小问题大用处：高中数学小问题集中营之高三专题：三角函数与解三角形：专题二 三角函数图象变换攻略.doc
高考数学中如何运用三角函数解决实际问题
高考数学中如何运用三角函数解决实际问题在高考数学中，三角函数是一个重要的知识点，不仅在理论上有着丰富的内涵，更在解决实际问题方面发挥着关键作用。
那么，如何巧妙地运用三角函数来解决实际问题呢？首先，我们要明确三角函数的基本概念和公式。
三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
它们之间存在着一系列的关系式，比如正弦平方加余弦平方等于 1，正切等于正弦除以余弦等等。
这些基本的公式和概念是我们解决问题的基石。
在实际问题中，常见的与三角函数相关的情境有测量物体的高度、计算角度、求解距离等。
例如，在测量建筑物高度的问题中，我们可以通过测量观察者与建筑物底部的水平距离，以及观察者观测建筑物顶部的仰角，利用正切函数来计算建筑物的高度。
假设观察者与建筑物底部的水平距离为 x 米，观测到的仰角为θ ，那么建筑物的高度 h 就可以表示为 h ＝x × tanθ 。
再比如，在航海问题中，常常需要根据已知的角度和距离来确定船只的位置或者航行方向。
假设一艘船从 A 点出发，航行方向与正北方向的夹角为α ，航行距离为 d ，那么船最终到达的位置坐标可以通过三角函数来计算。
为了更好地运用三角函数解决实际问题，我们还需要具备良好的图形构建能力。
很多实际问题可以通过画出示意图来帮助我们理解和分析。
例如，在求解山坡倾斜角度的问题中，我们可以画出山坡的截面图，标记出相关的长度和角度，然后利用三角函数来求解。
同时，要注意单位的换算和数据的准确性。
在实际问题中，所给的数据可能会涉及不同的单位，我们需要将其统一，以保证计算的准确性。
另外，多做练习题也是提高运用三角函数解决实际问题能力的重要途径。
通过大量的练习，我们可以熟悉各种类型的实际问题，掌握解题的思路和方法，提高解题的速度和准确性。
在高考中，运用三角函数解决实际问题的题目往往会设置一些陷阱。
比如，角度的范围限制、数据的干扰等。
因此，在解题过程中，我们要仔细审题，分析题目中的条件和要求，避免掉入陷阱。
高考数学复习考点题型专题讲解2 三角恒等变换与解三角形
高考数学复习考点题型专题讲解专题2 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具；2.三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；3.正弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算.1.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin β，则( )A.tan(α－β)＝1B.tan(α＋β)＝1C.tan(α－β)＝－1D.tan(α＋β)＝－1 答案 C解析 由题意得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝22×22(cos α－sin α)sin β，整理，得sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C. 2.(2021·全国乙卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，B ＝60°，a 2＋c 2＝3ac ，则b ＝________. 答案 2 2解析由题意得S△ABC＝12ac sin B＝34ac＝3，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2ac cos B＝12－2×4×12＝8，则b＝2 2.3.(2021·浙江卷)在△ABC中，B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝23，则AC＝________；cos ∠MAC＝________.答案213239 13解析由B＝60°，AB＝2，AM＝23，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8.在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2BC·AB·cos B＝4＋64－2×8×2×12＝52，所以AC＝213，所以在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC＝AC2＋AM2－MC22AC·AM＝52＋12－162×213×23＝23913.4.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin(A －B)＝sin B sin(C－A).(1)证明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cos A＝2531，求△ABC的周长.(1)证明法一由sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，可得sin C sin A cos B－sin C cos A sin B＝sin B sin C cos A－sin B cos C sin A，结合正弦定理asin A ＝bsin B＝csin C，可得ac cos B－bc cos A＝bc cos A－ab cos C，即ac cos B＋ab cos C＝2bc cos A(*).由余弦定理可得ac cos B＝a2＋c2－b22，ab cos C＝a2＋b2－c22，2bc cos A＝b2＋c2－a2，则上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.法二因为A＋B＋C＝π，所以sin C sin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2A cos2B－cos2A sin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sin B sin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.(2)解由(1)及a2＝b2＋c2－2bc cos A得，a2＝2bc cos A，所以2bc＝31. 因为b2＋c2＝2a2＝50，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，解得b＋c＝9，所以△ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝14.热点一 化简与求值(角)1.同角三角函数的基本关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2.诱导公式的记忆口诀：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.3.熟记三角函数公式的两类变形：(1)和差角公式的变形；(2)倍角公式的变形. 例1 (1)(2022·天津模拟)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12B.π3 C.π4D.π6(2)已知α，β均为锐角，cos(α＋β)＝－513，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3等于( ) A.3365B.－3365 C.6365D.3365或6365答案 (1)C (2)C解析 (1)由α，β为锐角， 则－π2<α－β<π2，由sin(α－β)＝－1010， 得cos(α－β)＝31010，又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. 所以β＝π4.(2)∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)，β＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6，∴sin(α＋β)>0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，∵cos(α＋β)＝－513，∴sin(α＋β)＝1213， 又∵sin⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝－35或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝35(舍去)，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝⎛⎭⎪⎫β＋π3＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋1213×45＝6365.规律方法 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.训练1 (1)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( )A.－53B.－59C.59D.53(2)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，则β＝________.答案(1)A (2)π3解析(1)sin α＋cos α＝33，两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1 3，整理得：2sin αcos α＝－23<0，∴(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝5 3 .∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－15 3，则cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－53，故选A.