1.2.2基本初等函数的导数运算公式及导数的运算法则
数学：1.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》课件(新人教A版选修2—2)
'
2x 3
'
3
'
3x 2.
所以,函数 y x 2x 3的导数是 y 3x 2.
' 2
2
例3
日常生活中的饮用水 经过 净化的 . 随着水 , 所需净化费 .已知将 1吨水净 x % 时所需费
通常是
纯净度的提高 用不断增加 化到纯净度为 用 单位 : 元 为 cx 5284 100 x
可以看作函数
和u
0 . 05 x 1 的复合函数
y y u
' x
.由复合函数求导法则有
'
e
0 . 05 x 1
u '
0 .0 5 x 1
0 . 05 e
u
0 . 05 e
.
3 函数
y sin π x φ 可以看作函数 .
'
f x f 3. g x
'
'
x g x f x g x g x 2 g x
0 .
例2
根据基本初等函 的导数公式 数
3
和导数运算法则求函数 y x 2x , 3 的导数.
解 x
因为y x 2x 3
一般地 , 对于两个函数 变量 u , y 可以表示成
y f u 和 u g x , 如果通过 x 的函数 , 那么称这个函数为函 fun
数 y f u 和 u g x 的 复合函数 ( composite ction ), 记作 y f g x .
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在给定点处的变化率。
在微积分中有许多基本的初等函数，它们都有对应的导数公式和导数的运算法则。
下面，我将介绍一些常见的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。
1.常数函数导数公式：如果f(x)=C，其中C为常数，则其导数为f'(x)=0。
2.幂函数导数公式：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
例如：f(x)=x^3，则f'(x)=3x^23.指数函数导数公式：如果f(x)=e^x，则其导数为f'(x)=e^x。
例如：f(x)=e^2，则f'(x)=e^24.对数函数导数公式：如果f(x) = ln(x)，则其导数为f'(x) = 1/x。
例如：f(x) = ln(2)，则f'(x) = 1/25.三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = sin(x)，则其导数为f'(x) = cos(x)。
(2) 如果f(x) = cos(x)，则其导数为f'(x) = -sin(x)。
(3) 如果f(x) = tan(x)，则其导数为f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = arcsin(x)，则其导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
(2) 如果f(x) = arccos(x)，则其导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
(3) 如果f(x) = arctan(x)，则其导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
导数的运算法则：1.常数乘法法则：设c为常数，f(x)为可导函数，则(cf(x))' = c*f'(x)。
例如：如果f(x)=2x，则f'(x)=2*1=22.求和差法则：设f(x)，g(x)为可导函数，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则[www
3x2 2. 所以,函数 y x3 2x 3的导数是 y' 3x2 2.
例3 日常生活中的饮用水 通常是经过净化的.随着水 纯净度的提高, 所需净化费 用不断增加.已知将1吨水净 化到纯净度为x%时所需费
用单位: 元为
1.金属晶体属等径圆球的密堆积方式：
请你比较
最紧密堆积
非紧密堆积
密置层
非密置层
采用密置层排列能够降低体系的能量
第一层:密置型排列 第二层:将球对准 1，3，5 位。
1
6
2
5
3
4
12
6
3
54
对准 2，4，6 位，其情形是一样的 吗？
密置双层只有一种
思考
取A、B两个密置层，将B层放 在A层的上面，有几种堆积方式？ 最紧密的堆积方式是哪种？它有 何特点？
cx 5284 80 x 100.求净化到下纯度
100 x 时,所需净化费用的瞬时变化率 :
1 90% ; 298%.
解 净化费用的瞬时变化率就是净化费
用函数的导数.
