCF= ZACF+ ZACB=45o+45o=90°,ACF1BD：(2)如图3,过点A作AE_LAC交BC于E,•/ ZBCA=45",••.△ACE是等腰直角三角形,,AC=AE, NAED=45°, VZCAF+ZCAD=90°, ZEAD+ZCAD=90%,NCAF=NEAD,在4ACF和4AED中,VAC=AE, NCAF=NEAD, AD=AF,.•.△ACF^AAED(SAS), /. ZACF=ZAED=45\,ZBCF= ZACF+ ZBCA=45o+45°=90°, ACF1BD.【点睛】此题考查全等三角形的动点问题,综合性较强,有一定难度,需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.4.如图〔1〕,在△A3C中,ZA = 90°, A3 = AC,点.是斜边8C的中点,点E, 产分别在线段A3, 4c上,且NEDF = 90..〔1〕求证：△.所为等腰直角三角形：〔2〕假设△ABC的面积为7,求四边形AEDF•的面积：〔3〕如图〔2〕,如果点E运动到A8的延长线上时,点尸在射线C4上且保持ZEDF = 90°,△.石尸还是等腰直角三角形吗.请说明理由.【答案】〔1〕证实见解析；〔2〕 3.5：〔3〕是,理由见解析.【解析】【分析】〔1〕由题意连接AD,并利用全等三角形的判定判定△ BD年△ ADF〔ASA〕,进而分析证得△.瓦'为等腰直角三角形；〔2〕由题意分析可得S网边形AEDF=S MDF+S AADE=S ABDE+S ACDF,以此进行分析计算求出四边形AEDF的面积即可；〔3〕根据题意连接AD,运用全等三角形的判定判定△ BDE^ △ ADF〔ASA〕,进而分析证得△.所为等腰直角三角形.【详解】解：〔1〕证实：如图①,连接AD.「N BAC=90°,AB=AC,点D是斜边BC的中点,/. AD±BC , AD=BD,・•, Z 1=Z B=45°,Z EDF=90% Z 2+Z 3=90%又,Z 3+Z 4=90°,/. Z 2=Z 4,在^ BDE 和^ ADF 中,Z 1=Z B, AD=BD,Z 2=Z 4,/. △ BDE合 , ADF(ASA),・•, DE二DF,又；Z EDF=90\・•・ ADEF为等腰直角三角形.(2)由(1)可知DE=DF, NON 6=45., 又「N 2+N 3=90°, Z 2+Z 5=90%J Z 3=Z 5,A ADE级△ CDF,・' S N边H,AEDF=S AADF+S CADE二S ABDE+S^CDF,S MBC=2 S 网边毛AEDF,S wijn；AEDF=3.5.(3)是,如图②,连接AD.•/ Z BAC=90\ AB=AC, D 是斜边BC 的中点,/. AD±BC Z AD=BD ,「・Z 1=45°,Z DAF=180°-Z l=180°-45°=135% Z DBE=180°-Z ABC=180°-45°=135%/. Z DAF=Z DBE,「Z EDF=90\/. Z 3+Z 4=90%又；Z 2+Z 3=90°,「・Z 2=Z 4,在仆BDE 和a ADF 中,Z DAF=Z DBE, AD=BD,N 2=Z 4,△ BDE合△ ADF(ASA),・•.DE=DB又：Z EDF=90\.•.A DEF为等腰直角三角形.【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.5.如图,在MBC中,ZC = 90°, AC = 3, BC = 7,点.是8c边上的动点,连接AD,以AO为斜边在A.的下方作等腰直角三角形AO石.(1)填空：AABC的面积等于—；(2)连接CE,求证：CE是NAC3的平分线；(3)点.在6C边上,且CO = 1,当.从点.出发运动至点3停止时,求点E相应的运动路程.王O 1 _【答案】〔I〕—：〔2〕证实见解析：〔3〕 3点【解析】【分析】〔1〕根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得：〔2〕如下图作出辅助线,证实△AEM名ADEN 〔AAS〕,得至I] ME=NE,即可利用角平分线的判定证实：〔3〕由〔2〕可知点E在NACB的平分线上,当点D向点B运动时,点E的路径为一条直线,再根据全等三角形的性质得出CN=!〔AC + C.〕,根据CD的长度计算出CE的长度即可.【详解】解：〔1〕 ZC = 90°, AC = \ BC = 7= -ACxBC = -x3x7 = — ,故答案为：—2〔2〕连接CE,过点E作EMLAC于点M,作EN_LBC于点N,AZEMA=Z END=90°,XVZACB=90SAZMEN=90%AZMED+Z DEN=90°,•••△ADE是等腰直角三角形AZAED=90\ AE=DEA ZAEM+Z MED=90%, ZAEM=Z DEN,在△AEM 与ZkDEN 中,ZEMA=Z END=90% ZAEM=Z DEN, AE=DEAAAEM^ADEN 〔AAS〕/. ME=NE,点E 在NACB 的平分线上, 即CE 是NAC3的平分线工(3)由(2)可知,点E 在NACB 的平分线上,・•・当点D 向点B 运动时,点E 的路径为一条直线,VAAEM^ADEN,AM=DN,即 AC-CM=CN-CD在 RtZiCME 与 RtZkCNE 中,CE=CE, ME=NE,ARtACME^RtACNE (HL)ACM=CN.,.CN=；(AC + CO),又YNMCE 二NNCE=45°, ZCME=90\・,. CE= y/2CN = —(AC + CD).2当 AC=3, CD=CO=1 时,CE=](3 + 1) = 2&当 AC=3, CD=CB=7 时,5CE=r (3 + 7) = 5 虚,点E 的运动路程为：50-20 = 30,£【点睛】此题考查了全等三角形的综合证实题,涉及角平分线的判定,几何中动点问题,全等三角形的性质与判定,解题的关键是综合运用上述知识点.6.如图1,在长方形ABCD 中,AB=CD=5 cm, BC=12 cm,点P 从点B 出发,以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动,设点P 的运动时间为ts.(1) PC=—cm ：(用含t 的式子表示)■I) I)(2)当t 为何值时,△ABPg^DCP?.(3)如图2,当点P从点B开始运动,此时点Q从点C出发,以vcm/s的速度沿CD向点D运动,是否存在这样的v值,使得某时刻4ABP与以P, Q, C为顶点的直角三角形全等？假设存在,请求出v的值：假设不存在,请说明理由.【答案】(1) (12-2/)； (2)1 = 3;(3)存在,P = 2或忏1【解析】【分析】(1)根据P点的运动速度可得BP的长,再利用BC的长减去BP的长即可得到PC的长：(2)先根据三角形全等的条件得出当BP=CP,列方程求解即得；(3)先分两种情况：当BP=CQ, AB=PC 时,△ABPgZ\PCQ：或当BA=CQ, PB=PC 时,△ABPgaQCP,然后分别列方程计算出t的值,进而计算出v的值.【详解】解：(1)当点P以2cm/s的速度沿BC向点C运动时间为ts时3P = 2/57•・• BC = \2cin：.PC = BC-BP = (n-2i)cm故答案为：(12—27)(2) MBP = ^DCP・•. BP = CP・•・ 2/= 12-2/解得1 = 3.(3)存在,理由如下：①当BP=CQ, AB=PC 时,ZiABP名△PCQ,1. PC=AB=5.•.BP=BC-PC=12-5=7•・• BP = Item：.2t=7解得t=3.5.\CQ=BP=7,那么 3.5v=7解得y = 2.②当B4 = C.,PB = PC 时,MBP = \QCP,: BC = ncm,BP = CP = -BC = 6c7〃 2V BP = Item:.2t = 6解得/ = 3CQ = 3vcm,: AB = CQ = 5cm, 3v = 5解得U3综上所述,当u = 2或i,=,时,A48尸与以P, Q,C为顶点的直角三角形全等.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质,解题关键是将动态情况化为某一状态情况,并以这一状态为等量关系建立方程求解.7.：在MBC中,AB = AC,ZBAC = 90° ,尸Q为过点4的一条直线,分别过B、C两点作8M_LP0,CN_L尸.,垂足分别为M、N.(1)如图①所示,当P.与BC边有交点时,求证：MN = CN — BM ；(2)如图②所示,当与6C边不相交时,请写出线段8M、CN和MN之间的数量关系,并说明理由. 【答案】(1)见解析：(2) MN = BM + CN (或BM = MN — CN或CN = MN-BM ),理由见解析【解析】【分析】(1)根据条件先证AAA/i运ACN4,得到AM = CN,BM = AN,即可证得MN = CN — BM： (2)由(1)知AAMBYACNA,得到4M =CN,8M = AN,即可确定MN = BM + CN.【详解】证实：・・・BM_LPQ,CN_LP0,・•. ZAMB=ZCAN=90°,V ZBAC=90 ° ,AZCAN+ZACN=90°,ZCAN+ZBAM=90°(或NCW + NAC/V = NC4N+NMM)・•. ZBAM = ZACN,在AAMB和ACN4中,'ZAMB = 4CNA・.• ZBAM = AACN , AB = CA:.AAM“ACN4(A4S),.・.AM =CN,BM =AN,,: MN = AM-AN,:.MN = CN — BM.(2) MN = BM + CN (或BM=MN-CN或CN = MN-BM) .理由：•.・BM_LPQ,CN_LP.,・•・ ZAMB=ZCAN=90°,V ZBAC=90 ° ,.\ZCAN+ZACN=90°,ZCAN+ZBAM=90°(或NCW + NAC/V = NC4N+NBAM ),:.ZBAM = ZACN,在AAMB和ACNA中,'AAMB = ZCNAZ.B\M = ZACN , AB = CA：.AAM*ACNA( AAS),.・.AM =CN,BM =AN,:.MN = AN + AM = BM+CN.【点睛】此题考察三角形全等的应用,正确确定全等三角形是解题关键,由此得到对应相等的线段,确定它们之间的和差关系得到80、CN和MN之间的关系式.8.操作发现：如图,己知"配和"DE均为等腰三角形,AB=AC, AD=AE,将这两个三角形放置在一起,使点8, D, E在同一直线上,连接CE.(1)如图1, ZABC= ZACB= ZADE= ZAED=55Q,求证：△BADgZkCAE；(2)在(1)的条件下,求N8EC的度数：拓广探索：(3)如图2,假设NC48=NEAD=120.,8D=4, CF为aBCE中8E边上的高,请直接写出讦的长度.【答案】(1)见解析：(2) 70°； (3) 2【解析】【分析】(1)根据SAS证实△BADg/kCAE即可.(2)利用全等三角形的性质解决问题即可.(3)同法可证4BAD丝ZkCAE,推出EC=BD=4,由NBEC=NBAC=12O0,推出NFCE=30°即可解决问题.(1)证实：如图1中,图1Z ABC=^ ACB = Z ADE=N AED, /. Z EAD=Z CAB,：.Z EAC=A DAB,AE=AD. AC=AB9：.△ BAD^ & CAE (SAS).(2)解：如图1中,设AC交8E于O. •「N A8C=N4C8 = 55°,/. Z 84c=180° - 110° = 70°,BAD^△ CAE,Z ABO=Z ECO,Z EOC=ZAOB,・•, Z CEO = Z 840=70°,即 N BEC= 70°.(3)解：如图2中,A图2Z C48 = N EAD=120\•. Z BAD=A CAE,：AB=AC, AD=AE.△ BAD^ 4 CAE 〔SAS〕,•. Z BAD=A ACE. 8D=EC=4,同理可证N BEC- 8AC=120°,Z F£C=60%CFLEF,Z F=90",•. Z FCE=30\1•. EF=-EC=2. 2此题属于三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.9.在等边aABC中,点.是边8C上一点.作射线AO,点3关于射线AO的对称点为点E.连接CE并延长,交射线AO于点〔1〕如图,连接AE,①AE与AC的数量关系是；②设NBA尸=a,用.表示NBCF的大小；〔2〕如图,用等式表示线段A尸,CF.所之间的数量关系,并证实.【答案】⑴①AB二AE；②NBCF=.：(2)AF-EF=CF,理由见详解.【解析】【分析】(1)①根据轴对称性,即可得到答案；②由釉对称性,得：AE二AB, NBAF=NEAF=.,由△A3C是等边三角形,得AB=AC, ZBAC=ZACB=60° ,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°,即可求解：(2)作NFCG=60°交AD于点G,连接BF,易证AFCG是等边三角形,得GF=FC,再证△ACG会ABCF(SAS),从而得AG=BF,进而可得至lj结论.【详解】(1)①•・•点4关于射线的对称点为点E , AAB和AE关于射线AD的对称,AAB=AE.故答案是:AB=AE;②•.•点3关于射线的对称点为点E , ,AE二AB, NBAF=NEAF=.,•二△A3c是等边三角形,AAB=AC, ZBAC=ZACB=60" ,：.ZEAC=60° -2a, AE=AC,ZACE=1[180 - (60 - 2a)] = 60 +6?,A ZBCF=ZACE-ZACB=60 +a-60°=a .(2) AF-EF=CF,理由如下：作NFCG=60.交AD于点G,连接BF,•••NBAF=NBCF=a , NADB=NCDF,A ZABC=ZAFC=60c ,••.△FCG是等边三角形,AGF=FC,•二△A3c是等边三角形,ABC=AC, ZACB=60° , AZACG=ZBCF=« .在AACG和ABCF中,CA = CBZACG = ABCF , CG = CF,AACG 仝ABCF(SAS),.,.AG=BF,•・•点4关于射线AO的对称点为点E , .\AG=BF=EF,VAF-AG=GF,.\AF-EF=CE【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.10.如图,AA8C是等边三角形,点.在边4c上〔“点D不与A,C重合〕,点石是射线5c上的一个动点〔点E不与点8,C重合〕,连接OE,以OE为边作作等边三角形hDEF,连接CF.〔1〕如图1,当.石的延长线与A3的延长线相交,且CF在直线OE的同侧时,过点D 作DG//AB, DG 交BC 于点、G ,求证：CF = EG ；〔2〕如图2,当.石反向延长线与A8的反向延长线相交,且.,尸在直线OE的同侧时,求证：CD = CE+CF；〔3〕如图3,当OE反向延长线与线段A8相交,且.,厂在直线O石的异侧时,猜测CD、CE、CP之间的等量关系,并说明理由.【答案】〔1〕证实见详解；〔2〕证实见详解：〔3〕 CF = CO-CE,理由见详解.【解析】【分析】(1)由AABC 是等边三角形,DG//AB,得NCDG=NA=60° , NACB=60.,ACDG 是等边三角形,易证AGDE仝ACDF(SAS),即可得到结论：(2)过点D作DG〃AB交BC于点G,易证A GDE仝△ CDF(SAS),即可得到结论；(3)过点D作DG〃AB交BC于点G,易证A GDE仝A CDF(SAS),即可得到结论.【详解】(1)•・• AA3C是等边三角形,DG//AB, ：.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60° , ・•. ACQG是等边三角形,.\DG=DC.是等边三角形, .,.DE=DF, ZEDF=60° , A ZCDG-ZGDF=ZEDF-ZGDF,即：ZGDE=ZCDF, 在4 GDE和八CDF中,DE = DFNGDE = NCDF ,DG = DC.,.△GDE^A CDF(SAS),：.CF = EG ；(2)过点D作DG〃AB交BC于点G,如图2,•・• AABC是等边三角形,DG//AB、：.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60" ,••・ACDG是等边三角形,:.DG=DC.•••ADE/是等边三角形,,DE=DF, ZEDF=60c ,A ZCDG-ZCDE=ZEDF-ZCDE> 即：ZGDE=ZCDF, 在4 GDE和^ CDF中,DE = DFNGDE = ZCDF ,DG = DC.,.△GDE^ACDF(SAS),:・CF = GE,••. CD = CG = CE+GE = CE+CF(3)CF = CD + CE,理由如下：过点D作DG〃AB交BC于点G,如图3,•・・AA8C是等边三角形,DGUAB, .,.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60" ,,ACDG是等边三角形, ADG=DC=GC.•・• ADEF是等边三角形, ,DE=DF, ZEDF=60° ,A ZCDG+ZCDE=ZEDF+ZCDE,即：NGDE=NCDF, 在A GDE和4 CDF中,DE = DFNGDE = ZCDF , DG = DCAAGDE^ACDF(SAS),,CF = G£=GC+CE=CD+CE.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.。

