2016-2017学年安徽六安一中高二上段测一数学(理)试卷

2016-2017学年安徽六安一中高二上段测一数学（理）试卷考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，()5283S a a =+，则53a a 的值为（ ） A ．56 B ．13 C ．35 D ．162．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ） A．2．2 C．3- D．3+3．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且()cos2cos cos 1B B C A ++-=，则（ ）A ．,,a b c 成等比数列B ．,,a b c 成等差数列C ．,c,b a 成等比数列D ．,c,b a 成等差数列4．在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为（ ） A ．14 B ．15C ．16D ．175．ABC ∆中，tan A 是以-4为第三项，-1为第七项的等差数列的公差，tan B 是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．以上均错6．已知等比数列{}n a 为递增数列，262,3a a --为偶函数()()2212f x x a x a=-++的两个零点，若123n n T a a a a =，则7T =（ ） A ．128 B ．-128C ．128或-128D ．64或-647．公差不为0的等差数列{}n a 的部分项123,,k k k a a a 构成等比数列{}n k a 且1231,2,6k k k ===，则4k =（ ）A ．20B ．22C ．24D ．288．已知函数()af x x =的图象过点()4,2，令()()*1,1n a n N f n f n =∈++，记{}n a 的前n 项为n S ，则2016S =（ ）A 1B 1C 1D 19．在ABC ∆中，①若060,10,7B a b ===，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为120°；③若ABC ∆为锐角三角形，且三边长分别为2,3,x ，则x x <其中正确命题的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．010．已知数列{}n a 满足()*21102,4n n a a a n n N +=-=∈，则数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值为（ ）A ．25B ．26C ．27D ．2811．数列{}n a 的前n 项和为()*21n n S n N =-∈，则22212n a a a +++= （ ）A ．()221n- B ．()1213n- C ．41n- D ．()1413n -12．已知函数()y f x =的定义域为()0,+∞，当0x <时()1f x >，对任意的(),0,x y ∈+∞，()()()f x f y f x y =+成立，若数列{}n a 满足()10a f =，且()*11,(2)n n f a n N f a +=∈--，则2017a 的值为（ ）A ．4024B ．2032C ．4033D ．201713．已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角A B C 、、sin cos 20A a B a --=，则B ∠=__________．14．已知数列{}n a 中，1160,3n n a a a +=-=+，则12330a a a a ++++= ___________．15．在ABC ∆中，边AB 在垂直平分线交边AC 于D ，若3C π=，8,7BC BD ==，则ABC ∆的面积为___________．16．下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为()*,,i j a i j N ∈，则①9,9a =__________；②表中的数82共出现____________次．17．在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别是,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c aC b--=．（1）求sin sin CA的值； （2）若1cos ,24B b ==，求ABC S ∆．18．已知数列{}n a 满足11a =，()()2*11n n na n a n n n N +=+++∈．（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）若数列{}n b 满足121n n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19．已知数列{}n a 的前n 项和为1,4n S a =，对一切正整数n ，都有1202n n S a -+=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设121log n n nb a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 20．已知等比数列{}n a 的公比11,1q a >=，且132,,14a a a +成等差数列，数列{}n b 满足：()()*1122131n n n a b a b a b n n N +++=-+∈． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若8n n ma b ≥-恒成立，求实数m 的最小值．21．如图，某小区准备将一块闲置的直角三角形（其中,,2B AB a BC π∠===）土地开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分（图中阴影部分）有公共绿地走道MN ，且两边是两个关于走道MN 对称的三角形（AMN ∆和A MN '∆），现考虑方便和绿地最大化原则，要求M 点与B 点不重合，A '点落在边BC 上，设AMN θ∠=．（1）若3πθ=，绿地“最美”，求最美绿地的面积；（2）为方便小区居民行走，设计时要求,AN A N '最短，求此时公共绿地走道MN 的长度．22．函数()()()112,111x n x e n f x g x f x a g g g g e n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 是等差数列，且2n n S nb n c-=+，求非零常数c ； （3）设11n n n c a a +=，若数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57n k T >对一切*n N∈都成立的最大正整数k 的值．参考答案1．