c
'
x
5284 100 x
'
5284' 100 x 5284 100 x'
100 x2
0
100 x 5284 100 x2
2
A
B
1
第一种排列
A
B
12
6
3
A
54
B
A
于是每两层形成一个 周期，即 AB AB 堆 积方式。
A3型紧密堆积
1
C
高中数学一章导数及其应用1.2导数的计算1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二2数学
1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成□01x 的函数，那么称这个函数为y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作□02y ＝f [g (x )]． 在复合函数中，内层函数u ＝g (x )的值域必须是外层函数y ＝f (u )的定义域的子集．2．复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即y x ′＝□03y u ′·u x ′，并且在利用复数的求导法则求导数后，最后结果要把中间变量换成自变量的函数．复合函数，可以是一个中间变量，也可以是两个或多个中间变量，应该按照复合次序从外向内逐层求导．使用复合函数求导法则的注意事项(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，选择适当的中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，如(sin2x )′＝2cos2x ，不能得出(sin2x )′＝cos2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可省略不写． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( )(2)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x(x ＋1)．( ) (3)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x .( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1)若f (x )＝2x ＋3，则f ′(x )＝________.(2)函数f (x )＝2sin x －cos x ，则f ′(x )＝________. (3)函数f (x )＝－2x ＋1，则f ′(x )＝________.答案 (1)2 (2)2cos x ＋sin x (3)2x ＋12探究1 简单复合函数求导问题 例1 求下列函数的导数．(1)y ＝(3x －2)2；(2)y ＝ln (6x ＋4)； (3)y ＝sin(2x ＋1)；(4)y ＝3x ＋5.[解] (1)∵y ＝(3x －2)2由函数y ＝u 2和u ＝3x －2复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x －2)′＝6u ＝18x －12.(2)∵y ＝ln (6x ＋4)由函数y ＝ln u 和u ＝6x ＋4复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(ln u )′·(6x ＋4)′＝6u ＝66x ＋4＝33x ＋2.(3)函数y ＝sin(2x ＋1)可以看作函数y ＝sin u 和u ＝2x ＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(sin u )′·(2x ＋1)′＝2cos u ＝2cos(2x ＋1)．(4)函数y ＝3x ＋5可以看作函数y ＝u 和u ＝3x ＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(u )′·(3x ＋5)′＝32u ＝323x ＋5.拓展提升复合函数求导的步骤【跟踪训练1】 求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝esin x；(3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)．解 (1)设y ＝u12 ，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u 12 )′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u － 12 ·(－4x )＝12(1－2x 2) － 12 (－4x )＝－2x 1－2x 2 . (2)设y ＝e u，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u·cos x ＝e sin xcos x .(3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )u ′(2x ＋1)x ′＝10u ln 2＝102x ＋1ln 2.探究2 复合函数与导数的运算法则的综合应用 例2 求下列函数的导数． (1)y ＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＞0)； (2)y ＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.[解] (1)y ′＝[x (x ＋1)(x ＋2)]′＝x ′(x ＋1)(x ＋2)＋x (x ＋1)′(x ＋2)＋x (x ＋1)(x ＋2)′＝(x ＋1)(x ＋2)＋x (x ＋2)＋x (x ＋1)＝3x 2＋6x ＋2.(2)设y ＝u 2，u ＝sin ν，ν＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u ν′·νx ′＝2u ·cos ν·2＝4sin νcos ν＝2sin2ν＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.[解法探究] 此题有没有其他解法呢？[解] (1)因为y ＝x (x ＋1)(x ＋2)＝(x 2＋x )(x ＋2)＝x 3＋3x 2＋2x ，所以y ′＝(x 3＋3x 2＋2x )′＝3x 2＋6x ＋2.(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·[ sin ( 2x ＋π3 ) ]′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.拓展提升求复合函数的导数需处理好的几个环节(1)求导之前应先将函数化简，然后再求导，以减少运算量；(2)中间变量的选择应是基本函数结构； (3)关键是正确分析函数的复合层次；(4)一般是从最外围开始，由外及里，一层层地求导； (5)善于把一部分表达式作为一个整体； (6)最后要把中间变量换成自变量的函数． 【跟踪训练2】 求下列函数的导数． (1)y ＝x 1＋x2；(2)y ＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.解 (1)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x2＝错误!.(2)∵y ＝x cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x (－sin2x )cos2x ＝－12x sin4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin4x ′＝－12sin4x －x 2cos4x ·4＝－12sin4x －2x cos4x .探究3 导数的综合应用例3 设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解] (1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝2a －b 2＝12.①又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝a ＋b 4＝74.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧4a －b ＝1，4a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.