十字相乘法解数学题原理及例题解析

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专题04 十字相乘法【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++,若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ,则()()2x bx c x p x q ++=++要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时,要先从常数项c 的正、负入手,若0c >,则p q 、同号(若0c <,则p q 、异号),然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时,要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能),然后看这两个整数之和能否等于b ,直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中,如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积,即12a a a =,常数项c 可以分解成两个因数之积,即12c c c =,把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘,再相加,得到1221a c a c +,若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ,即1221a c a c b +=,那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积,即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端,凑中间” （2）二次项系数a 一般都化为正数,如果是负数,则提出负号,分解括号里面的二次三项式,最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体,若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时,可考虑分步处理的方法,即把这个多项式分成几组,先对各组分别分解因式,然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组,然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组四项三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式分组分解法六项三项、二项、一项可化为二次三项式要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的方法方法方法技巧性,在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项,在反复尝试中熟练掌握方法方法方法技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法例1、分解因式： 22(1)(6136)x a x a a ++--+【参考参考参考答案与解析】解：原式＝()()()212332x a x a a ++--- ()()()()23322332x a x a x a x a =--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-【总结升华】将a 视作常数,就以x 为主元十字相乘可解决.举一反三：【变式】分解因式：23345xy y x y ++--【参考参考参考答案】解：原式2(34)35(35)(1)y x y x y x y =+-+-=+-+例2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将()2a a -看作一个整体进行十字相乘法分解,接着再套用一次十字相乘.【参考参考参考答案与解析】解：因为()()()22221214a a a a a a ----=--所以：原式＝[－2][ －12]＝22(2)(12)a a a a ---- ＝()()()()1234a a a a +-+-【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便,大家一定要熟练掌握.举一反三：【变式】分解因式：222(3)2(3)8x x x x ----；【参考参考参考答案】解：原式()()223432x x x x =---+ ()()()()4112x x x x =-+--例3、分解下列因式(1)22(1)(2)12x x x x ++++-(2)22(33)(34)8x x x x +-++-【参考参考参考答案与解析】解：（1）令21x x t ++=,则原式222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++- 2(2)(1)(5)x x x x =+-++（2）令23x x m +=,原式2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+- 222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++【总结升华】此两道小题结构都非常有特点,欲分解都必须先拆开,再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法,这与我们生活中搬家有些类似,要先将一些碎东西找包,会省许多事.类型二、分组分解法例4、分解因式：222332x xy y x y -++-+【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学,一看见该式,首先想到的肯定是式子中前三项恰好组成2()x y -,第4、5项→3()x y -.【参考参考参考答案与解析】解：原式2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母,其实代数式学习是一个结构的学习,其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代,故有时要有一些整体性认识的想法.举一反三：【变式1】分解因式：（1）22a b ac bc-++（2）225533a b a b--+（3）23345xy y x y ++--【参考参考参考答案】解：（1）原式()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+；（2）原式()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-；（3）原式233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-.【变式2】分解因式：．2242244241a b c ab ac bc ++--+-【参考参考参考答案】解：2242244241a b c ab ac bc ++--+-=()()()2222444241a b ab ac bc c +-+-++-=()()()()222222211b a c b a c c -+-++-=．()()222121b a c b a c -++-+-类型三、拆项或添项分解因式例5、阅读理解：对于二次三项式x 2+2ax +a 2可以直接用公式法分解为（x +a ）2的形式,但对于二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2,就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上一项a 2,使其成为完全平方式,再减去a 2这项,使整个式子的值不变,于是又：x 2+2ax ﹣8a 2=x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=（x 2+2ax +a 2）﹣8a 2﹣a 2=（x +a ）2﹣9a 2=[（x +a ）+3a ][（x +a ）﹣3]=（x +4a ）（x ﹣2a ）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法,并用上述方法将二次三项式：x 2+2ax ﹣3a 2分解因式．