高中数学高考知识点名师讲义(25)--数列的求和

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数列求和知识点总结高中

数列求和知识点总结高中一、数列的概念和类型首先，我们需要了解数列的概念和类型。

数列是由一列有限或无限项按照一定的规律排列组成的序列，通常用 {an} 表示，其中 an 表示数列中的第n项。

根据数列的性质和规律，可以将数列分为等差数列、等比数列、等差数列和等比数列等不同类型。

等差数列：若数列 {an} 满足 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 是首项，d 是公差，则称 {an} 为等差数列。

等比数列：若数列 {an} 满足 an = a1 * q^(n-1)，其中 a1 是首项，q 是公比，则称 {an} 为等比数列。

二、数列求和的基本方法在数列求和的过程中，我们需要掌握一些基本的方法和技巧，这些方法和技巧可以帮助我们更快更准确地求解数列的和。

下面是一些常用的数列求和方法：1. 等差数列求和公式对于等差数列 {an}，它的前 n 项和 Sn 可以用以下公式表示：Sn = n/2 * (a1 + an)其中，n 表示项数，a1 表示首项，an 表示末项。

这个公式是通过将数列反复相加得到的，可以快速求解等差数列的和。

2. 等比数列求和公式同样地，对于等比数列 {an}，它的前 n 项和 Sn 可以用以下公式表示：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，n 表示项数，a1 表示首项，q 表示公比。

这个公式也是通过数列的递推关系得到的，可以快速求解等比数列的和。

3. 折半相加法对于一些特殊的数列，我们可以通过折半相加的方法来求解其和。

这种方法可以将数列分解为两部分，然后将这两部分相加，得到整个数列的和。

这种方法在解决一些复杂的数列求和问题时非常有用。

4. 公式推导法对于某些数列求和问题，可以通过对数列的递推关系进行推导，得到求和公式。

这种方法需要对数列的规律进行深入分析，然后利用数学推导的方法得到求和公式，能够快速求解数列的和。

三、应用题解析数列求和是数学建模和应用题中不可或缺的一部分，下面我们通过一些具体的例题来解析数列求和的应用。

数列求和高考知识点汇总

数列求和高考知识点汇总数列求和是高等数学中的一个重要概念，也是高考数学考试中经常出现的考点之一。

通过对数列求和问题的学习和掌握，有助于提高学生的数学思维能力和解题能力。

本文将从数列的定义、求和公式和常见类型等方面对数列求和的相关知识进行汇总介绍。

一、数列的定义数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的，其中每个数称为数列的项。

数列的项通常用通项公式来表示。

常见的数列有等差数列和等比数列两种。

等差数列中，相邻两项之间的差是常数，而等比数列中，相邻两项之间的比是常数。

二、数列求和的基本方法数列求和的基本方法有两种，分别是递推法和通项求和法。

1. 递推法：根据数列的定义，通过递推公式来计算数列的前n项和。

递推法要求我们能够准确找到数列中的递推关系，从而通过计算出前n项的和得到数列的和。

2. 通项求和法：对于有明确通项公式的数列，我们可以通过将公式中的项代入并化简，最终求解出数列的和。

通项求和法适用于能够找到数列通项公式的情况，这样可以直接进行计算，简化求和的过程。

三、等差数列求和等差数列求和是高考中较为基础和常见的考点之一。

对于等差数列，它的前n项和可以通过以下公式来计算：Sn = (a1 + an) × n / 2其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1表示等差数列的首项，an表示等差数列的末项，n表示等差数列的项数。

四、等比数列求和等比数列求和也是高考数学中的重要知识点。

对于等比数列，它的前n项和可以通过以下公式来计算：Sn = a1 × (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn表示等比数列的前n项和，a1表示等比数列的首项，q表示等比数列的公比，n表示等比数列的项数。

五、常用数列求和公式除了等差数列和等比数列的求和公式之外，还有一些常用的数列求和公式需要掌握：1. 等差数列求和公式的推广：Sn = (a1 + an) × n / 2= (a1 + a1 + d + a1 + 2d + ... + an) × n / 2= (n × a1 + n × (n - 1) × d) / 22. 平方数列求和：1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n × (n + 1) × (2n + 1) / 63. 立方数列求和：1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n × (n + 1) / 2)^2六、综合应用数列求和作为高等数学中的一个重要概念，能够应用到许多实际问题中。

数列求和课件-2025届高三数学一轮复习

（2）设 =
,数列{ }的前项和为 ,若 = ,求的值.
+

【解】由（1）知， =
=
=
−
,
+
− +
−
+

所以 = − + − + ⋯ +
−

−
+

= −
=
.

+

×[− ]

−

−×
错位相减法求和的注意事项
（1）掌握解题的“3个步骤”
（2）注意解题的“3个关键”
①要善于识别题目类型,特别是等比数列的公比为负数的情形.
②在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一
步准确写出“ − ”的表达式.
③在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比 = 和
− = − = .故
2.在数列{ }中， =
2 023
_______.
解析：由题意得 =
所以 =
= .

−

+ −

+

，若数列{ }的前项和为
，则

= −
，
+

+

+ ⋯+ −
=
或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减.

2024届高考数学专题复习-数列求和课件

解
析
：
∵an
＝
1 4n2－1
＝
1 2
2n1－1－2n1＋1
，
∴
Sn
＝
1 2
[
11－13
＋
13－15
＋
…
＋
2n1－1－2n1＋1]＝121－2n1＋1＝2nn＋1.
答案：2nn＋1
分组转化法求和
[例 1] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2 n，n∈N *. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前 2n 项和． [解] (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝1；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2 n－（n－1）2＋2 （n－1）＝n. 又 a1＝1 也满足 an＝n，故数列{an}的通项公式为 an＝n.
(2021·全国乙卷)设{an}是首项为 1 的等比数列，数列{bn}满足 bn＝n3an.已知 a1，3a2，9a3 成等差数列． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记 Sn 和 Tn 分别为{an}和{bn}的前 n 项和．证明：Tn＜S2n. 解：(1)设{an}的公比为 q，则 an＝qn－1. 因为 a1，3a2，9a3 成等差数列，所以 1＋9q2＝2×3q，解得 q＝13，故 an＝3n1－1，bn＝3nn.
[逐点清]
1．(必修 5 第 61 页 A 组 4 题改编)数列{1＋2n－1}的前 n 项和为
A．1＋2n
B．2＋2n
C．n＋2n－1
D．n＋2＋2n
解析：由题意得 an＝1＋2n－1，所以 Sn＝n＋11－－22n＝n＋2n－1.
答案：C
()
2．(易错题)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 an＝n·2n，则 Sn＝________．

高中数学教案：数列的递推公式与数列求和

高中数学教案：数列的递推公式与数列求和一、数列的定义与性质数列作为高中数学中的重要概念之一，是一种按照一定规律排列的数的序列。

它能够帮助我们更好地研究数的规律性，以及在各种实际问题中的应用。

本文将重点讨论数列的递推公式与数列求和的相关知识。

1.1 数列的定义数列是指按照一定顺序排列的一组数的集合。

数列通常用{a₁，a₂，a₃，...，aₙ}表示，其中的每一项aₙ都是数列中的元素，下标n表示这是数列中的第n个元素。

1.2 数列的性质数列除了有一定的递增或递减规律外，还具有以下性质：1）有界性：数列中的元素存在上界和下界，即数列的元素都在某个范围内。

2）单调性：数列可以是递增的（数列中的每一项都大于前一项），也可以是递减的（数列中的每一项都小于前一项），还可以是常数列（数列中的每一项都相等）。

3）有限性：数列可以是有限数列（数列中的元素个数是有限的），也可以是无限数列（数列中的元素个数是无限的）。

二、数列的递推公式数列的递推公式是指通过数列中某一项与前几项的关系来表示后一项的公式。

在实际问题中，通过找出数列元素之间的规律，我们可以用递推公式来进行数列的计算与推理。

2.1 递推关系数列的递推关系是指数列中后一项与前几项之间的关系。

对于数列{a₁，a₂，a₃，...，aₙ}，如果存在一个递推公式aₙ=f(a₁，a₂，a₃，...，aₙ₋₁)来表示数列中的每一项，其中f是一个函数，则称这个递推公式为数列的递推关系。

2.2 递归与迭代在数列的递推公式中，有两种主要的解题方法：递归和迭代。

2.2.1 递归递归是指通过已知数列中的前几项来推导下一项的值，直到得到所需要的项。

递归可以分为直接递推法和间接递推法两种。

直接递推法是指通过已知数列中的前两项来推导下一项的值，例如斐波那契数列{1，1，2，3，5，...}就是通过aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂来进行递推的。

间接递推法是指通过已知数列中的前几项来推导下一项的值，例如{2，5，12，29，...}中的每一项都是前一项的平方与前一项的负数之和。

高中总结数列求和知识点

高中总结数列求和知识点一、数列求和的基本概念数列是按照一定规律排列的一系列数的集合，通常用数学形式表示为{a1, a2, a3, ... , an}，其中ai表示数列的第i项。

数列求和即是对数列中的所有项进行加和运算，得到一个数值作为结果。

在数学中，数列求和是一个非常基础但又非常重要的问题，其应用涉及到数学、物理、经济等多个领域。

在高中数学中，学习数列求和不仅有助于深化对数学基础概念的理解，还有助于加深对递推数列、等差数列、等比数列等的认识。

二、求和公式的推导为了方便计算各种不同类型数列的求和问题，人们发展出了一系列数列的求和公式。

下面我们将以常见的等差数列和等比数列为例，介绍求和公式的推导过程。

1. 等差数列的求和公式假设有一个等差数列{a, a+d, a+2d, a+3d, ... , a+(n-1)d}，其中a为首项，d为公差，n为项数。

根据等差数列的性质，我们可以将这个数列反向排列，得到{a+(n-1)d, a+(n-2)d, ... ,a+3d, a+2d, a+d, a}。

将这两个数列逐项相加，得到2S = (2a + (n-1)d) + (2a + (n-1)d) + ... + (2a + (n-1)d) = n(2a + (n-1)d)。

因此，等差数列的求和公式为S = n/2 * (2a + (n-1)d)。

2. 等比数列的求和公式假设有一个等比数列{a, ar, ar², ar³, ... , ar^(n-1)}，其中a为首项，r为公比，n为项数。

我们可以将这个数列乘以公比r，得到{ar, ar², ar³, ... , ar^n}。

然后两个数列逐项相减，得到Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)。

因此，等比数列的求和公式为Sn = a(1 - rⁿ) / (1 - r)。

通过上述示例，我们可以看到，求和公式的推导过程本质上是基于数列本身的性质，通过找到数列之间的关系，进而得到求和公式。

高考数学复习专题-数列求和

知识讲解
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1.基本数列的求和方法
(Ⅰ)等差等比数列的求和公式
2.非基本数列的求和方法
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例题讲解
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应用练习
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例题讲解
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思考具有什么特点的数列适合用错位相减法求和?
解题心得1.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn} 的前n项和时,可采用错位相减法求和,解题思路是:和式两边先同乘等比数列{bn} 的公比,再作差求解.
2.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
应用练习
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对点训练2
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例题讲解
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应用练习
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对点训练2
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对点训练3
例题讲解
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应用练习
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原题证明
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Hale Waihona Puke 课堂总结-37--38-
数列求和
确认预判
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课堂目标
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1.理解数列的前n项和； 2.掌握基本数列的求和方法，使用已知求和公式求和的方法, 即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法； 3.掌握非基本数列求和常用方法，如：倒序相加法、分组求和法、裂项相消法以及错位相减法;