拓展提升根据切线方程求出切点及斜率，代入解方程组即可．利用f (x )上任意一点的切线方程求出三角形三顶点坐标即可求三角形面积．高考中对导数的考查，往往与其他知识点相结合：如切线的斜率、不等式的证明、函数的性质等，解题的关键是能够熟练求出导数，把问题转化为相对应的知识求解．【跟踪训练3】 已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标．解 因为直线l 过原点，所以直线l 的斜率k ＝y 0x 0(x 0≠0)，由点(x 0，y 0)在曲线C 上，得y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，所以y 0x 0＝x 20－3x 0＋2.又y ′＝3x 2－6x ＋2，所以k ＝y ′| x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2.又k ＝y 0x 0，所以3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，整理得2x 20－3x 0＝0.因为x 0≠0，所以x 0＝32，此时y 0＝－38，k ＝－14.因此直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－38.1.在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不具备求导法则条件的式子，可适当地进行等价变形，以达到化异求同，化繁为简的目的.2.在可能的情况下，求导时应尽量避免使用积商的求导法则，因此在求导前应利用代数、三角恒等变形对函数式进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，同时提高正确率.1．下列函数不是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4答案 A解析 A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A ．2．函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数是( )A ．12(e x －e －x) B ．12(e x ＋e －x )C ．e x－e －xD ．e x＋e－x答案 A 解析y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12e x ＋e－x′＝12[(e x )′＋(e －x)′]＝12(e x －e －x)． 3．函数f (x )＝π2x 2的导数是( ) A ．f ′(x )＝4πx B ．f ′(x )＝2πxC ．f ′(x )＝2π2xD ．f ′(x )＝2πx 2＋2π2x答案 C解析 由f (x )＝π2x 2得f ′(x )＝2π2x ，故选C ．4．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________.答案 18解析 f ′(x )＝4x3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′0＝－13，f ′－1＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13⇒a ＋b ＝5＋13＝18.5．设f (x )＝ln (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值．解 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝ln (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意知32＋a ＝32，故a ＝0.。
基本初等函数导数公式附导数运算法则
1.2．2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）教学目的：1熟练掌握基本初等函数的导数公式。
2掌握导数的四则运算法则；3能利用给出的公式和法则求解函数的导数。
教学重点难点重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学安排：两课时教学过程：引入：复习巩固导数的基本公式，及其基本运算规律。
且知识讲解：一：基本初等函数的导数公式为了方便我们将可以直接使用的基本初等函数的导数公式表如下：关于表特别说明：1 常数函数的导数是0；2幂函数导数是以对应幂函数的指数为系数3余弦函数的导数是正弦函数的相反数。
从图像上来看，正弦函数在区间上单调递增，瞬时变化率为正，和余弦函数在该区间的正负是一致的，余弦函数在区间上是单调递减，瞬时变化率为负，和正弦函数在该区间的正负是相反的，故有一个负号。
4的导数是它自身。
5例1计算下列函数的导数强调：1幂函数和指数函数是两种不同的函数，关键是看变量所处的位置是在底数上还是在指数上。
2 导函数的定义域决定于原函数的定义域。
练习：求下列函数的导数。
例2．（课本P14例1）假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？/年）在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．提出问题：10个年头，这种0.01）？二导数的计算法则推论1导数不变）2（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）3解决问题：公式和求导法则，有/年）0.4元/年的速度上涨．例3 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数，并注明定义域。
（1（2（3强调： 1 求导数是在定义域内实行的．2 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例4（P15例3）日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净所需净化费用的瞬时变化率：（1（24538y x x =+-练习：()()32454338x y xx -+'=+-解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．（1）用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）所以，费用的瞬时变化率是1321元/吨．强调：费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快． 五．课堂练习六．课堂小结（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则 七．布置作业 八．教学后记。
2. 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1课件
＝15x5′－43x3′＋(3x)′＋( 2)′＝x4－4x2＋3. (2) 解 法 1 ： y′ ＝ (3x5 － 4x3)′(4x5 ＋ 3x3) ＋ (3x5 －
4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4
＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5
3.复合函数及其求导法则
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u 复合函 ＝g(x)，如果通过变量u，y可以表 数的概 示成 x的函数 ，那么称这个函数
念 为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记 作 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y
＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为
(4)y′＝(2x)′＝2xln2. (5)y′＝2sin2xcos2x′＝(sinx)′＝cosx.
• 求下列函数的导数： • (1)y＝x－2；(2)y＝cosx；(3)y＝log3x；(4)y＝e0. • [解析] 由求导公式得
(1)y′＝－2·x－3＝－x23. (2)y′＝(cosx)′＝－sinx.
