初中数学 微拓展 北师八下5.2分式的乘除法
北师大版八年级数学下册 第五章 分式与分式方程 5.2 分式的乘除法 教案
数学八年级下北师大版第五章第二节《分式的乘除法》教学设计一、内容分析1. 教材的地位及作用本节课为北师大版数学教材八年级下册第五章《分式与分式方程》第二节《分式的乘除法》的内容，本节课是学生初中阶段代数部分学习的一个重要内容.在知识的联系上，本节是在学习了分式基本性质、分式的约分和因式分解的基础上，进一步学习分式的乘除法；另一方面，又为学习分式加减法和分式方程等知识奠定了基础.在能力的培养上，学生的运算能力和逻辑思维能力得到了发展和提高.在数学思想方法上，本节课是培养学生类比的一个好素材，同时培养了学生的探索精神和用数学的意识.2. 学情分析（1）从心理学的分析来说，初二学生处于逻辑抽象的起点，思维发展的转折点，表现从经验型思维向理论型思维转化的特点.他们身心发展较快，对事物发展的好奇心强，有一定的求知欲，需要我们不断引导.（2）经过七年级的学习，学生已经具备了一定的知识储备知识技能和良好的数学学习习惯，并且学生已经学习分式基本性质、分式的约分和因式分解，通过与分数的乘除法类比，促进知识的正迁移.（3）八年级的学生接受能力、思维能力、自我控制能力都有很大变化和提高，自学能力较强，通过类比学习加快知识的学习.3. 教学目标（1）知识技能：理解分式的乘除运算法则；会进行简单的分式的乘除法运算.（2）数学思考：经历探索分式的乘除法法则的过程，让学生熟悉“数、式通性”“类比、转化”的数学思想方法，感知数学知识具有普遍的联系性.（3）问题解决：会用分式乘除法法则进行分式乘除法运算，并能解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力.（4）情感态度：通过师生观察、猜想、讨论、交流、归纳，培养学生合作探究的意识和能力，同时增强学生的创新意识和应用意识，使学生体验在数学学习活动中探索与创造的乐趣，了解数学的价值，同时化简分式的最简结果也让学生感受到数学的简洁美.4.教学重点难点重点：分式乘除法的法则及应用.难点：分子分母是多项式的分式的乘除法运算.二、教法学法1. 教法分析教育的本质在于引导的艺术，为了充分调动学生学习的积极性，培养学生的运算能力，使本节课教学丰富有效，本课的教法为：在教师的引导下学生经历“类比分数――观察猜想――归纳明晰――理解应用”的活动过程，体会知识的形成和应用，感受学习过程中数学方法的渗透.采用ppt辅助课堂教学，直观呈现教学素材，激发学生的学习兴趣，提高学习效率，体验在数学学习活动中探索的乐趣，体会数学的应用价值.2. 学法指导学习过程中，充分引导学生积极思维，让每个学生都动口、动手、动脑，让学生在自主探索、合作交流中加深理解分式的乘除运算，充分发挥学生学习的主动性.三、教学过程环节过程设计学生活动教师活动设计意图情境引入请你来帮忙！同学们，请你们来帮助老师算一算老师在火星上的体重是变重了还是变轻了？学生积极运算并回答.教师根据学生的回答板书算式：162738239183291=⨯⨯=⨯该问题的提出，立刻给课堂注入活力，极大的激发了学生的学习兴趣，同时引出分数的乘除法，为后面类比得到分式的乘除法做好准备，同时数学的应用价值也得以体现.探究新知1.复习分数的乘法法则162738239183291=⨯⨯=⨯叙述法则并填空：两个分数相乘, 把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;2.复习分数的除法法则学生独立运算，回忆并能够语言描述分数的乘除法法则.通过引例得到分数乘法算式，启发引导学生依据算理回顾分数乘法法则.以同样思路复习回顾分数的除法法则.分数的除法运算关键在与将除法运算转化3364823913829183291=⨯⨯=⋅=÷ 叙述法则：两个分数相除, 把除式的分子分母颠倒位置后,再与被除式相乘. 3. 类比得分式的乘法法则归纳分式的乘法法则：两个分式相乘, 把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母; 4. 类比得分式的除法法则归纳分式的乘法法则：两个分式相除, 把除式的分子分母颠倒位置后再与被除式相乘. 5.分式乘法拓展-分式乘方：n na ba b 与n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛有什么关系？ 分析：教师引导提问，提示学生类比分数的乘除法运算法则.学生全面参与，独立思考，广泛交流，自主归纳出法则.