2021届与名师对话高三理科数学第一轮第四章三角函数、解三角形第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数

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北师版高考总复习一轮理科数课件第4章三角函数、解三角形指点迷津(五) 三角函数中有关ω的求解技巧

答案:(-∞,-2]∪
3
, +∞
2
解析:显然 ω≠0.
若 ω>0,当 x∈
π π
−3,4
π
时,-
3
≤ωx≤
π
上的最小值为-2,所以-3
若 ω<0,当 x∈
π π
− ,
3 4
π π
− ,
3 4
π π
−3,4
π
时,4

π
,因为函数
4
π
≤- 2 ,解得
π
≤ωx≤-3
π
上的最小值为-2,所以
第四章
指点迷津(五) 三角函数中有关ω的求解技巧
三角函数中有关ω的求解技巧
在三角函数的图像与性质中ω的求解是近年高考的一个热点内容,但因其
求法复杂,涉及的知识点多,历来是我们复习中的难点.
一、结合三角函数的单调性求解
例 1.已知函数 f(x)=sin +
值范围为(
A.
C.
8
0,
3
1 8
,
2 3
π
,∴ω≥2,∴ω
4
有最小值 2,故选 A.
−
π
12
≥

,
4
解题心得三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”

为 ,相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为 ,这就说明,我们可根
2
4
据三角函数的对称性来研究其周期性,进而可以研究“ω”的取值.
对点训练 2 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),若 f(x)在区间
成立,则 ω 的最小值为

3-2-1与名师对话高三一轮数学(理)

第二步：求导数f′(x)．
核
第三步：在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.(不易求解时可再
心
考点
构造函数，判断其正负)
突破
第四步：根据第三步的结果确定函数f(x)的单调区间.
课后跟踪训练
第19页
与名师对话·系列丛书
基
础
知
识
诊断
求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝12(x－5)2＋6lnx；
高考总复习•数学（文）名师微课导学课后跟踪训练
第23页
与名师对话·系列丛书
高考总复习•数学（文）
基础知识诊断
考点二讨论函数的单调性
名
师
微
【例2】
(2021·合肥实验中学月考)已知函数f(x)＝
a 2
(x－1)2－x＋lnx(a>0)，讨
课导学
论f(x)的单调性．
核心
(2)f(x)＝xcosx－sinx＋1(x>0)；
考点
(3)f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x.
突
破
第20页
高考总复习•数学（文）名师微课导学课后跟踪训练
与名师对话·系列丛书
高考总复习•数学（文）
基础
[解] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
知识诊断
第3页
高考总复习•数学（文）
名
师
微
课
导数与函数的单调性
导学
课后跟踪训练
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高考总复习•数学（文）
基础知识诊断

2021届与名师对话高三理科数学第一轮第四章三角函数、解三角形第八节解三角形应用举例

突
破
第7页
第4章第8节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(理)
基
础
知
识回
4．坡角与坡度
顾
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，课
后
角 θ 为坡角)；

跟踪
训
核
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为练
心
考点
坡度)．坡度又称为坡比．
突
破
第8页
第4章第8节
识
回顾
距 3 km 的 C，D 两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，
∠ ADC ＝ 30°， ∠ ADB ＝ 45°，则 A ， B 之间的距离为
课后
跟
___5_____km.
踪训
核
练
心考
[思路引导] △ACD 中求 AC→△BCD 中求 BC→△ABC
点
突破
中求 AB.
础知
在△BCD 中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.
识
回顾
∴BC＝
s3isni6n07°5°＝
6＋ 2
2(km)．
课后
在△ABC 中，由余弦定理，得
跟踪
训
核心考
AB2＝(
3)2＋
6＋ 2
22
－
2×
3×
6＋ 2
2×cos75°＝3
练
点
突破
＋2＋ 3－ 3＝5，所以 AB＝ 5 km，∴A，B 之间的距离为
破位、近似计算要求．
第10页
第4章第8节

【与名师对话】高考数学一轮复习第四章平面向量阶段整合课件文

已知函数f(x)＝2acos x＋bsin
π 1 f4＝ . 2
2
xcos
3 3 x－ 2 ，且f(0)＝ 2 ，
(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的单调递减区间； (3)函数f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象关于原点对称？【思路启迪】先求出f(x)的解析式，再求解．
a b (ωx＋φ)(ห้องสมุดไป่ตู้os φ＝ 2 2，sin φ＝ 2 2)的形式来求． a ＋b a ＋b
(2014· 潍坊模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0， π ω>0,0<φ< )的部分图象如图所示． 2
(1)求f(x)的解析式； π2 π π (2)设g(x)＝fx－ 12 ，求函数g(x)在x∈－ 6 ， 3 上的最大值，并确定此时x的值．
二、解三角形以正弦定理、余弦定理的综合运用为主，在解题时，要分析清楚题目条件，利用正弦定理、余弦定理及面积公式转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，并结合三角形的内角和为180° ，诱导公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简求值．
(2014· 辽宁卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a， 1 → → b，c，且a>c.已知BA· BC＝2，cos B＝3，b＝3.求： (1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值．【思路启迪】 (1)结合向量数量积、余弦定理列方程组求解；(2)利用正弦定理结合两角差的余弦公式求解．
【解】 3 故a＝ 2 .
3 3 3 (1)由f(0)＝ 2 ，得2a－ 2 ＝ 2 ，
π 1 由f4＝2，得
3 b 3 1 2 ＋2－ 2 ＝2，所以b＝1.

4-3-1与名师对话高三一轮数学(理)

训
核心考点突破
∴tan(α－β)＝1t＋antαa－nαt·atannββ＝1＋－－3434＋×12－12＝－121.故选A.
练
第20页
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高考总复习•数学（文）
基础
2．若cos8π－α＝16，则cos34π＋2α的值为( A )
知
识
17
诊断
A.18
B．－1178
课
后
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
课后
跟
踪
训
练
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高考总复习•数学（文）
基
础
知
识诊
新课程标准：1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角
断差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两
课后
跟
角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们踪
核
心考
(2)(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝( A )
点
突
5
2
破
A. 3
B.3
1
5
C.3
D. 9
第16页
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高考总复习•数学（文）
基础知识
[解析] (1)原式＝sin5°c＋os2235s°in25°
诊
断
＝sin30°－c2o5s°2＋5°23sin25°＝12ccooss2255°°＝12.故选C.
课后跟
踪
核心
∴ 3sinα＋π6＝45 3，sinα＋π6＝45，
训练

