14.4(2)1_三角形全等的判定(ASA)练习[1]

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asa证全等的方法

asa证全等的方法ASA证全等的方法是指通过给出三角形的三个角度和三个边长来判断是否两个三角形全等的方法。

ASA证全等的方法是中学数学中的重要内容，它是判断两个三角形全等的一种基本方法。

下面将详细介绍ASA证全等的方法以及几个具体的例子。

首先，我们先来了解一下ASA证全等的基本原理。

ASA全等法则指的是在两个三角形中，如果两个三角形的两个对应角度和一个对应边相等，则这两个三角形全等。

也就是说，如果我们知道了两个三角形的一个角度、一个边相等，并且两个角度的顺序还对应，那么我们就可以推断出这两个三角形全等。

下面我们通过几个例子来具体了解一下ASA证全等的方法。

例1：如图1，已知△ABC和△DEF，已知∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF，证明△ABC≌△DEF。

这个例子中，我们已知了两个三角形的一个角度、一个边相等，并且两个角度的顺序还对应。

根据ASA全等法则，可以直接推断出这两个三角形全等。

例2：如图2，已知△ABC和△DEF，已知AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，证明△ABC≌△DEF。

这个例子中，我们已知了两个三角形的两个对应边相等，并且两个角度的顺序还对应。

根据ASA全等法则，可以直接推断出这两个三角形全等。

例3：如图3，已知△ABC和△DEF，已知AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，证明△ABC≌△DEF。

这个例子中，我们已知了两个三角形的两个对应边相等，并且两个角度的顺序没有对应。

虽然我们可以通过ASA全等法则推断出∠B=∠E，但是由于两个角度的顺序不对应，所以不能直接推断出这两个三角形全等。

综上所述，通过ASA证全等的方法可以判断两个三角形是否全等。

该方法需要满足两个三角形的一个角度、一个边相等，并且两个角度的顺序还对应。

只有满足这些条件，我们才能推断出两个三角形全等。

在实际应用中，使用ASA证全等的方法可以帮助我们解决一些与全等三角形相关的问题。

例如，在解决三角形的构造问题中，我们可以利用ASA证全等的方法来构造一个与给定的三角形全等的三角形。

14.4全等三角形的判定(解析版)

14.4全等三角形的判定一．填空题1. 在ΔABC 和ΔDEF 中，若已知∠A=∠E,∠B=∠F,AC=DF,则____(填“能”或“不能”判定这两个三角形全等。

易错点：∠A=∠E,∠B=∠F,则∠C=∠D,AC 对应的边是DE,本题错误率很高。

解析：判定两个三角形全等，不是有两个角，一条边就全等了，边一定要对应相等，故答案为不能.2. 如图，在ΔABC 和ΔDCB 中，∠A=∠D,要使ΔABC ≅ΔDCB ，需要添加一个条件____或______(只要填两种情况）易错点：隐藏条件是BC=BC,已知∠A=∠D,不能添加AB=CD 或AC=BD,边边角不能证明全等。

解析：添加∠ABC=∠DCB 或∠ACB=∠DBC,可使ΔABC ≅ΔDCB 。

3. 已知两边对应相等，若要判定这两个三角形全等，则还需要的条件是______________________________________________.易错点：两边对应相等是指一个三角形中两条边与另一个三角形的两条边对应相等，不是指一个三角形中一条边与另一个三角形的一条边DC A B对应相等，很多同学理解错误。

解析：还需要的条件是第三条边对应相等，或这两条边的夹角对应相等。

4.已知一角和这个角的对边对应相等，若要判定这两个三角形全等，则还需要的条件是_________________________________________.易错点：这个角的对边不能理解，在ΔABC中，∠A所对的边就是BC.类同第二题。

解析：还需要的条件是另一个角对应相等。

5.已知一角和这个角的邻边对应相等，若要判定这两个三角形全等，则还需要的条件是______________________________________.易错点：1.表述不清，2漏解。

解析：还需要的条件是这个角的邻边对应相等，或这条边的对角对应相等，或这条边相邻的另一个角相等。

二．选择题6.满足下列哪种条件时，就能判定ABC DEF∆≅∆( )A.∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠DB.AB=DE,BC=EF,∠C=∠FC.AB=DE, BC=EF,∠A=∠ED.∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E易错点：判定ABC DEF∆≅∆的方法有SAS,ASA,AAS,SSS;要对应相等，SSA不能证明全等。