(2)由cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，得sin α＝1－cos2α＝437，sin(α－β)＝1－cos2（α－β）＝3314.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.热点二 三角函数恒等式的证明三角恒等式常从复杂一边向简单的一边转化，或者两边同时推出一个相同式子，有时要证等式先进行等价交换，进而证明其等价命题.例2 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin(α＋2β)＝75sin α.(1)求证：tan(α＋β)＝6tan β； (2)若tan α＝3tan β，求α的值. (1)证明 因为sin(α＋2β)＝75sin α，所以sin[(α＋β)＋β]＝75sin[(α＋β)－β]，所以sin(α＋β)cos β＋cos(α＋β)sin β ＝75[sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β]， 所以sin(α＋β)cos β＝6cos(α＋β)sin β.① 因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π).若cos(α＋β)＝0，则由①得sin(α＋β)＝0， 与α＋β∈(0，π)矛盾，所以cos(α＋β)≠0.又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos β≠0.由①两边同除以cos(α＋β)·cos β， 得tan(α＋β)＝6tan β.(2)解 由(1)知tan(α＋β)＝6tan β， 则tan α＋tan β1－tan αtan β＝6tan β，因为tan α＝3tan β，所以tan β＝13tan α，所以43tan α1－13tan 2α＝2tan α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan α＞0，所以43－tan 2α＝2，所以tan 2α＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan α＝1，从而α＝π4.易错提醒 等式两边除以同一个三角函数式时要注意论证这个三角函数式不为零. 训练2 求证：(1)cos 4α＋4cos 2α＋3＝8cos 4α. (2)sin （2α＋β）sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.证明 (1)左边＝2cos 22α－1＋4cos 2α＋3 ＝2(cos 22α＋2cos 2α＋1) ＝2(cos 2α＋1)2 ＝2(2cos 2α－1＋1)2＝2(2cos 2α)2＝8cos 4α ＝右边.(2)左端＝sin[（α＋β）＋α]－2cos （α＋β）sin αsin α＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin αsin α＝sin[（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α＝右端. 热点三 正弦定理、余弦定理1.正弦定理：在△ABC 中，a sin A＝b sin B＝c sin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径).2.余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.例3 (1)(2022·丽水调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c cos B ＋b cos C ＝2，且b 2＋c 2－a 2＝2bc ，则三角形ABC 的外接圆半径的长为( ) A.2B.22C.2D.1(2)(2022·泰安三模)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝2，cos C ＝34，则tan A ＝( )A.56B.76C.53D.73答案 (1)D (2)D解析 (1)∵c cos B ＋b cos C＝c ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋c 2－b 2＋a 2＋b 2－c 22a ＝a ，即a ＝ 2.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22，∵0<A <π，∴A ＝π4， 由正弦定理可得三角形外接圆的半径R 满足2sinπ4＝2R ，解得R ＝1，故选D.(2)由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2BC ·AC cos C ＝32＋22－2×3×2×34＝4，所以AB ＝2，所以AB ＝BC ，所以A ＝C ，所以cos A ＝cos C ＝34，则sin A ＝74，故tan A ＝73.故选D. 规律方法 1.利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理.2.涉及边a ，b ，c 的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形.训练3 (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos C＝13，a sin A－c sinC＋b sin A＝0，则ba＝( )A.53 B.73C.72 D.52(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3b cos C＝3a－c，且A＝C，则sin A＝________.答案(1)A (2)6 3解析(1)由正弦定理及a sin A－c sin C＋b sin A＝0，得a2－c2＝－ab，又由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝b2－ab2ab＝13，∴ba－1＝23，得ba＝53.(2)因为3b cos C＝3a－c，由正弦定理得3sin B cos C＝3sin A－sin C，又A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，即sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，所以3sin B cos C＝3(sin B cos C＋cos B sin C)－sin C，所以3cos B sin C＝sin C，因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos B＝1 3，又A＝C，所以cos B＝cos(π－2A)＝－cos 2A＝2sin2A－1＝13，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，所以sin A＝63.热点四正弦定理、余弦定理的综合应用1.利用正、余弦定理解决实际问题的一般流程：分析→列关系式→求解→检验2.涉及正、余弦定理与三角形面积的综合问题求三角形面积时常用S＝12ab sin C形式的面积公式.例4 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(3≈1.732)()A.346B.373C.446D.473 答案 B解析 如图所示，根据题意过C 作CE ∥C ′B ′，交BB ′于E ，过B 作BD ∥A ′B ′，交AA ′于D ，则BE ＝100，C ′B ′＝CE ＝100tan 15°.在△A ′C ′B ′中，∠C ′A ′B ′＝180°－∠A ′C ′B ′－∠A ′B ′C ′＝75°，则BD ＝A ′B ′＝C ′B ′·sin 45°sin 75°，又在B 点处测得A 点的仰角为45°， 所以AD ＝BD ＝C ′B ′·sin 45°sin 75°，所以高度差AA ′－CC ′＝AD ＋BE ＝C ′B ′·sin 45°sin 75°＋100＝100tan 15°·sin 45°sin 75°＋100＝100sin 45°sin 15°＋100＝100×2222×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋100＝100(3＋1)＋100≈373.例5(2022·北京海淀区模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＝3b cos A . (1)求A ；(2)从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使△ABC 存在且唯一确定，并求△ABC 的面积.第①组条件：a＝19，c＝5.第②组条件：cos C＝13，c＝4 2.第③组条件：AB边上的高h＝3，a＝3.注：如果选择多种情形分别解答，按第一个解答计分.解(1)因为a sin B＝3b cos A，由正弦定理可得sin A sin B＝3sin B cos A，又B∈(0，π)，所以sin B≠0，则sin A＝3cos A，即tan A＝3，又A∈(0，π)，所以A＝π3.(2)若选择第①组条件，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即19＝b2＋25－5b，解得b＝2或3，不符合题意，故不能选第①组条件.若选择第②组条件，因为C∈(0，π)，cos C＝13，所以sin C＝223，由正弦定理asin A ＝csin C可得a＝c sin Asin C＝42×32223＝33，则sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝32×13＋12×223＝22＋36，此时△ABC的面积S＝12ac sin B＝12×33×42×22＋36＝43＋3 2.