待定系数法求二次函数解析式

合集下载

用待定系数法求二次函数解析式的几种方法

用待定系数法求二次函数解析式的几种方法

用待定系数法求二次函数解析式的几种方法二次函数解析式是高中数学中最基本的概念,其表示的是简单的直线、抛物线或是曲线的方程。

它的复杂性使得学生更易于弄清楚,并且在数学知识的建立上也有较大的作用。

本文将介绍用待定系数法求二次函数解析式的几种方法。

首先,用待定系数法求二次函数解析式也称为求因式分解法,是一种求解二次函数解析式的有效方法。

它所给出的解析式可以使用此解析式求解函数的最大值、最小值以及极值点,有助于研究函数的拓展和深入分析。

求解二次函数解析式的待定系数法通常包括以下几个步骤:首先,将二次函数解析式以下式形式表达:ax + bx + c = 0;其次,求解ax + bx + c的系数a、b、c的解,即a、b、c的值,这样就可以得到完整的二次函数解析式;最后,根据完整的二次函数解析式,可以进行函数曲线的画法,以便对函数特征进行更深入的分析。

这种求解二次函数解析式的待定系数法还可以用来求二次不等式的解。

这些不等式的解也可以用上述的方法求出,只需将其表示成ax + bx + c 不等式的形式,并根据所给的条件来解系数a、b、c,从而得到最终的不等式解。

此外,学生也可以使用特殊的因式分解法,通过将二次函数解析式表示成ax+bx+c=f(x)形式,通过求出形式系数a、b、c来求解因式分解法。

这种方法可以用来求解多项式方程,从而得到多项式函数的解析式。

在求解二次函数时,还有一种简便而又实用的方法,即通过图表的方法,根据函数图象的特点求出函数的解析式,从而更加简单、快捷地求解二次函数。

通过以上介绍,用待定系数法求二次函数解析式的几种方法已经清楚地展示出来。

由此可见,求解二次函数解析式使用待定系数法可以得到准确、完整的解析式,从而有助于学生更好地理解函数的拓展及应用,进而深入认识数学知识,受益匪浅。

第7讲 待定系数法求二次函数的解析式(基础课程讲义例题练习含答案)

第7讲 待定系数法求二次函数的解析式(基础课程讲义例题练习含答案)

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(基础)【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式;2. 经历探索由已知条件特点,灵活选择二次函数三种形式的过程,正确求出二次函数的解析式,二次函数三种形式是可以互相转化的.【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 :(1)一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,a ≠0); (2)顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,a ≠0);(3)交点式:12()()y a x x x x =--(1x ,2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标,a ≠0). 2.确定二次函数解析式常用待定系数法,用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步,设:先设出二次函数的解析式,如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+,或12()()y a x x x x =--,其中a ≠0;第二步,代:根据题中所给条件,代入二次函数的解析式中,得到关于解析式中待定系数的方程(组); 第三步,解:解此方程或方程组,求待定系数; 第四步,还原:将求出的待定系数还原到解析式中. 要点诠释:在设函数的解析式时,一定要根据题中所给条件选择合适的形式:①当已知抛物线上的三点坐标时,可设函数的解析式为2y ax bx c =++;②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时.可设函数的解析式为2()y a x h k =-+;③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1,0),(x 2,0)时,可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--.【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1.已知二次函数的图象过(-1,-9)、(1,-3)和(3,-5)三点,求此二次函数的解析式. 【答案与解析】本题已知三点求解析式,可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c(a ≠0),由题意得:⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=+-53939c b a c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=531c b a∴所求的二次函数的解析式为y=-x 2+3x-5.【总结升华】若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式:y=ax 2+bx+c (a ≠0). 举一反三:【变式】(秋•岳池县期末)已知二次函数图象过点O (0,0)、A (1,3)、B (﹣2,6),求函数的解析式和对称轴.【答案与解析】解:设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ,把O (0,0)、A (1,3)、B (﹣2,6)各点代入上式得解得,∴抛物线解析式为y=2x 2+x ; ∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣.2.(•巴中模拟)已知抛物线的顶点坐标为M (1,﹣2),且经过点N (2,3),求此二次函数的解析式.【答案与解析】解:已知抛物线的顶点坐标为M (1,﹣2), 设此二次函数的解析式为y=a (x ﹣1)2﹣2, 把点(2,3)代入解析式,得: a ﹣2=3,即a=5,∴此函数的解析式为y=5(x ﹣1)2﹣2. 【总结升华】本题已知顶点,可设顶点式. 举一反三:【变式】在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为(14)A -,,且过点(30)B ,.(1)求该二次函数的解析式;(2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.【答案】(1)223y x x =--.(2)令0y =,得2230x x --=,解方程,得13x =,21x =-.∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30),和(10)-,. ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点.平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40),. 3.(•丹阳市校级模拟)抛物线的图象如图,则它的函数表达式是 .当x时,y >0.【思路点拨】观察可知抛物线的图象经过(1,0),(3,0),(0,3),可设交点式用待定系数法得到二次函数的解析式.y >0时,求x 的取值范围,即求抛物线落在x 轴上方时所对应的x 的值. 【答案】y=x 2﹣4x +3.x <1,或x >3 【解析】解:观察可知抛物线的图象经过(1,0),(3,0),(0,3), 由“交点式”,得抛物线解析式为y=a (x ﹣1)(x ﹣3), 将(0,3)代入, 3=a (0﹣1)(0﹣3), 解得a=1.故函数表达式为y=x 2﹣4x +3.由图可知当x <1,或x >3时,y >0.【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x 轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.类型二、用待定系数法解题4.已知抛物线经过(3,5),A(4,0),B(-2,0),且与y 轴交于点C .(1)求二次函数解析式; (2)求△ABC 的面积. 【答案与解析】(1)设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-(a ≠0),将(3,5)代入得5(32)(34)a =+-,∴ 1a =-.∴ (2)(4)y x x =-+-. 即228y x x =-++.(2)由(1)知C(0,8), ∴ 1(42)8242ABC S =+⨯=△. 【总结升华】此题容易误将(3,5)当成抛物线顶点.将抛物线解析式设成顶点式.待定系数法求二次函数的解析式—巩固练习(基础)【巩固练习】一、选择题1. (•厦门校级模拟)已知一条抛物线经过E (0,10),F (2,2),G (4,2),H (3,1)四点,选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为( ) A .E ,F B .E ,G C .E ,H D .F ,G 2.二次函数225y x x =+-有( )A .最小值-5B .最大值-5C .最小值-6D .最大值-63.把抛物线y=3x 2先向上平移2个单位再向右平移3个单位,所得的抛物线是( )A . y=3(x -3)2+2B .y=3(x+3)2+2C .y=3(x -3)2-2D . y=3(x+3)2-24.如图所示,已知抛物线y =2x bx c ++的对称轴为x =2,点A ,B 均在抛物线上,且AB 与x 轴平行,其中点A 的坐标为(0,3),则点B 的坐标为 ( )A.(2,3)B.(3,2)C.(3,3)D.(4,3)5.将函数2y x x =+的图象向右平移a(a >0)个单位,得到函数232y x x =-+的图象,则a 的值为( )A .1B .2C .3D .46.若二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表:x -7 -6 -5 -4 -3 -2 Y-27-13-3353则当x =1时,y 的值为 ( )A .5B .-3C .-13D .-27二、填空题7.抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示,则此抛物线的解析式为____ ____.第7题 第10题8.(•河南)已知A (0,3),B (2,3)是抛物线y=﹣x 2+bx +c 上两点,该抛物线的顶点坐标是 .9.已知抛物线222y x x =-++.该抛物线的对称轴是________,顶点坐标________;10.如图所示已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点(-1,0),(1,-2),当y 随x 的增大而增大时,x 的取值范围是____ ____.11.已知二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表:x (3)2- -1 12- 0 12 1 32 … y…54- -294- -254- 074…则该二次函数的解析式为_____ ___.12.已知抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为(3,-2),且与x 轴两交点间的距离为4,则抛物线的解析式为___ _____.三、解答题13.根据下列条件,分别求出对应的二次函数解析式. (1)已知抛物线的顶点是(1,2),且过点(2,3);(2)已知二次函数的图象经过(1,-1),(0,1),(-1,13)三点; (3)已知抛物线与x 轴交于点(1,0),(3,0),且图象过点(0,-3).14.如图,已知直线y =-2x+2分别与x 轴、y 轴交于点A ,B ,以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ,∠BAC =90°,求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式.15.(•齐齐哈尔)如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC 的边长为4,顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴,抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过B 、C 两点,点D 为抛物线的顶点,连接AC 、BD 、CD . (1)求此抛物线的解析式.(2)求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积.【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C .【解析】∵F (2,2),G (4,2), ∴F 和G 点为抛物线上的对称点, ∴抛物线的对称轴为直线x=3, ∴H (3,1)点为抛物线的顶点,设抛物线的解析式为y=a (x ﹣3)2+1, 把E (0,10)代入得9a +1=10,解得a=1, ∴抛物线的解析式为y=(x ﹣3)2+1.2.【答案】C ;【解析】首先将一般式通过配方化成顶点式,即2225216y x x x x =+-=++-2(1)6x =+-,∵ a =1>0,∴ x =-1时,6y =-最小. 3.【答案】A ; 4.【答案】D ;【解析】∵ 点A ,B 均在抛物线上,且AB 与x 轴平行, ∴ 点A 与点B 关于对称轴x =2对称, 又∵ A(0,3),∴ AB =4,y B =y A =3, ∴ 点B 的坐标为(4,3). 5.【答案】B ;【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移,2y x x =+的顶点坐标是11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭,232y x x =-+的顶点坐标是31,24⎛⎫-⎪⎝⎭,∴ 移动的距离31222a ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.6.【答案】D ;【解析】此题如果先用待定系数法求出二次函数解析式,再将x =1代入求函数值,显然太繁,而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题.观察表格中的函数值,可发现,当x =-4和x =-2时,函数值均为3,由此可知对称轴为x =-3,再由对称性可知x =1的函数值必和x =-7的函数值相等,而x =-7时y =-27.∴ x =1时,y =-27. 二、填空题7.【答案】223y x x =-++;【解析】由图象知抛物线与x 轴两交点为(3,0),(-1,0),则(1)(3)y x x =-+-. 8.【答案】(1,4). 【解析】∵A (0,3),B (2,3)是抛物线y=﹣x 2+bx +c 上两点,∴代入得:,解得:b=2,c=3, ∴y=﹣x 2+2x +3 =﹣(x ﹣1)2+4, 顶点坐标为(1,4), 故答案为:(1,4). 9.【答案】(1)x =1;(1,3);【解析】代入对称轴公式2b x a =-和顶点公式24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭即可.10.【答案】12x ≥; 【解析】将(-1,0),(1,-2)代入2y x bx c =++中得b =-1, ∴ 对称轴为12x =,在对称轴的右侧,即12x ≥时,y 随x 的增大而增大. 11.【答案】22y x x =+-;【解析】此题以表格的形式给出x 、y 的一些对应值.要认真分析表格中的每一对x 、y 值,从中选出较简单的三对x 、y 的值即为(-1,-2),(0,-2),(1,0),再设一般式2y ax bx c =++, 用待定系数法求解.设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0),由表知2,2,0.a b c c a b c -+=-⎧⎪=-⎨⎪++=⎩ 解得1,1,2.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴ 二次函数解析式为22y x x =+-. 12.【答案】21(3)22y x =--; 【解析】由题意知抛物线过点(1,0)和(5,0). 三、解答题13.【答案与解析】(1)∵ 顶点是(1,2),∴ 设2(1)2y a x =-+(a ≠0).又∵ 过点(2,3),∴ 2(21)23a -+=,∴ a =1. ∴ 2(1)2y x =-+,即223y x x =-+. (2)设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0).由函数图象过三点(1,-1),(0,1),(-1,13)得1,1,13,a b c c a b c ++=-⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得5,7, 1.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求的函数解析式为2571y x x =-+.(3)由抛物线与x 轴交于点(1,0),(3,0),∴ 设y =a(x-1)(x-3)(a ≠0),又∵ 过点(0,-3), ∴ a(0-1)(0-3)=-3,∴ a =-1,∴ y =-(x-1)(x-3),即243y x x =-+-.14.【答案与解析】过C 点作CD ⊥x 轴于D .在y =-2x+2中,分别令y =0,x =0,得点A 的坐标为(1,0),点B 的坐标为(0,2). 由AB =AC ,∠BAC =90°,得△BAO ≌△ACD , ∴ AD =OB =2,CD =AO =1, ∴ C 点的坐标为(3,1).设所求抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠,则有0,9312,a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩,解得5,61762.a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩,∴ 所求抛物线的解析式为2517266y x x =-+.(15.【答案与解析】 解:(1)由已知得:C (0,4),B (4,4),把B 与C 坐标代入y=﹣x 2+bx+c 得:,解得:b=2,c=4,则解析式为y=﹣x 2+2x+4;(2)∵y=﹣x 2+2x+4=﹣(x ﹣2)2+6,∴抛物线顶点坐标为(2,6),则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12.。