全等三角形的判定(ASA)

在解题过程中，灵活运用角角边(aas)判定定理可以简化复杂图形的证明过程，提高解题效率。
04 边角边(sas)判定定理
定理内容
两个三角形中，如果两边和它们之间的夹角分别相等，则这两个三角形全等。
用数学符号表示为：如果$Delta ABC cong Delta DEF$，且$AB = DE, BC = EF, angle B = angle E$，则$angle A = angle D$。
三角形全等在几何证明中的应用
证明线段相等
通过构造两个全等的三角形，利用全等三角形的对应边相等，证明两条线段相等。
证明角度相等
利用全等三角形的对应角相等，证明两个角度
相等。
证明垂直关系
通过证明两个三角形全等，利用全等三角形的对应角为直角，证明两条线段垂直。
证明平行关系
通过证明两个三角形全等，利用全等三角形的对应边平
第六步，根据第三步和第五步的结论，可得 $AC = A'C'$。
第七步，由全等三角形的判定条件，有 $triangle ABC cong triangle A'B'C'$。
定理应用
01
在几何证明中，角边角(asa)判定定理常用于证明两个三角形全等，从而可以进一步推导出其他几何性质和结论。
定理证明
其次，根据已知条件$AB = AB$和$AC = AC$，利用 SSS判定定理可得$triangle ABC cong triangle ACD$。
首先，由已知条件可知，$angle A = angle A$和 $angle B = angle B$，所以$angle C = angle C$ （三角形的内角和性质）。

全等三角形判定(ASA和AAS)

∴ ∠B=∠DEF , ∠ACB=∠F
在△ABC和△DEF中
∠B=∠E BC=EF ∠C=∠F ∴△ABC≌△DEF（ASA）
你能行吗?
× AB=DE可以吗？
B A
C
F
D E
1、如图∠ACB=∠DFE， BC=EF，那么应补充一个条件 ------------------------- ，才能使△ABC≌△DEF （写出一个即可）。
为两角夹边
B
C 图2
在图2中，边BC是∠A的对边，我们称这种位置关系为
两角及其中一角的对边。
二、合作探究
（一）探究一：已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为这两个角的夹边，画一个三角形．
45°
3 cm
30°
把你画的三角形与小组其他组员画的三角形进
行比较，所有的三角形都全等吗？都全等
利用“角怎边么角办？定可理以”帮帮可知,带B
A
块去，可以配我到吗？一个与原来全
等的三角形玻璃。
B
考考你
1、如图，已知AB=DE， ∠A =∠D， ,∠B=∠E，则 △ABC ≌△DEF的理由是：角边角（ASA）
2、如图，已知AB=DE ,∠A=∠D，,∠C=∠F，则
△ABC ≌△DEF的理由是：角角边（AAS）
Q AB AC
AB AD AC AE (等式的性质)
BD CE
3.已知ABC中，BE AD于E，CF AD于F，
且BE CF，那么BD与DC相等吗？
A
证明：Q BE AD，CF AD
BED CFD 90 (垂直的定义）
F
Q 在BDE和CDF中
B
D
C
BED CFD（已证）

人教版三角形全等的判定(ASA_AAS)

over
例: 如图,O是AB的中点，∠A= ∠B， △AOC与△BOD全等吗?为什么？
两角和夹边对应相等
C
A
O
B
解：在 DAO和 CDBOD中
D
A B(已知)
AOBO (中点的定义) AOCBO(D 对顶角相等)
\ DAOC DBOD (ASA)
例: 如图,O是AB的中点，∠C= ∠D，
A
A
B
C
B
C
探究5
先任意画出一个△ABC，再画一个 △A/B/C/，使A/B/=AB， ∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B (即使两角和它们的夹边对应相等)。把画好的 △A/B/C/剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
C
A
B
已知：任意 △ ABC，画一个△ A/B/C/，使A/B/＝AB， ∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B ：
练一练：
1、如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，根据SAS,ASA或AAS，
那么应补充一个直接条件
AC=DF或∠B=∠E或∠A=∠D
--------------------------，
（写出一个即可），才能使△ABC≌△DEF.
A
A
F
E
B
C
D
E
1
2
D
B
C
2、如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？
∠A=∠A（公共角） AC=AB（已知） ∠C=∠B（已知）
D
E
O
∴△ACD≌△ABE（ASA）
B
C
∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）
又∵AB=AC（已知）
∴BD=CE
(2) (1)

