高中数学数列求和的五种方法
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高中数学数列求和的五种方法
一、公式法求和
例题1、设 {a n} 是由正数组成的等比数列,Sn为其前 n 项和,已知a2 ·a4=1 , S3=7,则 S5 等于( B) (A) 15/2 (B) 31/4 (C) 33/4 (D) 17/2
解析:
∵ {a n} 是由正数组成的等比数列 , 且a2 ·a4 = 1, q > 0 ,
例题1图
注:
等比数列求和公式图
例题2、已知数列 {a n} 的前 n 项和 Sn = an^2+bn (a、b∈R), 且 S25=100 , 则a12+a14等于( B)
(A) 16 (B) 8 (C) 4 (D) 不确定
解析:
由数列 {a n} 的前 n 项和 Sn = an^2 + bn (a、b∈R), 可知数列 {a n} 是等差数列,
由S25= 1/2 ×(a1 + a25)× 25 = 100 ,
解得a1+a25 = 8,
所以a1+a25 = a12+a14 = 8。
注:
等差数列求和公式图
二、分组转化法求和
例题3、在数列 {a n} 中, a1= 3/2 ,
例题3图(1)
解析:
例题3图(2)
故
例题3图(3)
∵a n>1,∴ S < 2 ,
例题3图(4)
∴有 1 < S < 2
∴ S 的整数部分为 1。例题4、数列
例题4图(1)
例题4图(2)
解析:
例题4图(3)
三、并项法求和
例题5、已知函数 f(x) 对任意x∈R,都有 f(x)=1-f(1-x), 则 f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) 的值是多少?
解析:
由条件可知:f(x)+f(1-x)=1,而x+(1-x)=1,
∴f(-2)+f(3)=1,f(-1)+f(2)=1,f(0)+f(1)=1,
∴ f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 3。
例题6、数列 {a n} 的通项公式a n=ncos(nπ/2),其前 n 项和为Sn,则 S2012 等于多少?
解析:n 取奇数和偶数分组;答案:1006 。
四、裂项相消法求和
例题7、若已知数列的前四项是
例题7图(1)
则数列前n项和是多少?
解析:
因为通项
例题7图(2)
所以此数列的前n项和
例题7图(3)
五、错位相减法求和
例题8、已知数列 {a n} 满足
例题8图(1)
(1)求证:数列
例题8图(2)
是等差数列 , 并求出数列 {a n} 的通项公式;
(2)求数列 {a n} 的前 n 项之和 Sn。
解析:
例题8图(3)
例题8图(4)