（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x2﹣4xy+3y2=0化为（x﹣ ）•（x﹣ ）=0并直接写出y与x的关系式．（满足xy≠0,且x≠y）（3）先化简﹣﹣,再利用（2）中y与x的关系式求值．【参考参考参考答案与解析】解：（1）x2+2ax﹣3a2=x2+2ax+a2﹣4a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；（2）x2﹣4xy+3y2=x2﹣4xy+4y2﹣y2=（x﹣2y）2﹣y2=（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）=（x﹣y）（x﹣3y）；x=y或x=3y；故参考参考参考答案为：y；3y（3）原式===﹣,若x=y,原式=﹣2；若x=3y,原式=﹣23．【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法,正确地添（拆）项是解本题的关键．【稳固练习】一.选择题1.如果多项式能因式分解为,那么下列结论正确的是 ( ).22mx nx --()()32x x p ++A.＝6B.＝1C.＝-2D.＝3m n p mnp 2. 若,且,则的值为( ).()2230x a b x ab x x +++=--b a <b A.5B.－6C.－5D.63. 将因式分解的结果是( ).()()256x y x y +-+-A. B.()()23x y x y +++-()()23x y x y +-++C.D. ()()61x y x y +-++()()61x y x y +++-4．把多项式1+a +b +ab 分解因式的结果是（）A ．（a ﹣1）（b ﹣1）B ．（a +1）（b +1）C ．（a +1）（b ﹣1）D ．（a ﹣1）（b +1）5. 对运用分组分解法分解因式,分组正确的是( )224293x x y y +--A. B.22(42)(93)x x y y ++--22(49)(23)x y x y -+-C. D. 22(43)(29)x y x y -+-22(423)9x x y y +--6．如果有一个因式为,那么的值是（）3233x x x m +-+()3x +m A. －9 B.9C.－1D.1二.填空题7.分解因式：．2242y xy x --+=8. 分解因式：= ．224202536a ab b -+-9．分解因式的结果是__________.5321x x x -+-10. 如果代数式有一因式,则的值为_________．a 11．若有因式,则另外的因式是_________.3223a a b ab b --+()a b -12. 分解因式：（1）；（2）3)32(2-+-+k x k kx mnm x m n x -+-+22)2(三.解答题13. 已知,, 求的值.0x y +=31x y +=2231213x xy y ++14. 分解下列因式：（1）()()128222+---a a a a （2）32344xy xy x y x y-++（3）42222459x y x y y --（4）43226a a a +-15.先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法,其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax +by +bx +ay =（ax +bx ）+（ay +by ）=x （a +b ）+y （a +b ）=（a +b ）（x +y ）2xy +y 2﹣1+x 2=x 2+2xy +y 2﹣1=（x +y ）2﹣1=（x +y +1）（x +y ﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后,可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x 2+2x ﹣3=x 2+2x +1﹣4=（x +1）2﹣22=（x +1+2）（x +1﹣2）=（x +3）（x ﹣1）请你仿照以上方法,探索并解决下列问题：（1）分解因式：a 2﹣b 2+a ﹣b ；（2）分解因式：x 2﹣6x ﹣7；（3）分解因式：a 2+4ab ﹣5b 2．【参考参考参考答案与解析】一.选择题1. 【参考参考参考答案】B ；【解析】,()()()223233222x x p x p x p mx nx ++=+++=--∴,解得.22,32p p n =-+=-1n =2. 【参考参考参考答案】B ；【解析】,由,所以.()()23065x x x x --=-+b a <6b =-3. 【参考参考参考答案】C ；【解析】把看成一个整体,分解.()x y +()()()()25661x y x y x y x y +-+-=+-++4. 【参考参考参考答案】B ；【解析】解：1+a +b +ab=（1+a ）+b （1+a ）=（1+a ）（1+b ）．故选：B ．5. 【参考参考参考答案】B ；【解析】A 各组经过提取公因式后,组与组之间无公因式可提取,所以分组不合理.B 第一组可用平方差公式分解得,与第二组有公因式可提取,所以分组合理,C 与D 各组均()()2323x y x y +-23x y -无公因式,也不符合公式,所以无法继续进行下去,分组不合理.6. 【参考参考参考答案】A ；【解析】由题意当时,代数式为零,解得.3x =-9m =-二.填空题7. 【参考参考参考答案】．()()22x y x y -+--【解析】解：===．2242y xy x --+()2224y xy x -+-()24x y --()()22x y x y -+--8. 【参考参考参考答案】；()()256256a b a b -+-- 【解析】原式()224202536a ab b =-+- ()()()22256256256a b a b a b =--=-+--9. 【参考参考参考答案】；()()()22111x x x x +--+ 【解析】原式.()()()()()()()23222321111111x x x x x x x x x =-+-=-+=+--+10.【参考参考参考答案】16；【解析】由题意当时,代数式等于0,解得.4x =16a =11.【参考参考参考答案】；()()a b a b -+ 【解析】.()()322322a a b ab b a a b b a b --+=---()()2a b a b =-+12.【参考参考参考答案】；；()()31kx k x +-+()()x m x m n --+ 【解析】；()()2(23)331kx k x k kx k x +-+-=+-+.()()()()22(2)x n m x m mn x m x m n x m x m n +-+-=---=--+⎡⎤⎣⎦三.解答题13.【解析】解： ()()22231213334x xy y x y x y y ++=+++ 由,解得0x y +=31x y +=12y =所以,原式.21301412⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭14.【解析】解：（1）原式；()()()()()()22261223a a a a a a a a =----=+-+-（2）原式；()()()()222244222xy y x x xy x y xy x y x y ⎡⎤=-++=+-=++-+⎣⎦（3）原式；()()()()()()2422222245949123231y x x y x x y x x x =--=-+=+-+（4）()()()4322222626232a a a a a a a a a +-=+-=-+.15.【解析】解：（1）原式=（a +b ）（a ﹣b ）+（a ﹣b ）=（a ﹣b ）（a +b +1）；（2）原式= x 2﹣6x +9-16=（x -3）2﹣16=（x -3+4）（x -3-4）=（x +1）（x ﹣7）；（3）原式= a 2+4ab ﹣5b 2= a 2+4ab +4b 2﹣9b 2= （a +2b ）2﹣9b 2=（a +2b ﹣3b ）（a +2b +3b ）=（a ﹣b ）（a +5b ）．知识改变命运。