学生思考并解答，教师为乘法运算，体现转化思想.类比分数的乘除法法则得到分式的乘除法则，由学生自己尝试探索猜想、归纳总结，把课堂还给学生，激发学生自主学习的积极性.探索的过程体现了从特殊到一般的思想方法，符合学生的认知规律，易于学生理解、接受，同时培养学生观察分析、猜想、归纳的能力，及有条理的思维和表达的能力.该问题是分式乘法的延伸，即分式的乘方.学生应理解其推导过程，明确算理，同时也是对乘法法则的深入理解.a b a b a b a b a b ⋅⋅⋅⋅⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n（乘方的意义） a a a a bb b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=（分式乘法法则）nn a b =（乘方的意义）强调：1. 分式乘除法运算的根据是分式乘除法法则，实质是分式约分，而分式约分的根据是分式的基本性质；2. 当分式的分子分母中有多项式时，先分解因式，再进行乘除运算；3. 分式乘除的最后结果要化成最简分式或整式. 点拨思路.应用新知典例分析 例1 计算：223a 2y 4y 3a ）1（⋅ x 6y(2)3xy 22÷ 例2 计算： a 2a 12-a 2a (1)2+⋅+ 4a 1a 44a -a 1-a (2)222--÷+ 教师点拨： 1.分式乘除法运算的根据是分式乘除法法则，实质是分式约分，而分式约分的根据是分式的基本性质.2.当分式的分子分母中有多项式时，先分解因式，再进行乘除运算.3.分式乘除的最后结果要化成最简分式或整式.明确算理，准确运算，结果最简 教师示范例1第（1）题，一位学生板演第（2）题，教师巡视并及时评价. 学生完成后教师点评. 教师示范例2第（1）题，一位学生板演第（2）题，教师巡视批改，学生完成后，全班讲评，明确步骤算理.例1设计的这两道题都是分子分母为单项式的分式乘除法运算，解题过程中，使学生会根据法则，体会并理解每一步的算理，从而进行简单的分式的乘除法运算，达到突破重点的目的.例2设计的这两道题是分子、分母为多单项式的分式乘除法则的运用，通过学生板演，和学生一起详细分析，提醒学生关注易错易漏的环节，学会解题的方法，从而使难点迎刃而解. 两个例题是将课本例题做重新整合编排，学习内容由简至难，符合学生的认知规律，根据学情合理使用教材，使例题具有针对性和有效性.反馈练习A组2abba）1（⋅1-aa）a-a（(2)2÷22yx-1y1(3)÷-xxx3x4x96x-x2x(4)2222--÷++B组购买西瓜时，人们总希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好. 假如我们把西瓜都看成球形,并且西瓜瓤的分布是均匀的, 西瓜的皮厚都是d .已知球体的体积公式为334RVπ=（其中R为球的半径），那么(1) 西瓜瓤与西瓜的体积各是多少?(2) 西瓜瓤与西瓜的体积的比是多少?(3) 买大西瓜合算还是买小西瓜合算?四位学生板演，其他学生在练习本上独立完成.做完后教师讲评，同桌交换批改，举手看正答情况.教师巡视，了解学生的作答情况，及时评价.学生先猜测结果，认真审题后，结合问题完成讨论.第3小题若课堂时间不够，可留作课下思考题，下节课再讨论.A组四道题目紧扣课本，是对例题中的各个类型题目的巩固练习，第三小题改编自课本习题，遇到分式的分子或分母符号为负数时，可将负号提出后放在分式的前面，便于计算，这也是学生的易错点，则要通过练习加以巩固.四位学生板演既是对这几个学生知识掌握情况的了解，也是以此估计全班学习情况的手段，了解学生知识技能的掌握情况，检查教学目标完成效果.B组通过实例进一步丰富分式乘除运算的实际背景，增强学生的代数推理能力与应用意识.一开始设问“买大西瓜划算还是买小西瓜划算”，引起学生质疑和兴趣，引出计算体积，再与学生共同讨论分析后，根据三个问题的设问层层递进，降低问题的难度，得以顺利解决.此题一方面巩固了分式乘除法法则，应用了nnabab=⎪⎪⎭⎫⎝⎛n的关系进行讨论，培养了学生的钻研精神和发散思维，提高了学生的运算能力，培养了学生的应用意识，体现了数学的价值.小结提升 将本节课知识梳理如下：学生回答相互补充，交流，归纳.课堂小结是对整节课的完整概括，框图形成了完整的知识结构，清晰明了.布置作业1.习题 5.3：第1、2、3、4题；2.预习第三节内容.3.你还有什么问题吗？若有，课下可与同学交流.学生课后认真完成.作业的布置巩固了学生对知识的扎实掌握，训练了学生利用有关概念性质解决问题的能力；预习旨在培养了学生良好的学习习惯.提问是有意识的培养学生发现问题、提出问题的能力和创新意识.课后寄语 祝同学们 今天一路奋斗、一路付出、一路坚持；明天一份欢欣、一份成长、一份收获！给学生美好祝愿！四、板书设计5.2 分式的乘除法分式乘除法法则： 例1：（1） 例2：（1）bcad c d b a =⨯bcad c d b a b a =⨯=÷d c （2） （2）。
