实数3
实数(3)8
课题：实数实数（3）主备人：杨明 时间：2011年1月3日年级 班 姓名：复习目标：1.进一步巩固平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数以及实数的分类及其运算规律。
2.熟练使用计算器求一些数值的估算值。
3.能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高对知识的应用能力。
复习过程一、知识回顾1.什么叫一个数a 的平方根，怎样表示?什么叫数a 的算术平方根?怎样表示?其中a 可以分别表示什么数?2.什么叫一个数a 的立方根?怎样表示?其中a 可以表示什么数?3.任何实数都有平方根吗?都有立方根吗?4.什么叫无理数?什么叫实数?实数与数轴的点有什么关系?二、典型例题无理数的识别1.已知下列各数：①-12031②2.572 ③17 ④0 ⑤ 364 ⑥0.4646646664…（相邻两个4之间6的个数逐次加1），其中是无理数的 是 是有理数的是 （只填序号）平方根、立方根的概念性质及开方运算2.若某数的平方根为2x ＋3和2x-8，求这个数。
3.若实数x 、y 满足2+x +（y-3）2=0，求xy 的值。
实数大小的比较4.比较大小 ① 32与23 ②215-与87实数的运算 5.计算：①32412+ - 221 ② 81 -3127三、达标检测1.估算24+3的值在 和 之间；2.9的平方根是 ，2)3(-的平方根是 ；3.1600 = ；±256289= ； 107= ； （37-）3= 。
4.若m 的平方根是±3，则m= ；5.平方根和立方根都是它本身的数是 ；6.已知11的整数部分为a ，小数部分为b ，则a= ,b= ;7.π-4的相反数是 ，绝对值是 ；8.若无理数a 满足：1<a<4,请写出两个你熟悉的无理数：_____,______.9.在数轴上离原点距离是_________.10.________.11.|2-π|=________.12.比较大小:3______-16313.大于-的所有整数的和_______.14.设a 是最小的自然数数,b 是最大负整数,c 是绝对值最小的实数,则a+b+c=______.15.(2003年上海市)下列命题中正确的是( )A.有限小数不是有理数B.无限小数是无理数C.数轴上的点与有理数一一对应D.数轴上的点与实数一一对应 16.(2004年安徽省)下列四个实数中是无理数的是( )A.2.5B.103C.πD.1.41417.有下列说法:①带根号的数是无理数;•②不带根号的数一定是有理数;③负数没有立方根;④是17的平方根,其中正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个18.-53、-2π四个数中,最大的数是( )A.-532π19.在实数范围内,下列各式一定不成立的有( )(1)12a -=0. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 20.下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）A. -2与2)2(-B. -2与38-C. -2与-21D. 2-与221.求未知数x（1）x 2=81 （2）（x+1）2=81 （3）2（x-1）2=8 （4）(2x-1)3=-8拓展提高1. ______的倒数是21-.2.若a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，则______3=++cd b a ；3.已知x 、y 满足0242422=+-++y x y x ，则_______16522=+y x ；4.下列运算中，错误的是（ ） ①1251144251=， ②4)4(2±=-， ③22222-=-=- ④2095141251161=+=+ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个5.若a 、b 为实数，且471122++-+-=a a a b ，则b a +的值为（ ）A. 1±B. 4C. 3或5D. 5 6.观察下列分母有理化的计算：12121-=+, 23231-=+, 34341-=+, 45451-=+...从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：（121++231++341++...+200120021+）(12002+) ;。
湘教版八上数学第三章第三节3.3有效数字
湘教版八上数学第三章第三节3.3有效数字
§3.3实数（3）------近似数与有效数字
学习目标
1、了解近似数与有效数字的概念，体会近似数的意义及在生活中的作用
2、能说出一个近似数的精确度或有几个有效数字，能按照要求用四舍五入的方法取一个数的近似数
【学习重难点】按要求用四舍五入法取一个数的近似数
自主学习
一、情境引入
有10千克苹果，3人平分每人多少？所得的结果是准确数还是近似数？
（是精确数，是近似数）
二、基础知识探究
1、近似数
例如：下列哪些数是精确数？哪些是近似数？
(1)初二（3）班有70名学生；（）
(2)月球离地球的距离大约是38万千米；（）
(3)中华人民共和国现有31个省级行政区；（）
(4)北京市大约有1300万人；（）
(5)小月的年龄是14岁；（）
生活中许多时候只能用近似数，是因为：(1)做到完全准确有时候是办不到的；(2)往往也没有必要完全准确。
2、取近似值的方法：
取一个数的近似值有多种方法，如：；；；等。
而四舍五入是最常用的一种方法。
用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
6．关于近似数5
.4 ，下列说法正确的是（）
10
80
A．有2个有效数字，精确到十分位 B．有3个有效数字，精确到百分位C．有2个有效数字，精确到万位 D．有3个有效数字，精确到千位7．对于近似数10.08和0.1008，下列说法正确的是（）
A．它们的有效数字与精确度都不相同 B．它们的有效数字与精确度都相同C．它们的有效数字相同，精确度不同 D．它们的有效数字不同，精确度相同。
6.3实数(3)
6.3 实数（3）
学习目标
1.我能区分有理数和无理数。
2.我会对有理数无理数的混合运算。
3.在有实数混合计算中我能去绝对值。
学习重点：实数数的混合运算
学习难点：含有绝对值的计算中去绝对值
一、自主学习
1.给实数分类
2.计算
（1） 74872--⎪⎭⎫ ⎝⎛3664 (2)()
322--
二、合作探究
1..计算
（1）322752
1
10⨯--+-+-2)()(π
分析：在上面的计算中含有乘方、绝对值、乘法、加法、减法，有小数、整数、无理数等，这类题是典型的实数混合计算，在这类题的计算中任然遵循有理数的计算法则： 。
解：原式= + + —
=
=
=
注意：在计算中去绝对值时要注意当绝对值里面的数小于0时，去了绝对值要变成它的 ，当绝对值里面的数大于0时，直接把 去掉。
（2）|12||32||34|-+-+-
分析：在本题中是三个绝对值相加的形式，在每个绝对值里面都有无理数存在，这时我们就要对绝对值里面的数进行大小分析然后去绝对值在计算。
解：原式= + + （去绝对值） = = =
（3）3422(75)-÷-⨯-+
（
4） 202341--+-+--)()(||π
三、课堂小结
四、课堂检测
五、课后反思
四、课堂检测 1.20152)1()2
1(25.0-++
2.计算：2a a -π+
-（2a <<π）（精确到0.1）
3.