(2)y′＝(x·tanx)′＝xcsoisnxx′ ＝(xsinx)′coscxo－s2xxsinx(cosx)′ ＝(sinx＋xcocsxo)sc2oxsx＋xsin2x＝sinxccooss2xx＋x；
• (3)解法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ • ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ • ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x
yx′＝ 于
yu′·ux′.即y对x的导数等
. y对u的导数与u对x的导数的乘积
1.2.2_基本初等函数的导数公式及导数的运算法则ppt
• y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12.
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• (6)y′ ＝ 2cosx·(cosx)′ ＝ － 2cosx·sinx ＝ － sin2x
• [点评] 法则可简单叙述成：复合函数对 自变量的导数，等于已知函数对中间变量 的导数，乘以中间变量对自变量的导数．
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求下列函数的导数：
(1)y＝lnsinx2x；
(2)y＝
x 1－x.
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• [例3] 某日中午12时整，甲船自A处以 16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正 北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则 当日12时30分时两船之间的距离对时间的 瞬时变化率是________km/h.
＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，
∴曲线在点 P6π，1处的切线的斜率
k＝
＝24sin26π·cos6π＝3 3.
∴适合题意的曲线的切线方程为
y－1＝3
3x－π6，即
6 3x－2y－
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3π＋2＝0.
练习
一、选择题
1．y＝12(ex＋e－x)的导数是
A.12(ex－e－x)
[答案] －6 [解析] ∵f′(x)＝2cos3x＋4π·3x＋4π′ ＝6cos3x＋π4， ∴f′π4＝6cos34π＋π4＝－6.
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5．曲线 y＝3 3x2＋1在点(1，3 4)处的切线方程为 ________________．
[答案] x－3 2y＋1＝0
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三、解答题 6．求下列函数的导数： (1)y＝(1－3x)3； (2)y＝ln1x； (3)y＝sin2x1－2cos24x.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
[解析] (1)①y′＝(x sinx)′＝(x )′sinx＋x (sinx)′ ＝2xsinx＋x2cosx. ②y′＝[x (x －1)]′＝(x )′(x －1)＋x (x －1)′ ＝2x(x －1)＋x · 2x＝4x －2x.
1 2 1 3 －2 －3 (2)y′＝x＋x2＋x3′＝x＋2x ＋3x ′
又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.
a＋b＋c＝1， a＝3， 由4a＋b＝1， 解得b＝－11， 4a＋2b＋c＝－1， c＝9. 所以 a、b、c 的值分别为 3、－11、9.
[点评] 本题主要考查了导数的几何意义， 导数的运算法则及运算能力．
思考
看成是由
2 x 3
2
由 y u 和 u 2x 3
P16 思考:如何求 y
ln ( x 2 )
导数?
二、复合函数的概念
一般地, 对于两个函数 y f ( u ) 和 u g ( x ) , 如果通 过变量 u , y 可以表示成 x 的函数 , 那么称这个函数 y f ( u ) 和 u g ( x ) 的复合函数,记作 y f ( g ( x ))
2 (cos x cos x sin x sin x ) 2 cos 2 x
y sin 2 x
可由y=sinu,u=2x复合而成
cos u , u 2 yu x
.u 2 cosu 2 cos 2 x yu x
y u yx u x
2
的导数
y'
(ax bx x)
3 2
(2ax b )
(2ax b)
2
1[1].2.2nbsp基本初等函数的导数公式nbsp及导数的运算法则.ppt1
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冷水江市一中 孙祝梧
复习
求函数的导数的方法是:
(1)求函数的增量y f ( x0 x) f ( x0 );
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : y f ( x0 x) f ( x0 ) ; x x
y (3)求极限，得导函数y f ( x) lim . x 0 x
c′ (98) 5284 1321 2 (100 98)
(2)因为 ,所以,纯净度为 98%时,费用的瞬时变化率是1321元/吨. 函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变 (98) 25c′ (90) .它表示纯净 化的快慢.由上述计算可知 c′ 度为98%左右时净化费用的变化率,大约是纯净度为 90%左右时净化费用的变化率的25倍.这说明,水的纯 净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加 的费用也越快.
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
Байду номын сангаас
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求 出切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程.
y y f ( x0 )( x x0 ).
0
函数导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1 .
x
例1
假设某国家在20年期间的年通货膨胀 率为5﹪，物价p（单位：元）与时间t（单
位：年）有函数关系 pt p0 1 5%t ，其
中 p0 为t=0时的物价.假定某商品的 p0 1
那么在第10个年头，这种商品的价格上涨 的速度的大约是多少（精确到0.01）？
解：根据基本初等函数的导数公式表，有
3. 若 fx sin x,则 f ' x cos x; 4. 若 fx cos x,则f ' x sin x; 5. 若 fx ax,则f ' x ax lna;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
7.