若选择第③组条件，因为AB边上的高h＝3，所以b sin π3＝3，则b＝332＝2，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得9＝4＋c2－2c，解得c＝1＋6，此时△ABC的面积S＝12bc sin A＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322.规律方法(1)对于解三角形的开放性问题，要根据自己的实际情况，选择自己最熟悉，易转化的条件用以求解.(2)与面积有关的问题，一般要根据已知角来选择三个面积公式(S＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B)中的一个，同时再用正、余弦定理进行边角转化.训练4 (1)(2022·湖南三湘名校联考)如图是2021年9月17日13时34分神舟十二号返回舱(图中C)接近地面的场景.伞面是表面积为1 200 m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC与水平地面垂直于D，D和观测点A在同一水平线上，在A测得点B的仰角∠DAB＝30°，且sin∠BAC＝732247，则此时返回舱底端离地面的距离CD＝________(π＝3.14，sin∠ACB＝93247，计算过程中，球半径四舍五入保留整数).答案 20 m解析 设半球的半径为r m ， 则2πr 2＝1 200，∴r ≈14， ∴BC ＝5r ＝70 m. 在△ABC 中，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BC sin ∠BAC，则AB ＝BC sin∠ACB sin∠BAC ＝70×93247×224773＝180(m)，∴BD ＝90 m ， 则CD ＝BD －BC ＝20 m.(2)(2022·青岛二中调研)从①2b sin A ＝a tan B ，②a 2－b 2＝ac －c 2，③3sin B ＝cos B ＋1这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且________. (ⅰ)求B 的大小；(ⅱ)若b ＝2，△ABC 的面积为32，求△ABC 的周长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解 (ⅰ)若选①：因为2b sin A ＝a tan B ＝a sin B cos B ，所以2ab ＝abcos B， 所以cos B ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.若选②：因为a 2－b 2＝ac －c 2， 所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以2ac cos B ＝ac ，所以cos B ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. 若选③：因为3sin B ＝cos B ＋1， 所以3sin B －cos B ＝1， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝12，因为B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，所以B －π6＝π6，所以B ＝π3. (ⅱ)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以a 2＋c 2－ac ＝4，又S △ABC ＝12ac sin B ＝32，所以ac ＝2，所以(a ＋c )2－3ac ＝4， 所以(a ＋c )2＝10， 所以a ＋c ＝10，所以△ABC 的周长为2＋10.一、基本技能练1.(2022·岳阳二模)已知sin α＋2cos α＝0，则sin 2α＝( ) A.－45B.－35C.－34D.23答案 A解析 ∵sin α＋2cos α＝0，即sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2， 则sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×（－2）4＋1＝－45，故选A. 2.计算2cos 10°－sin 20°cos 20°所得的结果为( )A.1B. 2C.3D.2 答案 C 解析2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos （30°－20°）－sin 20°cos 20°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 20°＋12sin 20°－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3b ，A －B ＝π2，则角C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3答案 B解析 因为在△ABC 中，A －B ＝π2， 所以A ＝B ＋π2，所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cos B ，因为a ＝3b ，所以由正弦定理得sin A ＝3sin B ， 所以cos B ＝3sin B ， 所以tan B ＝33，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6， 所以C ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2－π6＝π6，故选B.4.(2022·杭州模拟)若3sin 2α－2sin 2α＝0，且sin α≠0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4等于( )A.－7210B.－22C.－210D.22答案 A解析 由题意可得32sin 2α－sin 2α＝0，所以3sin αcos α－sin 2α＝0， 即sin α(3cos α－sin α)＝0， 又sin α≠0，所以tan α＝3，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(cos 2α－sin 2α)＝22⎝⎛⎭⎪⎫cos 2α－sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan 2α－2tan α1＋tan 2α＝－7210. 5.“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客(身高忽略不计)从地面点D 看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79 m 到达点E ，此时看点C 的仰角为45°，若BC ＝2AC ，则楼高AB 约为( )A.65 mB.74 mC.83 mD.92 m 答案 B解析 设AC ＝x (x >0)，则由已知可得AB ＝3x ，BE ＝BC ＝2x ，BD ＝AB tan∠ADB＝33x ，所以DE ＝BD －BE ＝33x －2x ＝79， 解得x ＝7933－2≈24.7，所以楼高AB ≈3×24.7＝74.1≈74(m).6.(多选)(2022·重庆模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ＝60°，b ＝2，c ＝3＋1，则下列说法正确的是( ) A.C ＝75°或C ＝105°B.B ＝45° C.a ＝6D.该三角形的面积为3＋12答案 BC解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋4＋23－2×2×(3＋1)×12＝6，所以a ＝ 6.由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa＝2×326＝22， 由于0°<B <120°，所以B ＝45°. 所以C ＝180°－B －A ＝75°.△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×2×(3＋1)×32＝3＋32.7.(2022·南通模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝________. 答案 －13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝2×13－1＝－13.8.(2022·浙江卷)若3sin α－sin β＝10，α＋β＝π2，则sin α＝________，cos 2β＝________. 答案3101045解析 因为α＋β＝π2，所以β＝π2－α， 所以3sin α－sin β＝3sin α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝3sin α－cos α＝10sin(α－φ)＝10，其中sin φ＝1010，cos φ＝31010.所以α－φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 所以α＝π2＋φ＋2k π，k ∈Z ，所以sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋2k π＝cos φ＝31010，k ∈Z .因为sin β＝3sin α－10＝－1010， 所以cos 2β＝1－2sin 2β＝1－15＝45.9.(2022·绍兴模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，△ABC 的面积为3154，则a ＝________. 