632162---+-+)21()51(10)1(2004-÷-⨯--
4.若5250x y -++=，求3xy 的值．。
北师大版初中数学八年级上册《第二章 实数 3 立方根》 公开课教学设计_1
立方根一、教材分析《立方根》是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级（上）第二章《实数》第三节．本节内容安排了1个学时完成．主要是通过对立方根与平方根的比较与归类，探索立方根的概念、计算和简单性质．因此，除了具体的知识技能（如知道一个数的立方根的意义，会用根号表示一个数的立方根，掌握立方根运算，掌握求一个数的立方根的方法和技巧）外，还需要昂学生感受类比的思想方法，为今后的学习打下基础．二、学情分析在学习了平方根概念的基础上学习立方根的概念，学生比较容易接受，因此教学重点放在立方根具有唯一性（实数范围内）的讨论上．在学生对数的立方根概念及个数的唯一性有了一定理解的基础上，再提出数的立方根与数的平方根有什么区别，学生就容易解决问题．三、目标分析教学目标(1) 知识与技能目标1．了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根．2．会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算．3．了解立方根的性质．4．区分立方根与平方根的不同．(2) 过程与方法目标1．经历对立方根的探究过程，在探究中学会解决立方根的一些基本方法和策略．2．在学习平方根的基础上，学生经历用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想．3．通过对立方根性质的探究，在探究中培养学生的逆向思维能力和分类讨论的意识．(3) 情感与态度目标：1．在立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神．2．学生通过对实际问题的解决，体会数学的实用价值．(4) 教学重点立方根的概念及计算．(5) 教学难点立方根的求法，立方根与平方根的联系及区别．四、教法学法1．教学方法：类比法．2．课前准备：教具：教材，软件Microsoft PowerPoint 2007，电脑．学具：教材，练习本．五、教学过程本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设问题情境；第二环节：复习引入、类比学习；第三环节：初步探究；第四环节：尝试反馈，巩固练习；第五环节：深入探究；第六环节：课时小结；探究与思考；第七环节：作业布置及课外探究．第一环节：复习引入、类比学习（1）什么叫一个数a 的平方根？如何用符号表示数a （a ≥0）的平方根?（2）正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？负数有没有平方根？0的平方根是什么？（3）平方和开平方运算有何关系？（4）算术平方根和平方根有何区别和联系？强调：一个正数的平方根有两个，且互为相反数；一个负数没有平方根；0的平方根是0.意图：学生通过回顾上节课的学习内容，为进一步研究立方根的概念及性质做好铺垫，同时突出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系． 效果：复习引入既复习了平方根的知识，又利于学生类比学习法学习立方根知识.第二环节：创设问题情境：问题1：某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐的多少倍？如果储气罐的体积是原来的4倍呢？（球的体积公式为334R ＝v ，R 为球的半径）提问：怎样求出半径R ？学完本节知识后，相信你会有一个满意的答案．有关体积的运算和面积的运算有类似之处，让我们用上节课解决问题的方法来学习新知识 ．问题2：要制作一种容积为27m 3的正方体的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？ 解：设这种包装箱的边长为x m ，则 这就是要求一个数，使它的的立方等于27. 因为 33＝27 所以 x ＝3， 即这种包装箱的边长应为3m .意图：通过实际情境引入，让学生感受新知学习的必要性，激发学生的求知欲望．效果：在思考问题的同时，学生既感受了数学的应用价值，激发了学生的学习热情，有很快将问题归结为如何确定一个数，它的立方等于4，从而顺利引入新课．在现实的一些场景的问题中，需要引出一个新的运算，你将如何定义这个新运算？一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ,那么这个数x 就叫做a 的立方根（cube root, 也 叫做三次方根）．第三环节：初步探究1、做一做：怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？（1）001.0 3＝）（ ； （2）6427 3＝－）（ ； （3）0 3＝）（. 意图：通过计算练习,使学生进一步了解求一个数的立方，与求一个数的立方根是互为逆运算,感受一个数的立方根的唯一性，计算中对a 的取值分别选为正数、负数、0，这样设计，在此过程中渗透分类讨论的思想方法．2、议一议：（1）正数有几个立方根？ （2）0有几个立方根 （3）负数呢？意图：提问，是为了指出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系．3在上面的基础上明晰下列内容，对知识进行梳理（1）每个数a 都只有一个立方根，记为“3a ”，读作“三次根号a ”．例如x 3=7时，x 是7的立方根，即37=x ；与数的平方根的表示比较，数的立方根中根号前没有“±”符号，但根指数3不能省略．（2）正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．（3）求一个数a 的立方根的运算叫做开立方(extrction of cubic root) , 其中a 叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．效果：通过亲自运算、探究学习立方运算的逆运算，培养了学生的探究能力，初步掌握立方根的概念．第四环节：尝试反馈，巩固练习 例1、求下列各数的立方根：（1）27－； （2）1258 ； （3）833 ； （4）216.0 ； （5）5－.解：（1）因为2733＝－）（－，所以27－的立方根是3－，即3273＝－－； （2）因为1258523=⎪⎭⎫⎝⎛，所以1258的立方根是52，即5212583＝； （3）因为833827233＝＝）（，所以833的立方根是23，即238333＝；（4）因为216.06.03＝）（，所以216.0的立方根是6.0，即6.0216.03＝； （5）5－的立方根是35－.例2、求下列各式的值：（1）;83- （2）;064.03 （3）31258-； （4）()339．解：（1）38-=()2233-=-； （2）3064.0=()4.04.033=；（3）31258-=525233-=⎪⎭⎫⎝⎛-； （4）()339=9．例3、 填空(1) =， .(2) =， .例4．求下列各数的立方根：().1656464125.03333333；；－；；-2．通过上面的计算结果，你发现了什么规律？意图：例1着眼于弄清立方根的概念，因此这里不仅用立方的方法求立方根，而且书写上采用了语言叙述和符号表示互相补充的做法，学生在熟练以后可以简化写法．例2则巩固立方根的计算，引导学生思考立方根的性质．效果：学生通过练习掌握立方根的概念和计算，通过对计算结果的分析得出立方根的性质，若学生不能发现规律，教师可以再给出几个例子，如：333(2)8.＝＝2 ；引导学生观察被开方数、根指数及运算结果之间的关系，从而得出立方根的性质；也可以安排学生分小组讨论，通过交流，展示学生发现的规律；若学生的讨论不够深入，可由教师补充得出结论．第五环节：深入探究想一想：（1）3a 表示a 的立方根，那么()33a 等于什么？33a 呢？（2）3a －与3a －有何关系？意图：明晰()33a =a ，33a =a 。
实数 3
●请同学们把下列分数写成小数的形式.
（计算能力较弱的同学可适当借助用计算器），
5 3 27 11 9 ,- , , ， 2 5 4 9 11
小数形式：5
3 27 = 2.5 , - = -0.6, = 6.75, 2 5 4 • 9 • • 11 = 1. 2， = 0.81 9 11
你能发现什么？ ☆发现：任何一个分数都可以写成有限小数或无 限循环小数。
【活动一】：
• • π 22 3 3 在数 ,0， - 27 , 9 , ,0. 2 3, 4 , 3 - 1 3 7 0.1313313331 （每两个1之间依次增加一个3）中 • • 22 3 0 ， 27 , , 0 . 2 3 , 4 , 有理数：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 7 π 3
通过前面的学习，我们发现：很多数的平方根和 立方根都是无限不循环小数
☆发现：它们是无限不循环小数，所以我 们知道它们既不是整数，也不是分数。
●我们把这类无限不循环的小数 叫做无理数。 你能举一些常见的无理数吗？ 如：2、 、 3 5、 3 2、 、
0.1010010001 (每两个1之间依次增加一个 0）
☆无理数的特征:
１．圆周率 及一些含有 的数 ２．开方开不尽数
2
、2 1
2、5
注意:带根号 的数不一定是 无理数
3
３．有一定的规律，但 不循环的无限小数
0.101001000100001
（每两个1之间依次增加一个0）
有理数和无理数统称实数
随堂练习
判断：
）
1.实数不是有理数就是无理数。（
●请同学们把下列整数写成小数的形式.