若fx loga x,则f ' x
1 ;
x ln a
8.
若fx ln x,则f 'x
名词解释
一般地，对于两个函数y=f(u)和 u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为函数 y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做 y=f(g(x)).
复合函数y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为
yx′= yu′ ux′.
即y对x的导数等于y对u的导数与 u对x的导数的乘积.
关于t的导数可以看成函数f(t)=5与g(t)= 1.05t
乘积得到导数.下面的“导数运算法则”
可以帮助我们解决两个函数加﹑减﹑乘﹑
除的求导问题.
根据导数的定义，可以推出可导 函数四则运算的求导法则
若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则
1.和(或差)的导数
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两 个函数的导数的和(或差),即
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则一、导数公式1.基本导数公式：(1) 常数函数的导数为0，即d/dx(c) = 0，其中c为常数。
(2) 幂函数的导数为其指数与常数的乘积，即d/dx(x^n) = n*x^(n-1)，其中n为实数。
(3) 自然对数函数的导数为1/x，即d/dx(ln(x)) = 1/x。
(4) 正弦函数的导数为余弦函数，即d/dx(sin(x)) = cos(x)。
(5) 余弦函数的导数为负的正弦函数，即d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
2.基本初等函数的导数公式：(1) 常数乘以函数的导数等于函数的导数乘以这个常数，即d/dx(c*f(x)) = c*f'(x)，其中f(x)为可导函数，c为常数。
(2) 函数相加（减）的导数等于函数导数的相加（减），即d/dx(f(x)±g(x)) = f'(x)±g'(x)，其中f(x)和g(x)为可导函数。
(3) 乘积法则：两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即d/dx(f(x)*g(x)) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
(4) 商法则：函数的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数再除以分母的平方，即d/dx(f(x)/g(x)) = (f'(x)*g(x) -f(x)*g'(x))/[g(x)]^23.复合函数的导数：(1) 基本链式法则：若y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，则y=f(g(x))也是可导函数，且它的导数等于f'(u)*g'(x)，即dy/dx = dy/du *du/dx = f'(u) * g'(x)。
1.反函数的导数：若函数y=f(x)在区间I上具有连续的导数f'(x)，且在区间I上f'(x)≠0，则它的反函数x=g(y)在对应的区间J上也有连续的导数，且g'(y)=1/f'(x)。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数是微积分中一个重要的概念，表示函数在其中一点上的变化率。
在求解导数时，我们可以利用一些基本初等函数的导函数公式以及导数的运算法则来简化计算。
以下是一些常用的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。
一、基本初等函数的导数公式1.常数函数：若f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0。
2. 幂函数：若f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
例如，f(x) = x^2，则f'(x) = 2x。
3. 指数函数：若f(x) = a^x，其中a为正常数且a≠1，则f'(x) = a^x ln(a)。
其中ln(x)表示以e为底的对数函数。
例如，f(x) = 2^x，则f'(x) = 2^x ln(2)。
4. 对数函数：若f(x) = logₐx，其中a为正常数且a≠1，则f'(x)= 1 / (x ln(a))。
例如，f(x) = log₂x，则f'(x) = 1 / (x ln(2))。
5. 三角函数：（1）sin(x) 的导函数为 cos(x)；（2）cos(x) 的导函数为 -sin(x)；（3）tan(x) 的导函数为 sec^2(x)，其中 sec(x) 为secant 函数，其值等于 1 / cos(x)；（4）cot(x) 的导函数为 -csc^2(x)，其中 csc(x) 为 cosecant 函数，其值等于 1 / sin(x)；（5）sec(x) 的导函数为 sec(x)tan(x)；（6）csc(x) 的导函数为 -csc(x)cot(x)。
1.和差法则：若f(x)和g(x)都是可导函数，则(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)。
即和差函数的导数等于各个函数的导数之和或差。
例如，若f(x)=x^2，g(x)=x，则(f+g)'(x)=(x^2)'+x'=2x+12. 数乘法则：若f(x) 是可导函数，c 为常数，则(cf)'(x) =cf'(x)。
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二
3.
f g
x x
′
f′ x
g
x f x g x2
g′ x
g
x
0
.