答案 4解析 ∵2sin B ＝3sin C ，由正弦定理可知2b ＝3c ， ∵b －c ＝14a ，可得c ＝12a ，b ＝34a ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14，sin A ＝1－cos 2A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12×34a ×12a ×154＝3154，解得a ＝4.10.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2＝a 2＋b 2－ab ， sin A ＋sin B ＝26sin A sin B ，若c ＝3，则a ＋b 的值为________. 答案 3 2解析 因为c 2＝a 2＋b 2－ab ，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，因为C ∈(0，π), 所以C ＝π3. 由正弦定理可得三角形外接圆的半径R 满足2R ＝332＝23， 又sin A ＋sin B ＝26sin A sin B ， 所以23sin A ＋23sin B ＝2×23sin A ×23sin B ， 即a ＋b ＝2ab .因为c＝3，所以由余弦定理得9＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝(a＋b)2－322(a＋b)，解得a＋b＝32或a＋b＝－322(舍去).11.(2022·北京卷)在△ABC中，sin 2C＝3sin C.(1)求∠C；(2)若b＝6，且△ABC的面积为63，求△ABC的周长. 解(1)因为sin 2C＝3sin C，所以2sin C cos C＝3sin C.因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos C＝3 2，又C∈(0，π)，故C＝π6.(2)因为△ABC的面积S＝12ab sin C＝12×a×6×12＝63，所以a＝4 3.由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝48＋36－72＝12，所以c＝23，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝43＋6＋23＝6(3＋1).12.如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝60°，BD＝7，cos ∠ABD＝2 2.(1)求AB的长；(2)若∠BAD＋∠BCD＝180°，BC＝1，求四边形ABCD的面积.解 (1)在△ABD 中，由cos ∠ABD ＝22， 得∠ABD ＝45°.又∠BAD ＝60°，所以∠ADB ＝75°，所以sin ∠ADB ＝sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝2＋64，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD ，得AB ＝BD sin ∠ADB sin ∠BAD ＝42＋3146.(2)由∠BAD ＋∠BCD ＝180°，可知∠BCD ＝120°， 设CD ＝x ，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD ， 则7＝1＋x 2－2x ·cos 120°， 化简，得x 2＋x －6＝0， 解得x ＝2或x ＝－3(舍).所以S △BCD ＝12BC ·CD sin 120°＝12×1×2×32＝32，S △ABD ＝12AB ·BD sin ∠ABD＝12×42＋3146×7×22＝73＋2112. 所以S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝73＋2112＋32＝133＋2112.二、创新拓展练13.(多选)(2022·南京模拟)在△ABC中，下列说法正确的是( )A.若A>B，则sin A>sin BB.存在△ABC满足cos A＋cos B≤0C.在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形D.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形答案AD解析对于A，若A>B，则a>b，则2R sin A>2R sin B，即sin A>sin B，故A正确.对于B，由A＋B<π，得A<π－B，于是cos A>－cos B，即cos A＋cos B>0，故B错误.对于C，在△ABC中，由a cos A＝b cos B，利用正弦定理可得：sin A cos A＝sin B cos B，∴sin 2A＝sin 2B，∵A，B∈(0，π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得：b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a －c )2＝0，解得a ＝c ，可得A ＝C ＝B ＝60°，故D 正确.故选AD.14.(多选)(2022·山东师大附中模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b －2a ＋4a sin2A ＋B 2＝0，则下列结论正确的是( )A.角C 一定为锐角B.a 2＋2b 2－c 2＝0C.3tan A ＋tan C ＝0D.tan B 的最小值为33答案 BC解析 ∵b －2a ＋4a sin 2A ＋B 2＝0，∴b －2a ＋4a sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝0，∴b －2a ＋4a cos 2C2＝0，∴b －2a ＋4a ·1＋cos C2＝0， ∴b ＋2a cos C ＝0，∴cos C <0，∴角C 一定为钝角，A 错误；b ＋2a cos C ＝0⇒b ＋2a ·a 2＋b 2－c 22ab＝0⇒a 2＋2b 2－c 2＝0，B 正确；b ＋2a cos C ＝0⇒sin B ＋2sin A cos C ＝0⇒3sin A cos C ＋cos A sin C ＝0⇒3tan A ＋ tan C ＝0，C 正确； tan B ＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan C tan A tan C －1＝－2tan A－3tan 2A －1＝23tan A ＋1tan A≤33， 经检验“＝”取得到，D 错误，综上选BC.15.(2022·湖州调研)在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝5，∠BAC ＝2π3，点D 在边BC 上，且满足AD ＝BD .则cos∠ABC ＝________，sin∠DAC ＝________. 答案1114437解析 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ×AB cos∠BAC ＝25＋9－2×5×3×cos 2π3＝49，所以BC ＝7.又由正弦定理得AC sin∠ABC ＝BCsin∠BAC，即sin∠ABC ＝AC sin∠BAC BC ＝5314.又∠ABC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以cos∠ABC ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫53142＝1114. 在△ABD 中，设AD ＝BD ＝x ，由余弦定理得x 2＝x 2＋9－2×3×1114x ，解得x ＝2111， 所以DC ＝BC －BD ＝5611.在△ABC 中，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BC sin∠BAC，所以sin∠ACB ＝AB sin∠BAC BC ＝3314. 在△ADC 中，由正弦定理得DCsin∠DAC＝ADsin∠ACB，所以sin∠DAC＝DC sin∠ACBAD＝437.16.(2022·福州质检)某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，∠PBA＝∠QAB＝60°，AQ＝QP＝PB，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP最长时，该奖杯比较美观，此时∠AOB＝________.答案π2解析由题意可知，四边形ABPQ为等腰梯形.如图，连接OP，过点O作OM⊥QP，垂足为点M，交AB于点C，则OC⊥AB，OM平分∠AOB，M为线段PQ的中点.设∠AOC＝θ，则AB＝20sin θ，OC＝10cos θ，设AQ＝QP＝BP＝x，过点Q作QE⊥AB，垂足为点E，过点P作PF⊥AB，垂足为点F，因为∠PBA ＝∠QAB ＝60°， 所以AE ＝BF ＝12x ，CM ＝PF ＝32x ，EF ＝QP ＝x ， 所以AB ＝2x ，所以AB ＝20sin θ＝2x ， 即x ＝10sin θ，所以OM ＝OC ＋CM ＝10cos θ＋32x ＝10cos θ＋53sin θ， 所以OP 2＝OM 2＋MP 2＝(10cos θ＋53sin θ)2＋(5sin θ)2＝100cos 2θ＋75sin 2θ＋1003sin θcos θ＋25sin 2θ＝100＋503sin 2θ， 因为sin 2θ∈[－1，1]， 所以当sin 2θ＝1，即θ＝π4时，OP 2最大，也就是OP 最长，此时∠AOB ＝π2.17.(2022·临沂预测)在①a sin(A ＋C )＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6；②1＋2cos C cos B ＝cos(C －B )－cos(C ＋B )；③2tan B tan A ＋tan B ＝bc.这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上并作答.