1 , -100 , +7 , 0 , -239
2.5 实数(3)教案
8上数学2.5 实数(3)教学目标：(一)教学知识点1.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.2.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范围内正确计算.3.正确运用公式);0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a )0,0(>≥=b a b ab a.(二)能力训练要求1.让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，进而发现规律，培养学生的钻研精神和创新能力.2.能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识.(三)情感与价值观要求通过探索规律的过程，培养学生学习的主动性，敢于探索，大胆猜想，和同学积极交流，增强学习数学的兴趣和信心。
教学重点：1.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数范围内正确进行运算.2.发现规律：);0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a )0,0(>≥=b a b ab a.并能用规律进行计算.教学难点：1.类比的学习方法.2.发现规律的过程.教学方法：类比法.教学过程：Ⅰ.新课导入上节课我们学习了实数的定义、实数的两种分类，还有在实数范围内如何求相反数、倒数、绝对值，它们的求法和在有理数范围内的求法相同.那么在有理数范围内的运算法则、运算律等能不能在实数范围内继续用呢？本节课让我们来一起进行探究.Ⅱ.新课讲解1.有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.［师］大家先回忆一下我们在有理数范围内学过哪些法则和运算律.［生］加、减、乘、除运算法则，加法交换律，结合律，分配律.［师］好.下面我们就来验证一下这些法则和运算律是否在实数范围内适用.我们知道实数包括有理数和无理数，而有理数不用再考虑，只要对无理数进行验证就可以了. 如：2332⋅=⋅，.252)32(2322,3)212(32123=+=+=⋅⋅=⋅⋅所以说明有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.下面看一些例题. 计算： (1)1313+⋅； (2)77-；(3)(25)2；(4)2)212(+. 2.做一做填空： (1)94⨯=_________，94⨯=_________； (2)916⨯=_________，916⨯=_________；(3)94=_________，94=_________； (4)=2516_________，2516=_________.［师］通过上面计算的结果，大家认真总结找出规律.如果把具体的数字换成字母应怎样表示呢？ b a b a ⋅=⋅(a ≥0,b ≥0)； b ab a= (a ≥0,b ＞0)并作一些练习. 化简： (1)326⨯； (2)327⨯－4；(3)(3－1)2；(4)326⨯；(5)546.3.例题讲解［例题］化简： (1)5312-⨯；(2)236⨯；(3)(5+1)2；(4))12)(12(-+.Ⅲ.课堂练习(一)随堂练习化简：(1)2095⨯；(2)8612⨯；(3)(1+3)(2－3)；(4)(323-)2.(二)补充练习1.化简： (1)250580⨯-⨯；(2)(1+5)(5－2)；(3))82(2+；(4)3721⨯； (5)2)313(-；(6)10405104+2.一个直角三角形的两条直角边长分别为5 cm 和45 cm ，求这个直角三角形的面积. 解：S =45521⨯⨯)cm (5.71521)35(214552122=⨯=⨯⨯=⨯⨯=答：这个三角形的面积为7.5 cm 2.Ⅳ.课时小结本节课主要掌握以下内容.1.在实数范围内，有理数的运算法则、运算律仍然适用，并能正确运用.2.b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)；b ab a=(a ≥0,b ＞0)的推导及运用.Ⅴ.课后作业习题2.91.化简： (1)313⨯；(2)23；(3)23222+；(4)850⨯－21.Ⅵ.活动与探究下面的每个式子各等于什么数？ 2222222003,2002,2001,,4,3,2 . 由此能得到一般的规律吗？对于一个实数a 、2a 一定等于a 吗？ 当a ≥0时，2a=a .当a ＜0时，有 .20032003)2003(,20022002)2002(,20012001)2001(,416)4(,39)3(,24)2(222222222==-==-==-==-==-==-所以当a ＜0时，有2a =－a .教学反思：环节，只有让学生多做练习才能熟练。
【教学设计】 实数及其性质(3)
实数及其性质【教学目标】知识与技能：① 了解无理数和实数的概念以及实数的分类；② 知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。
过程与方法：在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从而总结出实数的分类，接着把无理数在数轴上表示出来，从而得到实数与数轴上的点是一一对应的关系。
情感态度与价值观：① 通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用；② 敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题。
教学重点：① 了解无理数和实数的概念；② 对实数进行分类。
教学难点：对无理数的认识。
【教学过程】一、复习引入无理数： 利用计算器把下列有理数95,119,847,53,3-写成小数的形式，它们有什么特征？发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 即：5.095,18.0119,875.5847,6.053,0.33 ===-=-= 归纳：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。
通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数， 把无限不循环小数叫做无理数。
比如33,5,2-等都是无理数。
14159265.3=π…也是无理数。
二、实数及其分类：1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
2、实数的分类：按照定义分类如下：实数⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧数）无理数（无限不循环小小数）（有限小数或无限循环分数整数有理数按照正负分类如下：实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数零负无理数正有理数正实数 3、实数与数轴上点的关系：我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。
物理是合乎是否也可以用数轴上的点表示出来吗？活动1：直径为1个单位长度的圆其周长为π，把这个圆放在数轴上，圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达另一个点，这个点的坐标就是π，由此我们把无理数π用数轴上的点表示了出来。
实数3
【典型例题】【例1】 求值：（1）32的五次方根 （2）-32的五次方根 （3）16的四次方根（4）64的六次方根 （4）0.000064的六次方根 （6）32243-的五次方根 【分析】 运用乘方运算求方根的值是常用的方法,对于正数的偶次方根有两个,它们互为相反数要充分理解,求n 次方根的值必须考虑指数的奇、偶性,增强分类的意识,学会正确的语言表述是很重要的,给书写也带来简便.【解答】 （1）5232=∴32的五次方根5322==（2）()5232-=-∴-32的五次方根5322=-=-（3）()4216±=∴16的四次方根6642=±=±（4）()6264±= ∴64的六次方根6642=±=±（5）()60.20.000064±=∴0.000064的六次方根60.0000640.2=±=± （6）52323243⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ∴32243-的五次方根53222433=-=-【例2】 选择题：1.下列语句中,正确的是（ ）（A ）正数a 的n 次方根记作n a（B ）如果n 是偶数,当且仅当a 是非负实数时,则n a 有意义（C ）零的n 次方根无意义（D ）任何实数都能开方2.5x -在实数范围内能开偶次方根的条件是（ ）（A ）x 为任意实数 （B ）5x ≥ （C ）5x ≤ （D ）0x ≤【分析】理解立方根和开立方的概念【解答】1.（B ）当n 是奇数时,正数a 的n 次方根记作“n a ”, 当n 是偶数时,正数a 的n 次方根记作“n a ±”,故（A ）错.当a 为非负实数时,a 有偶次方根,所以n a （n 是偶数）有意义,故（B ）对.零的n 次方为零,故（C ）错.负数没有偶次方根,任何实数不一定都能开方,故（D ）错.2.（C ）由被开方数50x -≥解得5x ≤,故选（C ）.【例3】求适合下列等式中的x .（1）3910x -= （2）4810x =【分析】理解开n 次方与n 次乘方互为逆运算的关系 【解答】（1）x 是910-的立方根,因为3391010--=（）,所以310-是910-的立方根,因此310x -= ,即0.001x =.