河南省郑州市2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题Word版含解析
河南省郑州市2012-2013学年高二下学期期末考试理科数学试题(有答案)(高清扫描版)
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因为
a a 2 4a a a 2 4a 0 ,令 t ,则 t 0 , 2 2
所以当 0 x t 时 g ( x) 0 ,当 x t 时 g ( x) 0 , 即函数 g ( x) 的减区间为 (0, t ) ,增区间为 (t , ) , 又因为当 x 0, x 时均有 g ( x) , 所以 g ( x) 0 有唯一解 g (t ) 0 , 注意到 g (t ) 0 ,所以 ---------8 分
2 3
2 3
2 3
2 3
20 , 27
所以所求概率为
20 .-------4 分 27
⑵由题意可知, 的所有可能取值为 0,10, 20, 25, 40 , 用 Ai (i 1, 2,3) 表示事件“第 i 次击中目标” , 则 P ( 0) P ( X 0)
1 3
-------10 分
m 2 0 ,即 m 8 为所求. 4
18.解:⑴随机抽查这个班的一名学生,共有 50 种不同的抽查方法, 其中积极参加班级工作的学生有 18+6=24 人,即有 24 种不同的抽法, 由古典概型的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是 P 1
24 12 . 50 25 19 . 50
t 2 2at 2a ln t 0, 2 t at a 0,
3
1 , 27
2 2 1 2 P( 10) P( X 1) C3 (1 ) 2 , 3 3 9 2 1 2 4 , P( 20) P( A1 A2 A3 ) 3 3 3 27 8 , P( 25) P( X 2) P( 20) 27
2021-2022学年河南省郑州市第四高级中学高二下学期第三次月考(期末模拟)理科数学试题 解析版
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郑州四中2021-2022学年下期高二年级期末模拟考试理科数学命题人 审题人一、单选题(共60分)1.已知复数i z =,则复数1iz-的模是( )A.2 D.32.已知函数()f x 满足()()()221202x f x f e f x x -=-+',则()f x 的单调递减区间为( ) A.(),0∞- B.()1,∞+ C.(),1∞- D.()0,∞+3.已知随机变量ξ的分布列如下表,()D ξ表示ξ的方差,则()32D ξ+=( )A.2 B.2 C.2 D.1324.5位大学生在若假期间主动参加,,A B C 三个社区的志愿者服务,且每个社区至少有1人参加,则不同的安排方法共有( )A.30种B.90种C.120种D.150种5.已知实数,x y 满足2x y +=,则下列结论的证明更适合用反证法的是( ) A.证明1xy ≤ B.证明,x y 中至少有一个不大于1 C.证明222x y +≥ D.证明,x y 可能都是奇数6.某制衣品牌为使成衣尺寸更精准,选择了10名志愿者,对其身高(单位:cm )和臂展(单位:cm )进行了测量,这10名志愿者身高和臂展的折线图如图所示.已知这10名志愿者身高的平均值为176cm ,根据这10名志愿者的数据求得臂展u 关于身高v 的线性回归方程为ˆˆ1.234uv =-,则下列结论不正确的是( )A.这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差B.这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系C.这10名志愿者臂展的平均值为176.2cmD.根据回归方程可估计身高为160cm 的人的臂展为158cm 7.下列有关线性回归分析的六个命题:①在回归直线方程20.5ˆyx =-中,当解释变量x 增加1个单位时,预报变量ˆy 平均减少0.5个单位 ①回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 ①当相关性系数0r >时,两个变量正相关①如果两个变量的相关性越强,则相关性系数r 就越接近于1①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽,则回归方程的预报精确度越高 ①甲、乙两个模型的相关指数2R 分别约为0.88和0.80,则模型乙的拟合效果更好 其中真命题的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.已知曲线2ln 3y x x x =-的一条切线在y 轴上的截距为2,则这条切线的方程为( ) A.420x y --= B.520x y --= C.420x y +-= D.520x y +-=9.柯西分布(Cauchydistribution )是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量X 服从柯西分布为()0,X C x γ~,其中当01,0x γ==时的特例称为标准柯西分布,其概率密度函数为()()211f x x π=+.已知()(211,0,,(1312X C P X P X ~≤=<≤=,则()1P X ≤-=( )A.16B.23C.14D.1210.已知实数12em dx x =-⎰,则521m x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项的系数为( ) A.130 B.110 C.110- D.130-11.在一个正三角形的三边上,分别取一个距顶点最近的十等分点,连接形成的三角形也为正三角形(如图1所示,图中共有2个正三角形),然后在较小的正三角形中,以同样的方式形成一个更小的正三角形,如此重复多次,可得到如图2所示的优美图形(图中共有11个正三角形),这个过程称之为迭代,如果在边长为27的正三角形三边上,分别取一个三等分点,连接成一个较小的正三角形,然后选代得到如图3所示的图形(图中共有7个正三角形),则图3中最小的正三角形面积为( )12.已知0,0a b >>,且1(1)(3)b a a b ++=+,则( ) A.1a b >+ B.1a b <+ C.1a b <- D.1a b >-二、填空题(共20分)13.类比推理在数学发现中有重要的作用,开普勒说过:我珍视类比胜过任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密.运用类比推理,人们可以从已经掌握的事物特征,推测被研究的事物特征.比如:根据圆的简单几何性质,运用类比推理,可以得到椭圆的简单几何性质等.已知圆222:C x y r +=有性质:过圆C 上一点()00,M x y 的圆的切线方程是200x x y y r +=.类比上述结论,过椭圆22:1124x y E +=的点()3,1P -的切线方程为__________.14.现用5种颜色,给图中的5个区域涂色,要求相邻的区域不能涂同一种颜色,则不同的涂色方法共有种__________.15.已知函数()32ln 1,042,0x x f x xx x x +⎧>⎪=⎨⎪--<⎩,若方程()f x ax =有四个不等的实数根,则实数a 的取值范围是__________.16.某武装部在预备役民兵的集训中,开设了移动射击科目,移动射击科目规则如下:每人每次移动射击训练只有3发子弹,每次连续向快速移动的目标射击,每射击一次消耗一发子弹,若目标被击中,则停止射击,若目标未被击中,则继续射击,3发子弹都没打中,移动目标消失.通过统计分析该武装部的预备役民兵李好以往的训练成绩发现,李好第一枪命中目标的概率为0.8,若第一枪没有命中,第二枪命中目标的概率为0.4,若第二枪也没有命中,第三枪命中目标的概率为0.2.则目标被击中的条件下,李好第二枪命中目标的概率是__________.三、解答题(共70分)17.已知122i,34i z a z =+=-(其中i 为虚数单位)(1)若12z z 为纯虚数,求实数a 的值;(2)若2023122iz z -<+(其中2z 是复数2z 的共轭复数),求实数a 的取值范围.18.给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16;①若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个,补充在下面问题中,并加以解答(注:若选择多个条件,按第一个解答计分)已知()*nx n N ⎛∈ ⎝⎭,__________. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中所有的有理项.19.已知函数()()24ln 1,f x ax x a =-+为常数.(1)若()f x 在1x =处有极值,求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点; (2)若()f x 在[]2,3上是增函数,求实数a 的取值范围. 20.已知数列{}n a 的前n 项和112n n na S a =+-,且0,n a n N +>∈. (1)求123,,a a a ;(2)猜想{}n a 的通项公式,并用数学归纳法证明.21.随着原材料供应价格的上涨,某型防护口罩售价逐月上升.1至5月,其售价(元/只)如下表所示:(1)请根据参考公式和数据计算相关系数(精确到0.01)说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合,并求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+; (2)某人计划在六月购进一批防护口罩,经咨询届时将有两种促销方案:方案一:线下促销优惠.采用到店手工“摸球促销”的方式.其规则为:袋子里有颜色为红、黄、蓝的三个完全相同的小球,有放回的摸三次.若三次摸的是相同颜色的享受七折优惠,三次摸的仅有两次相同颜色的享受八折优惠,其余的均九折优惠.方案二:线上促销优惠.与店铺网页上的机器人进行“石头、剪刀、布”视频比赛.客户和机器人每次同时、随机、独立地选择“石头、剪刀、布”中的一种进行比对,约定:石头胜剪刀,剪刀胜布,布胜石头.手势相同视为平局,不分胜负.客户和机器人需比赛三次,若客户连胜三次则享受七折优惠,三次都不胜享受九折优惠,其余八折优惠.请用(1)中方程对六月售价进行预估,用X 表示据预估数据促销后的售价,求两种方案下X 的分布列和数学期望,并根据计算结果进行判断,选择哪种方案更实惠.参考公式:()()()()nnii ii xx y y xx y y r ----==∑∑,ˆˆˆybx a =+,其中()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑,ˆˆay bx =-. 6.5≈, 2.08y =,()()516.4i i i x x y y =--=∑,()5214.208i i y y =-=∑.22.已知函数()cos f x x x =⋅.(1)当()0,x π∈时,求证:()sin f x x <; (2)求证:当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,方程()210f x -=有且仅有2个实数根. 参考答案:1.B 【解析】先求出z ,进而根据复数的除法运算法则进行化简,最后求出模即可. 【详解】由题可得i z =,则)()i 1i 1i 2z+=-,所以1i z ==-故选:B. 2.A 【解析】 【分析】对()f x 求导得到关于()2f '、()0f 的方程求出它们的值,代入原解析式,根据0f x 求单调减区间.【详解】由题设()()()22e 0x f x f f x -''=-+,则()()()2202f f f ''=-+,可得()02f =,而()()2022e f f -'==,则()2e 22f '=,所以()212e 22xf x x x =-+,即()2e 2x f x x '=-+,则()00f '=且fx 递增,当0x <时0f x,即()f x 递减,故()f x 递减区间为(-∞,0).故选:A 3.C 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出a ,根据公式求出()D ξ,再根据方差的性质可求出结果. 【详解】根据分布列的性质得11214a a +-+=,得14a =,所以111()2101424E ξ=⨯+⨯+⨯=,所以222111()(21)(11)(01)424D ξ=-⨯+-⨯+-⨯12=,所以9(32)9()2D D ξξ+==. 故选:C 4.D 【解析】 【分析】每个社区至少有1人参加,所以这5位大学生共分为三组,共有1,2,2和1,1,3两种情况,分别求每种情况的安排方法可得答案.因为每个社区至少有1人参加,所以这5位大学生共分为三组,共有1,2,2和1,1,3两种情况.若是1,2,2,则共有1223542322C C C A 90A ⨯=(种); 若是1,1,3,则共有1133543322C C C A 60A ⨯=(种), 所以共有6090150+=(种)不同的方法. 故选:D. 5.B 【解析】 【分析】根据反证法的特点:假设结论的对立面,最终导出矛盾,从而肯定结论成立,观察四个选项可作出判断. 【详解】实数,x y 满足2x y +=,观察四个选项,更适合用反证法的是B , 原因是:假设1x >且1y >,则2x y +>,与已知矛盾,故原结论成立, 其它选项均不适合. 故选:B 6.C 【解析】 【分析】利用平均值、极差、线性回归方程的特征进行逐项判断. 【详解】 解:对于选项A :因为这10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值,而臂展的最小值小于身高的最小值,所以这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差,故A 正确.对于选项B :因为1.20>,所以这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系,故B 正确. 对于选项C :因为这10名志愿者身高的平均值为176cm ,所以这10名志愿者臂展的平均值为1.217634177.2cm ⨯-=,故C 错误.对于选项D :若一个人的身高为160cm ,则由回归方程ˆˆ1.234uv =-,可得这个人的臂展的估计值为158cm ,故D 正确. 故选:C 7.B 【解析】 【分析】对于①,根据回归直线方程的特点即可判断;对于①,根据回归直线的几何意义即可判断;对于①,根据相关指数大于0,可得两变量正相关即可可判断;对于①,根据相关系数r 与变量的相关性的关系即可可判断;对于①,根据残差图的特点即可判断;对于①,根据模型的2R 与效果的关系即可判断. 【详解】对于①,根据回归系数的含义,可得回归直线方程ˆ20.5y x =-中,当解释变量x 增加1个单位时,预报变量ˆy平均减少0.5个单位,故①正确; 对于①,回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线,不正确.回归直线也可能不过任何一个点;故①不正确;对于①,当相关性系数0r >时,两个变量正相关,故①正确;对于①,如果两个变量的相关性越强,则相关性系数r 的绝对值就越接近于1;故①不正确; 对于①,残差图中残差点所在的水平带状区域越宽,则回归方程的预报精确度越低,故①不正确; 对于①,甲、乙两个模型的2R 分别约为0.88和0.80则模型甲的拟合效果更好,故①不正确, 则正确的个数为2. 故选:B. 8.D 【解析】 【分析】设出切点坐标()20000,ln 3x x x x -,根据导数的几何意义写出切线方程,将点()0,2代入求出0x 的值,进而得切线方程. 【详解】函数2ln 3y x x x =-的定义域为()0,∞+,设切点坐标为()20000,ln 3x x x x -,因为ln 61y x x '=-+,则切线斜率为00ln 61x x -+,所以切线方程为()()2000000ln 3ln 61y x x x x x x x -+=-+-,将点()0,2代入切线方程并整理得200320x x --=,解得01x =,或023x =-(舍去),所以这条切线的方程为()351y x +=--,即520x y +-=. 故选:D. 9.C 【解析】 【分析】根据柯西分布的对称性进行求解即可. 【详解】 因为21()()π(1)f x f x x -==+,所以该函数是偶函数,图象关于纵轴对称,由P (|X |=23,可得1(03P X <<=,因为P (1X <≤=112,所以111(01)3124P X <<=-=,因此1(10)4P X -<<=,所以111(1)244P X ≤-=-=, 故选:C 10.C 【解析】 【分析】由微积分基本定理求解m ,将5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭看作5个因式22(1)x x +-相乘,要得到21x ,分析每个因式所取项的情况. 【详解】1ee122ln |2(ln e ln1)2m dx x x=-=-=--=-⎰, 则5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示5个因式22(1)x x +-相乘,所以其展开式中含21x 的项为1个因式中取22x ,4个因式取1-,或者2个因式中取x ,2个因式取22x ,1个因式取1-所得到的项, 则5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项的系数为()()412225532C 12C C 1110-+-=-. 故选:C. 11.C 【解析】 【分析】先用余弦定理得到边长之间的关系,进而可求出最小正三角形的边长,然后利用面积公式即得. 【详解】设最大正三角形的边长为1a ,则127a =,其内部迭代出的正三角形的边长分别为237,,,a a a ⋅⋅⋅,由余弦定理得2222111112222cos 333333a a a a a a π⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 同理得22226237,,33a a a a =⋅⋅⋅=,①62271113a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,①最小的正三角形的面积77711sin 1232S a a π=⨯⨯⨯=⨯=.故选:C. 12.B 【解析】 【分析】根据题意,两边取对数整理得()()()ln 1ln 3ln 211a b b a b b +++=>++,进而构造函数()()()ln 10x f x x x+=>,利用单调性来比较自变量a 与1b +的大小. 【详解】 解:因为()()113b aa b ++=+,0a >,0b >,所以()()()ln 1ln 3ln 211a b b a b b +++=>++. 设()()()ln 10x f x x x +=>,则()()2ln 11xx x f x x -++'=.设()()()ln 101x g x x x x =-+>+,则()()()22110111x g x x x x -'=-=<+++, 所以()g x 在()0,∞+上单调递减.当0x →时,()0g x →, 所以()0g x <,即()0f x '<,故()f x 在()0,∞+上单调递减. 因为()()1f a f b >+,所以1a b <+. 故选:B. 13.40x y --= 【解析】 【分析】通过类比可得类似结论:过椭圆2222:1x y E a b+=上一点00(,)P x y 的椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=,然后可得.【详解】通过类比可得类似结论:过椭圆2222:1x y E a b+=上一点00(,)P x y 的椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=.所以,,过椭圆22:1124x y E +=上的点()3,1P -的切线方程为31124x y -+=,即40x y --=. 将4y x =-代入221124x y+=得:2690x x -+=,解得3x = 所以直线40x y --=和椭圆22:1124x y E +=有唯一交点()3,1P -,即直线与椭圆相切. 故答案为:40x y --= 14.420按照A B C D E →→→→的顺序进行涂色, 其中B 与D 的颜色可以相同也可以不相同,所以不同的涂色方法共有()5431322607420⨯⨯⨯⨯+⨯=⨯=种.故答案为:42015.()0,1【解析】【分析】将原问题转化为函数()g x 的图象与直线y a =有4个交点,分0x >和0x <两类情况讨论,利用导数判断函数()g x 的单调性求得最值,由此作出函数()y g x =的图象,利用数形结合即可求出实数a 的取值范围.【详解】方程()f x ax =有四个不等的实数根,等价于()222ln 1,024,0x x x y g x x x x +⎧>⎪⎪==⎨⎪--<⎪⎩的图象与直线y a =有4个交点.当0x >时,()22ln 1x g x x+=,则()34ln x g x x -'=,令()0g x '<,可得1x >,则函数()g x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减,故函数()g x 在()0,∞+上的最大值为()11g =.当0x <时,()224g x x x =--,则()()3222122x g x x x x +'=+=,令()0g x '<,可得1x <-,则函数()g x 在(),1-∞-上单调递减,在()1,0-上单调递增,故函数()g x 在(),0∞-上的最小值为()11g -=-.作出函数()g x 的图象,如图所示,要使函数()g x 图象与直线y a =有4个交点,则01a <<,故实数a 的取值范围是()0,1.故答案为:()0,1. 16.10113【解析】【分析】根据全概率公式结合条件概率公式计算即可【详解】记事件A :“李好第一枪击中目标”,事件B :“李好第二枪击中目标”,事件C :“李好第三枪击中目标”,事件D :“目标被击中”,则()()()()()P D P A B C P A P B P C =++=++0.80.20.40.20.60.20.904=+⨯+⨯⨯=,()0.20.40.08P B =⨯=,()()()()()0.08100.904113P BD P B P B D P D P D ====. 故答案为:1011317.(1)83a =(2)24a <<【解析】【分析】(1)根据题意123846i 2525z a a z -+=+,再根据纯虚数性质求解;(2)根据题意得122i z z -<-,即.(1) 由12i z a =+,234z i =-,得()()122i 34i 2i3846i 34i 252525a z a a a z +++-+===+-, 因为12z z 为纯虚数,所以38025a -=,且46025a +≠,所以83a =(2)()()()122i 34i 32i z z a a -=+-+=--, 因为2023122i z z -<+,所以122i z z -<-<即()2345a -+<,解得24a <<.18.(1)4352T x =和74254T x =(2)51T x =,4352T x =,35516T x =【解析】【分析】(1)无论选①还是选①,根据题设条件可求5n =,从而可求二项式系数最大的项.(2)利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项.(1)二项展开式的通项公式为:211C C,0,1,2,,2rr r r r n n n r r n T x x r n --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭.若选①,则由题得012C C C 16n n n ++=,①()11162n n n -++=,即2300n n +-=,解得5n =或6n =-(舍去),①5n =.若选①,则由题得()221111C 22141C 22n n n n n n nn n n----⎛⎫- ⎪⎝⎭==-=⎛⎫ ⎪⎝⎭,①5n =,展开式共有6项,其中二项式系数最大的项为22443515C 22T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭,,7732345215C 24T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭.(2)由(1)可得二项展开式的通项公式为:5521551C C ,0,1,2,,52r r r r r r r T x x r --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭. 当52r Z -∈即0,2,4r =时得展开式中的有理项, 所以展开式中所有的有理项为:51T x =,5423522215C 22T x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭=,5342545415C 216T x x -⎛⎫= ⎪=⎝⎭. 19.(1)1a =,极小值点(2)1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】(1)先求定义域,再求导,根据极值点列出方程,求出1a =,从而求出单调区间,判断出1x =是()f x 的极小值点;(2)问题转化为2max2a x x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭,求出2211,63x x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦,从而求出实数a 的取值范围. (1)①()f x 定义域为(1,)-+∞,()421f x ax x'=-+; 若()f x 在1x =处有极值,则()1220f a '=-=,①1a =,此时()()24ln 1f x x x =-+,()()()2214 211x x f x x x x+-'=-=++. ①1x >-,①20x +>,10x +>,当11x -<<时,()0f x '<,()f x 为减函数.当1x >时,()0f x '>,()f x 为增函数.①1x =是()f x 的极小值点.(2)由条件知()0f x '≥在[]2,3x ∈上恒成立,即4201ax x -≥+, ①22a x x ≥+在[]2,3x ∈上恒成立,只需2max2a x x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭, ①2211[6,12]24x x x ⎛⎫+=+-∈ ⎪⎝⎭,①2211,63x x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦,即13a ≥,即a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.20.(1)11a,2a3a (2)n a .【解析】【分析】(1)赋值法进行求解;(2)猜想n a(1)令1n =得:111112a a a =+-,因为0n a >,n ∈+N ,解得:11a ,令2n =得:2122112a a a a +=+-,即2221112a a a +=+-解得:2a ,令3n =得:31233112a a a a a ++=+-,3331112a a a =+-,解得:3a(2)猜想{}n a的通项公式为n a当1n =时,11a ,成立,假设n k =时,k a =则12315321211k k S a a a k k =+++=-+-++--=则当1n k =+时,111112k k k a S a +++=+-,即111112k k k k a S a a ++++=+-1111112k k k a a a++++=+-,解得:1k a +综上:n a n *∈N 都成立.21.(1)相关系数0.98;ˆ0.640.16yx =+ (2)6月预计售价为4元/只;方案一分布列见解析;期望为14645;方案二分布列见解析;期望为446135;应选择方案一【解析】【分析】(1)依据题中所给数据,计算出x y 、的值,带入参考公式计算即可. (2)根据(1)中线性回归方程,求得X 可取的值,依次计算概率,列出分布列,求解数学期望,利用数学期望比较两种方案.(1)相关系数()()56.40.986.5i ix x y y r --==≈≈∑, 由于0.98接近1,说明y 与x 之间有较强的线性相关关系.()()()51521 6.4ˆ0.6410i ii i i x x y y b x x ==--===-∑∑,ˆ 2.08 1.920.16a =-=, 所以ˆ0.640.16yx =+. (2)由(1)可知,ˆ0.640.16yx =+,当6x =时,ˆ4y =,即6月预计售价为4元/只. X 可取的值为2.8,3.2,3.6.若选优惠方案一,1331( 2.8)39C P X ===; 1111321332( 3.2)33C C C C P X ===; 3332( 3.6)A P X ===; 此时122438146() 2.8 3.2 3.693913545E X =⨯+⨯+⨯==. 若选优惠方案二,客户每次和机器人比赛时,胜出的概率为132133C =,则不胜的概率为23.33311( 2.8)327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭;211221331212242( 3.2)3333993P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭; 30328( 3.6)327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭;此时128446() 2.8 3.2 3.627327135E X =⨯+⨯+⨯=.438446135135<,说明为使花费的期望值最小,应选择方案一.22.【解析】(1)令()()sin cos sin g x f x x x x x =-=⋅-,()g x 的定义域为(0)π,,()cos sin cos sin g x x x x x x x =--=-⋅'⋅, 当0()x π∈,时,()0g x '<恒成立,①()g x 在(0)π,上单调递减, ①当0()x π∈,时,()(0)0g x g <=恒成立,故当0()x π∈,时,()sin f x x <;(2)设()2()12cos 1h x f x x x =-=⋅-,()h x 的定义域为(0)2π,,()2(cos sin )h x x x x =-⋅',设()cos sin x x x x ω=-⋅,()x ω的定义域为(0)2π,,()2sin cos x x x x ω=--⋅',当(0)2x π∈,时,()0x ω'<恒成立,①()x ω在(0)2π,上单调递减,又(0)10ω=>,()022ππω=-<,①存在唯一的0(0)2x π∈,使据0()0x ω=,当00x x <<时()0x ω>,则()2()0h x x ω'=>,①()h x 在0(0)x ,上单调递增, 当02x x π<<时()0x ω<,则()2()0h x x ω'=<,①()h x 在0()2x π,上单调递减,①()h x 在0x x =处取得极大值也是最大值,又(0)10h =-<,()104h π>,()102h π=-<,①()h x 在(0)4π,与()42ππ,上各有一个零点,即当(0)2x π∈,时,方程2()10f x -=有且仅有2个实数根.。