问题：在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＋c ＝23，a ＝6，________， (1)求角A 的大小；(2)求△ABC 的面积.解 (1)选①，由正弦定理得sin A sin B ＝sin B cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6， 因为0<B <π，所以sin B ≠0，所以sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6， 化简得sin A ＝32cos A ＋12sin A ， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝0， 因为0<A <π，所以A ＝π3. 选②，因为1＋2cos C cos B ＝cos(C －B )－cos(C ＋B )，所以1－cos(C －B )＋cos(C ＋B )＋2cos C cos B ＝1＋2cos(C ＋B )＝1－2cos A ＝0，所以cos A ＝12， 因为0<A <π，所以A ＝π3. 选③，因为2tan B tan A ＋tan B ＝b c， 由正弦定理，得2tan B tan A ＋tan B ＝sin B sin C， 而2×sin B cos B sin A cos A ＋sin B cos B ＝2sin B cos B sin A cos B ＋sin B cos A cos A cos B ＝2sin B cos B sin C cos A cos B＝2sin B cos A sin C ＝sin B sin C ， 因为sin B ≠0，sin C ≠0，所以cos A＝1 2，因为A∈(0，π)，所以A＝π3.(2)由(1)知，a2＝b2＋c2－2bc cos π3＝(b＋c)2－3bc，a＝6，b＋c＝23，所以bc＝2，所以S△ABC＝12bc sin A＝12×2·sinπ3＝32.。
高考专题解读之三角函数及解三角形
高考专题解读之三角函数及解三角形【命题分析】综合分析近3年高考试题,我们发现考题三角函数及解三角形专题，常见一小一大的命题形式, 以三角恒等变换和正、余弦定理为解题工具, 考查三角函数的图象、性质及解三角形的有关知识.具体情况如下：1.从考查题型看：命题几乎是1～2个客观题( 选择题或填空题), 1个解答题; 从考查分值比例来看, 该部分分值约占总分的7%～10%.2.从考查知识点看：主要考查对三角函数式的化简、求值，三角函数的图象和性质，解三角形的综合应用等.3.在命题思路上主要有两大类：(1)单独命题①考查解三角形的有关问题;②考查三角函数的化简求值；③考查三角函数的图象、性质；(2)交汇命题①以三角函数为解题工具, 解决实际问题;②渗透平面向量与三角函数间的内在联系，实现平面向量与三角函数的有机结合；③与其他知识结合命题，如与直线的斜率、导数、不等式等知识结合命题，其形式多样, 解法灵活, 极富思维性和挑战性.4.纵观命题趋势, 我们发现正、余弦定理的运用, 三角函数的图象和性质, 尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图象变换、特征分析( 对称轴、对称中心)和三角函数式的恒等变换等仍是命题热点.【备考策略】根据近3年高考命题的特点和规律,复习本专题时,要注意以下几方面：(1)该专题具有基础性和工具性，虽然没有什么大的难点问题，但包含的内容非常广泛，概念、公式、定理很多，不少地方容易混淆，在复习时要根据知识网络对知识进行梳理，系统掌握其知识体系.(2)抓住考查的主要题型进行训练，要特别注意如下几种题型：根据三角函数的图象求函数解析式或者求函数值，根据已知三角函数值求未知三角函数值，与几何图形结合在一起的平面向量数量积，解三角形中正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合运用，解三角形的实际应用问题.(3)注意数学思想方法的应用，该部分充分体现了数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想(变换)，在复习中要有意识地使用这些数学思想方法，强化数学思想方法在解题中的应用.。
高考数学专题《三角函数与解三角形》解读
新高考中，三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中，熟练掌握三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式 及正、余弦定理，在此基础上掌握一些三角恒变换的技巧，如角的变换，函数名称的变换等，此外，还要注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活实现问题的转化。
1、三角函数的图象与性质1、已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y =A sin （ωx ＋φ）或y =A cos （ωx ＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．2、求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y =A sin(ωx ＋φ)，y =A cos(ωx ＋φ)，y =A tan(ωx ＋φ)的形式，再分别应用公式T =2||ωπ，T =2||ωπ，T =||ωπ求解．3、对于函数y =A sin （ωx ＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x =x 0或点（x 0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f （x 0）的值进行判断．4、若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为偶函数，则φ=k π＋2π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）取得最大或最小值．若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为奇函数，则φ=k π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）=0.2、利用正、余弦定理求边和角的方法（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.重难点02 三角函数与解三角形3、求三角形面积的方法：1）若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．2）若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.热点1、新题型的考查（1）以数学文化和实际为背景的题型；（2）多选题的题型；（3）多条件的解答题题型。
高中数学知识点归纳总结三角函数与解三角形
高中数学知识点归纳总结三角函数与解三角形一、任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数1.了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sin xcos x＝tan x.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．三、两角和与差的正弦、余弦及正切公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．四、简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．五、三角函数的图象与性质1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2内的单调性．六函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．七、正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．八、解三角形应用举例能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．。
超实用高考数学专题复习：第四章三角函数解三角形 三角函数与解三角形热点问题
【尝试训练】 (2020·郑州质检)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 若向量 m＝2cos2C2 ，cos A－2 B，n＝58，cos A－2 B，m·n＝98. (1)求 tan Atan B 的值； (2)求c2a－bsai2n－Cb2的最小值. 解 (1)由题意可得 m·n＝54cos2C2＋cos2A－2 B＝98， 即－58cos(A＋B)＋12cos(A－B)＝0，展开可得 cos Acos B＝9sin Asin B，
所以 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
(2)由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ(k∈Z). 设 A＝－4π，π4，B＝x－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ，k∈Z，易知 A∩B＝－1π2，π4.
所以当 x∈－π4，π4时，f(x)在区间－1π2，π4上单调递增，在区间－π4，－1π2上单调 递减.
6＋ 4
2 .
两角差正弦公式的应用
12′
[高考状元满分心得]
❶写全得步骤分：对于解题过程中得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点
步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出 0°<A<180°就有分，没写就扣 1 分，第(2)
问中 0°<C<120°也是如此.