用待定系数法求二次函数表达式的三种形式

用待定系数法求二次函数表达式的三种形式
出该函数表达式。
例题1 已知抛物线过点(1,0)(3,-2)(5,0), 求该抛物线所对应函数的表达式。
例题2 抛物线对称轴为直线x=-1,最高点的纵坐标为4, 且与x 轴两交点之间的距离是6,求次二次函x1 数的解 析式。
巩固练习
• 1.已知抛物线与x轴的两交点为(-1,0)和(3, 0),且过点(2,-3).求抛物线的解析式.
待定系数法求二次函数表达式常见 的三种形式 :
一般式 • 1.
:y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,且a≠0)
• 2.顶点式:y=a(x+h)²+k
(a 0)顶点坐标( h, k)
• 3.交点式: y a(x x1)(x x2 )
一、一般式 y ax2 bx c(a )
已知二次函数 y ax2 bx c 图象过某三
14.已知二次函数y=x²+2(n+3)x+16的顶点在坐标 轴上,求该二次函数表达式。
15.已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为P(2,-1), 图象与x轴交于A,B两点。若△PAB的x1 面积为6, 求该抛物线所对应函数的解析式。
•谢谢
14
பைடு நூலகம்
• 3.二次函数y=ax²+bx+c,x=6时,y=0;x=4时, y有最大值为8,求此函数的解析式。
• 4.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最大值是 2,图象经过点(-2,4)且顶点在直线y=-2x上, 试求ab+c的值
三、交点式 y a(x x1)(x x2 )
已知二次函数图象与x轴两交点坐标分别为 (x1,0),(x2,0) 通常选用交点式,再根据其他即可解出a值,从而求

用待定系数法确定二次函数解析式

用待定系数法确定二次函数解析式
一、用待定系数法确定函数解析式的基本方法分四步 完成:一设、二代、三解、四还原。 一设:指先设出二次函数的解析式 二代:指根据题中所给条件,代入二次函数的 解析式,得到关于待定系数的方程或方程组。 三解:指解此方程或方程组 四还原:指将求出的待定系数的值还原回原解析式中
二、求二次函数的解析式 (1)关键是求出待定系数的值. (2)设解析式的形式:解(1)∵图象顶点为(1,-6),
∴设其解析式为 y=a(x-1)2-6.
∵图象经过点(2,-8),
∴-8=a(2-1)2-6.∴a=-2.
∴函数解析式为 y=-2(x-1)2-6.
例3拓展应用:抛物线 y=ax2+bx+c经过A(-2,-4),
O(0,0),B(2,0)三点 (1)求抛物线 y=ax2+bx+c的解析式。 (2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的 最小值。 y
-2
O。 B 。 x
。 M 。
A。
-4
x=1
。 A1 (4,-4)
【变式训练】
1.二次函数y x 2 bx c的图象的最低点为( - 1,3),
此函数解析式 _____________ 2.抛物线 y=-x2+bx+c 的图象如图 所示, 求此抛物线的解析式。 3.已知二次函数 y=ax2+bx+c 中的 x,y 满足下表:
当已知抛物线上三个点时,设一般式
例1 二次函数的图象经过点A(1,3) ,B(0,3) ,C(-1,1)三点 求此函数的解析式;
解:设所求函数关系式为 y=ax2+bx+c,
∵图象经过点 A(1,3), B(0,3), C(-1,1),
c=3, ∴a+b+c=3, a-b+c=1. a=-1, 解得b=1, c=3.