如何求函数y=㏑（3x+2）的导数呢？
若设u=我3x们+无2，法则用y=现ln有u的.即方y=法㏑求（函3x数+2） 可以y=看㏑成（是x由+2y）=l的n 导u和数u.=下3x面+，2经我过们“先复合” 得到分的析，这即个y函可数以的通结过构中特间点变.量u表示为自 变量x的函数.
练习 1：指出下列函数的复合关系：
(1)y＝(a＋bxn)m； (2)y＝ln3 ex＋2；
(3)y＝3log2(x2－2x＋3)；(4)y＝sin3(x＋1x)．
解：函数的复合关系分别是：
(1)y＝um，u＝a＋bxn；
(2)y＝lnu，u＝3 v，v＝ex＋2； (3)y＝3 u，u＝log2v，v＝x2－2x＋3；
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x lna
8.
若 fx lnx,则f ' x
1 .
x
三角函数 指数函数 对数函数
2.导数的运算法则 1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′; 2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)+ f(x) g(x) ′;
类似的结论是：若奇函数f(x)是可导函数， 则f′(x)是偶函数．
练习 3：
若函数 f(x)是可导函数，求函数 y ＝f(1x)的导数．
[答案] y′＝－x12 f′(1x)
随堂练习
1.函数y＝(3x－4)2的导数是( )
A．4(3x－2)
16-17版：1.2.1 几个常用函数的导数~1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算 法则(
1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标] 1.能根据定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．知识点一 几个常用函数的导数思考 (1)函数f (x )＝c ，f (x )＝x ，f (x )＝x 2的导数的几何意义和物理意义分别是什么？ (2)函数f (x )＝1x 导数的几何意义是什么？知识点二基本初等函数的导数公式思考由函数y＝x，y＝x2的导数，你能得到y＝xα(α∈Q*)的导数吗？如何记忆该公式？题型一运用求导公式求常见的基本初等函数的导数例1求下列函数的导数：(1)y＝1x5；(2)y＝12log x；(3)y＝cos π4；(4)y＝22x.反思与感悟 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x； (3)y ＝x x ；(4)y ＝12log x .题型二 利用导数公式求曲线的切线方程例2 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝⎛⎭⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．反思与感悟 导数的几何意义是曲线在某点处的切线斜率，两条直线互相垂直时，其斜率之积为－1(在其斜率都存在的情形下)． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．在利用求导公式时，因没有进行等价变形出错例3 求函数y ＝3x 2的导数． 错解 ∵y ＝3x 2，∴y ＝x 32，故y ′＝3212x .错因分析 出错的地方是根式化为指数幂，没有进行等价变形，从而导致得到错误的结果． 正解 ∵y ＝3x 2＝23x ，∴y ′＝2313x -.防范措施 准确把握根式与指数幂的互化：nx m ＝m nx ，1n x m＝m nx-.1．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36B ．0 C.12xD.323．给出下列结论：①⎝⎛⎭⎫cos π6′＝－sin π6＝－12； ②若y ＝1x 2，则y ′＝－2x －3；③若f (x )＝3x ，则[f ′(1)]′＝3； ④若y ＝5x ，则y ′＝155x .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．44．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．5．求下列函数的导数：(1)y＝1x3；(2)y＝3 x.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2x2的导数．因为y＝1－2sin2x2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．提醒：完成作业 1.2.1～1.2.2(一)答案精析知识梳理 知识点一0 1 2x －1x 2 12x思考 (1)常数函数f (x )＝c ：导数为0，几何意义为函数在任意点处的切线垂直于y 轴，斜率为0；当y ＝c 表示路程关于时间的函数时，y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．一次函数f (x )＝x ：导数为1，几何意义为函数在任意点处的切线斜率为1，当y ＝x 表示路程与时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动；一般地，一次函数y ＝kx ：导数y ′＝k 的几何意义为函数在任意点处的切线斜率为k ，|k |越大，函数变化得越快．二次函数f (x )＝x 2：导数y ′＝2x ，几何意义为函数y ＝x 2的图象上点(x ，y )处的切线斜率为2x ，当y ＝x 2表示路程关于时间的函数时，y ′＝2x 表示在时刻x 的瞬时速度为2x . (2)反比例函数f (x )＝1x ：导数y ′＝－1x 2，几何意义为函数y ＝1x 的图象上某点处切线的斜率为－1x 2. 知识点二0 αx α－1 cos x －sin x a x ln a e x1x ln a 1x思考 因y ＝x ，得y ′＝1；y ＝x 2，得y ′＝2x ，故y ＝x α的导数y ′＝αx α－1，结合该规律，可记忆为“求导幂减1，原幂作系数”． 题型探究例1 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 5′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6； (2)y ′＝1x ln 12＝－1x ln2；(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos π4′＝0； (4)y ′＝(22x )′＝(4x )′＝4x ·ln 4. 跟踪训练1 解 (1)y ′＝8x 7； (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12；(4) y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.例2 解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，12处的切线斜率是： y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23⎝⎛⎭⎫x －π6， 即2x ＋3y －32－π3＝0. 