4-5与名师对话高三一轮数学(理)

基
名
础
师
知
微
识
课
诊
导
断
学
核
课
心
后
考
跟
点
踪
突
训
破
练
第10页
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高考总复习•数学(理)课标版
基
名
础
师
知
微
识
课
诊
导
断
学
[解析]
由f(0)＝sin －π3 ＝－
3 2
，排除B、D；由f
－π2
＝sin
－43π
＝
3 2
，排除
核心
C
点
踪
突
训
破
练
第11页
与名师对话·系列丛书
课后跟踪训练
与名师对话·系列丛书
高考总复习•数学(理)课标版
基
名
础
师
知
微
识
课
诊
导
断
学
新课程标准：1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)
的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2．了解三角函数是描述周期变
核心
化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．
把函数y＝2cos
2x－π4
的图象向左平移
π 8
个单位，可得y＝2cos
2x＋π8－4π
＝
名师微
识诊
2cos2x．故选C．
课导
断
学
(2)因为f(x)＝3sin2x＋ 3cos2x＝2 3sin2x＋π6，所以g(x)＝2 3sinx＋π3，所以x1

2021届《与名师对话》高考新课标高中物理一轮复习课件：1.3运动图像、追击、相遇问题（人教必修1）

(2011·湛江月考)如图所示是某质点做直线运动的v－t图象，由图可知这个质点的运动情况是( )
A．前5 s做的是匀速运动 B．5 s～15 s内做匀加速运动，加速度为1 m/s2 C．15 s～20 s内做匀减速运动，加速度为－3.2 m/s2 D．质点15 s末离出发点最远，20秒末回到出发点
(对应学生用书P9) 匀变速直线运动图象(Ⅱ) 1．直线运动的x－t图象 (1)意义：反映了做直线运动的物体位移随时间变化的规律． (2)图线上某点切线斜率的意义 ①斜率大小：表示物体速度的大小． ②斜率的正负：表示物体速度的方向． (3)两种特殊的x－t图象 ①若x－t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态． ②若x－t图象是一条倾斜的直线，说明物体在做匀速运动．
甲车由速度为零加速到最大速度发生的位移 s＝2va2m1＝320 m 因为s>s1 所以两车相遇时两车都是处于加速阶段，故有
12a1(t0＋ t)2＝ s0＋12a2t2 解得t0＝6 s，两车相遇时甲车行驶的路程是 s1＝12a1(t0＋t)2＝245 m. (2)v－t图象如右图所示．
[答案] (1)t0＝6 s，s1＝245 m (2)见解析
[解题样板] 甲车运动6 s的位移为
s0＝12a1t20＝45 m(2分) 此时甲车尚未追上乙车，设此后用时间t与乙车相遇，则有
12a1(t＋ t0)2＝________(3分 ) 将上式代入数据并整理得：________＝0(2分) 解得：t1＝4 s，t2＝8 s(2分) t1、t2都有意义，t1＝4 s时，甲车追上乙车；t2＝8 s 时，乙车追上甲车再次相遇第一次相遇地点距A的距离：s1＝________＝125 m(2分) 第二次相遇地点距A的距离：s2＝________＝245 m(2分) [答案] 12a2t2＋85 m t2－12t＋32 12a1(t1＋t0)2 12a1(t2＋t0)2

与名师对话高三文科第一轮复习第四章三角函数、解三角形第三节两角和与差的正弦、余弦、正切公式

踪训
练
核心考点突破
＝1t－an3ta0n°3＋0°ttaann4455°°＝13－3＋313＝2＋ 3，故选D.
第9页
第4章第3节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
3．(2019·贵阳市高三监测)sin415°－cos415°＝( D )
基
础
1
知识
A.2
B．－12
回
∵cosπ6＋α＝－45，∴sinπ6＋α＝35，
点
突
破
第13页
第4章第3节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
础知识回
∴cosα＝cosπ6＋α－π6
顾
＝cosπ6＋αcosπ6＋sinπ6＋αsinπ6
课后跟踪
核
＝－45× 23＋35×12
训练
心
考点突破
，
顾则cosα＋π6＝cosα－1π2＋π4＝cosα－1π2
课后跟踪
核心
cos
π 4
－sin
α－1π2
sin
π 4
＝
4 5
×
2 2
－
3 5
×
2 2
＝
2 10
，于是
训练
考点突破
cos2α＋π3＝2cos2α＋π6－1＝2× 1022－1＝－2245，故选D.
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第4章第3节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
础
知
识回
最新考纲：1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公
顾