十字相乘法解数学题原理及例题解析

楼主08-8-17 22:51Google提供的广告学英语，就这么轻松哈佛独创,不用看,不用记,只需听只需30天,让你说一口流利英语网址：十字相乘法解数学题原理及例题解析（一）原理介绍通过一个例题来说明原理。

某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。

求该班男生和女生的比例。

方法一：搞笑（也是高效）的方法。

男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分。

男生和女生的比例是1：1。

方法二：假设男生有A，女生有B。

（A*75+B85）/（A+B）=80整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。

方法三：男生：75 580女生：85 5男生：女生=1：1。

一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。

平均值为C。

求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。

假设A有X，B有（1-X）。

AX+B（1-X）=CX=（C-B）/（A-B）1-X=（A-C）/A-B因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C）上面的计算过程可以抽象为：A C-BCB A-C这就是所谓的十字相乘法。

十字相乘法使用时要注意几点：第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。

第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。

第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。

1．（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是A．2：5 B．1：3 C．1：4 D．1：52.（2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元，每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少A．2∶1 B．3∶2 C. 2∶3 D．1∶23．（2005年国考）某城市现在有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%。

第01讲因式分解之十字相乘法 (解析版)

第1讲因式分解之十字相乘法一、知识回顾1. 因式分解的概念【思考】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A ．x 2+2x +3＝（x +1）2+2B ．15x 2y ＝3x •5xyC ．2（x +y ）＝2x +2yD ．x 2+6x +9＝（x +3）2【分析】判断一个式子是否是因式分解的条件是：①等式的左边是一个多项式，②等式的右边是几个整式的积，③左、右两边相等，根据以上条件进行判断即可．【解答】解：A 、x 2+2x +3＝（x +1）2+2，等式的右边不是几个整式的积，所以不是因式分解，故此选项不符合题意；B 、15x 2y ＝3x •5xy ，等式的左边不是一个多项式，所以不是因式分解，故此选项不符合题意；C 、2（x +y ）＝2x +2y 是整式乘法，所以不是因式分解，故此选项不符合题意；D 、x 2+6x +9＝（x +3）2，是因式分解，故此选项符合题意；故选：D ．2. 运用提公因式法和公式法进行因式分解【思考】（1）﹣20a ﹣15ax （2）4x 2﹣16 （3） 9（x ﹣3y ）2﹣4 （4）x 3+2x 2y +xy 2【分析】（1）直接提取公因式﹣5a ，进而得出即可；（2）先提公因式4，然后使用平方差公式因式分解即可；（3）先将9（x ﹣3y ）2转化为[3（x ﹣3y ）]2，再利用平方差公式进行因式分解，最后再化简即可；（4）先提取公因式x ，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】（1）﹣20a ﹣15ax ＝﹣5a （4+3x ）；（2）4x 2﹣16＝4（x 2﹣4）＝4（x +2）（x ﹣2）；（3）9（x ﹣3y ）2﹣4＝[3（x ﹣3y ）]2﹣22＝[3（x ﹣3y ）+2][3（x ﹣3y ）﹣2]＝（3x ﹣9y +2）（3x ﹣9y ﹣2）；（4）x 3+2x 2y +xy 2＝x （x 2+2xy +y 2）＝x （x +y ）2．二、课堂学习q px x ++2型的二次三项式因式分解：（其中p a b =+，q ab =）例1.因式分解：（1）x 2﹣x ﹣6 （2）x 4﹣8x 2﹣9 （3）2x 2﹣6x +4【分析】（1）利用十字相乘法分解因式；（2）原式利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解即可；（3）先提取公因式2，在利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：（1）原式＝（x ﹣3）（x +2）；（2）原式＝（2a ）2﹣（a 2+1）2＝（2a +a 2+1）（2a ﹣a 2﹣1）＝﹣（a +1）2（a ﹣1）2；（3）2x 2﹣6x +4＝2（x 2﹣3x +2）＝2（x ﹣1）（x ﹣2）．变式训练1.因式分解：（1）m 2﹣13m +12 （2）（x 2+4x ）2﹣2（x 2+4x ）﹣15 （3）x 3﹣7x 2﹣30x【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；（2）把（x 2+4x ）看成一个整体，利用十字相乘法因式分解，注意分解要彻底；（3）先提取公因式x ，再用十字相乘法分解即可．【解答】（1）解：m 2﹣13m +12＝（m ﹣12）（m ﹣1）；（2）原式＝（x 2+4x ﹣5）（x 2+4x +3）＝（x +5）（x ﹣1）（x +3）（x +1）；（3）x 3﹣7x 2﹣30x ＝x （x 2﹣7x ﹣30）＝x （x +3）（x ﹣10）．二次三项式c bx ax ++2的分解：如果二次项系数a 分解成1a 、2a ，常数项c 分解成1c 、2c ；并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么二次三项式： ))(()(22112112212212c x a c x a c c x c a c a x a a c bx ax ++=+++=++借助于画十字交叉线排列如下：例2. 因式分解：2x 2﹣x ﹣6【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出即可．))((b x a x ++【解答】2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2）．变式训练2.因式分解：2x2﹣3x+1【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出即可．【解答】2x2﹣3x+1＝（x﹣1）（2x﹣1）．小结. 因式分解的一般步骤：一提二代三分组①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；②提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法；③对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法；④用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。

国家公务员行测：十字相乘法简介

公务员考试中的数学运算部分主要考察考生的算术式子的计算比较和数学应用题的分析运算能力。

考生必须具备熟练的数学运算技能和扎实的数学基础知识，掌握一定的数学思想和方法，才能达到准确、迅速求解的要求。

利用十字相乘法解公务员考试中的一些习题是很有效的。

下面我们简单介绍一下这种方法，并结合例题分析。

十字相乘法的具体原理如下：一个集合中的个体，可以有两个（或三个）不同的取值，一部分取值为A,另一部分的取值为B,平均值为C,求取值为A的个体与取值为B的个体的比例，假设A有X，B有（1-X）。

则 AX+B(1-X)=CX=(C-B)÷/(A-B) 1-X=(A-C)÷(A-B)因此X ：(1-X) = (C-B) ：（A-C）上面计算过程可抽象为 A C-BCB A-C这就是十字相乘法，使用时要注意：1、用来解决两者之间的比例关系问题，2、得出的比例关系是基数的比例关系，3、总均值放中间，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。

例：某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年的本科生有（）。

A 3920 B4410 C4900 D5490解析：方法一：按照我们常规的思维方法，大家都能想到的是方程法，这样我们设这所高校今年的本科生有x 人，则据题意可列如下方程：，解得x= 4900.我们看到题目的数字比较大，大家动笔计算起来很是复杂，这样虽然是算对了，但是会费很多的时间，这样在公务员考试有限的时间中，会给考生一些压力，并导致答不完题目。

下面我们用上面介绍的十字相乘法解答，大家可以对照一下。

方法二：7650÷（1+2%）=7500，即2005年毕业生一共有7500人。

十字相乘列表：本科生: -2% 8%2%研究生： 10% 4%因此本科生：研究生 = 8% ：4% = 2 ：17500×2/3=5000， 5000×0.98=4900利用方法二显然可以减少计算量，便于我们节省时间，并且准确地解答出此题。