初二数学八上三角形所有知识点总结和常考题型练习题

三角形知识点一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形的表示:三角形用符号“△"表示,顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

3、三角形的三边关系:（1)三角形的任意两边之和大于第三边.（2)三角形的任意两边之差小于第三边。

(3)作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系.4、三角形的内角的关系：(1）三角形三个内角和等于180°。

（2）直角三角形的两个锐角互余。

5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.6、三角形的分类:（1)三角形按边分类:不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形（2）三角形按角分类:直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形(三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）还有一种特殊的三角形:等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

7、三角形的三种重要线段:(1）三角形的角平分线:定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

性质：三角形的三条角平分线交于一点。

交点在三角形的内部.（2）三角形的中线：定义:在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.性质:三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。

（3）三角形的高线:定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

性质:三角形的三条高所在的直线交于一点。

锐角三角形的三条高线的交点在它的内部;直角三角形的三条高线的交点在它的直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；8、三角形的面积：三角形的面积=×底×高二、全等图形：定义:能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

全等三角形的性质(3个考点八大题型)(原卷版)-2024-2025学年八年级数学上册(苏科版)

全等三角形的性质（3个考点八大题型）【题型01：全等图形的概念】【题型02：全等三角形的对应元素的判断】【题型03：全等三角形的性质-求长度】【题型04：全等三角形的性质-求角度】【题型05：全等三角形的性质-判断结论】【题型06：全等三角形的性质-探究线段和角度之间的关系】【题型07：全等三角形的性质-动点问题】【题型08：全等三角形的性质-证明题】【题型01：全等图形的概念】1．下列各组图形中，是全等图形的是（）A．B．C．D．2．下列各组图形中，属于全等图形的是（）A．B．C．D．3．下列叙述中错误的是（）A．能够完全重合的两个图形称为全等图形B．全等图形的形状和大小都相同C．所有正方形都是全等图形D．平移、翻折、旋转前后的图形全等4．下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【题型02：全等三角形的对应元素的判断】5.（2022秋•荆州月考）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠B＝90°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠A′＝ °．6.（2022春•南阳期末）如图，四边形ABCD≌四边形A'B′C'D'，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠B＝．7.如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′全等，则∠A′= ，∠A= ，B′C′= ，AD= ．8.如图，△ABC 中，点A（0，1），点C（4，3），如果要使△ABD 与△ABC 全等，那么符合条件的点 D 的坐标为 .【题型03：全等三角形的性质-求长度】9．如图，A,B,C三点共线，D,E,B三点共线，且△ABD≌△EBC,AB=5,BC=12，则DE长为（）A．5B．6C．7D．810．如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，若测得∠A=∠D=90°，AB=3，DG=1，AG=2，则梯形CFDG的面积是（）A．5B．6C．7D．811．如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE=3，BD=10，则AB等于（）A．5B．6C．7D．812．如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE=6，AC=8，则BD长（）A．12B．14C．16D．1813．如图，△ABC≌△DEF，BC=7，则EF的长为（）A．7B．5C．3D．214．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，AC与DE相交于点F,BC=6,BE=3．则△EBC的周长为（）A．15B．16C．17D．1215．如图所示，△ABC≌△DEF,AD=8,AE=2，则AB的长是（）A．10B．8C．6D．416．如图，已知△AEC≌△ADB，若AB=5，AD=3，则BE的长为（）A．5B．4C．3D．2【题型04：全等三角形的性质-求角度】17．已知下图中的两个三角形全等，则∠α等于（）A．72°B．58°C．60°D．50°18．如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=115°，则∠BAC的度数是（）A．35°B．30°C．45°D．25°19．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE与CD相交于点N．若△ABE≌△ACD，且∠A=65°，∠C=25°，则∠AEB的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．105°20．如图，△ABC≌△A′B′C，若∠B=25°,∠A=70°,∠A′CB=45°，则∠B′CB的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°21．如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点，若∠D=79°，∠CAB=41°，则∠DBC的度数为（）A．19°B．20°C．41°D．60°22．如图，AB⊥CD，△ABC≌△ADE，∠C=53°，则∠D=（）A．47°B．35°C．37°D．53°23．如下图，已知△ABC≌△DBE，点D恰好在AC的延长线上，∠DBE=20°，∠BDE=41°．则∠BCD的度数是（）A．60°B．62°C．61°D．63°24．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1=56°，则∠BAE的度数为（）A．34°B．56°C．62°D．68°25．如图，△ABC≌△DBE，∠ABC=80∘，∠E=35∘，则∠D的度数为（）A．80∘B．35∘C．65∘D．115∘【题型05：全等三角形的性质-判断结论】26．如图，△ABD≌△EBC，AB=12，BC=5，A、B、C三点共线，则下列结论中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③ED=8；④∠EAD=∠ECD；正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个27．如图，△ABC≌△CDA，AB与CD，BC与DA是对应边，则下列结论错误的是（）A．∠BAC=∠DCA B．AB∥DCC．∠BCA=∠DCA D．BC∥DA28．如图，已知△ABC≌△AED，则下列边或角的关系正确的是（）A．∠C=∠D B．∠CAB=∠AED C．AC=ED D．BC=AE29．如图，已知△OAB≌△OA1B1，AB与A1O交于点C，AB与A1B1交于点D，则下列说法错误的是（）A．∠A=∠A1B．AO=COC．OB=OB1D．∠AOC=∠A1DC30．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）．A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C．∠ABD=∠CBD D．AD∥BC，且AD=CB31．如图，若△ABC≌△DCB，则下列结论错误的是（）A．∠A=∠D=90°B．S△ABC=S△DCBC．CD∥AB D．AC=DB【题型06：全等三角形的性质-探究线段和角度之间的关系】32．如图所示，已知AD⊥BC于点D，△ABD≌△CFD．(1)若BC=10，AD=7，求BD的长．(2)试判断AB和CF的关系，并说明理由33．已知：如图所示，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，在AB 上有一点M，且CM=CD．(1)若AF=12，DF=4，求AM的长．(2)试说明∠CDA与∠CMA的关系．34．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)直接写出AB，AC，AE之间的等量关系．35．△ABC在中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN 于点E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，猜想线段DE、AD与BE有怎样的数量关系？请写出这个关系，并加以证明；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD―BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系不必证明.36．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB=7，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长AD到Q使得DQ=AD；②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4<AQ<10，则AD的取值范围是___________．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明；(3)思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90°，试探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明．37．（1）如图1，△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2=__________；（2）如图2，在△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成为四边形，则∠1+∠2=__________；（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳∠1+∠2与∠A的关系是______________；（4）若没有剪去∠A，而是将∠A折成如图3的形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．【题型07：全等三角形的性质-动点问题】38．如图，在△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以a厘米/秒的速度由C点向A点运动．当△BPD与△CQP全等时，a的值为（）A．3B．4C．4或6D．2或339．如图，∠A=∠B=90°，AB=60，E、F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3:7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为（）A．18B．70C．88或62D．18或7040．如图，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且l∥AB，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当△CPE与△CQF全等时，t的值不可能是（）A．2B．2.8C．3D．641．如图，AB=12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，当P、Q两点同时出发t分钟后△CAP全等于△PBQ，则此时t的值是（）A．4B．6C．8D．1042．《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长1241cm，如图，AB=12cm，∠A=∠B=60°，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以x(cm/s)的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t(s)，当△ACP 与△BPQ全等时，x的值是（）A．2B．1或1.5C．2或1.5D．2或343．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点M，N分别在AC的垂线AX与线段AC上移动，MN=AB，AC=12cm，BC=6cm，若△ABC和以点M、N、A为顶点的三角形全等，则AN 的值为（）A．12cm B．12cm或6cm C．11cm或7cm D．6cm【题型08：全等三角形的性质-证明题】44．如图，△ABD≌△CFD，且点B，D，C在一条直线上，点F在AD上，延长CF交AB于点E．(1)试说明：CE⊥AB．(2)若BD=3，AF=1，求BC的长．45．如图所示，△ABC≌△ADE，若∠BAD=100°，∠CAE=40°，求∠BAC的度数．46．如图，点D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且△ABD≌△CAE，AD=2cm，BD=4cm．求：(1)DE的长；(2)∠BAC的度数．47．如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．(1)求证：DE=CE+BC；(2)猜想：当△ADE满足什么条件时DE∥BC？并证明你的猜想．48．如图所示，已知AD⊥BC于点D，△ABD≌△CFD．(1)若BC=10，AD=7，求BD的长；(2)求证：CE⊥AB．49．如图，已知△ABF≌△CDE．(1)若∠B=45°，∠DCF=25°，求∠EFC的度数；(2)若BD=10，EF=5，求BF的长．。