北师大版数学八年级下册5.2 分式的乘除法
使分数有意义！
新课讲解
2 分式的乘方
根据乘方的意义计算下列各式：
34 3333 81
2 3
2
2 3
2 3
4 9
2 3
4
2 3
2 3
2 3
2 3
16 81
新课讲解
类比分数的乘方运算，你能计算下列各式吗？
a
2
b
a b
a b
a2 b2
a
3
b
aaa bbb
a3 b3
a b
10
a 1
新课讲解
练一练 一条船往返于水路相距100 km的A,B两地之间，
已知水流的速度是每小时2 km，船在静水中的速
度是每小时x km（x>2），那么船在往返一次过
程中，顺流航行的时间与逆流航行的时间比是
x2
__x__2__.
【解析】顺流速度为（x+2）km/h，逆流速度为
（x－2）km/h，由题意得
(2) am÷an＝am-n；
(3) (am)n＝amn；
(4) (ab)n＝anbn；
5
a b
n
an bn
.
分式的乘方法则 理解要点：
( a )n b
an bn
.
新课讲解
√ × （1）分式乘方时，一定要把分子、分母分别乘
方，不要把
a
n
b
an bn
写成
a n b
an b
.
（2)分式乘ห้องสมุดไป่ตู้时，要首先确定乘方结果的符号，负数 的偶次方为正，负数的奇次方为负.
a2 (a 2)(a 3) (a 3)2 (a 2)(a 2)
北师大版八年数学下册第五章 5.2分式的乘除法
= (m 4)(m 4) 1 3(4 m) m(m 4)
1 3m
释疑解惑
对于 a b 1 ，小明是这样计算的：
b
a b 1 a 1 a b
他的计算过程正确吗？为什么？
乘除属于同级运 算，应按从左向 右的顺序计算
1 11 a ab a
b b b b2
乘胜追击
计算：
⑴
3a 3b 4ab
应用新知 【例1】 计算：
(2)
a a
2 2
a2
1
2a
解：原式= a 2 1 a 2 a(a 2)
分子、分母是多项式 先因式分解
约分
1
aa
2
=
a2
1
2a
两种结果均可 （最简分式）
应用新知
【例2】 计算：
(1)3xy2 6 y2 x
3xy
2
•
6
x y
2
化除为乘 转化思想
(2) （2）
【字母表示 】
b d b d bd a c a c ac
b d b c bc a c a d ad
应用新知
【例1】
计算：
(1) 6a 8y
2y2 3a 2
(2)
a a
2 2
a2
1
2a
应用新知
【例1】 计算： (1) 6a 2 y2 解法①：原式= 6a 2 y2 8 y 3a2
北师大版八年级数学下册 第五章 第二节 分式的乘除法
同学们，春天已经来了，夏天还会远 吗？炎炎夏日，最开心的事情就是能吃到 喜爱的西瓜了，你们自己买过西瓜吗？对 于同一品种的西瓜,你通常会买大西瓜还是 小西瓜呢？你知道这其中的奥秘吗？
八年级数学下册 5.2 分式的乘除法教案 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中八年级下册数学教案
第五章分式与分式方程5.2 分式的乘除法【教学内容】掌握分式的乘除法法则。
【教学目标】知识与技能经历探索分式的乘除法法则的过程，并结合具体情境说明其合理性；会进行简单分式的乘除法计算，具有一定的化归能力。
过程与方法学习类比转化的思想方法，受到思维训练，能解决与分式有关的简单实际问题。
情感、态度与价值观在学知识的同时学到类比转化的思想方法，受到思维训练，能解决与分式有关的简单实际问题，让学生经历体会数学观点，培养学生的数学意识。
【教学重难点】重点：掌握分式的乘除法法则；难点：熟练地运用法则进行计算，提高运算能力。
【导学过程】【知识回顾】1.分数的乘法法则：【情景导入】1、分式的乘除法法则（与分数的乘除法法则类似）：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的，把分母相乘的积作为积的；两分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式。