【公务员必看技巧】数学运算见解

数学运算见解：一、牛吃草问题:核心公式:草场草量=(牛数-每天长草量)*天数例题：10牛可吃20天,15牛可吃10天,则25牛可吃多少天?解答：可用公式,设每天恰可供X头牛吃一天,25牛可吃N天，则(10-X)*20=(15-X)*10=(25-X)*N ，可得X=5,Y=5二、抽屉原理题例题1：一副扑克牌有黑桃、红桃、梅花和方块各13张，为保证至少有4张牌的花色相同，则至少应当抽出多少张牌？解析：通过仔细分析题目，我们发现题目的难点在“保证至少有4张牌的花色相同”上。

“至少有4张牌的花色相同”意味着黑桃、红桃、梅花或者方块四种花色当中的任意一种有4张或者4张以上；而“保证”意味着无论抽出的这些牌是什么，都起码有4张牌的花色一样。

那么，我们可以用极端法看看从最坏的角度会出现怎样的情况。

最差手气：假设我们第一张抽出的扑克牌是黑桃，然后又连续抽取了2张黑桃，此时我们心中暗想：如果接下来再抽中一张黑桃，那么有4张牌花色相同，满足条件。

但不幸的是，接下来抽中的是红桃，而且连续3张都是红桃，此时我们心中暗想：如果接下来再抽中一张黑桃或者红桃，那么有4张牌花色相同，满足条件。

可以想象，我们很不幸的抽到了梅花，而且同样又连续3张都是梅花。

此时我们心中暗想：如果接下来再抽中一张黑桃、红桃或者梅花，只要不是方块，那么就有4张牌花色相同，满足条件。

不用说，肯定很不幸的抽中了方块，而且又连续3张都是方块。

此时，我们手上已经具有黑红梅方各3张，那么接下来不管手气怎样，都必然抽中黑红梅方任意一种花色，使得有4张牌的花色相同，满足条件。

所以答案为3×4＋1＝13张。

例题2：有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一个袋子里，为了保证摸出的珠子有两颗颜色相同，应至少摸出几粒？（）A．3 B．4 C．5 D．6解析：利用和例题1同样的思路，可以很快得出答案为C。

：例题3：从一副完整的扑克牌中，至少抽出（）张牌，才能保证至少6张牌的花色相同？A．21 B．22 C．23 D．24解析：利用和例题1相同的方法，连续抽取了5张黑桃之后，开始连续的抽取红桃，然后是梅花和方块。

十字相乘练习题解方程

十字相乘练习题解方程解方程是数学中的重要内容之一，而十字相乘是一种常见的解多项式方程的方法。

本文将介绍十字相乘练习题的解法，并给出具体的实例进行说明。

一、原理介绍十字相乘（Cross Multiplication）是解二次方程或高次方程时常用的方法之一。

它通过对等式两边进行交叉相乘，从而得到一个新的等式，进而解得方程的根。

下面以一元二次方程为例进行说明：假设有一元二次方程 x^2 + 5x + 6 = 0，我们希望求出其根。

首先，将该方程因式分解为 (x + 2)(x + 3) = 0，可得到两个括号中的因式分别是(x + 2)和(x + 3)。

接下来，我们对方程两边进行十字相乘。

将(x + 2)(x + 3) = 0进行拆解，得到x * x + 2x + 3x + 2 * 3 = 0。

简化后可得 x^2 + 5x + 6 = 0，与原方程相同。

通过这种方法，我们可以将一元二次方程化简为一个易于求解的方程。

下面通过实例来具体讲解这个过程。

二、实例解析例1：解方程 x^2 - 7x + 10 = 0。

首先，我们需要根据方程的形式，将其分解为两个括号中的因式。

由于x的系数为1，通过观察可知，该方程可以分解为(x - 2)(x - 5) = 0。

接下来，我们进行十字相乘，即将(x - 2)(x - 5) = 0进行拆解。

通过交叉相乘可以得到x * x - 2x - 5x + 2 * 5 = 0。

简化后可得 x^2 - 7x + 10= 0，与原方程相同。

因此，方程 x^2 - 7x + 10 = 0的解为 x = 2或 x = 5。

例2：解方程 2x^2 - 11x + 12 = 0。

首先，我们观察方程，发现无法通过简单的因式分解来解得。

这时，我们可使用配方法来将方程转化为可解的形式。

以2x^2 - 11x + 12 = 0为例，我们需要找到两个数a和b，使得a * b = 2 * 12 = 24，同时a + b = -11。

「初中数学」详解十字相乘法分解因式原理、操作与技巧

十字相乘法分解因式对于九年级数学和高中数学的学习很有帮助，尤其是对一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式相关问题的处理，尤其灵活方便。

今天，专门对此进行分析。

多项式乘法公式
中学所学的乘法公式一般有：平方差公式、完全平方公式、立方和(差)公式，有的老师会补充上三项和的完全平方公式等。

公式一
公式二
公式三
公式四
上述的公式三、公式四还有一个好听的名字：十字相乘公式。

分解因式与乘法公式
从公式的双向性来看，乘法公式是把积的形式展开为多项式的和的形式，展开结果是唯一的；分解因式是通过乘法公式的逆用，把多项式的和的形式转化为积的形式，分解结果也是唯一的。

看下面的列竖式做多项式相乘的过程：
分解因式，就是要把这个过程倒回去。

为了实现这个过程，我们对上图的乘法过程进行分析，看下图：
上图三个箭头，标出了乘法结果与两个因式中各个项之间的关系。

根据这三组关系，我们进行分析：第一组和第二组关系，如果倒回去，各自分解的结果可能不唯一，但是要想同时满足第二组关系，第一组、第二组关系就必须是唯一的。

也就是说，在倒回去的过程中，我们从第一、二组关系入手，需要先分解二次项、常数项，但分解的结果可能有多种情况，我们需要在这些情况中找到满足第三组关系也能倒回去的情况，也就是正确的分解方法。