(完整)高考数学二轮复习名师知识点总结：数列求和及数列的综合应用,推荐文档

1 1 1 1 1数列求和及数列的综合应用【高考考情解读】高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题.2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题．1. 数列求和的方法技巧(1) 分组转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．(2) 错位相减法这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前 n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列．(3) 倒序相加法这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4) 裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或 n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，anan ＋1anan ＋1 d (a n － )适用于求通项为常见的拆项公式： 1 1 1①n (n ＋1)＝n －n ＋1；1 1 1 1的数列的前 n 项和，其中{a n }若为等差数列，则＝ an ＋1 .②n (n ＋k )＝k (n －n ＋k )；1 1 1 1③(2n －1)(2n ＋1)＝2(2n －1－2n ＋1)；1 1④ n ＋ n ＋k ＝k ( n ＋k － n )． 2. 数列应用题的模型(1) 等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2) 等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3) 混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型．(4) 生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型．如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．(5) 递推模型：如果容易找到该数列任意一项 a n 与它的前一项 a n －1(或前 n 项)间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识来解决问题.π1 π考点一分组转化求和法例 1 等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a 1，a 2，a 3 中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前 n 项和 S n .解 (1)当 a 1＝3 时，不合题意；当 a 1＝2 时，当且仅当 a 2＝6，a 3＝18 时，符合题意；当 a 1＝10 时，不合题意．因此 a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18.所以公比 q ＝3. 故 a n ＝2·3n －1 (n ∈N *)． (2)因为 b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3] ＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，所以 S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln 3. 1－3n n n当 n 为偶数时，S n ＝2× 1－3 ＋2ln 3＝3n ＋2ln 3－1；1－3n n －1 n －1(－n)当 n 为奇数时，S n ＝2× 1－3 －(ln 2－ln 3)＋ 2 ln 3＝3n － 2 ln 3－ln 2－1.综上所述，S n ＝Error!在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数 n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．(2013·安徽)设数列{a n }满足 a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意 n ∈N *，函数 f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足 f ′(2)＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(an ＋)(2)若 b n ＝2 2an ，求数列{b n }的前 n 项和 S n .解 (1)由题设可得 f ′(x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x ，又 f ′(2)＝0，则 a n ＋a n ＋2－2a n ＋1＝0，即 2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，因此数列{a n }为等差数列，设等差数列{a n }的公差为 d ，由已知条件Error!，解得 Error!a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1.( 1 ) 1n＋1＋(2)b n＝2 2n＋1 ＝2(n＋1)＋2n，1 1S n＝b1＋b2＋…＋b n＝(n＋3)n＋1－2n＝n2＋3n＋1－2n.考点二错位相减求和法例2 (2013·山东)设等差数列{a n}的前n 项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式；b1 b2 bn 1(2)若数列{b n}满足a1＋a2＋…＋an＝1－2n，n∈N*，求{b n}的前n 项和T n.解(1)设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由Error!得a1＝1，d＝2，所以a n＝2n－1(n∈N*)．b1 b2 bn 1(2)由已知a1＋a2＋…＋an＝1－2n，n∈N*，①b1 b2 bn－1 1当n≥2 时，a1＋a2＋…＋an－1＝1－2n－1，②bn 1 b1 1①－②得：an＝2n，又当n＝1 时，a1＝2也符合上式，bn 1 2n－1所以an＝2n(n∈N*)，所以b n＝2n (n∈N*)．1 3 5 2n－1所以T n＝b1＋b2＋b3＋…＋b n＝2＋22＋23＋…＋2n .1 1 3 2n－3 2n－12T n＝22＋23＋…＋2n ＋2n＋1.1 1 (2 2 2 )2n－13 1 2n－1 2n＋3＋＋…＋两式相减得：2T n＝2＋22 23 2n －2n＋1＝2－2n－1－2n＋1. 所以T＝3－2n .n错位相减法求数列的前n 项和是一类重要方法．在应用这种方法时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题．设数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＝3·22n－1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝na n，求数列{b n}的前n 项和S n.解(1) 由已知，得当n≥1 时，a n＋1＝[(a n＋1－a n)＋(a n－a n－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1. 而a1＝2，符合上式，所以数列{a n}的通项公式为a n＝22n－1.(2)由b n＝na n＝n·22n－1 知S n＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1. ①f (x )＋－－ (f (x )从而 22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.