A 【解析】试题分析：由题意得，因为数列{}n a 等差数列，所以15235()52a a S a +==，且2852a a +=，所以由()5283S a a =+，可得3556a a =，所以5356a a =，故选A ． 考点：等差数列的性质． 2．D 【解析】试题分析：因为数列{}n a 为等比数列，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，所以3212a a a =+，所以221112210a q a q a q q =+⇒--=，解得1q =，所以22910787878()3a a a a q q a a a a ++===+++D ．考点：数列的性质． 3．A 【解析】 试题分析：因为()cos2cos cos 1B BC A ++-=，所以()co s2c o s ()c o s1B AC C A -++-=，即21sin c B AC A --++，即2s i n s i n s i nA CB =，由正弦定理得2(,,0)ac b a b c =>，所以,,a b c成等比数列． 考点：正弦定理的应用．4．C 【解析】 试题分析：由等差数列的性质，可知468101285120724a a a a a a a a d ++++==⇒=+=， 又因为91111111121428(10)(7)1633333a a a d a d a d a d -=+-+=+=+=，故选C ． 考点：等差数列的性质．5．A 【解析】试题分析：tan A 是以4-为第三项，1-为第七项的等差数列的公差，则1(4)3734d ---==-，即3tan 4A =，设以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比为q，则2q ==，即tan 2B =，则tan tan 11tan()tan 1tan tan 2A B A B C A B ++=-==--，即11tan 2C =，所以,,A B C 均为锐角，则ABC ∆为锐角三角形，故选A ．考点：三角形形状的判定．【方法点晴】本题主要考查了三角形的形状的判定问题，其中解答中涉及到等差数列、等比数列的通项公式和性质，以及两角和的正切公式和三角形的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中根据等差数列、等比数列的性质等差tan A 、tan B 的值是解得的关键． 6．A 【解析】试题分析：因为()()2212f x x a x a =-++为偶函数，所以210a +=，解得21a =-，即()21f x x =-，因为等比数列{}n a 为递增数列，262,3a a --为偶函数()21f x x =-的零点，所以由韦达定理，得2626230(2)(3)1a a a a -+-=⎧⎨--=-⎩，解得261,4a a ==，所以42a ==，所以123n n T a a a a = ，所以712372128n T a a a a === ，故选A ． 考点：等比数列的性质．7．B 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为126,,a a a 成等比数列，所以2261a a a =⋅，即21111()(5)3a d a d a d a +=+⋅⇒=，所以214a a =，所以等比数列123,,,k k k a a a 的公比4q =，所以433111464k a a q a a ==⋅=，又414141(1)(1)3k a a k d a k a =+-=+-⋅，所以414(1)k a a k d =+-141(1)3a k a =+-⋅，所以14114(1)(3)643264a k a a k +-=⇒-=，解得422k =，故选B ．考点：等比数列的应用．8．D 【解析】试题分析：因为函数()af x x =的图象过点()4,2，所以42a=，解得12a =，所以()f x =()()11n a f n f n ===++，所以20161S1+ ，故选D ．考点：数列的求和． 9．B 【解析】试题分析：在060ABCB ∆=中，①若10,7a b ==，由正弦定理sin sin b aB A=可知，0107sin sin 60A =，所以sin 1A =>，故错误；②若三角形的三边的比是3:5:7，根据题意设三角形三边长为3,5,7x x x ，最大角为α，由余弦定理得2222925491cos 302x x x x α+-==-，则最大角为0120，所以是正确的；③若ABC ∆为锐角三角形，且三边分别为2,3,x ，设所对角分别为,,A B C ,则最大角为B 或C 所对的角，所以249cos 04x B x +-=>，解得x > 249cos 012x C +-=>，解得x <x 的取值范围是x <B ．考点：正弦定理与余弦定理．10．B 【解析】试题分析：因为数列{}n a 中，()*21102,4n n a a a n n N +=-=∈，所以14(1)n n a a n --=-，，4343a a -=⨯，3242a a -=⨯，上式相加，可得242434(1)n a a n -=⨯+⨯++⨯-4(2341)2(1)(2)n n n =++++-=+- ，所以22298n a n n =-+，所以9822n a n n n=+-226≥=，当且仅当982n n =，即7n =时，等式相等，故选B ．考点：数列的求和和基本不等式的应用． 11．D 【解析】试题分析：由题意得，因为数列{}n a 的前n 项和为()*21n n S n N =-∈，可得数列的通项公式为12n n a -=，所以2121(2)4n n n a --==，所以数列{}2n a 表示首项为1，公比为4的等比数列，所以22212n a a a +++()1(14)141143n n⨯-==--，故选D ．考点：等比数列的通项公式及求和．【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式、指数幂的运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用数列的n S ，求解12n n a -=，得出数列{}2n a 表示首项为1，公比为4的等比数列是解答的关键，属于中档试题．12．C 【解析】试题分析：因为对任意的(),0,x y ∈+∞，()()()f x f y f x y =+成立，令0x y ==，则()()()()00000f f f f =⇒=，即()110a f ==或()01f =，当()110a f ==时，设0x <时()1f x >，则x ->,又()()()(0)0()0f x f x f x x f f x -=-+==⇒-=，于是()1,00,0x f x x <⎧=⎨≥⎩大于，所以不成立；所以()01f =．