跟踪训练2 解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1. 又∵f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)．∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)．又∵切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)． 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1.当x 0＝2时，f ′(x 0)＝1，此时所求切线方程为x －y －4＝0； 当x 0＝1时，f ′(x 0)＝0，此时所求切线方程为y ＋2＝0. 故经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为 x －y －4＝0或y ＋2＝0. 当堂检测1．D [令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义，可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.]2．A [∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.]3．A [cos π6＝32为常数，则⎝⎛⎭⎫cos π6′＝0，所以①错误；y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，所以②正确；因为f (x )＝3x ，所以f ′(x )＝3，所以[f ′(1)]′＝0，所以③错误；y ′＝(5x )′＝⎝⎛⎭⎫x 15′＝15x －45，所以④错误．] 4.12e 2 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.5．解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －3－1＝－3x －4. (2)y ′＝(3x )′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x －23.。
122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
y '= (6 x 3 )'- (4 x 2 )' (9 x )'- (6 )' =18x2-8x9.
7
例3 求下列函数的导数．
(1) y = x2 ;（2）y=tanx;(3) y=3x2-x x5 x-9.
4.
若f
(x)
=
cos
x，则f
'(x)
=
- sin
x；
函数的导数公 式，除部分上
5. 若f ( x) = a x，则f '( x) = a x ln a； 一节已经证明
6. 若f ( x) = e x，则f '( x) = e x；
过，其他的只
7. 若f ( x) =
log a
x，则f
'(x) =
1
练习1. 求下列函数的导数．
x2 1
(1) y =
;
x
(2)y=-six n (1-2co 2xs ).
2
4
解：
(1)
(x21)2
=
2x2
- ( x2 x2
1)
=
x2 - 1 x2
= 1-
1 x2 .
法2
x2 1
Q y=
=
x
1
：
x
x
y' = ( x 1 )' ==((xx))''((1x-)1')'=1-x-2=
解：运动物体在t=3时的速度即是函数s(t)在t=3时的导数．
1.2.2 基本初等函数的导数公式和运算法则
3.商的导数
法则3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的
积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即
( f (x)) f (x)g(x) f (x)g(x) (g(x) 0)
g(x)
g 2 ( x)
例5. y x2 的导数 sin x
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2). 对于S1, y 2x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①
[ f (x) g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x)
推论: (Cu) Cu
例3.求 y 2x3 3x2 5x 4的导数
例4. 求 y (2x2 3)(3x 2) 的导数
小结:
可导函数四则运算的求导法则 1.和(或差)的导数
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的 导数的和(或差),即
函数求导的基本步骤： 1，分析函数的结构和特征 2，选择恰当的求导法则和导数公式 3，整理得到结果
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn , 则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x,则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
yx ' yu '•ux ' (eu )'•(0.05x 1)' 0.05eu 0.05e0.05x1
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'
x
3 '
2x 3
'
'
3x 2.
2
所以,函数 y x 3 2x 3的导数是 y' 3x2 2.
例4:求下列函数的导数:
1 2 答案: (1) y 1 4 ; ( x ( 2) y ; 2 2 (2) y ; (1 x ) 2 1 x 1 ( 3) y ; (3) y tan x; 2
1.2.2基本初等函数的导数公 式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式
' 1.若f(x)=c，则f(x)=0 ' n-1 2.若f(x)=x n，则f(x)=nx (n R) ' 3.若f(x)=sinx，则f(x)=cosx ' 4.若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx ' x 5.若f(x)=ax，则f(x)=a ln a ' x 6.若f(x)=ex，则f(x)=e
我们无法用现有的方法 求函数y lnx 2 的导数. 下面, 我们先分析这个函数的 结构特点 . 若设u x 2x 2 , 则y ln u.从而y lnx 2 可以看成是由y ln u 和u x 2x 2 经过 " 复 合" 得到的, 即y可以通过中间变量 u表示为自变量x 的函数. 如果把 y 与u的关系记作y f u, u 和 x 的关系记作 u gx ,那么这个" 复合" 过程可表示为 y f u f gx lnx 2 . 我们遇到的许多函数都 可以看成是由两个函数 经过
1 90% ;
298% .