关键点：第二组关系也能倒回去，就是交叉相求和，结果等于一次项系数。

如下图：
举例：
由上述多项式竖式相乘可知，两个因式应该横向写。

如图：
右侧常数项不带负号的，补上一个加号，带负号的，直接当作因式中的运算符号即可。

所以：
你学会了吗？快关注雅林数学吧！。

十字相乘法例题解析

第2课时十字相乘法一、十字相乘法：1．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．二、例题讲解：例1.把下列各式因式分解：(1) 276x x -+(2) 21336x x ++解：(1) 6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--． (2)3649,4913=⨯+=21336(4)(9)x x x x ∴++=++说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．例2.把下列各式因式分解：(1) 2524x x +-(2) 2215x x --解：(1) 24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+ (2)15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-2215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．例3.把下列各式因式分解： (1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++分析：(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+- (2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-例4.把下列各式因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+3241-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-1 254y y -⨯说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．三、巩固练习：1．把下列各式分解因式：(1) 232x x -+ (2) 2627x x --(3) 24x - （4）2245m mn n --2．把下列各式分解因式：(1) 2273x x -+ (2) 2672x x -+(3)2273x x ++ (4)27()5()2a b a b +-+-(5)2282615x xy y +- (6) 222(2)7(2)12x x x x ---+。

一元二次方程的解法-十字相乘法

首先观察一元二次方程的形式，确定二次项系数和常数项系数。
根据二次项系数和常数项系数，将方程左侧转化为两个一次项的乘积。
求解一次项系数
求解未知数
通过交叉相乘的方法，求解出一次项系数。
将求得的一次项系数代入原方程，解出未知数。
注意事项
适用范围
十字相乘法适用于解形式为 $ax^2+bx+c=0$的一元二次方
概念
十字相乘法基于因式分解的思想，通过将一元二次方程转化为两个一元一次方程，进而求解未知数。
重要性及应用领域
重要性
十字相乘法是一元二次方程的重要解法之一，它能够直接求得方程的解，避免了复杂的计算和求解过程。
应用领域
十字相乘法广泛应用于数学、物理、工程等领域，尤其在解决实际问题中，如代数问题、几何问题、概率统计等，都经常需要使用到一元二次方程的解法，而十字相乘法是其中的一种常用方法。
一元二次方程的解法-十相乘法原理 • 实例解析 • 与其他解法的比较 • 练习与巩固 • 总结与展望
01 引言
定义与概念
定义
十字相乘法是一种解一元二次方程的数学方法，通过将方程左侧的二次项和常数项进行拆分，然后与右侧的一次项进行交叉相乘，得到两个一次方程，从而求解一元二次方程。
02 十字相乘法原理
原理概述
十字相乘法是一种解一元二次方程的简便方法，通过将方程左侧的二次项和常数项进行拆分，然后交叉相乘，得到两个一次项，从而找到方程的解。
该方法基于一元二次方程的因式分解，通过将方程左侧转化为两个一次项的乘积，简化了解的过程。
具体步骤
确定二次项系数和常数项系数
进行因式分解
与因式分解法的比较
适用范围

十字相乘法例题20道及解答思路

十字相乘法例题20道及解答思路20道例题1.x²-8x+15=0；2.6x²-5x-25=0；3.a2-7a+6=0；4.8x2+6x-35=0；5.18x2-21x+5=0；6.20-9y-20y2=0；7.2x2+3x+1=0；8.2y2+y-6=0；9.6x2-13x+6=0；10.3a2-7a-6=0；11.6x2-11x+3=0；12.4m2+8m+3=0；13.10x2-21x+2=0；14.8m2-22m+15=0；15.4n2+4n-15=0；16.6a2+a-35=0；17.5x2-8x-13=0；18.4x2+15x+9=0；19.15x2+x-2=0；20.6y2+19y+10=0。

解题思路首先将二次项系数分解写在十字线的左上角和左下角，然后将常数项分解写在十字线的右上角和右下角，再通过交叉相乘得到代数和使其等于线性项系数。

二次系数分解(只取正因子，因为负因子的结果和正因子的结果一样)。

因式分解方法1.提出一个公因子:如果多项式的每一项都有一个公因子，你可以提出来，把多项式变成两个因子的乘积。

2.应用公式法:由于因式分解和代数式乘法有倒数关系，如果把乘法公式反过来，就可以用来因式分解某些多项式。

比如和的平方，差的平方。

3.分组分解法：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a（m+n）+b（m+n），又可以提出公因式m+n，从而得到（a+b）（m+n）。

4.十字相乘法（经常使用）：对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为（ax+d）（bx+c）。

5.匹配法:对于那些不能用公式法的多项式，有的可以用它来匹配成完全平坦的方式，然后用平方差公式进行因式分解。

6.分解加法:多项式可以分成几部分，然后进行因式分解。

因式分解十字相乘法例题及解析

因式分解十字相乘法例题及解析算术中，十字相乘法是一种古老而又重要的乘法，它把复杂的乘法变成简单的因式分解乘法。

在这种乘法中，每一步都可以把乘积分解成两个小乘积。

通过把乘法看作分解，我们可以求出这样的乘积，而这些乘积的因式分解统称为十字相乘法。

一般来说，十字相乘法是指把乘积分解成两个因式的乘法，常见的叫法有：因式分解十字相乘法、十字相乘因式分解法等。

十字相乘法的求解方法比较简单，只要把乘积写成两个因式相乘，就可以把乘积写成因式分解式。

常见的例子有：例1：(x + y)(x - y) = x2 - y2由于x + y和x - y是两个因式，所以把它们相乘，可以得出乘积的因式分解式x2 - y2。

例2：(x + y)(y + z) = xy + xz + yz由于x + y和y + z是两个因式，所以把它们相乘，可以得出乘积的因式分解式xy + xz + yz。