高三大一轮复习数学(文)教师用书：第四章三角函数、解三角形 Word版含答案

§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．弧度制(1)定义：在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°.(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．三个三角函数的初步性质如下表：4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( )(3)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.( )(4) α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α.( )(5)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√1．(2017·陕西宝鸡一模)与610°角终边相同的角可表示为( ) A ．k ·360°＋230°(k ∈Z ) B ．k ·360°＋250°(k ∈Z ) C ．k ·360°＋70°(k ∈Z )D ．k ·360°＋270°(k ∈Z )答案：B2．已知sin θ<0，tan θ>0，那么角θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选C.由sin θ<0，则θ的终边在第三、四象限，或y 轴负半轴．由tan θ>0，则θ的终边在一、三象限，故θ是第三象限角．3．(教材改编)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1解析：选C.设圆的半径为r ，则sin 1＝1r ，∴r ＝1sin 1，∴2弧度的圆心角所对弧长为2r ＝2sin 1.4. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.解析：因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以点A 的横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案：－355．函数y ＝2cos x －1的定义域为________．解析：∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围 (如图阴影所示)．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z)类型一角及其表示(1)(2017·江苏徐州模拟)若点P (m ，n )是1 110°角的终边上任意一点，则m 2－n 2m 2＋2mn ＋n 2的值等于________．解析由1 110°＝3×360°＋30°， ∴tan 1 110°＝tan 30°＝n m ＝33， ∴m 2－n 2m 2＋2mn ＋n 2＝m ＋n m －n m ＋n 2＝m －nm ＋n ＝1－nm 1＋nm＝1－331＋33＝2－ 3.答案 2－ 3(2)若角α在第三象限，则α2在第________象限．解析 ∵2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z )，∴k π＋π2<α2＜k π＋34π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π2<α2<2n π＋34π，α2是第二象限角，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋3π2<α2<2n π＋74π，α2是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角．答案二或四(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角．(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．1．(1)设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，那么( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅解析：选B.(方法一)由于M ＝x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B.(方法二)由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.(2)已知角α＝45°，在区间内与角α有相同终边的角β＝________. 解析：由终边相同的角关系知β＝k ·360°＋45°，k ∈Z ， ∴取k ＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°类型二弧度制的应用(1)已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径r ＝6，求AB 的长及扇形面积． (2)已知扇形周长为20，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积，最大面积是多少？解 (1)∵α＝120°＝2π3，∴l ＝α·r ＝2π3×6＝4π，S ＝12lr ＝12×4π×6＝12π.(2)由已知得l ＋2r ＝20，∴S ＝12lr ＝12(20－2r )·r ＝10r －r 2＝－(r －5)2＋25，所以r ＝5时，S max ＝25，此时，l ＝10，α＝l r ＝105＝2(rad)．应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．2．(1)在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．解析：2 010°＝676π＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6.答案：－5π6(2)已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大．解析：设扇形的圆心角为α，半径为r ，则 2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r－2.∴S 扇形＝12|α|·r 2＝2r －r 2＝－(r －1)2＋1，∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2. 答案：1 2类型三三角函数的意义题点1 三角函数定义的应用(1)(2017·山东济南模拟)α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点且cos α＝24x ，则x 的值为( )A. 3 B ．± 3 C ．－ 3D ．－ 2解析 ∵cos α＝x r＝x x 2＋5＝24x ， ∴x ＝0(舍去)或x ＝3(舍去)或x ＝－ 3. 答案 C(2)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D ．⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 解析由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 答案 A题点2 三角函数值的符号(1)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2， ∴cos θ2≤0，综上知θ2为第二象限角．答案 B(2)设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．解析由α是第三象限角，知2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )，k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z )，知α2是第二或第四象限角，再由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2＜0，所以α2只能是第四象限角．答案四题点3 三角函数线满足cos α≤－12的角α的集合为________．解析作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z (1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r .(2)根据三角函数定义中x 、y 的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．(3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围．3．(1)已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．直线y ＝x 上D ．直线y ＝－x 上解析：选A.∵|cos α|＝1， ∴角α的终边在x 轴上．(2)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．解析：选A.∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2＜a ≤3.故选A.数形结合思想在三角函数中的应用(六)典例 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C (2,1)时，OP →的坐标为____．(2)(2017·安徽合肥调研)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．思维点拨 (1)点P 转动的弧长是本题的关键，可在图中作三角形，寻找P 点坐标和三角形边长的关系．(2)求函数的定义域可转化为解不等式－32＜sin x ＜32，利用三角函数线可直观清晰得出x 的范围．(1)如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA ＝2，即圆心角∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π2，所以|PB |＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2， |CB |＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2，所以x p ＝2－|CB |＝2－sin 2，y P ＝1＋|PB |＝1－cos 2，所以OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)．(2)∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．(1)(2－sin 2,1－cos 2) (2)⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z ) (1)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系．(2)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的位置．思想方法感悟提高1．在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP |＝r 一定是正值．2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．课时规范训练(时间：35分钟)1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选C.－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析：选C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A ，B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( ) A ．sin 2 B ．－sin 2 C ．cos 2D ．－cos 2 解析：选 D.因为r ＝2＋－2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos 2.4．已知△ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．4解析：选B.因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin(90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1.5．点A (sin 2 019°，cos 2 019°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.因为sin 2 019°＝sin(11×180°＋39°) ＝－sin 39°<0，cos 2 019°＝cos(11×180°＋39°) ＝－cos 39°<0，所以点A (sin 2 019°，cos 2 019°)位于第三象限．6．设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝8，12lr ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝4.∴圆心角α＝l r ＝42＝2.答案：27．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为________．解析：由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.答案：－18．函数y ＝sin x ＋12－cos x 的定义域是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，12－cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤12.∴x 的取值范围为π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z )9．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解：设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad. ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)． ∴圆心角的弧度数为2，弦长AB 为2sin 1 cm. 10．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限．其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z . (2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．(时间：25分钟)11．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43 B ．34 C ．－34D ．－43解析：选D.因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16.解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43.12．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)，其中符号为负的是( ) A ．①② B ．② C ．③D ．①③解析：选C.与－1 000°终边相同的角是80°，所以－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0；与－2 200°终边相同的角是－40°，所以－2 200°是第四象限角，则cos(－2 200°)>0；－7π2<－10<－3π，所以－10是第二象限角，则tan(－10)<0.13．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在内，α的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π解析：选B.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0，tan α>0，α∈，∴⎩⎪⎨⎪⎧π4＜α＜5π4，0<α<π2或π<α<3π2.故α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4.14.如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，平行四边形OAQP 的面积为S (θ)．(1)求OA →·OQ →＋S (θ)的最大值及此时θ的值θ0；(2)设点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，∠AOB ＝α，在(1)的条件下，求cos(α＋θ0)的值．解：(1)由已知，得A ，P 的坐标分别为(1,0)，(cos θ，sin θ)，∴OQ →＝(1＋cos θ，sin θ)，OA →·OQ →＝1＋cos θ，又S (θ)＝sin θ，∴OA →·OQ →＋S (θ)＝sin θ＋cos θ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1(0<θ<π)，故OA →·OQ →＋S (θ)的最大值是2＋1，此时θ0＝π4.(2)∵cos α＝－35，sin α＝45，θ0＝π4，∴cos(θ0＋α)＝cos π4·cos α－sin π4·sin α＝－7210.15.如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点和Q 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为43π·4＝163π， Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．下列各角的终边与角α的终边的关系判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√1．(2015·高考福建卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125C.512D ．－512解析：选D.(方法一)因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. (方法二)因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：选A.由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x＝－1，故cos x sin x －1＝12.3．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( ) A ．－255B ．255C ．±255D ．52解析：选B.sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，得cos α＝1－sin 2α＝53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.4．已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin (π＋α)＝( )A ．－1－k 2B ．1－k 2C ．±1－k 2D ．－k解析：选A.由cos α＝k ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得sin α＝1－k 2，∴sin (π＋α)＝－sin α＝－1－k 2，故选A. 5．已知tan(π＋α)＝3，则π－α－π＋α4cos －α＋π－α＝________.解析：∵tan(π＋α)＝3， ∴tan α＝3.原式＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×34－3＝7.答案：7类型一同角三角函数关系式的应用(1)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A ．－43B ．54C ．－34D ．45解析由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2sin 2θcos 2θ＋1 ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1 ＝45. 答案 D(2)(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解析由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2. 所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝ 2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. 答案－1(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.1．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( ) A ．－1B ．－22C.22D ．1解析：选A.由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α得：2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0，∴cos α＝－22. 又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.类型二诱导公式的应用(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________．