用待定系数法求二次函数解析式(专题复习)

用待定系数法求二次函数解析式(专题复习)
y= -1(x+1)(x-3) = -x2+2x+3
知识回顾 Knowledge Review
放映结束 感谢各位的批评指导!
谢 谢!
让我们共同进步
3.交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 知道抛物线与x轴的两个交点的坐
标,或一个交点的坐标及对称轴方程或顶 点的横坐标时选用两根式比较简便. (1)当△=b2- 4ac≥0 ,抛物线与x轴相交
y=ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) △=b2- 4ac>0 ,交点有两个, 分别是: (x1, 0)和(x2, 0) △=b2- 4ac =0,交点只有一个 即顶点[-b/2a,(4ac-b2)/4a] △=b2- 4ac <0 ,无交点
解:设二次函数解析式为y=ax2+bx+c ∵ 图象过B(0,2) ∴ c=2 ∴ y=ax2+bx+2 ∵ 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点 ∴ -4=4a+2b+2
2=a-b+2 解得 a=-1,b=-1 ∴ 函数的解析式为:
y=-x2-x+2
2. 顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)已知对称轴
y=a(x-1)2+4 ∵抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1
∴ 函数的解析式为: y= -1(x-1)2+4= -x2+2x+3
解法3:(交点式) 由题意可知两根为x1=-1、x2=3 设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2) 则有: y=a(x+1)(x-3) ∵ 函数图象过点(1,4) ∴ 4 =a(1+1)(1-3) 得 a= -1 ∴ 函数的解析式为:

二次函数待定系数法求函数解析式

二次函数待定系数法求函数解析式

二次函数待定系数法求函数解析式精心整理专题训练:求二次函数的解析式一、已知三点求解析式1.经过三点(-1,-22),(1,-8),(2,8)的二次函数为抛物线,其开口方向向上,对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-14)。

解析式为y = 2x^2 - 4x - 16.2.经过三点(0,0),(-1,-1),(1,9)的二次函数为抛物线,解析式为y = 4x^2 - 4x。

3.经过三点(-1,-6),(1,-2),(2,3)的二次函数为抛物线,其开口方向向上,对称轴为x=0,顶点坐标为(0,-1)。

解析式为y = x^2 - x - 5.4.经过三点(1,a),(2,b),(3,4)的二次函数为抛物线,解析式为y = -3x^2 + 18x - 15.5.经过两点(-1,10),(2,7)且3a+2b=16的二次函数为抛物线,解析式为y = -x^2 + 4x +6.6.经过两点(a,b)和(12,b)且顶点纵坐标为3的二次函数为抛物线,解析式为y = -1/36(x-a)^2 + b + 3.7.经过两点(-3,c)和(0,3)的二次函数为抛物线,其顶点为M(-3,c+1),对称轴为x=-3,解析式为y = -x^2 + 6x + c。

8.经过三点A(-1,0),B(0,-1),C(1,2)的二次函数为抛物线,解析式为y = x^2 - x - 1.9.经过三点(-1,-2),(0,-1),(1,0)的二次函数为抛物线,解析式为y = x^2 - x - 2.10.抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OC=3,解析式为y = -1/2x^2 + 3.11.经过点A(-1,4),(1,4)的二次函数为抛物线,解析式为y = x^2 - 4.12.经过三点(1,0),(-1,0),(0,-3)的二次函数为抛物线,其顶点为(0,-3)且对称轴为y=-3,解析式为y = -x^2 - 3.13.经过三点(-1,3),(3,-1),(4,3)的二次函数为抛物线,其开口方向向下,对称轴为x=3,顶点坐标为(3,2)。

14待定系数法求二次函数解析式(讲+练)【7种题型】

14待定系数法求二次函数解析式(讲+练)【7种题型】

22.1.5待定系数法求二次函数解析式 二次函数解析式常见有以下几种形式 : (1)一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,a ≠0);(2)顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,a ≠0);(3)交点式:12()()y a x x x x =--(1x ,2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标,a ≠0).题型1:一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知1.若抛物线y =x 2+bx +c 的对称轴为y 轴,且点P (2,6)在该抛物线上,则c 的值为( ) A .﹣2B .0C .2D .4题型2:一般式求二次函数解析式-a 、b 、c 未知2.二次函数y =ax 2+bx+c (a≠0)的图象过点A (﹣1,8)、B (2,﹣1),与y 轴交于点C (0,3),求二次函数的表达式.题型3:顶点式求二次函数解析式3.已知抛物线的顶点是A(2,﹣3),且交y 轴于点B(0,5),求此抛物线的解析式.【变式3-2】已知如图,抛物线的顶点D的坐标为(1,-4),且与y轴交于点C(0,-3).(1)求该函数的关系式;(2)求该抛物线与x轴的交点A,B的坐标.题型4:交点式求二次函数解析式4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,求这个二次函数的解析式.题型5:综合-待定系数法与二次函数的性质5.已知:二次函数的图象经过点A(−1,0),B(0,−3)和C(3,12).(1)求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标;(2)设点M(x1,y1),N(1,y2)在该抛物线上,若y1≤y2,直接写出x1的取值范围.题型6:综合-待定系数法求最短距离6.如图,已知抛物线y=1a(x−2)(x+a)(a>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.(1)若抛物线过点M(﹣2,﹣2),求实数a的值;(2)在(1)的条件下,解答下列问题;①求出△BCE的面积;②在抛物线的对称轴上找一点H,使CH+EH的值最小,直接写出点H的坐标.【变式6-1】如图,抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是x=2.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使△PAB的周长最小?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.题型7:综合-三角形面积7.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛线y=ax2+bx+2过B(-2,6),C(2,2)两点。

九年级数学待定系数法求二次函数的解析式

九年级数学待定系数法求二次函数的解析式
X -7 -6 -5 -4 -3 -2
y -27 -13 -3 3 5 3
则当x=1时,y的值为 A.5 B.-3 C.-13 D.-27
5. 已知二次函数中,其函数与自变量之间 的部分对应值如下表所示:

x …0 1 2 3 4 …
y …4 1 0 1 4 …
点A(x1,y1)、B(x2,y2)在函数的图象上,
部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程
x2 2x k 0 的一个解x1 3,另一个
解 x2 ;
y
O1 3
x
(第15题图)
22.1.4二次函数 y=ax2+bx+c的图象
8 6 4 2
-4 -2
24
1.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上 直线x=-3 (-3,5)
y 1 (x 4)2 4 2
x
如何平移:
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 1)2 2 4
y 3 (x 3)2 3 4
y 3 (x 5)2 2 4
发展性训练
1.由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移 变换,可以得到y=3x2的图像.
右移2单位,下移4单位
2.把函数y=x2-2x的图像向右平移2个单 位,再向下平移3个单位所得图像对应 的函数解析式为
(1)请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析 式:
伴随抛物线的解析式: y=-2x2+1 。
伴随直线的解析式: y=-2x+1 。
(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y= -x2-3和y= -

用待定系数法求二次函数解析式

用待定系数法求二次函数解析式
1 5 , x 2 所以可以 2
复习
判断下列问题适合设哪种函数表达式? y=a(x-x1)(x-x2) 1、已知:二次函数过A(-1,6), B(1,4),C(0,2);求函数的 y=ax2 解析式. 2、已知抛物线的顶点为(-1,-3)与y轴 交于点(0,-5). 求抛物线的解析式。
3、已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、 B (1,0),且过点M(0,1);求抛物 线的解析式. 4、已知抛物线的顶点坐标为(0,3),与x 轴的一个交点是(-3,0);求抛物线的 解析式. 5、已知抛物线经过(0,0)和(2,1)两 点,且关于y轴对称,求抛物线的解析式.
o x
2、对称轴:x=h
(h,k)

X=h
设函数解析式(顶点式)为:y=a(x-h)2+k
y
图象性质:
o

x
抛物线经过原点
设函数解析式为:y=ax2+bx
y
x1

o
x2
图象性质:抛物线与x轴交 于两点(x1,0)(x2,o) x
设函数解析式(交点式)为:y=a(x-x1)(x-x2)
例:已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、 B(1,0)、C(-1,2);求它的关系式.
y
图象性质:1、对称轴是y轴 2、顶点坐标是原点
o
x
设函数解析式为:y=ax2
y
图象性质:1、对称轴是y轴
2、顶点在y轴上(除原点外)
o x
设函数解析式为:y=ax2+k
y
图象性质:1、对称轴是x=h

2、顶点在x轴上
x
o
X=h
设函数解析式为:y=a(x-h)2
y

待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程(解析版)-初中数学暑假自学课讲义(9年级人教版)

待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程(解析版)-初中数学暑假自学课讲义(9年级人教版)

第09讲待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程【人教版】·模块一用待定系数法求二次函数解析式·模块二二次函数与一元二次方程·模块三课后作业用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式:y=ax²+bx+c,已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式;(2)顶点式:y=a(x-h)²+k,已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式;(3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:y=a(x-x1)(x-x2).【考点1用“一般式”求二次函数解析式】【例1.1】已知点A(1,2)、B(2,3)、C(2,1),那么抛物线=B2+B+1可以经过的点是()A.点A、B、C B.点A、B C.点A、C D.点B、C【答案】C【分析】先把o1,2),o2,1)代入抛物线的解析式,求解抛物线的解析式为:=−2+ 2+1,再判断不在抛物线上,从而可得答案.【详解】解:把o1,2),o2,1)代入抛物线的解析式,∴{++1=24+2+1=1即:{+=12+=0解得:{=−1=2,∴抛物线为:=−2+2+1,当=2时,=−4+4+1=1≠3,∴o2,3)不在抛物线=−2+2+1上,∴抛物线=B2+B+1可以经过的点是s u故选:u【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式,抛物线上点的坐标特点,掌握以上知识是解题的关键.【例1.2】二次函数=B 2+B +自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表.x …−10123…y…105212…则当=5时,y 的值为()A .2B .1C .5D .10【答案】D【分析】先任选三组数据,利用待定系数法求出二次函数解析式,再计算当=5时的函数值.【详解】由表可知,二次函数y =B 2+B +o ≠0)的图象经过0,5,1,2,2,1,则=5++=24+2+=1,解得:=1=−4=5,∴二次函数解析式为:=2−4+5当=5时,函数值=2−4+5=52−4×5+5=10.故选:D【点睛】本题考查二次函数,解题的关键是熟练运用待定系数法求二次函数解析式.【例1.3】已知抛物线=B 2+B +≠0经过点(2,),(3,),(4,2),那么++的值是()A .2B .3C .4D .【答案】A【分析】把点(2,),(3,),(4,2)代入抛物线,解三元一次方程组即可求解.【详解】解:∵抛物线=B 2+B +≠0经过点(2,),(3,),(4,2),∴4+2+=9+3+=16+4+=2,解得,=1−12=52−5=6−2,∴++=1−12+52−5+6−2=2,故选:A .【点睛】本题主要考查二次函数与三元一次方程组的综合,掌握二次函数的代入法,解三元一次方程组的方法是解题的关键.【变式1.1】已知:二次函数=B 2+B +的图象经过点−1,0、3,0和0,3,当=2时,y 的值为__________.【答案】3【分析】根据题意可得交点式=−3+1,然后把0,3代入求出a 值,即可求出二次函数表达式.【详解】解:∵二次函数=B 2+B +的图象经过点−1,0、3,0∴抛物线的解析式为=−3+1,把0,3代入得:−3=3,解得:=−1,∴函数的解析式为=−−3+1,即=−2+2+3,∴当=2时,=−22+2×2+3=3,故答案为:3.【点睛】本题考查了求二次函数解析式,熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键.【变式1.2】二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为()A .=2+2−3B .=2−2−3C .=−2+2−3D .=−2−2+3【答案】B【分析】根据题意,由函数图像的对称轴及与x 轴的一个交点,则可以知道函数与x 轴的另一个交点,再根据待定系数法求解函数解析式即可.【详解】根据题意,二次函数对称轴为=1,与x 轴的一个交点为(−1,0),则函数与x 轴的另一个交点为(3,0),故设二次函数的表达式为=B 2+B +,函数另外两点坐标(−1,0),(1,−4)可得方程组0=9+3+0=−+−4=++,解得方程组得=1=−2=−3,所以二次函数表达式为=2−2−3.故答案为B.【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法和二次函数的对称轴的问题,同时考查学生解方程组的知识,是比较常见的题目.【变式1.3】已知二次函数=B2+B+(a,b,c为常数)的部分取值如下表,该二次函数图象上有三点−4,1,−2,2,2,3,则1,2,3的大小关系是()x-5-11y151A.1<2<3B.1<3<2C.3<1<2D.2<1<3【答案】C【分析】先根据表格数据,用待定系数法求出二次函数解析式,再把−4,1,−2,2,2,3,分别代入二次函数解板式,求出1,2,3的值,即可求解.【详解】解:把当=−5,=1,当=−1,=5,当=1,=1,代入=B2+B+,得25−5+=1−+=5++=1,解得:=−12=−2 =72,∴=−122−2+72,把−4,1,−2,2,2,3,分别代入=−122−2+72,得1=−12×−42−2×−4+72=72,2=−12×−22−2×−2+72=32,3=−12×22−2×2+72=−52,∴3<1<2,故选:C.【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征,熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键.【考点2用“顶点式”求二次函数解析式】【例2.1】已知,二次函数的图像过点(1,18),顶点是(−1,−2),则此二次函数的表达式是().A.=52+10+3B.=52+10−2C.=52+10+7D.=52−10−3【答案】A【分析】设二次函数的解析式为=−ℎ2+,顶点是(−1,−2),则=+12−2,把(1,18)代入,即18=1+12−2,=5,那么=5+12−2=52+10+3.【详解】根据题意设二次函数的解析式为=+12−2,把(1,18)代入,即18=1+12−2,=5,那么=5+12−2=52+10+3,故选:A.【点睛】本题主要考查是二次函数的顶点式、一般式等知识内容,熟练掌握二次函数的顶点式y=a x−h2+k,顶点是(h,k)是解题的关键.【例2.2】已知一个二次函数的图象经过点(2,2),顶点为(−1,−1),将该函数图象向右平移,当他再次经过点(2,2)时,所得抛物线表达式为()A.=−13(−5)2+1B.=13(−5)2−1C.=−13(+4)2−10D.=3(−7)2−1【答案】B【分析】根据题意,求出平移距离,即可求出平移后抛物线的顶点坐标,设平移后,二次函数的解析式为=o−5)2−1,将(2,2)代入即可求出结论.【详解】解:由题意可知:平移前,点(2,2)关于抛物线的对称轴直线x=-1的对称点为(-4,2)向右平移后,点(-4,2)平移到(2,2)∴抛物线向右平移了2-(-4)=6个单位长度∴平移后抛物线的顶点坐标为(5,-1)设平移后,二次函数的解析式为=o−5)2−1将(2,2)代入,得2=o2−5)2−1解得:a=13∴平移后,二次函数的解析式为=13(−5)2−1故选B.【点睛】此题考查的是抛物线的平移和求抛物线解析式,根据题意求出平移距离是解题关键.【例2.3】已知二次函数图象的对称轴是直线=2,函数的最小值为3,且图象经过点−1,5,则此二次函数的解析式是_____.【答案】=292−89+359【分析】由题意可知二次函数的图象的顶点坐标为2,3,所以设其解析式为“顶点式”,再代入点−1,5,即可求出解析式.【详解】根据题意,设二次函数的解析式为=−22+3,将点−1,5代入得,5=−1−22+3,整理得:9=2,解得:=29−22+3=292−89+359,∴二次函数的解析式为:=故答案为:=292−89+359.【点睛】本题考查二次函数的解析式,解题的关键是理解题意,设出解析式的“顶点式”.【变式2.1】某二次函数的图象与函数y=12x2﹣4x+3的图象形状相同、开口方向一致,且顶点坐标为(﹣2,1),则该二次函数表达式为()A.y=12(x﹣2)2+1B.y=12(x﹣2)2﹣1C.y=12(x+2)2+1D.y=﹣12(x+2)2+1【答案】C【分析】设二次函数的解析式为=o−ℎ)2+o≠0),根据顶点坐标为(﹣2,1)以及与函数y=12x2﹣4x+3的图象形状相同、开口方向一致,可确定函数的解析式.【详解】解:设二次函数的解析式为=o−ℎ)2+o≠0),∵二次函数的图像顶点坐标为(﹣2,1),∴二次函数的解析式为=o+2)2+1,∵二次函数的图象与函数y=12x2﹣4x+3的图象形状相同、开口方向一致,∴二次函数的解析式为:=12(+2)2+1,故选:C.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,读懂题意,熟练掌握二次函数的几种形式是解本题的关键.【变式2.2】一个二次函数的图象的顶点坐标是2,−3,与y轴的交点是0,5,这个二次函数的解析式是()A.=22−4+11B.=22−4+5C.=22−8+5D.=22+8+5【答案】C【分析】根据顶点坐标,可设二次函数解析式为=−22−3,然后将0,5代入解析式中,求出a的值,并将顶点式化为一般式即可得出结论.【详解】解:根据题意,设二次函数解析式为=−22−3,将0,5代入=−22−3中,得5=0−22−3解得:a=2∴二次函数解析式为=2−22−3=22−8+5故选C.【点睛】此题考查的是求二次函数解析式,掌握利用待定系数法求二次函数解析式是解题关键.【变式2.3】二次函数与y轴的交点到原点的距离为8,它的顶点坐标为(−1,2),那么它的解析式为_________.【答案】=6(+1)2+2或=−10(+1)2+2【分析】根据二次函数的顶点坐标设出顶点式,然后根据二次函数与y轴的交点到原点的距离为8,得出二次函数经过(0,8)或(0,−8),分别代入求解即可.【详解】解:∵二次函数的顶点坐标为(−1,2),∴设二次函数解析式为=o+1)2+2,∵二次函数与y轴的交点到原点的距离为8,∴二次函数经过(0,8)或(0,−8),∴8=+2或−8=+2,解得:=6或=−10,∴二次函数的解析式为=6(+1)2+2或=−10(+1)2+2,故答案为:=6(+1)2+2或=−10(+1)2+2.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,熟练掌握二次函数的几种形式是解本题的关键.【考点3用“交点式”求二次函数解析式】【例3.1】已知抛物线与轴交点的横坐标为−3和2,且过点(1,−8),它对应的函数解析式为()A.=2+−6B.=−2−+6C.=−22−2+12D.=22+ 2−12【答案】D【分析】设函数解析式为=o+3)(−2),将点(1,−8)代入即可求得a的值,可得结果.【详解】解:设抛物线函数解析式为:=o+3)(−2),∵抛物线经过点(1,−8),∴−8=o1+3)(1−2),解得:=2,∴抛物线解析式为:=2(+3)(−2),整理得:=22+2−12,故选:D.【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式,设出二次函数的交点式是解题的关键.【例3.2】二次函数图象如图所示,则其解析式是()A.=−432+83+4B.=432+83+4C.=−432−83+4D.=−432+83+3【答案】A【分析】设=o+1)(−3),把(0,4)代入求出a的值,即可得出结论.【详解】设=o+1)(−3),把(0,4)代入得:4=-3a,解得:=−43,∴=−43(+1)(−3),整理得:=−432+83+4.故选A.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式.在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.【变式3.1】已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3),则该抛物线的解析式为__________.【答案】y=﹣x2﹣2x+3【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标,则可设交点式y=a(x+3)(x-1),然后把C 点坐标代入求出a的值即可.【详解】设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-1),把C(0,3)代入得a•3•(-1)=3,解得a=-1,所以抛物线解析式为y=-(x+3)(x-1),即y=-x2-2x+3.故答案为y=-x2-2x+3.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.【变式3.2】某二次函数的图象与x轴交于点(﹣1,0),(4,0),且它的形状与y=﹣x2形状相同.则这个二次函数的解析式为_____.【答案】y=﹣x2+3x+4或y=x2﹣3x﹣4.【分析】根据图象与x轴交于点(﹣1,0),(4,0)可设两点式解答,根据形状与y=﹣x2形状相同,可知二次项系数为﹣1或1,于是可得二次函数解析式.【详解】∵函数图象与x轴交于点(﹣1,0),(4,0),∴设解析式为y=a(x+1)(x﹣4),又因为图象的形状与y=﹣x2形状相同,故a=﹣1或1,所以解析式为y=±(x+1)(x﹣4),整理得,y=﹣x2+3x+4或y=x2﹣3x﹣4.故答案为y=﹣x2+3x+4或y=x2﹣3x﹣4.【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式,由于知道二次函数图象与x轴交点,故设两点式较为简便.直线与抛物线的交点(1)y轴与抛物线y=ax²+bx+c的交点为(0,c);(2)与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个交点(h,ah²+bh+c).(3)抛物线与x轴的交点二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,就是对应一元二次方程y=ax²+bx+c的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:①有两个交点⇔Δ>0⇔抛物线与x轴相交;②有一个交点(顶点在x轴上)⇔Δ=0⇔抛物线与x轴相切;③没有交点⇔Δ<0⇔抛物线与x轴相离.【考点1抛物线与x轴的交点】【例1.1】抛物线=2−4−5交轴于,两点,则B长为______.【答案】6【分析】根据抛物线y=x2-4x-5与x轴分别交于A、B两点,可以令y=0求得点A、B的坐标,从而可以求得AB的长.【详解】解:∵y=x2-4x-5,∴y=0时,x2-4x-5=0,解得,x1=-1,x2=5.∵抛物线y=x2-4x-5与x轴分别交于A、B两点,∴点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(5,0),∴AB的长为:5-(-1)=6.故答案为:6.【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点,以及数轴上两点间的距离,解题的关键是明确抛物线与x轴相交时,y=0.【例1.2】抛物线=−1+3与x轴的两个交点之间的距离是()A.72B.2C.12D.4【答案】D【分析】先求出函数图像与x轴交点的坐标,进而即可求解.【详解】解:当=0时,−1+3=0,解得:1=−3,2=1,∴抛物线与x轴的交点坐标为−3,0和1,0,∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离:1−−3=4,故选:D.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点,解一元二次方程;正确理解题意,求出抛物线与x轴交点坐标是解题的关键.【例1.3】抛物线的部分图像如图所示,它与轴的一个交点坐标为−3,0,对称轴为=−1,则它与轴的另一个交点坐标为()A.4,0B.3,0C.2,0D.1,0【答案】D【分析】直接根据二次函数与轴的交点关于=−1对称可得结果.【详解】解:∵抛物线与轴的一个交点坐标为−3,0,对称轴为J−1,∴−1−(−3)=2,∴−1+2=1,∴它与轴的另一个交点坐标为1,0,故选:D.【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点问题,熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键.【变式1.1】二次函数J2−+1的图象与坐标轴的交点有_____个.【答案】1【分析】计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与轴的交点,再解方程2−+1=0,可判断抛物线与轴的交点,从而可判断抛物线与坐标轴的交点个数.【详解】解:当J0时,J2−+1=1,则抛物线与轴的交点坐标为0,1;当J0时,2−+1=0,方程无解;所以二次函数J2−+1的图象与坐标轴有1交点.故答案为:1.【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点:把求二次函数JB2+B+(,,是常数,≠0)与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程是解题关键.【变式1.2】已知函数=2−6+5的部分图象(如图),满足<0的的取值范围是____.【答案】1<<5【分析】首先由图象可求得该抛物线与x轴的另一个交点的横坐标,再根据图象即可求解.【详解】解:由=2−6+5,当=0时,2−6+5=0解得:1=1,2=5∴该抛物线与x轴的交点的横坐标1,5,∵该抛物线的开口向上,∴当<0时,的取值范围是1<<5,故答案为:1<<5.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质,从图象中获取相关信息是解决本题的关键.【变式1.3】抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1,点P,点Q是抛物线与x轴的两个交点,若点P的坐标为(3,0),则点Q的坐标为______.【答案】(-1,0)【分析】根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标,即可求出点Q的横坐标,此题得解.【详解】解:∵抛物线的对称轴为直线x=1,点P的坐标为(3,0),∴点Q的横坐标为1×2-3=-1,∴点Q的坐标为(-1,0).故答案为:(-1,0).【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质,牢记抛物线的对称性是解题的关键.【考点2用二次函数解一元二次方程】【例2.1】已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为()A.x1=﹣4,x2=2B.x1=﹣3,x2=﹣1C.x1=﹣4,x2=﹣2D.x1=﹣2,x2=2【答案】A【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根即为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标.【详解】解:根据图象知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点是(2,0),对称轴是直线x=−1.设该抛物线与x轴的另一个交点是(x,0).则r22=−1,解得,x=-4,即该抛物线与x轴的另一个交点是(-4,0).所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根为x1=−4,x2=2.故选:A.【例2.2】已知二次函数=B2+B+≠0图像上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表:x…01234…y…-3-4-305…请根据上表直接写出方程B2+B+=0≠0的解为______.【答案】1=−1,2=3【分析】由表格信息可知,二次函数的对称轴为=1,当=3时,函数值为零,根据函数的对称性,即可求解.【详解】解:据题意得,当=0时,=−3;当=2时,=−3,∴对称轴为=1,当=3时,=0,根据函数关于对称轴对称可知,当=−1时,=0,∴方程B2+B+=0≠0的解为1=−1,2=3,故答案为:1=−1,2=3.【点睛】本题主要考查二次函数图像与一元二次方程解的综合,掌握二次函数图像的性质解一元二次方程是解题的关键.【例2.3】已知二次函数y=﹣x2﹣2x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m=0的解为_____.【答案】x1=﹣4,x2=2【分析】根据图象可知,二次函数y=﹣x2﹣2x+m的部分图象经过点(﹣4,0),把该点代入方程,求得m值;然后把m值代入关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m=0,求根即可.【详解】解:根据图象可知,二次函数y=﹣x2﹣2x+m的部分图象经过点(﹣4,0),所以该点适合方程y=﹣x2﹣2x+m,代入,得(﹣4)2+2×(﹣4)+m=0解得,m=8①把①代入一元二次方程﹣x2﹣2x+m=0,得﹣x2﹣2x+8=0,②解②,得x1=﹣4,x2=2∴关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m=0的解为x1=﹣4,x2=2故答案为x1=﹣4,x2=2.【点睛】本题考查的是关于二次函数与一元二次方程,在解题过程中,充分利用二次函数图象,求出m的值是解题关键.【变式2.1】若二次函数=B2+B+的图象如图所示,则方程B2+B+=0的解为()A.1=0,2=3B.1=1,2=3C.1=1,2=0D.1=−1,2=3【答案】D【分析】由抛物线与x轴的交点横坐标可得方程B2+B+=0的解.【详解】解:由图象可得抛物线=B2+B+经过−1,0,3,0,∴方程B2+B+=0的解为1=−1,2=3.故选:D.【点睛】本题考查二次函数的性质,解题关键是掌握二次函数与方程的关系.【变式2.2】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象回答下列问题:(1)点B的坐标为;(2)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为;(3)方程ax2+bx+c=0的两个根为【答案】(1)(3,0);(2)x>1;(3)x1=-1,x2=3【分析】(1)由图象可得:A、B到直线x=1的距离相等,根据A的坐标,即可求出B点坐标;(2)利用图象得出函数对称轴进而得出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围;(3)根据方程ax2+bx+c=0,即图象与x轴交点,进而得出方程的两个根【详解】解:(1)由图象可得:A、B到直线x=1的距离相等,∵A(-1,0)∴B点坐标为:(3,0)故答案为(3,0);(2)由图象可得:y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是:x>1;故答案为x>1;(3)∵方程ax2+bx+c=0,即图象与x轴交点,∴方程ax2+bx+c=0的两个根是:x1=-1,x2=3;故答案为x1=-1,x2=3【考点3用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】【例3.1】在求解方程B2+B+=0(≠0)时,先在平面直角坐标系中画出函数=B2+ B+的图象,观察图象与轴的两个交点,这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解,分析右图中的信息,方程的近似解是()A.1=−3,2=2B.1=−3,2=3C.1=−2,2=2D.1=−2,2=3【答案】D【分析】由题意观察=B2+B+的图象,进而根据与轴的两个交点的横坐标进行分析即可.【详解】解:因为两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解,两个交点的横坐标为:1=−2,2=3,所以方程的近似解是1=−2,2=3.故选:D.【点睛】本题考查二次函数图象与轴的交点问题,熟练掌握并结论方程思想可知与轴的两个交点的横坐标可以看作是方程B2+B+=0(≠0)的近似解进行分析.【例3.2】根据下表列出的函数=B2+B+的几组与的对应值,判断方程B2+B+ =0一个解的范围是()3.23 3.24 3.253.26−0.37−0.110.090.28A.3<<3.23B.3.23<<3.24C.3.24<<3.25D.3.25<<3.26【答案】C【分析】根据表格数据,便可求值根的范围.【详解】解:由表格数据可知:当=3.24时,=−0.11;当=3.25,=0.09∴一个根的范围是:3.24<<3.25故选:C.【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程根之间的关系,属于基础题,准确理解题意是解题关键.【变式3.1】根据表中二次函数=B2+B+的自变量与函数值的对应值,判断一元二次方程B2+B+=0的一个根的取值范围是()6.17 6.18 6.196.20−0.03−0.010.020.04A.6<<6.17B.6.17<<6.18C.6.18<<6.19D.6.19<<7【答案】C【分析】根据一元二次方程B2+B+=0的根即为函数=B2+B+与轴交点的横坐标解答即可.【详解】解:∵当=6.18时,=−0.01,当=6.19时,=0.02,∴一元二次方程B2+B+=0的一个根的取值范围是6.18<<6.19,故选:C.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与二次函数的关系,熟知一元二次方程B2+B+= 0的根即为函数=B2+B+与轴交点的横坐标是解答本题的关键.【变式3.2】已知二次函数y=-x2-2x+2.(1)填写下表,并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;x……-4-3-2-1012……y…………(2)结合函数图象,直接写出方程-x2-2x+2=0的近似解(指出在哪两个连续整数之间即可).【答案】(1)见解析;(2)近似解是-3<x<-2或0<x<1.【分析】(1)计算填写表格后利用描点法画出函数图象即可;(2)观察图象,看交点的横坐标在哪两个整数之间,由此即可解答.【详解】(1)x……-4-3-2-1012……y……-6-1232-1-6……所画图象如图.(2)由图象可知,方程-x2-2x+2=0的近似解是-3<x<-2或0<x<1.【点睛】本题考查用二次函数图象的画法及利用函数图象法求一元二次方程的解,解题的关键是看函数图象与x轴交点的位置.【考点4用二次函数的图象解不等式】【例4.1】如图,在平面直角坐标系中,抛物线=B2+B+<0经过点−1,0,对称轴为直线=1.若<0,则x的取值范围是()A.<1B.<−1C.−1<<1D.<−1或>3【答案】D【分析】由抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一交点为3,0,根据图象可得出答案.【详解】解:∵抛物线=B2+B+<0经过点−1,0,对称轴为直线=1,∴抛物线与x轴的另一交点为3,0,由图象可知,<0时,x的取值范围是<−1或>3.故选:D.【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点,二次函数的性质,主要利用了二次函数的对称性,准确识图是解题的关键.【例4.2】已知二次函数=2−4+3的图象与轴交于点o1,0),o3,0),则当<0时,的取值范围是()A.>1B.<3C.<1或>3D.1<<3【答案】D【分析】根据题意确定函数的开口方向,画出函数的大致图,即可确定x的取值范围.【详解】∵a=1∴函数的开口向上∵图象与轴交于点o1,0),o3,0)∴函数的图象如下:通过图象可知,当1<<3时<0,故选D.【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点,二次函数的图象与性质,有关图象性质得问题,画出大致图更加直观,能根据题意画出函数的大致图并根据图象分析是解决此题的关键.【例4.3】如图,一次函数1=B+≠0与二次函数2=B2+B+≠0的图象相交于−1,5、9,2两点,则关于的不等式B+≤B2+B+的解集为______.【答案】≤−1或≥9【分析】由求关于的不等式B+≤B2+B+的解集,即求一次函数1=B+≠0的图象在二次函数2=B2+B+≠0的图象下方时(包括交点),x的取值范围,再结合图象即可得解.【详解】解:∵求关于的不等式B+≤B2+B+的解集,即求一次函数1=B+≠0的图象在二次函数2=B2+B+≠0的图象下方时(包括交点),x的取值范围,又∵结合图象可知当≤−1和≥9时,一次函数1=B+≠0的图象在二次函数2=B2+B+≠0的图象下方,∴关于的不等式B+≤B2+B+的解集为≤−1或≥9.故答案为:≤−1或≥9.【点睛】本题考查根据交点确定不等式的解集.利用数形结合的思想是解题关键.【变式4.1】已知函数=2−6+5的部分图象(如图),满足<0的的取值范围是____.【答案】1<<5【分析】首先由图象可求得该抛物线与x轴的另一个交点的横坐标,再根据图象即可求解.【详解】解:由=2−6+5,当=0时,2−6+5=0解得:1=1,2=5∴该抛物线与x轴的交点的横坐标1,5,∵该抛物线的开口向上,∴当<0时,的取值范围是1<<5,故答案为:1<<5.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质,从图象中获取相关信息是解决本题的关键.【变式4.2】一个二次函数,当自变量x=0时,函数值y=-1;当x=-2与12时,y=0(1)求这个二次函数的解析式(2)当y>0时,x的取值范围是__________(直接写出结果)【答案】(1)=2+32−1;(2)>12或<−2【分析】(1)设二次函数为=o−1)(−2),由题意可得,1=−2,2=12,将(0,−1)代入求解即可;(2)由(1)得=1>0,开口向上,即可求解.【详解】解:(1)设二次函数为=o−1)(−2),由题意可得,1=−2,2=12,即二次函数为=o+2)(−12)将(0,−1)代入=o+2)(−12)得×2×(−12)=−1解得=1即=(+2)(−12)=2+32−1故答案为:=2+32−1(2)由(1)得=1>0,开口向上,由题意可得:当x=-2与12时,y=0∴当>12或<−2时,>0故答案为:>12或<−2【点睛】此题考查了待定系数法求解二次函数解析式,以及二次函数的性质,解题的关键是根据题意正确求得函数解析式并掌握二次函数的有关性质.【变式4.3】二次函数=B2+B+o≠0)的图象如图所示,根据图象回答下列问题:(1)写出方程B2+B+=0的根;(2)写出不等式B2+B+<0的解集;(3)若方程B2+B+=无实数根,写出的取值范围.【答案】(1)1=0,2=2;(2)<0或>2;(3)>2【分析】(1)找到抛物线与x轴的交点,即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根;(2)找出抛物线在x轴下方时,x的取值范围即可;(3)根据图象可以看出k取值范围.【详解】解:(1)观察图象可知,方程B2+B+=0的根,即为抛物线与轴交点的横坐标,∴1=0,2=2.(2)观察图象可知:不等式B2+B+<0的解集为<0或>2.(3)由图象可知,>2时,方程B2+B+=无实数根.【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系,求方程ax2+bx+c=0的两个根,即为抛物线与x轴的交点的横坐标;判断y>0,y=0,y<0时,x的取值范围,要结合开口方向,图象与x轴的交点而定;方程ax2+bx+c=k有无实数根,看顶点坐标的纵坐标即可.1.已知抛物线与二次函数=−32的的图象形状相同,开口方向相同,且顶点坐标为−1,3,它对应的函数表达式为()A.=−3−12+3B.=3−12+3C.=3+12+3D.=−3+12+3【答案】D【分析】设此抛物线的解析式为=o−ℎ)2+,根据抛物线与二次函数=−32的的图象形状相同,开口方向相同,可知=−3,再代入顶点坐标即可.【详解】解:设此抛物线的解析式为=o−ℎ)2+,∵抛物线与二次函数=−32的的图象形状相同,开口方向相同,∴=−3,∵顶点坐标为−1,3,∴ℎ=−1,=3,∴=−3+12+3,故选D.【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.2.一个二次函数,当x=0时,y=﹣5;当x=﹣1时,y=﹣4;当x=﹣2时,y=5,则这个二次函数的关系式是()A.y=4x2+3x﹣5B.y=2x2+x+5C.y=2x2﹣x+5D.y=2x2+x﹣5【答案】A【分析】设二次函数的关系式是y=ax2+bx+c(a≠0),然后由当x=0时,y=﹣5;当x=﹣1时,y=﹣4;当x=﹣2时,y=5,得到a,b,c的三元一次方程组,解方程组确定a,b,c的值即可.【详解】解:设二次函数的关系式是y=ax2+bx+c(a≠0),∵当x=0时,y=﹣5;当x=﹣1时,y=﹣4;当x=﹣2时,y=5,∴c=﹣5①,a﹣b+c=﹣4②,4a﹣2b+c=5③,解由①②③组成的方程组得,a=4,b=3,c=﹣5,所以二次函数的关系式为:y=4x2+3x﹣5.故选:A.【点睛】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式.设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),通过解方程组确定a,b,c的值.3.若二次函数=2+3+−1的图象经过原点,则的值为()A.0B.1C.−1D.1或−1【答案】B【分析】将点0,0代入函数解析式求解即可得.【详解】解:把0,0代入=2+3+−1可得:−1=0,解得:=1,故选:B.【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定函数解析式,熟练掌握待定系数法是解题关键.4.若二次函数=B2+B+的图象经过点−1,0,2,0,则关于x的方程B2+B+=0的解为()A.1=−1,2=2B.1=−2,2=1C.1=1,2=2D.1=−1,2=−2【答案】A【分析】根据一元二次方程的根为二次函数与x轴的交点即可解答.【详解】解:∵=B2+B+的图象经过点−1,0,2,0,∴方程B2+B+=0的解为1=−1,2=2.故选:A.【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系,解题的关键是正确应用两者的关系.5.若二次函数=B2+B+的部分图象如图所示,则关于的方程B2+B+=0的解为()A.1=−2,2=3B.1=−1,2=3C.1=0,2=3D.1=1,2=3【答案】B【分析】先利用抛物线的对称性写出抛物线与轴的一个交点坐标为−1,0,然后根据抛物线与轴的交点问题可得到关于的方程B2+B+=0≠0的解.【详解】解:抛物线的对称轴为直线=1,抛物线与轴的一个交点坐标为3,0,所以抛物线与轴的一个交点坐标为−1,0,。