由此可见，十字相乘法是一种简单、有效的乘法。

学习者要掌握它，就要先熟练地掌握所有乘法规律。

除了上述例子外，还有更多关于十字相乘法例题等。

下面分别以几道典型例题及其解析，来帮助大家熟悉十字相乘法的应用。

例题1：(x + 2y)(x - 4y) =解：按照十字相乘法的规则，把乘积写成两个因式相乘，即x + 2y和x - 4y，所以得出因式分解式：x2 - 2xy - 4xy + 8y2 = x2 -6xy + 8y2。

例题2：(2x + 3y)(3x - y) =解：按照十字相乘法的规则，把乘积写成两个因式相乘，即2x + 3y和3x - y，所以得出因式分解式：6x2 - y2 - 6xy + 3y2 = 6x2 - 3xy + y2。

例题3：(2a + 3b)(2b - 3a) =解：按照十字相乘法的规则，把乘积写成两个因式相乘，即2a + 3b和2b - 3a，所以得出因式分解式：4ab - 9a2 + 9b2 = 4ab - 9(a2 + b2)。

十字相乘法公式例题

十字相乘法公式例题1. 分解因式x^2+3x + 2- 解析：对于二次三项式ax^2+bx + c（这里a = 1，b=3，c = 2），用十字相乘法。

将x^2的系数1分解为1×1，常数项2分解为1×2，十字相乘1×2+1×1 = 3（正好等于一次项系数）。

- 所以x^2+3x + 2=(x + 1)(x+2)。

2. 分解因式x^2-5x+6- 解析：a = 1，b=-5，c = 6。

将x^2的系数1分解为1×1，常数项6分解为(-2)×(-3)，十字相乘1×(-3)+1×(-2)= - 5。

- 所以x^2-5x + 6=(x - 2)(x-3)。

3. 分解因式x^2+x - 6- 解析：a = 1，b = 1，c=-6。

把x^2的系数1分解为1×1，常数项-6分解为2×(-3)，十字相乘1×(-3)+1×2=-1。

- 所以x^2+x - 6=(x + 3)(x-2)。

4. 分解因式x^2-3x - 10- 解析：a = 1，b=-3，c=-10。

x^2的系数1分解为1×1，常数项-10分解为(-5)×2，十字相乘1×2+1×(-5)=-3。

- 所以x^2-3x - 10=(x - 5)(x + 2)。

5. 分解因式2x^2+5x+3- 解析：a = 2，b = 5，c = 3。

将2x^2的系数2分解为2×1，常数项3分解为3×1，十字相乘2×1+1×3 = 5。

- 所以2x^2+5x+3=(2x + 3)(x + 1)。

6. 分解因式3x^2-7x+2- 解析：a = 3，b=-7，c = 2。

把3x^2的系数3分解为3×1，常数项2分解为(-2)×(-1)，十字相乘3×(-1)+1×(-2)=-7。

高中化学十字相乘法原理及经典题目

高中化学的十字相乘法十字交叉法又称图解法，应用于二元混合体系所产生的具有平均意义的计算问题，表现出实用性强，能准确、简便、迅速求解的特点。

适用范围：“十字交叉法”适用于两组分混合物（或多组分混合物，但其中若干种有确定的物质的量比，因而可以看做两组分的混合物），求算混合物中关于组分的某个化学量（微粒数、质量、气体体积等）的比值或百分含量。

例1：实验测得乙烯与氧气的混合气体的密度是氢气的倍。

可知其中乙烯的质量分数为（）解析：要求混合气中乙烯的质量分数可通过十字交叉法先求出乙烯与氧气的物质的量之比（当然也可以求两组分的质量比，但较繁，不可取），再进一步求出质量分数。

这样，乙烯的质量分数是：ω（C 2H 4）=321283283⨯+⨯⨯×100％=% 答案：C 。

（解毕）二、十字交叉法的解法探讨：1.十字交叉法的依据：对一个二元混合体系，可建立一个特性方程： ax+b(1－x)=c(a 、b 、c 为常数，分别表示A 组分、B 组分和混合体系的某种平均化学量，如：单位为g/mol 的摩尔质量、单位为g/g 的质量分数等) ；x 为组分A 在混合体系中某化学量的百分数（下同）。

如欲求x/(1－x)之比值，可展开上述关系式，并整理得： ax －bx=c －b解之，得：ba c a xb a bc x --=---=1, 即：ca b c x x --=-1 2.十字交叉法的常见形式：为方便操作和应用，采用模仿数学因式分解中的十字交叉法，记为：3.解法关健和难点所在：十字交叉法应用于解题快速简捷，一旦教给了学生，学生往往爱用，但是也往往出错。

究其原因，无外乎乱用平均量（即上述a 、b 、c 不知何物）、交叉相减后其差值之比不知为何量之比。

关于上述a 、b 、c 这些化学平均量，在这里是指其量纲为（化学量1 ÷化学量2）的一些比值，如摩尔质量（g/mol ）、溶液中溶质的质量分数(溶质质量÷溶液质量)或关于物质组成、变化的其它化学量等等。

3_十字相乘法(含答案)

因式分解之“十字相乘法”【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解。

掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。

对于二次三项ax 2+bx+c （a 、b 、c 都是整数，且a ≠0）来说，如果存在四个整数a c a c 1122，，，满足a a a c c c 1212==，，并且a c a c b 1221+=，那么二次三项式ax 2+bx+c 即()a a x a c a c x c c 122122112+++ 可以分解为()()a x c a x c 1122++。

这里要确定四个常数a c a c 1122，，，，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。

【思考】10~20以内的平方数心算办法。

下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

【分类解析】1. 在方程、不等式中的应用例1. 已知：x 2－11x +24>0，求x 的取值范围。

分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。

例1解： ∵x 2－11x +24>0 ∴(x －3)(x －8)>0 分解为⎩⎨⎧<-<-⎩⎨⎧>->-08030803x x x x 或 ∴ x >8 或 x <3例2. 如果x 4－x 3+mx 2－2mx －2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m 的值，并把这个多项式分解因式。