解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13. 答案－13(2)设f (α)＝π＋απ－α－π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎝⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，则f⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.解析 ∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α＋2sin αsinα＋2sin α＝1tan α， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6 ＝1tanπ6＝ 3.答案 3(1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．2．(1)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________.解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12.答案：12(2)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝________. 解析：原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1. 答案：1类型三同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用(1)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A.355 B ．377C.31010D ．13解析 2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5＝0，①tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为 tan α－6sin β－1＝0.② 由①②消去sin β，解得tan α＝3.又α为锐角，根据sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝31010.答案 C (2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ－sin θ＝15，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π2cos θ的值为()A ．－2425B ．2425 C ．－1225D ．1225解析由已知得－cos θ－sin θ＝15，即sin θ＋cos θ＝－15，两边平方得1＋2sin θcos θ＝125，于是sin θcos θ＝－1225.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2cos θ＝－sin θcos θ＝1225.答案 D利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．3．(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( ) A.35 B ．－35C.45D ．－45解析：选D.由已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，得cos α＝35，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝45，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－45.(2)(2017·北京朝阳模拟)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π，则sin α－cos α等于( )A ．0B ．12 C.32D ．43解析：选D.由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23①，将①两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝169.又π2<α<π，所以sin α>0，cos α<0，sin α－cos α>0，则sin α－cos α＝43.分类讨论思想在三角函数中的应用(七)典例 (1)已知sin α＝255，则tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝________. (2)在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则C ＝________.思维点拨利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．(1)∵sin α＝255>0，∴α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ①当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55，原式＝1sin αcos α＝52.②当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.综上①②，原式＝52或－52.(2)由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22，当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π.当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又A 、B 是三角形的内角， ∴A ＝34π，B ＝56π，不合题意．综上，C ＝712π.(1)52或－52 (2)712π (1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用．思想方法感悟提高同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角函数求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…；(4)运用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤．1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．课时规范训练(时间：40分钟)1．已知sin 18°＝m ，则sin 252°＝( ) A ．m B ．－m C.1－m 2D ．－1－m 2解析：选D.∵sin 18°＝m ， ∴sin 252°＝sin(180°＋72°) ＝－sin 72°＝－sin(90°－18°) ＝－cos 18°＝－1－sin 218° ＝－1－m 2.2．已知sin(α－π)＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α等于() A.255 B ．－255C.52D ．－52解析：选B.sin(α－π)＝sin ＝－sin(π－α) ＝－sin α＝23，∴sin α＝－23，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴cos α＝1－sin 2α＝53，∴tan α＝－255.3．已知A 为△ABC 的内角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－A ＝－13，则sin A 的值是()A.223 B ．－223C.32D ．－32解析：选A.∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π2－A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π2－A＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝－cos A ＝－13.∴cos A ＝13.又0<A <π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝223. 4．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则sin α等于()A.32B ．－32C.12 D ．－12解析：选B.由2tan α·sin α＝3得，2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，又－π2<α<0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－32.5．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D.∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－3.6．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3的值是________．解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. 答案：－3347．化简：sin2α＋ππ＋α－α－2ππ＋α3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin ()－α－2π＝________.解析：原式＝sin 2α－cos ααtan α·cos 3α－sin α＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 答案：18．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________．解析：∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a . sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.答案：0 9．已知f (x )＝π－xπ－x －x ＋πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋x ，化简f (x )的表达式并求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π的值．解：∵f (x )＝sin x ·cos x －tan xsin x＝－cos x ·tan x ＝－sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝sin 31π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝sin π3＝32.10．在△ABC 中，若sin(3π－A )＝2sin(π－B )，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A ＝2cos(π－B )．试判断三角形的形状．解：由已知sin A ＝2sin B ①， sin A ＝2cos B ②，由①②得，sin B ＝cos B ，即tan B ＝1，又∵0<B <π，∴B ＝π4，∴sin A ＝2×22＝1，又0<A <π，∴A ＝π2，∴C ＝π－A －B ＝π－π2－π4＝π4.故△ABC 是等腰直角三角形．(时间：15分钟)11．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12 B ．32C ．0D ．－12解析：选A.由已知，得f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin π6＝0＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＝12.12．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B ．32C ．－34D ．34解析：选B.∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 13．若tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α的值为( )A.53 B ．－134C.135D ．134解析：选D.因为tan α＝2，所以2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134.故选D. 14．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin(5π－θ)，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－θ，θ∈(0,2π)，则m ＝________.解析：∵sin(5π－θ)＝sin ＝sin θ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ.∴由已知可得，sin θ，cos θ是方程的两根，故⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，①sin θ·cos θ＝m2， ②①式平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32，∴sin θ·cos θ＝34，由②得m 2＝34，∴m ＝32.答案：3215．已知f (x )＝cos2n π＋x2n π－xcos2n ＋π－x ](n ∈Z )．(1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos2k π＋x2k π－xcos2k ＋π－x ]＝cos 2x ·sin 2－xcos 2π－x ＝cos 2x－sin x2－cos x2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， f (x )＝cos2k ＋π＋x ]·sin 2k ＋π－x ]cos2k ＋＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋π＋x 2[2k π＋π－x cos 2k ＋π＋π－x＝cos2π＋x2π－xcos 2π－x＝－cos x 2sin 2x －cos x 2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018 ＝sin 2π2 018＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 018 ＝sin2π2 018＋cos 2π2 018＝1. §4.3 三角函数的图像与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈的图像中，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈的图像中，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( )(2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( )(3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( ) (6)若sin x >22，则x >π4.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)×1．(教材改编)函数y ＝12sin x ，x ∈的单调性是( )A ．在上是增函数，在上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上都是减函数C ．在上是增函数，在上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数答案：B2．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈ZB ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈ZD ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z解析：选D.由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z. 3．(教材改编题)y ＝1＋cos x ，x ∈的图像与y ＝0的交点的个数为________．解析：画出y ＝1＋cos x ，x ∈的图像可知．答案：14．(2016·高考全国甲卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B.∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos 2x ＋6sin x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.故选B.5．(2015·高考四川卷)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：选B.A 项，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；B 项，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意.类型一三角函数的定义域和值域(1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________．解析要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z(2)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3 解析当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案 B(3)函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最小值为________．解析令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴t ＝－22时，y min ＝1－22. 答案1－22(1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域．1．(1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________________________．解析：要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k πk ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈Z ，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________________．解析：设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1类型二三角函数的单调性(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的单调递增区间是________．解析当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，函数f (x )是增函数．因此函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12(2)f (x )＝|tan x |的单调递减区间是________．解析观察图像可知，y ＝|tan x |的减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z .答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π(k ∈Z )(3)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．解析由π2<x <π，ω>0得，ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4，又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．2．(1)已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，74 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，94 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74 解析：选D.函数y ＝cos x 的单调递增区间为，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74. (2)求函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 3的单调区间．解析：y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 3＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3－π4.故由2k π－π2≤2x 3－π4≤2k π＋π2⇒3k π－3π8≤x ≤3k π＋9π8(k ∈Z )为单调递减区间；由2k π＋π2≤2x 3－π4≤2k π＋3π2⇒3k π＋9π8≤x ≤3k π＋21π8(k ∈Z )为单调递增区间．∴单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－3π8，3k π＋9π8(k ∈Z )，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π＋9π8，3k π＋21π8(k ∈Z )．。