人教版八年级上册第十二章全等三角形知识点总结及复习

全等三角形知识点总结及复习一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理（一）、基本概念1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。

（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

沪科版八年级数学上册《全等三角形》知识总结和经典例题

沪科版八年级上册数学全等三角形复习[知识要点] 一、全等三角形一般三角形直角三角形判定边角边（SAS ）、角边角（ASA ）角角边（AAS ）、边边边（SSS ）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL ）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 7、三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

(HL)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。

而全等的判定却刚好相反。

2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。

在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS 找全等三角形。

4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。

以及等角，用于工业和军事。

有一定帮助。

5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

八年级数学上册全等三角形的性质及判定(习题及答案)

全等三角形的性质及判定（习题）例题示范
例1：已知：如图，C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．
【思路分析】
①读题标注：
A
B C D
E
②梳理思路：
要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等．
由已知得，CD=BE；
根据条件C为AB中点，得AC=CB；
这样已经有两组条件都是边，接下来看第三边或已知两边的
夹角．
由条件CD∥BE，得∠ACD=∠B．
发现两边及其夹角相等，因此由SAS可证两三角形全等．
【过程书写】
先准备不能直接用的两组条件，再书写全等模块．过程书写中需要注意字母对应．证明：如图
∵C为AB中点
∴AC=CB
∵CD∥BE
∴∠ACD=∠B
在△ACD和△CBE中
AC CB ACD B CD BE （已证）（已证）（已知）
∴△ACD≌△CBE（SAS）
巩固练习
1.如图，△ABC≌△AED，有以下结论：
①AC=AE；②∠DAB=∠EAB；③ED=BC；④∠EAB=∠DAC．
E
D C
B
A
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八年级上册数学全等三角形证明题