分析：应当把x 4分成x 2·x 2，而对于常数项－2，可能分解成(－1)×2，或者分解成(－2)×1，由此分为两种情况进行讨论。

例2解：（1）待定系数法，设原式分解为(x 2+ax －1)(x 2+bx +2)，其中a 、b 为整数，去括号，得： x 4+(a +b )x 3+x 2+(2a －b )x －2将它与原式的各项系数进行对比，得： a +b =－1, m =1, 2a －b =－2m解得：a =－1，b =0，m =1 此时，原式=(x 2+2)(x 2－x －1)（2）设原式分解为(x 2+cx －2)(x 2+dx +1)，其中c 、d 为整数，去括号，得：x 4+(c +d )x 3－x 2+(c －2d )x －2将它与原式的各项系数进行对比，得： c +d =－1, m =－1, c －2d =－2m解得：c =0, d =－1, m =－1 此时，原式=(x 2－2)(x 2－x +1)2. 在几何学中的应用例3. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足x －y －x 2+2xy －y 2+2=0，求长方形的面积。

中考数学解题秘密武器：十字相乘法解析

中考数学解题秘密武器：十字相乘法解析“十字相乘法”尽管比较难学,然而学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时刻，而且运算量不大，不容易出错。

它在分解因式/解一元二次方程中有广泛的应用十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

例1 把m2+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12能够分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为1 -2 1 ╳ 6 因此m2+4m-12=(m-2)(m+6)例2 把5x2+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。

当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为1 2 5 ╳-4 因此5x2+6x-8=(x+2)(5x-4)家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情形及时传递给家长，要求小孩回家向家长朗诵儿歌，表演故事。

我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高专门快。

例3 解方程x2-8x+15=0分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。

解：因为1 -3 1 ╳-5 因此原方程可变形(x-3)(x-5)=0 因此x1=3 x2=5课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。

什么缘故?依旧没有完全“记死”的缘故。

要解决那个问题,方法专门简单,每天花3-5分钟左右的时刻记一条成语、一则名言警句即可。

一元二次方程十字相乘法例题过程

一、引言一元二次方程是数学中常见的类型之一，解一元二次方程的方法有很多种，其中十字相乘法是一种常用的解题方法。

这种方法简单直观，适合初学者掌握。

下面我们将通过一些例题来演示一元二次方程十字相乘法的解题过程。

二、十字相乘法概述十字相乘法是解一元二次方程的一种常用方法，它的基本思想是将一元二次方程化简为两个一次方程的乘积，然后通过求解这两个一次方程来得到一元二次方程的解。

使用十字相乘法的关键是要找到适当的两个一次方程使其乘积等于一元二次方程。

下面我们将通过例题来详细演示十字相乘法的具体操作过程。

三、例题一题目：解一元二次方程x^2 + 5x + 6 = 0解答：1. 首先写出一元二次方程的标准形式：x^2 + 5x + 6 = 02. 找到适当的两个一次方程使其乘积等于一元二次方程：x^2 + 3x + 2x + 6 = 03. 将一元二次方程的中间项拆分为两个一次方程的和：x(x + 3) +2(x + 3) = 04. 将上式进行分组：(x + 3)(x + 2) = 05. 通过分解得到的两个一次方程求解得到：x + 3 = 0 或 x + 2 = 06. 得到方程的解：x = -3 或 x = -2四、例题二题目：解一元二次方程x^2 - 9x + 20 = 0解答：1. 首先写出一元二次方程的标准形式：x^2 - 9x + 20 = 02. 找到适当的两个一次方程使其乘积等于一元二次方程：x^2 - 4x - 5x + 20 = 03. 将一元二次方程的中间项拆分为两个一次方程的和：x(x - 4) - 5(x - 4) = 04. 将上式进行分组：(x - 4)(x - 5) = 05. 通过分解得到的两个一次方程求解得到：x - 4 = 0 或 x - 5 = 06. 得到方程的解：x = 4 或 x = 5五、例题三题目：解一元二次方程2x^2 + 7x - 15 = 0解答：1. 首先写出一元二次方程的标准形式：2x^2 + 7x - 15 = 02. 找到适当的两个一次方程使其乘积等于一元二次方程：2x^2 + 10x - 3x - 15 = 03. 将一元二次方程的中间项拆分为两个一次方程的和：2x(x + 5) - 3(x + 5) = 04. 将上式进行分组：(2x - 3)(x + 5) = 05. 通过分解得到的两个一次方程求解得到：2x - 3 = 0 或 x + 5 = 06. 得到方程的解：x = 3/2 或 x = -5六、总结通过以上例题的演示，我们可以清晰地了解到一元二次方程十字相乘法的解题过程。

十字相乘法例题及答案

十字相乘法例题及答案1，什么是十字相乘法：十字相乘法是因式分解中十四种方法之一，另外十三种分别都是：1.提公因式法、2.公式法、3.双十字相乘法、4.轮换对称法、5.拆添项法、6.配方法7.因式定理法、8.换元法、9.综合除法、10.主元法、11.特殊值法、12.待定系数法、13.二次多项式。

2，十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解。

,3，因式分解解释把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）。

它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

4，用十字相乘法分解因式：(1)2x2－5x－12；(2)3x2－5x－2；(3)6x2－13x+5；(4)7x2－19x－6；(5)12x2－13x+3；(6)4x2+24x+27.5，把下列各式分解因式：(1)6x2－13xy+6y2；(2)8x2y2+6xy－35；(3)18x2－21xy+5y2；(4)2(a+b)2+(a+b)(a－b)－6(a－b)2. 答案：1.(1)(x－4)(2x+3)；(2)(x－2)(3x+1)；(3)(2x－1)(3x－5)；(4)(x－3)(7x+2)；(5)(3x－1)(4x－3)；(6)(2x+3)(2x+9).2.(1)(2x－3y)(3x－2y)；(2)(2xy+5)(4xy－7)；(3)(3x－y)(6x－5y)；(4)(3a－b)(5b－a).。