三角形全等的判定ASA

边角边相等（SAS）
如果两个三角形的两边长度相等，且这两边所夹的角也相等，则这两个三角形全等。
三角形全等的应用
解决几何问题
通过三角形全等关系，可以证明线段相等、角相等、垂直关系等，从而解决各种几何问题。
制作精确图形
在几何作图或设计领域，三角形全等关系可以用来制作精确的图形或模型。
02
与平行线判定定理的联系
在三角形全等的判定中，常常需要利用平行线的性质来证明两个三角形全等。例如，在ASA全等判定定理中，需要证明两角及夹角的边相等，而夹角的边是通过平行线性质推导出来的。
与勾股定理的联系
勾股定理是三角形全等判定中的重要工具。在证明两个直等于斜边的平方。
02
全等关系具有传递性，即如果三角形ABC与三角形DEF全等，那么三角形DEF也与三角形ABC全等。
三角形全等的条件
边边边相等（SSS）
角边角相等（ASA）
如果两个三角形的三边长度分别相等，则这两个三角形全等。
如果两个三角形有两个角分别相等，且这两个角所夹的边也相等，则这两个三角形全等。
ssa全等判定方法
总结词
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
详细描述
根据SSA全等判定定理，如果两个三角形有两边长度相等且这两边所夹的角相等，则这两个三角形全等。这个定理在解决几何问题时非常有用。
aas全等判定方法
总结词
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
详细描述
根据ASA全等判定定理，如果两个三角形有两个角相等且这两个角所夹的边也相等，则这两个三角形全等。这个定理是三角形全等判定的重要依据之一。
asa全等定理的应用
总结词：广泛实用

全等三角形判定二(ASA,AAS)

12.2 全等三角形判定二（ASA ，AAS ）全等三角形判定——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.注意：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .题型1：用ASA 判定三角形全等1.已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D＝∠B．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CBD B Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【总结】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的【变式1-1】如图，已知AB=AC，∠B=∠C，求证：△ABE≌△ACD．【答案】证明：在△ABE和△ACD中，∵∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，∴△ABE≌△ACD（ASA）．【解析】【分析】利用ASA证明△ABE和△ACD全等即可．【变式1-2】如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠AED．求证：△ABC≌△AED．【答案】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,∴∠BAC=∠EAD,在△ABC与△AED中，∠BAC=∠EADAB=AE∠B=∠AED∴△ABC≌△AED(ASA)【解析】【分析】由∠1=∠2，证明∠BAC=∠EAD,再结合：AB=AE，∠B=∠AED，利用角边角公理可得结论．全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）题型2：用AAS 判定三角形全等2.已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【思路点拨】要证AC ＝AD ，就是证含有这两个线段的三角形△BAC ≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B ECB=DE Ð=ÐìïÐ=Ðíïî∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【总结】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【变式2-1】如图，在△ABC 和△CDE 中，点B 、D 、C 在同一直线上，已知∠ACB=∠E ，AC=CE ，AB ∥DE ，求证：△ABC ≌△CDE ．【答案】证明：∵AB ∥DE ，∴∠B =∠EDC ，在△ABC 和△CDE 中，∠B =∠EDC ∠ACB =∠E AC =CE，∴△ABC≌△CDE (AAS )．【解析】【分析】利用“AAS”证明△ABC≌△CDE 即可。