（2）由已知可知,x 是810的四次方根,由于248(10)10±=,所以210±是810的四次方根,因此210x =±,即100x =±.【基础训练】 1.132-的五次方根是（ ） 2.81的四次方根是 （ ） 3. 423⎛⎫- ⎪⎝⎭的四次方根是（ ） 4. 5(5)-的五次方根是（ ）5.如果(0,)n x a a n =≥是偶数,那么x =6.下列式子中,正确的是54444()11()11()(1)1()11A B C D ±=±=±-=---= 7.用符号表示下列各方根,并求出各方根的值. (1) 12-的三次方的三次方根 （2）164的六次方根 （3）—8平方的六次方根8.计算：43343(56)⋅【能力提高】1.下列各式不正确的是4343()82()(6)6()1255()()n n A B C D a a n -=--=--=-=是奇数 2. ()(0)x y zy z z x x y xyz xyz x y z+++++≠= 3.计算：20072007333(21)(421)-++4.已知n 是自然数, a 是实数且()n n nn a a =成立.试讨论n 及a 的取值范围.第3讲实数的运算（1）用数轴上的点表示实数【知识要点】知识点1 用数轴上的点表示无理数方法一：用画图的方法找到数轴上的一个点来表示它.例如：边长为1的正方形,对角线长为2（这在学习了直角三角形中勾股定理后很容易知道,现在暂不作介绍）,我们可以在数轴上以一个单位长为边长作一个2-B O2正方形,以原点O为圆心,正方形对角线为半径作弧,与数轴正(2)半轴交于点A就表示无理数2,与数轴负半轴交于点B就表示图1 -.无理数2方法二：用无限不循环小数点的近似值来确定这个点的位置.例如：π可以精确到百分位的近似数3.14来确定数轴上表示π这个点的位置.π-01233.144x1知识点2 数轴上的点和实数成一一对应每一个有理数和无理数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来数轴上的每一个点都可以用一个有理数或无理数表示.为有理数和无聊隶属统称为实数,因此,全体实数所对应的点布满了整个数轴,数轴上的点和实数成一一对应.知识点3 实数的相反数和绝对值一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离,叫做这个数的绝对值,实数a的绝对值记作a∣∣ ,a当0a>时a=时a∣∣=0当0-当0aa<时绝对值相等,符号相反的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零,非零实数a的相反数-.是a知识点4 两个实数大小的比较两个实数可以比较大小,其大小顺序的规定同有理数一样,负数小于零,零小于正数,两个正数,绝对值大的数较大;两个负数,绝对值大的反而小,从数轴上看,右边的点所表示的数总比左边的点索表示的数大.知识点5 同一数轴上,两点间的距离在数轴上,如果点A 、点B 索对应的数分别是a b 、,那么A B 、两点的距离AB a b ∣∣=∣-∣.方法与技能：当有理数系扩展到实数后,有理数的绝对值、相反数、大小比较法则都自然延伸到实数系.有关概念、性质仍然正确,特别是数形结合思想仍然是研究的重要方法.了解了数学系扩大的原则,大大的提高了学习的效率.【学习目标】1.会用数轴上的点表示实数;2.理解在实数范围内绝对值、相反数的概念,会比较实数的大小;【典型例题】【例1】写出下列各数的相反数与绝对值：0.5,12-,7-,0,5π-,37- 【分析】与有理数一样,实数(0)a a ≠的相反数是a -;实数a 的绝对值的为(0)a a ≥或(0)a a -<.【解答】 0.5的相反数是0.5-,绝对值是0.5;12-的相反数是21-,绝对值是21-;7-的相反数是7,绝对值是7;0的相反数是0,绝对值是0;5π-的相反数是5π,绝对值是5π; 37-的相反数是37--,绝对值是37-【例2】比较53-与13-的大小.【分析】 5 2.236,53 2.23630.764≈-≈-≈- 3 1.732,131 1.7320.732≈-≈-≈-∴可以先将无理数用近似的有限小数表示,转化为有理数后再进行比较.【解答】 53 2.23630.764-≈-≈- 131 1.7320.732-≈-≈-0.7640.732-<-5313∴-<-【例3】 如图2,在数轴上,如果点A 、点B 所对应的数分别为6和3-,求A B 、 两点间的距离.B A 3 1- 0 1 26 3 图2【解答】 6(3)6363AB ∣∣=∣--∣=∣+∣=+【注】 也可以这样计算： 3636)[(36)]36AB ∣∣=∣--∣=∣-(+∣=--+=+【例4】 已知a b c 、、在数轴上的位置如图3所示,则22()a a b a c b c -∣+∣+-+∣+∣的值等于（ ）（A ）2c a - （B ）2a b -（C ）a - （D ）bb a 0 c图 3【解答】 如图12-5所示,知b a c -<-<.22,,(),()a a a b a b a c c a b c b c ∴=-∣+∣=---=-∣+∣=-+∴原式a a b c a b c a =-+++---=-.选（C ）.【例5】 当1x <-是,2(2)21x x x ---∣-∣=（ ） （A ）0 （B ）44x - （C ）44x - （D ）44x +【解答】 21,20,(2)2,11,x x x x x x <-∴->-=-∣-∣=- ∴原式22(1)44x x x x =-+--=-,选（B ）.。
人教版七年级数学下册实数《实数(第3课时)》示范教学课件
之间的 0 的个数依次增加 1）， ， 中，无理数有___个，有理数有____个，负数有____个．
例2 在实数 0， ，－3.14， （每两个 9
相反数、绝对值
实数
（第3课时）
人教版七年级数学下册
实数
有理数
无理数
实数的相关概念
实数与数轴
实数的运算
例1 下列说法正确的是（ ）．A． 是有理数 B． 是有理数C． 是无理数 D． 是分数
D
归纳
分析：根据无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数以及小于零的数是负数得到答案．
之间的 0 的个数依次增加 1）， ， 中，无理数有___个，有理数有____个，负数有____个．
3
3
3
归纳
例3 若 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 的绝对值为 2，求 的值．
分析：遇到两数互为相反数，就要想到两数之和为0；遇到两数互为倒数，就要想到两数之积为 1；遇到绝对值是一个正数，就要想到原数可能有两个．根据互为相反数、互为倒数和绝对值的意义，求出 a＋b，cd 及 m 的取值．
例7 已知表示实数 a，b，c 的点在数轴上的位置如图．化简：|a＋b|－|b＋c|＋|b－c|－|b|．
例8 现有一面积为 150 m2 的正方形鱼池，为了增加养鱼量，如果把鱼池的边长增加 6 m，那么扩建后鱼池的面积为多少平方米(精确到 0.1 m2 )？
例9 计算下列各式的值(精确到 0.01 )：（1） ；
例3 若 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 的绝对值为2，求 的值．
例4 如图，M，N 两点在数轴上表示的数分别是 m，n，则化简式子|m＋n|－m 的结果是________．
实数 3
6
作业
1.有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或 负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0， 其中错误的是（ A．①②③ ） B．①②④ C．②③④ D．①③④ ） D．原点或原点右侧 D、23
2.若 a2 a ，则实数 a 在数轴上的对应点一定在（ A．原点左侧 B．原点右侧 C．原点或原点左侧 3.已知 x＋10＋ y－13＝0，则 x＋y 的值是（ ） A、13 B 、3 C、－3 4.在数轴上离原点距离是 5 的点表示的数是________ 5. 5 2 的相反数是 6.当 x ≤ 0 时，化简 1 x
3
8
3
12.若 y 3x 2 2 3x 1 ，求 3x＋y 的值
8
3 是 9 的平方根，也就是说 9 的平方根是 3 .
平方根的性质：正数有两个平方根，互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根
( a )2 a(a 0)
a, a 0 a2 a a, a 0
49 64
（4） 3
2
例题 1.求下列各数的算术平方根 （1）100 （2） （3）0.0025
3
3
a
64
3
1 8
3
27 64
练习 1. 2.
3
8=
3
8 =
3 125 =
；绝对值是 ；立方根等于本身的数是 ； 64 的立方根是________
3
7 的相反数是
3. 立方等于本身的数是 4.
3
64 的平方根是
常见的几种无理数（无限不循环小数） ： （1）根号型： 2, 3, 5, 2 等开方不尽的数 （2）构造型：如 0.1010010001„„ （3） 及含 的数：如 ， 2 1.有下列说法： （1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数包括正无理数、零、负无理数； （3）无理数是无限不循环小数； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示。 其中正确的说法的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.下列各数中，不是无理数的是 （ ） A. 7 B. 0.5 C. 2 D. 0.151151115„
实数(3)导学案
收获整理
2 ；⑵ 3 3 2 3 .