由()01f =，证明函数()f x 为单调递减函数，首先证明对于任意实数x ，恒有()0f x >，设0x <，则()1,0f x x >->，因为()()()(0)1f x f x f x x f -=-+==，所以()()10f x f x -=>，即对于任意实数x ，恒有()0f x >，再证明其单调性：12x x ∀<∀，则120x x -<，所以12()1f x x ->，所以11221222()()()()()f x f x x x f x x f x f x =-+=->，所以12()()f x f x >，所以函数()f x在R 上单调递减，因为()*11,(2)n n f a n N f a +=∈--，所以1(2)(0)n n f a a f +--=，所以12n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为11a =，公差为2的等差数列，所以2017120164033a a d =+=，故选C ．考点：等差数列；函数的性质．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的问题，其中解答中涉及到函数的单调性的应用，函数的赋值法的应用，等差数列的通项公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题能力，以及学生的推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中得到函数的单调性，得出数列为等差数列是解得关键． 13．23π 【解析】sin sin cos 2sin 0B A A B A --=，cos 2sin()6B B B π-=-2=，即2sin()16623B B B ππππ-=⇒-=⇒=． 考点：正弦定理． 14．765 【解析】试题分析：由13n n a a +=+，即13n n a a +-=，即数列{}n a 表示首项为160a =-，公差为3的等差数列，所以数列的通项公式1(1)363n a a n d n =+-=-，则(3123)2n n n S -=，令0n a ≥，即363021n n -≥⇒≥，即当20n <时，则0n a <，当21n ≥，则0n a ≥，所以123301220()a a a a a a a ++++=-+++212230()a a a ++++ 2030203020()2765S S S S S =-+-=-=．考点：等差数列求和问题．15．或【解析】试题分析：由题意得，边AB 在垂直平分线交边AC 于D ，且3C π=，8,7BC BD ==，在BCD ∆中，设C D x =，由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅，即222788x x =+-，整理得28150x x -+=，解得3x =或5x =，当3x =时，此时7310AC AD DC =+=+=，所以面积为11sin 108sin 223S CA CB C π=⋅=⨯⨯⨯=；当5x =时，此时75A C A D D C =+=+=，所以面积为11sin 1012sin 223S CA CB C π=⋅=⨯⨯⨯=考点：三角形的综合问题． 【方法点晴】本题主要考查了解三角形的综合问题，其中解答中涉及到解三角形的余弦定理的应用，三角形的面积公式、三角形的中垂线的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中，在BCD ∆中，利用余弦定理，求解CD 的长是解答的关键，属于中档试题． 16．82 5 【解析】试题分析：根据题意得，第i 行的等差数列的公差为i ，第j 列等差数列的公差为j ，所以第一行数组的数列1j a 是以2为首项，公差为1的等差数列，可得12(1)11j a j j =+-⨯=+，又因为第j 列数组成的数列ij a 是以1j a 为首项，公差为j 的等差数列，所以1(1)(1)(1)1ij j a a i j j i j ij =+-=++-⨯=+，因为1ij a ij =+，所以9999182a =⨯+=；由于182ij a ij =+=，则81ij =，所以81i =且1j =或1i =且81j =或3i =且27j =或27i =且3j =或9i j ==，所以可得等于82的项共有5项．考点：等差数列与等比数列．【方法点晴】本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用，本题给出的是“森德拉姆素数筛”的例子，求表格中的指定项，并求82在表中出现的次数，着重考查了等差数列的通项公式及其应用的知识，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度属于中档试题，正确的理解题意是解答的关键．17．（1）2；（2）4． 【解析】试题分析：（1）利用正弦定理，化简题设中的条件，可得()()sin 2sin A B B C +=+，即可求解sin sin C A的值；（2）由（1）和利用余弦定理可得,a c 的值，再利用三角形的面积公式，即可求解ABC S ∆．试题解析：（1）∵cos 2cos 2cos A C c a B b--=， ∴cos 2cos 2sin sin cos sin A C C A B B--=， ∴cos sin 2cos sinB 2sinCcosB sinAcosB A B C -=-， ∴()()sin 2sin A B B C +=+，∴sin 2sin C A =，∴sin 2sin C A=（2）ABC S ∆=考点：正弦定理；余弦定理；三角形的面积公式．18．（1）证明见解析；（2）()2111n -+． 【解析】试题分析：（1）根据题设化简，得111n n a a n n +-=+，即可证得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）得2n a n =，得()22111n b n n =-+，即可利用裂项求和． 试题解析：（1）证明：()()111111n n n n na n a a a n n n n ++-+-==++， ∴n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）得：2n n a n a n n =⇒=， ∴()()2222211111n n b n n n n +==-++，∴()2111n S n =-+． 考点：等差数列的概念；数列的求和．19．（1）12n n a +=；（2）22n n T n += ． 【解析】试题分析：（1）由1202n n S a -+=，则111202n n S a ---+=，两式相减，即可求解数列{}n a的通项公式； （2）由（1）可知()112n n b n +=+ ，利用乘公比错误相减法求和，即可求解数列{}n b 的前n 项和n T ．试题解析：（1）因为1202n n S a -+=，① 所以当2n ≥时，111202n n S a ---+=，② ①-②得：12,2n n a a n -=≥，所以11422n n n a -+==（2）由()()111122log 212n n n n b n -+++==+所以()2341223242212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯ ③()345122223242212n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯ ，④③-④()()()23412312222222122821122n n n n n n T n n n ++-++-=⨯++++-+⨯=+--+⨯=-所以22n n T n +=考点：数列的通项公式；数列求和．