11全等三角形判定一(ASA,SAS)(基础)知识讲解

全等三角形的判定一（ASA ，SAS ）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“角边角”，判定方法2——“边角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“角边角”全等三角形判定1——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠，AB ＝，∠B ＝∠，则△ABC ≌△.要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝，∠A ＝∠，AC ＝，则△ABC ≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】'A ''A B 'B '''A BC ''A B 'A ''A C '''A BC1、如图，已知AD ，BC 相交于点O ，OB=OD ，∠ABD=∠CDB求证：△AOB≌△COD．【思路点拨】由OB=OD ，得出∠OBD=∠ODB，进而得出，∠ABO=∠CDO，再利用ASA 证明即可．【答案与解析】解：∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵∠ABD=∠CDB，∴∠ABO=∠CDO，在△AOB 和△COD 中，，∴△AOB≌△COD（ASA ）．【总结升华】此题考查全等三角形的判定，关键是得出∠ABO=∠CDO．举一反三：【变式】如图，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF.求证：AB ＝CD.【答案】证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C.∵AF ∥DE ，，∴∠AFB ＝∠DEC.又∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE.在△ABF 和△DCE 中，∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）.B C BF CEAFB DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．【思路点拨】由条件AB ＝AD ，AC ＝AE ，需要找夹角∠BAC 与∠DAE ，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD 看作是由△ABE 绕着B 点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩【变式】如图，在Rt△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB 连接EF ，证明△AED≌△AEF．【答案】证明：∵△AFB 是△ADC 绕点A 顺时针旋转90°得到的，∴AD=AF，∠FAD=90°，又∵∠DAE=45°，∴∠FAE=90°﹣∠DAE=90°﹣45°=45°=∠DAE，又AE=AE ，在△ADE 与△AFE 中，，∴△ADE≌△AFE（SAS ）．类型三、全等三角形判定的实际应用4、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.【答案与解析】设战士的身高为AB ，点C 是碉堡的底部，点D 是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知∠BAD ＝∠BAC ，∠ABD ＝∠ABC ＝90°.在△ABD 和△ABC 中，∴△ABD ≌△ABC （ASA ）∴BD ＝BC.这名战士的方法有道理.【总结升华】解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决.ABD ABC AB ABBAD BAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩。

全等三角形的判定ASA、AAS-练习题

14.4（2）全等三角形的判定ASA、AAS一、探究现在，我们讨论：如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形能全等吗？这时同样应有两种不同的情况：如图所示，一种情况是两个角及这两角的夹边；另一种情况是两个角及其中一角的对边．ASA AAS二、检测反馈，学以致用1.如图，已知AO=DO，∠AOB与∠DOC是对顶角，还需补充条件______________=_______________，就可根据“ASA”说明△AOB≌△DOC；或者补充条件_______________=_______________，就可根据“AAS”，说明△AOB≌△DOC。

（若把“AO=DO”去掉，答案又会有怎样的变化呢？）2. 如图，OP是∠MON的角平分线，C是OP上一点，CA⊥OM，CB⊥ON，垂足分别为A、B，△AOC≌△BOC吗？为什么？3、如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：AD=AE．三、巩固练习1、如图，三角形纸片ABC，AB=10cm，BC=7cm，AC=6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为______cm．第1题2、已知：如图 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4求证：AC=AB．3．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAC=∠CAD.试说明：AB=AD .4、已知：如图 , FB=CE , AB∥ED , AC∥FD.F、C在直线 BE上．求证：AB=DE , AC=DF．5、如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B,试说明：AB=AC+AD6、已知：如图，AB=DC，∠A=∠D．试说明：∠1=∠2．7.如图，ΔABC中，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G．⑴图中有全等三角形吗？请找出来，并证明你的结论．⑵若连结DE，则DE与AB有什么关系？并说明理由．。

全等三角形判定ASA

经过推理是正确的，这是定理yeah!
全等三角形判定ASA
18
三角形全等的识别
(角边角)
(角角边)
全等三角形判定ASA
19
三角形全等的识别
归纳
有两角及其中一角的对边分别对应相等的两个三角形全等。
简记为 (AAS) 或角角边
言符 A 在 ABC和 DEF中
B
C号
D
B=E
C=F
语 A B = D E
A_B_=_A__’__B_’（已知）
∠__B_=_∠__B_’_ （已知）
B
C C'
B' ∴△______≌AB△C______（ASA）
A’B’C’
全等三角形判定ASA
12
1、某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三
块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，
那么最省事的办法是（
）c。
A 带①去 B带②去
分类讨论：
如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形能全等吗？
1. 两个角及这两两角的夹边分别对种应相等情 2. 两个角及其中况一角的对边分别
对应相等
全等三角形判定ASA
23
1，推论:角角边(AAS)
2，有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形
全等
3，角边角公理及其推论可合二为一即：在两个三角形中，如果有两角和一边（无论是夹边还是对边）对应相等，那么这两个三角形全等。
〖探究方法〗——用逻辑推理方法证明
－AAS ？or ！
全等三角形判定ASA
16
如图:如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等？