2、分式乘除法运算步骤和运算顺序：（1）步骤：对分式进行乘除运算时，先观察各分式，看各分式的分子、分母能否分解因式，若能分解因式的应先分解因式。
当分解因式完成以后，要进行____________，直到分子、分母没有______________时再进行乘除。
（2）顺序：分式乘除法与整式乘除法运算顺序相同，一般从左向右，有除法的先把除法转化为乘法。
【新知探究】 探究一、()222244229164311y x x y y xy x y x x y y x +-•+--•２ ） 计算：（例探究二、（1）=vu g f . （2） v u g f ÷= 计算：⑴3234x y y x ⋅⑵cd b a cab 4522223-÷ 总结步骤：⑴确定符号；⑵除法转化为乘法；⑶因式分解；⑷运用乘法法则计算；⑸约分为最简分式. 计算：⑴291643a b b a ⋅⑵225432ab xy y x ab -⋅-⑶y x a xy 28512÷⑷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷x y xy 3232 探究三 计算：2b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=3b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=10b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭= 猜想：n b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭= 归纳：分式乘方的运算法则：【知识梳理】分式的乘除法法则（与分数的乘除法法则类似）：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的，把分母相乘的积作为积的；两分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式。
数学北师大版八年级下册5.2分式的乘除法
两个分式相乘, 把分子相乘的积作为积的 分子, 把分母相乘的积作为积的分母; 两个分式相除, 把除式的分子分母颠倒 位置后,再与被除式相乘.
b d bd 1 ; a c ac b d b c bc 2 . a c a d ad
规律小结 分式的乘除法运算，可以统一成乘法运算，其 中分子分母是多项式时，要先把多项 式 分解因式 ，再利用乘法则进行计算，在计 算过程中，有能约分的要进行约分，最后结果 为 最简分式或整式 .
x2 x3 ； 2 2 x 9 x 2x
规律小结
分式乘以分式，分子分母是多项式时，先把多
项式 分解因式 ，再利用乘法法则计算，在计 算过程中，有能约分的要进行约分，最后结果 最简分式或整式 为 .
计算
1.
a 2 a a 3 a 2 2 a 6 a9 a 4
2 2
2.
4x 1 x1 1 2 x x 12x x
计算下列各式 2 9 2 21 5 3 3 1. ； 2 . ； 3. . 3 4 7 4 9 10 4 3 3 1 2 2 8
•思考 一 ：你能用语言描述分式 数的乘法法则吗？ • 两个分 式 数相乘，把分子相乘的积作为积的分子， 把分母相乘的积作为积的分母； 思考二： 你能用字母表示上述运算法则吗？
a 1 a 1 ； 2 2 a 4 a4 2 a 4
2
规律小结
分式除以分式，先把除法改成乘法，分子分母
是多项式时，要把多项式 分解因式 ，再利用 乘法法则计算，在计算过程中，有能约分的要 进行约分，最后结果为最简分式或整式 .
三变：乘法变乘方
b b b 1. 2 a a a b b b b3 2. 3 a a a a 4 b b b b b 3 . 4 a a a a a b b b bn 4 . a a a an b （n个 相乘） a
5.2 分式的乘除法课堂教学设计与反思(1)
＝ ·
＝ ＝－ .
点拨：整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的分式，另外，注意变换过程中的符号．
活动2跟踪训练
1．下列计算对吗？若不对，要怎样改正？
(1) · ＝1；(2) ÷a＝b；
(3) · ＝ ；(4) ÷ ＝ .
解：(1)对．
(2)错．正确的是 .
(3)错．正确的是－ .
2．复习回顾：
(1) × ＝ ＝ .
(2) × ＝ ＝ .
(3) ÷ ＝ × ＝ ＝ ＝ .
(4) ÷ ＝ × ＝ ＝ .