四、小结 五、拓展训练
7．已知 2 ＝1.414， 20 ＝4.472，则 2000 等于（ A．14.14 B．141.4 C．44.72 D．447.2
3 2
8．1－ 2 的相反数是______，绝对值是_______． 9．把 2a 写成一个数的平方的形式是_______. 10．若一个数的平方根是 2 m 4 和 2 5m ，则它的立方根是______. 11．计算下列各式的值： (1) 5 3 5 (2) 3 7 15 7
㈠、实数范围内的相反数和绝对值意义 填空： 2 的相反数是 ， 2 的相反数是 ，0 的相反数是 ， = ，0=
3
三、课堂训练 1．实数分为（ ， . . ）
的相反数是 2 = ，3 2 =
3
A．整数和分数 B.有理数和无理数 C．正数和负数 D.无限循环小数和无限不循环小数 2．与数轴上的点一一对应的是（ A．整数 ）
例 1 ⑴ 分别写出 6 ， 3.14 的相反数； ⑵ 指出 5 ， 1 3 各是什么数的相反数； ⑶ 求 64 的绝对值；
3
B．有理数 C．无理数 D．实数 ） C． 2 ） D． 2 或 2
3．在数轴上到原点距离为 2 的点表示的数是（ A．±2 B． 2
⑷ 已知一个数的绝对值是 3 ，求这个数.
襄阳市樊城区第
上课时间：
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年 月 日 星期：
第
周
第
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实数第三课时
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新授课
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复备人：
初一数学实数(3)
初一数学寒假班（3）——12.1～12.4复习、测试【知识点】1． ________和_________统称有理数.2． ___________________________________叫做无理数.无理数可分为____________和____________. 3． __________和__________统称为实数.4． 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的_______，即若2x a =（0a ≥），则x=______. 5． _____数有两个平方根，它们互为________；零有_____个平方根，是_______；_______数没有平方根。
6． 正数a 的正的平方根叫a 的______________，记作_______.7． 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的_______，即若3x a =，则x=______. 8． 正数有____个_____的立方根，负数有____个______的立方根，0的立方根是______. 9. 平方根等于它本身的数是________，立方根等于它本身的数是________. 10. 当a ≥0时，2()a =______， 2()a -=______,即2()a ±=______ 11. 当a ≥0时，2a =______=______；当a ≤0时，2a =______=______.12. 一个正数的偶次方根有_____个，它们互为________；一个数的奇次方根有____个. 【例题分析】例1. 在实数312,0.3180.8010837π-，，，，中，无理数的个数为______个. 例2. (1)无限小数都是无理数. （ ） (2) 无理数都是无限小数. （ ）(3)实数分为正实数和负实数.（ ） (4) 实数不是有理数就是无理数.（ ）(5) 不带根号的数都是有理数.（ ） (6) 带根号的数都是无理数. （ ）例3. (1)23-的相反数是___________，绝对值是___________.(2)235-=（）___________.例4. 写出一个大于2小于3的无理数_________例5. (1) 3的平方根是_______；(2) 若24x =，则x=_______；(3) 81的平方根是______；(4) 16的算数平方根的平方根是______；(5) 27的立方根是______；（6）—8的立方根是_______； (7) 81的四次方根是______；(8) 32的五次方根是______.例6. (1) 64±=_____；(2)16=_____；(3)364-=______；(4)664=_____；(5)2(3)-=____；(6) 23=（-）_____；(7) 40.0016_____=；(8)362=______；(9)3610_____-=.例7. 下列计算正确的是( )(A) 030= (B) 33-=-- (C) 331-=- (D) 39±=例8. 平方根等于它本身的数是_______；立方根等于它本身的数是_______.例9. (1) 7在整数_____与整数_____之间； （2）7整数部分为_____，小数部分为______.(3) 绝对值小于7的整数有__________.54321-1-2(4) 若将三个数11,7,3-表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是_____．例10. 利用20,0,0a a a ≥≥≥解决问题(1) 已知()22340a b c -+-+-=，求a-b+c 的值.(2) 已知2b -与5a -互为相反数，求ab 的平方根.(3) 已知0)3(12=++-+y y x ，求y x -的值.(4) 已知230x y ++-=，求2010()x y +的值.(5) 已知224250a b a b +--+=，求2ab 的值.例11. (1) 23m m +和+1是同一个数的平方根，求这个数.(3) 已知一个正数的平方根是32x -和56x +，求这个数．例12. (1)已知实数a 在数轴上的位置如图所示，化简:2|1|a a -+（2）如图，求a a b c b a c -+--++的值.12.1——12.4单元测试一、选择题（每题1.下列说法正确的是（ ）(A) 带根号的数都是无理数 (B) 不带根号的数一定是有理数 (C) 无理数是无限小数 (D) 无限小数是无理数 2.下列表示方法正确的是( )(A)9的平方根是±3，可以表示为93=± (B)3是9的平方根，可以表示为93±= (C) ±3是9的平方根，可以表示为93±=± (D) -3是9的平方根，可以表示为93=- 3. 下列说法正确的是（ ） ①实数分为正实数和负实数 ②3π是分数 ③互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 ④1的立方根与平方根相同 ⑤一个无理数不是正数就是负数 ⑥一个无理数的平方一定是有理数(A) ①③ (B) ②⑤ (C) ③⑤ (D) ①⑥ 4. 23的整数部分和小数部分分别为（ ）(A) 4，423- (B) 5，235- (C) 4，234- (D) 以上都不对二、填空题（每题5.________和_________统称有理数。
6.3实数 (3)
6.3实数教学目标1、了解无理数及实数的概念,并会对实数进行分类.2、知道实数与数轴上的点具有一一对应关系.3、学会使用计算器探求将有理数化为小数形式的规律.4、学会使用计算器估算无理数的近似值.5、学会使用计算器计算实数的值.1、通过计算器探求将有理数化为小数形式的规律,使学生经历观察、猜想、实验等数学活动过程,培养学生数学探究能力和归纳表达能力.2、在使用计算器估算和探究的过程中,使学生学会用计算器探究数学问题的方法.3、经历从有理数逐步扩充到实数,了解到人类对数的认识是不断发展的.4、经历对实数进行分类,发展学生的分类意识.解决问题1、通过无理数的引入,使学生对数的认识由有理数扩充到实数.2、通过计算器对无理数近似值的估算和对实数计算,使学生发展实践能力.3、在交流中学会与人合作,并能与他人交流自己思维的过程和结果.情感态度1、通过计算器探求将有理数化为小数形式的规律,激发学生的求知欲,使学生感受数学活动充满了探索性与创造性,体验发现的快乐,获取成功的体验.2、通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用.3、敢于面对数学活动中的困难,并能有意识地运用已有知识解决新问题.重点了解无理数和实数的概念,以及实数的分类;会用计算器计算实数.难点对无理数的认识.教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1 通过对有理数探究,激发进一步学习的欲望.通过用计算器计算有理数和研究有理数的规律,得出对数的进一步研究的重要性,引出本节课要研究的课题.活动2 通过对数的归纳辨析,引出无理数和实数的概念,并对实数进行分类. 使学生了解无理数和实数的概念,学会对实数的分类,活动3 通过教师演示和学生活动,建立实数与数轴上的点的一一对应. 通过在数轴上找到表示的点,认识无理数可以用数轴上的点表示,理解实数与数轴上的点建立一一对应的关系.教学过程设计问题与情境师生行为设计意图[活动[活动1]通过对有理数探究,激发进一步学习的欲望.问题:(1)利用计算器,把下列有理数3,- , , , , 转换成小数的形式,你有什么发现?(2)我们所学过的数是否都具有问题(1)中数的特征,即是否都是有限小数和无限循环小数? 教师提出问题(1).教师引导学生观察计算结果,得出任何一个整数或整数比即有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.教师提出问题(2).学生回顾思考,通过学生对有理数的再认识,师生共同归纳无理数是无限不循环小数,从而得出无理数既不是整数也不是分数的结论.活动1中,教师应关注:(1)学生通过实际计算实现有理数到小数的转化,激发进一步学习无理数的欲望;(2)学生了解无理数的主要特征. 计算器是将有理数转化为小数的主要计算工具,通过组织学生的计算活动,发现规律,并与学过的无限不循环小数作对比,为学习无理数概念作准备.通过让学生参与无理数的概念的建立和发现数系扩充必要性的过程,促进学生对数学学习的兴趣,培养学生初步的发现能力.注重新旧知识的连贯性,使学生体会到学习的内容是融会贯通的。