三角形全等的判定-ASA

4.2 三角形全等的判定（2）
1.什么是全等三角形？
2.判定两个三角形全等要具备什么条件?
边角边：
边角边：
有两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
八年级数学组
创设情景,实例引入
怎么办？可以帮帮我吗？
一张教学用的三角形硬纸板不小心
被撕坏了，如图，你能制作一张与原来
同样大小的新教具？能恢复原来三角形
在△ A’B’C’和△ABC中 ∠A =∠A
∵ A’B’＝AB ∠B’=∠B
∴ △ A’B’C’ ≌△ABC(ASA)
八年级数学组
1.如图，应填什么就有 △AOC≌ △BOD
B
∠A=∠B（已知）
（已知）
C
∠C=∠D （已知）
∴△AOC≌△BOD（
）
O D
A
八年级数学组
例1
已知：如图， AB平分∠CAD ，∠ABD= ∠ABC 。问△ABC与△ABD全等吗？为什么？
解： △ AOC ≌ △ BOC。

M
∵ CA ⊥ OM， CB⊥ON。
A
∴ ∠ CAO= ∠ CBO=90 ° 。
P
C
∵ OP是∠ MON的平分线，
∴ ∠ AOC= ∠ BOC 。
O
┎ B
N
又∵ OC= OC 。
根据“AAS”，可得。
∴ △ AOC ≌ △ BOC 。
八年级数学组
例题拓展
如图，∠1=∠2，∠3=∠4 求证：AC=AD
求证： △ABE≌△ACD
A
D O
B
E C
八年级数学组
活动三：想一想
如图，ABC与MNP中， ∠ A= ∠ M，∠ B= ∠ N，BC=NP， △ ABC ≌ △ MNP 吗？为什么？

三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)

三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)本文讲述了全等三角形的判定方法，重点是边角边和角边角。

边角边指两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”。

需要注意的是，必须是两边及其夹角，不能是两边和其中一边的对角。

例如，在图中的△ABC和△ABD中，虽然有一个角和两边相等，但是这两个三角形不全等。

但是在例1中，如果AC=AD，且∠CAB=∠DAB，则可以证明△ACB≌△ADB。

在例2中，如果AD∥BC，且∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF，则可以证明BF=CE。

角边角是指两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”。

例如，在例2中，如果AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则可以直接判定△ABD≌△ACD。

在例3中，如果在Rt△ABC中，BC=2cm，CD⊥AB，且EC=BC，EF=5cm，则可以求出AE的长度。

除了边角边和角边角外，还有三种判定全等三角形的条件。

在例5中，如果在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，且有一个角相等，则可以证明△ABC≌△DEF。

在例6中，如果AB∥DE，AB=DE，BF=CE，则可以证明△ABC≌△DEF。

在例7和例8中，分别是通过角平分线和垂线的判定方法来证明两个三角形全等。

总之，掌握全等三角形的判定方法对于解决几何问题非常重要。

1.如图所示，在三角形ABC中，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB。

根据角角边相等可知，∠ACB=∠DCB。

又因为AB=DC，所以BC=AC。

因此，根据SSS（边边边）相等可知，△ABC≌△DCB。

同时，∠ACB=∠DCB，AC=BC=DC。

2.如图所示，在三角形ABD和ABF中，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE。

根据角角边相等可知，∠ABD=∠BCE。

又因为AD=CE，所以BD=BE。

因此，根据SAS（边角边）相等可知，△ABD≌△BCE。

同时，∠ABD=∠BCE，AD=CE=BE。

三角形全等的判定(ASA、AAS).2.3_三角形全等的判定(ASA、AAS)