②①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1， 1即 S n ＝9[(3n －1)22n ＋1＋2]．考点三裂项相消求和法例 3 (2013·广东)设各项均为正数的数列{a n }的前 n 项和为 S n ，满足 4S n ＝a n ＋2 1－4n －1，n ∈N *, 且 a 2，a 5，a 14 构成等比数列．(1) 证明：a 2＝ 4a 1＋5； (2) 求数列{a n }的通项公式；1111(3) 证明：对一切正整数 n ，有a 1a 2＋a 2a 3＋…＋anan ＋1<2.(1)证明当 n ＝1 时，4a 1＝a 2－5，a 2＝4a 1＋5，又 a n >0，∴a 2＝ (2) 解当 n ≥2 时，4S n －1＝a n －4(n －1)－1，4a 1＋5.∴4a n ＝4S n －4S n －1＝a n ＋2 1－a 2－4，即 a n ＋2 1＝a n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2，又 a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2， ∴当 n ≥2 时，{a n }是公差为 2 的等差数列．又 a 2，a 5，a 14 成等比数列．∴a 2＝a 2·a 14，即(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得 a 2＝3.由(1)知 a 1＝1.又 a 2－a 1＝3－1＝2，∴数列{a n }是首项 a 1＝1，公差 d ＝2 的等差数列．∴a n ＝2n －1. 1 1 1 1 1 11 (3)证明 a 1a 2＋a 2a 3＋…＋anan ＋1＝1 × 3＋3 × 5＋5 × 7＋…＋(2n －1)(2n ＋1) 1[( 1) (1 1) 1 1)] 1(1 )1 ＝23 3 5 2n －1 2n ＋1 ＝2 2n ＋1 <2. 数列求和的方法：(1)一般地，数列求和应从通项入手，若无通项，就先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备适用某种特殊方法的形式，从而选择合适的方法求和得解．(2)已知数列前 n 项和 S n 或者前 n 项和 S n 与通项公式 a n 的关系式，求通项通常利用 a n ＝Error!.已知数列递推式求通项，主要掌握“先猜后证法”“化归法”“累加(乘)法”等．(2013·西安模拟)已知x ， 2 ， 3(x ≥0)成等差数列．又数列{a n }(a n >0)中，a 1＝3，此数列的前 n 项和为 S n ，对于所有大于 1 的正整数 n 都有 S n ＝f (S n －1)．(1) 求数列{a n }的第 n ＋1 项；1 1(2) 若 bn 是an ＋1，an 的等比中项，且 T n 为{b n }的前 n 项和，求 T n .解 (1)因为 x ， 2 ， 3(x ≥0)成等差数列，所以 2× 2 ＝ x ＋ 3，整理，得 f (x )＝( x ＋ 3)2.因为 S n ＝f (S n －1)(n ≥2)，所以 S n ＝( Sn －1＋ 3)2，f (x )1－＋…＋ 1－()1 1 1 1 (3 3 3n( )( ) －－＋ )] 18 ＋ 18n ＋9 1 3因为 a 1＝3，所以 S 1＝a 1＝3，所以 Sn ＝ S 1＋(n －1) 3＝ 3＋ 3n － 3＝ 3n . 所以 S n ＝3n 2(n ∈N *)．所以 a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3(n ＋1)2－3n 2＝6n ＋3. 1 1 1 1(2)因为 bn 是an ＋1与an 的等比中项，所以( bn )2＝an ＋1·an ， 1111 1 － 1 所以 b n ＝an ＋1·an ＝3(2n ＋1) × 3(2n －1)＝18× 2n －1 2n ＋1 ， [(1－ )＋( ) (－ 1 1 (1－ 1 )n T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝考点四数列的实际应用3 3 5 2n 1 2n 1 ＝ 2n 1 ＝ .例 4 (2012·湖南)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金 2 000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 a n 万元．(1) 用 d 表示 a 1，a 2，并写出 a n ＋1 与 a n 的关系式；(2) 若公司希望经过 m (m ≥3)年使企业的剩余资金为 4 000 万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示)．(1) 由第 n 年和第(n ＋1)年的资金变化情况得出 a n 与 a n ＋1 的递推关系；(2) 由 a n ＋1 与 a n 之间的关系，可求通项公式，问题便可求解．3 5解 (1)由题意得 a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝2a 1－d ＝4 500－2d . 3a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝2a n －d .3 3 3) ( ) (3)[ ( )( ) ]2 (2)由(1)得 a ＝ an －2－d －d ＝2 2 －d ＝ 22a 2 2 n －1 1＋＋－ d －d ＝…＝ a －d 2 2 2＋…＋ 2 n －2 . n a n －1 n －2 13 3 3整理得 a ＝(2)n －1(3 000－d )－2d[(2)n －1－1]＝(2)n －1(3 000－3d )＋2d .3由题意，知 a m ＝4 000，即 2 m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000， 3[(2)m －2] × 1 000 3 m －1 1 000(3m －2m ＋1)解得 d ＝ 2 ＝ 3m －2m .1 000(3m －2m ＋1)故该企业每年上缴资金 d 的值为3m －2m时，经过 m (m ≥3)年企业的剩余资金为 4 000 万元．用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关所以 Sn ＝ Sn －1＋ 3，即 Sn － Sn －1＝ 3，所以{ Sn }是以 3为公差的等差数列．18＋…＋ 3系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．某产品在不做广告宣传且每千克获利 a 元的前提下，可卖出 b 千克．若做广告宣传，广告费为b n (n ∈N *)千元时比广告费为(n －1)千元时多卖出2n 千克．(1) 当广告费分别为 1 千元和 2 千元时，用 b 表示销售量 S ； (2) 试写出销售量 S 与 n 的函数关系式；(3) 当 a ＝50，b ＝200 时，要使厂家获利最大，销售量 S 和广告费 n 分别应为多少？b 3b b b 7b解 (1)当广告费为 1 千元时，销售量 S ＝b ＋2＝ 2 .当广告费为 2 千元时，销售量 S ＝b ＋2＋22＝ 4 . b(2)设 S n (n ∈N )表示广告费为 n 千元时的销售量，由题意得 S 1－S 0＝2，bS 2－S 1＝22， …… bS n －S n －1＝2n .b b b b以上 n 个等式相加得，S n －S 0＝2＋22＋23＋…＋2n ，1b [1－( )n ＋1]2b b b b 1 1即 S ＝S n ＝b ＋2＋22＋23＋…＋2n ＝ 1－2 ＝b (2－2n )．1 10(3)当 a ＝50，b ＝200 时，设获利为 T n ，则有 T n ＝Sa －1 000n ＝10 000×(2－2n )－1 000n ＝1 000×(20－2n －n )，1010105设 b n ＝20－2n －n ，则 b n ＋1－b n ＝20－2n ＋1－n －1－20＋2n ＋n ＝2n －1，当 n ≤2 时，b n ＋1－b n >0；当 n ≥3 时，b n ＋1－b n <0.