江苏专版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第一节任意角蝗制及任意角的三角函数教案理含解析苏教版

江苏专版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第一节任意角蝗制及任意角的三角函数教案理含解析苏教版第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角α的弧度数公式|α|＝lr(l表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝π180rad；②1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°弧长公式l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r2三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin αx叫做α的余弦，记作cosαyx叫做α的正切，记作tan α一＋＋＋各象限符二＋－－三－－＋号四－＋－三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线[小题体验]1．(2019·海门一中月考)若角α满足α＝45°＋k ·180°，k ∈Z ，则角α的终边落在第________象限．答案：一、三2．(2018·南京调研)已知角α的终边过点P (－5,12)，则cos α＝________. 答案：－5133．已知半径为120 mm 的圆上，有一条弧的长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．答案：1.21．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α ＝x r ，tan α＝y x.[小题纠偏]1．(2019·如皋模拟)－10π3为第________象限角．答案：二2．若角α终边上有一点P (x,5)，且cos α＝x13(x ≠0)，则sin α＝________.答案：513考点一角的集合表示及象限角的判定基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·海安模拟)若α是第二象限角，则α2是第______象限角．解析：∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故α2是第一或三象限角．答案：一或三2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)，则令－720°≤45°＋k ×360°＜0°，得－765°≤k ×360°＜－45°，解得－765360≤k ＜－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°3．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________．解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3 4．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．解析：由角α是第三象限角，知2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z)，则k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z)，故α2是第二或第四象限角．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，知sin α2＜0，所以α2只能是第四象限角．答案：四[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．2．确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置．考点二扇形的弧长及面积基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·盐城模拟)在半径为1的圆中，3弧度的圆心角所对的弧长为________．解析：在半径为1的圆中，3弧度的圆心角所对的弧长l ＝|α|r ＝3×1＝3. 答案：32．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.答案：1或43．如果一个扇形的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．解析：设圆的半径为r ，弧长为l ，则其弧度数为l r.将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r ＝3·lr ，即弧度数变为原来的3倍．答案：3[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．考点三三角函数的定义题点多变型考点——多角探明[锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．常见的命题角度有： (1)三角函数定义的应用； (2)三角函数值的符号判定； (3)三角函数线的应用．[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．(2019·淮安调研)已知角α的终边经过点(4，a )，若sin α＝35，则实数a 的值为________．解析：∵角α的终边经过点(4，a )，∴sin α＝35＝a16＋a 2，解得a ＝3. 答案：32．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.解析：因为角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，所以cos α＝－xx 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，所以sin α＝－1213，所以tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23. 答案：－23角度二：三角函数值的符号判定 3．若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则点(cos α，－sin α)在第________象限．解析：由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．故α为第三象限角，所以cos α＜0，－sin α＞0. 故点(cos α，－sin α)在第二象限．答案：二角度三：三角函数线的应用4．(2018·汇龙中学测试)设MP 和OM 分别是角17π18的正弦线和余弦线，给出以下不等式：①MP ＜OM ＜0；②OM ＜0＜MP ；③OM ＜MP ＜0；④MP ＜0＜OM . 其中正确的是________(填序号)．解析：因为sin 17π18＝MP ＞0，cos 17π18＝OM ＜0，所以OM ＜0＜MP .答案：②[通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1．(2019·无锡调研)如图，已知点A 为单位圆上一点，∠xOA ＝π4，将点A 沿逆时针方向旋转角α到点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，则sin 2α＝________. 解析：由题意可得，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－1＝2×925－1＝－725，即－sin 2α＝－725，∴sin 2α＝725.答案：7252．(2018·扬州调研)在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，点A 的坐标为(3，－1)，将OA 绕O 逆时针旋转450°到点B ，则点B 的坐标为________．解析：设B (x ，y )，由题意知OA ＝OB ＝2，∠BOx ＝60°，且点B 在第一象限，所以x ＝2cos 60°＝1，y ＝2sin 60°＝3，所以点B 的坐标为(1，3)．答案：(1，3)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·如东模拟)与－600°终边相同的最小正角的弧度数是________．解析：－600°＝－720°＋120°，与－600°终边相同的最小正角是120°，120°＝2π3. 答案：2π32．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为________．解析：设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，所以α＝ 3. 答案： 33．(2019·苏州期中)已知扇形的圆心角为θ，其弧长是其半径的2倍，则sin θ|sin θ|＋|cos θ|cos θ＋|tan θ|tan θ＝________.解析：圆心角θ＝lr ＝2，∵π2＜2＜π，∴sin θ＞0，cos θ＜0，tan θ＜0， ∴sin θ|sin θ|＋|cos θ|cos θ＋|tan θ|tan θ＝1－1－1＝－1.答案：－14．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析：因为sin θ＝y42＋y2＝－255，所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8. 答案：－85．已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，则m ＝________. 解析：由题设知点P 的横坐标x ＝－3，纵坐标y ＝m ，所以r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，即r ＝3＋m 2. 所以sin α＝m r＝2m 4＝m 22，所以r ＝3＋m 2＝22，即3＋m 2＝8，解得m ＝± 5. 答案：± 56．已知集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k ·π2，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π±π2，k ∈Z ，则M ，N 之间的关系为 ________.解析：k π±π2＝(2k ±1)·π2是π2的奇数倍，所以N ⊆M .答案：N ⊆M二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·常州调研)若扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，则该扇形圆心角的弧度数为________．解析：设该扇形圆心角的弧度数是α，半径为r ，根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝4，12α·r 2＝1，解得α＝2，r ＝1.故该扇形圆心角的弧度数为2. 答案：22．(2018·黄桥中学检测)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan 2α＝________. 解析：由三角函数的定义可得cos α＝xx 2＋42.因为cos α＝15x ，所以x x 2＋42＝15x ，又α是第二象限角，所以x ＜0，解得x ＝－3，所以cos α＝－35，sin α＝1－cos 2α＝45，所以 tan α＝sin αcos α＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. 答案：2473．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α＝________. 解析：因为r ＝2sin 22＋－2cos 22＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos 2. 答案：－cos 24．已知角2α的终边落在x 轴上方，那么α是第________象限角．解析：由题知2k π＜2α＜π＋2k π，k ∈Z ，所以k π＜α＜π2＋k π，k ∈Z.当k 为偶数时，α是第一象限角；当k 为奇数时，α为第三象限角，所以α为第一或第三象限角．答案：一或三5．与2 017°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．解析：因为2 017°＝217°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 017°的终边相同的角是217°. 答案：217°6．(2019·淮安调研)已知α为第一象限角，sin α＝35，则cos α＝________.解析：∵α为第一象限角，sin α＝35，∴cos α＝1－sin 2α＝1－925＝45. 答案：457．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6. 所以扇形的弧长与圆周长之比为l c ＝5π6·23r 2πr ＝518.答案：5188．在(0,2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围为_____________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.答案：⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π49．(2019·镇江中学高三学情调研)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按顺时针方向运动π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．解析：由题意可得点Q 的横坐标为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝12，Q 的纵坐标为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－sin π3 ＝－32，故点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－3210．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．解：设α终边上任一点为P (k ，－3k )，则r ＝k 2＋－32＝10|k |.当k ＞0时，r ＝10k ，所以sin α＝－3k10k＝－310，1cos α＝10 k k ＝10，所以10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k ＜0时，r ＝－10k ，所以sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k ＝－10，所以10sin α＋3cos α＝310－310＝0. 综上，10sin α＋3cos α＝0. 11．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝6，所以α＝l r ＝23或α＝l r＝6. (2)法一：因为2r ＋l ＝8，所以S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝l r ＝2时，扇形面积取得最大值4.所以圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.法二：因为2r ＋l ＝8，所以S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝l r＝2时，扇形面积取得最大值4.所以弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP ―→的坐标为________．解析：如图，作C Q ∥x 轴，P Q ⊥C Q ，Q 为垂足．根据题意得劣弧D P＝2，故∠DCP ＝2弧度，则在△PC Q 中，∠PC Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2弧度，C Q ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2，P Q ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2，所以P 点的横坐标为2－C Q ＝2－sin 2，P 点的纵坐标为1＋P Q ＝1－cos 2，所以P 点的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，此即为向量OP ―→的坐标．答案：(2－sin 2,1－cos 2)2．已知sin α＜0，tan α＞0.(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限；(3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限．(3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2 sin α2 cos α2取正号；当α2在第四象限时， tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0，所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。