O ∠C= ∠B (已知） ∴△ADC≌△AEB（ASA） B ∴AD=AE （全等三角形的对应边相等）又∵AB=AC (已知） ∴BD=CE (等式性质1）
C
探究：在△ABC与△DEF中， ∠A=∠D ∠B=∠E,BC=EF, △ABC与△DEF全等吗？能利用角边角（ASA）证明你的结论吗？
已知如图， O 是 AB 的中点，例1： ∠A=∠B，
求证：△AOC≌△BOD 证明： C
∵ O是AB的中点(已知） ∴ OA=OB(中点定义） A 在△AOC和△BOD中
∠A= ∠B (已知） OA=OB (已证）
1
O
2
B D
∴ △AOC≌△BOD
（ ASA ） ∠1= ∠2 (对顶角相等）
例2：已知：点D在AB上，点E在AC上，BE 和CD相交于点O,AB=AC, ∠B= ∠C BD=CE吗？A 求证：AD=AE. 证明：在△ADC和△AEB中 ∠A= ∠A (公共角） AC=AB (已知） D E
证明：∵∠3＝∠4 ∴∠ABD＝∠ABC 等角的补角相等或等式性质1 在△ABD和△ABC中 D ∠1＝∠2 AB＝AB 3 1 ∠ABD＝∠ABC A 2 B4 ∴△ABD≌△ABC（ASA） ∴AD＝AC
C
两个三角形中相等的边或角
是否全等（全等画 “√”，不全等画 “×”
公理或推论（简写）
F
A
30°
C D
5cm
70°
E
∴AC＝DF
作业布置
• 课本：第44页第4题、第5题、第12题
C
A 1 2
D

练习2. 已知如图，点B,F,C,E在一条直线上，
BF=CE,AB∥DE,AC∥DF.求证： AB=DE,AC=DF

三角形全等的判定》(ASA)

已知两个三角形中，一个角和两个对应的边相等，则这两个三角形全等。
证明过程：首先，根据边的性质，我们知道如果两条边相等，则它们所对的角也相等。然后，利用已知的一个角和两条对应的边相等，可以推导出其他两边和角也相等，从而证明两个三角形全等。
利用反证法证明asa
假设两个三角形不全等，然后通过一系列逻辑推理，得出矛盾的结论，从而证明两个三角形全等。
asa判定定理在其他几何问题中的应用
asa判定定理在解决几何问题中具有广泛的应用，例如在证明相似三角形、解决几何作图问题、确定几何量等方面都可以利用asa判定定理。
asa判定定理还可以用于解决一些复杂的几何问题，例如通过构造适当的辅助线或利用已知条件构造出符合asa判定定理的三角形，从而证明两个三假设两个三角形不全等。然后，根据角的性质和边的性质进行逻辑推理，得出矛盾的结论。最后，根据反证法的原则，我们得出结论：两个三角形实际上是全等的。
04
asa判定定理的拓展
asa与其他全等定理的关系
asa判定定理与sss（三边全等）、sas （两边和夹角全等）、saa（两角和一边全等）等其他全等定理是相互关联的，它们在证明三角形全等时可以互相转换。
asa判定定理的基础练习题
• 答案：$90^\circ$
• 题目：已知$\triangle ABC$中，$\angle A = 60^\circ$，$\angle B = 45^\circ$，$AB = 2\sqrt{3}$，则$\triangle ABC$的面积为_____.
• 解析：根据三角形面积公式，$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times AC \times \sin 60^\circ = \frac{3}{2} \times AC$。

《14.4全等三角形的判定》作业设计方案-初中数学沪教版上海七年级第二学期

《全等三角形的判定》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业的设计目标为巩固学生对于全等三角形判定的理解，使学生能够熟练运用全等三角形的判定定理，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力，同时培养学生自主学习的习惯和团队协作的精神。