八年级上册数学全等三角形证明题一、全等三角形证明题1 20题及解析。

（一）题目1。

1. 题目。

已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE = AC，延长BE交AC于F。

求证：AF = EF。

2. 解析。

证明：延长AD到G，使DG = AD，连接BG。

因为AD是BC边上的中线，所以BD = CD。

在△BDG和△CDA中，BD = CD，∠BDG = ∠CDA（对顶角相等），DG = DA。

根据SAS（边角边）全等判定定理，可得△BDG≌△CDA。

所以BG = AC，∠G = ∠CAD。

又因为BE = AC，所以BG = BE。

所以∠G = ∠BEG。

因为∠BEG = ∠AEF（对顶角相等），所以∠AEF = ∠CAD。

所以AF = EF。

（二）题目2。

1. 题目。

如图，在△ABC和△DEF中，AB = DE，BE = CF，∠B = ∠DEF。

求证：AC = DF。

2. 解析。

因为BE = CF，所以BE + EC = CF+EC，即BC = EF。

在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠B = ∠DEF，BC = EF。

根据SAS全等判定定理，可得△ABC≌△DEF。

所以AC = DF。

（三）题目3。

1. 题目。

已知：如图，AB = CD，AE = DF，CE = FB。

求证：AF = DE。

2. 解析。

因为CE = FB，所以CE + EF = FB + EF，即CF = BE。

在△AEB和△DFC中，AB = CD，AE = DF，BE = CF。

根据SSS（边边边）全等判定定理，可得△AEB≌△DFC。

所以∠B = ∠C。

在△ABF和△DCE中，AB = CD，∠B = ∠C，BF = CE。

根据SAS全等判定定理，可得△ABF≌△DCE。

所以AF = DE。

（四）题目4。

1. 题目。

如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE = BD，BD的延长线与AE交于点F。

苏科版八年级数学上册1-3探索三角形全等的条件同步知识点分类练习题(含答案)-doc

苏科版八年级数学上册1.3探索三角形全等的条件同步知识点分类练习题一．三角形的稳定性1．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）A．0根B．1根C．2根D．3根2．如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有．3．小龙平时爱观察也喜欢动脑，他看到路边的建筑和电线架等，发现了一个现象：一切需要稳固的物品都是由三角形这个图形构成的，当时他就思考，数学王国中不仅只有三角形，为何偏偏用三角形稳固它们呢？请你用所学的数学知识解释这一现象的依据为．4．有一个人用四根木条钉了一个四边形的模具，两根木条连接处钉一颗钉子，但他发现这个模具老是走形，为什么？如果他想把这个模具固定，再给一根木条给你，你怎么把它固定下来，画出示意图，并说出理由．二．全等三角形的判定5．根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，AC＝6B．AB＝4，∠B＝45°，∠A＝60°C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°D．∠C＝90°，AB＝8，AC＝46．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，添加一个条件，使△ABE≌△ACD（填一个即可）．7．如图，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE．求证：△ABC≌△ADE．8．如图，AD，BC相交于点O，∠OAB＝∠OBA，∠C＝∠D＝90°．求证：△AOC≌△BOD．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，动点P 从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．则点P运动时间为秒时，△PMC与△QNC全等．10．证明命题“全等三角形的面积相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，求证：．请你补全已知和求证，并写出证明过程．11．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠DEF．求证：△ABC≌△DEF．12．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，DC＝5，动点M从A点出发沿线段AD﹣DC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD﹣DA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动．ME⊥PQ于点E，NF⊥PQ于点F，设运动的时间为t秒．（1）在运动过程中当M、N两点相遇时，求t的值．（2）在整个运动过程中，求DM的长．（用含t的代数式表示）（3）当△DEM与△DFN全等时，请直接写出所有满足条件的DN的长．13．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF＝CD．试说明：△ABC≌△EDF．14．如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．（1）当t＝3时，BP＝ cm；（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形；（3）Q为AD边上的点，且DQ＝5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等．15．八年级数学社团活动课上，《致远组》同学讨论了这样一道题目：如图所示，∠BAC是钝角，AB＝AC，D，E分别在AB，AC上，且CD＝BE．试说明：∠ADC＝∠AEB．其中一个同学的解法是这样的：在△ACD和△ABE中，，所以△ABE≌△ACD，所以∠ADC＝∠AEB．这种解法遭到了其他同学的质疑．理由是错在不能用“SSA”说明三角形全等．请你给出正确的解法．三．全等三角形的判定与性质16．如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝44°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝44°；②AF＝AC；③∠EFB＝44°；④AD＝AC，正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个17．如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长可能是（）A．6B．7C．8D．918．如图，AC⊥BC，BD⊥BC，AB＝CD，AC＝5，则BD的大小为．19．如图，△ABC和△ADE的顶点交于一点A，已知∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE．求证：∠B＝∠D．20．已知：如图，在△ABC中，BE、CD分别是AC、AB边上的高，且BE＝CD．求证：AB＝AC．21．如图，已知△ABC，作射线AP∥BC，E、F分别为BC、AP上的点，且AF＝CE．连接EF交AC于点D，连接BD并延长，交AP于点M．（1）求证：△ADF≌△CDE；（2）求证：AM＝BC．22．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AB上，点E在BC上，连接CD、DE，AD＝BE，∠CDE＝∠A．（1）求证：DC＝ED；（2）如图2，当∠ACB＝90°时，作CH⊥AB于H，请直接写出图2中的所有等腰三角形．（△ABC除外）23．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，D是BC上一点，且∠ADC＝60°，CF⊥AD于F，AE⊥BC于E，AE交CF于G．（1）求证：△AFG≌△CFD；（2）若FD＝1，AF＝，求线段EG的长．24．如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）在△A'B'C'中，作出∠B'A'C'的角平分线A'D'交B'C'于点D'；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若AD＝A'D'，求证：BD＝B'D'．25．如图所示，在△ABC中，AD为中线，过C作CE⊥AD于E．（1）如图1，若∠B＝30°，∠A＝90°，AC＝BD，AE＝1，求BC的长．（2）如图2，延长DA至F，连接FC．若∠F＝∠BAD，求证：AF＝2DE．26．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK ＝DG+KG．27．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．28．问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．参考答案一．三角形的稳定性1．解：如图所示：要使这个木架不变形，利用三角形的稳定性，他至少还要再钉上1个木条，故选：B．2．解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性，故答案为：稳定性．3．解：用三角形稳固它们是因为三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．4．解：∵多边形ABCD是四边形，四边形具有不稳定性，∴这个模具老是走形，如图所示；在B、D处钉一颗钉子，把BD连接，可以把把它固定下来，理由是三角形具有稳定性．二．全等三角形的判定5．解：A：三边确定，符合全等三角形判定定理SSS，能画出唯一的△ABC，故不符合题意，B：已知两个角及其公共边，符合全等三角形判定定理ASA，能画出唯一的△ABC，故不符合题意，C：已知两边及其中一边的对角，属于“SSA”的情况，不符合全等三角形判定定理，故不能画出唯一的三角形，故本选项符合题意，D：已知一个直角和一条直角边以及斜边长，符合全等三角形判定定理HL，能画出唯一的△ABC，故不符合题意．故选：C．6．解：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∴当添加AE＝AD（或CE＝BD）时，可根据“SAS”判断△ABE≌△ACD；当添加∠B＝∠C时，可根据“ASA”判断△ABE≌△ACD；当添加∠AEB＝∠ADC时，可根据“AAS”判断△ABE≌△ACD．故答案为：AE＝AD（或CE＝BD或∠AEB＝∠ADC）．7．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，∴∠BAC＝∠DAE，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠B，∵DA平分∠BDE．∴∠ADE＝∠ADB，∴∠ADE＝∠B，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（ASA）．8．证明：∵∠OAB＝∠OBA，∴OA＝OB，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（AAS）．9．解：设运动时间为t秒时，△PMC≌△CNQ，∴斜边CP＝CQ，分两种情况：①如图1，点P在AC上，点Q在BC上，∵AP＝t，BQ＝2t，∴CP＝AC﹣AP＝8﹣t，CQ＝BC﹣BQ＝10﹣2t，∵CP＝CQ，∴8﹣t＝10﹣2t，∴t＝2；②如图2，点P、Q都在AC上，此时点P、Q重合，∵CP＝AC﹣AP＝8﹣t，CQ＝2t﹣10，∴8﹣t＝2t﹣10，∴t＝6；综上所述，点P运动时间为2或6秒时，△PMC与△QNC全等，故答案为：2或6．10．解：如下图作AD⊥BC，作A'D⊥BC'，垂足分别为D，D'，∵△ABC≌△A'B'C'（已知），∴AB＝A'B'，BC＝B'C'（全等三角形的对应边相等），∠B＝∠B（全等三角形的对应角相等），在△ABD和△A'B'D'中，∵，∴ABD≌△A'B'D'（AAS），∴AD＝A'D'（全等三角形的对应边相等），∴S△ABC＝S△A'B'C'．11．证明：∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+EC．∴BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．12．解：（1）根据题意得t+3t＝3+5，解得t＝2，即t的值为2；（2）当0≤t≤3时，DM＝3﹣t；当3＜t≤8时，DM＝t﹣3；（3）∵ME⊥PQ，NF⊥PQ，∴∠DEM＝∠DFN＝90°，∵∠MDN＝90°，∴∠DME＝∠NDF，∴当DM＝DN时，△DEM与△DFN全等，当0≤t≤时，3﹣t＝5﹣3t，解得t＝1，此时DN的长为2；当＜t≤3时，3﹣t＝3t﹣5，解得t＝2，此时DN的长为1，当3＜t≤时，3t﹣5＝t﹣3，解得t＝1，不合题意舍去；＜t＜8时，3＝t﹣3，解得t＝6，此时DN的长为3．综上所述，DN的长为1或2或3．13．解：∵AC⊥BD，EF⊥BD，∴∠ACB＝∠EFD＝90°，∵BF＝CD，∴BF+CF＝CD+CF，即BC＝DF，在△ABC和△EDF中，，∴△ABC≌△EDF（SAS）．14．解：（1）当t＝3时，点P走过的路程为：2×3＝6，∵AB＝4，∴点P运动到线段BC上，∴BP＝6﹣4＝2，故答案为：2；（2）∵矩形ABCD的面积＝4×6＝24，∴三角形ABP的面积＝×24＝8，∵AB＝4，∴△ABP的高为：8×2÷4＝4，如图，当点P在BC上时，BP＝4，∴t＝（4+4）÷2＝4，当点P在AD上时，AP＝4，∴t＝（4+6+4+2）÷2＝8，∴当t＝4 s或8 s时，△ABP的面积为长方形面积的三分之一；（3）根据题意，如图，连接CQ，则AB＝CD＝4，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90o，DQ＝5，∴要使一个三角形与△DCQ全等，则另一条直角边必须等于DQ，①当点P运动到P1时，CP1＝DQ＝5，此时△DCQ≌△CDP1，∴点P的路程为：AB+BP1＝4+1＝5，∴t＝5÷2＝2.5，②当点P运动到P2时，BP2＝DQ＝5，此时△CDQ≌△ABP2，∴点P的路程为：AB+BP2＝4+5＝9，∴t＝9÷2＝4.5，③当点P运动到P3时，AP3＝DQ＝5，此时△CDQ≌△ABP3，∴点P的路程为：AB+BC+CD+DP3＝4+6+4+1＝15，∴t＝15÷2＝7.5，④当点P运动到P4时，即P与Q重合时，DP4＝DQ＝5，此时△CDQ≌△CDP4，∴点P的路程为：AB+BC+CD+DP4＝4+6+4+5＝19，∴t＝19÷2＝9.5，综上所述，时间的值可以是：t＝2.5，4.5，7.5或9.5，故答案为：2.5或4.5或7.5或9.5．15．证明：因为∠BAC是钝角，故过B、C两点分别作CA、BA的垂线，垂足分别为F，G，在△ABF与△ACG中，∴△ABF≌△ACG（AAS），∴BF＝CG，在Rt△BEF和Rt△CDG中，∴Rt△BEF≌Rt△CDG（HL），∴∠ADC＝∠AEB．三．全等三角形的判定与性质16．解：在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠C，故②正确，∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAC﹣∠BAF，∴∠EAB＝∠FAC＝44°，故①正确，∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠EFB，∴∠EFB＝∠FAC＝44°，故③正确，无法证明AD＝AC，故④错误，综上，①②③正确，故选：B．17．解：在AC上截取AE＝AB＝5，连接PE，∵AC＝9，∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，∵点P是∠BAC平分线AD上的一点，∴∠CAD＝∠BAD，在△APE和△APB中，，∴△APE≌△APB（SAS），∴PE＝PB＝3，∵4﹣3＜PC＜4+3，解得1＜PC＜7，∴PC取6，故选：A．18．解：∵AC⊥BC，BD⊥BC，∴∠ABC＝∠DBC＝90°，在Rt△ACB和Rt△DBC中，，∴Rt△ACB和Rt△DBC（HL），∴BD＝AC＝5，故答案为：5．19．证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD﹣∠DAC＝∠CAE﹣∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS），∴∠B＝∠D．20．证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，在△AEB和△ADC中，，∴△AEB≌△ADC（AAS），∴AB＝AC．21．证明：（1）∵AP∥BC，∴∠AFD＝∠CED，∠FAD＝∠ECD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（ASA）；（2）由（1）知，△ADF≌△CDE，∠FAD＝∠ECD，∴AD＝CD，在△ADM和△CDB中，，∴△ADM≌△CDB（ASA），∴AM＝BC．22．（1）证明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵∠CDB＝∠A+∠ACD，∴∠CDE+∠BDE＝∠A+∠ACD，∵∠CDE＝∠A，∴∠BDE＝∠ACD，在△ACD和△BDE中，，∴△ACD≌△BDE（AAS），∴DC＝ED．（2）解：图2中的所有等腰三角形有△ACH，△BCH，△BCD，△DCE．理由：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CH⊥AB，∴∠ACH＝∠BCH＝45°，∴△ACH和△BCH都是等腰三角形，由（1）可知△DCE是等腰三角形，∵∠CDE＝∠A＝45°，∴∠DCE＝∠DEC＝67.5°，∵∠B＝45°，∴∠CDB＝67.5°，∴∠DCB＝∠CDB，∴△BCD是等腰三角形．23．（1）证明：∵∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，∴∠BAC＝60°，∵∠ADC＝60°，∴∠ADB＝120°，又∵∠BAC＝60°，∴∠DAC＝45°，又∵CF⊥AD，∴∠AFC＝∠CFD＝90°，∠ACF＝∠DAC＝45°，∴AF＝CF，∵CF⊥AD，AE⊥BC，∴∠CDF+∠DCF＝∠CGE+∠DCF＝90°，∴∠CDF＝∠CGE，∵∠CGE＝∠AGF，∴∠AGF＝∠CDF，∵在△AFG和△CFD中，，∴△AFG≌△CFD（AAS）；（2）解：在Rt△CFD中，∠CFD＝90°，∠FCD＝30°，∴CD＝2DF＝2，∵△AFG≌△CFD，∴FG＝DF＝1，∴CF＝AF＝，∴CG＝CF﹣FG＝﹣1，在Rt△CGE中，∠AEC＝90°，∠FCD＝30°，∴EG＝CG＝．24．（1）解：如图所示：（2）证明：∵∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∴∠A＝∠A'，∵AD平分∠BAC，∠B'A'C'的角平分线A'D'，∴∠BAD＝∠B'A'D'，∵AD＝A'D'，∴△BAD≌△B'A'D'（AAS），∴BD＝B'D'．25．解：（1）∵∠BAC＝90°，AD为中线，∴BD＝CD＝AD＝BC，∵∠B＝30°，∴∠BAD＝30°，∴∠DAC＝60°，∵CE⊥AD，∴∠ACE＝30°，∴AC＝2AE＝2，在Rt△ABC中，BC＝2AC＝4；（2）延长ED到G，使DG＝DE，则EG＝2DE，连接GB，如图：∵AD为中线，∴BD＝CD，在△BDG和△CDE中，，∴△BDG≌△CDE（SAS），∴BG＝CE，∠G＝∠CED＝90°＝∠CEF，在△ABG和△FCE中，，∴△ABG≌△FCE（AAS），∴AG＝EF，∴AG﹣AE＝EF﹣AE，即EG＝AF，∵EG＝2DE，∴AF＝2DE．26．证明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，，∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），∴AB＝BD，（2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，∵∠ABF＝∠DBG＝45°∴∠MBD＝∠GBD，在△BMK和△BGK中，，∴△BMK≌△BGK（ASA），∴BM＝BG，MK＝KG，在△ABM和△DBG中，，∴△ABM≌△DBG（SAS），∴AM＝DG，∵AK＝AM+MK，∴AK＝DG+KG．27．解：（1）DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（3）△DEF是等边三角形，理由如下，∵α＝120°，AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝60°，∵AB＝AF＝AC，∴△ABF和△ACF是等边三角形，∴FA＝FC，∠FCA＝∠FAB＝∠AFC＝60°，同（2）理得，△BDA≌△EAC，∴∠BAD＝∠ACE，AD＝CE，∴∠FAD＝∠FCE，∴△FAD≌△FCE（SAS），∴DF＝EF，∠DFA＝∠EFC，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝∠AFC＝60°，∴△DEF是等边三角形．28．解：问题背景：由题意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，∴BE＝DG，EF＝GF，∴EF＝FG＝DF+DG＝BE+FD．故答案为：EF＝BE+FD．探索延伸：EF＝BE+FD仍然成立．理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，又∵∠EAF＝∠BAD，∴∠FAG＝∠FAD+∠DAG＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF，＝∠BAD﹣∠BAD＝∠BAD，∴∠EAF＝∠GAF．在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+FD．实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，在四边形AOBC中，∵∠AOB＝30°+90°+20°＝140°，∠FOE＝70°＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝60°+120°＝180°，符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+FB成立．即，EF＝AE+FB＝2×（70+90）＝320（海里）答：此时两舰艇之间的距离为320海里．。

人教版数学八年级上第十二章全等三角形知识点+题案+作业(精品学案)

第十二章全等三角形一、全等三角形【全等三角形的概念和性质】 1. 全等形：能够重合的两个图形. 2. 全等三角形：能够重合的两个三角形.把两个全等的三角形重合到一起时，重合的顶点称为对应点．．．，重合的边称为对应边．．．，重合的角称为对应角．．．。

3. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；表示方法：“全等”用“≌”表示，读作:_________; 【例题一】(1)如图所示，△OCA ≌△OBD ，对应顶点有：点和点，点和点，点和点；对应角有：和，和，和；对应边有：和，和，和 .(2)如图△ABD ≌△CDB,若AB=4，AD=5，BD=6，∠ABD=50°，∠ADB=30°，则BC= ,CD= ,∠BDC= ,∠C= .【基础练习一】1. 已知∆ABC ≌∆EFD ，若59A ∠=︒，31B ∠=︒，8DE =，10EF =，则AB = ，D ∠= ．2. 如图，△AOB ≌△ADC ，点B 和点C 是对应顶点，∠O=∠D=90°，记∠OAD=α，∠ABO=β，当BC ∥OA 时，α与β之间的数量关系为（）A 、α=βB 、α=2βC 、α+β=90°D 、α+2β=180°3. 下列说法错误的是（）DBACOA、全等三角形的公共角是对应角，对顶角也是对应角B、全等三角形的公共边也是对应边C、全等三角形的公共点是对应顶点D、全等三角形中相等的边所对的角是对应角，相等的角所对的边是对应边。

4.如图，已知△ABD≌△ACE，AD=3cm，BD=1cm，BC=6cm，求△ADE的周长.5.如图，已知△ACF≌△DBE，∠E=∠F，AD=9cm，BC=5cm，求AB的长.【全等三角形的判定】1. 全等三角形的判定1：三边分别相等的两个三角形全等（简写“SSS ”）2. 全等三角形的判定2：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写“SAS ”）3. 证明三角形全等：判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等【例题二】1. 如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．证明：∵D 是BC ∴ =∴在△和△ 中AB= BD= AD=∴△ABD △ACD( )提示：证明的书写步骤：①准备条件：证全等时需要用的间接条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤：A 、写出在哪两个三角形中，B 、摆出三个条件用大括号括起来，C 、写出全等结论。

人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》知识点总结(含答案解析)

一、选择题1．如图，△ABC ≌△ADE ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠B ＝28︒，∠E ＝95︒，∠EAB ＝20︒，则∠BAD 等于（）A ．75︒B ．57︒C ．55︒D ．77︒2．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ，点D 在BC 边上，BD=12DC ，∠BED=∠CFD=∠BAC ，若S △ABC =30，则阴影部分的面积为（）A ．5B ．10C ．15D ．203．如图，已知16AB AC +=，点O 为ABC ∠与ACB ∠的平分线的交点，且ODBC 于D ．若4OD =，则四边形ABOC 的面积是（）A ．36B ．32C ．30D ．644．如图，OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，延长CP ，DP 交OB ， OA 于点E ，F ，下列结论错误的是（）A ．PC PD =B ．OC OD = C ．CPO DPO ∠=∠ D ．PC PE =5．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，BD CE =，BF CD =，则EDF ∠等于（）A ．90A ︒-∠B ．1802A ︒-∠C ．1902A ︒-∠D ．11802A ︒-∠ 6．如图，给出下列四组条件：①AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ；②AB=DE ，∠B=∠E ，BC=EF ；③∠B=∠E ，BC=EF ，∠C=∠F ；④AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ．其中，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有（）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组7．如图，123,,l l l 是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（）处．A ．1B ．2C ．3D ．48．点Р在AOB ∠的角平分线上，点Р到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（）A ．5PQ >B ．5PO ≥C ． 5PQ <D ．5PO ≤ 9．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足，下列结论：①△ABD ≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF 其中正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④ 10．如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．HL11．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（）A ．6B ．8C ．10D ．1212．如图，在ABC 和△FED 中，AD FC =，AB FE =，下列条件中不能证明F ABC ED ≌△△的是（）A ．BC ED =B ．A F ∠=∠C ．B E ∠=∠D ．//AB EF 13．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC 的是（）A ．AB ＝3，BC ＝4，∠C ＝40°B ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4C ．∠C ＝90°，AB ＝6D ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30°14．如图，AC 与DB 相交于E ，且BE CE =，如果添加一个条件还不能判定ABE △≌DCE ，则添加的这个条件是（）．A ．AC DB =B ．A D ∠=∠C ．B C ∠=∠D ．AB DC = 15．如图，C 是∠AOB 的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC ≌△BOC 的是（）A ．OA =OB B ．AC =BC C ．∠A =∠BD ．∠1=∠2二、填空题16．如图，已知四边形,90,3,4,5,ABCD B AB BC AC ︒∠====180BAD CAD ︒∠+∠=，180BCD ACD ︒∠+∠=，则四边形ABCD 的面积是_________．17．如图，把等腰直角三角板放平面直角坐标系内，已知直角顶点C 的坐标为()0,3，另一个顶点B 的坐标为()8,8，则点A 的坐标为____________18．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．若3BC =，且:5:4BD DC =，5AB =，则ABD △的面积是______．19．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，12AB =，5BC =，射线AP AB ⊥于点A ，点E 、D 分别在线段AB 和射线AP 上运动，并始终保持DE AC =，要使ABC 和DAE △全等，则AE 的长为______．20．在ABC 中，48ABC ︒∠=，点D 在BC 边上，且满足18,BAD DC AB ︒∠==，则CAD ∠=________度．21．如图，△ABC ≌△A'B'C'，其中∠A ＝35°，∠C ＝25°，则∠B'＝_____．22．如图，在ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知30DAC ∠=︒，75DAB ∠=︒，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠=________度．23．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=40cm ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，AD ：DC=5：3，则D 到AB 的距离为__________cm ．24．如图，已知△ABC 的面积为18，BP 平分∠ABC ，且AP ⊥BP 于点P ，则△BPC 的面积是_____．25．如图，在ABC 中，AB AC =，BD CD =，点E ，F 是AD 上的任意两点、若8BC =，6AD =，则图中阴影部分的面积为__________．26．如图，ABC ∆的两条高AD 、CE 交于点H ，已知6EH EB ==，8AE =，则ACH ∆的面积为______．三、解答题27．如图，点E ，F 在线段BD 上，已知AF BD ⊥，CE BD ⊥，//AD CB ，DE BF =，求证：AF CE =．28．如图，在ABC ∆中，90,C ∠=︒点D 在BC 上，过点D 作DE AB ⊥于点,E 点F 是AC 边上一点，连接DF ．若,BD DF CF EB ==，求证：AD 平分BAC ∠．29．在平面直角坐标系中，点A 坐标(5,0)-，点B 坐标(0,5)，点 C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为(3,0)，求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：DO 平分ADC ∠；（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当OC CD AD +=时，则OBC ∠的度数为________． 30．已知ABC 为等腰直角三角形，AB AC =，ADE 为等腰直角三角形，AD AE =，点D 在直线BC 上，连接CE ．（1）若点D 在线段BC 上，如图1，求证：CE BC CD =-；（2）若D 在CB 延长线上，如图2，若D 在BC 延长线上，如图3，其他条件不变，又有怎样的结论？请分别写出你发现的结论，不需要证明；（3）若10CE =，4CD =，则BC 的长为________．。

沪科版八年级数学上册第14章-全等三角形知识例题讲解与练习

第14章全等三角形【知识剖析】一、全等形：能够完全重合的两个图形，叫做全等形. 二、全等三角形的有关概念1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形.2、全等三角形的对应元素：全等三角形中，互相重合的边叫做对应边；互相重合的角叫做对应角；互相重合的顶点叫做对应顶点.3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.注：用全等符号“≌”表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.[例1] 如图，将△ABC 绕其顶点B 顺时针旋转一定角度后得到△DBE ，请说出图中两个全等三角形的对应边和对应角.[例2] （1）如图，△ABE 与△CED 是全等三角形，可表示为△ABE ≌_______，其中∠A=30°，∠B=70°，AB=3cm ，则∠D=_____，∠DEC =_____，CD=_____.（2）如图，△ABC ≌△DCB ，若CD=4cm ，∠A=28°，∠DBC=35°，则AB=_____，∠D=_____，∠ABC=_______.（3）如图，△AOB ≌△COD ，若CD=2cm ，∠B=45°，则AB=_____，∠D=______.[例3] 如图，△ACB ≌△A /CB /，∠A /CB=30°，∠ACB/=110°，则∠ACA/=______.[例4] 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，且AC=BC=4cm ，已知△BCD ≌△ACE ，则四边形AECD 的面积是_________.[例5] 如图，将△ABC 沿直线DE 折叠后，使得点B 与点A 重合，已知AC=5cm ，△ADC 的周长为17cm ，则BC 的长为_______.[例6] 如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C /处，折痕为EF ，若∠EFC /=125°，那么∠ABE 的度数为________.三、全等三角形的判定 1、“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS ）ABC 和△DEF 中，AB DEB E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABC ≌△DEF 2、.（ASA ）在△ABC 和△DEF 中，∵ B EBC EF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△DEF 3、“角角边”定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS ）在△ABC 和△DEF 中，∵B EC F AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF4、“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等.（SSS）在△ABC和△DEF中，∵AB DE BC EF AC DF=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC≌△DEF另外，判定两个直角三角形全等还有另一种方法.：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（HL）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵AB DEAC DF=⎧⎨=⎩∴ Rt△ABC≌Rt△DEF四、全等三角形的证明思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AASASAASAAASSASAASSSSHLSAS[例7]如图，已知AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E，求证：BC=ED.[例8]如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC.求证：∠ACE=∠DBF.[例9]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE=BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性.[例10] 如图，AC=DF，AD=BE，BC=EF.求证：AC∥DF.[例11]如图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：1()2AD AB AC<+[例12]如图，AB∥CD，EC、EB分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.[例13]如图，已知△ABC中，AC=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF 的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角形的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.（1）在图（1）中，DE交AB于M，DF交BC于N.①证明DM=DN；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的.若不发生变化，求出其面积. （2）继续旋转至图（2）的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（3）继续旋转至图（3）的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明.【综合练习】一、选择题1、下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等.其中真命题的个数有( )A、3个B、2个C、1个D、0个2、下列说法正确的是（）A.周长相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C.面积相等的两个三角形全等D.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等3、如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）A. 相等B. 不相等C. 互余或相等D. 互补或相等4、已知△ABC≌△DEF，若∠A=50°，∠C=30°，则∠E等于（）A. 30°B. 50°C.60°D.100°5、已知△ABC和△DEF中，∠B=∠E，∠C=∠F，若要△ABC≌△DEF，只要满足下列条件中的（）A. AB=DFB.BC=DFC. AC=DED.BC=EF6、如图，AB=AC，EB=EC，那么图中的全等三角形共有（）A. 1对B. 2对C.3对D.4对7、某同学不小心把一块三角形玻璃打碎，变成了如图所示的三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么应带（）去，才能配好.A. ①B.②C.③D.任意一块8、已知：的三边分别为，的三边分别为，且有，则与（）.A．一定全等 B．不一定全等 C．一定不全等 D．无法确定9、如图，已知点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，则有( )A、△ABD≌△AFDB、△AFE≌△ADCC、△AEF≌△DFCD、△ABC≌△ADE（第9题）（第10题）（第11题）10、如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有（）A．1个 B．2个C．3个D．4个11、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=64，且BD：CD=9：7，则点D到AB边的距离为( )A、18B、32C、28D、2412、如果D是△ABC中BC边上一点，并且△ADB≌△ADC，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形二、填空题13、已知：△ABC ≌△A ′B ′C ′，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=70°，AB=15cm ，则∠C ′=_________，A ′B ′=__________.14、如图，在△ABC 和△FED ，AD=FC ，AB=FE ，当添加条件__________时，就可得到△ABC ≌△FED.(只需填写一个你认为正确的条件)（第14题）（第15题）（第16题）15、如图，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD ＝EC ，判定△BCD ≌△CBE 的依据是． 16、如图，在△ABC 中，AD=DE ，AB=BE ，∠A=80°，则∠CED=_____.17、如图，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交DA 于点F ，交DE 于点G ，∠D=25°，∠E=105°，∠DAC=16°，则∠DGB=_________.18、如图是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC 方向平移得到△DEF.如果AB=8cm ，BE=4cm ，DH=3cm ，那么图中阴影部分面积为_______cm 2. 三、解答题19、如图，在△ABC 中，F 为AC 的中点，E 为AB 上一点，D 为EF 延长线上一点，∠A=∠ACD.求证：//CD AE .20、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH=EB=3，AE=4，求CH 的长.21、如图，已知AD为△ABC的中线，试比较AB+AC与2AD的大小.22、如图，∠ABC=90°，AB=AC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F.求证：EF=CF-AE.23、（1）如图（1），A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF，DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD. 求证：BD平分EF；（2）若将图形变为图（2），其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由.24、如图（1），已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B、C 在AE的两侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E.（1）求证：BD=DE+CE；（2）若直线AE绕点A旋转到图（2）的位置（BD<CE）时，其余条件不变，问BD与DE、CE 的关系如何？请给予证明；（3）若直线AE绕点A旋转到图（3）的位置（BD>CE）时，其余条件不变，问BD与DE、CE 的关系如何？请直接写出结果，不需证明.。