2021届与名师对话高三理科数学第一轮复习资料第四章三角函数、解三角形第四节三角恒等变换

(1)
原
式
＝
sin2α·sin2β
＋
cos2α·cos2β
－
1 2
(cos2α
－
基 sin2α)·(cos2β－sin2β)
名
础知识回
＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12cos2α·cos2β－
师微课导
顾
学
12sin2α·sin2β＋12cos2α·sin2β＋12sin2α·cos2β
1．化简：
cos2α 1 α－tanα2.
师微课导学
tan2
核心考点
[解] 原式＝1＋sincoαscαo－s21α－sicnoαsα＝co2sc2αossiαnα＝
课后跟踪
突
训
破
12sinαcosα＝14sin2α.
练
第23页
第4章第4节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(理)
基
础
知
识
回顾
基础
核心考点突破
第4页
高考总复习·课标版·数学(理)
名
师
微
课
知识回顾
导学
课后跟踪训练
第4章第4节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(理)
基
名
础
师
知
微
识
课
回顾
1．公式的常用变式
导学
(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；
核心考
(3)tanα2＝± 11－＋ccoossαα＝1＋sincoαsα＝1－sincoαsα.

2021届与名师对话高三理科数学第一轮第四章三角函数、解三角形第五节三角函数的图象与性质

故当 t＝－ 22，即 x＝－π4时，ymax＝－－ 22＋12＋2＝
课后跟
点突
2 2＋1
踪训
破
2.
练
第22页
第4章第5节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(理)
基
(1)三角函数定义域的求法
名
础知
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式
师微
识
课
回顾
(组)，常借助三角函数图象来求解．
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(理)
4．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝
π 4
，x2＝
3π 4
是函数f(x)＝
基础
sinωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( A )
知
名师微
识
回顾
A．2
B．32
课导学
C.1
D．12
核
课
心考点
[解析] 依题意得函数f(x)的最小正周期T＝2ωπ＝
后跟
点突
号，只有当ω>0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝
破
踪训练
sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．
第8页
第4章第5节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(理)
基
名
础
师
知
微
识回
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打
课导
顾 “×”)
学
(1)余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴．( × )
回
导
顾
学
[解析] 因为x∈(0，π)，所以sinx∈(0,1]．由f(x)＝cos2x

2021版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.1弧度制与任意角的三角函数课件苏教版

4
cos = 2 ,sin 5 =cos 5 =- 2 .根据三角函数线的变化规律标出满足
42
4
4
2
题中条件的角的范围,所以x∈ ( ，5) .
44
答案: ( ，5)
44
核心素养·微专题
核心素养直观想象——利用三角函数线解不等式
【典例】函数y=lg(3-4sin2x)的定义域为________.
【解析】因为3-4sin2x>0,所以sin2x< 3 ,所以- 3 <sin x< 3 .利用三角函
4
2
2
数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),
所以x∈ (k－，k＋) (k∈Z).
第四章第一节角函数
三角函数、解三角形弧度制与任意角的三
内容索引
必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评
必备知识·自主学习
【教材·知识梳理】 1.任意角 (1)角的概念:角可以看做平面内一条射线绕着它的_端__点__从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)角的分类:按旋转方向分为_正__角、_负__角、_零__角;按终边位置分为_象__限__角、 _轴__线__角. (3)与角α终边相同的角的集合:S={β|β= _α__+_k_·__3_6_0_°__,_k_∈__Z_}_.
3
3
答案: (k－，k＋) (k∈Z)
3
3
核心素养·微专题
【思想方法指导】根据三角函数值的范围,确定角的终边在单位圆中的区域,可写出解集.
核心素养·微专题
【迁移应用】
在(0,2π)内,使sin x>cos x成立的x的取值范围为________.