二、作业内容（一）知识点回顾学生需回顾全等三角形的定义及判定定理，包括SSS、SAS、ASA、HL四种判定方法，并能够准确阐述每种判定方法的条件和适用情况。

（二）课堂练习1. 完成一系列全等三角形判定的练习题，包括选择题、填空题和解答题，重点训练学生对各种判定方法的运用。

2. 小组合作，选取实际生活中的案例（如建筑物的结构设计等），通过绘图和说明，展示全等三角形的应用。

（三）拓展探究学生需自主寻找或创作与全等三角形相关的实际问题或数学游戏，如利用全等三角形设计图案、解决实际问题等，以增强学生的实践能力和创新思维。

三、作业要求1. 独立完成：学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案。

2. 规范书写：答案需书写规范，步骤清晰，逻辑严谨。

3. 小组合作：课堂练习中的案例分析需小组合作完成，小组成员需分工明确，合作默契。

4. 拓展探究：拓展探究部分需有创新性和实用性，能够体现出学生对全等三角形知识的理解和应用。

四、作业评价1. 教师评价：教师根据学生完成作业的情况，给予相应的评价和指导，指出学生在知识掌握和运用上的不足，并给出改进建议。

2. 小组互评：小组内成员互相评价彼此在案例分析中的表现，包括合作态度、任务完成情况等。

3. 自评反思：学生需对自己的作业进行自评和反思，总结自己在知识掌握和运用上的得失，为今后的学习提供借鉴。

五、作业反馈1. 教师反馈：教师将学生的作业进行汇总和分析，针对共性问题进行讲解和指导，帮助学生更好地掌握全等三角形的判定知识。

2. 小组反馈：小组内成员互相交流在案例分析中的经验和心得，共同进步。

3. 个别辅导：对于在作业中表现不佳的学生，教师需进行个别辅导，帮助他们找出问题所在，并提供针对性的指导和建议。

《三角形全等的判定》(ASA)

然后证明两个三角形边相等。
示例证明
示例一
以已知两角和一边相等的三角形为例，进行全等的证明。
示例二
展示两个角相等的证明过程，以及最后的边相等。
示例三
通过已知两个角和边相等，来证明三角形全等的过程。
应用举例
实际测量
1. 测量两个角的大小。 2. 测量边的长度。 3. 根据ASA条件判断是否
全等。
《三角形全等的判定》 (ASA)
已知两角和一边相等。判定两个三角形全等的三个条件之一。
两角和一边相等 (ASA)
1 条件 1
两个三角形的两个角相等。
3 条件 3
两个三角形的一个边相等。
2 条件 2
两个三角形的另外一个角相等。
证明方法
步骤 1
先证明两个三角形角相等。
步骤 3
最后证明另一个角相等。
步骤 2
地图制图
• 标注已知的角和边。 • 应用ASA判定两个三角
形是否全等。 • 使用全等的三角形制作
地个三角形。 • 通过ASA条件确定其中
一个三角形的尺寸与角 • 度遵。循全等的原则，完成
建筑设计。
易错点
• 计算角度时，需要确保单位一致。 • 测量边和角时，需使用准确的工具。 • 在证明过程中，每一步都需要详细的解释。
总结和要点
1 要点 1
已知两角和一边相等的三角形可以通过ASA条件判定是否全等。
2 要点 2
证明过程需要按照角和边的顺序进行。
3 要点 3
应用举例包括实际测量、地图制图和建筑设计等领域。