所以当 n ＝3 时，b n 取得最大值，即 T n 取得最大值，此时 S ＝375，即该厂家获利最大时，销售量和广告费分别为 375 千克和 3 千元．1. 数列综合问题一般先求数列的通项公式，这是做好该类题的关键．若是等差数列或等比数列，则直接运用公式求解，否则常用下列方法求解：(1) a n ＝Error!.(2) 递推关系形如 a n ＋1－a n ＝f (n )，常用累加法求通项．an＋1(3)递推关系形如an ＝f(n)，常用累乘法求通项．(4)递推关系形如“a n＋1＝pa n＋q(p、q 是常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n＋1＋λ＝p(a n＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n＋λ}是一个等比数列．(5)递推关系形如“a n＋1＝pa n＋q n(q，p 为常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型(4)，或同除以p n＋1 转为用迭加法求解．2.数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：(1)错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解．(2)并项求和时，将问题转化为等差数列求和．(3)分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解．提醒：运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n＋1 项中的前n 项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零．3.数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题的能力．其中，建立数列模型是解决这类问题的核心，在试题中主要有：一是，构造等差数列或等比数列模型，然后用相应的通项公式与求和公式求解；二是，通过归纳得到结论，再用数列知识求解.( )( ) 1－1. 在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有 a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么称这个数列为等积数列，称 k 为这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且 a 1＝1，a 2＝2，公积为 8，则 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝ .答案 28解析依题意得数列{a n }是周期为 3 的数列，且 a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.2. 秋末冬初，流感盛行，特别是甲型 H1N1 流感．某医院近 30 天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且 a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院 30 天入院治疗甲流的人数共有．答案 255 解析由于 a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，所以 a 1＝a 3＝…＝a 29＝1，15 × 14a 2，a 4，…，a 30 构成公差为 2 的等差数列，所以 a 1＋a 2＋…＋a 29＋a 30＝15＋15×2＋ 23. 已知公差大于零的等差数列{a n }的前 n 项和 S n ，且满足：a 2·a 4＝65，a 1＋a 5＝18.(1)若 1<i <21，a 1，a i ，a 21 是某等比数列的连续三项，求 i 的值；n×2＝255.(2)设 b n ＝(2n ＋1)Sn ，是否存在一个最小的常数 m 使得 b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数 n 均成立，若存在，求出常数 m ；若不存在，请说明理由．解 (1){a n }为等差数列，∵a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又 a 2·a 4＝65，∴a 2，a 4 是方程 x 2－18x ＋65＝0 的两个根，又公差 d >0，∴a 2<a 4，∴a 2＝5，a 4＝13. ∴Error!∴a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3.由于 1<i <21，a 1，a i ，a 21 是某等比数列的连续三项，∴a 1·a 21＝a 2i ，即 1·81＝(4i －3)2，解得 i ＝3. n (n －1) 1 1(1 －1)(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋ 2 ·4＝2n 2－n ，所以 b n ＝(2n －1)(2n ＋1)＝2 2n －1 2n ＋1 ，1 1 1 1 1 1 n 1－＋－＋…＋－ b 1＋b 2＋…＋b n ＝23 3 5 2n －1 2n ＋1 ＝2n ＋1， n 1 1 1 1因为2n ＋1＝2－2(2n ＋1)<2，所以存在 m ＝2使 b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数 n 均成立．(推荐时间：60 分钟)一、选择题1 1 1 11．已知数列 12，34，58，716，…，则其前 n 项和 S n 为()1A ．n 2＋1－2n1B ．n 2＋2－2n1C ．n 2＋1－2n －11－ 1 ·1 2n 21D ．n 2＋2－2n －11 1＋2n －11 1 答案 A 解析因为 a n ＝2n －1＋2n ，则 S n ＝2n ＋2 ＝n 2＋1－2n .S12 S102．在等差数列{a n}中，a1＝－2 013，其前n 项和为S n，若12 －10 ＝2，则S2013的值等于( ) A．－2 011 B．－2 012 C．－2 010 D．－2 013答案DSn S1 解析根据等差数列的性质，得数列{ n }也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项1 ＝a1＝－2 013，S2 013公差d＝1，故2 013 ＝－2 013＋(2 013－1)×1＝－1，所以S2013＝－2 013.3．对于数列{a n}，a1＝4，a n＋1＝f(a n)，n＝1,2，…，则a2013等于( )A.2 B．3 C．4答案C解析由表格可得a1＝4，a2＝f(a1)＝f(4)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝5，a4＝f(a3)＝2，a5＝f(2)＝4，可知其周期为4，∴a2013＝a1＝4.S1 S2 S154.在等差数列{a n}中，其前n 项和是S n，若S15>0，S16<0，则在a1，a2，…，a15中最大的是( )S1 S8 S9 S15A.a1答案BB.a8C.a9D.a1515(a1＋a15)16(a1＋a16)解析由于S15＝ 2 ＝15a8>0，S16＝ 2 ＝8(a8＋a9)<0，可得a8>0，a9<0.S1 S2 S8 S9 S10 S15这样a1>0，a2>0，…，a8>0，a9<0，a10<0，…，a15<0，而S1<S2<…<S8，a1>a2>…>a8，S1 S2 S15 S8所以在a1，a2，…，a15中最大的是a8.故选B.1 1 1 15.