八年级数学上册第十二章全等三角形知识点题库(带答案)

八年级数学上册第十二章全等三角形知识点题库单选题AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于( ) 1、如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=8，DC=13A．4B．3C．2D．1答案：C分析：如图，过点D作DE⊥AB于E，根据已知求出CD的长，再根据角平分线的性质进行求解即可. 如图，过点D作DE⊥AB于E，AD，∵AC=8，DC=13=2，∴CD=8×11+3∵∠C=90°，BD平分∠ABC，∴DE=CD=2，即点D到AB的距离为2，故选C．小提示：本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键. 2、如图，已知△ABC≌△DCB，∠A=75°，∠DBC=40°，则∠DCB的度数为（）A．75°B．65°C．40°D．30°答案：B分析：直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而求出答案．解：∵△ABC≌△DCB，∴∠D=∠A=75°，∠ACB=∠DBC=40°，∴∠DCB=180°-75°-40°=65°，故选：B．小提示：此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角的度数是解题关键．3、如图，在△ABC中，∠A=90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD=4，△CDE周长为12，则AC的长是（）A．14B．8C．16D．6答案：B分析：根据角平分线的性质得到AE=DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．解：∵BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC，∠A=90°，∴AE=DE，∵△CDE的周长为12，CD=4，∴DE+EC=8，∴AC=AE+EC=8，故选：B．小提示：本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．4、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（）A．∠AOB=60°B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP答案：D分析：利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正确；根据△CQB≌△CPA（ASA），得出B正确；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，得出C正确；根据∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D错误．解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，{AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠DAC，又∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，又∵AC=BC，在△CQB与△CPA中，{∠ACP=∠BCQ AC=BC∠PAC=∠CBQ，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ，又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE，故C正确，∵△CQB≌△CPA，∴AP=BQ，故B正确，∵AD=BE，AP=BQ，∴AD-AP=BE-BQ，即DP=QE，∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE，故D错误；∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等边△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，故A正确．故选：D．小提示：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题的关键是找到不变量．5、如图：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，则下列说法正确的有几个（）（1）AE平分∠DAB；（2）△EBA≌△DCE；（3）AB+CD=AD；（4）AE⊥DE．（5）DE=AEA．2个B．3个C．4个D．5答案：B分析：过点E作EF⊥AD垂足为点F，证明△DEF≌△DEC（AAS）；得出CE＝EF，DC＝DF，∠CED＝∠FED，证明Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）；得出AF＝AB，∠FAE＝∠BAE，∠AEF＝∠AEB，即可得出答案．解：如图，过点E作EF⊥AD，垂足为点F，可得∠DFE＝90°，则∠DFE＝∠C，∵DE平分∠ADC，∴∠FDE＝∠CDE，在△DCE和△DFE中，{∠C=∠DFE∠CDE=∠FDEDE=DE，∴△DEF≌△DEC（AAS）；∴CE＝EF，DC＝DF，∠CED＝∠FED，∵E是BC的中点，∴CE＝EB，∴EF ＝EB ，在Rt △ABE 和Rt △AFE 中，{EF =BE AE =AE， ∴Rt △AFE ≌Rt △ABE （HL ）；∴AF ＝AB ，∠FAE ＝∠BAE ，∠AEF ＝∠AEB ，∴AE 平分∠DAB ，故结论（1）正确，则AD ＝AF +DF ＝AB +CD ，故结论（3）正确；可得∠AED ＝∠FED +AEF ＝12∠FEC +12∠BEF ＝90°，即AE ⊥DE 故结论（4）正确． ∵AB ≠CD ，AE ≠DE ，（5）错误，∴△EBA ≌△DCE 不可能成立，故结论（2）错误．综上所知正确的结论有3个．所以答案是：B ．小提示：本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定等内容，作出辅助线是解题的关键．6、在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，AD 是BC 边上的中线，则AD 的取值范围是（）A ．0＜AD ＜10B ．1＜AD ＜5C ．2＜AD ＜10D ．0＜AD ＜5答案：B分析：延长AD 至点E ，使得DE ＝AD ，可证△ABD ≌△CDE ，可得AB ＝CE ，AD ＝DE ，在△ACE 中，根据三角形三边关系即可求得AE 的取值范围，即可解题．解：延长AD 至点E ，使得DE ＝AD ，∵在△ABD 和△CDE 中，∵{AD =DE ∠ADB =∠CDE BD =CD，∴△ABD ≌△CDE （SAS ），∴AB ＝CE ，AD ＝DE∵△ACE 中，AC ﹣AB ＜AE ＜AC +AB ，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．故选：B．小提示：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．7、“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下：已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C．求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．作法：如图（2），（1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C；（3）作射线CC．所以∠CCA就是所求作的角此作图的依据中不含有（）A．三边分别相等的两个三角形全等B．全等三角形的对应角相等C．两直线平行同位角相等D．两点确定一条直线答案：C分析：根据题意知，作图依据有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性质和两点确定一条直线，直接判断即可．解：由题意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正确；结合该全等三角形的性质对应角相等，故B正确；作射线CG，利用两点确定一条直线，故D正确；故选：C．小提示：本题考查作一个角等于已知角和三角形全等的判定与性质，解题关键是明确作图原理，准确进行判断．8、为了测量工件的内径，设计了如图所示的工具，点O为卡钳两柄的交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，只要量得CD之间的距离，就可知工件的内径AB．其数学原理是利用△AOB≌△COD，判断的依据是（）A．SSSB．SASC．ASAD．AAS答案：B分析：利用“边角边”证明△ABO和△CDO全等，根据全等三角形对应边相等解答．解：在△ABO和△CDO中{OA=OC ∠AOB=COD OB=OD∴△ABO≌△CDO（SAS）故选B小提示：本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．9、如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD 的面积是（）A．24B．30C．36D．42答案：B分析：过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，∴DE=CD=4，∴四边形ABCD的面积=S△ABD+SΔBCD=12AB⋅DE+12BC⋅CD=12×6×4+12×9×4=30故选B.小提示：本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．10、如图，AB⊥BC，∠1=∠2，AD=AB．下列结论中：（1）∠1=∠EFD；（2）BE=EC；（3）BF= DF=CD；（4）FD∥BC．正确的个数是（）．A．1B．2C．3D．4答案：A分析：先证明△ADF≌△ABF，得∠ADF=∠ABF，再根据等角的余角相等，得2∠1=∠DFE，便可判断（1）的正误；当△ABC不是等腰直角三角形时，∠C≠45°，则∠C≠∠CBE，此时BE≠CE，便可判断（2）的正误；证明∠ABE=∠C=∠ADF，得DF∥BC，便可判断（4）的正确；过D点作DM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则DM=FN，假设CD=DB,可得△CDM≌△FBN，当∠C≠45°，得CD≠BF，便可判断（3）的正误．解：（1）在△ADF和△ABF中，{AD=AB∠1=∠2 AF=AF，∴△ADF≌△ABF（SAS），∴∠ADF=∠ABF，∵∠ABF+∠BAE=∠ADF+∠DFE=90°，∴∠BAE=∠DFE，∵∠1=∠2，∴2∠1=∠DFE，故（1）错误；（2）当△ABC不是等腰直角三角形时，∠C≠45°，则∠C≠∠CBE，此时BE≠CE，故（2）错误；（4）∵△ADF≌△ABF，∴∠ABF=∠ADF，∵AB⊥BC，BE⊥AC，∴∠ABE+∠CBE=∠BCE+∠C=90°，∴∠ABE=∠C，∴∠ADF=∠C，∴DF∥BC故（4）正确；（3）∵DF∥BC，过D点作DM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则DM=FN，若CD=FB，∵∠C+∠CBF=∠C+∠CDM=90°，∴∠CDM=∠FBN，∴△CDM≌△FBN（AAS），∴DM=BN，CM=FN则DM=CM此时∠C=45°当△ABC不是等腰直角三角形时，∠C≠45°，△CDM与△FBN不全等，∴CD≠FB，∵△ADF≌△ABF，∴DF=BF．∴BF=DF≠CD，故（3）不正确；综上所述，正确的有（4），共1个；故选：A．小提示：本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定．解题的关键是掌握三角形的全等的判定定理．填空题11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD，交BC延长线于F，交AC于H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=HC；④PH=PD；其中正确的有____________________．答案：①②④分析：由角平分线的定义，可得∠PAB+∠PBA=45°，由三角形内角和定理可得结论①；由△BPA≌△BPF可得结论②；由△APH≌△FPD可得结论④；若PH=HC，则PD=HC，由AD＞AC可得AP＞AH不成立，故③错误；解：∵∠CAB+∠CBA=90°，AD、BE平分∠CAB、∠CBA，∴∠PAB+∠PBA=1（∠CAB+∠CBA）=45°，2△PAB中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=135°，故①正确；∵∠ADF+∠F=90°，∠ADF+∠DAC=90°，∴∠F=∠DAC=∠DAB，△BPA和△BPF中：∠PBA=∠PBF，∠PAB=∠PFB，BP=BP，∴△BPA≌△BPF（AAS），∴BA=BF，PA=PF，故②正确；△APH和△FPD中：∠PAH=∠PFD，PA=PF，∠APH=∠FPD=90°，∴△APH≌△FPD（ASA），∴PH=PD，故④正确；若PH=HC，则PD=HC，AD＞AC，则AD-PD＞AC-HC，即AP＞AH，不成立，故③错误；综上所述①②④正确，所以答案是：①②④小提示：本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识；掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．12、如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将△ABC分成三个三角形，则S△ABO:S△BCO:S△CAO等于__________．答案：2：3：4分析：过点O分别向三边作垂线段，通过角平分线的性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案．解：过点O分别向BC、BA、AC作垂线段交于D、E、F三点．∵CO、BO、AO分别平分∠ACB、∠CBA、∠BAC∴OD=OE=OF∵S△ABO=12AB·OE，S△BCO=12BC·OD，S△CAO=12AC·OF∴S△ABO:S△BCO:S△CAO=AB:BC:AC=10:15:20=2:3:4所以答案是：2：3：4小提示：本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积之比等于底之比是解题关键．13、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心、适当长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=4，AC=16，则△ACD的面积是______．答案：32分析：过点D 作DQ ⊥AC ，由作法可知CP 是角平分线，根据角平分线的性质知DB =DQ =3，再由三角形的面积公式计算即可．解：如图，过点D 作DQ ⊥AC 于点Q ，由作图知CP 是∠ACB 的平分线，∵∠B =90°，BD =4，∴DB =DQ =4，∵AC =16，∴S △ACD =12•AC •DQ =12×16×4=32，故答案为32．小提示：本题主要考查作图-基本作图，三角形面积，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．14、如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB =AD ，BC =DC ，将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线，小敏根据角平分仪的画图原理得到以下结论：①△ABC ≌△ADC ，②∠BCA =∠DCA ，③∠ABC =∠ADC④∠BAE =∠ACD ，则正确的结论有__________．（填序号）答案：①②③分析：利用SSS证明△ABC≌△AD C．进而可以逐一判断．解：在△ABC和△ADC中，{AB=AD AC=AC BC=DC，∴△ABC≌△ADC（SSS），故①正确；∴∠BCA=∠DCA，∠ABC=∠ADC，故②③正确；∵∠BAE=∠DAE，故④错误．所以正确的结论有①②③．所以答案是：①②③．小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明△ABC≌△AD C．15、如图，已知△ABC≌△DBE，∠A＝36°，∠B＝40°，则∠AED的度数为 _____．答案：76°##76度分析：根据全等三角形的性质得到∠A＝∠D＝36°，根据三角形的外角的性质即可得出答案．解：∵△ABC≌△DBE，∴∠A＝∠D＝36°，∵∠AED是△BDE的外角，∴∠AED＝∠B+∠D＝40°+36°＝76°．所以答案是：76°．小提示：本题考查了全等三角形的性质及三角形外角的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．解答题16、如图，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，D，且满足AB=CD，AE=DF，CE=BF，连接AF；(1)∠B与∠C相等吗？请说明理由．(2)若∠B=40°，∠DFC=20°，AF平分∠BAE时，求∠BAF的度数．答案：(1)∠B=∠C，理由见解析(2)60°分析：（1）由“SSS”可证△AEB≌△DFC，可得结论；（2）由全等三角形的性质可得∠AEB＝∠DFC＝20°，可求∠EAB＝120°，由角平分线的性质可求解．（1）解：∠B=∠C，理由如下：∵CE=BF∴BE=CF在△AEB和△DFC中{AB=CD AE=DF BE=CF∴△AEB≌△DFC(SSS)∴∠B=∠C（2）解：∵△AEB≌△DFC∴∠AEB=∠DFC=20°∴∠EAB=180°−∠B−∠AEB=120°∵AF平分∠BAE∴∠BAF=1∠BAE=60°2小提示：本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．17、如图，△ABE≌△DCE，点E在线段AD上，点F在CD延长线上，∠F=∠A，求证：AD∥BF．答案：证明见解析分析：由全等三角形的性质证明∠A=∠CDE,结合∠F=∠A，证明∠F=∠CDE,从而可得结论.解：∵△ABE≌△DCE，∴∠A=∠CDE,∵∠F=∠A，∴∠F=∠CDE,∴AD∥BF.小提示：本题考查的是全等三角形的性质，平行线的判定，证明∠F=∠CDE是解本题的关键.18、（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D，E．求证：DE= BD+CE．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若S△AEG=7，则S△AEI=______．答案：（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5分析：（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点．解：（1）证明：如图1中，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，{∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEAAB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．（2）解：成立．理由：如图2中，∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，∴∠DBA=∠CAE，在△ADB和△CEA中，{∠BDA=∠AEC∠DBA=∠CAEAB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．（3）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．∴∠EMI=∠GNI=90°由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI和△GNI中，{∠GIN=∠EIM EM=GN∠GNI=∠EMI，∴△EMI≌△GNI（AAS），∴EI=GI，∴I是EG的中点．∴S△AEI=1S△AEG=3.5．2所以答案是：3.5．小提示：本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．。