分数的乘除运算法则：
1．(1)两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
(2)两个分数相除，把除数的分子和分母颠倒位置后，再与被除数相乘．
2．类比分数的乘除运算法则，总结出分式的乘除运算法则：
“分式的乘除法”课堂教学设计与反思
学科
数学
年级
八年级
教师
所在学校
版本、册数、课目名称
北师大版八年级下分式的乘除法
教学目标
1．理解分式乘除法的法则．
2．会进行分式乘除运算．
教学重点、难点及措施
重点：分式乘除运算。
难点：分子或分母是能分解因式的多项式时，先分解再约分化简
教学过程
知识探究
1. · ， ÷ 怎么计算？
2．分式的乘除法法则的运Байду номын сангаас.
测评练习
教材P116习题5.3
教学反思
类比分数学习分式的乘除法法则，学生容易接受，但是在运算中，当分子或分母是能分解因式的多项式时，学生往往会忽略先分解再考虑约分化简。
(3)原式＝－3xy· ＝－ ＝－ .
最新北师版初中数学八年级下册5.2分式的乘除法优质课教案
5．2 分式的乘除法1．经历探索分式的乘除法运算法则，通过类比分数的乘除法法则，提高联想能力和推理能力；(重点) 2．熟练地进行分式的乘除运算，并能利用它解决实际问题．(难点)一、情境导入观察下列运算：错误!×错误!＝错误!，错误!×错误!＝错误!，错误!÷错误!＝错误!×错误!＝错误!，错误!÷错误!＝错误!×错误!＝错误!以上是以前学习的分数的乘法与除法，分数乘法与除法的运算法则分别是什么？今天我们仿照分数的乘除研究分式的乘除．二、合作探究探究点一：分式的乘法【类型一】利用分式的乘法法则和除法法则进行计算计算下列各式：(1)错误!·(－错误!)；(2)－3y÷错误!解析：(1)直接利用分式的乘法运算法则，先找出公因式，然后进行约分；(2)变为乘法，再直接利用分式的乘法运算法则求出即可．解：(1)错误!·(－错误!)＝－6y；(2)－3y÷错误!＝－错误!方法总结：分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算；(3)各分式中的分子、分母都是多项式时，先因式分解，再约分．【类型二】根据分式的除法，判断分式中字母的取值范围若式子错误!÷错误!有意义，则的取值范围是( )A．≠－2，≠－4B．≠－2．≠－2，≠－3，≠－4D．≠－2，≠－3解析：∵错误!≠0，＋2≠0，∴＋3≠0且＋4≠0，解得≠－2，≠－3，≠－4，故选方法总结：在分式的除法中，求字母的取值范围时要使被除式的分母不为0，同时还要使除式的分子、分母不为0【类型三】分式的乘除法的应用老王家种植两块正方形土地，边长分别为a米和b米(a≠b)，老李家种植一块长方形土地，长为2a 米，宽为b米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？解析：不妨设花生的总产量是1，老王家种植的总面积为(a2＋b2)平方米，老李家种植的总面积为2ab平方米，分别求出单位面积产量，再相除即可．解：设花生的总产量是1，错误!÷错误!＝错误!(倍)．答：老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的错误!倍．方法总结：此题考查分式乘除运算的运用，注意理清题意，正确列式计算即可．【类型四】分式乘除法的混合运算计算：错误!·错误!÷错误!解析：先将除法变为乘法，再根据分式的乘法运算法则进行运算．解：原式＝错误!·错误!·错误!＝(a－2)(a＋1)＝a2－a－2方法总结：分式乘除混合运算要注意以下几点：(1)利用分式除法法则把除法变成乘法；(2)进行约分，计算出结果．特别提醒：分式运算的最后结果是最简分式或整式．探究点二：分式的乘方【类型一】分式的乘方运算下列运算结果不正确的是( )A．(错误!)2＝(错误!)2＝错误!B ．[－(错误!)2]3＝－(错误!)6＝－错误!．[错误!]3＝(错误!)3＝错误! D ．(－错误!)n ＝错误!解析：A 、B 、计算都正确；D 中(－错误!)n＝(－1)n错误!，原题计算错误．故选D方法总结：分式的乘方就是分子、分母分别乘方，最后化为最简分式．【类型二】 分式的乘除、乘方混合运算计算：(1)(－错误!)2·(－错误!)3·(－错误!)4；(2)错误!÷(错误!)2·错误! 解析：(1)先算乘方，然后约分化简，注意符号；(2)先算乘方，再将除法转换为乘法，把分子、分母分解因式，再进行约分化简．解：(1)原式＝错误!·(－错误!)·错误!＝－错误!；(2)原式＝错误!·错误!·错误!＝错误!方法总结：进行分式的乘除、乘方混合运算时，要严格按照运算顺序进行运算．先算乘方，再算乘除．