20．（1）21n b n =-；（2）181． 【解析】试题分析：（1）数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得13n n a -=，再将n 换为1n -，两式相减可得21n b n =-；（2）若8n n ma b ≥-恒成立，即为1293n n m --≥的最大值，由1293n n n c --=作差，判定函数的单调性，即可得到最大值，进而得到m 的最小值．试题解析：（1）因为等比数列{}n a 满足：11321,,,14a a a a =+成等差数列，所以：312214a a a =++，即2111214a q a a q =++，所以：22150q q --=，所以3q =（因为1q >）所以13n n a -=，因为：()1122131n n n a b a b a b n +++=-+ ，①所以当2n ≥时，有()1112211231n n n a b a b a b n ---+++=-+ ，② ①-②得：()()12132n n n a b n n -=-≥ ，所以()212n b n n =-≥，当1n =时也满足，所以21n b n =-．（2）若8n n ma b ≥-恒成立，则1293n n m --≥恒成立， 令1293n n n c --=，则12043n n n n c c +--=． 当5n =时，56c c =，当5n <时，12345c c c c c <<<<，当5n >时，678c c c >>> ．所以n c 的最大值为56181c c ==，所以181m ≥，m 的最小值为181． 考点：等比数列的通项公式；数列的求和．21．（1（2）23MN a =． 【解析】试题分析：（1）由Rt MBA '∆中，()1cos 2a xa x xa x πθ---==，由3πθ=，解得23x =，即可求得三角形的面积；（2）因为()21cos 2cos 22sin 1x xπθθθ--=-=-=，所以212sin x θ=，则22sin a AM θ=，在AMN ∆中，得到AN 的值，在利用三角函数的图象与性质，即可求解公共绿地走道MN 的长度．试题解析：由,,2B AB a BC π∠===，得3BAC π∠=设()01MA MA xa x '==<<，则MB a xa =-，所以在Rt MBA '∆中，()1cos 2a xa x xa xπθ---== （1）因为3πθ=，所以()11cos 22x x πθ--==，所以23x =， 又3BAC π∠=，所以AMN ∆为等边三角形，所以绿地的面积21222sin 23339S a a π=⨯⨯⨯⨯=．（2）因为()21cos 2cos 22sin 1x xπθθθ--=-=-=， 所以212sin x θ=，则22sin a AM θ= 又3BAC π∠=，所以在AMN ∆中，23ANM πθ∠=-，故2sin sin 3AN AM πθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以2sin 222sin sin 2sin sin 33a a AN θππθθθθ==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为222s 3ππθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-=+=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又42ππθ<<，所以52366πππθ<-<， 所以当262ππθ-=，即3πθ=时，AN 最短，且23AN a =， 此时公共绿地走道23MN a = 考点：三角函数的实际应用．【方法点晴】本题主要考查了三角函数的实际应用问题，其中解答中涉及到三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质、正弦定理、三角形的面积等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中正确列出三角函数关系式，利用三角函数的性质是解答的关键．22．（1）21n a n =-；（2）12-；（3）max 18k =． 【解析】试题分析：（1）由已知得()()22g x g x +-=，123218n n a g g g n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2122231n n n n a g g g g n n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即可求解21n a n =-；（2）22n n n b n c-=+，则1231615,,123b b b c c c ===+++，即可求解12c =-；（3）11122121n c n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，所以21n n T n =+，所以2157n k n >+对一切*n N ∈都成立，解得m a x 18k =．试题解析：（1）由已知得()()22g x g x +-=， 因为123218n n a g g g n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，① 2122231n n n n a g g g g n n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭② ①+②得()()212222221n n a n -=+++=- ，所以21n a n =-； （2）22n n n b n c-=+，则1231615,,123b b b c c c ===+++， 由题意得：2132b b b =+，所以12c =-； （3）()()1111212122121n c n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭ 所以11122121n n T n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，所以2157n k n >+对一切*n N ∈都成立 所以()min 1573n k T <=，则max 19,18k k <=． 考点：数列的综合应用问题．【方法点晴】本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到等差数列的通项公式、数列的裂项求和、数列的最值和数列的性质，以及函数的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中正确的理解函数的性质，得出数列的通项公式是解答的关键，同时仔细审题、准确作答也是一个重要的方面．。