2021届浙江新高考数学一轮复习：第四章 1 第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数

知识点最新考纲任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质，了解三角函数的周期性.同角三角函数的基本关系式与诱导公式理解同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.两角和与差的正弦、余弦及正切公式掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.简单的三角恒等变换掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义，掌握y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理及其应用.1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类按旋转方向正角按逆时针方向旋转而成的角负角按顺时针方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合按终边位置象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．弧度制(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式角α的弧度数公式 |α|＝lr角度与弧度的换算1°＝π180rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57°18′弧长公式 l ＝|α|r 扇形面积公式 S ＝12lr ＝12|α|r 2 3.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin αx 叫做α的余弦，记作cos αyx 叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ 正正正 Ⅱ正负负 Ⅲ 负负正 Ⅳ 负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段MP 为正弦线，有向线段OM 为余弦线，有向线段AT 为正切线[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( )(5)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan α＞sin α.( )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√ [教材衍化]1．(必修4P10A 组T7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第________象限．答案：－5π4二2．(必修4P15练习T2改编)设角θ的终边经过点P (4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________．解析：由已知并结合三角函数的定义，得sin θ＝－35，cos θ＝45，所以2cos θ－sin θ＝2×45－⎝⎛⎭⎫－35＝115. 答案：1153．(必修4P10A 组T6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．答案：π3[易错纠偏](1)终边相同的角理解出错； (2)三角函数符号记忆不准；(3)求三角函数值不考虑终边所在象限．1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π－45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )解析：选C.与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C 正确．故选C.2．若sin α<0，且tan α>0，则α是第____象限角．解析：由sin α<0知α的终边在第三、第四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．答案：三3．已知角α的终边在直线y ＝－x 上，且cos α<0，则tan α＝________．解析：如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P (x ，y )，则y ＝－x ，由三角函数的定义得tan α＝y x ＝－xx＝－1.答案：－1象限角及终边相同的角(1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π－π3，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋2π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－2π3，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－π3，k ∈Z(3)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．【解析】 (1)因为α是第二象限角，所以π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，所以π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．(2)根据题意，角α的终边在直线y ＝－3x 上， α为第二象限角时，α＝2π3＋2k π＝(2k ＋1)π－π3，k ∈Z ；α为第四象限角时，α＝5π3＋2k π＝(2k ＋2)π－π3，k ∈Z ；综上，角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－π3，k ∈Z .故选D.(3)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.【答案】 (1)C (2)D (3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π(1)表示区间角集合的三个步骤(2)求θn或nθ(n ∈N *)所在象限(位置)的方法①将θ的范围用不等式(含有k )表示． ②两边同除以n 或乘以n .③对k 进行讨论，得到θn或n θ(n ∈N *)所在的象限(位置)．1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°2．若sin α·tan α<0，且cos αtan α<0，则α是第________象限角．解析：由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0，可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．答案：三扇形的弧长、面积公式已知扇形的圆心角是α ，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解】 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R ，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式是l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． [提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．4 B ．2 C ．8D ．1解析：选A.设扇形的弧长为l ，则12l ·2＝8，即l ＝8，所以扇形的圆心角的弧度数为82＝4.2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r 3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝⎛⎭⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·23r 2πr ＝518.答案：518三角函数的定义(高频考点)三角函数的定义是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小．主要命题角度有：(1)利用三角函数定义求值； (2)判断三角函数值的符号； (3)利用三角函数线解三角不等式； (4)三角函数定义中的创新．角度一利用三角函数定义求值已知α是第二象限的角，其终边的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，则tan α＝( )A.155B.153C ．－155D ．－153【解析】因为α是第二象限的角，其终边上的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，所以x ＜0，cos α＝x x 2＋5＝24x ，解得x ＝－3，所以tan α＝5－3＝－153.【答案】 D角度二判断三角函数值的符号若tan α>0，则( ) A ．sin α>0 B ．cos α>0 C ．sin 2α>0D ．cos 2α>0【解析】因为tan α＞0，所以α∈⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )是第一、三象限角．所以sin α，cos α都可正、可负，排除A ，B. 而2α∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z )，结合正弦函数图象可知，C 正确．取α＝π4，则tan α＝1>0，而cos 2α＝0，故D 不正确．【答案】 C角度三利用三角函数线解不等式函数y ＝sin x －32的定义域为________．【解析】由题意，得sin x ≥32，作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角x 的终边的范围，故满足条件的角x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z.【答案】 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋2π3，k ∈Z角度四三角函数定义中的创新(2020·台州质检)如图所示，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )【解析】因为P 0(2，－2)，所以∠P 0Ox ＝－π4.因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t 后，得∠POP 0＝t ，所以∠POx ＝t －π4.由三角函数定义，知点P 的纵坐标为2sin ⎝⎛⎭⎫t －π4，因此d ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫t －π4.令t ＝0，则d ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝ 2.当t ＝π4时，d ＝0，故选C.【答案】 C(1)定义法求三角函数值的三种情况①已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．(2)三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．[提醒] 若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．1．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α＝π4，则点P 的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(2，2)D ．(1，1)解析：选D.设点P 的坐标为(x ，y )，则由三角函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧sin π4＝y 2，cos π4＝x 2，即⎩⎨⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1.故点P 的坐标为(1，1)．2．已知角α的终边经过点P (－3，m )，且sin α＝34m (m ≠0)，则角α为第________象限角．解析：依题意，点P 到原点O 的距离为 r ＝（－3）2＋m 2＝3＋m 2，所以sin α＝m3＋m 2，又因为sin α＝34m ，m ≠0，所以m 3＋m 2＝34m ，所以m 2＝73，所以m ＝±213.所以点P 在第二或第三象限．答案：二或三[基础题组练]1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C.设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12r 2α＝12r 2×4，求得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.2．若角α与β的终边相同，则角α－β的终边( ) A ．在x 轴的正半轴上 B ．在x 轴的负半轴上 C ．在y 轴的负半轴上 D ．在y 轴的正半轴上解析：选A.由于角α与β的终边相同，所以α＝k ·360°＋β(k ∈Z )，从而α－β＝k ·360°(k ∈Z )，此时角α－β的终边在x 轴正半轴上．3．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B.12 C ．－32D.32解析：选B.因为r ＝64m 2＋9，所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，所以m ＞0，所以4m 264m 2＋9＝125，因此m ＝12.4．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．故选C.5．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B.由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0. 所以y ＝－1＋1－1＝－1.故选B.6.已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从点A 出发，P 沿直线l 匀速向右，Q 沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动，当点Q 运动到如图所示的位置时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP ，则阴影部分的面积S 1，S 2的大小关系是( )A ．S 1≥S 2B ．S 1≤S 2C ．S 1＝S 2D ．先S 1<S 2，再S 1＝S 2，最后S 1>S 2解析：选C.因为圆O 与直线l 相切，所以OA ⊥AP ，所以S 扇形AOQ ＝12·AQ ︵·r ＝12·AQ ︵·OA ，S △AOP ＝12OA ·AP ，因为AQ ︵＝AP ，所以S 扇形AOQ ＝S △AOP ，即S 扇形AOQ －S 扇形AOB ＝S △AOP －S 扇形AOB ，则S 1＝S 2.故选C. 7.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________．解析：因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案：－358．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0，2cos θ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ>0，cos θ<0，所以θ为第二象限角．答案：二9．函数y ＝2cos x －1的定义域为________．解析：因为2cos x －1≥0，所以cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影部分所示)．所以x ∈[2k π－π3，2k π＋π3](k ∈Z )．答案：⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )10．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．解析：因为角α的终边上有一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，所以角α为第四象限角，且tan α＝－3，即α＝－π3＋2k π，k ∈Z ，因此落在(－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π311．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．解：因为θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，所以tan θ＝－1x .又tan θ＝－x ，所以x 2＝1，即x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22. 因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2. 12．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，所以α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)因为2r ＋l ＝8，所以S 扇＝12lr ＝14l ·2r≤14(l ＋2r 2)2＝14×(82)2＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.所以圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.[综合题组练]1．若－3π4＜α＜－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α＜tan α＜cos αB ．cos α＜sin α＜tan αC ．sin α＜cos α＜tan αD ．tan α＜sin α＜cos α解析：选C.如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可得，AT ＞OM ＞MP ，故有sin α＜cos α＜tan α.2．已知θ∈[0，π)，若对任意的x ∈[－1，0]，不等式x 2cos θ＋(x ＋1)2sin θ＋x 2＋x >0恒成立，则实数θ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π12，5π12 B.⎝⎛⎭⎫π6，π4 C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4D.⎝⎛⎭⎫π6，5π6解析：选A.由题意知，令f (x )＝(cos θ＋sin θ＋1)·x 2＋(2sin θ＋1)x ＋sin θ>0，因为cos θ＋sin θ＋1≠0，所以f (x )>0在[－1，0]上恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0f （0）>0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2sin θ＋12（1＋cos θ＋sin θ）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0sin θ>0sin 2θ>12⇒θ∈⎝⎛⎭⎫π12，5π12，故选A.3．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________．解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r ＜R )，则12αr 212αR 2＝14，所以r ∶R ＝1∶2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr2R ＋αR ＝1∶2.答案：1∶24．已知x ∈R ，则使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．解析：在[0，2π]区间内，由三角函数线可知，当x ∈(π4，5π4)时，sin x >cos x ，所以在(－∞，＋∞)上使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是(2k π＋π4，2k π＋5π4)，k ∈Z .答案：(2k π＋π4，2k π＋5π4)，k ∈Z5．若角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝－15.当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝15.(2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0；当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0.综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin (cosθ)的符号为正．6．设α为锐角，求证：1<sin α＋cos α<π2.证明：如图，在平面直角坐标系中作出单位圆，设角α的终边为OP ，过P 作PQ 垂直x 轴于Q ，PR 垂直y 轴于R ，则sin α＝QP ，cos α＝OQ . 因为α为锐角，在△OPQ 中，QP ＋OQ >OP ，所以sin α＋cos α>1.① 而S △OPB ＝12OB ·RP ＝12cos α，S △OAP ＝12OA ·QP ＝12sin α，S 扇形OAB ＝12×1×π2＝π4.又因为四边形OAPB 被扇形OAB 覆盖，所以S △OPB ＋S △OAP <S 扇形OAB ，即sin α＋cos α<π2.②由①，②得1<sin α＋cos α<π2.。