注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式．【类型三】分式乘方的应用通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d ，已知球的体积公式为V ＝错误!πR 3(其中R 为球的半径)，求：(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？(3)买大西瓜合算还是买小西瓜合算？解析：(1)根据体积公式求出即可；(2)根据(1)中的结果得出即可；(3)求出两体积的比即可．解：(1)西瓜瓤的体积是错误!π(R －d )3，整个西瓜的体积是错误!πR 3；(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是错误!＝错误!；(3)由(2)知，西瓜瓤与整个西瓜的体积比是错误!<1，故买大西瓜比买小西瓜合算．方法总结：本题能够根据球的体积，得到两个物体的体积比即为它们的半径的立方比是解此题的关键．【类型四】分式的化简求值化简求值：(错误!)3÷(错误!)2·[错误!]2，其中＝－错误!，y ＝错误!解析：按分式混合运算的顺序化简，再代入数值计算即可．解：原式＝错误!·错误!·错误!＝错误!将＝－错误!，y ＝错误!代入得原式＝－6方法总结：先算乘方再算乘除，将原式化为最简形式是解决此类问题的常用方法．三、板书设计1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除．本节是从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘除法则．这种温故而知新的做法不仅有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程．在学生得出分式的乘除法则时，要求他们分别用文字和式子两种形式进行表述，这样不仅加深了学生对法则的理解，而且锻炼了他们的数学表达能力．为了进一步加深学生对基本法则的理解和运用，又由浅到深设计了一些练习题，这样学生就会把所学的知识融会贯通。
北师大版八年级数学(下)教案：5.2分式的乘除法
课题：5.2分式的乘除课型：新授课年级：八年级教学目标：1．类比分数乘除法的运算法则，探索分式乘除法的运算法则，培养学生代数化归意识，发展合情推理能力．2．掌握分式乘除法的法则，会进行简单分式的乘除运算，发展运算能力．3．用分式的乘除法解决生活中的实际问题，提高“用数学”的意识.教学重点与难点：重点：掌握分式乘除法的法则，能熟练地进行有关的运算．难点：对于分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算．关键：利用因式分解将分子、分母的多项式写成乘积的形式再约分.课前准备：教师准备：多媒体课件辅助教学．学生准备：因式分解及约分的相关知识.教学过程：一、前置诊断，复习旧知导入语：前面我们已经学习了分式的基本性质及分式的约分相关知识，你能解决下面的问题吗？（课件展示）问题1：什么叫分式的约分？它的步骤是什么？问题2：判断正误（对的打“√”,错的打“×”）（1）22x yx yx y+=++（）；（2）()()212p qq p-=-（）处理方式：让学生回顾前面所学的相关知识，小组内进行交流体会，教师给予必要的提示.设计意图：通过复习旧知，为本节课的学习做好铺垫，扫除知识障碍．二、情景导入，引入课题导入语：有一次，鲁班的手不慎被一片小草割破了，他发现小草叶子的边缘，布满了密集的小齿，于是便产生联想：他根据小草的结构发明了锯子.鲁班在这里就运用了“类比”的思想方法发明创造了锯子，你能类比分数的乘除法的法则，探究出分式的乘除法的法则吗？（板书课题：5.2 分式的乘除法）处理方式：老师讲述锯的发明的小故事学生聆听，让学生体会生活中的发明创造来源于生活，同时运用于生活.设计意图：通过介绍类比思想在发明创造中所发挥的重要作用，来引入课题可以调动学生的学习积极性，同时也可以激发学生的创作热情，从而更好地培养学生的创造能力．三、类比学习，获取新知 1．类比分数（1）观察下列运算，你想到了什么？说出来与同学们分享.（2）思考上述运算方法，那么分数的乘除法法则是什么呢？ 思考：类似的法则可以推广到分式的乘除运算中去吗？处理方式：让学生明晰上述运算是分数的乘除法，根据运算步骤回顾分数乘除法的法则，为下一步总结归纳分式的乘除法做好铺垫.2．观察猜想请你根据你的猜想填空：1.b db da c a c⋅=÷==（）；（2）思考：你能总结出分式的乘除法的运算法则吗？处理方式：结合分数的乘除法的运算，直接写出分式的乘除法的运算，仿照分数的乘除法则总结出分式的乘除法的法则.3. 