❷写明得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时
教你如何审题——三角函数与平面向量
【例题】 (2020·湘赣十四校联考)已知向量 m＝(sin x，－1)，n＝( 3，cos x)，且函
数 f(x)＝m·n. (1)若 x∈0，2π，且 f(x)＝23，求 sin x 的值；
(2)在锐角三角形 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝ 7，△ABC
高中数学小问题集中营之高三：三角函数与解三角形：专题五 正弦定理和余弦定理的应用(含答案解析)
高考试卷对正弦定理和余弦定理的考查一直是重点、热点，基础题型是通过边角转化后与三角恒等变换的结合，难点题目是与基本不等式及其他知识点的结合，本文从多角度分析其应用，希望能给学生带来启发。
1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R．其中R 是三角形外接圆的半径． (2)正弦定理的其他形式：①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； ②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ；③a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝.若令C ＝90°，则c 2＝，即为勾股定理．(2)余弦定理的推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab1.判断三角形解的个数问题例1. 在△ABC 中，已知b ＝6，c ＝10，B ＝30°，则解此三角形的结果有( ) A ．无解 B ．一解 C ．两解D ．一解或两解解：由正弦定理知sin C ＝c ·sin B b ＝56，又由c >b >c sin B 知，C 有两解．也可依已知条件，画出△ABC ，由图 知有两解．故选C .【评注】本题也可以利用余弦定理求边a 的值，通过判断方程正根个数，从而得出解的个数．2．三角形的面积问题例2. 【2014山东高考理第12题】在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC∆的面积为________.【解析】由tan AB AC A ⋅=得，tantan 26||||cos tan ,||||cos 3cos 6A AB AC A A AB AC A ππ⋅=⋅===， 所以，11221||||sin sin 223636ABCS AB AC A π∆=⋅=⨯⨯==. 【评注】三角形的面积公式为三角形面积公式S △＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，一般情况根据已知哪个角，选哪个面积为宜．三角形面积问题经常与余弦定理结合考查. 例3. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c ，整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得13＝42－2ac －2ac cos 23π，解得ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.【评注】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．3. 判断三角形形状问题例4. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22tan tan b A a B =，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形等边三角形 解：由22tan tan b A a B =可得BaA b c o s c o s =,即B A 2sin 2sin =,故B A 22=或π=+B A 22,即B A =或2π=+B A ,所以ABC ∆是等腰或直角三角形,故应选 D.【评注】本题以三角形的变角之间的关系22tan tan b A a B =为背景考查的是三角形形状的判别的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用先将题设条件22tan tan b A a B =化为Ba Abc o s c o s =,再运用正弦定理和二倍角公式将其化为B A 2s i n 2s i n =,最后得到B A 22=或π=+B A 22,即B A =或2π=+B A ,所以ABC∆是等腰或直角三角形. 4.边角转化问题例5. 【2014高考广东卷理第12题】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba.【解析】cos cos 2b C c B b +=，由边角互化得sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即()sin 2sin B C B +=，即sin 2sin A B =，所以22aa b b=⇒=. 【评注】三角形问题往往会涉及边角混合的方程，利用正弦定理和余弦定理实现边角转化，若转化为角的问题则使用三角恒等变形处理；若转化为边的式子，则利用代数方法求解.1.（2016天津理3）在ABC △中，若AB ，3BC =，120C ∠= ，则AC =（ ）. A. 1 B.2C.3D.42.（2016全国丙理8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则cos =A （ ）.A.B. C.- D.-3. 【2014江西高考理第4题】在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积（ ）A.3B.239 C.233 D.33 4. ABC ∆中，045,,2B b x a ===，若ABC ∆有两解，则x 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．()0,2C ．(2,D ．)25. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理】在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于（ ） A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 6. 设,,a b c 为三角形ABC 三边长，1,a b c ≠<，若l o g l o g 2l o g l o g cb cb cbcba a a a+-+-+=，则三角形ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定7. 在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且2220b c b c a ++-=，则()s i n 30a C b c--的值为A ．12B C ．12- D ．8. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2c a =，1sin sin sin 2b B a A a C -=，则sin B 为（ ）A B ．34 C D ．139. 在斜△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，4A π=，sin sin()2A B C C +-=，且△ABC 的面积为1，则a 的值为（ ）A ．2BCD 10. 已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，若3A π=，则(cos )a C C ⋅=（ ）A ．a b +B ．b c +C ．a c +D ．a b c ++ 11. 给定下列两个命题：221:,,0p a b R a ab b ∃∈--<；2p ：在三角形ABC 中，A B >，则sin sin A B >．则下列命题中的真命题为（ ）A ．1pB ．12p p ∧C ．12()p p ∨⌝D ．12()p p ⌝∧12. 【2015高考重庆，理13】在ABC 中，B =120o，AB A 的角平分线AD 则AC =_______.13. 【2014天津高考理第12题】在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______． 14. 【2015高考天津，理13】在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .15. （2016全国乙理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（1）求C ；（2）若c =ABC △的面积为2，求ABC △的周长．参考答案1.【答案】A【解析】 由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =.故选A.2. 【答案】CDCBA3. 【答案】C解：因为,3,6)(22π=+-=C b a c 所以由余弦定理得：2222cos3c a b ab π=+-，即26,6ab ab ab -+=-=，因此ABC ∆的面积为1sin 32ab C ==选C.4. 【答案】D【解析】sin a B x a <<2x <<. 5. 【答案】D【解析】因为2sin a B =，所以sin 2B b a =，所以sin A =，所以3A π=. 6. 【答案】B7. 【答案】A【解析】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-及已知条件222a b c bc =++得2cos bc A bc -=即1cos 2A =-又A 为三角形内角.