全等三角形判定一(ASA,SAS)(基础)知识讲解

全等三角形的判定一（ASA，SAS）（基础）【学习目标】1.理解和掌握全等三角形判定方法1——“角边角”，判定方法2——“边角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2.能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】【高清课堂：379110 全等三角形判定二，知识点讲解】要点一、全等三角形判定 1——“角边角”全等三角形判定 1——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.要点诠释：如图，如果∠A＝∠A ' ，AB＝A ' B ' ，∠B＝∠B ' ，则△ABC≌△ A' B 'C ' .要点二、全等三角形判定 2——“边角边”1.全等三角形判定 2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：如图，如果 AB ＝ A 'B ' ，∠A＝∠A '，A C ＝A'C ' ，则△ABC≌△ A' B 'C ' . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC与△ABD 中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定 1——“角边角”⎨ ⎩【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例 5】1、（2015•渝中区模拟）如图，已知 AD ，BC 相交于点 O ，OB=OD ，∠ABD=∠CDB求证：△AOB≌△COD．【思路点拨】由 OB=OD ，得出∠OBD=∠ODB，进而得出，∠ABO=∠CDO，再利用 ASA 证明即可．【答案与解析】解：∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵∠ABD=∠CDB，∴∠ABO=∠CDO，在△AOB 和△COD 中，，∴△AOB ≌△COD （ASA ）．【总结升华】此题考查全等三角形的判定，关键是得出∠ABO=∠CDO．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，AF∥DE，BE ＝CF.求证：AB ＝CD.【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.∵AF ∥DE ，，∴∠AFB ＝∠DEC.又∵BE＝CF ，∴BE＋EF ＝CF ＋EF ，即 BF ＝CE.在△ABF 和△DCE 中，⎧∠B = ∠C ⎪BF = CE⎪∠AFB = ∠DEC ∴△ABF≌△DCE（ASA ）∴AB＝CD （全等三角形对应边相等）.⎨ ⎩类型二、全等三角形的判定 2——“边角边”2、（2016•泉州）如图，△ABC 、△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点 E 在 AB 上．求证：△CDA ≌△CEB ．【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质得出 CE=CD ，BC=AC ，再利用全等三角形的判定证明即可．【答案与解析】证明：∵△ABC 、△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CE=CD ，BC=AC ，∴∠ACB ﹣∠ACE=∠DCE ﹣∠ACE ，∴∠ECB=∠DCA ，在△CDA 与△CEB 中，∴△CDA ≌△CEB ．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键，同时注意证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接 AE 、CD ，试确定 AE 与 CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且 AE⊥CD证明：延长 AE 交 CD 于 F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中⎧ AB = BC ⎪∠ABE = ∠CBD = 90︒⎪BE = BD ∴△ABE≌△CBD（SAS ）∴AE＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°∴AE⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD 看作是由△ABE 绕着B 点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：【变式】（2015 春•揭西县期末）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E 是斜边 BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB连接EF，证明△AED≌△AEF．【答案】证明：∵△AFB 是△ADC 绕点 A 顺时针旋转90°得到的，∴AD=AF，∠FAD=90°，又∵∠DAE=45°，∴∠FAE=90°﹣∠DAE=90°﹣45°=45°=∠DAE，又 AE=AE，在△ADE 与△AFE 中，，∴△ADE≌△AFE（SAS）．类型三、全等三角形判定的实际应用4、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.【答案与解析】设战士的身高为 AB，点 C 是碉堡的底部，点 D 是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知∠BAD＝∠BAC，∠ABD＝∠ABC＝90°.在△ABD 和△ABC 中，⎨ ⎩⎧∠ABD = ∠ABC ⎪ AB = AB⎪∠BAD = ∠BAC ∴△ABD≌△ABC（ASA ）∴BD＝BC.这名战士的方法有道理.【总结升华】解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决.。

12.2_三角形全等的判定(ASA)

分析:如果能证明△ACD ≌ △ABE,就可以得出AD=AE
证明：在△ACD ≌ △ABE中，
∠A= ∠A AC=AB ∠C=∠B ∴△ACD ≌ △ABE （ASA） ∴ AD=AE
巩固与提高
1.已知:如图，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．
证明:在△ABC和△DCB中，
又∵AB = AC
∴BD = CE
巩固与提高
4、如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD =BE，∠DAB =∠EAC．求证：AB =AC．证明：∵ ∠DAB =∠EAC， A ∴ ∠DAC =∠EAB. ∵ AE⊥BE，AD⊥DC， D ∴ ∠D =∠E =90°. 在△ADC 和△AEB 中,
E
∠DAC =∠EAB， ∠D =∠E， CD =BE，
_____________ OB=OD _____________ ∠B =∠D __________
OA=OC _____________ ∠A =∠C _____________ ASA 根据：_______
例3 .如图,D在AB上,E在AC上,AB=AC, ∠B= ∠C. 求证:AD=AE.
ASA
复习
1.什么是全等三角形？ 2.判定两个三角形全等要具备什么条件?
边边边：三边对应相等的两个三角形全等。
有两边和它们夹角对应相等的两个三角形边角边：全等。
复习
在△ABC 和△A′B′C′中，
AB=A′B′
AC= A′C′ BC= B′C′
(SSS) ∴△ABC≌ △A′B′C′
复习
边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（“边角边”或 “SAS”）
∴ △ADC ≌△AEB（AAS）． ∴ AC =AB．