数学8上14.3“十字相乘法”全解——学会它计算省时又省力

数学8上14.3“十字相乘法”全解——学会它计算省时又省力
“十字相乘法”确实比较难，学会它用来分解因式特别是解一元二次方程就非常简单。

节约时间，运算量不大，不易出错。

所以作为初中生很有必要掌握“十字相乘法”的分解因式方法。

下面我将由易到难的一步步介绍十字相乘法的应用过程。

第一节：“十字相乘法”的基本方法和初中阶段的简单应用模式。

十字相乘法分解因式
第二节：用“十字相乘法”来解一元二次方程。

十字相乘法解方程
第三节：十字相乘法分解复杂的二次三项式。

分解复杂二次三项式
第四节：分解更加复杂的二次三项式。

分解更加复杂二次三项式
第五节：分解两个字母的二次三项式。

分解两个字母的二次三项式
第六节：自测题。

自测题。

相乘法十字相乘法

相乘法十字相乘法摘要：1.十字相乘法的定义和原理2.十字相乘法的计算步骤和实例演示3.十字相乘法在数学中的应用和优势4.十字相乘法与其他乘法方法的比较5.如何在日常生活中运用十字相乘法正文：十字相乘法是一种简单且实用的乘法方法，它可以帮助我们快速进行两位数与两位数的乘法计算。

这种方法的应用范围广泛，从数学课堂到日常生活都有涉及。

下面我们将详细介绍十字相乘法的定义、计算步骤、应用实例以及与其他乘法方法的比较。

1.十字相乘法的定义和原理十字相乘法是指将两个两位数分别写在一个矩形的四个角上，然后通过横向和纵向的乘法计算，得出这两个两位数的乘积。

这个方法的原理在于利用了乘法的交换律和结合律，将乘法运算拆分成四个较小的乘法运算，从而简化计算过程。

2.十字相乘法的计算步骤和实例演示以两个两位数12和15为例，使用十字相乘法进行计算：1.将12和15分别写在矩形的四个角上，形成一个十字形。

2.分别计算横向和纵向的乘积：- 12 × 5 = 60（写在矩形下方）- 12 × 1 = 12（写在矩形左边）- 1 × 15 = 15（写在矩形上方）- 1 × 6 = 6（写在矩形右边）3.将这四个乘积相加，得到最终结果：60 + 12 + 15 + 6 = 93。

因此，12 × 15 = 93。

3.十字相乘法在数学中的应用和优势十字相乘法不仅在简单的乘法计算中具有优势，还可以应用于更复杂的数学题目，如因式分解、解方程等。

它的优势在于将乘法运算拆分成更小的部分，使得计算过程更简洁、易懂。

4.十字相乘法与其他乘法方法的比较与其他乘法方法相比，十字相乘法具有以下优势：- 易于理解：通过图形化的方式进行乘法计算，更加直观易懂。

- 计算速度快：相较于列竖式计算，十字相乘法减少了乘数的抄写次数，提高了计算速度。

- 适用范围广：不仅适用于简单的两位数乘法，还可以应用于更复杂的数学题目。

因式分解十字相乘法

因式分解十字相乘法十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

十字分解法能把一些二次三项式分解因式。

对于形如ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a₁,a₂的积a₁·a₂，把常数项c分解成两个因数c₁,c₂的积c₁·c₂，并使a₁c₂+a₂c₁正好等于一次项的系数b，那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。

在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。

当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q)。

不仅仅局限于课堂45分钟课下积极的练习反思，总结也是至关重要你可能曾经懊恼自己当初在课堂上没有好好听课那么请收起你的沮丧就现在，开始学每天进步一点点相信你能做到致迷途知反的你们定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式.解析：十字相乘法的精髓，在于分解常数项。

对于初学者来说，可以根据常数项的具体数值，尝试着分解成两个因数相乘的形式，并且使这两个因式的值相加等于一次项系数。

上面的例题，很好的说明了十字相乘法因式分解的具体应用。

例题二：例题三：例题四例题五：练一练一、前言在北师版数学教材上，并没有十字相乘法这一章，在中考中十字相乘法也不作为考点考察。

但是，在初中阶段，一些一元二次方程的题目使用十字相乘法可以更快的解出答案；在高中阶段，十字相乘法可以说是随时可能用到；更重要的是，十字相乘法可以很好的培养数感。

因此，熟练掌握十字相乘法是非常必要的二、知己知彼想要熟练的掌握十字相乘法，就一定要了解它的原理，我们先看这样几个式子：观察这几个式子，相信大家能很快的说出下面这个式子的结果为了更加清晰的说明十字相乘的原理：我们做如下的说眀：小学我们都学过竖式乘法其实刚才列举的式子也可以用竖式进行计算从所列竖式中，我们不难发现，2×3=6,2+3=5（2x+3x=5x）搞清楚了这个原理，十字相乘法就很容易了，其实就是把上面的过程反过来，下面以一道题目为例进行具体的说明例1：因式分解我们心里清楚，最后的结果一定是下面这种形式问题的关键就是求出a和b而通过刚才的例子，我们知道14=ab，9=a+b，那么我们该从哪里入手呢？这里做两个说明：（1）分解的结果中a、b都是整数（不会出分数、无理数什么的）（2）要分解14，而不是去拆解9、因式分解题目结果中的系数，都是整数，那么14的分解情况就很少了，而和为9的情况太多了，由此可见去分解14是最简单的做法于是，我们得到了分解这类二次三项式的方法：先把常数14分解成两个因数的积（整数），再看一看这两个因数的和是不是等于一次项的系数。

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