∴0120A =利用正弦定理化简得:0sin(30)a C b c --0sin sin(30)sin sin A C B C-=-=00)2sin(60)sin C C C ---13sin )C C -=128. 【答案】A【解析】因为1sin sin sin 2b B a A a C -=,所以由正弦定理可得:2212b a ac -=，又 2222212,43,2c a a c b a ac a =∴+-=-=∴利用余弦定理可得:222233cos ,2224a cb a B ac a a +-===∴由 于0B π<<,解得:sin 4B ==,故选A. 9. 【答案】B【解析】由题意得，sin sin()2A B C C +-=，利用和差公式、倍角公式展开可得sin B C =，利用正弦定理可得b =，由余弦定理可得22222)2cos54a c c π=+-⨯=，因为ABC ∆的面积为1，所以1sin 12bc A =，所以21sin 124π⨯⨯=，解得21c =，所以a =B ． 10. 【答案】B11. 【答案】D【解析】对于221:,,0p a b R a ab b ∃∈--<，因为0)(4)(22≥---=∆b b ，所以022≥--b ab a ，即命题1p 为假命题；对于2p ：在三角形ABC 中，A B >，则sin sin A B >，因为在三角形ABC 中，大角对大边可知b a >，由正弦定理可得BbA a sin sin =，所以sin sin AB >，即命题2p 为真命题，故应选D ．12.【解析】由正弦定理得sin sin AB AD ADB B =∠，即sin ADB =∠，解得sin ADB ∠=， 45ADB ∠=︒，从而15BAD DAC ∠=︒=∠，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，2cos30AC AB =︒=13. 【答案】 14-． 【解析】因为32sin 3sin ,23,,2B C b c b c =\=\=代入14b c a -=得2a c =，由余弦定理得2221cos 24b c a A bc +-==-． 14. 【答案】815. 【解析】 （1）由已知及正弦定理得，2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， 即2cos sin()sin C A B C +=，故2sin cos sin C C C =，可得1cos 2C =，所以3C π=.（2）由已知得，1sin 22ab C =.又3C π=，所以6ab =.由已知及余弦定理得，222cos 7a b ab C +-=，故2213a b +=，从而2()25a b +=.所以ABC △的周长为5+。
高中数学小问题集中营之高三：三角函数与解三角形：专题六 正弦定理、余弦定理与不等式(含答案解析)
正弦定理和余弦定理的应用除了解三角形外，还往往与基本不等式结合求面积范围、周长范围、角的范围以及求代数式的范围等，这些题目都是考生容易错解的地方，所以本节内容从这些难点内容出发，希望给学生带来启发.1. 基本不等式,)a b a b R ++≥∈，2()(,)4a b ab a b R +≤∈，222(,)a b ab a b R +≥∈，222a b ab +≤ (,)a b R ∈，222()22a b a b ++≥． 2. 正弦定理和余弦定理 略一、面积的范围问题例1在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin cos cos sin A B B A b a B++=．（1）求a ； （2）若1cos 3A =，求ABC ∆面积的最大值． 解：（1）原式化为22222222a c b b c a cabc abc a+-+-+=，解得1a =（2）因为1cos 3A =，所以222sin 13bc A b c =+-=，所以34bc ≤（当且仅当2b c ==，从而1sin 24ABC S bc A ∆=≤（当且仅当2b c ==，即ABC ∆面积的最大值为4． 【评注】解三角形问题是高考考查三角函数常见的题目，在解答次类题目的时候，主要是利用三个基础知识（正余弦定理、三角形面积公式、三角形内角和定理）和两种转化方式（角化边、边化角），所以解题时必须认真体会，灵活运用，尤其注意余弦定理中基本 不等式的应用。
二、周长的范围问题例2在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2c =，3C π=．（1）当2sin 2sin(2)sin A B C C ++=时，求ABC ∆的面积； （2）求ABC ∆周长的最大值； 解（1）由()2sin2sin2sin A B C C ++=得()()4sin cos sin sin A A B A A B +-=+得2sin cos sin cos A A B A =，当cos 0A =时，2A π=，3B π=，3a =3b =， 当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =，由正弦定理2b a =，联立2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，解得a =b =故三角形的面积为1sin 23ABC S ab C ∆==；（2）由余弦定理及已知条件可得：224a b ab +-=，由22()()43434a b a b ab ++=+≤+得4a b +≤，故ABC ∆周长的最大值为6，当且仅当三角形为正三角形取到．【评注】除了利用余弦定理、基本不等式、方程与不等式思想外，还可以利用正弦定理将a 和b 用角A 、B 表示，利用消元思想，转化为三角函数求值域问题处理。
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三角函数的图象变换，是三角函数考查热点之一，也是易错点之一，虽然说图象变换不外乎平移、伸缩、翻折(对称)这三类，但考生在变换过程中出现的差错却比比皆是，究其原因，是对函数性质及其图象特征认识不够深入，因此在变换中，对变换的数据无法完全把握，从而造成失误.本文重点从高考中涉及较多的伸缩变换和平移变换加以辨析.1．用五点法画y ＝Asin(ωx ＋φ)在一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示.2.图象变换(ω＞0)路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移||φ个单位长度，得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A (横坐标不变)，这时的曲线就是y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． 路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ωx 的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移⎪⎪⎪⎪φω个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．一、平移变换例1．（2016全国甲理7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为（ ）.A.()ππ26k x k =-∈Z B.()ππ26k x k =+∈Z C.()ππ212Z k x k =-∈ D.()ππ212Z k x k =+∈ 解：平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈.故选B ． 【评注】相对来说，平移变换似乎问题少一些，因为大家都记住了一个口诀：左加右减，上加下减.却很少有人追问：为什么向y 轴正方向(上方)平移就是加，而向x 轴正方向(右方)平移却是减？其实，理由与伸缩变换的理由很类似，y ＝f (x )变换为y ＝f (x )＋1，确实是纵坐标增大了一个单位，所以向上平移；而将y ＝f (x )变换为y ＝f (x ＋1)，对应的x 应该减小1个单位，函数式才能保持等量关系，所以需要向左(负方向)平移1个单位. 二、伸缩变换例2. 为了得到函数3sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数3sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点的（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变解：横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，故选B ． 【评注】伸缩变换是容易出现错误的一个类型，是因为这类变换体现在横坐标和纵坐标上的变化似乎不一样，比如：将函数y ＝f (x )的图象变换为y ＝2f (x )的图象，需要将y ＝f (x )图象上每一点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍；而将函数y ＝f (x )的图象变换为y ＝f (2x )的图象，则需要将y ＝f (x )的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12.之所以出现这个差异(一个是扩大，一个是缩小)，原因很简单，注意到后一个关于横坐标的变化中，系数2就是x 的系数，而前一个关于纵坐标的变换，系数2并不是y 的系数，如果要将这个系数写到y 身上，则是12y ＝f (x )，这样以来，变换的“拉伸”和“压缩”与系数的关系就统一起来了.