八年级数学上册 第二章 实数 3 立方根分析与重难点突破(第2课时)素材 北师大版(2021年整理
八年级数学上册第二章实数3 立方根教材分析与重难点突破（第2课时）素材（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册第二章实数3 立方根教材分析与重难点突破（第2课时）素材（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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立方根教材分析与重难点突破第2课时1．教材分析本节课的主要内容是使用计算器求立方根和立方根的求值规律．教科书首先指出很多有理数的立方根是无限不循环小数这一结论，我们可以用有理数近似值表示它们．由于估算一个数的立方根的近似值的方法和估算一个数的算术平方根的近似值的方法相同,教科书在正文中没有给出估算的例子,只在本节练习第3题和习题6．2第8题中安排了比较大小的问题，教学时，学生会解答这类问题即可，不必深究;然后教科书结合例题，学习利用计算器求一个数的立方根的方法，指出不同的计算器操作过程或按键顺序可能是不相同的；最后设置了一个“探究”栏目,在这个栏目中,要求学生利用计算器探究并归纳出被开方数的小数点向右或向左移动时立方根的小数点的变化规律，利用所发现的这个规律求一个数立方根的近似值．本节课的教学重点是用计算器求立方根,本节课的难点是立方根的值的变化规律．2．重难点突破（1）估算或用计算器求立方根突破建议使用计算器求一个数的立方根，只需要直接按顺序按键即可．需要注意的是:①一些计算器设有键，用它可以直接求出一个数的立方根,不要将键错按成键；②有些计算器需要用第二功能键求一个数的立方根;③不同型号的计算器按键顺序有可能不同，应注意先阅读说明书，再按说明书进行操作计算；④若被开方数为负数时，防止漏按负号键．“-”号的输入可以按(-），也可以按 - ，不同型号的计算器可能不同；⑤用计算器求立方根，计算器里显示的数值中，许多都是近似值，要根据题目要求进行取舍．例1．把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列: ．解析：本题考查数的大小比较．根据平方根和立方根的特征可得，7的平方根是，7的立方根是，因为，，,所以答案为．例2．用计算器求下列各式的值：（1）；（2）；（3）（精确到0．001）．解析：本题考查用计算器求立方根，需要注意的是：注意按键顺序，防止漏按负号键和键，要根据题目要求对显示的近似值进行取舍．（1)；（2）;（3)（精确到0．001）．(2)求立方根的应用突破建议求立方根的应用，主要有解特殊的一元三次方程以及实际应用等．利用开立方可解的一元三次方程的形式一般比较特殊，如只含有三次项和常数项等．一般地，解此类方程时先进行移项，然后将的系数化为1,再根据立方根的性质求解，有时需要把含有未知数的多项式作为一个整体直接开立方求解．例3．求下列各式中的值：（1）；(2);(3）．解析:本题考查求立方根的应用．（1)因为，所以;（2）由得,所以；（3）因为，所以，故．（3）立方根的值的变化规律突破建议当被开方数的小数点向右或向左移动3位时，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位．我们也可以这样来理解：被开方数扩大1000倍，其立方根扩大10倍；被开方数缩小1000倍,其立方根缩小10倍．在实际应用中，我们应结合算术平方根的求值规律加以记忆和巩固．例4．请同学们运用所学的方法，完成下表：0．000001．001110001000000（1）观察上表并说明当已知数的小数点向右（或向左）移动时，它的立方根的小数点的移动规律是怎样的？写出你发现的规律；(2）运用你所发现的规律,解答下列各小题．已知，求：①；②．解析：本题考查立方根的值的变化规律，由已知的值及其开立方得到的规律相比较得出规律：当被开方数的小数点向右或向左移动3位时，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位，分别利用此规律求出所给数的值．0．000001．0011100010000000．01．1110100 (1）当已知数的小数点向右或向左移动3位时，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；（2)①；②．。
人教版数学七年级下册6.3《实数》教学设计3
人教版数学七年级下册6.3《实数》教学设计3一. 教材分析人教版数学七年级下册 6.3《实数》是学生在学习了有理数和无理数的基础上，进一步对实数进行系统地认识和理解。
本节课的主要内容是实数的分类，实数与数轴的关系，以及实数的运算性质。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握实数的概念，提高学生的数学思维能力。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对有理数和无理数有了初步的认识。
但是，对于实数的系统理解和运用，还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，循序渐进地引导学生理解和掌握实数的概念和性质。
三. 教学目标1.了解实数的概念，掌握实数的分类和实数与数轴的关系。
2.掌握实数的运算性质，能够熟练地进行实数的运算。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.实数的分类和实数与数轴的关系。
2.实数的运算性质。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究实数的概念和性质。
2.利用数轴辅助教学，帮助学生直观地理解实数与数轴的关系。
3.运用例题和练习题，巩固学生对实数的理解和运用。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，包括实数的分类、实数与数轴的关系、实数的运算性质等内容。
2.练习题：准备一些有关实数的练习题，用于巩固学生的学习成果。
3.数轴：准备数轴教具，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用数轴教具，引导学生回顾有理数和无理数的概念，引出实数的概念。
2.呈现（15分钟）呈现实数的分类，讲解实数与数轴的关系，以及实数的运算性质。
通过例题和练习题，让学生直观地理解实数的概念和性质。
3.操练（15分钟）让学生在课堂上进行实数的运算练习，巩固学生对实数的理解和运用。
4.巩固（10分钟）通过练习题，巩固学生对实数的理解和运用。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
5.拓展（10分钟）引导学生运用实数的概念和性质解决实际问题，提高学生解决问题的能力。
七年级数学上册第3章实数3.3立方根课件(新版)浙教版
3
3
②已知 0.000 456≈0.076 97，则 456≈_7_._6_9_7_________.
19．我们知道当 a＋b＝0 时，a3＋b3＝0，若将 a 看成 a3 的立方 根，b 看成 b3 的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个 数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． (1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； 解：因为 2＋(－2)＝0，23＝8，(－2)3＝－8， 8－8＝0， 所以结论成立(举例子不唯一).所以“若两个数的立方根 互为相反数，则这两个数也互为相反数”是成立的.
D．－4
6．下列说法：①负数没有立方根； ②一个数的立方根不是正数就是负数； ③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0； ④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1 或0. 其中错误的是( ) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【点拨】任何数都有立方根，故①错误；一个数的立方根 可能是正数，也可能是负数，还可能是0，故②错误；③正 确；如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是 ±1或0，故④错误.故选B. 【答案】B
3
(3) 1.96× 1.728；
解：原式＝1.4×1.2＝1.68. (4) －132×3 －27；
解：原式＝13×（－3)＝－1.