解 净化费用的瞬时变化率 就是净化费 用函数的导数 . ' 5284 ' c x 100 x ' ' 5284 100 x 5284 100 x 2 100 x 0 100 x 5284 1 5284 . 2 2 100 x 100 x 5284 ' 1因为c 90 52.84, 2 100 90 所以, 纯净度为 90%时, 费用的瞬时变化率 是55.84元 / 吨.
y
例3：求下列函数的导数 1 (1). y 4 ; x (2). y x x.
'
(x ) 2 2 6
y 4 x
3 y x 2
' 1 2
5
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
cos x
例 3 日常生活中的饮用水 通常是经过 净化的.随着水 纯净度的提高, 所需净化费 用不断增加 .已知将1吨水净 化到纯净度为x%时所需费 用单位 : 元为 5284 80 x 100.求净化到以下纯度 c x 100 x 时, 所需净化费用的瞬时变 化率 :
由此可得, y ln3x 2对x的导数等于y ln u对u的 导数与u 3x 2对x的导数的乘积 ,即 1 3 ' ' ' ' ' y x yu ux ln u 3x 2 3 . u 3x 2
例4 求下列函数的导数
1 y 2x 3 ; 2 y e ; 3 y sinπx φ其中π, φ均为常数.
思考 如何求函数y lnx 2的导数呢?
" 复合" 得到的 , 例如,函数y 2 x 3 由y u2和u 2 x 3" 复合" 而成,等等.
2
复合函数y f gx 的导数和函数 y f u,u gx 的 ' 导数间的关系为 y 'x yu u'x .
5284 2因为c 98 1321 , 2 100 98 所以, 纯净度为 98%时, 费用的瞬时变化率 是1321 元 / 吨. 函数 f x 在某点处的导数的大小表示函数
'
在 此 点附近 变化的快 慢 .由上 述 计算可知, c ' 98 25c ' 90 .它表示纯净度为 98% 左 右时 净 化费用的变化 率 , 大 约是 纯 净 度 为 90% 左右时净化费用变化率的 25 倍 .这说 明, 水的纯净度越高, 需要的净化费用就越多, 而且净化费用增加的速度也越快.
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
例2
根据基本初等函 数 的导数公式
和导数运算法则 , 求函数 y x 3 2x 3 的导数.
解 因为y x 2x 3
2 0.05 x 1
解 1函数y 2x 3 可以看作函数 y u3和 u 2x 3的复合函数 . 由复合函数求导法则有
2
y y u
' x ' u
' x
2函数 y e0.0 5x1 可以看作函数 y eu 和u
0.05x 1的复合函数 .由复合函数求导法则有
例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零?
1 4 t 4
解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) s(t ) t 3 12t 2 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
一般地, 对于两个函数y f u和u gx , 如果通过 变量u, y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函 数y f u和u gx 的 复合函数 (composite fun ction),记作y f gx .
y 'x 表示y对x的导数
即y对x的导数等于 y对u的导数与u对x的导数的乘积 .
1 7.若f(x)=logax，则f(x)= xlna 1 ' 8.若f(x)=lnx，则f(x)= x
'
例1.已知y log 2 x，求曲线在点 x 2处的切线方程.
1 2 y ( x 2) 2 2ln 2
例2.已知y cos x，求曲线在点 5 x 处的切线方程. 6 3 1 5π
由复合函数求导法则有
' y'x yu u'x sinu' πx φ'
π cosu π cosπx φ.
作业:
求曲线y=x2在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x=2所围城的三角形的面积。
u
2x 3
2 ' u '
'
4u 8x 12.
y y u
' x ' u
' x
e
0.05x 1
'
0.05eu 0.05e0.0 5x 1.
3函数y sinπx φ可以看作函数y sinu和
u πx φ的复合函数 .
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即: