福州市2018年度届高三上学期期末质检数学理试题

福建省福州市2018届高三上学期期末质检试题

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合()(){}310A x x x =-+<，{}10B x x =->，则A B ⋃=（ ） A ．()1,3 B ．()1,-+∞ C ．()1,+∞ D ．()(),11,-∞-⋃+∞

2.若复数

1a

i

+

，则实数a =（ ）

A ．1

B ．1-

C ．1± D

．3.下列函数为偶函数的是（ ）

A ．tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝

⎭ B ．2x

y x e =+ C ．cos y x x = D ．ln sin y x x =-

4.若2sin cos 12x x π⎛⎫

+-= ⎪⎝⎭

，则cos2x =（ ）

A ．89-

B ．79-

C ．79

D ．7

25

-

5.已知圆锥的高为3

体积等于（ ）

A ．83π

B ．32

3

π C ．16π D ．32π

6.已知函数()22,0,

11,0,x x x f x x x

⎧-≤⎪

=⎨+>⎪⎩则函数()3y f x x =+的零点个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

7.如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的(),Mod N m n =表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如()10,31Mod =.执行该程序框图，则输出的i 等于（ ）

A ．23

B ．38

C ．44

D ．58

8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）

A ．14

B ．1042+

C ．

21

422

+21342++ 9.已知圆()2

2

1:582C x y ⎛

⎫-+-= ⎪⎝

⎭，抛物线()2

:20E x py p =>上两点()12,A y -与()24,B y ，若存在与直线AB 平行的一条直线和C 与E 都相切，则E 的标准方程为（ ）

A ．12x =-

B ．1y =-

C ．1

2y =- D ．1x =-

10.不等式组1,

22

x y x y -≥⎧⎨+≤⎩的解集记为D .有下列四个命题：

()1:,,22p x y D x y ∀∈-≥ ()2:,,23p x y D x y ∃∈-≥

()32

:,,23

p x y D x y ∀∈-≥

()4:,,22p x y D x y ∃∈-≤- 其中真命题的是（ ）

A ．23,p p

B ．14,p p

C ．12,p p

D ．13,p p

11.已知双曲线()22

22:10,0a x y E a b

b >->=的左、右焦点分别为12,F F ，点,M N 在E 上，

12122

//,5MN F F MN F F =，线段2

F M 交E 于点Q ，且2F Q QM =u u u u r u u u u r ，则E 的离心率为（ ） A ．5 B ．15 C ．23 D ．10

12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，且1350n S =.若22a <，则n 的最大值为（ ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．54

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知单位向量,a b r r 满足()

22a a b ⋅-=r r r

，则,a b r r 的夹角为 ．

14.设n 为正整数，32n

x x ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 ．

15.将函数2sin cos y x x =+的图象向右平移ϕ个单位长度，得到函数2sin cos y x x =-的图象，则sin ϕ的值为 ．

16.如图，已知一块半径为1的残缺的半圆形材料MNQ ，O 为半圆的圆心，8

5

MN =

.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在MN 上，则裁出三角形面积的最大值为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知数列{}n a 中，()

*12111,2,322,n n n a a a a a n n N +-===-≥∈.设1n n n b a a +=-. （1）证明：数列{}n b 是等比数列； （2）设()2

412

n

n n

b c n =

-，求数列{}n c 的前n 项的和n S .

18.已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=︒.E 是边BC 上一点，线段DE 交AC 于点F . （1）若CDE ∆3

，求DE 的长；

（2）若74CF DF =，求sin DFC ∠.

19.如图，在四棱锥E ABCD -中，//,90,224AB CD ABC CD AB CE ∠=︒===，120,25BCE DE ∠=︒=.

（1）证明：平面BCE ⊥平面CDE ；

（2）若4BC =，求二面角E AD B --的余弦值.

20.已知F 为椭圆22

:143x y C +=的右焦点，M 为C 上的任意一点.

（1）求MF 的取值范围；

（2）,P N 是C 上异于M 的两点，若直线PM 与直线PN 的斜率之积为3

4-，证明:,M N 两点的横坐标之和

为常数.

21.已知函数()()221ln f x x a x ax a R =-+-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若0a =且()0,1x ∈，求证：

()21

1x

f x x e x

+-

<. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线cos ,

:sin x t C y αα=⎧⎨=⎩

（α为参数，0t >）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐

标系中，直线:cos 24l πρθ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭（1）若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围； （2）若曲线C 上存在点到l 1

622

t 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()1,f x x x R =-∈.