三、平移与伸缩综合问题 例3, 将函数sin()3y x =-π的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移3π个单位，则所得函数图像对应的解析式为（ ）. A. sin(2)6y x =-πB. 1sin 2y x =C. 1sin()23y x =-πD. 1sin()26y x =-π解：由题； sin()sin()sin[(]sin(3336111))2232y x y y x x x πππππ=-→=→==-+--.【评注】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，而“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，但要注意：先伸缩后平移时要把x 前面的系数提取出来．1．（2016四川理3）为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需把函数sin 2y x =的图像上所有的点（ ）.A.向左平行移动π3个单位长度 B.向右平行移动π3个单位长度 C.向左平行移动π6个单位长度 D.向右平行移动π6个单位长度2．将函数)32sin()(π-=x x f 的图像左移3π，再将图像上各点横坐标压缩到原来的21，则所得到的图象的解析式为（ ）A ．x y sin =B ．)34sin(π+=x yC ．)324sin(π-=x yD ．)3sin(π+=x y3．要得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需要将函数cos 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6π个单位4．已知函数()sin 2f x x =向左平移6π个单位后，得到函数()y g x =，下列关于()y g x =的说法正确的是（ ） A ．图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,3-π中心对称 B ．图象关于6π-=x 轴对称C ．在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,125ππ单调递增 D ．在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ单调递减 5. 将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移ϕ个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．3π-B ．6π-C ．3π D ．23π6. 将函数()f x 的图象向左平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()sin 2g x x =的图象，若对满足12|()()|2f x g x -=的12,x x ，有12min ||3x x π-=，则ϕ=（ ）A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π7. 下图是函数sin()y A x ωϕ=+，(,0,0,0)2x R A πωϕ∈>><<，在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）A ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变. B ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变C ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变. D ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变.8. 为了得到函数sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，可将函数sin y x =的图像向左平移m 个单位长度或向右平移n 个单位长度（,m n 均为正数），则m n -的最小值是（ ） A.3πB.23πC.43πD.53π9. 已知()()cos 2,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将()y f x =的图像上所有的点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变；再把所得的图像向右平移ϕ个单位长度，所得的图像关于原点对称，则ϕ的一个值是 （ ） A.316π B.516π C.34π D.38π10. （2016全国丙理14）函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移___________个单位长度得到.11．已知函数)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移3π，这样得到的曲线和x y sin 2=的图象相同，则已知函数)(x f y =的解析式为__________________. 12．将函数()sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移4π个单位长度得到sin y x =的图象，则()6f π= ．参考答案1．【答案】 D2．【答案】B【解析】将函数)32sin()(π-=x x f 的图像左移3π，得到s i n 2s i n2333y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再将图像上各点横坐标压缩到原来的21，得到)34sin(π+=x y 3．【答案】 D【解析】因为sin(2)sin[(2)cos[2()]6326y x x x ππππ=+=-+=-，所以要得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需要将函数cos 2y x =的图象向右平移6π个单位；故选D ．4． 【答案】C【解析】函数()sin 2f x x =向左平移6π个单位后，得到函数()sin 2()6πg x x =+，即()sin(2)3πg x x =+，sin[2()]sin()0333πππ⨯-+=-≠，A 错；sin[2()]0163ππ⨯-+=≠，B 错；由222()232πππk πx k πk Z -≤+≤+∈，5()1212ππk πx k πk Z -≤≤+∈，55[,][,]1261212ππππ--⊆-，故选C 正确，D 错．故选C ． 5. 【答案】 B【解析】将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移ϕ个单位，所得到的函数解析式为()()()sin 2sin 23f x x x ϕϕϕ=++=+⎡⎤⎣⎦，因为其图象关于y 轴对称，所以()0s i n 31f ϕ==±，所以3,2k k z πϕπ=+∈，即,36k k z ππϕ=+∈，所以当1k =-时，可得6πϕ=-，故选B. 6. 【答案】 D7. 【答案】D【解析】由图可知1,,2A T πω==∴=,又()26k k Z πωϕπ-+=∈,()23k k Z πϕπ∴=+∈,又02πϕ<<，3πϕ∴=,sin 23y x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，所以为了得到这个函数的图象，只需将sin y x =()x R ∈的图象上的所有向左平移3π个长度单位，得到sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的 横坐标变为原来的12(纵坐标不变) 即可. 故选D. 8. 【答案】B【解析】由函数sin y x =的图象得到函数sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象可向左平移ππ123k m +=个单位长度，也可向右平移ππ2235k n +=个单位长度，则ππ)(23421k k n m -+-=-得最小值为23π.故选B. 9. 【答案】A【解析】根据已知()()cos 2,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为 212ππωω=∴=()cos 24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，将()y f x =的图像上所有的点的横坐标缩短为原来的12倍，纵 坐标不变，可得函数()cos 44f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象；再把所得的图象向右平移ϕ|个单位长度，可得函数[||]444|4|4y cos x cos x ππϕϕ=-+=+-（）（）的图象．结合所得的图象关于原点对称，可得||442k ππϕπ-=+，即,4||16k k Z ππϕ=--∈， 则ϕ的一个值是316π，故选A ．10. 【答案】2π311．【答案】 )32sin(21)(π-=x x f 【解析】x y sin 2=图像向右平移3π得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 2πx y ，然后把横坐标缩为原来的一半得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 2πx y ，纵坐标再缩小为原来的41得)32sin(21)(π-=x x f .12． 【解析】将函数sin y x =的图象向左平移4π个单位得sin()4y x π=+的图象，再把图象上各点的横坐标扩大2倍，纵坐标不变得1sin()24y x π=+的图象，即1()sin()24f x x π=+，所以1()sin()6264f πππ=⨯+sin32π==．。