3
3
(5) 25－ －1－ 144＋ 64.
解：原式＝5－（－1)－12＋4＝－2.
14．已知4x－37的立方根为3，求2x＋4的平方根．
3
解：由题意知 4x－37＝3， 所以 4x－37＝33＝27，解得 x＝16.
是( D )
A．0
B．－4
C．4 D．0 或－4
3
4．若 a，b 均为正整数，且 a＞ 11，b＞ 9，则 a＋b
三 实数的概念与运算
三 实数的概念与运算一、整体动向：实数的概念与运算是“数与代数”的基础内容，也是中考的必考内容之一，命题形式多为填空题或选择题，复习时应重点把握其基础知识与基本技能，同时注重新课程评价标准对知识在不同情境下的创新考查．二、重点、难点（一）基本概念（1）在实数范围内，_______数都能开立方，只有______数才能开平方；因此，对于3a ，a 为_____，当______时，a 有意义．（2）无理数是_____________．（3）______和______统称为实数．（二）基本运算（1）实数的运算要注意：有理数的运算种类、各种运算法则、运算律、运算顺序、科学记数法、近似数与有效数字、计算器功能键及应用．（2）实数的运算律：有理数的运算律在实数范围内仍然适用．三、典例剖析例1 （2006年威海市）写出一个-6～-5之间的无理数：_________． 解：符合题意的无理数有无数多个，如30-，3200-等．说明：这类题的特点是满足题意的条件不明朗，且不惟一，具有开放性．例2 （2006年山西省）估计512-与0.5的大小关系是：512-______0.5．（填“＞”“＜”“＝”）说明：本题主要考查估算能力，也可以借助于计算器计算，答案为：＞．例3 （2006年荆州市）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x 为64时，输出的y 是（ ）A ．8B ．22C ．23D ．32析解：本题通过数值转换器所给的计算程序来考查算术平方根、无理数的概念，答案为B ．例4 （2006年杭州市）在图2的两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出2个有理数和两个无理数，再用“+、-、×、÷”中的3种符号将选出的4个数进行3次运算，使得运算的结果是一个正整数．分析：本题是一道答案不惟一的开放型创新设计题，只要按照实数的运算和题目的要求来设计计算方案就可以了．例如：33(6)12⎛⎫--+π⨯= ⎪π⎝⎭，等等． 说明：本题考查综合创新能力，它的设计方案很多，只要符合要求即可．例5 （2006年无锡市）在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算“⊕”如下： 当a ≥b 时，2a b b ⊕=；当a ＜b 时，a b a ⊕=．则当x ＝2时，(1)(3)x x x ⊕-⊕ 的值为_____（“·”和“－”仍为实数运算中的乘号和减号）．说明：本题是一道“定义新运算”的题目，只要搞清运算规则就可以了，答案为：－2． 跟踪练习三：1．大家知道5是一个无理数，那么51-在哪两个整数之间（ ）A ．1与2B ．2与3C ．3与4D ．4与5２．12-的绝对值等于（ ） A ．2 B ．2- C ．22 D ．22- 3．若0＜x ＜1，则x 、x 2、x 3的大小关系是（ ） A ．x ＜x 2＜x 3 B ．x ＜x 3＜x 2 C ．x 3＜x 2＜xD ．x 2＜x 3＜x 4．若35.25 1.738=，30.5250.8067= ，则3525=________．5．64-的立方根是_______．6．如图3，数轴上表示3的点是______．7．已知21x =+，21y =-则2256x xy y -++=____．8．计算：20138(1)19-+-π-+-+．参考答案：1．A 2．C 3．C4．8.067 5．2-6．B 7．7 8．22。
实数 课件 3
２、写出大于 17 且小于 11 的所有整数。 ３、 5 2 的相反数是 ；绝对值是 。 ４、在数轴上表示 13 的点与表示 13 1 的距离是？ ５、写出下列各数的整数部分和小数部分
9 、7、 25、 4 33
1、 2
5
2
1 2
６、 2 3与 3 2的大小 ７、化简： 6 2 2 1 3 6 = .
若 102.01 10.1 ，则± 1.0201 =
。
10201
0.010201
1020100
已知x，y为实数，求： ( x y 1)2 2x y 3 的最小值 u 和取得最小值时x,y的值。
２、实数：
①无理数：无限不循环小数 ②无理数的常见形式： 开方开不尽的数；圆周率 ，以及含有 的数； 有规律但不循环的无限小数 ③无理数的绝对值、相反数以及运算法则与有理数 相似 ④无理数在数轴上的近似表示和大小比较 ⑤实数的分类：有理数和无理数统称为实数 ⑥实数与数轴上的点一一对应
实数的运算法则：先算乘方和开方，再算乘和除，最 后算加和减，有括号的先算括号பைடு நூலகம்的。
巩固练习：
１、判断： （1） 7
（2）2
3
3 1 2
3
73 1 2 1 2
42
2 （3） （-3） 3
（4）（ 11 2 11 ）
3 3 （5） （-7） 7
提高自我
如图，数轴上表示1、 2 的对应点分别为A、B，点B关 于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（ ）
２、计算： 3 125
3
3
27 8
2022年冀教版八上《实数3》立体课件
议一议
通过这节课的学习,
? 你有哪些收获
五、小结
判定两条直线平行的方法有：
1.同位角相等, 两直线平行. 2.内错角相等, 两直线平行. 3.同旁内角互补, 两直线平行. 4. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 5.平行线的定义.
两直线平行的判定
两条直线被第三条直线所 截，如果同旁内角互补，
A
那么这两直线平行.
C
简单地说
F
同旁内角互补,两直线平行
E
B
3
2
D
推理格式: ∵ ∠2+∠3=180 °（已知） ∴ AB∥CD （同旁内角互补, 两直线平行）
到目前为止我们学过的判定两条直线是否平行 的方法有几种？
1.同位角相等, 两直线平行. 2.内错角相等, 两直线平行. 3.同旁内角互补, 两直线平行. 4. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 5.平行线的定义.
有一块木板，怎样才能知 道它上下边缘是否平行？
1
2
C
4
P
B
1
A
23
2、台球运动中，如果母球P击中桌边点A，经桌边反弹后 击中相邻的另一条桌边，再次反弹，
那么母球P经过的路线BC与PA平行吗？ 请说明你判断的理由
3、你能用一张不规则的纸（比如，如所示的 四边形的纸）折出两条平行的直线吗？与同伴 进行交流，说说你的折法。
a b （1）从∠1=∠2，可以推出 ∥ ， 理由是 内错角相等，两直线平行
（2）从∠2=∠ 理由是
，可3以推出c∥d ，
同位角相等,两直线平行.