2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案
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2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案命题教师:张金荣一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知集合A ={x |y =lg(2x -x 2)},B ={y |y =2x ,x >0},R 是实数集,则(∁R B )∩A 等于( )A .[0,1]B .(0,1]C .(-∞,0]D .以上都不对2.函数f(x)=ln(x-2)-的零点所在的大致区间是( )A .(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)3.函数f(x)=的定义域为( )A . B. C. D.4.设a =60.7,b =0.76,c =log 0.76,则a ,b ,c 的大小关系为 ( )A .c <b <aB .c <a <bC .b <a <cD .a <c <b5.以下说法错误的是( )A .命题“若x 2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2-3x+2≠0”B .“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件C .若p ∧q 为假命题,则p,q 均为假命题D .若命题p:∃x 0∈R,使得+x 0+1<0,则﹁p:∀x ∈R,则x 2+x+1≥06.函数y=lg|x |x 的图象在致是( )7.偶函数y=f (x )在x ∈时,f (x )=x-1,则f(x -1)<0的解集是( )A .{x|-1<x <0B .{x|x <0或1<x <2C .{x|0<x <2D .{x|1<x <28.函数f(x)= 满足对任意成立,则实数a 的取值范围是( )A .B .C .D .9.若不等式x 2+ax+1≥0对于一切x(0,)恒成立,则a 的取值范围是( )A .a≥0B .a≥-2C .a≥-D .a≥-310.已知函数f (x )=的值域为[0,+∞),则它的定义域可以是( )A .(0,1]B .(0,1)C .(-∞,1]D .(-∞,0]11.已知定义在R 上的奇函数f (x ),满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数,() A .f (-25)<f (11)<f (80) B .f (80)<f (11)<f (-25)C .f (11)<f (80)<f (-25)D .f (-25)<f (80)<f (11)12.已知a >0且a ≠1,f (x )=x 2-a x ,当x ∈(-1,1)时,均有f (x )<12,则实数a 的取值范围是( ) A .(0,12]∪[2,+∞) B .[14,1)∪(1,4] C .[12,1)∪(1,2] D .(0,14]∪[4,+∞) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a+b= .14.已知函数f(x)是定义在区间上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x-1)<f()的x 的取值范围为__________15.定义:区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1.已知函数y =|log 0.5x |的定义域为[a ,b ],值域为[0,2],则区间[a ,b ]的长度的最大值为________.16.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且对任意的x ∈R 恒有f (x +1)=f (x -1),已知当x ∈[0,1]时f (x )=(12)1-x ,则 ①2是函数f (x )的周期;②函数f (x )在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;③函数f (x )的最大值是1,最小值是0;④当x ∈(3,4)时,f (x )=(12)x -3. 其中所有正确命题的序号是________.三、解答题(共70分)17.(12分)给定两个命题::对任意实数都有恒成立;:关于的方程有实数根;如果P ∨q 为真,P ∧q 为假,求实数的取值范围.18.(12分)对定义在实数集上的函数f (x ),若存在实数x 0,使得f (x 0)=x 0,那么称x 0为函数f (x )的一个不动点.(1)已知函数f (x )=ax 2+bx -b (a ≠0)有不动点(1,1)、(-3,-3),求a 、b ;(2)若对于任意实数b ,函数f (x )=ax 2+bx -b (a ≠0)总有两个相异的不动点,求实数a 的取值范围.19.(12分)已知f (x )为定义在[-1,1]上的奇函数,当x ∈[-1,0]时,函数解析式f (x )=14x -a 2x (a ∈R). (1)写出f (x )在[0,1]上的解析式;(2)求f (x )在[0,1]上的最大值.20.(12分)C D E AB P 经市场调查,某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数,且销售量近似满足g (t )=80-2t (件),价格近似满足f (t )=20-12|t -10|(元). (1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式;(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值.21.(12分)已知函数f (x )的图象与函数h (x )=x +1x +2的图象关于点A (0,1)对称.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若g (x )=f (x )+a x ,g (x )在区间(0,2]上的值不小于6,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4—1: 几何证明选讲.如图,在正ΔABC 中,点D 、E 分别在边BC, AC 上,且,,AD ,BE 相交于点P.求证:(I) 四点P 、D 、C 、E 共 圆;(II) AP ⊥CP 。
河南省郑州市高二下学期期末统考理科数学试题汇编(新课标)
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B.假设 a, b, c 都大于 1 D.假设 a, b, c 都不小于 1
1 x
1 x2
B. (log 2 x) '
3
log 2 e x
2
C. (3 ) ' 3 log 3 e
x 2
2
D. (sin 2 x) ' 6sin 2 x
5.曲线 y e 在点 (4, e ) 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 A.
2
m R ,求实数 m 的值. z
18. (本小题满分 12 分) 某班主任对全班 50 名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据 如下表所示. 学习积极性高 学习积极性一般 积极参加班级工作 18 6 不太主动参加班级工作 7 19
(I)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多 少?抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少? (II)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是 否有关?并说明理由.
1 x 2 , 1 x 0 11.函数 f ( x) 与 x 轴围成的封闭图形的面积为 0 x cos x, 2
A.
4
1
B.
5 4
C.
5 4
D. 1
12. 已知点 P 、Q 分别为函数 y ln( x 1) 1 和 y e 当 | PQ | 最小时,直线 OQ 交函数 y e
B.第二象限
2
A.第一象限
C.第三象限
D.第四象限
2.如果随机变量 ~ N ( 2, ) ,且 P ( 3 1) 0.4 ,则 P ( 1) A.0.7 B.0.6 C.0.3 D.0.2
河南省郑州市2021-2022学年高二数学下学期期末试题 理(原卷版)
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1河南省郑州市2021-2022学年高二数学下学期期末试题 理一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为,则()A. 1B. 2D. 52. 若函数,则的值为()A. B. C. D. 3. 用反证法证明命题“设实数、、满足,则、、中至少有一个数不小于”时假设的内容是()A. 、、都不小于B. 、、都小于C. 、、至多有一个小于D. 、、至多有两个小于4. 已知,若a ,b ,,且,,,则的值()A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 不能确定.5. 若离散型随机变量X 的分布列如表所示,则a 的值为()X 12PA.或 B.C.D. 6. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表:广告费用x /万元1020304050销售额y /万元62758189根据收集到的数据(如表),由最小二乘法求得回归方程为.现发现表中有一个数据模糊看不清,则该数据为()A. 68B. 68.3C. 68.5D. 707. 下列说法错误的是()()1,2-z =()()2121262f x f x x '=-+-()2f '-2468a b c 6a b c ++=a b c 2a b c 2a b c 2a b c 2a b c 2()32f x x x =+R c ∈0a b +<0a c +<0b c +<()()() f a f b f c ++41a -23a a+132-132-120.6754.9y x =+2A. 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小,方差越大,数据的离散程度越大,方差越小,数据的离散程度越小B. 用相关指数来刻画回归效果,越小说明拟合效果越好C. 某人每次投篮的命中率为,现投篮5次,设投中次数为随机变量,则D. 对于独立性检验,随机变量的观测值k 值越小,判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大8. 在一组样本数据,,,(,,,…,不全相等)的散点图中,若所有样本点都在直线上,则这组样本数据的样本相关系数为()A. 1B.C.D. 9. 2022年,为保障广大人民群众的生产生活能够有序进行,郑州市政府多次组织进行全员核酸检测.某社区计划从报名参加志愿者工作的5名男生和4名女生中抽取两人加入志愿者团队,用A 表示事件“抽到的两名志愿者性别相同”,B 表示事件“抽到的两名志愿者都是女生”,则()A.B.C.D.10. 已知函数.若函数恰有3个零点,则实数a 的取值范围是()A. B. C. D. 11. 将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶个项目进行培训,每名志愿者只分配到个项目,每个项目至少分配名志愿者,则不同的分配方案共有()种.A. B. C. D. 12. 已知函数,,若,则的最小值是()A. B. 0C. D. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 由直线和曲线所围图形的面积___________.14. 在某次高三联考中,学生的数学成绩服从正态分布.已知参加本次考试的学生有人.2R 2R 35ζ7(2)1E ζ+=2K 11(,)x y 22(,)x y L (,)n n x y 2n ≥1x 2x n x (),i i x y ()1,2,,i n = 32y x =-+1-1515-()|P B A =172718383239,0(),0xx x x x f x xe x -⎧--≤=⎨->⎩()y f x a =+1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭1,5e⎛⎫- ⎪⎝⎭15,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭64111560144026402160()e xf x x =()lng x x x =()()(0)f a g b t t ==>1ln tab -21e -1e-32e -y x =2y x =()95,100N 100003则本次考试数学成绩大于分的大约有___________人.(参考数据:,)15. 若曲线在点处的切线与直线平行,则___________.16. 在我国南宋数学家杨辉所著作的《详解九章算法》一书中,用如图所示的三角形(杨辉三角)解释了二项和的乘方规律,下面的数字三角形可以看做当依次取、、、、时展开式的二项式系数,相邻两斜线间各数的和组成数列,例,,,,设数列的前项和为.若,则___________.三、解答题:共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17. 已知复数z 满足.(1)求复数;(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限,求实数a 的取值范围.18.用数学归纳法证明:.19. 已知在的展开式中,所有偶数项的二项式系数的和为32.(1)求n 的值;(2)求展开式中系数最大的项.20. 已知函数.(1)当时,求该函数在点处的切线方程;105()0.6826P X μσμσ-<<+≈(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈(3)(1)(1)(2)4ln(31)]4ln 4y x x x x x x =--++++-()1,02x ay =+=a n 0123L ()na b +{}n a 11a =211a =+312a =+L {}n a n n S 20243a m =+2022S =()13i i z +=+z ()2i z a +()()()()()*12213521n n n n n n n N ++⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅-∈2nx ⎛⎝()()221ln af x x a x x=-+-1a =11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4(2)讨论函数的单调性.21.某工厂生产一种产品测得数据如下:尺寸384858687888质量16.818.820.722.42425.5质量与尺寸的比0.4420.3920.3570.3290.3080.290(1)若按照检测标准,合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式(c 、d 为大于0的常数),求y 关于x 的回归方程;(2)已知产品的收益z (单位:千元)与产品尺寸和质量的关系为,根据(1)中回归方程分析,当产品的尺寸x 约为何值时(结果用整数表示),收益z 的预报值最大?附:(1)参考数据:,,,.(2)参考公式:对于样本,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,,.22. 已知函数,其中.(1)若函数在区间上单调递增,求实数a 的取值范围;(2)若函数有两个极值点,且,当时,证明:.()f x ()mm x ()g y yx()g y ()mm x dy c x =⋅20.32z y x =-()61ln ln 75.3i i i x y =⋅=∑()61ln 24.6i i x ==∑()61ln 18.3i i y ==∑()621ln 101.4i i x ==∑(),i i v u (1,2,,)i n = u bv a =⋅+ ()()()1122111ˆnniii i i i nnii i v v uu v unvu b v v vnv====---==--∑∑∑∑ˆˆau bv =-e 2.7182≈21()e 312xf x ax ax =+++a ∈R [)1,-+∞()f x 12,x x 12x x <2131339x x +≤≤+1252ln36ln362x x ≤-≤+-。
2019-2020学年河南省中原名校高二下期末数学试题(理)有答案
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咼二第二学期数学(理)期末试题第I 卷(选择题)一、选择题:本大题共 12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合 题目要求.1.已知集合U R ,集合Mx|x 24 0,则 C U MA.x | 2x2B.x| 2 x 2C. x | x 2或x 2D. x | x 2或 x 22.设复数z 满足z 2i 2 i 5,则 zA. 2 3iB.2 3i C. 32i D.3 2i2 23.若双曲线 x y_2 . 21 a 0, b 0的离心率为3,则其渐近线方程为a b5.下列四个结论:A. 1B. 2C.①若“ p q ”是真命题,则 p 可能是真命题;②命题 “ X 0 R,X 。
2 X 。
1 0 ”的否定是“ x R, x 2 0 ”; ③“ a 是“ a b 0 ”的充要条件; ④当a 0时,幕函数 a y x 在区间0, 上单调递减.其中正确的结论个数是 A.0 个 B.1 个C. 2 个D. 36.在单调递减等差数列 a n 中,若a 3A. y 2xB.r4.设x R ,向量a2r b XA. -4B.2.51x D. y 2r r r r6 ,且 a//b ,贝U a bD.207.从4名男生和2名女生中任选3人参加某项活动,则所选的不少于1人的概率是A.4B.3C. -555D.8.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线与俯视图如图所示,则其几何体的表面积为女生人数的正视图C.BD 折起,形成的三棱锥A. B. L C. 1 2 D. 1 .32sin x 3 39.函数y ——-x — ,0 U 0,—的图象大致是11 4 41 ~xA- B T C.f x10.如果函数f x在区间D上是增函数,且在区间上是减函数,则称函数 f x在区间D上是缓增x_ 1 3函数,区间D叫做缓增区间.若函数f X -x2 x 在区间D上是缓增函数,则缓增区间D是2 2A . 1,B. 0^.3C.0,1D. 1八311. 若函数f x 1 3 d bx 1 - 2 x 2bx在区间3,5上不是单调函数,则函数0厂、3在R上的极大值为3 2A .2 2 13 3 24 _b -b B. -b — C. 0 D. 2b -3 6 2 3 312. 已知函数 f xx笃k2ln x,若x 2是函数f x的唯一极值点,则实数k的取值范围是x xA . ,eB.0,e C. ,e D. 0,e二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.a13.xcosx 5sin x.a14.曲线f x xlnx在点1,f 1 处的切线方程为______________ . _______15.若将函数y si nx 、、3cosx的图象向右平移0个单位长度得到函数y si nx .. 3 cos x的图象,则的最小值为 _________ .116.已知函数f x x3 2x e x x,其中e是自然对数的底数,若f a 1 f 2a2 0 ,则实数a的e取值范围为_________ .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程(1 )用a 1,d 分别表示T,T 2,T 3,并猜想T n ;(2)用数学归纳法证明你的猜想217.(本题满分12分)已知命题P:函数f xlog 2m x 1是增函数,命题Q: x R, x 2mx 1 0.(1 )写出命题Q 的否命题 Q ,并求出实数 m 的取值范围,使得命题 Q 为真命题;(2)如果P Q 是真命题,P Q 是假命题,求实数 m 的取值范围.18.(本题满分12分)如图,在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中,AB AA 1,E 为BC 的中点.(1)求证:GD 0E ;(2)若二面角B 1 AE D 的大小为90°,求AD 的长.2x 19.(本题满分12分)已知椭圆 —2 b2 1a b0的左、右焦点分别为Fj F 2,A 是椭圆的上顶点,直线AF 2交椭圆于另一点B.(1 )若 F 1AB 90°,求椭圆的离心率;uuuu uum uujr uuu 3(2)若AF 2 2F 2B,AF 1 AB ,求椭圆的方程220.(本题满分12分)设等差数列a n 的公差d 0 ,且a 1 0,记T n1 a .a n 1.21.(本题满分12分)已知f x xlnx,g x x ax 3.(1)求函数f x在区间t,t 2 t 0上的最小值;1 2(3)证明:对一切x 0, , In x x 恒成立.e ex22.(本题满分10 分)选修4-4 :参数方程与极坐标系在平面直角坐标系x xoy 中,直线l 1的参数方程为y2 t ( t 为参数),直线J 的参数方程为 kty(m 为参数),设直线l i ,I 2的交点为P,当变化时,P 的轨迹为曲线•(2 )以坐标原点与C 的交点,求O 为极点, M 的极径•x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设 I 3:cos sin 42 0,M 为 S23.(本题满分 10分)选修 4-5 :不等式选讲已知函数f x2x ax4,g x x 1 x 1.(2 )若不等式f x g x 的解集包含,求实数 a 的取值范围(1 )写出曲线C 的普通方程;(1 )当a 1时,求不等式f X g x 的解集;高二数学(理)答案选择题C 2 . A 3 .D 4 . D 5. B 6 . B A 8 . B 9 . A 10 . D 11 . D 12 . A C 【解析】 因为M x 2x 4 0 x 2 x 2,全集U R , 所以C u M xx 2或x 2,故选C.5A 【解析】利用方程思想求解复数并化简.由(z — 2i )(2 — i ) = 5,得z = 2i + —二2i 2 — i5(2 + i)(2 — i) (2 + i)c c 2 a 2 + b 2 b 2 bD 【解析】由条件e = 3,即a = 3,得尹=—孑一=1 +亍=3,所以a = 2,所以双曲的渐近线方程为y=±#x .故选DD 【解析】:a = (1,x ),b = (2,— 6)且 a // b ,••• — 6— 2x = 0,x = — 3,A a = (1,— 3),a -b = 20 ,故选 D. B 【解析】①若p q 是真命题,则p 和q 同时为真命题, p 必定是假命题;② 命题 “ x ° R, x 02 x 0 1 0” 的否定是 “x R,x 2 x 1 0 ”; ③ “a 5且b 5 ”是“a b 0”的充分不必要条件; ④ y x a y' a x a 1,当a 0时,y' 0,所以在区间0,+ 上单调递减.选B.3 B 【解析】由题知,a 2+ a4 = 2a 3= 2,又t a 2a 4 = 4,数列{a n }单调递减, . 1 3 .八辛 a 4 — a 2 1 .• • a 4 — 2 , a 2 — 2 ・••厶^差 d — 2 = — 2 ・•• a 1 = a 2 — d — 2. A 【解析】设所选女生人数为 X,则X 服从超几何分布,其中 N= 6,M= 2,n — 3,2 1C 2C 4 C 2C 24则 P (X 三 1) — P (X — 1) + P (X = 2) — c :+ c 3 — 5.所以选 A oB 【解析】由正视图与俯视图可得三棱锥 A- BCD 的一个侧面与底面垂直,则它们面积的1.7. 1 . 2. +3. 线4.5.6.7.2的表面积为L2C ;同时有 y' f'(x)4xsinx 2x 4cosx 2x 2 cosx因此k w e .故选A.和为1,另两个侧侧面是边长为1的等边三角形,面积的和为 所以几何体9 . A 【解析】因为函数y f(x)2sinx可化简为 1丄 xf(x)2x 2 sin x 可x 2 1知函数为奇函数关于原点对称,可排除答案32x(2sin x x cosx xcos x) ,贝L 当 x (0,_) 2 2(x 1)f '(x) 0,可知函数在x 附近单调递增,排除答案 B 和D ,故答案选A .1310. D 【解析】抛物线f(x)=十2— x + 2的对称轴是x = 1,其递增区间是1,+ g)当x 》l 时,¥=1x+3 -J 注意到x+ !>23(当且仅当x =3即x=w 时取最小值),11 • D 【解析】 所以缓增区间D 是1 , 3].选D .f '() = x 2- (2 + b)x + 2b = (x - b)( x - 2)函数 f(x)在区间 3,5]上不是单调函数,3<b<5,则由 f '()>0,得 x<2 或 x>b ,由 f '()<0,得2<x<b ,二函数f (x)的极4大值为 f (2) = 2b -3.12. A 【解析】 已知f (x)笃 k(2ln x),则 f (x)x xx 2 3~ x(e xkx), 当x 0时, e xkx > 0恒成立,即kxe_ x令 g(x) g(x)e x (x 1) x 2易知 g(x)min g(1) e (x 2 1)213 .0 14 13 . 【解析】f(x) 14. 【解析】由题意2n 15. -3a(xcosx a16 .5sin x) 0.得f'x)=ln x+ 1,所以f'伟In 1 + 1 = 1,即切线的斜率为 1.因为 f(1)= 0, 、填空题 xcosx 5sinx 为奇函数,故x - y - 1 =因为 y = sin x + 3cos x = 2sin x + 扌,y = sin x — 3cos x = 2sin x — 3,(2)若函数f (x) log 2m x 1是增函数,贝U 2m 1, A mm -(6分) 2又 x R, x 2 mx 1 0为真命题时,由m 24 0m 的取值范围为B m 2 m 2...... 分由“P Q ”为真命题,“P Q ”为假命题,故命题p 、Q 中有且仅有一个真命题 当P 真Q 假时, 实数m 的取值范围为:A CB 152,2 2,2,…10分当p 假 Q 真时,实数m 的取值范围为:(C R A)B‘2 2,2兮 (11)分综上可知实数m的取值范围:2,22,•……分218 •【解析】(1)证明:以D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz ,设AD= a ,则D(0,0,0),A( a, 0,0) ,B( a, 1,0) ,C(0,1,0) ,B 1(a, 1,1) ,C 1(0,1,1) ,0(0,0,1),E 2,1,0,15 .【解析】 所以把 y = 2sin x +扌的图象至少向右平移 年个单位长度可得y 二2sin x -n 的图象.16.【解析】 因为f ( x) x 32x Z e xef(x),所以函数f(x)是奇函数, 因为f'(x) 2xx23x 2 e e 3x2 2 .e x e x 0,所以数f(x)在R 上单调递增,又 f (a 1) f (2a 2) 0 , 即 f (2a 2) f (1 a),所以 2a 2 1 a ,三、解答题 即2a 2解得1,故实数的取值范围为[1,1].217 •【解析】 (1) Q :X omx o•分2若Q 为真命题,则0,解得: m 2,或 m 2故所求实数m 的取值范围为:2,(• 5 分)—* —* a••• C i D= (0 , — i , — i) , D i E= 2, i , — i ,则CTD^D TE^ 0,••• C i D 丄 D i E.(注:可采用几何法证明。
2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
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2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷(选择题:共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-,则||z =( ) A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则,求得复数zi ,即可得到复数的模,得到★答案★. 【详解】由题意,复数11i i z +=-,解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+,所以1z =,故选D . 【点睛】本题主要考查了复数的运算,以及复数的模的求解,其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.2. 已知平面α内一条直线l 及平面β,则“l β⊥”是“αβ⊥”的( )A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解:由面面垂直的定义知,当“l ⊥β”时,“α⊥β”成立,当αβ⊥时,l β⊥不一定成立,即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件,故选:B .【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断,涉及线面垂直和面面垂直的判定,属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B ′O ′=C ′O ′=1,A′O′=32,那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO=3,再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO=3,∴S△ABC=12×BC×OA=12×2×3=3,故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算,意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于()A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体,是如图所示的四棱锥,它的底面是直角梯形,梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,棱锥的一条侧棱垂直底面高为2,所以这个几何体的体积:12422432V+=⨯⨯⨯=,故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力,属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型,也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键,不但要注意三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相等”,还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中,正确的是()A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面,来判断A是否正确;根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定,来判断B是否正确;根据垂直于同一平面的两直线平行,来判断C是否正确;根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面,来判断D是否正确.【详解】解:对A,当三点在一条直线上时,平面不唯一,∴A错误;对B,分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定,∴B错误;对C,根据垂直于同一平面的两直线平行,∴C正确;对D,垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交,∴D错误.故选C.【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质,考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数,10b xdx =⎰,1201c x dx =-⎰则a ,b ,c 的大小关系是( ) A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ,再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ,c ,从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+, 1a i i +-是纯虚数, 102a -∴=,1a , 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰, 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心, 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积, 21144c ππ∴=⨯⨯=,所以b c a <<. 故选:C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义,考查了基本运算求解能力,属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形,若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1,则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知,只有点A 到'A 距离为1,即高为1,所以该几何体是个正方体,异面直线11,AA BC 所成的角是4π,故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是()A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析:根据函数的奇偶性,及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解:易知函数3xeyx=为奇函数,图象关于原点对称,排除B,当x=1时,y=<1,排除A,当x=4时,4112ey=>,排除D,故选C.点睛:已知函数的解析式判断函数的图象时,可从以下几个方面考虑:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复;(5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.9. 如图所示,三棱锥P ABC -的底面在平面α内,且AC PC ⊥,平面PAC ⊥平面PBC ,点P A B ,,是定点,则动点C 的轨迹是( )A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆,但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC ,AC ⊂平面PAC ,所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ,所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆,除去A 和B 两点.选D.点睛:求轨迹实质是研究线面关系,本题根据面面垂直转化得到线线垂直,再根据圆的定义可得轨迹,注意轨迹纯粹性.10. 如图,以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕,把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:①BD ⊥AC ;②△BAC 等边三角形;③三棱锥D -ABC 是正三棱锥;④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是( )A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ,即得BD ⊥AC ,再根据计算得△BAC 是等边三角形,最后可确定选项.【详解】由题意知,BD ⊥平面ADC ,故BD ⊥AC ,①正确;AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高,平面ABD ⊥平面ACD ,所以AB =AC =BC ,△BAC 是等边三角形,②正确;易知DA =DB =DC ,又由②知③正确;由①知④错.故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质,考查推理论证求解能力,属中档题.11. 如图所示,在正三棱锥S —ABC 中,M 、N 分别是SC .BC 的中点,且MN AM ⊥,若侧棱23SA =,则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是()A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘,以SA ,SB ,SC 为棱构造正方体,即为球的内接正方体,正方体对角线即为球的直径,即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥,∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ,而AM ∩AC =A ,∴MN ⊥平面SAC ,∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ,SB ,SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱,将此三棱锥补成以正方体,则它们有相同的外接球,正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==,∴R =3,∴V =36π.故选:C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积,考查空间想象能力,由三棱锥构造正方体,它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ,F 为其右焦点,若AF BF ⊥,设ABF α∠=,且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则该椭圆离心率e 的取值范围为( ) A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上,解得A 点横坐标,再根据条件确定A 横坐标满足条件,解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===,所以A 在圆222=x y c +上,与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=, 因为ABF α∠=,且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤, 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-,,即222,20a c a c ac ≤--≥,即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-,选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率,考查基本分析化简求解能力,属中档题.第Ⅱ卷(非选择题:共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数,然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为:0【点睛】本题主要考查了定积分的计算,解题的关键是确定原函数,属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中,6,3PB AC ==,G 为PAC ∆的重心,过点G 作三棱锥的一个截面,使截面平行于直线PB 和AC ,则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示,过点G 作EF ∥AC ,分别交PA ,PC 于点E ,F .过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ,过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .可得四点EFMN 共面,进而得到23EF MN AC AC ==,根据比例可求出截面各边长度,进而得到周长. 【详解】解:如图所示,过点G 作EF ∥AC ,分别交PA ,PC 于点E ,F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ,过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知:EN ∥FM ,∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ,EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得:EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为:8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理,属于中档题.15. 已知一个正三棱柱,一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切,那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径,从而得到棱柱的高;由球体与棱柱的所有面均相切,得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系,求出边长,即求出底面正三角形的面积,得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=,1R ∴=, ∴正三棱柱的高22h R ==,设正三棱柱的底面边长为a , 则其内切圆的半径为:13132a ⋅=,23a ∴=,∴该正三棱柱的表面积为:21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为:183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法,属于基础题.16. 如图,在矩形ABCD 中,E 为边AB 的中点,将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点,则在ADE ∆翻转过程中,正确的命题是______.(填序号)①BM 是定值;②点M 在圆上运动;③一定存在某个位置,使1DE A C ⊥;④一定存在某个位置,使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为:①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17. 如图,已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点,E ,F 分别是PA ,BD 上的点且PE ∶EA =BF ∶FD ,求证:EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析:连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ,因为AD ∥BC ,∴BF MF FD FA =,又BF PE FD EA =,∴PE MF EA FA=, 所以EF ∥PM ,从而得证.试题解析:连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ,所以=. 又由已知=,所以=. 由平面几何知识可得EF ∥PM ,又EF ⊄平面PBC ,PM ⊂平面PBC ,所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示,在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,AB =AD =1,AA 1=2,M 是棱CC 1的中点.证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M .【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥,通过计算证明证得1BM B M ⊥,由此证得BM ⊥平面11A B M ,从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1,又BM ⊂平面BCC 1B 1,∴A 1B 1⊥BM .又CC 1=2,M 为CC 1的中点,∴C 1M =CM =1.在Rt△B 1C 1M 中,B 1M 2212C M CM =+=, 同理BM 222BC CM =+=,又B 1B =2, ∴B 1M 2+BM 2=B 1B 2,从而BM ⊥B 1M .又A 1B 1∩B 1M =B 1,∴BM ⊥平面A 1B 1M ,∵BM ⊂平面ABM ,∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M .【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点M 的直角坐标为()1,0,若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩,(m 为参数).(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程;(2)设直线l 与曲线C 交于,A B 两点,求11MA MB +. 【★答案★】(1)10x y --=,24y x =;(2)1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】(1)由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,得cos sin 10ρθρθ--=, 令cos x ρθ=,sin y ρθ=,得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩,消去m 得24y x =, 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=,曲线C 的普通方程为24y x =.(2)点M 的直角坐标为()1,0,点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数),代入24y x =,得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ,2t ,则1242t t +=,128t t =-,所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形,//AD BC ,090ADC ∠=,平面PAD ⊥底面ABCD ,为AD 中点,M 是棱PC 上的点,.(1)求证:平面POB ⊥平面PAD ;(2)若点M 是棱的中点,求证://PA 平面.【★答案★】(1)见解析;(2)见解析【解析】【详解】(1)证明: ∵AD 中点,且,∴DO BC =又//AD BC ,090ADC ∠=,∴ 四边形BCDO 是矩形,∴BO OD ⊥,又平面PAD ⊥平面ABCD ,且平面PAD 平面ABCD OD =,BO ⊂平面ABCD ,∴BO ⊥平面PAD ,又BO ⊂平面POB ,∴ 平面POB ⊥平面PAD .(2)如下图,连接AC 交BO 于点E ,连接EM ,由(1)知四边形BCDO 是矩形,∴//OB CD ,又为AD 中点,∴E 为AC 中点,又是棱AC 的中点,∴//EM PA ,又EM ⊂平面,平面, ∴//PA 平面21. 如图,四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为梯形,//AB CD ,223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点,G 为PAD ∆重心.(1)求证://GF 平面PDC ;(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析;(2)33952. 【解析】试题分析:(1)连接AG 交PD 于H ,连接GH ,由重心性质推导出GFHC ,根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ;(2)取线段AB 上一点Q ,使得13BQ AB =,可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角,由余弦定理可得结果.试题解析:(1)方法一:连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ,//AB CD 且2AB DC =,知21AF FC = 又E 为AD 的中点,G 为PAD ∆的重心,∴21AG GH =,在AFC ∆中,21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二:过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心,23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形,//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作,//FM AD 得GN //FM ,GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面,面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ,使得13BQ AB =,连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ,则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题,也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理,属于中挡题.证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题(1)是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】(Ⅰ)因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤,则()0f x '<,即()f x 在区间∞(0,+)上单调递减; ②若0a >,则当10a x a +<<时,()0f x '< ;当1a x a +>时,()0f x '>; 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增; ③若1a <-,则当10a x a +<<时,()0f x '>;当1a x a+>时,()0f x '<; 所以函数在区间上单调递增,在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述,若10a -≤≤,函数在区间上单调递减;; 若,函数在区间上单调递减,在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增; 若1a <-,函数在区间上单调递增,在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减. (Ⅱ)依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭, 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥,则()11a e -≥,即101a e ≥>-. 于是,由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭,得1201x a e a x +-≥+, 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>,则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时,()0F x '>;当1x >时,()0F x '<;所以函数()F x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减;所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于,可知11a a e ≥+,解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享,知识无限!不积跬步无以至千里,不积小流无以成江海!。
河南省郑州市2010-2011学年高二下学期期末考试理科数学试题(有答案)
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郑州市2010-2011学年下期期末考试高二数学(理科) 第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、 选择题: 1.复数31ii--等于 A .12i + B .12i - C .2i + D .2i -2. 已知随机变量X 服从正态分布(2,1)N ,且(13)0.6826P x <<=,则(3)P x >=A .0.1588B .0.1587C .0.1586D .0.1585 3. 用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)(*)2n n n n N +++++++=∈ 时,第一步验证1n =时,左边应取的项是A .1B .1+2C .1+2+3D .1+2+3+4 4.给出下面四个命题,其中正确的一个是A .回归直线 y bx a =+ 至少经过样本点11(,)x y ,22(,)x y , ,(,)n nx y 中的一个 B .在线性回归模型中,相关指数20.64R =,说明预报变量对解释变量个贡献率是64% C .相关指数2R 用来刻画回归效果,2R 越小,则残差平方的和越大,模型的拟合效果越好D .随机误差e 是引起预报值与真实值之间存在误差的原因之一 5.若20112011012011(1)()x a a x a x x R -=+++∈ ,则012011a a a +++=A .2B .0C .-1D .-26.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x (吨)和相应的生产能耗y (吨煤)的几组数据:根据以上提供的数据,求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+,那么表中t 的值为A .3B .3.15C .3.5D .4.57.一物体在力2()325F x x x =-+(力单位:N ,位移单位:m )的作用下沿与()F x 相同的方向由5x =m 沿直线运动到10x =m 处做的功是A .925JB .850JC .825JD .800J8.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A={两个点数互不相同},B={至少出现一个5点},则概率P (A|B )等于A .1011 B .511 C .56 D .11369.一个建筑队承包了两项工程,每项工程均有三项任务,由于工序的要求,第一项工程必须按照任务A 、任务B 、任务C 的先后顺序进行,第二项工程必须按照任务D 、任务E 、任务F 的先后顺序进行,建筑队每次只能完成一项任务,但第一项工程和第二项工程可以自由交替进行,若公司将两项工程做完,共有多少种安排方法?A .12B .30C .20D .4810.已知函数()()f x x R ∈的图象上任一点00(,)x y 处的切线方程为0000(2)(1)()y y x x x x -=---,那么函数()()f x x R ∈的单调递减区间可能是A .[)1,+∞B .(],2-∞C .()1,2D .[)2,+∞11.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列{}n a ,11n n a n -⎧=⎨⎩,第次摸取红球,第次摸取白球,如果n S 为数列{}n a 的前n 项和,那么53S =的概率为A .32351233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B .23251233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C .4451233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D .4151233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12.已知()f x 是定义在R 上的函数,其导函数'()f x 满足'()()()f x f x x R <∈,则( )A .22001(2)(0),(2011)(0)f e f f e f >> B .22001(2)(0),(2011)(0)f e f f e f <> C .22001(2)(0),(2011)(0)f e f f ef ><D .22001(2)(0),(2011)(0)f e f f ef <<第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:(每小题5分,共20分)。
河南省郑州市第一中学高二下学期期中考试化学试题(含答案)
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郑州市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试化学试题说明:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),满分100分. 2.考试时间:75分钟.3.将第Ⅰ卷的答案代表字母填(涂)在答题卡上.可能用到的原子:H1C12N14S32Na23Al27P31Zn65As75第Ⅰ卷(选择题,共42分)一、选择题:本题共14小题,每小题3分,共42分.1.下列有关氧原子结构的化学用语中,对电子运动状态描述最详尽的是( )A .168O B .C .2241s 2s 2p D .2.下列分离混合物的实验方法中不正确的是( )A .分离乙酸(沸点77.1℃)与某种液态有机物(沸点120℃)的混合物-蒸馏B .从含有少量NaCl 的3KNO 溶液中提取3KNO 的操作为热水溶解、蒸发浓缩、降温结晶、过滤C .用CCl4萃取碘水中的碘,液体分层后,下层液体从下口放出,上层液体从上口倒出D .将溴水中的溴转移到有机溶剂中-加入乙醇萃取3.某烯烃分子的结构简式为用系统命名法命名其名称为( )A .2,2,4-三甲基-3-乙基-3-戊烯B .2,4,4-三甲基-3-乙基-2-戊烯C .2,2,4-三甲基3-乙基-2-戊烯D .2-甲基-3-叔丁基-2-戊烯 4.下列有关性质的比较不正确的是( )A .沸点:23H O>HF>NHB .熔点:二氧化硅2>NaCl>IC .硬度:碳化硅<金刚石D .沸点:5.日光灯中用到的某种荧光粉的主要成分为()34223W ZX WY ⋅.已知:X 、Y 、Z 和W 为原子序数依次增大的前20号元素,W 为金属元素.基态X 原子s 轨道上的电子数和p 轨道上的电子数相等,基态X 、Y 、Z 原子的未成对电子数之比为2:1:3,下列说法正确的是( ) A .电负性:X Y Z W >>> B .原子半径:X<Y<Z<WC .Y 和W 的单质都能与水反应生成气体D .Z 元素最高价氧化物对应的水化物具有强氧化性 6.下列说法中正确的有( )①金属晶体的导电性、导热性均与自由电子有关 ②若晶体中有阳离子,必然有阴离子 ③分子晶体的熔点一定比金属晶体低 ④共价键的强弱决定分子晶体熔、沸点的高低 ⑤共价晶体中一定含有共价键 ⑥含有离子的晶体一定是离子晶体 ⑦硬度由大到小:金刚石>碳化硅>晶体硅⑧NaCl 和CsCl 晶体中,阴离子周围紧邻的阳离子数均为8 A .2个 B .3个 C .4个 D .5个7.一种锌的配合物结构如图所示,下列有关说法正确的是( )A .中心离子提供空轨道的能级是3d 和4sB .该配合物中H N H --的键角比3NH 中H N H --的键角小C .溴原子不同形状的轨道上的电子数之比是8:17:10D .该化合物中C 、N 的杂化类型相同8.科学家合成了一种高温超导材料,其晶胞结构如图所示,该立方晶胞参数为apm .阿伏加德罗常数的值为A N .下列说法错误的是( )A .晶体最简化学式为66KCaBC B .晶体中与K +最近且距离相等的2Ca+有8个C .晶胞中B 和C 原子构成的多面体有12个面D .晶体的密度为3233A2.1710g cm a N -⨯⋅⋅ 9.某有机物分子的结构简式如图所示,下列相关叙述正确的是( )A .该有机化合物含有3种官能团B .该有机物分子中最多有12个碳原子在同一平面内C .该有机物分子中最多有6个碳原子共线D .该有机物分子中最多有14个碳原子在同一平面内10.抗癌药物CADD522的结构如图.关于该药物的说法错误..的是( )A .能发生水解反应B .含有2个手性碳原子C .能使2Br 的4CCl 溶液褪色D .碳原子杂化方式有2sp 和3sp11.中国工程院李兰娟院士团队公布研究成果,药物阿比朵尔对新冠病毒有明显抑制作用,其分子结构如图所示,下列说法正确的是( )A .其分子式为222523C H BrN O SB .分子中碳原子均采取2sp 杂化 C .阿比朵尔为芳香烃D .分子结构中含有多个官能团,如羟基,酯基,碳溴键,苯环12.下列关于烃的说法正确的是( )A .共面的C 原子最多为14个B .共直线的C 原子只能为4个C .1mol 该烃最多可以和26molH 发生加成反应D .1mol 该烃最多可以消耗26molBr13.某烃的分子式为1014C H ,它不能使溴水褪色,可使酸性4KMnO 溶液褪色,分子结构中只含有一个烷基,符合上述条件的烃有( )A .2种B .3种C .4种D .5种14.下列关于物质的结构或性质及解释都正确的是( )A .AB .BC .CD .D第Ⅱ卷(非选择题,共58分)二、非选择题:本题共4小题,共58分.15.(10分)用系统命名法给有机物命名①_____________;②_____________;③22CH CHCH Cl _____________;④2223|CH CH CCH CH CH 命名为____________________;⑤49C H Cl 的核磁共振氢谱表明其只有一种化学环境的氢,则其化学名称为______________________;⑥2CH CHCOONa 发生聚合反应可得到一种高吸水性树脂,该树脂名称为_____________.16.(22分)东晋《华阳国志·南中志》卷四中已有关于白铜的记载,云南镍白铜(铜镍合金)闻名中外,曾主要用于造币,亦可用于制作仿银饰品.回答下列问题: (1)硫酸镍溶于氨水形成()346Ni NH SO ⎡⎤⎣⎦蓝色溶液. ①()346Ni NH SO ⎡⎤⎣⎦中阴离子的立体构型是_____________.②在()346Ni NH SO ⎡⎤⎣⎦所含非金属元素的电负性由大到小为_______________.③333NH PH AsH 、、的沸点由高到低的顺序为_____________(填化学式,下同),键角由小到大的顺序为_____________.④基态Zn 原子的价电子排布式为_____________,在周期表中位置为_____________.(2)丁二酮肟是检验N2+的灵敏试剂.丁二酮肟分子(||CH3CH3HON C CNOH—)中C 原子轨道杂化类型为_____________,1mol 丁二酮肟分子所含σ键的数目为_____________.(3)配合物[]4Ni(CO)常温下为液体,易溶于4CCl 、苯等有机溶剂.[]4Ni(CO)中Ni 与CO 的C 原子形成配位键.不考虑空间构型,[]4Ni(CO)的结构可用示意图表示为_____________(用“→”表示出配位键). (4)33NH BH 分子中,N B —化学键称为_____________键,其电子对由_____________提供.氨硼烷在催化剂作用下水解释放氢气:333243623NH BH 6H O 3NH B O 9H +-+=++↑.336B O -的结构为.在该反应中,B 原子的杂化轨道类型由_____________变为_____________.17.(14分)晶体世界丰富多彩,复杂多样,各类晶体具有不同的结构特点,决定着它具有不同的性质和用途,回答下列问题:(I )氢化铝钠()4NaAlH 是一种新型轻质储氢材料,其晶胞结构如图所示,为长方体.4NaAlH 晶体中,与4AlH -紧邻且等距的Na +有_____________个;4NaAlH 晶体的密度为_____________3g cm -⋅(用含a 、A N 的代数式表示).(2)氮化钼作为锂离子电池负极材料具有很好的发展前景.它属于填隙式氮化物,N 原子部分填充在Mo 原子立方晶格的八面体空隙中,晶胞结构如图所示.氮化钼的化学式为_____________,Mo 原子周围与之等距离的Mo 原子个数为_____________. (3)ZnS 的晶胞结构如图所示:晶体中2S -填充在2Zn +围成的四面体空隙中,则四面体空隙的填充率为_____________;已知ZnS 的晶胞密度是3ag /cm ,则2Zn +与2S -的最短距离为_____________pm (用含a 、A N 的代数式表示).(4)已知Co 可形成晶胞结构如图所示,以晶胞参数为单位长度建立的坐标系可表示晶胞中各原子的位置,称作原子的分数坐标,已知晶胞含对称中心,其中1号O 原子的分数坐标为(0.6667,0.3333,0.1077),2号O 原子的分数坐标为_____________.18.(12分)异戊二烯()232CH =C CH CH=CH ⎡⎤⎣⎦是一种重要的化工原料,能发生以下反应:已知:①烯烃与酸性4KMnO 溶液反应的氧化产物对应关系:②请回答下列问题:(1)异戊二烯的一氯代物有_____________种;写出一种反应①发生1,2—加成所得有机产物的结构简式为_____________.(2)X 存在顺反异构,写出它的反式异构体的结构简式:_____________;可能发生的反应有_____________(填字母).A .加成反应B .氧化反应C .酯化反应(3)Y 的结构简式为_____________;B 为含有六元环的有机物,其结构简式为_____________.郑州市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试化学参考答案一、选择题:本题共14小题,每小题3分,共42分.二、非选择题:本题共4小题,共58分.15.(10分)【除标注分值外,每空2分】(1)3,3,4-三甲基己烷(1分) (2)乙苯(1分) (3)3-氯-1-丙烯 (4)2-乙基-1,3-丁二烯 (5)2-甲基-2-氯丙烷 (6)聚丙烯酸钠 16.(22分)【除标注分值外,每空2分】(1)①.正四面体形(1分) ②.O 、N 、S 、H (1分) ③.333NH AsH PH 、、 333AsH PH NH 、、 ④1023d 4s 第四周期B Ⅱ族 (2)3sp 和2sp A 15N(3)(4)配位(1分) N (或氮原子)(1分) 3sp 2sp 17.(14分)【每空2分】(1)8 233A1.0810a N ⨯ (2)2Mo N 12 (3)50% 10104 (4)(0.3333,0.6667,0.6077) 18.(12分)【每空2分】(1)6 ()232BrCH CBr CH CH CH =或()232CH C CH CHBrCH Br =(2) AB(3)3||O C CH COOH ——。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析
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2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科)含解析一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,在每小题中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则A∩B=()A.(﹣∞,2]B.[1,2]C.[﹣2,2] D.[﹣2,1]2.已知复数=i,则实数a=()A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.23.将点M的极坐标(4,)化成直角坐标为()A.(2,2)B.C.D.(﹣2,2)4.在同一平面的直角坐标系中,直线x﹣2y=2经过伸缩变换后,得到的直线方程为()A.2x′+y′=4 B.2x′﹣y′=4 C.x′+2y′=4 D.x′﹣2y′=45.如图,曲线f(x)=x2和g(x)=2x围成几何图形的面积是()A.B.C.D.46.10件产品中有3件次品,不放回的抽取2件,每次抽1件,在已知第1次抽出的是次品的条件下,第2次抽到仍为次品的概率为()A.B.C.D.7.下列说法中,正确说法的个数是()①命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0”;②“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件;③集合A={1},B={x|ax﹣1=0},若B⊆A,则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}.A.0 B.1 C.2 D.38.设某批产品合格率为,不合格率为,现对该产品进行测试,设第ε次首次取到正品,则P(ε=3)等于()A.C32()2×()B.C32()2×()C.()2×()D.()2×()9.在10件产品中,有3件一等品,7件二等品,从这10件产品中任取3件,则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率()A. B.C.D.10.函数f(x)=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,2]B.(﹣∞,2)C.(2,+∞)D.[2,+∞)11.函数y=e sinx(﹣π≤x≤π)的大致图象为()A.B. C. D.12.已知曲线C1:y=e x上一点A(x1,y1),曲线C2:y=1+ln(x﹣m)(m>0)上一点B(x2,y2),当y1=y2时,对于任意x1,x2,都有|AB|≥e恒成立,则m的最小值为()A.1 B.C.e﹣1 D.e+1二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)13.已知随机变量X服从正态分布X~N(2,σ2),P(X>4)=0.3,则P(X<0)的值为.14.若函数f(x)=x2﹣alnx在x=1处取极值,则a=.15.如图的三角形数阵中,满足:(1)第1行的数为1;(2)第n(n≥2)行首尾两数均为n,其余的数都等于它肩上的两个数相加.则第10行中第2个数是.16.在平面直角坐标系xOy中,直线1与曲线y=x2(x>0)和y=x3(x>0)均相切,切点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2),则的值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17.在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(φ为参数),直线l过点(0,2)且倾斜角为.(Ⅰ)求圆C的普通方程及直线l的参数方程;(Ⅱ)设直线l与圆C交于A,B两点,求弦|AB|的长.18.在直角坐标系xOy中,已知直线l:(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C:ρ2(1+sin2θ)=2.(Ⅰ)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(Ⅱ)设点M的直角坐标为(1,2),直线l与曲线C 的交点为A、B,求|MA|•|MB|的值.19.生产甲乙两种元件,其质量按检测指标划分为:指标大于或者等于82为正品,小于82为次品,现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如表:测试指标[70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100)元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6(Ⅰ)试分别估计元件甲,乙为正品的概率;(Ⅱ)在(Ⅰ)的前提下,记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数,求随机变量X的分布列和数学期望.20.设函数f(x)=x3﹣+6x.(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若对∀x∈[1,4]都有f(x)>0成立,求a的取值范围.21.为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在55名男性驾驶员中,平均车速超过100km/h的有40人,不超过100km/h的有15人.在45名女性驾驶员中,平均车速超过100km/h 的有20人,不超过100km/h的有25人.(Ⅰ)完成下面的列联表,并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关.平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计(Ⅱ)以上述数据样本来估计总体,现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆,记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列和数学期望.参考公式与数据:Χ2=,其中n=a+b+c+dP(Χ2≥k0)0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822.已知函数f(x)=﹣alnx+1(a∈R).(1)若函数f(x)在[1,2]上是单调递增函数,求实数a的取值范围;(2)若﹣2≤a<0,对任意x1,x2∈[1,2],不等式|f(x1)﹣f(x2)|≤m||恒成立,求m的最小值.2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,在每小题中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则A∩B=()A.(﹣∞,2]B.[1,2]C.[﹣2,2] D.[﹣2,1]【考点】交集及其运算.【分析】先化简集合A,解绝对值不等式可求出集合A,然后根据交集的定义求出A∩B即可.【解答】解:∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1,x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D.2.已知复数=i,则实数a=()A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.2【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数,再根据复数相等的充要条件列出方程组,求解即可得答案.【解答】解:===i,则,解得:a=1.故选:C.3.将点M的极坐标(4,)化成直角坐标为()A.(2,2)B.C.D.(﹣2,2)【考点】简单曲线的极坐标方程.【分析】利用x=ρcosθ,y=ρsinθ即可得出直角坐标.【解答】解:点M的极坐标(4,)化成直角坐标为,即.故选:B.4.在同一平面的直角坐标系中,直线x﹣2y=2经过伸缩变换后,得到的直线方程为()A.2x′+y′=4 B.2x′﹣y′=4 C.x′+2y′=4 D.x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换.【分析】把伸缩变换的式子变为用x′,y′表示x,y,再代入原方程即可求出.【解答】解:由得,代入直线x﹣2y=2得,即2x′﹣y′=4.故选B.5.如图,曲线f(x)=x2和g(x)=2x围成几何图形的面积是()A.B.C.D.4【考点】定积分在求面积中的应用.【分析】利用积分的几何意义即可得到结论.【解答】解:由题意,S===4﹣=,故选:C.6.10件产品中有3件次品,不放回的抽取2件,每次抽1件,在已知第1次抽出的是次品的条件下,第2次抽到仍为次品的概率为()A.B.C.D.【考点】条件概率与独立事件.【分析】根据题意,易得在第一次抽到次品后,有2件次品,7件正品,由概率计算公式,计算可得答案.【解答】解:根据题意,在第一次抽到次品后,有2件次品,7件正品;则第二次抽到次品的概率为故选:C.7.下列说法中,正确说法的个数是()①命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0”;②“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件;③集合A={1},B={x|ax﹣1=0},若B⊆A,则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}.A.0 B.1 C.2 D.3【考点】命题的真假判断与应用.【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断,③根据集合关系进行判断.【解答】解:①命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0”正确,故①正确,②由|x|>1得x>1或x<﹣1,则“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件;故②正确,③集合A={1},B={x|ax﹣1=0},若B⊆A,当a=0时,B=∅,也满足B⊆A,当a≠0时,B={},由=1,得a=1,则实数a的所有可能取值构成的集合为{0,1}.故③错误,故正确的是①②,故选:C8.设某批产品合格率为,不合格率为,现对该产品进行测试,设第ε次首次取到正品,则P(ε=3)等于()A.C32()2×()B.C32()2×()C.()2×()D.()2×()【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.【分析】根据题意,P(ε=3)即第3次首次取到正品的概率,若第3次首次取到正品,即前两次取到的都是次品,第3次取到正品,由相互独立事件的概率计算可得答案.【解答】解:根据题意,P(ε=3)即第3次首次取到正品的概率;若第3次首次取到正品,即前两次取到的都是次品,第3次取到正品,则P(ε=3)=()2×();故选C.9.在10件产品中,有3件一等品,7件二等品,从这10件产品中任取3件,则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率()A. B.C.D.【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】先求出基本事件总数,再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数,由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.【解答】解:∵在10件产品中,有3件一等品,7件二等品,从这10件产品中任取3件,基本事件总数n==120,取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22,∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===.故选:C.10.函数f(x)=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,2]B.(﹣∞,2)C.(2,+∞)D.[2,+∞)【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率,令f′(x)=2有解;利用有解问题即求函数的值域问题,求出值域即a的范围.【解答】解:f′(x)=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2>2∴a>2故选C11.函数y=e sinx(﹣π≤x≤π)的大致图象为()A.B. C. D.【考点】抽象函数及其应用.【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数,从而排除A、D两个选项,再看此函数的最值情况,即可作出正确的判断.【解答】解:由于f(x)=e sinx,∴f(﹣x)=e sin(﹣x)=e﹣sinx∴f(﹣x)≠f(x),且f(﹣x)≠﹣f(x),故此函数是非奇非偶函数,排除A,D;又当x=时,y=e sinx取得最大值,排除B;故选:C.12.已知曲线C1:y=e x上一点A(x1,y1),曲线C2:y=1+ln(x﹣m)(m>0)上一点B(x2,y2),当y1=y2时,对于任意x1,x2,都有|AB|≥e恒成立,则m的最小值为()A.1 B.C.e﹣1 D.e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】当y1=y2时,对于任意x1,x2,都有|AB|≥e恒成立,可得:=1+ln(x2﹣m),x2﹣x1≥e,一方面0<1+ln(x2﹣m)≤,.利用lnx≤x﹣1(x≥1),考虑x2﹣m≥1时.可得1+ln(x2﹣m)≤x2﹣m,令x2﹣m≤,可得m≥x﹣e x﹣e,利用导数求其最大值即可得出.【解答】解:当y1=y2时,对于任意x1,x2,都有|AB|≥e恒成立,可得:=1+ln(x2﹣m),x2﹣x1≥e,∴0<1+ln(x2﹣m)≤,∴.∵lnx≤x﹣1(x≥1),考虑x2﹣m≥1时.∴1+ln(x2﹣m)≤x2﹣m,令x2﹣m≤,化为m≥x﹣e x﹣e,x>m+.令f(x)=x﹣e x﹣e,则f′(x)=1﹣e x﹣e,可得x=e时,f(x)取得最大值.∴m≥e﹣1.故选:C.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)13.已知随机变量X服从正态分布X~N(2,σ2),P(X>4)=0.3,则P(X<0)的值为0.3.【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【分析】根据随机变量X服从正态分布,可知正态曲线的对称轴,利用对称性,即可求得P (X<0).【解答】解:∵随机变量X服从正态分布N(2,o2),∴正态曲线的对称轴是x=2∵P(X>4)=0.3,∴P(X<0)=P(X>4)=0.3.故答案为:0.3.14.若函数f(x)=x2﹣alnx在x=1处取极值,则a=2.【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】求出函数的导数,得到f′(1)=0,得到关于a的方程,解出即可.【解答】解:∵f(x)=x2﹣alnx,x>0,∴f′(x)=2x﹣=,若函数f(x)在x=1处取极值,则f′(1)=2﹣a=0,解得:a=2,经检验,a=2符合题意,故答案为:2.15.如图的三角形数阵中,满足:(1)第1行的数为1;(2)第n(n≥2)行首尾两数均为n,其余的数都等于它肩上的两个数相加.则第10行中第2个数是46.【考点】归纳推理.【分析】由三角形阵可知,上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ,利用累加法可求.【解答】解:设第一行的第二个数为a 1=1,由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ,即a 2﹣a 1=1,a 3﹣a 2=2,a 4﹣a 3=3,…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2,a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1, ∴a n =(a n ﹣a n ﹣1)+(a n ﹣1﹣a n ﹣2)+…+(a 4﹣a 3)+(a 3﹣a 2)+(a 2﹣a 1)+a 1 =(n ﹣1)+(n ﹣2)+…+3+2+1+1 =+1=,∴a 10==46.故答案为:46.16.在平面直角坐标系xOy 中,直线1与曲线y=x 2(x >0)和y=x 3(x >0)均相切,切点分别为A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2),则的值为.【考点】抛物线的简单性质.【分析】求出导数得出切线方程,即可得出结论.【解答】解:由y=x 2,得y ′=2x ,切线方程为y ﹣x 12=2x 1(x ﹣x 1),即y=2x 1x ﹣x 12, 由y=x 3,得y ′=3x 2,切线方程为y ﹣x 23=3x 22(x ﹣x 2),即y=3x 22x ﹣2x 23, ∴2x 1=3x 22,x 12=2x 23, 两式相除,可得=.故答案为:.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 17.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为(φ为参数),直线l 过点(0,2)且倾斜角为.(Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程;(Ⅱ)设直线l 与圆C 交于A ,B 两点,求弦|AB |的长. 【考点】参数方程化成普通方程. 【分析】(Ⅰ)圆C 的参数方程为(φ为参数),利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程.由题意可得:直线l 的参数方程为.(Ⅱ)依题意,直线l的直角坐标方程为,圆心C到直线l的距离d,利用|AB|=2即可得出.【解答】解:(Ⅰ)圆C的参数方程为(φ为参数),消去参数可得:圆C的普通方程为x2+y2=4.由题意可得:直线l的参数方程为.(Ⅱ)依题意,直线l的直角坐标方程为,圆心C到直线l的距离,∴|AB|=2=2.18.在直角坐标系xOy中,已知直线l:(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C:ρ2(1+sin2θ)=2.(Ⅰ)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(Ⅱ)设点M的直角坐标为(1,2),直线l与曲线C 的交点为A、B,求|MA|•|MB|的值.【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.【分析】(Ⅰ)直线l:(t为参数),消去参数t可得普通方程.曲线C:ρ2(1+sin2θ)=2,可得ρ2+(ρsinθ)2=2,把ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入可得直角坐标方程.(Ⅱ)把代入椭圆方程中,整理得,设A,B对应的参数分别为t1,t2,由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|.【解答】解:(Ⅰ)直线l:(t为参数),消去参数t可得普通方程:l:x﹣y+1=0.曲线C:ρ2(1+sin2θ)=2,可得ρ2+(ρsinθ)2=2,可得直角坐标方程:x2+y2+y2=2,即.(Ⅱ)把代入中,整理得,设A,B对应的参数分别为t1,t2,∴,由t得几何意义可知,.19.生产甲乙两种元件,其质量按检测指标划分为:指标大于或者等于82为正品,小于82为次品,现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如表:测试指标[70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100)元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6(Ⅰ)试分别估计元件甲,乙为正品的概率;(Ⅱ)在(Ⅰ)的前提下,记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数,求随机变量X的分布列和数学期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量及其分布列.【分析】(Ⅰ)利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲,乙为正品的概率.(Ⅱ)随机变量X的所有取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量X的分布列和数学期望.【解答】解:(Ⅰ)元件甲为正品的概率约为:,元件乙为正品的概率约为:.(Ⅱ)随机变量X的所有取值为0,1,2,,,,所以随机变量X的分布列为:X 0 1 2P所以:.20.设函数f(x)=x3﹣+6x.(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若对∀x∈[1,4]都有f(x)>0成立,求a的取值范围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(Ⅱ)问题转化为在区间[1,4]上恒成立,令,根据函数的单调性求出a的范围即可.【解答】解:(Ⅰ)函数的定义域为R,当a=1时,f(x)=x3﹣x2+6x,f′(x)=3(x﹣1)(x﹣2),当x<1时,f′(x)>0;当1<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0,∴f(x)的单调增区间为(﹣∞,1),(2,+∞),单调减区间为(1,2).(Ⅱ)即在区间[1,4]上恒成立,令,故当时,g(x)单调递减,当时,g(x)单调递增,时,∴,即.21.为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在55名男性驾驶员中,平均车速超过100km/h的有40人,不超过100km/h的有15人.在45名女性驾驶员中,平均车速超过100km/h 的有20人,不超过100km/h的有25人.(Ⅰ)完成下面的列联表,并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关.平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100(Ⅱ)以上述数据样本来估计总体,现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆,记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列和数学期望.参考公式与数据:Χ2=,其中n=a+b+c+dP(Χ2≥k0)0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差;独立性检验;离散型随机变量及其分布列.【分析】(Ⅰ)完成下面的列联表,并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关.求出Χ2,即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关.(Ⅱ)根据样本估计总体的思想,从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆,驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率,X可取值是0,1,2,3,,求出概率得到分布列,然后求解期望即可.【解答】解:(Ⅰ)平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为,所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关.…(Ⅱ)根据样本估计总体的思想,从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆,驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为.X可取值是0,1,2,3,,有:,,,,分布列为X 0 1 2 3P.…22.已知函数f(x)=﹣alnx+1(a∈R).(1)若函数f(x)在[1,2]上是单调递增函数,求实数a的取值范围;(2)若﹣2≤a<0,对任意x1,x2∈[1,2],不等式|f(x1)﹣f(x2)|≤m||恒成立,求m的最小值.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求出函数的导数,问题转化为a≤x2,求出a的范围即可;(2)问题可化为,设,求出函数的导数,问题等价于m≥x3﹣ax在[1,2]上恒成立,求出m的最小值即可.【解答】解:(1)∵在[1,2]上是增函数,∴恒成立,…所以a≤x2…只需a≤(x2)min=1…(2)因为﹣2≤a<0,由(1)知,函数f(x)在[1,2]上单调递增,…不妨设1≤x1≤x2≤2,则,可化为,设,则h(x1)≥h(x2).所以h(x)为[1,2]上的减函数,即在[1,2]上恒成立,等价于m≥x3﹣ax在[1,2]上恒成立,…设g(x)=x3﹣ax,所以m≥g(x)max,因﹣2≤a<0,所以g'(x)=3x2﹣a>0,所以函数g(x)在[1,2]上是增函数,所以g(x)max=g(2)=8﹣2a≤12(当且仅当a=﹣2时等号成立).所以m≥12.即m的最小值为12.…2016年10月17日。
河南省郑州市2011-2012学年高二下学期期末考试理科数学试题(有答案)(word版)
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河南省郑州市2011-2012学年下期期末试题高二数学(理科)第I 卷(选择题,共60分)一.选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.用反证法证明“若△ABC 的三边c b a ,,的倒数成等差数列,则2π<B ”时,“假设”应为A .2π<BB .2π>BC .2π≤BD .2π≥B2.已知随机变量)2,(~μξN ,且21)1(=≥ξP ,则实数μ的值为A .1B .21 C .0D .23.已知i 是虚数单位,则复数ii-+11的共轭复数的虚部是A .1B .1-C .iD .i -4.在回归模型中,预报变量的值与下列哪些因素有关A .受解释变量的影响与随机误差无关B .受随机误差的影响与解释变量无关C .与总偏差平方和有关与残差无关D .与解释变量和随机误差的总效应有关 5.已知离散型随机变量X 的分布列如右表,则 常数=qA .221+B .221-C .221±D .22 6.“因为对数函数x y a log =在),0(+∞上是增函数(大前提),而x y 21log =是对数函数(小前提),所以x y 21log =在),0(+∞上是增函数(结论)”,上面推理错误是A .大前提错误导致结论错B .小前提错误导致结论错C .推理形式错误导致结论错D .大前提和小前提错误都导致结论错7.已知y x ,的取值如下表,从所得的散点图分析,y 与x 线性相关,且a x y +=∧95.0,则=aA .2.5B .2.6C .2.7D .2.88.利用数学归纳法证明不等式*),2()(12141312111N n n n f n ∈≥<++++++- 的过程中,由k n =变到1+=k n 时,左边增加了A .1项B .k 项C .12-k 项D .k 2项9.2010年11月1日开始,我国开始了第6次全国人口普查,据统计,育龄妇女生男生女是等可能的,如果某个家庭共有两个孩子,有一个是女孩,则这时另一个孩子是男孩的概率是A .31B .21 C .32 D .43 10.2011年11月11日这一天被称为“百年一遇的光棍节”,因为这一天中有6个“1”,如果把“20111111”中的8个数字顺序任意排列,可以组成的八位数共有A .49个B .36个C .28个D .24个11.已知数列 ,41,32,23,14,31,22,13,21,12,11,依它的前10项的规律,这个数列的第2012项2012a 满足A .10102012<<a B .11012012<≤a C .1012012≤≤a D .102012>a12.已知函数)1(-x f 是偶函数,且1-<x 时,0)('>x f 恒成立,又0)2(=f ,则0)2()1(<++x f x 的解集为A .),4()2,(+∞--∞B .)4,0()1,6( --C .),0()1,6(+∞--D .),4()6,(+∞--∞第II 卷(非选择题,共90分)二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.) 13.已知i 是虚数单位,则=++++201232i i i i .14.定积分⎰-=-1121dx x .15.已知函数2)()(c x x x f -=在2=x 处有极大值,则=c .。
高二下学期期末考试数学试题(图片版)
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,则 .………………………………………10分
故函数在 和 上单调递增…………………………………………11分
在 上单调递减.………………………………………………………………12分
17.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由A∩B={3,7}得 2+4 +2=7,解得 =1或 =-5.………………4分
所以 , 在 上单调递减,……………………………………10分
.………………………………………………………………………11分
所以 最小值为 .…………………………………………………………………12分
所以至少一种产品研发成功的概率为 .………………………………………5分
(2)依题意, ,……………………6分
由独立试验同时发生的பைடு நூலகம்率计算公式可得:
;………………………………………………7分
;…………………………………………………8分
;……………………………………………………9分
;…………………………………………………………10分
所以 的分布列如下:
………………………………………………………………………………………11分
则数学期望 .
…………………………………………………………………………………………12分
20.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)函数 …………………………………………………1分
所以 ………………………………………………………………3分
当 =1时,集合B={0,7,3,1};……………………………………………………5分
当 =-5时,因为2- =7,集合B中元素重复.…………………………………6分
郑州市2020_2021学年高二数学下学期期末考试试题文(含答案)
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河南省郑州市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 文注意事项:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考试时间120分钟,满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 参考公式和数据:1.对于一组具有线性相关关系的数据,(),i i x y ()1,2,3,,i n =⋅⋅⋅其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为:()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑,ˆˆay bx =-; 2.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,()n a b c d =+++;3.参考数据:()2P K k >0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.0100.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在用反证法证明命题“已知0a >,0b >,且13a b +>.求证:31b a ++,2a b+中至少有一个小于4”时,假设正确的是( )A .假设31b a ++,2a b +都不大于4 B .假设31b a ++,2a b +都不小于4 C .假设31b a ++,2a b +都小于4 D .假设31b a ++,2a b+都大于42.如图,复平面内的点Z 对应的复数记为z ,则对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关某数学建模小组建立了茶水冷却时间x 和茶水温度y 的一组数据(),i i x y .经过分析,提出了四种回归模型,①②③④四种模型的残差平方和()21ˆni i i y y=-∑的值分别是098.,080.,012.,1.36.则拟合效果最好的模型是( ) A .模型① B .模型② C .模型③ D .模型④4.(选修4-4:坐标系与参数方程)将曲线2220x y x --=变换为曲线221640x y '''--=的一个伸缩变换为( )A .212x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩,B .214x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩,C .1212x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩,D .14x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩,(选修4-5:不等式选讲)若关于x 的不等式2123x x a a ++-≤+-()a ∈R 的解集为空集,则实数a 的取值范围是( ) A .32a -<<B .11a -<<C .01a <<D .1a <-5.已知bg 糖水中含有ag 糖()0b a >>,若再添加mg 糖完全溶解在其中,则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大).根据这个事实,下列不等式中一定成立的是( )A .a a mb b m+>+B .22mma m ab m b ++<++ C .()()()()22a m b m a m b m ++<++ D .121313b a ->- 6.“关注夕阳,爱老敬老”,某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金.下表记录了第x 年(2016年为第一年)捐赠现金y (万元)的数据情况.由表中数据得到了y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ295y bx =+.,预测2021年该商会捐赠现金______万元.A .4.25B .5.25C .5.65D .4.757.若输出的S 的值等于26,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是( )A .10i >B .11i >C .12i >D .13i >8.已知正数a ,b 满足1256255a b ⨯=,则3a b +的最小值为( ) A .25 B .24 C .27 D .59.任何一个复数z a bi =+都可以表示成()cos sin z r i θθ=+的形式,我们把()cos sin r i θθ+叫做复数的三角形式.已知cossin33z i ππ=+,则下列结论正确的是( )A .2z 的实部为1B .21z z =-C .2z z = D .22z =10.(选修4-4:坐标系与参数方程)已知曲线Γ的参数方程3sin ,2cos ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数,且0θπ≤≤).若以下曲线中有一个是Γ,则曲线Γ是( )A .B .C .D .(选修4-5:不等式选讲)已知a b c >>,若14ma b b c a c+≥---恒成立,则m 的最大值为( ) A .3B .4C .8D .911.胡夫金字塔的形状为正四棱锥.1859年,英国作家约翰·泰勒在其《大金字塔》一书中提出:埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金比例15 1.6182⎛⎫+≈ ⎪ ⎪⎝⎭,泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载:胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方,如图,即2h as =.已知四棱锥底面是边长约为860英尺的正方形()2860a =,顶点P 的投影在底面中心O ,H 为BC 中点,根据以上条件,PH 的长度(单位:英尺)约为( )A .3479.B .512.4C .6116.D .695.712.已知0a b c d <<<<,若dcc d =,则ba 与ab 的大小关系为( ) A .baa b < B .baa b = C .baa b > D .不确定第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若2i -为方程220x mx n ++=(m ,n ∈R )的一个根,则n =______. 14.从某大学随机选择8名女大学生,其身高和体重数据如表所示: 身高x (cm ) 155 157 165 165 165 170 170 175体重y (kg )43 50 48 5761 54 59 64根据表中的数据可得回归直线方程ˆ0.84985.712yx =-,20.64R ≈,这表明女大学生的体重差异有______是由身高引起的.15.在等差数列{}n a 中,若80a =,则121215n n a a a a a a -++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+(15n <,*n ∈N ).类比上述性质,在等比数列{}n b 中,若151b =,则存在的等式为______. 16.已知函数()()()333322f x x a x b x a x =++-+--有五个不同的零点,且所有零点之和为52,则实数b 的值为______.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.ABCD 为复平面内的平行四边形,向量OA 对应的复数为5,AB 对应的复数为23i --,BC 对应的复数为64i -+.(Ⅰ)求点D 对应的复数;(Ⅱ)判断A 、B 、C 、D 四点是否在同一个圆上?并证明你的结论.18.(选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立板坐标系,已知曲线E 的极坐标方程为2241sin ρθ=+;直线l 的倾斜角为34π,且l 经过曲线E 的左顶点.(Ⅰ)求曲线E 的直角坐标方程和直线l 的参数方程; (Ⅱ)求曲线E 的内接矩形ABCD 的周长的最大值. (选修4-5:不等式选讲)已知函数()1112f x x x =--+. (Ⅰ)求()f x 的最大值,并在网格纸中作出函数()f x 的图象;(Ⅱ)求()6f x x ≤-的解集.19.调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系,随机调查了一段时间内该医院50名男宝宝和50名女宝宝的出生时间,通过分析数据得到下面等高条形图:(Ⅰ)根据所给等高条形图数据,完成下面的22⨯列联表,并通过图形和数据直观判断婴儿性别与出生时间是否有关?晚上 白天 合计 男婴 女婴 合计(Ⅱ)根据(Ⅰ)中列联表,能否在犯错误概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别与出生的时间有关? 20.(选修4-4:坐标系与参数方程)平面直角坐标系xOy 中,射线l :33y x =()0x ≥,曲线1C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数);以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=.(Ⅰ)写出射线l 的极坐标方程、曲线1C 的普通方程;(Ⅱ)已知射线l 与1C 交于点A ,与2C 交于点B (B 异于点O ),求AB 的值. (选修4-5:不等式选讲)已知函数()2f x x a =+. (Ⅰ)当1a =-时,求不等式()93f x x x -≥-+的解集;(Ⅱ)是否存在实数a 使得()34f x x x ++≤+的解集中包含[]01,.若存在,求a 的取值范围;若不存在,说明理由.21.红铃虫是棉花的主要害虫之一,其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y (个)和温度x (℃)的8组观测数据,制成图1所示的散点图现用两种模型①x y a b =⋅(0a >,0b >),②2y cx d =+分别进行拟合,由此得到相应的回归方程并进行残差分析,进一步得到图2所示的残差图. 根据收集到的数据,计算得到如下值:xz t()821ii x x =-∑()821i i t t =-∑()()81iii z z x x =--∑()()81iii y y t t =--∑25 2.89 646 168 422688 48.48 70308表中ln i i z y =;8118i i z z ==∑;2i i t x =;8118i t t ==∑.(Ⅰ)根据残差图,比较模型①、②的拟合效果,应选择哪个模型?并说明理由;(Ⅱ)根据(Ⅰ)中所选择的模型,求出y 关于x 的回归方程(计算过程中四舍五入保留两位小数),并求温度为35℃时,产卵数y 的预报值. 参考数据: 5.61273e≈, 5.70299e ≈, 5.79327e ≈.22.开普勒说:“我珍视类比胜过任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密,”波利亚也曾说过:“类比是一个伟大的引路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题.”在选修1—2第二章《推理与证明》的学习中,我们知道,平面图形很多可以推广到空间中去,例如正三角形可以推广到正四面体,圆可以推广到球,平行四边形可以推广到平行六面体等.如图,如果四面体D EFP -中棱DE ,DF ,DP 两两垂直,那么称四面体D EFP -为直角四面体.请类比直角三角形ABC (h 表示斜边上的高)中的性质给出直角四面体D EFP -中的两个性质,并给出证明.直角三角形ABC直角四面体D EFP -条件 CA CB ⊥ DE DF ⊥,DE DP ⊥,DF DP ⊥结论1 222a b c +=结论2 222111h a b=+郑州市2020—2021下期高二文科数学考试评分参考一、选择题 题号 123456789101112答案B BC A BD A C B D D A二、填空题13.10; 14.64%; 15.121229n n bb b bb b -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅(15n <,*n ∈N )备注:考生不写小括号内容不给分. 16.3225.(或者4129). 三、解答题17.解:(1)由题意知,()5,0OA =,()2,3AB =--,()6,4BC =-, 所以()()()5,02,33,3OB OA AB =+=+--=-, 同理()()()3,36,43,1OC OB BC =+=-+-=-, 由AD BC =,得()1,4D -, 则点D 对应的复数14z i =-+.(2)由0AB BC ⋅=,得AB BC ⊥,即AB BC ⊥.∴四边形ABCD 为矩形 ∴A 、B 、C 、D 四点共圆.18.解:(1)因为曲线E 的极坐标方程为222sin4ρρθ=+.将222x y ρ=+,sin y ρθ=,代入上式,得2224x y =+.所以曲线E 的直角坐标方程为22142x y +=; 又∵曲线E 为椭圆,其左顶点坐标为()2,0-,∴直线l的参数方程为:222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数).(2)设椭圆E的内接矩形在第一象限的顶点为()2cos θθ02πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭, ∴椭圆E 的内接矩形的周长y为:()8cos y θθθϕ=+=+(其中sin ϕ=,cos ϕ=)∴椭圆E 的内接矩形的周长的最大值为46.(选修4—5:不等式选讲)解:(1)依题意,()111=2f x x x =--+13,12231,112213,122x x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪---<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩所以,当1x =-时,()max 1f x =; 函数()f x 的图象如图所示:(2)由(1)可知,利用图象法,直线6y x =-只与()f x 的图像相交于A ,由613,22y x y x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩解得()3,3A -故当3x ≥时,直线6y x =-在()f x 图象的上方, 即()6f x x ≤-,故解集为[)3,+∞.19.解:(1)根据所给等高条形图数据,完成22⨯列联表如下:晚上白天合计男婴 10 40 50 女婴 20 30 50 合计3070100根据等高条形图,在男婴样本中白天出生的频率要高于女婴样本中白天出生的频率; 根据列联表,男婴样本中白天出生的频率为80%,女婴样本中白天出生的频率为60%. 因此可以直观得到结论:婴儿的性别和出生时间有关系(二者选其一即可给分)(2)根据(1)中列联表,计算()22100402030101004.762 2.7065050703021K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯,所以能在犯错误概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别和出生的时间有关. 20.(选修4-4:坐标系与参数方程) 解:(1)依题意,因为射线l:y x =()0x ≥,故射线l :6πθ=()0ρ≥;因为1C 的参数方程为:1,1x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,可得曲线1C 的普通方程:224x y -=.(2)曲线1C 的方程为224x y -=,故曲线1C 的极坐标方程为42cos 2=θρ. 设点A 、B 对应的极坐标分别为()1,ρθ,()2,ρθ,联立l 与1C ,得2,6cos 24,πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 联立l 与2C ,得,68sin ,πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得4,6B π⎛⎫⎪⎝⎭故124AB ρρ=-=-(选修4—5:不等式选讲)解:(1)当1a =-时,原不等式可化为2139x x x -++≥+等价于31239x x x x ≤-⎧⎨---≥+⎩或1321239x x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++≥+⎩或1,22139,x x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++≥+⎩即52x ≤-或72x ≥,所以不等式的解集是57,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)若存在这样的a ,使得()34f x x x ++≤+的解集中包含[]0,1. 即当[]0,1x ∈时,()34f x x x ++≤+恒成立.11 可得234x a x x +++≤+,得21x a +≤,得1122a a x ---≤≤. 所以11,210,2a a -⎧≥⎪⎪⎨--⎪≤⎪⎩解得1a =-所以存在这样的a ,满足1a =-使得()34f x x x ++≤+的解集中包含[]0,1.21.解:(1)应该选择模型①.理由为:模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄,所以模型①的拟合精度更高,回归方程的预报精度相应就会越高.故选模型①比较合适.(2)由(1)知,选用模型①,xy a b =⋅,用两边取对数,得()ln ln ln y b x a =+, 令ln z y =,z 与温度x 可以用线性回归方程来拟合,则()ln ln z b x a =+,()()()8182148.48ln 0.29168ii i i i x x z z b x x ==--==≈-∑∑, ln ln 2.890.2925 4.36a z x b =-=-⨯≈-,于是有ln 029436y x =-..,所以产卵数y 关于温度x 的回归方程为0.29 4.36x y e-=. 当35x =时,0.2935 4.36 5.79327y e e ⨯-==≈(个), 所以,在气温在35℃时,一个红铃虫的产卵数的预报值为327个.22.解:记DEF △、DEP △、DFP △、EFP △的面积依次为1S 、2S 、3S 、S ,记DE m =,DF n =,DP p =.结论1:2222123S S S S =++,证明:过D 作DH EF ⊥,垂足为H ,连接PH , ()22222222222212311112224S S S mn mp np m n m p n p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12 在Rt DEF △中,DE DF DH EF ⋅== DH =,PH ==()2222222214S m n n p m p ==++, 2222123S S S S =++.结论2:22221111h m n p =++证明:过D 作DH EF ⊥,垂足为H ,连接PH , 过D 作DG PH ⊥,垂足为G ,设DG h =,∵h = ∴22222222222221111m n m p n p h m n p m n p ++==++. ∴22221111d m n p =++.。
河南省郑州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题及答案
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郑州市2022-2023学年下期期末考试高二数学试题卷注意事项:本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.考试时间120分钟,满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.第I 卷(选择题,共60分)一、单选题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知数列{}n a ,满足12n n a a --=,10a =,则10a =()A .18B .36C .72D .1442.2023年5月10日,第七届全球跨境电子商务大会在郑州举行,小郑同学购买了几件商品,这些商品的价格如果按美元计,则平均数为30,方差为60,如果按人民币计(汇率按1美元=7元人民币),则平均数和方差分别为()A .30,60B .30,420C .210,420D .210,29403.如图,洛书古称龟书,是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图像,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取4个数,则选取的4个数之和为奇数的方法数为()A .60B .61C .65D .664.下列四个命题中,正确命题的个数为()①甲乙两组数据分别为:甲:28,31,39,42,45,55,57,58,66;;乙:,29,34,35,48,42,46,55,53,55,67.则甲乙的中位数分别为45和44.②相关系数0.89r =-,表明两个变量的相关性较弱.③若由一个22⨯列联表中的数据计算得2K 的观测值7.103k ≈,那么有99%的把握认为两个变量有关.④用最小二乘法求出一组数据(),i i x y ,()1,,i n = 的回归直线方程ˆy =ˆbxa + 后要进行残差分析,相应于数据(),i i x y ,()1,,i n = 的残差是指ˆi i e y =ˆi bx a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.()20P K k 0.100.050.0250.0100.0050.001k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828A .1B .2C .3D .45.已知(1)nx -的二项展开式中二项式系数和为64,若2012(1)(1)(1)(1)nnn x a a x a x a x -=+++++++ ,则1a 等于()A .192B .448C .-192D .-4486.已知函数()2ln f x ax x =-的图象在点()()1,1f 处的切线与直线3y x =平行,则该切线的方程为()A .350x y -+=B .310x y --=C .310x y -+=D .310x y -+=7.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵,图中虚线上的数1,3,6,10…构成数列{}n a ,记n a 为该数列的第n 项,则64a =()A .2016B .2080C .4032D .41608.下列说法中不正确...的是()A .若随机变量()2~1,X N σ,(4)0.79P X <=,则(2)0.21P X <-=B .若随机变量1~10,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则期望10()3E X =C .已知随机变量X 的分布列为()(1,2,3)(1)a P X i i i i ===+,则2(2)3P X ==D .从3名男生,2名女生中选取2人,则其中至少有一名女生的概率为7109.若需要刻画预报变量Y 和解释变量x 的相关关系,且从已知数据中知道预报变量Y 随着解释变量x 的增大而减小,并且随着解释变量x 的增大,预报变量Y 大致趋于一个确定的值,为拟合Y 和x 之间的关系,应使用以下回归方程中的(0,b e >为自然对数的底数)()A .Y bx a =+B .ln Y b x a =-+C.Y a=D .x Y be a-=+10.对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠,现给出定义:设()f x '是函数()f x 的导数,()f x ''是()f x '的导数,若方程()f x ''有实数解0x ,则称点()()00,x f x 为函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数()32533x g x x =-+,则123179999g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()A .173B .172C .17D .3411.已知数列{}n a 满足()*612,7N 2,7,n n a n n a n a n -⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪⎩,若对于任意*N n ∈都有1n n a a +>,则实数a 的取值范围是()A .1,12⎛⎫⎪⎝⎭B .12,23⎛⎫⎪⎝⎭C .2,13⎛⎫⎪⎝⎭D .21,3⎛⎫⎪⎝⎭12.若2ln ln b b a a a +=+,则下列式子可能成立的是()A .1a b >>B .1a b>>C .1b a>>D .1b a>>第II 卷(非选择题,共90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知等比数列{}n a 满足:18a =,9132a =,230a a <则公比q =______.14.在甲,乙,丙三个地区爆发了流感,这三个地区分别有7%,6%,5%的人患了流感.若这三个地区的人口数的比为5:3:2,现从这三个地区中任意选取一个人,这个人患流感的概率是______.15.为积极践行劳动教育理念,扎实开展劳动教育活动,某学校开设三门劳动实践选修课,现有五位同学参加劳动实践选修课的学习,每位同学仅报一门,每门至少有一位同学参㕲,则不同的报名方法有______.16.2023年第57届世界乒乓球锦标赛在南非德班拉开帷幕,参赛选手甲、乙进入了半决赛,半决赛采用五局三胜制,当选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时,就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负,且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为()01p p ,比剉局数的期望值记为()f p ,则()f p 的最大值是______.三、解答题:共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.(10分)一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球,其中有红球1个,白球4个,黑球5个.(I )若每次从袋子中随机摸出1个球,摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下,第2饮摸到白球的概率;(II )若从袋子中一次性随机摸出3个球,记黑球的个数为X ,求随机变量X 的概率分布.18.(12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12a =,142n n S a +=+.(I )设12n n n b a a +=-,证明:数列{}n b 是等比数列;(II )求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19.(12分)黄河是中华民族的母亲河、生命河,也是一条桀骜难驯的忧患之河.小浪底水利枢纽工程位于河南省济源市、洛阳市孟津区边界,是黄河治理开发的关键控制性工程.它控制着黄河92%的流域面积、91%的径流量和近100%的泥沙,以防洪、防淩、减淤为主,兼顾供水、灌溉、发电,不仅是中华民族治黄史上的丰碑,也是世界水利工程史上最具标志性的杰作之一,其大坝为预测渗压值和控制库水位,工程师在水库选取一支编号为并计算得102157457.98ii x==∑,102153190.77ii y ==∑,10155283.20i i i x y ==∑,272.9325319.076624=,275.8015745.791601=15.51≈.(I )求该水库HN1号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数(精确到0.01);(II )某天雨后工程师测量了水库水位,并得到水库的水位为76m .利用以上数据给出此时HN1号渗压计管内水位的估计值.附:相关系数()()niix x y y r --=∑()()()ˆ121nni iii ix x y y b x x ==--=-∑∑,ˆˆy b a x =+.20.(12分)已知函数()()22xx f x aea e x =+--.(I )讨论()f x 的单调性;(II )若()f x 有两个零点,求a 的取值范围.21.(12分)根据长期生产经验,某种零件的一条生产线在设备正常状态下,生产的产品正品率为0.985.为了监控该生产线生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取10个零件,并测量其质量,规定:抽检的10件产品中,若至少出现2件次品,则认为设备出现了异常情况,需对设备进行检测及修理.(I )假设设备正常状态,记X 表示一天内抽取的10件产品中的次品件数,求()2P X ,并说明上述监控生产过程规定的合理性;(II )该设备由甲、乙两个部件构成,若两个部件同时出现故䧐,则设备停止运转;若只有一个部件出现故障,则设备出现异常.已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p ,由乙部件故障造成的概率为1p -.若设备出现异常,需先检测其中一个部件,如果确认该部件出现故障,则进行修理,否则,继续对另一部件进行检测及修理.已知甲部件的检测费用2000元,修理费用6000元,乙部件的检测费用3000元,修理费用4000元.当设备出现异常时,仅考虑检测和修理总费用,应先检测甲部件还是乙部件,请说明理由。
河南省郑州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析
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河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学(理)第Ⅰ卷(选择题,共60分)一,选择题:本大题共有12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题所给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。
1.已知命题那么为()A. B.C. D.【结果】B【思路】【思路】依据全称命题地否定是特称命题即可写出结果.【详解】命题则为故选:B【点睛】本题考全称命题地否定形式,属于简单题.2.已知数列是等比数列,若则地值为()A. 4B. 4或-4C. 2D. 2或-2【结果】A【思路】【思路】设数列{a n}地公比为q,由等比数列通项公式可得q4=16,由a3=a1q2,计算可得.【详解】因故选:A【点睛】本题考查等比数列地性质以及通项公式,属于简单题.3.已知是实数,下面命题结论正确地是()A. “”是“”地充分款件B. ”是“”地必要款件C. “ac2>bc2”是“”地充分款件D. ” 是“”地充要款件【思路】【思路】依据不等式地性质,以及充分款件和必要款件地定义分别进行判断即可.【详解】对于,当时,满足,却,所以充分性不成立。
对于,当时,满足,却,所以必要性不成立。
对于,当时,成立,却,所以充分性不成立,当时,满足,却,所以必要性也不成立,故“” 是“”地既不充分也不必要款件,故选:C【点睛】本题主要考查不等式地性质以及充分款件,必要款件地判断,属于基础题.4.已知双曲线地一款渐近线与直线垂直,则双曲线地离心率为()A. B. C. D.【结果】A【思路】【思路】双曲线地渐近线方程为,由渐近线与直线垂直,得地值,从而得到离心率.【详解】由于双曲线地一款渐近线与直线垂直,所以双曲线一款渐近线地斜率为,又双曲线地渐近线方程为,所以,双曲线地离心率.故选:A【点睛】本题主要考查双曲线地渐近线方程和离心率,以及垂直直线斜率地关系.5.若等差数列地前项和为,且,则()A. B. C. D.【结果】C【思路】由得,再由等差数列地性质即可得到结果.【详解】因为为等差数列,所以,解得,故.故选:C【点睛】本题主要考查等差数列地前项和公式,以及等差数列性质(其中m+n= p+q)地应用.6.地内角地对边分别为,,, 则=()A. B. C. D.【结果】D【思路】【思路】先由二倍角公式得到cosB,然后由余弦定理可得b值.【详解】因为,所以由余弦定理,所以故选:D【点睛】本题考查余弦二倍角公式和余弦定理地应用,属于简单题.7.椭圆与曲线地()A. 焦距相等B. 离心率相等C. 焦点相同D. 准线相同【结果】A【思路】【思路】思路两个曲线地方程,分别求出对应地a,b,c即可得结果.【详解】因为椭圆方程为,所以,焦点在x轴上,曲线,因为,所以,曲线方程可写为,,所以曲线为焦点在y轴上地椭圆,,所以焦距相等.【点睛】本题考查椭圆标准方程及椭圆简单地几何性质地应用,属于基础题.8.在平行六面体(底面是平行四边形地四棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,,则地长为()A. B. 6 C. D.【结果】C【思路】【思路】依据空间向量可得,两边平方即可得出结果.【详解】∵AB=AD=AA1=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,∴===,∵,∴=6,∴|=.故选:C.【点睛】本题考查平行四面形法则,向量数量积运算性质,模地计算公式,考查了推理能力与计算能力.9.已知不等式地解集是,若对于任意,不等式恒成立,则t地取值范围()A. B. C. D.【结果】B【思路】【思路】由不等式地解集是,可得b,c地值,代入不等式f(x)+t≤4后变量分离得t≤2x2﹣4x﹣2,x ∈[﹣1,0],设g (x )=2x 2﹣4x ﹣2,求g(x)在区间[﹣1,0]上地最小值可得结果.【详解】由不等式地解集是可知-1和3是方程地根,,解得b=4,c=6,,不等式化为 ,令g (x )=2x 2﹣4x ﹣2,,由二次函数图像地性质可知g(x)在上单调递减,则g(x )地最小值为g(0)=-2,故选:B【点睛】本题考查一圆二次不等式地解法,考查不等式地恒成立问题,常用方式是变量分离,转为求函数最值问题.10.在中,角所对地边分别为,表示地面积,若,则( )A.B.C.D.【结果】D 【思路】【思路】由正弦定理,两角和地正弦函数公式化简已知等式可得sin A =1,即A =900,由余弦定理,三角形面积公式可求角C,从而得到B 地值.【详解】由正弦定理及得,因为,所以。
2019-2020年高二下学期第三次模拟考试数学(理)试题
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2019-2020年高二下学期第三次模拟考试数学(理)试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(xx•北京)设a,b∈R.“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件考点:复数的基本概念;必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:常规题型.分析:利用前后两者的因果关系,即可判断充要条件.解答:解:因为a,b∈R.“a=O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”.“复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立.所以a,b∈R.“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件.故选B.点评:本题考查复数的基本概念,必要条件、充分条件与充要条件的判断,考查基本知识的掌握程度.2.(5分)(xx•黑龙江)下面是关于复数z=的四个命题:其中的真命题为(),p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i,p4:z的虚部为﹣1.A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4考点:复数的基本概念;命题的真假判断与应用.专题:计算题.分析:由z===﹣1﹣i,知,,p3:z的共轭复数为﹣1+i,p4:z的虚部为﹣1,由此能求出结果.解答:解:∵z===﹣1﹣i,∴,,p3:z的共轭复数为﹣1+i,p4:z的虚部为﹣1,故选C.点评:本题考查复数的基本概念,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.3.(5分)“因为指数函数y=a x是增函数(大前提),而y=()x是指数函数(小前提),所以y=()x是增函数(结论)”,上面推理的错误是()A.大前提错导致结论错B.小前提错导致结论错C.推理形式错导致结论错D.大前提和小前提错都导致结论错考点:演绎推理的基本方法.专题:常规题型.分析:对于指数函数来说,底数的范围不同,则函数的增减性不同,当a>1时,函数是一个增函数,当0<a<1时,指数函数是一个减函数y=a x是增函数这个大前提是错误的,得到结论解答:解:∵当a>1时,函数是一个增函数,当0<a<1时,指数函数是一个减函数∴y=a x是增函数这个大前提是错误的,从而导致结论错.故选A.点评:本题考查演绎推理的基本方法,考查指数函数的单调性,是一个基础题,解题的关键是理解函数的单调性,分析出大前提是错误的.4.(5分)已知,则=()A.B.C.D.考点:导数的运算.专题:计算题.分析:对f(x)进行求导,再将x=代入f′(x),进行求解,从而求出;解答:解:∵,∴f′(x)=﹣×cosx+,∴f′()=﹣×cos+=﹣,∵f(π)==﹣,∴=﹣﹣=﹣,故选D;点评:此题主要考查导数的运算,解决此题的关键是能否对f(x)进行求导,是一道基础题;5.(5分)若曲线处的切线分别为l1,l2,且l1⊥l2,则a的值为()A.﹣2 B.2C.D.﹣考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:导数的概念及应用.分析:两函数f(x)、g(x)在x=1处的导数即为它们在点P处切线的斜率,再根据切线垂直即可列一方程,从而可求a值.解答:解:f′(x)=,g′(x)=ax a﹣1,则f′(1)=,g′(1)=a,又曲线处的切线相互垂直,所以f′(1)•g′(1)=﹣1,即a=﹣1,所以a=﹣2.故选A.点评:本题考查了导数的几何意义及简单应用,难度不大.该类问题中要注意区分某点处的切线与过某点的切线的区别,某点处意为改点为切点,过某点则未必然.6.(5分)(理科做)设f(x)为可导函数,且满足,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线率为()A.2B.﹣1 C.1D.﹣2考点:极限及其运算;利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:计算题;规律型.分析:由导数的几何意义,求出在曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的导数,即求得在此点处切线的斜率.解答:解:∵,即y'|x=1=﹣1,∴y═f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为﹣1,故选B.点评:本题考查导数及其运算,求解问题的关键,是对所给的极限极限表达式进行变形,利用导数的几何意义求出曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线率.7.