八年级数学上册第十二章全等三角形考点大全笔记(带答案)

八年级数学上册第十二章全等三角形考点大全笔记单选题1、判断两个直角三角形全等的方法不正确．．．的有（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．两个锐角对应相等答案：D分析：根据直角三角形全等的判定条件逐一判断即可．解：A、两条直角边对应相等，可以利用SAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；B、斜边和一锐角对应相等，可以利用AAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；C、斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；D、两个锐角对应相等，不可以利用AAA证明两个直角三角形全等，说法错误，符合题意；故选D．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．2、如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，点A在y轴上，若点B坐标为(6,1)，则点A坐标为（）A．(4,0)B．(5,0)C．(0,4)D．(0,5)答案：D分析：作BD⊥x轴于点D，由等腰Rt△ABC可得AC=BC，进一步可证明Rt△AOC≌Rt△CDB，得到CO=BD=1，AO=CD=OD-OC=5，即可得到点A的坐标．解：如图，作BD ⊥x 轴于点D ，’∴∠BDC =90°，∴∠BCD +∠CBD =90°，∵点B 坐标为(6,1)，∴ OD =6，BD =1，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴ ∠ACB =90°，AC=BC ，∴ ∠ACO +∠BCD =90°∴ ∠ACO=∠CBD在Rt △AOC 和Rt △CDB 中，∵{∠ACO =∠CBD ∠ACO =∠CBD AC =BC，∴ Rt △AOC ≌Rt △CDB （AAS ），∴ CO=BD =1，AO=CD ，∴AO=CD=OD-OC =5，∵点A 在y 轴上，∴点A 坐标为（0，5），故答案选：D ．小提示：本题考查了利用几何图形的性质求点的坐标的问题，综合性稍强，灵活运用所学知识是关键．3、数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD ，BC 的中点O 固定，只要测得C ，D 之间的距离，就可知道内径AB 的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（）A．边角边B．三角形中位线定理C．边边边D．全等三角形的对应角相等答案：A分析：根据O是AD与BC的中点，得到OA=OD，OB=OC，根据∠AOB=∠DOC，推出△AOB≌△DOC，是SAS．∵O是AD与BC的中点，∴OA=OD，OB=OC，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOC(SAS)．故选A．小提示：本题考查了测量原理，解决此类问题的关键是根据测量方法和工具推导测量原理．4、下列选项可用SAS证明△ABC≅△A′B′C′的是（）A．AB=A′B′，△B=△B′，AC=A′C′B．AB=A′B′，BC=B′C′，△A=△A′C．AC=A′C′，BC=B′C′，△C=△C′D．AC=A′C′，BC=B′C′，△B=△B′答案：C分析：根据全等三角形SAS的判定逐项判定即可．解：A．不满足SAS，不能证明△ABC△△A′B′C′，故该选项不符合题意；B．不满足SAS，不能证明△ABC△△A′B′C′，故该选项不符合题意；C．满足SAS，能证明△ABC△△A′B′C′，故该选项符合题意；D．不满足SAS，不能证明△ABC△△A′B′C′，故该选项不符合题意，故选：C．小提示：本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解答的关键．5、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF ＝DB，则∠ADE的度数为（）A．40°B．50°C．70°D．71°答案：C分析：先利用三角形内角和算出∠CAB，再证明△CDF△△EDB得到CD=DE；再证明△ACD△△AED，得到∠CAD=∠EAD，即可算出根据题意：在Rt△ABC中∠CAB=90°−∠B=40°在Rt△CDF和Rt△EDB中{FC=BEDF=DB∴Rt△CDF△Rt△EDB（HL）∴CD=DE在Rt△ACD和Rt△AED中{CD=DEAD=AD∴Rt△ACD△Rt△AED（HL）∴∠CAD=∠EAD=1∠CAB=20°2在Rt△ADE中∴∠ADE=90°−∠EAD=70°故选：C．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定及性质，注意HL这个判定方法的使用．6、如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC=9，AB=5，PB=3，则PC的长可能是（）A．6B．7C．8D．9答案：A分析：在AC上取AE=AB=5，然后证明△AEP-ABP，根据全等三角形对应边相等得到PE=PB=3，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解．解：在AC上截取AE=AB=5，连接PE，∵AC=9，∴CE=AC-AE=9-5=4，∵点P是∠BAC平分线AD上的一点，∴∠CAD=∠BAD，在△APE和△APB中，{AE=AB∠CAP=∠BADAP=AP，∴△APE≌△APB（SAS），∴PE=PB=3，∵4-3＜PC＜4+3，解得1＜PC＜7，观察四个选项，PC的长可能是6，故选：A．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系；通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．7、如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，BE＝3cm，AD＝7cm，则DE的长是（）A．3cmB．3.5cmC．4cmD．4.5cm答案：C分析：根据同角的余角相等，得∠CBE＝∠ACD，再利用AAS证明△ACD≌△CBE，得CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，进而求得DE．解：∵BE⊥CE，AD⊥CE∴∠BEC ＝90°，∠ADC ＝90°∴∠CBE +∠BCE ＝90°，∵∠ACB ＝90°∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∴∠CBE ＝∠ACD ，在△ACD 与△CBE 中，{∠CBE ＝∠ACD∠BEC ＝∠ADC AC =BC∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD ＝BE ＝3cm ，CE ＝AD ＝7cm ，∴DE ＝CE ﹣CD ＝7﹣3＝4cm ，故选：C ．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，本题证明△ACD ≌△CBE 是关键.8、如图，△ABC ≌△A ′B ′C ′，其中∠A =36°，∠C ′=24°，则∠B =（）A ．60°B ．100°C ．120°D ．135°答案：C分析：由全等三角形的性质，先求出∠C =∠C ′=24°，即可求出∠B 的度数．解：∵△ABC ≌△A ′B ′C ′，∴∠C =∠C ′=24°，∵∠A =36°，∴∠B =180°−36°−24°=120°；故选：C．小提示：本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到∠C=24°．9、如图，若△ABC△△ADE则下列结论中不成立．．．的是（）A．∠BAD=∠CAEB．∠BAD=∠CDEC．DA平分∠BDED．AC=DE答案：D分析：根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠E＝∠C，再逐个判断即可．解：A．∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC−∠DAC＝∠DAE−∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，故本选项不符合题意；B．如图，∵△ABC≌△ADE，∴∠C＝∠E，∵∠AOE＝∠DOC，∠E＋∠CAE＋∠AOE＝180°，∠C＋∠COD＋∠CDE＝180°，∴∠CAE＝∠CDE，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＝∠CDE，故本选项不符合题意；C．∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠ADE，AB＝AD，∴∠B＝∠BDA，∴∠BDA＝∠ADE，∴AD平分∠BDE，故本选项不符合题意；D．∵△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，故本选项符合题意；故选：D．小提示：本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．10、下列说法不正确的是（）A．有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等B．有三个角对应相等的两个三角形全等C．有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等D．有三条边对应相等的两个三角形全等答案：B分析：根据全等三角形的判定定理逐一判断即可得答案．A.符合判定SAS，故该选项说法正确，不符合题意，B.全等三角形的判定必须有边的参与，AAA不能判定两个三角形全等，故该选项说法不正确，符合题意，C.正确，符合判定AAS，故该选项说法正确，不符合题意，D.正确，符合判定SSS，故该选项说法正确，不符合题意，故选：B．小提示：本题考查全等三角形的判定，全等三角形常用的判定方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意：AAS、AAA不能判定两个三角形全等，当利用SAS判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角；熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．填空题11、如图，∠C=∠CAM=90°，AC=8cm，BC=4cm，点P在线段AC上，以每秒2cm的速度从点A出发向C运动，到点C停止运动，点Q在射线AM上运动，且PQ=AB，当点P的运动时间为_________秒时，△ABC 才能和△PQA全等．答案：2或4##4或2分析：据全等三角形的判定HL定理分AP=BC和AP=AC解答即可．解：设点P的运动时间为t秒，∵∠C=∠CAM=90°，PQ=AB，∴当AP=BC=4cm，时，Rt△QPA≌Rt△ABC（HL），∴t=4÷2=2秒；当AP=AC=8cm，时，Rt△PQA≌Rt△ABC（HL），∴t=8÷2=4秒，综上，当点P的运动时间为2或4秒时，△ABC才能和△PQA全等．所以答案是：2或4．小提示：本题考查全等三角形的判定，熟练掌握证明直角三角形全等的HL定理，利用分类讨论思想是解答的关键．12、已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为大于12__________．答案：15°或45°分析：以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，则OP为∠AOB的平分线，以OP为边作∠POC=15°，则为作∠POB或∠POA的角平分线，即可求解．解：以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，得到O P为∠AOB的平分线，再以OP为边作∠POC=15°，则为作∠POB或∠POA的角平分线，所以∠BOC=15°或45°．所以答案是：15°或45°．小提示：本题考查的是复杂作图，主要要理解作图是在作角的平分线，同时要考虑以OP为边作∠POC=15°的两种情况，避免遗漏．13、如图，在四边形ABCD中，AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于E,S四边形ABCD=10，则BE的长为__________答案：√10分析：过点B作BF⊥CD交DC的延长线交于点F，证明△AEB≌△CFB(AAS)推出BE=BF，S△ABE=S△BFC，可得S四边形ABCD =S正方形BEDF=12，由此即可解决问题；解：过点B作BF⊥CD交DC的延长线交于点F，如右图所示，∵BF⊥CD，BE⊥AD∴∠BFC=∠BEA=90∘∵∠ABC=∠ADC=90∘∴∠ABE+∠EBC=90∘，∠EBC+∠CBF=90∘∴∠ABE=∠CBF∵AB=CB∴△AEB≌△CFB(AAS)∴BE=BF，S△ABE=S△BFC∴S四边形ABCD =S正方形BEDF=10，∴BE×BF=10，即BE2=10，∴BE=√10，故答案为√10．小提示：本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．14、如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB，已知AB＝4，AC＝2，△ABD的面积是2，则△ADC的面积为___．答案：1分析：先根据三角形面积公式计算出DE= 1，再根据角平分线的性质得到点D到AB和AC的距离相等，然后利用三角形的面积公式计算△ADC的面积．∵DE⊥AB，× DE × AB= 2，∴S△ABD=12=1，∴DE=2×24∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB和AC的距离相等，∴点D到AC的距离为1，×2×1= 1．∴S△ADC=12所以答案是：1．小提示：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，属于基础题，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．15、如图，BE交AC于点M，交CF于点D，AB交CF于点N，∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF，给出的下列五个结论中正确结论的序号为．①∠1=∠2；②BE=CF；③△CAN≅△BAM；④CD=DN；⑤△AFN≌△AEM．答案：①；②；③；⑤分析：①先证明△ABE≌△ACF，然后根据全等三角形的性质即可判定；②利用全等三角形的性质即可判定；③根据ASA即可证明三角形全等；④无法证明该结论；⑤根据ASA证明三角形全等即可．解：在△ABE和△ACF中，{∠E =∠F =90°∠B =∠C AE =AF，∴△ABE ≌△ACF （AAS ），∴∠BAE =∠CAF ，BE =CF ，故②正确，∴∠BAE -∠BAC =∠CAF -∠BAC ，即∠1=∠2，故①正确，∵△ABE ≌△ACF ，∴AB =AC ，在△CAN 和△BAM 中，{∠N AC =∠M AB ，AB=AC∠B =∠C， ∴△CAN ≌△BAM （ASA ），故③正确，CD =DN 不能证明成立，故④错误在△AFN 和△AEM 中{∠1=∠2AF =AE ∠F =∠E，∴△AFN ≌△AEM （ASA ），故⑤正确．结论中正确结论的序号为①；②；③；⑤．故答案为①；②；③；⑤．小提示：本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件．解答题16、如图所示，A ，C ，E 三点在同一直线上，且△ABC △△DAE ．(1)求证：BC=DE+CE；(2)当△ABC满足什么条件时，BC△DE？请说明理由．答案：(1)见解析(2)当△ABC满足∠ACB为直角时，BC△DE．分析：（1）根据全等三角形的性质得出AE=BC，AC=DE，再求出答案即可；（2）根据平行线的性质得出∠BCE=∠E，根据全等三角形的性质得出∠ACB=∠E，求出∠ACB=∠BCE，再求出答案即可．（1）证明：∵△ABC△△DAE，∴AE=BC，AC=DE，又∵AE=AC+CE，∴BC=DE+CE；（2）解：∵BC△DE，∴∠BCE=∠E，又∵△ABC△△DAE，∴∠ACB=∠E，∴∠ACB=∠BCE，又∵∠ACB+∠BCE=180°，∴∠ACB=90°，即当△ABC满足∠ACB为直角时，BC△DE．小提示：本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．17、如图，△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上），请在下列每个方格纸上按要求画一个与△ABC 全等的格点三角形．(1)在图①中所画三角形与△ABC有一条公共边AB；(2)在图②中所画三角形与△ABC有一个公共角C；(3)在图③中所画三角形与△ABC有且只有一个公共顶点A．答案：(1)见解析(2)见解析(3)见解析分析：（1）根据题意以及网格的特点根据轴对称画出图形即可；（2）根据题意以及网格的特点根据轴对称画出图形即可；（3）根据题意以及网格的特点画出图形即可．（1）如图①所示，△ABD即为所求；（2）如图②所示，△DEC即为所求；（3）如图③所示，△AED即为所求，小提示：本题考查了作图-应用与设计作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．18、如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1，小明站在E处测得楼顶A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余，过点F作FG⊥AB于点G，已知BG=1米，BE=CD=20米，BD=58米，点B、E、D在一条直线上，AB⊥BD,FE⊥BD,CD⊥BD，试求单元楼AB的高．（注：BE=FG,BG=EF,∠1与∠3互余）．答案：39米分析：根据题意得出∠2=∠3，∠AGF=∠EDC=90°，FG=CD，然后利用全等三角形的判定和性质求解即可．解：由图可得∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，∵FG⊥AB，CD⊥BD，∴∠AGF=∠EDC=90°，∵BE=CD，FG=BE，∴FG=CD，在△AFG与△ECD中，{∠AGF =∠EDCFG =CD ∠2=∠3∴△AFG ≌△ECD(ASA)，∴AG =DE =BD −BE =38（米），∴AB =AG +BG =38+1=39（米），答：单元楼AB 的高为39米．小提示：题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键．。

八年级上册数学全等三角形必考题

八年级上册数学全等三角形必考题全文共5篇示例，供读者参考八年级上册数学全等三角形必考题1《全等三角形的判定》这一课，要求学生会通过观察几何图形识别两个三角形全等，并能通过正确的分类动手探索出两个三角形全等的条件。

具体说：（1）正确识别两个三角形全等——会将两个三角形相等的边和角对应重叠在一起，看是否重合；（2）相信判定两个三角形全等不一定要3条边和3个角都相等，可能一边或一角相等就足够（这个判断不一定要正确，但要有这种想法，探索命题的真假才有可能）；（3）能正确地将三角形的6个元素按条件的个数分成：①一个元素：一个边或一条角对应相等。

②两个元素：两边或一边一角或两角对应相等。

③三个元素：三边或两边和一角或一边和两角或三角对应相等。

或者按：①边（一条边或两条边或三条边分别对应相等）。

②角（一个角或两个角或三个角分别对应相等）。

③边和角[一条边和一个角或一条边和两个角（又分为角边角和角角边两种）或两条边和一个角（又分为边角边和边边角两种）分别对应相等]；（4）能将分好的三大类（12小类）条件用画图的方法进行验证，找出能判定两个三角形全等的三条公理和一条定理；（5）能用这四个判定，直接判定两个三角形是否全等或能补充一个条件使两个三角形全等。

基于知识的完整性和分类的数学思想的渗透，我认为这个教学设计体现了知识与技能目标。

增强学生的观察、猜想和动手操作能力。

八年级上册数学全等三角形必考题2一、制订好复习课的复习目标复习要对以前多节新课中的知识点或数学思想方法进行压缩整理，所以要制订好复习课的复习目标。

首先，选择合适的知识范围非常重要。

其次，应确定对所选知识点中重点的复习深度，过易会让学生索然无味，过难会让学生畏惧前行，失去信心。

我对这节课的难度把握是保全突尖，教学流程本身有梯度，例题与配套变式也有梯度。

不过对于例3“求证两线段相等”这个问题既需要添加辅助线，又要连续两次证全等。

问题的梯度设置过大，许多学生还观察不出。

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