（3）如果∠4=75°，∠3=75 °，
c 可以推出 ∥ d
（4） 从∠4=75°，∠5= °，
第3讲实数(教案)
（3）实数与数轴的结合：学生可能难以将实数与数轴上的点对应起来。
突破方法：通过数轴上的实际操作，让学生直观地感受实数与数轴的关系，并在解题过程中强化这一联系。
（4）运算的准确性：实数的运算涉及较多细节，学生容易出错。
（5）实数与数轴：理解实数在数轴上的表示，掌握数轴上的点与实数的对应关系。
举例：在数轴上表示无理数，如π和√2的位置。
2.教学难点
（1）无理数的理解：无理数的概念较为抽象，学生难以理解。
突破方法：通过实际例子（如圆的周长与直径比）和图形演示，帮助学生理解无理数的含义。
（2）实数的混合运算：学生容易在运算过程中混淆运算顺序和规则。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解实数的基本概念。实数包括有理数和无理数，它们构成了完整的数系。实数在解决实际问题中具有重要作用，如在科学计算和工程技术中的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算圆的周长与直径的比值，引出无理数π的概念，并探讨其在实际中的应用。
其次，实数的四则运算和混合运算部分，我在课堂上进行了详细的讲解和示范，但学生在实际操作过程中还是会出现错误。我想，这可能是因为我在讲解时没有让学生充分参与到运算过程中来，今后我需要引导他们更多地参与，提高他们的运算能力。
在实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作表现得还不错，能够将所学的实数知识运用到实际问题中。但我也注意到，有些小组在讨论过程中，个别成员参与度不高，可能是我没有给他们足够的引导和鼓励。下次我会尽量让每个学生都能积极参与进来，提高他们的团队协作能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
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§2.6 实数(3)
备课 方式
□集体（负责人 赵春华 ） □个人
课时 分配
共（3）课时 第（3）课时
1、式子 a b a b (a≥0,b≥0)； 问题收 集与学 情分析 1、 大部分学生对实数理解及化简 有了一定的掌握。 2、 部分学生不能熟练正确解决实 教学 数的化简问题。 目标 3、 部分学生对几个公式掌握不熟 影响了灵活解决问题的水平。
知识与 能力目 标 算.
a a (a≥0,b＞0)的运用. b b
2、 能利用化简对实数进行简单的四则运
教学重/ 难点
教学重点： 1.两个法则的逆运用. 2. 能运用实数的运算解决简 单的实际问题. 教学难点： 灵活地运用法则和逆用法则 进行实数的运算.
过程与 方法目 标
1.通过对法则的逆运用，让学生体验数 学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨 性以及数学结论的确定性. 2.能运用实数的运算解决简单的实际问 题，提高学生的应用意识，发展学生解决问 题的能力，从中体会数学的使用价值. 通过探索规律的过程，培养学生学习 的主动性，敢于探索，大胆猜想，和同学积 极交流，增强学习数学的兴趣和信心。
32 125 ；(6) . 9 16
［师］被开方数中能分解因数.且有些因数能开出来.这时就需要对其进行化简. 那么像下面的式子
1 2 2 2 叫不叫化简呢？ 2 4 2 4
［生］叫化简. ［师］能否说一下它的特征呢？ ［生］原来被开方数中含有分母，化简后被开方数中没有了分母. ［师］如果被开方数中含有分母，要把分子分母同时乘以某一个数，使得分母 变成一个能开出来的数，然后把分母开出来，使被开方数中没有了分母.这也叫化简. 根据刚才我们的讨论，对于两种情形可通过法则的逆运算进行化简，那么究竟是哪 两种情形呢？其实在刚才的分析中我已作过介绍，大家可否记得？ ［生］记得.如果被开方数中含有分母，或者含有开得尽的因数，则可通过逆运 算进行化简.
作业设计 课后检查与反 思
必做：课本 P50 习题 选作：分层作业 15—16 页 1、 本节教案详尽，执行率约 90﹪ 2、 学生对两个公式即直接使用效果不错 3、 对于复杂的根式的化简，部分学生掌握不好不熟，加强训练。
如：
1 1 3 3 3 3 ; 3 3 3 9 3 9
最简根式： 1 、被开方数中不含 有开得尽的因数 2 、被开方数中不含 有分母 3、分母中不含根号
216 6 2 6 6 2 6 6 6 ; 3 1 1 1 1 3 ; 12 12 4 2
2 2 1 1 . 18 9 3 18
49 49 49 49 2 49 2 7 5 2. 2 10 10 2 2 2 2
1 . 5
1 1 18 a 10 ab ；(3)－ xy 6 y
(4) 51 ； 162 . 7课堂测验 1.化简： (1)
1 3 121144 ；(2) ；(3) 1.2 ；(4) 128 ；(5) 9000；(6) . 169 8 2
(1) 3 3 3 3; (2) 2 4 2 4 2 2 ; (3) 3 3 ; 27 27 25 25 3 . 12 12
(4) 3
并和上节课的两个法则相比较，有什么不同吗？请大家交流后回答. ［生］正好和上节课的法则相反. ［师］大家能否用式子表示出来？ ［生］能.
或法则的逆运算的总结. 3.能用上述式子正确地进行化简. Ⅴ.课后作业 □ 板书设计 一、推导法则
a a (a≥0,b＞0) b b
§2.6.3 实数(三)
a b a b (a≥0,b≥0)；
a a (a≥0,b＞0) b b
二、例题讲解 三、课堂练习 四、课时小节 五、课后作业
a b a b
a a b b
［师］没有条件限制吗？ ［生］有.第一个式子加条件 a≥0,b≥0.第二个式子加条件 a≥0,b＞0. ［师］那现在能否把 8 化成 2 2 呢？ ［生］行. 8 2 4 2 4 2 2 2 2 . ［师］下面我们进行简单的练习. 化简： (1) 27 ； (2) 45 ；(3) 128 ；(4) 54 ；(5)
但是这也不是绝对的，有时法则的运用和法则的逆运算要相互结合才能达到化 简的目的.如： 5 例题讲解 ［例 1］化简： (1) 50 ；(2) 48 3 ；(3) 5 ［例 2］化简： (1)－2 10 3 30 ；(2)－ Ⅲ.课堂练习 化简：(1) 18 ；(2) 3 3 75 ；(3)
情感态 度价值 观目标 教学 形式 学法 指导 教学 辅助 手段 准备 及检 查 □ 多 媒 体 □ 教 具 □ 辅 助 材 料
学生活动为主，教师指导
指导探索法.
无
□学具
一副三角板
德育渗 透内容
使学生通过本节的学习，培养他 们在生活和工作中的耐心、恒心 和毅力。
三角板
□实验 准备
无
无
□其他 准备
学案
a a (a ≥ 0,b b b
＞0)
a a (a≥0,b＞0) b b
［师］请大家根据上面法则化简下列式子. (1) 3 3 ； (2) 2 4 ；
(3)
3 27
；(4) 3
25 . 12
［师］请大家思考一下，刚才这位同学的步骤反过来推是否成立？即从右往左 推.如 (1)3= 32 3 3 3 3 能否成立？ ［师］.下面再分析这些式子：
2.化简： (1) 8 18 ；(2)2 12 48 ；(3) 3 20 45
1 ； 5
(4)
2 3 2 50 32 ；(5) 6 . 9 2 3
Ⅳ.课时小结：1.若被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因数的式子的化简. 2.一般情况下应用法则
a b a b (a≥0,b≥0)；
□问题设计及教学 呈示重点提示
教学过程： Ⅰ.导入新课 请大家先回忆一下算术平方根的定义. 下面我们用算术平方根的定义来求下列两个正方形的边长， 以及边长之间的关
1 、平方根立方根的 概念及性质 2、乘除法公式
a b a b (a
≥ 0,b ≥ 0) ； 系. 设大正方形的边长为 a，小正方形的边长为 b.请同学们互相讨论后得出结果. ［生］由正方形面积公式得 a2=8,b2=2. 所以大正方形边长 a= 8 ，小正方形边长 b= 2 . ［师］那么 a 与 b 之间有怎样的倍分关系呢？请观察图中的虚线. ［生］大正方形的面积为小正方形面积的 4 倍，大正方形的边长是小正方形边长的 2 倍.所以 8 =2 2 . ［师］非常棒，那么 8 根据什么法则就能化成 2 2 呢？这就是本节课的任务. Ⅱ.新课讲解 ［师］请大家回忆一下上节课学的两个法则是什么？ ［生］ a b a b (a≥0,b≥0)；