数列{a n}满足a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有a m＋n＝a m＋a n＋mn，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 012等于( )4 024A.2 013 答案A4 018B.2 0122 010C.2 0112 009D.2 010解析令m＝1 得a n＋1＝a n＋n＋1，即a n＋1－a n＝n＋1，于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，a n－a n－1＝n，上述n－1 个式子相加得a n－a1＝2＋3＋…＋n，n(n＋1) 1 2 1－1 )所以a n＝1＋2＋3＋…＋n＝ 2 ，因此an＝n(n＋1)＝2 n n＋1 ，() ()(1 1 1 11 1 1 1 11 4 0241－＋－＋…＋－ 1－所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 012＝22 23 2 012 2 013＝22 013 ＝2 013.6. 已知函数 f (n )＝Error!且 a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 012 等于()A ．－2 012B ．－2 011C ．2 012D ．2 011答案 C解析当 n 为奇数时，a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝n 2－(n ＋1)2＝－(2n ＋1)；当 n 为偶数时，a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝－n 2＋(n ＋1)2＝2n ＋1.所以 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 012＝2(－1＋2－3＋4＋…－2 011＋2 012)＝2 012. 二、填空题7．数列{a n }中，已知对任意 n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则 a 2＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝.1答案 2(9n －1)解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)．则 n ≥2 时，两式相减得，a n ＝2·3n －1. 当 n ＝1 时，a 1＝3－1＝2，适合上式，∴a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．∴a n ＝4·9n －1，4(1－9n ) 1则数列{a 2}是首项为 4，公比为 9 的等比数列．∴a 2＋a 2＋a 2＋…＋a n ＝ 1－9 ＝2(9n －1)．8. 设数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且 a n 为复数 isin 答案 1n π2 ＋cos n π2 (n ∈N *)的虚部，则 S 2 013＝.解析由已知得：a n ＝sin n π2 (n ∈N *)，∴a 1＝1，a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝0，故{a n }是以 4 为周期的周期数列，∴S 2 013＝S 503×4＋1＝S 1＝a 1＝1.19.已知数列{a n }满足 3a n ＋1＋a n ＝4(n ≥1)且 a 1＝9，其前 n 项之和为 S n ，则满足不等式|S n －n －6|<125的最小整数 n 是．答案 71解析由递推式变形得 3(a n ＋1－1)＝－(a n －1)，∴{a n －1}是公比为－3的等比数列． 11则 a n －1＝8·(－3)n －1，即 a n ＝8·(－3)n －1＋1.18[1－(－ )n ]3 1 1 1 1－(－ )于是 S n ＝ 3 ＋n ＝6[1－(－3)n ]＋n ＝6－6·(－3)n ＋n1 1 1因此|S n－n－6|＝|6×(－3)n|＝6×(3)n<125，3n－1>250，∴满足条件的最小n＝7.10.气象学院用3.2 万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n＋4910 (n∈N*)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了天．答案8001解析由题意得，每天的维修保养费是以5 为首项，10为公差的等差数列．设一共使用了n 天，则使用n 天的平(5＋n＋49)n 103.2 ×104＋ 2 n 99993.2 × 104均耗资为n3.2 × 104 n＝n ＋20＋20≥20，当且仅当n ＝20时取得最小值，此时n＝800.三、解答题11．已知等差数列{a n}满足：a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n＋qa n(q>0)，求数列{b n}的前n 项和S n.解(1)设数列{a n}的公差为d，则由a5＝9，a2＋a6＝14，得Error!，解得Error!.所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1.(2)由a n＝2n－1 得b n＝2n－1＋q2n－1.当q>0 且q≠1 时，S n＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋…＋q2n－1)＝n2＋当q＝1 时，b n＝2n，则S n＝n(n＋1)．所以数列{b n}的前n 项和S n＝Error!. q(1－q2n) 1－q2 ；12.将函数f(x)＝sin(n∈N*)．14x·sin14(x＋2π)·sin12(x＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2n a n，数列{b n}的前n 项和为T n，求T n的表达式．1 1 1 1 π解(1)化简f(x)＝sin 4x·sin 4(x＋2π)·sin 2(x＋3π)＝－4sin x，其极值点为x＝kπ＋2(k∈Z)，πππ它在(0，＋∞)内的全部极值点构成以2为首项，π为公差的等差数列，故a n＝2＋(n－1)π＝nπ－2.π(2)b n＝2n a n＝2(2n－1)·2n，π∴T n＝2[1·2＋3·22＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n]，π则2T n＝2[1·22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1]两式相减，得π∴－T n＝2[1·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－(2n－1)·2n＋1]，∴T n＝π[(2n－3)·2n＋3]．1 113.在等比数列{a n}中，a2＝4，a3·a6＝512.设b n＝log2a22·log2a n＋2 12，T n为数列{b n}的前n 项和．(1)求a n和T n；(2)若对任意的n∈N*，不等式λT n<n－2(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围．1 1 1解(1)设{a n}的公比为q，由a3a6＝a2·q5＝16q5＝512得q＝2，1∴a n＝a2·q n－2＝(2)n.1 1 1 1 1 1b n＝log2a n2·log2a n＋2 12＝log(2)2n－12·log(2)2n＋12＝(2n－1)(2n＋1)＝2(2n－1－2n＋1)，1 1 1 1 1 1 1 1 n∴T n＝2(1－3＋3－5＋…＋2n－1－2n＋1)＝2(1－2n＋1)＝2n＋1.(n－2)(2n＋1) 2 2(2)①当n 为偶数时，由λT n<n－2 恒成立得，λ< n2 2＝2n－n－3 恒成立，即λ<(2n－n－3)min，而2n－n－3 随n 的增大而增大，∴n＝2 时(2n－n－3)min＝0，∴λ<0.(n＋2)(2n＋1) 2②当n 为奇数时，由λT n<n＋2 恒成立得，λ< n ＝2n＋n＋5 恒成立，2 2即λ<(2n＋n＋5)min而2n＋n＋5≥25＝9，当且仅当2n＝n，即n＝1 时等号成立，∴λ<9.综上，实数λ 的取值范围为(－∞，0)．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