归纳法则 分式乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘． 这一法则可以用式子表示为“b d bd a c ac ⋅=，b d b c bca c a d ad÷=⋅=”．（板书）处理方式：学生总结归纳出分式的乘除法的法则，教师给予必要的提示和补充. 设计意图：通过类比分数的乘除法的法则，从而得出分式的乘除法法则，有助于学生理32×54=5342⨯⨯， 75×92=9725⨯⨯， 32÷54=32×45=4352⨯⨯， 75÷92=75×29=2795⨯⨯.解巩固，同时实现了学生主动参与、探究新知识的目的，也培养学生归纳概括能力．4. 拓展延伸 填一填：（1）()()()();2=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛b a （2）()()()()();3=⋅⋅=⎪⎭⎫⎝⎛b a（3）()()()()()();4=⋅⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛b a （4）()().=⎪⎭⎫ ⎝⎛nb a 思考：你知道nb a ⎛⎫⎪⎝⎭与n n b a 有什么关系？与同伴交流．处理方式：根据乘方的运算依次按照要求填空，教师给予必要的提示和补充. 设计意图：通过利用分式的乘法法则，推导出分式的乘方的运算法则，有助于学生理解巩固，同时实现了学生主动参与、探究新知识的目的，也培养学生归纳概括能力．四、例题解析，理解应用 例1 计算：（1）223243a y y a ⋅； （2）22a a +-·212a a+． 分析：本例是分式的乘法运算，关键是明确算理，依据分式的乘法法则进行计算． 处理方式：先让学生思考，然后指定学生口述计算过程及算理，师规范板书并强调要点． 解题过程示范： 解：（1）43x y ·32y x =3432x y y x ⋅⋅ =22223xy xy x ⋅⋅=223x ； （2）22a a +-·212a a+ =2(2)(2)a a a a +-⋅⋅+ =212a a-．设计意图：例1是分式的乘法运算，利用分式的乘法法则，类比分数的乘法运算，学生理解比较容易．通过例题还能使学生使进一步感受类比思想在运算中发挥的重大作用，进一步强化学生乘法法则的应用．例2 计算：特别提醒：运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式或整式．关键一环：为了约分，需要将多项式分解因式．温馨提示：写成1(2)a a -也是可以的．（1）3xy 2÷26y x ； （2）2144a a a --+÷2214a a --．分析：本例是分式的除法运算，关键是明确算理，根据法则，把除法转化为乘法．第（2）题的分式中含有多项式，对这类运算一般应先将多项式因式分解，以便在运算过程中约分，使运算简化．处理方式：先让学生思考，第1题可放手让学生回答；第2题难度较大，教学时教师可以启发引导，每一步都是学生理解、回答的基础上老师再板书出来.解题过程示范：解：（1）3xy 2÷26y x =3xy 2·26xy=2236xy x y ⋅=12x 2； （2）2144a a a --+÷2214a a --=2144a a a --+×2241a a --=222(1)(4)(44)(1)a a a a a ---+- =2(1)(2)(2)(2)(1)(1)a a a a a a -+---+=2(2)(1)a a a +-+．设计意图：例2的设计不仅让学生理解分式除法法则如何应用，同时也进一步巩固了分式的乘法法则，使思维得到了升华．五、巩固训练，提升能力计算：（1）2a b b a ⋅； （2）（a 2－a ）÷1-a a ；（3）y x 12-÷21yx +； （4）222224693x x x x x x x +-÷-+-. 处理方式：放手让学生通过所学知识进行解答，教师给予必要的提示和分析，同时教师统计学生出现的问题及疑惑点，最后进行详细的讲解.设计意图：对本节知识进行巩固练习，在总结出分式乘除法的运算步骤后，大部分学生能很好的掌握，但是还有些学生忘记运算结果要化成最简形式，老师要及时提醒学生。
数学北师大版八年级下册5.2分式的乘除法
b d bd 注意： a ,c 0 a c ac
例题讲解
4x y 例1、计算： 3 3y 2x
4 x y 2 xy 2 2 解：原式 2 3 2 3 y 2 x 2 xy 3 x 3 x
练习巩固
5x y 计算： y 15 x 2
a2 1 2 2、怎样计算： a2 a 2a
3
(3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算
我认为买大西瓜合算.