(5分)如图是导函数y=f′(x)的图象,则下列命题错误的是()A.导函数y=f′(x)在x=x1处有极小值B.导函数y=f′(x)在x=x2处有极大值C.函数y=f(x)在x=x3处有极小值D.函数y=f(x)在x=x4处有极小值考点:函数的单调性与导数的关系.专题:应用题.分析:根据如图所示的导函数的图象可知函数f(x)在(﹣∞,x3)单调递增,在(x3,x4)单调递减,(x4,+∞)单调递增函数在处x3有极大值,在x4处有极小值解答:解:根据如图所示的导函数的图象可知函数f(x)在(﹣∞,x3)单调递增,在(x3,x4)单调递减,(x4,+∞)单调递增函数在处x3有极大值,在x4处有极小值故选C点评:本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,考查了识别函数图形的能力,属基础题.8.(5分)(xx•临沂一模)=2,则实数a等于()A.﹣1 B.1C.﹣D.考点:定积分.专题:计算题.分析:根据定积分的定义,找出三角函数的原函数进行代入计算,根据等式=2,列出关于a 的方程,从而求解.解答:解:∵=2,∴==(﹣cosx)+(asinx)=0﹣(﹣1)+a=2,∴a=1,故选B.点评:此题考查定积分的定义及其计算,是高中新增的内容,要掌握定积分基本的定义和性质,解题的关键是找出原函数.9.(5分)函数y=xlnx在(0,5)上是()A.单调增函数B.在(0,)上单调递增,在(,5)上单调递减C.单调减函数D.在(0,)上单调递减,在(,5)上单调递增.考点:利用导数研究函数的单调性.专题:计算题;导数的综合应用.分析:由y=xlnx,知y'=lnx+1,由y'=lnx+1=0,得极值点x=,由此能判断函数y=xlnx在(0,5)上的单调性.解答:解:∵y=xlnx,∴y'=lnx+1,由y'=lnx+1=0,得极值点x=,∵x∈(0,5),∴当x∈(0,)时,f'(x)<0,函数是单调递减函数.当x∈(,5)时,f'(x)>0,函数是单调递增函数.故选D.点评:本题考查函数的单调的判断,解题时要认真审题,仔细解答,注意导数性质的灵活运用.10.(5分)用数学归纳法证明不等式的过程中,由“k推导k+1”时,不等式的左边增加了()A.B.C.D.以上都不对考点:数学归纳法.分析:准确写出当n=k时,左边的代数式,当n=k+1时,左边的代数式,相减可得结果.注意分母及项数的变化.解答:解:当n=k时,左边的代数式为,(共k项)当n=k+1时,左边的代数式为+(共k+1项)故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果,即为不等式的左边增加的项故选B点评:数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质,其步骤为:设P(n)是关于自然数n的命题,若(1)(奠基)P(n)在n=1时成立;2)(归纳)在P(k)(k 为任意自然数)成立的假设下可以推出P(k+1)成立,则P(n)对一切自然数n都成立.11.(5分)(xx•天津)设a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,],则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为()A.[0,]B.[0,]C.[0,||]D.[0,||]考点:直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系.专题:压轴题.分析:先由导数的几何意义,得到x0的范围,再求出其到对称轴的范围.解答:解:∵过P(x0,f(x0))的切线的倾斜角的取值范围是[0,],∴f′(x0)=2ax0+b∈[0,1],∴P到曲线y=f(x)对称轴x=﹣的距离d=x0﹣(﹣)=x0+∴x0∈[,].∴d=x0+∈[0,].点评:本题中是对导数的几何意义的考查,计算时,对范围的换算要细心.12.(5分)已知函数y=f(x)是定义在实数集R上的奇函数,且当x>0,f(x)+xf′(x)>0(其中f′(x)是f(x)的导函数),a={4}f4,b=f()设c=(lg),则a,b,c的大小关系是()A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.a>c>b考点:导数的运算;不等关系与不等式.专题:计算题.分析:我们可以令函数F(x)=xf(x),证明其为偶函数,再研究其单调性,分别求出a,b,c,再利用F(x)的单调性进行判断;解答:解:令函数F(x)=xf(x),则函数f(﹣x)=﹣f(x)∴F(﹣x)=F(x),F(x)=xf(x)为偶函数.当x>0时,F′(x)=f(x)+xf′(x)>0,此时函数递增,则,,,因为,所以a>b>c,故选C.点评:此题主要考查对数函数的性质及其图象,以及利用函数的单调性进行比较数的大小关系,是一道基础题;二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.(4分)若z为复数,且(1﹣i)z=1+i,则|z|=1.考点:复数求模.专题:计算题.分析:由(1﹣i)z=1+i可得z==i,由此求得|z|的值.解答:解:由(1﹣i)z=1+i可得z====i,故|z|=1,故答案为1.点评:本题主要考查复数的基本概念,两个复数代数形式的乘法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.14.(4分)由曲线围成区域面积为.考点:定积分在求面积中的应用.专题:计算题.分析:先将围成的平面图形的面积用定积分表示出来,然后运用微积分基本定理计算定积分即可.解答:解:如图,曲线围成区域面积为:=sinxdx=﹣cosx=﹣(﹣)=.故答案为:.点评:本题主要考查了定积分在求面积中的应用,运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数,属于基础题.15.(4分)德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形,单位分数是分子为1,分母为正整数的分数称为莱布尼兹三角形:根据前5行的规律,写出第6行第3个数是.考点:归纳推理.专题:规律型;探究型.分析:认真观察图形的组成,规律:任意一个小三角形里,底角两数相加=顶角的数,整个三角形的两条侧边是自然数的倒数列解答:解:第6行第一个数和最后一个数都是,第2个数加要等于,所以求出第二个数是,同理第三个数加等于,求出第三个数是故答案为:点评:此题考查的知识点是数字的变化类问题,也考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力,找出本题的数字规律是正确解题的关键.16.(4分)已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y=4﹣x2在x轴上方的曲线上,则矩形的面积最大为.考点:抛物线的简单性质.专题:导数的概念及应用.分析:先设点B的坐标,将面积S表达为变量的函数,再利用导数法求出函数的最大值.解答:解:设点B(x,4﹣x2)(O<x≤2),则S=2x(4﹣x2)=2x3+8x∴S′=﹣6x2+8,令S′=﹣6x2+8=0,可得x=∵O<x≤2,∴由S′>0,可得0<x<;由S′<0,可得∴x=时,S=2x3+8x取得最大值为故答案为点评:本题解题的关键是利用点在抛物线上设点,从而构建函数,由于函数是单峰函数,所以在导数为0处一定取最值.三、解答题:本大题共6个小题,共74分.17.(12分)(Ⅰ)已知z∈C,且|z|﹣i=+2+3i(i为虚数单位),求复数的虚部.(Ⅱ)已知z1=a+2i,z2=3﹣4i(i为虚数单位),且为纯虚数,求实数a的值.考点:复数的基本概念;复数代数形式的混合运算.专题:计算题.分析:(Ⅰ)设z=x+yi,代入方程|z|﹣i=+2+3i,整理后利用复数相等的概念求出引入的参数x,y的值,即可求得复数z,再求出复数确定其虚部.(Ⅱ)将化为代数形式,再令其实部为0,虚部不为0即可解答:解:(Ⅰ)设z=x+yi,代入方程|z|﹣i=+2+3i,得出﹣i=x﹣yi+2+3i=(x+2)+(3﹣y)i,故有,解得,∴z=3+4i,复数==2+i,虚部为1(Ⅱ)==,且为纯虚数则3a﹣8=0,且4a+6≠0,解得a=点评:本题考查了复数中的基本知识和计算:纯虚数、实部、虚部的概念,复数的加减乘除混合运算.属于基础题.18.(12分)已知函数f(x)=x2﹣alnx(a∈R)(1)若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值.(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.专题:计算题;综合题;导数的综合应用.分析:(1)根据切线的斜率为1,得到f'(2)=1,解之得a=2;从而得到f(x)=x2﹣2lnx,算出切点坐标为(2,2﹣2ln2),再代入直线y=x+b,即可求出实数b的值.(2)根据题意,f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,由此得到关于x的不等式a≤x2在(1,+∞)上恒成立,再讨论x2的取值范围,即可得到a的取值范围.解答:解:(1)∵f(x)=x2﹣alnx,∴f'(x)=x﹣,其中(x>0)∵f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b∴f'(2)=2﹣=1,解之得a=2,由此可得函数表达式为f(x)=x2﹣2lnx,得f(2)=2﹣2ln2∴切点(2,2﹣2ln2)在直线y=x+b上,可得2﹣2ln2=2+b,解之得b=﹣2ln2综上所述,a=2且b=﹣2ln2;(2)∵f(x)在(1,+∞)上为增函数,∴f'(x)≥0,即x﹣≥0在(1,+∞)上恒成立结合x为正数,可得a≤x2在(1,+∞)上恒成立而在区间(1,+∞)上x2>1,故a≤1∴满足条件的实数a的取值范围为(﹣∞,1].点评:本题给出含有二次式和对数式的基本函数,求函数图象的切线并讨论不等式恒成立,着重考查了运用导数研究函数的单调性和导数的几何意义等知识,属于中档题.19.(12分)已知a、b、c是互不相等的非零实数.求证:三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.考点:反证法与放缩法.专题:反证法.分析:假设要证的结论的反面成立,即三个方程中都没有两个相异实根,则他们的判别式都小于0,利用不等式的性质可得(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2≤0,由于a、b、c互不相等,进而可得矛盾,原命题得到证明.解答:证明:反证法:假设三个方程中都没有两个相异实根,则△1=4b2﹣4ac≤0,△2=4c2﹣4ab≤0,△3=4a2﹣4bc≤0.相加有a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ac+a2≤0,(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2≤0.①由题意a、b、c互不相等,∴①式不能成立.∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.点评:本题考查反证法证题的方法和步骤,假设结论的反面成立,依据定义、定理和性质推出矛盾,说明假设不对,从而要证的结论成立.20.(12分)已知等差数列{a n}和等比数列{b n},a1=b1=2,a2=b2=4.(I)求a n、b n;(Ⅱ)对于∀n∈N*,试比较a n、b n的大小并用数学归纳法证明你的结论.考点:数学归纳法;等比数列的性质.专题:证明题.分析:(I)利用等差数列,等比数列定义求出d,q,得出通项公式a n=2n,b n=2n即可(Ⅱ)直接作差或作商不易比较,考虑到与自然数n有关,可先比较几组,进行大小关系的猜想,用数学归纳法证明.解答:解:(I)∵a1=b1=2,a2=b2=4.∴等差数列{a n}的公差d=2,等比数列{b n}的公比q=2 所以a n=2+(n﹣1)×2=2n,b n=2×2n﹣1=2n(Ⅱ)由已知,当n=1,2时,a n=b n,当n=3时,a3=6,b=8,a n<b n当n=4时,a3=8,b=16,a n<b n当n=5时,a3=10,b=25,a n<b n猜测当n≥3时,a n<b n下面用数学归纳法证明.(1)当n=3时,a3=6,b=8,a n<b n成立(2)假设当n=k(k≥3)时成立,即2k<2k,则当n=k+1时,2k+1=2•2k>2•2k=2k+2k>2k+2=2(k+1),即a n+1<b n+1,所以当n=k+1时也成立由(1)(2)可知当n≥3时,a n<b n都成立.点评:数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质,其步骤为:设P(n)是关于自然数n的命题,若(1)(奠基)P(n)在n=1时成立;2)(归纳)在P(k)(k 为任意自然数)成立的假设下可以推出P(k+1)成立,则P(n)对一切自然数n都成立.21.(12分)设函数f(x)=4lnx﹣(x﹣1)2.(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若关于x的方程f(x)+x2﹣4x﹣a=0在区间[1,e]内恰有两个相异的实根,求实数a 的取值范围.考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.专题:导数的概念及应用.分析:(I)确定出函数的定义域是解决本题的关键,利用导数作为工具,求出该函数的单调递增区间即为f'(x)>0的x的取值区间;(II)利用函数思想进行方程根的判定问题是解决本题的关键.构造函数,研究构造函数的性质尤其是单调性,列出该方程有两个相异的实根的不等式组,求出实数a的取值范围.解答:解:(I)∵函数f(x)=4lnx﹣(x﹣1)2.∴f′(x)=﹣2x+2==(x>0).令f′(x)>0,解得x∈(0,2)故函数f(x)的单调递增区间为(0,2)(II)关于x的方程f(x)+x2﹣4x﹣a=0可化为4lnx﹣(x﹣1)2+x2﹣4x﹣a=4lnx﹣2x﹣1﹣a=0令g(x)=4lnx﹣2x﹣1﹣a则g′(x)=﹣2令g′(x)=0,则x=2,则当0<x<2时,g′(x)>0,g(x)为增函数当x>2时,g′(x)<0,g(x)为减函数故当方程f(x)+x2﹣4x﹣a=0在区间[1,e]内恰有两个相异的实根时解得3﹣2e≤a<4ln2﹣5故实数a的取值范围为[3﹣2e,4ln2﹣5)点评:本题考查导数的工具作用,考查学生利用导数研究函数的单调性的知识.考查学生对方程、函数、不等式的综合问题的转化与化归思想,将方程的根的问题转化为函数的图象交点问题,属于综合题型.22.(14分)函数f(x)=x2﹣mln+mx﹣2m,其中m<0.(Ⅰ)试讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)已知当m≤﹣(其中e是自然对数的底数)时,在x∈(﹣,]至少存在一点x0,使f (x0)>e+1成立,求m的取值范围;(Ⅲ)求证:当m=﹣1时,对任意x1,x2∈(0,1),x1≠x2,有<.考点:利用导数研究函数的单调性;函数的最值及其几何意义;不等式的证明.专题:计算题;证明题.分析:(Ⅰ)先求出函数的定义域,并求出f′(x)=0时x的值,在定义域内取m的值讨论导函数的正负决定函数的增减性,得到函数的单调区间即可;(Ⅱ)在x∈(﹣,]至少存在一点x0,使f(x0)>e+1成立,只需求出f(x)的最大值大于e+1即可求出m的范围.所以在根据第一问函数的增减性得到在x∈(﹣,]区间f(x)的最大值即可;(Ⅲ)把m=﹣1代入求出f(x),然后构造辅助函数g(x)=f(x)﹣x,求出g′(x)并讨论得到g(x)在(0,1)为减函数,对任意0<x1<x2<1,都有g(x1)>g(x2)成立,即f(x1)﹣x1>f(x2)﹣x2.即f(x2)﹣f(x1)<(x2﹣x1)解出即可得证.解答:解:(Ⅰ)易知f(x)的定义域为x∈(﹣,+∞).f′(x)=x﹣+m==.由f′(x)=0得:x=0或x=﹣m﹣.∵m<0,∴﹣m﹣∈(﹣,+∞).∴(1)当﹣≤m<0时,则x∈(﹣,﹣m﹣)时,f′(x)>0,f(x)为增函数;x∈(﹣m﹣,0)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.(2)当m<﹣时,则x∈(﹣,0)时,f′(x)>0,f(x)为增函数;x∈(0,﹣m﹣)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;x∈(﹣m﹣,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.(Ⅱ)在x∈(﹣,]上至少存在一点x0,使f(x0)>g+1成立,等价于当x∈(﹣,]时,f(x)max>g+1.∵m≤﹣,∴≤﹣m﹣.由(Ⅰ)知,x∈(﹣,0]时,f(x)为增函数,x∈[0,)时,f(x)为减函数.∴在x∈(﹣,]时,f(x)max=f(0)=﹣2m.∴﹣2m>g+1,即m<.检验,上式满足m≤﹣,所以m<是所求范围.(Ⅲ)当m=﹣1时,函数f(x)=x2+ln ﹣x+2.构造辅助函数g(x)=f(x)﹣x,并求导得g′(x)=x+﹣==显然当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)为减函数.∴对任意0<x1<x2<1,都有g(x1)>g(x2)成立,即f(x1)﹣x1>f(x2)﹣x2.即f(x2)﹣f(x1)<(x2﹣x1)即.又∵x2﹣x1>0,∴.点评:考查学生利用导数研究函数单调性的能力,理解函数的最值及几何意义,掌握利用函数增减性证明不等式的方法.四、附加题:(本小题满分0分)23.定义在R+上的函数f(x),g(x)满足函数f(x)=x2﹣alnx在[1,2]上为增函数,g(x)=x﹣a在(0,1)为减函数.(Ⅰ)求f(x),g(x)的解析式;(Ⅱ)当b>﹣1时,若f(x)≥2bx﹣在x∈(0,1]内恒成立,求b的取值范围.考点:利用导数求闭区间上函数的最值;函数的单调性与导数的关系.专题:导数的概念及应用.分析:(Ⅰ)f(x)=x2﹣alnx在[1,2]上为增函数,f′(x)≥0在[1,2]上恒成立,得出2x2﹣a≥0在[1,2]上恒成立,a≤2,同理g(x)=x﹣a在(0,1)为减函数.得出a≥2,所以a=2(Ⅱ)f(x)≥2bx﹣在x∈(0,1]内恒成立,即即x2﹣2lnx≥2bx﹣在x∈(0,1]内恒成立,分离b得出b≤,令h(x)=,需b≤h(x)min,利用导数工具求最小值后,便可求得范围.解答:解:(Ⅰ)f′(x)=2x﹣=,由已知,函数f(x)在[1,2]上为增函数,则f′(x)≥0在[1,2]上恒成立,即2x2﹣a≥0在[1,2]上恒成立,即只要a≤2x2在[1,2]上恒成立,(2x2)min=2,∴a≤2 g′(x)=1﹣=,g(x)在(0,1)为减函数.则g′(x)≤0在(0,1)恒成立,即,恒成立.,∴a≥2,所以a=2所以f(x)=x2﹣2lnx,g(x)=x﹣2.(Ⅱ)f(x)≥2bx﹣在x∈(0,1]内恒成立,即x2﹣2lnx≥2bx﹣在x∈(0,1]内恒成立,分离b得出b≤,令h(x)=,需b≤h(x)min求导得出h′(x)=﹣﹣由于x∈(0,1],所以,,从而h′(x)=﹣﹣<0,h(x)在(0,1]上单调递减,h(x)≥h(1)=,所以b≤1,又b>﹣1,所以1>b>﹣1.点评:本题考查单调性与导数的关系,分离参数求取值范围,求函数最值及应用.其中(2)题中导数符号不易同分后再判断.考查转化计算,估算能力与实数的性质.。
河南省郑州市2023-2024学年高二下学期开学考试 数学含答案
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2024学年郑州市高二下学期开学摸底考试数学(答案在最后)考生注意:1.答题前,考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚;2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,在试卷上作答无效;3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知等比数列{}n a 的首项11a >,公比为q ,记12n n T a a a =⋅⋅⋅(*n ∈N ),则“01q <<”是“数列{}n T 为递减数列”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.已知函数()32,,x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩,若存在实数m ,使函数()()g x f x m =-+有两个零点,则a 的取值范围是()A.()[),01,-∞⋃+∞B.()(),01,-∞⋃+∞C.(][),12,-∞-⋃+∞D.(](),12,-∞-+∞ 3.函数()2f x x =)A.B.C.2D.44.已知P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点,12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点,椭圆C 的离心率为12,12F PF ∠的平分线交线段12F F 于点Q ,则11PF QF =()A.2B.3C.D.25.已知,A F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点和左焦点,,B C 是椭圆上关于原点对称的点,若直线CF 交线段AB 于1,2M AM MB =,则椭圆的离心率为()A.23B.12C.154D.56.在三棱锥A BCD -中,3AB AC BD CD ====,4AD BC ==,E 是BC 的中点,F 满足14AF AD = ,则异面直线AE ,CF 所成角的余弦值为()A.15B.5C.10D.107.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行校园厨艺总决赛,决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你没有得到冠军.”对乙说:“你和甲的名次相邻.”从这两个回答分析,5人的名次排列情况种数为()A.54B.48C.42D.368.下列命题中,真命题的是()A.若回归方程 0.450.6y x =-+,则变量y 与x 正相关B.线性回归分析中决定系数2R 用来刻画回归的效果,若2R 值越小,则模型的拟合效果越好C.若样本数据1210,,,x x x 的方差为2,则数据121021,21,,21x x x --- 的方差为18D.若()()()()0,0,P A P B P BA PB >>=∣,则()()P A B P A =∣二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,若只有2个正确选项,每选对1个得3分;若只有3个正确选项,每选对1个得2分.9.已知圆锥的顶点为P ,底面圆心为O ,AB 为底面直径,120APB ∠=︒,2PA =,点C 在底面圆周上,且点O 到平面PAC 的距离为22,则()A.该圆锥的体积为3πB.直线OP 与平面PAC 所成的角为45︒C.二面角P AC O --为45︒D.直线PA 与BC 所成的角为60︒10.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >,0ω>,π<ϕ)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是()A.π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B.函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C.()f x 在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.若函数()()0y f x λλ=>在[]0,π上没有零点,则50,12λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭11.如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是正方形,12AB AA =,且11cos cos BCC DCC ∠∠==,则()A.11AA BC ⋅= B.1AA BD⊥C.1AC D.直线1AA 与平面ABCD 所成的角为π3三、填空题:本大题共3个小题,每小题5分,共15分.12.设函数()()21ln 1f x x x=+-,则满足()()21f x f x >+的x 的取值范围为.13.已知A 是抛物线()220x py p =>上的一点,F 为抛物线的焦点,O 为坐标原点.当4AF =时,2π3OFA ∠=,则OA =.14.位于坐标原点的一个点A 按下述规则移动:A 每次只能向下或向左移动一个单位长度,且向左移动的概率为15.那么A 移动5次后位于点()4,1--的概率是.四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知函数()22g x mx mx n =-+,(0,0)m n >>在[]1,2x ∈时最大值为1,最小值为0.设()()g x f x x=.(1)求实数m ,n 的值;(2)若关于x 的方程()332log 310log af x a x+--=有四个不同的实数解,求实数a 的取值范围.16.(15分)平面直角坐标系xOy 中,单位圆与x 轴正半轴交于点A ,角θ的终边与单位圆的交点P 位于第二象限.(1)若弧AP 的长为2π3,写出P 的坐标,并计算扇形AOP 的面积;(2)角θ的终边绕点O 逆时针旋转π4后恰与角α的终边重合,若1tan 3α=,求tan θ的值.17.(15分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1CC ⊥平面,,ABC AC CB D ⊥为AB 的中点,12AC CB CC ===.(1)求证:1//AC 平面1B CD ;(2)求点1A 到平面1B CD 的距离.18.(17分)已知双曲线C :()222102x y a a -=>的右焦点2F 与抛物线28y x =的焦点重合.(1)求双曲线C 的方程;(2)若斜率为3l 经过右焦点2F ,与双曲线的右支相交于A ,B 两点,双曲线的左焦点为1F ,求1ABF 的周长.19.(17分)在2019中国北京世界园艺博览会期间,某工厂生产、、A B C 三种纪念品,每一种纪念品均有精品型和普通型两种,某一天产量如下表:(单位:个)纪念品A纪念品B 纪念品C精品型100150n普通型300450600A 种纪念品有40个.(1)求n 的值;(2)用分层抽样的方法在C 种纪念品中抽取一个容量为5的样木,从样本中任取2个纪念品,求至少有1个精品型纪念品的概率;(3)从B 种精品型纪念品中抽取5个,其某种指标的数据分别如下:10119x y 、、、、,把这5个数据看作一个总体,其均值为10,方差为2,求x y -的值.参考答案一、单项选择题1.【答案】C【解析】由题意,()()1123(1)1121211110n n n n n n n n a a q a qaT qa qa a a a --+++-=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅>= ,(1)12111(1)21n n n n n n n n nT a qa q T a q +++-⋅==⋅⋅,当11,01a q ><<时,11n a q ⋅<对于N n *∈不一定恒成立,例如122,3a q ==;当{}n T 为递减数列时,0q >且11na q ⋅<对于N n *∈恒成立,又因为11a >,所以得01q <<,因此“01q <<”是“数列{}n T 为递减数列”的必要不充分条件,故选:C.2.【答案】B【解析】因为函数()()g x f x m =-+有两个零点,令()0g x =,可得()m f x -=-,即()y f x =-与y m =-的图象有两个交点,由32x x =可得,0x =或1x =.①当1a >时,函数()y f x =-的图象如图所示,此时存在m 使得()y f x =-与y m =-有两个交点,满足题意,故1a >满足题意;②当1a =时,由于函数()y f x =-在R 上单调递增,故不符合题意;③当01a <<时,函数()y f x =-单调递增,故不符合题意;④当0a =时,()y f x =-单调递增,故不符合题意;⑤当a<0时,函数()y f x =-的图象如图所示,此时存在m 使得()y f x =-与y m =-有两个交点.综上可得,a<0或1a >.故选:B.【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.3.