高三数学一轮复习备考数列的求和说课

高三数学一轮复习备考数列的求和说课高三数学一轮复习备考中，数列的求和是一个重要的考点。

在本文中，我将对数列的求和进行深入解析，包括常见的等差数列和等比数列的求和公式，以及一些应用题的解题方法。

首先，让我们来回顾一下数列的概念。

数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的集合。

数列的每一项称为数列的项，用ai表示，其中i表示项的位置。

数列中的规律可以用一个通项公式来表示。

对于等差数列来说，通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差；而对于等比数列来说，通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

接下来，我们来看一下等差数列的求和公式。

对于等差数列来说，其求和公式是非常有用的。

设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。

那么等差数列的求和公式可以表示为Sn=n/2*(a1+an)，其中an表示等差数列的第n项。

在使用等差数列的求和公式时，需要明确几个关键的概念。

首先，当n为奇数时，a1和an为等差数列中间的一项；当n为偶数时，a1和an分别为等差数列的相邻两项，此时中间没有项。

其次，等差数列的前n项和与等差数列的倒序前n项和相等。

例如，对于等差数列1，3，5，7，9来说，其首项为1，公差为2。

我们可以使用等差数列的求和公式来计算前3项的和。

根据公式，n=3，所以Sn=3/2*(1+5)=9。

除了等差数列外，我们还有等比数列的求和公式。

对于等比数列来说，其求和公式也是非常重要的。

设等比数列的首项为a1，公比为r，前n项和为Sn。

等比数列的求和公式可以表示为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中r不等于1。

在使用等比数列的求和公式时，需要注意一些特殊情况。

当公比|r|小于1时，等比数列的前n项和随着n的增加而趋近于一个常数，即Sn的极限存在；当公比|r|大于1时，等比数列的前n项和随着n的增加呈无穷趋近于正无穷或负无穷；当公比|r|等于1时，等比数列不存在有限的前n项和，但存在极限。

高考数列总复习数列求和省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

高考总复习
数列求和
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施：
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施：
1.公式法 2.错位相减法 3.裂项抵消法 4.倒序相加法
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施：
1.公式法：
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施：
1.公式法：（1）直接法：直接由等差、等比数列旳求和公式求和，等
1 n(n 1)(2n 1) 3 n(n 1)
6
2
1 n(n 1)(2n 1 9) 6
1 n(n 1)(n 5) 3
（公式求和法）
数列求和
例5.求 Cn0 2Cn1 3Cn2 nCnn1 (n 1)Cnn 旳值解：设 Cn0 2Cn1 3Cn2 nCnn1 (n 1)Cnn x
(n 1)Cnn nCnn1 (n 1)Cnn2 2Cn1 Cn0 x
两式相加得：
（倒序相加法）
练习：
1.
数列
1
1 2
，3
1 4
，5
1 8
，7 1 16
，，2n
1
1 2n
，
旳前n项之和
为Sn，则Sn旳值得等于( A )
(A)
n2
1
1 2n
(B)
2n2
n
1
1 2n
(C)
n2
1
1 2n-1
Sn
1 1 a
[(1
a)
(a
a3)
Hale Waihona Puke (a n 1a 2 n 1 )]
1 [(1 a an1) (a a3 a2n1)] 1 a
1 1 an [
1a 1a

高考数列求和

对于一个等差数列，如果要求其和，可以使用倒序相加法。
倒序相加法可以用于求和的数列必须是等差数列，如果数列不是等差数列，那么该方法不适用。
倒序相加法在求和时具有简单、易操作的特点，因此在高中数学中经常被使用。
倒序相加法求和的例题解析
要点一
例题
要点二
解析
求等差数列1,3,5,7,9...的和。
将该数列的元素从后往前排列，得到9,7,5,3,1...，然后将两两相加，得到4+2+0+(-2)+(-4)=-2，因此该数列的和为2。
通项公式
an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项的值，a1表示第一项的值，d表示公差。
等差数列的求和公式
• 等差数列的求和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn表示前n 项的和，a1表示第一项的值，an题
求等差数列1, 4, 7, 10, 13, ... 的前10项和。
VS
对于等差数列，我们也可以通过错位相减法将原数列的项转化为易于求和的新数列的项，从而得到等差数列的和。不过需要注意的是，在等差数列中，相邻两项的差是固定的，因此我们需要在错位相减时将这个差值考虑进去。
错位相减法求和的例题解析
例题
求 $1+2+3+...+n$ 的和。
分析
这是一个等差数列求和问题。我们可以通过错位相减法将原数列的项转化为易于求和的新数列的项。具体来说，我们将原数列的第一项和最后一项相加，第二项和倒数第二项相加，以此类推，得到一个新的数列 $(n+1)+(n-1)+(n-2)+...+1$。这个新数列是一个等差数列，可以轻松地求出其和为 $n(n+1)/2$。因此，原数列的和为 $n(n+1)/2$。