V d 1 R越大,即西瓜越大, 由 1 可 知 ， V R
3 d d d 1 的 值 越 大 ， 1 也越大， 的值越小， R R R
3
V 则 1的 值 也 越 大 ， 即西瓜瓤占整个西瓜的体积 V
• 做一做
通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越大,花费的 钱越多,因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好 .假如我们把西瓜都看成球形,并把西瓜瓤的密度看成是 均匀的,西瓜的皮厚都是d,已知球的体积公式为 4 3 V R (其中R为球的半径 ),那么 3 (1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少? (2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少? (3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算?与同伴交流.
化简：
4a （1） 2 a 2a
2
35 a b c （2） 2 4 21a b d
4 3
新知探究 1、观察下列运算：
2 4 24 （1） 3 5 35 5 2 52 （2） 7 9 79
bd ac
b d 猜一猜： a c
归纳
分式的乘法法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积 作为积的分子，把分母相乘的积作为 积的分母
也越大.
因此,买大西瓜更合算.
八年级数学下册北师大版5.2分式的乘除法教学设计
-计算一个长方形和一个圆形的面积之比，要求将分式乘除法应用于解题过程。
3.提高题：这部分题目旨在提高学生的运算技巧和解决问题的能力，包括以下内容：
-分式乘除法的简化，如：(3x^2 / 4y) * (4y / 3x^2)的计算。
-混合运算题目，如：(2a^3 / 3b^2) * (4b^2 / 5a^2) ÷ (6a / 7b)的计算。
最后，我会对学生的表现给予积极评价，并强调数学学习的重要性和乐趣。我会鼓励学生在课后继续练习，并提醒他们在日常生活中寻找数学的应用，以此来提高他们对数学的兴趣和认识。通过这样的总结归纳，学生可以更加系统地掌握所学知识，增强自信心，为下一阶段的学习打下坚实的基础。
五、作业布置
为了巩固学生对分式乘除法的理解和应用，我设计了以下几类作业：
4.探究题：鼓励学生自主探究分式乘除法的规律，提高他们的发现问题和解决问题的能力。题目如下：
-探究分式乘除法中的规律，如分子分母的交叉相乘、约分等。
-探索分式乘除法在生活中的应用，结合实际情境设计题目。
作业布置要求：
1.学生需独立完成作业，确保作业质量。
2.作业完成后，学生应认真检查，确保答案正确。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：分式乘除法的运算规律及简化方法。
2.难点：将分式乘除法应用于解决实际问题，以及分式乘除混合运算的简化。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
教学开始时，可以创设一个与学生生活相关的情境，如计算两个长方形面积之和，引导学生运用已学的分式加减法知识解决问题。然后提出问题：“如果这两个长方形的宽是相等的，我们可以直接相加吗？如何计算？”由此引出分式乘除法的概念。
新北师大版八年级下册5.2分式的乘除法
xy y.
1、你学到了哪些知识？ 要注意什么问题？
2、在学习的过程 中 你有什么体会？
随堂练习
计算
a2 b • 1 a2 1 a2 正确吗？
b
1、经历探索分式的乘除运算法则的 过程，体会类比，转化的思想方法.
2、理解分式乘除法的运算法则，会 进行分式的乘除法的运算.
3、分式乘除法运算过程中，体会因 式分解在分式乘除法中的作用，发展 有条理的思考能力.
请你认真完成下列运算：
（1）2 3
4 24
=
5 35
8
=
15
（2）
2 7
3
=
8
23
=
78
3 28
（3）
2
4
=
2
5
=
5 （4） 2
3
=
2
8 = 16
3 5 3 4 6 7 8 7 3 21
a c = ？a c b d bd
a b
c d
?a b
d c
=ad bc
分式与分数的乘除法法则类似
分分式数的乘除法法则: 两个分分式数相乘,把分子相乘的积作为积的分子,
把分母相乘的积作为积的分母;＝a2a 1 4a
4
a2 a2
4 1
(a (a2
1)(a2 4) 4a 4)(a2 1)
(a 1)(a 2)(a 2) (a 2)2(a 1)(a 1)
a2 (a 2)(a 1)
分式的分子和分 母是多项式，先 要对分子和分母
进行因式分解
注意2： 分子或分母是多项式的分式乘除法的解 题步骤是： ①除法转化为乘法 ②把各分式中分子或分母里的多项式分 解因式； ③ 约去分子与分母的公因式