2021高考数学一轮复习统考第4章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数课件北师大版

度制不能混用，所以只有答案 C 正确．
解析答案
4．若 sinθcosθ<0，则角 θ 是( A．第一或第二象限角 C．第三或第四象限角
) B．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角
sinθ>0， sinθ<0，
解析因为 sinθcosθ<0，所以
或
所以角 θ 是第二
cosθ<0
cosθ>0.
或第四象限角．故选 D.
(2)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成
一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度的定义和公式 (1)定义：长度等于 06 __半__径__长___的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad. (2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝ 07 _2_π__弧度；180°＝ 08 _π_弧度；
解法二：在集合 M 中，x＝2k·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k ＋1 是奇数；在集合 N 中，x＝4k·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1 是整数，因此必有 M N.故选 B.
解析
(2)已知角 α 的终边在第二象限，则α2的终边在第__一_或__三___象限．
解析答案
5．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( )
A．10π
B．9π
9π C.10
D．109π
解析单位圆的半径 r＝1,200°的弧度数是 200×1π80＝109π，由弧度数
的定义得190π＝rl，所以 l＝190π.
解析答案
6．(2019·三明模拟)若 420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则 a 的值为_－__4___3__．

2021届与名师对话高三文科数学第一轮复习第四章第二节同角三角函数基本关系式与诱导公式

课后跟
点
踪
突
训
破
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第4章第2节
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基
础
知
识
回顾
基础
核心考点突破
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师
微
课
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导学
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础
师
知
微
识
课
回
导
顾
学
1．同角三角函数基本关系式
高考总复习·课标版·数学(文)
基
名
础知识回
[解析] 原式＝cosα
1－cossi2nαα2＋sinα
1－cosα2 sin2α
师微课导
顾
学
＝cosα1|－cossiαn|α＋sinα1－|sincoαs| α
核心考
＝cosα·1－－csoisnαα＋sinα·1－sincoαsα
课后跟
核
所以sin1π2＋θ＝cosπ2－1π2＋θ＝cos51π2－θ＝13，故选课
心考
C.
后跟
点
踪
突
训
破
练
第22页
第4章第2节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基础
2．已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，则sin(3π＋
名师
知
3
微
识回顾
α)·tanα－72π的值为___5_____．

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