【答案】B【解析】由240x -≥,解得22x -≤≤,故()f x 的定义域为[]22-,.设ππ2sin ,,22x αα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦,则()4sin 4sin 2cos sin y ααααϕ==+=+,其中,πcos 0,2ϕϕϕ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭,∵ππ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,则ππππ222ϕαϕϕ-<-+≤+≤+<,∴当π2αϕ+=,即ππsin sin cos cos sin 22αϕϕαϕϕ⎛⎫⎛⎫=-===-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y αϕ=+取最大值()f x 的最大值是故选:B.4.【答案】A【解析】因为12F PF ∠的平分线交线段12F F 于点Q ,所以12F PQ F PQ ∠=∠,由正弦定理得1111sin sin PF QF PQF F PQ∠∠=,2222sin sin PF QF PQF F PQ∠∠=,.又因为12sin sin PQF PQF ∠∠=,12sin sin F PQ F PQ ∠∠=,所以1212PF PF QF QF =,即1122PF QF PF QF =.不妨设()1,,0PF x Q n =-,则2x c na x c n -=-+,解得()a c n x c-=,所以()1112a c n PF x a c QF c n c n c e-=====--.故选:A.5.【答案】B【解析】由题意得(,0),(,0)A a F c --,设()()1111,,,C x y B x y --,又12AM MB =,所以12AM MB = ,即()()111212M M M M x a x x y y y ⎧+=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩,解得11123313M M a x x y y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,即11121,333a M x y ⎛⎫--- ⎪⎝⎭,又由,,C F M 三点共线得FC FM k k =.所以1111131233y x c cy a x -⎛=⎫-- ⎪⎝⎭++,整理得2433c a =,所以12c e a ==.故选:B.6.【答案】D【解析】解:三棱锥A BCD -中,由于3AB AC BD CD ====,4AD BC ==,则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -,则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===,则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==,解得1,a b c ===C 为原点,,,CH CJ CG 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,A B C D E ,所以(110,0,4422AF AD ⎛==-=- ⎝⎭,则(AE =-,(1,0,0,,2222CF CA AF ⎛⎛=+=+-= ⎝⎭⎝⎭,所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅==-⋅,则异面直线AE ,CF所成角的余弦值为10.故选:D.7.【答案】C【解析】由题意,第一种情况:乙是冠军,则甲在第二位,剩下的三人安排在其他三个名次,有33A 6=种情况;第二种情况:先从丙、丁、戊中选1人为冠军,再排甲,乙两人,再把甲和乙捆绑与其他人排列,共有123323A A A 36⨯⨯=种;综上可得共有64362+=种不同的情况.故选:C.8.【答案】D【解析】因为0.450b =-<$,所以变量y 与x 负相关,故A 错误;在线性回归分析中2R 越大,则模型拟合效果越好,故B 选项错误;若样本数据1210,,,x x x 的方差为2,则数据121021,21,,21x x x --- 的方差为2228⨯=,故C 选项错误;因为()()()()0,0,P A P B P BA PB >>=∣,所以()()()()P AB P B A P B P A ==∣,所以()()()P AB P A P B =⋅,所以()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ===∣,故D 正确.故选:D二、多项选择题9.【答案】BCD【解析】取线段AC 的中点M ,连接PM ,过O 作ON PM ⊥,垂足为N ,易知,AC OM AC PM ⊥⊥,又OM PM M ⋂=,,OM PM ⊂面PMO ,所以AC ⊥面PMO ,又ON ⊂面PMO ,所以AC ON ⊥,又ON PM ⊥,且AC PM M = ,,AC PM ⊂面PAC ,所以ON ⊥面PAC ,所以线段ON 的长为点O 到平面PAC 的距离,即ON =,对于A:在等腰三角形APB 中,60APO ∠= ,2PA =,所以2cos601,2sin 60PO AO ====所以该圆锥的体积为21π1π3⨯⨯⨯=,A 错误;对于B:由ON ⊥面PAC 可得直线OP 与平面PAC 所成的角为OPN ∠,在直角三角形OPN 中,sin 2ON OPN OP ∠==,所以45OPN ∠=︒,B 正确;对于C:由AC ⊥面PMO 可得二面角P AC O --的平面角为PMO ∠,在直角三角形PMO 中,cos cos 2ON PMO PON OP ∠=∠==,所以45PMO ∠=︒,C 正确;对于D:取线段PC 的中点D ,连接,DM DO ,,DM DO OM ,明显有,BC OM AP MD ∥∥,则直线PA 与BC 所成的角为DMO ∠或其补角,因为45PMO ∠=︒,则1,OM OP PM ==在直角三角形POC 中,112OD PC ==,在直角三角形PMC 中,112MD PC ==,在DMO 中,2221111cos 222MD MO DO DMO MD MO +-+-∠===⋅,所以60DMO ∠=︒,D正确.故选:BCD.10.【答案】BD【解析】依题意,可得2A =,又0ω>,则12π2ππ4312ω5⨯=-,所以2=ω,结合五点法作图,可得5π2π12ϕ⨯+=,则π6ϕ=,所以π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,对于A,ππ2sin 22cos262f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,显然是偶函数,故A 错误;对于B,πππ2sin 01266f ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称,故B正确;对于C,当π6x =时,ππ262x +=,函数取得最大值,所以()f x 在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是单调增函数,故C 错误;对于D,因为π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则π()2sin 26f x x λλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,因为0λ>,当[]0,πx ∈时,πππ2,2π666x λλ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦,因为()(0)y f x λλ=>在[]0,π上没有零点,可得π2ππ6λ+<,解得50,12λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故D 正确,故选:BD.11.【答案】BD【解析】对于选项A:在四棱柱1111ABCD A B C D -中,易得11AA CC = ,112cos ,cos 4CC BC BCC =-∠=-所以1111cos ,214AA BC CC BC CC BC CC BC ⎛⋅=⋅=⋅=⨯-=-⎝⎭,故选项A 错误;对于选项B:因为BD CD CB =-,所以()1111AA BD CC CD CB CC CD CC CB ⋅=-=⋅-⋅1111cos cos 220,44CC CD C CD CC CB C CB =⋅∠-⋅∠=-= 所以1AA BD ⊥,即1AA BD ⊥,故选项B 正确;对于选项C:由111AC CC CA CC CB CD =-=--,所以()222211112224CC CB CDCC CB CD CC CB CC CD CD CB --=++-⋅-⋅+⋅=所以12AC ==,故选项C 错误;对于选项D:取,AC BD 的交点O ,连接11,C B C D ,因为底面ABCD 是正方形,且11cos cos BCC DCC ∠∠==所以11CC B CC D ≅ ,所以11C B C D =,所以1C O BD ⊥,因为()11112CC CA CC CB CD CC CB CC CD ⋅=⋅+=⋅+⋅= ,所以()1110C O CA CO CC CA CO CA CC CA ⋅=-⋅=⋅-⋅=,所以1C O CA ⊥,即1C O CA ⊥.因为,,CA BD C O A BD =⊂ 面ABCD ,所以1C O ⊥面ABCD .所以CO 为1CC 在面ABCD 的投影,即1C CO ∠为直线1AA 与平面ABCD 所成的角.在1C CA △中,易得112AC CC CA ===,所以1π3C CO ∠=,故选项D 正确.故选:BD.三、填空题12.【答案】1111,,223⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】()()21ln 1f x x x=+-,则()f x 的定义域为{|0}x x ≠;又()()f x f x =-,故()f x 为偶函数;当0x >时,()()21ln 1f x x x=+-,又()21ln 1,y x y x=+=-在()0,+∞上都是单调增函数,故()f x 在()0,+∞上单调递增,在(),0-∞上单调递减;因为()()21f x f x >+,所以021021x x x x ≠⎧⎪+≠⎨⎪>+⎩∣∣∣∣,解得012113x x x ⎧⎪≠⎪⎪≠-⎨⎪⎪-<<-⎪⎩,故x 的取值范围为1111,,223⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:1111,,223⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13.【答案】【解析】由抛物线的对称性,不妨设A 在第一象限,过A 作准线的垂线AC ,过F 作AC 的垂线,垂足分别为,C B .如图所示,由题意知π2πππ2326BFA OFA ∠∠==-,因为4AF =,易知2AB =,又A 点到准线的距离为:24d AB BC p =+=+=,解得2p =,在AFO V 中,1,4OF AF ==,2π3OFA ∠=,由余弦定理得22212cos 161214()212OA OF FA OF FA OFA =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-=,所以OA =,故答案为:14.【答案】4625【解析】因为向左移动的概率为15,所以向下移动的概率为45,由题意得A 必须向左移动4次,向下移动1次,所以所求的概率为415114C 155625⎛⎫⎛⎫⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:4625四、解答题15.(13分)【答案】(1)1m =,1n =(2)1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】(1)由()()2221g x mx mx n m x n m =-+=-+-可知,函数()g x 关于1x =对称,又0m >,所以函数()g x 在[]1,2单调递增,可得()()1021g g ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即01n m n -=⎧⎨=⎩,解得1m =,1n =.(2)易知()()12g x f x x x x==+-,所以()332log 310log a f x a x +--=即为33312log 2310log log a x a x x+-+--=,可化为()233log 31log 210x a x a -+++=,令()3log 0,x λ∞=∈+,即()231210a a λλ-+++=;则关于x 的方程()332log 310log af x a x+--=有四个不同的实数解等价为于关于λ的一元二次方程()231210a a λλ-+++=有两个不相等的正实数根1λ,2λ,需满足()()()21212Δ914210310210a a a a λλλλ⎧=+-+>⎪+=+>⎨⎪=+>⎩,解得12a >-;所以实数a 的取值范围为1,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.16.(15分)【答案】(1)1(2P -,π3,(2)12-【解析】(1) AP 的长为2π3,2π13θ∴=⨯,解得2π3θ=,若点P 位于第二象限,且在单位圆上,设(,)P x y ,扇形AOP 的面积为S ,故有2π1cos32x ==-,2πsin 3y ==1(2P -,结合扇形面积公式得21ππ1323S =⨯⨯=,(2)易知角θ的终边绕点O 逆时针旋转π4后恰与角α的终边重合,1tan 3α=故11π13tan tan()14213θα-=-==-+,即1tan 2θ=-.17.(15分)【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)连接1BC 交1B C 于E ,连接DE ,侧面11BCC B 为平行四边形,E ∴为1BC 的中点,又D 为AB 的中点,1//DE AC ∴,1AC ⊄Q 平面1,B CD DE ⊂平面1B CD ,所以1//AC 平面1B CD ;(2)以C 为原点,1,,CA CB CC 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()111,1,0,0,2,2,2,0,2D B A ,()()()111,1,0,0,2,2,2,0,2CD CB CA ∴=== ,设平面1B CD 的法向量为(),,n x y z = ,则100n CD n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0220x y y z +=⎧⎨+=⎩,取1x =,则1,1y z =-=,()1,1,1n ∴=-,1A ∴到平面1B CD 的距离11cos ,d CA CA n =⋅13CA n n ⋅==.18.(17分)【答案】(1)22122x y -=;(2).【解析】(1)拋物线28y x =的焦点坐标为()2,0,则双曲线C 的半焦距2c =,由224a +=,得22a =,所以双曲线C 的方程为22122x y -=.(2)由(1)知2(2,0)F ,直线AB的方程为)2y x =-,设()11,A x y ,()22,B x y ,由)221222x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩,得2670x x -+=,显然0∆>,则126x x +=,127x x ⋅=,AB ===因此2121||||48||||2||2AF BF AB B a AF a F a =+=++=++所以1ABF的周长为.19.(17分)【答案】(1)400(2)710(3)4【解析】(1)由题意可知,该工厂一天所生产的纪念品数为1003001504506001600.n n +++++=+现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个,其中A 种纪念品有40个,则400401600200n =+,解得400.n =(2)设所抽取的样本中有p 个精品型纪念品,则40051000p =,解得2,p =所以,容量为5的样本中,有2个精品型纪念品,3个普通型纪念品.因此,至少有1个精品型纪念品的概率为225325C C 7.C 10-=(3)由题意可得10119105x y ++++=,得20.x y +=由于总体的方差为2,则()()22101001125x y -+-+++=,可得22208,x y +=所以,4.x y -=。
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河南省郑州市2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题注意事项:本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
考试时间120分钟,满分150分。
考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效。
交卷时只交答题卡。
第I卷〖选择题,共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知i是虚数单位,则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.在某项测量中,测量结果,若在内取值的概率为0.3,则在(0,+∞)内取值的概率为()A. 0.2B. 0.4C. 0.8D. 0.93.有一段“三段论”,推理是这样的:对于可导函数,如果,那么是函数的极值点,因为在处的导数值,所以是函数的极值点.以上推理中()A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确4.函数y=x2- lnx的单调递减区间为()A. (-1,1)B. (0,1)C. (1,+∞);D. (0,+∞)5.已知具有线性相关关系的五个样本点A1(0,0),A2(2,2),A3(3,2),A4(4,2)A5(6,4),用最小二乘法得到回归直线方程l1:y=bx+a,过点A1,A2的直线方程l2:y=mx+n那么下列4个命题中(1) ;(2)直线过点; (3) ; (4) .(参考公式,)正确命题的个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.由曲线,直线及轴所围成的平面图形的面积为( ).A. B. 4 C. D. 67.已知直线y=x+1与曲线相切,则α的值为A. 1B. 2C. -1D. -28.从中任取个不同的数,事件为“取到的个数之和为偶数”,事件为“取到的个数均为偶数”,则等于A. B. C. D.9.已知函数f(x)=4x2+sin(+x),f ' (x)为f(x)的导函数,则f ' (x)的图象是()A. B. C. D.10.现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同),计划将其放在4个车库中(每个车库放2辆则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有()A. 144种B. 108种C. 72种D. 36种11.设a=sin1,b=2sin,c=3sin,则()A. c<a<bB. a<c<bC. a<b<cD. c<b<a12.已知函数f(x)是定义在R上的增函数,f(x)+2>f ' (x),f(0)=1,则不等式ln[f(x)+2]>ln3+x的解集为()A. (一∞,0)B. (0,+∞)C. (一∞,1)D. (1,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(每题5分,满分20)13.若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a o+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a(i=0,1, …,5)为实数,则a3=__________14.一次英语测验由50道选择题构成,每道题有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,每个选对得3分,选错或不选均不得分,满分150.某学生选对每一道题的概率均为0.7,则该生在这次测验中的成绩的期望是__________15.已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)在(0,4)上是减函数,则实数k的取值范围是____________16.如图所示,由直线x=a , x=a+1(a>0),y=x2及x轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形和大矩形的面积之间,即,类比之,恒成立,则实数A=___________三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.〉17.设实部为正数的复数z,满足|z|=,且复数(1+3i)z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.(I)求复数z(II)若复数+ m2(1 +i)-2i十2m -5为纯虚数,求实数m的值.18.已知(1+m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为128,展开式中含x项的系数为84,(I)求m,n的值(II)求(1+m)n (1-x)的展开式中有理项的系数和.19.已知某公司为郑州园博园生产某特许商品,该公司年固定成本为10万元,每生产千件需另投入2 .7万元,设该公司年内共生产该特许商品工x千件并全部销售完;每千件的销售收入为R(x)万元,且,(I)写出年利润W(万元〉关于该特许商品x(千件)的函数解析式;〔II〕年产量为多少千件时,该公司在该特许商品的生产中所获年利润最大?20.为了响应党的十九大所提出的教育教学改革,某校启动了数学教学方法的探索,学校将髙一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班,每班40人,甲班按原有传统模式教学,乙班实施自主学习模式.经过一年的教学实验,将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数,两个班学生的平均成绩均在[50,100],按照区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]进行分组,绘制成如下频率分布直方图,规定不低于80分(百分制)为优秀,,(I)完成表格,并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”〔Ⅱ)从乙班[70,80),[80,90),[90,100]分数段中,按分层抽样随机抽取7名学生座谈,从中选三位同学发言,记来自[80,90)发言的人数为随机变量x,求x的分布列和期望.21.已知数列{a n}的前n项和S n满足,且,(I)求a1,a2,a3;(II)猜想数列{a n}的通项公式,并用数学归纳法证明.22.已知函数f(x)= ln(a x)+bx在点(1,f(1))处的切线是y=0;(I)求函数f(x)的极值;(II)当恒成立时,求实数m的取值范围(e为自然对数的底数)河南省郑州市2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题参考答案注意事项:本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
考试时间120分钟,满分150分。
考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效。
交卷时只交答题卡。
第I卷〖选择题,共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知i是虚数单位,则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析:先将复数化为代数形式,再根据共轭复数的概念确定对应点,最后根据对应点坐标确定象限.详解:因为,所以所以,对应点为,对应象限为第一象限,选A.点睛:首先对于复数的四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如. 其次要熟悉复数相关基本概念,如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为2.在某项测量中,测量结果,若在内取值的概率为0.3,则在(0,+∞)内取值的概率为()A. 0.2B. 0.4C. 0.8D. 0.9【答案】C【解析】分析:先根据正态分布得在内取值的概率,再利用在(0,+∞)内取值的概率等于在内取值的概率与0.5的和求结果.详解:因为,在内取值的概率为0.3,所以在内取值的概率为0.3,所以在(0,+∞)内取值的概率等于在内取值的概率与0.5的和,为0.8,选C.点睛:利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,及曲线与x轴之间的面积为1.3.有一段“三段论”,推理是这样的:对于可导函数,如果,那么是函数的极值点,因为在处的导数值,所以是函数的极值点.以上推理中()A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】A【解析】试题分析:在使用三段论推理证明中,如果命题是错误的,则可能是“大前提”错误,也可能是“小前提”错误,也可能是推理形式错误,我们分析的其大前提的形式:“对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点”,不难得到结论.解:∵大前提是:“对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点”,不是真命题,因为对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,且满足当x>x0时和当x<x0时的导函数值异号时,那么x=x0是函数f(x)的极值点,∴大前提错误故选A考点:演绎推理点评:本题考查的知识点是演绎推理的基本方法,演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论必定是真实的,但错误的前提可能导致错误的结论4.函数y=x2- lnx的单调递减区间为()A. (-1,1)B. (0,1)C. (1,+∞);D. (0,+∞)【答案】B【解析】分析:先求导数,再求导数小于零的解集得结果.详解:因为,所以因此单调递减区间为(0,1),选B.点睛:求函数的单调区间或存在单调区间,常常通过求导,转化为解方程或不等式,常用到分类讨论思想.5.已知具有线性相关关系的五个样本点A1(0,0),A2(2,2),A3(3,2),A4(4,2)A5(6,4),用最小二乘法得到回归直线方程l1:y=bx+a,过点A1,A2的直线方程l2:y=mx+n那么下列4个命题中(1) ;(2)直线过点; (3) ; (4) .(参考公式,)正确命题的个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】分析:先求均值,再代公式求b,a,再根据最小二乘法定义判断命题真假.详解:因为,所以直线过点;因为,所以因为,所以,因为过点A1,A2的直线方程,所以,即;根据最小二乘法定义得; (4) .因此只有(1)(2)正确,选B.点睛:函数关系是一种确定的关系,相关关系是一种非确定的关系.事实上,函数关系是两个非随机变量的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关,则直接根据用公式求,写出回归方程,回归直线方程恒过点.6.由曲线,直线及轴所围成的平面图形的面积为( ).A. B. 4 C. D. 6【答案】C【解析】解析:作出曲线,直线y=x-2的草图(如图所示),所求面积为阴影部分的面积.由得交点A(4,2).因此与y=x-2及y轴所围成的图形的面积为:.本题选择C选项.点睛:利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤:(1)画出图形;(2)确定被积函数;(3)确定积分的上、下限,并求出交点坐标;(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.7.已知直线y=x+1与曲线相切,则α的值为A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】B【解析】设切点,则,又,故答案选B。