数列求和公开课课件

如等差数列求和解决均匀加速直线运动问题、等比数列求和解决复利计算问题等。
数列求和在实际生活中的应用
如存款利息计算、物品分批购买等。
通过实际问题理解数列求和的意义
将实际问题抽象为数列求和，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
数列求和与其他数学知识的联系
数列求和与函数的关系
数列是一种特殊的函数，数列求和可以看作是函数求和在离散点上的应用。
数列求和与极限的联系
数列求和的极限就是无穷级数的和，无穷级数是分析数学的重要工具。
数列求和与微积分的联系
通过微积分的基本定理，可以将数列求和转化为定积分进行计算。
数列求和的思维训练与拓展
培养逻辑思维
通过数列求和的学习，培养学生的逻辑思维能力，学会从已知条件出发推导出结论。
培养创新思维
通过一题多解、一题多变等方式，培养学生的创新思维能力，学会从不同角度思考问题。
在计算机科学中，数列求和常用于算法分析和数据处理等方面。例如，在计算某个算法的时间复杂度时，需要用到数列求和的知
识。
02
等差数列求和
等差数列的定义与性质
定义
等差数列是指在一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
性质
等差数列的公差是一个常数，等差数列的任意两项之和是一个常数，等差数列的中项等于首项与末项的平均数。
数列求和公开课课件
目录
• 引言 • 等差数列求和 • 等比数列求和 • 分组数列求和 • 递推数列求和 • 数列求和的综合应用
01
引言
数列求和的背景与意义
数列求和的概念
数列求和是数学中的一个重要概念，指的是将数列中的所有项加起来得到的结果。

高中数学中的数列求和知识点总结

高中数学中的数列求和知识点总结数列求和是高中数学中的重要概念和技巧之一，它涉及到数列的性质和求和方法的应用。

本文将对高中数学中的数列求和知识点进行总结，包括求和公式、数列性质与求和、递推数列求和和常用数列求和等内容。

1. 求和公式求和公式是数列求和的基础，它们可以帮助我们简化求和过程并得到准确的结果。

常见的求和公式包括等差数列求和公式和等比数列求和公式。

（1）等差数列求和公式对于等差数列 {an}，其通项公式为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 为首项，d 为公差，n 为项数。

等差数列的求和公式为 Sn = (a1 + an) * n / 2。

其中 Sn 表示前 n 项的和。

（2）等比数列求和公式对于等比数列 {an}，其通项公式为 an = a1 * q^(n-1)，其中 a1 为首项，q 为公比，n 为项数。

等比数列的求和公式分为两种情况：当 |q| < 1 时，等比数列的求和公式为 Sn = a1 / (1-q)。

当 |q| > 1 时，等比数列的求和公式为 Sn = (a1 - anq) / (1-q)。

2. 数列性质与求和数列性质与求和是数列求和中较为重要的内容之一。

在求解数列求和问题时，熟练掌握数列的性质对于简化计算和解题过程非常有帮助。

（1）数列的首项与末项一个数列 {an} 的首项为 a1，末项为 an。

在使用求和公式时，需要准确确定数列的首项和末项。

（2）逆序求和对于满足一定条件的数列，其求和式可以通过逆序求和的方式得到更简洁的结果。

例如，等差数列 {an} 的求和式为 Sn = (a1 + an) * n / 2，而逆序求和的方式是 Sn = (an + a1) * n / 2。

（3）奇数项和与偶数项和有些数列的求和问题可以通过分别求解奇数项和与偶数项和来得到最终结果。

例如，等差数列 {an} 的奇数项和为 So = (a1 + an) * (n/2)，偶数项和为 Se = an * (n/2)。

高中数学知识点总结数列与数列的求和

高中数学知识点总结数列与数列的求和高中数学知识点总结：数列与数列的求和数列是高中数学中重要的概念之一，它在许多数学问题中起着至关重要的作用。

本文将对数列的定义、常见数列类型及求和公式进行总结和归纳，以帮助高中学生更好地掌握数列与数列求和的相关知识。

一、数列的定义数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个数都有其特定的位置，称为项数。

数列常用字母表示，如{a₁, a₂, a₃, ...}或{a_n}，其中a₁、a₂等表示数列的各项。

常见数列类型包括等差数列、等比数列、等差数列的前n项和、等比数列的前n项和等。

二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。

常用的表示方式为{a₁, a₁+d, a₁+2d, ...}，其中a₁为首项，d为公差。

1. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式用于表示等差数列的第n项，其一般形式为an = a₁ + (n - 1) * d。

2. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式用于求等差数列前n项的和，其一般形式为Sn = (n/2) * (a₁ + an)。

三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。

常用的表示方式为{a₁, a₁r, a₁r^2, ...}，其中a₁为首项，r为公比。

1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式用于表示等比数列的第n项，其一般形式为an = a₁ * r^(n-1)。

2. 等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和公式用于求等比数列前n项的和，其一般形式为Sn = (a₁ * (1 - r^n))/(1 - r)。

四、常见数列求和公式除了等差数列和等比数列的求和公式外，高中数学中还有一些常见的数列求和公式。

1. 平方和公式数列1²,2²,3²,...,n²的和可表示为Sn = (n * (n + 1) * (2n + 1))/6。

2. 级数和公式数列1,2,3,...,n的和可表示为Sn = (n * (n + 1))/2。