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解一般来说,二次函数的一般形式为:y = ax^2 + bx + c (其中a、b、c为常数,且a≠0)。

我们可以使用待定系数法来求解二次函数的解析式,具体步骤如下:1.设定待定系数:我们设定系数a、b、c的值为待定系数。

即假设a、b、c的值为未知数。

2.建立方程:根据二次函数的一般形式y = ax^2 + bx + c,我们可以将二次函数转化为一元二次方程。

在方程中,将x、y的值用待定系数a、b、c表示。

3.解方程:根据设定的待定系数,将二次方程化简为标准形式,并利用解一元二次方程的方法求解出待定系数的值。

4.得出结果:通过求解出的待定系数,我们可以得出二次函数的解析式。

下面我们通过一个具体的例子来说明待定系数法的应用。

例:已知二次函数图像经过点(1,3),(-2,2)和(3,4),求解此二次函数的解析式。

解:根据已知条件,我们可以列出三个方程:(1,3):a+b+c=3(-2,2):4a-2b+c=2(3,4):9a+3b+c=4根据设定的待定系数a、b、c,化简以上方程可以得到:a+b+c=3----(1)4a-2b+c=2----(2)9a+3b+c=4----(3)我们可以使用消元法或代入法来求解此方程组。

首先,将方程(2)的2倍加到方程(1)中,可以得到:6a-2b+2c=6然后,将方程(3)的3倍减去方程(1)中,可以得到:24a+6b-3c=6现在我们得到了两个新的方程:6a-2b+2c=6----(4)24a+6b-3c=6----(5)再将方程(5)的3倍加到方程(4)中,可以得到:6a+4c=24我们可以解得:a=3-2c将上式代入方程(1)中,可以得到:(3-2c)+b+c=3整理可得:b-c=0b=c所以,我们可以令b=c。

现在我们得到了a=3-2c和b=c。

将a、b、c的值代入方程(1)中,可以得到:(3-2c)+c+c=3化简可得:-2c+3=3-2c=0c=0将c=0代入a=3-2c和b=c中,可以得到:a=3b=0所以,二次函数的解析式为:y=3x^2通过以上步骤,我们成功使用待定系数法求解了二次函数的解析式。

用待定系数法求二次函数解析式

用待定系数法求二次函数解析式

用待定系数法求二次函数解析式待定系数法是求解多项式解析式的有效途径,用来直接求出二次函数解析式的标准型可以以形如$ax^2+bx+c=0$来表示,其中$a,b,c$均为常数。

一、概述1.1 什么是待定系数法待定系数法是指针对未知数多项式的解析方程,通过形如$a_1x^2+a_2x+a_3=0$的解析方程的参数$a_1,a_2,a_3$的确定,来求解形如$ax^2+bx+c=0$的解析式。

1.2 待定系数法的步骤(1)将解析方程形如$ax^2+bx+c=0$的形式确定,将$a,b,c$的系数根据题目替换成未知数,形如$a_1x^2+a_2x+a_3=0$(2)据此,将问题转化为求令$Δ=b_1a_2-2a_1a_3=0$时$a_1,a_2,a_3$的值,其中$b_1$为给定数∵(3)如果$Δ ≠ 0$,有$a_1=Δ/b_1, a_2=2a_1a_3/b_1, a_3=Δ/b_1$(4)将$a_1,a_2,a_3$的值代回原式,可求出$a,b,c$的值(5)最终,得出答案。

二、例题例题1:已知$2x^2+bx+2=0$,求b的值解:由待定系数法可求解出$a_1=2,a_2=b,a_3=2$∴$b_1=2,Δ=2×b−2×2=b-4$∴令$Δ=b-4=0$,解得$b=4$∴$b=4$例题2:已知$2x^2-3x+c=0$,求c的值解:由待定系数法可求解出$a_1=2,a_2=-3,a_3=c$∴$b_1=2,Δ=2×(-3)−2×c=6-2c$∴令$Δ=6-2c=0$,解得$c=3$∴$c=3$三、探究(1)待定系数法的数据限制待定系数法用来求解的多项式解析方程为二次以下的情况,不能用来求解多次多项式方程。

(2)待定系数法的应用范围待定系数法普遍用于求解数学、物理、化学、经济学等学科中,会出现二次式解析方程的问题,它可以用来快速求解解析式,可以极大的节省计算的时间。

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(基础)

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(基础)

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(基础)责编:常春芳【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式;2. 经历探索由已知条件特点,灵活选择二次函数三种形式的过程,正确求出二次函数的解析式,二次函数三种形式是可以互相转化的.【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式 :(1)一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,a ≠0);(2)顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,a ≠0);(3)交点式:12()()y a x x x x =--(1x ,2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标,a ≠0).2.确定二次函数解析式常用待定系数法,用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步,设:先设出二次函数的解析式,如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+,或12()()y a x x x x =--,其中a ≠0;第二步,代:根据题中所给条件,代入二次函数的解析式中,得到关于解析式中待定系数的方程(组); 第三步,解:解此方程或方程组,求待定系数;第四步,还原:将求出的待定系数还原到解析式中.要点诠释:在设函数的解析式时,一定要根据题中所给条件选择合适的形式:①当已知抛物线上的三点坐标时,可设函数的解析式为2y ax bx c =++;②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时.可设函数的解析式为2()y a x h k =-+;③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1,0),(x 2,0)时,可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--.【典型例题】 类型一、用待定系数法求二次函数解析式1.(2014秋•岳池县期末)已知二次函数图象过点O (0,0)、A (1,3)、B (﹣2,6),求函数的解析式和对称轴.【答案与解析】解:设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ,把O (0,0)、A (1,3)、B (﹣2,6)各点代入上式得解得,∴抛物线解析式为y=2x 2+x ;∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣.【总结升华】若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式:y=ax 2+bx+c (a ≠0).举一反三:【高清课程名称:待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号: 356565 关联的位置名称(播放点名称):例1】【变式】已知:抛物线2y ax bx c =++经过A (0,5-),B (1,3-),C (1-,11-)三点,求它的顶点坐标及对称轴.【答案】设52-+=bx ax y (a ≠0),据题意列⎩⎨⎧--=--+=-51153b a b a ,解得⎩⎨⎧=-=42b a , 所得函数为5422-+-=x x y对称轴方程:1=x ,顶点()31-,. 2.(2015•巴中模拟)已知抛物线的顶点坐标为M (1,﹣2),且经过点N (2,3),求此二次函数的解析式.【答案与解析】解:已知抛物线的顶点坐标为M (1,﹣2),设此二次函数的解析式为y=a (x ﹣1)2﹣2,把点(2,3)代入解析式,得:a ﹣2=3,即a=5,∴此函数的解析式为y=5(x ﹣1)2﹣2.【总结升华】本题已知顶点,可设顶点式.举一反三:【高清课程名称:待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号: 356565 关联的位置名称(播放点名称):例2】【变式】在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为(14)A -,,且过点(30)B ,. (1)求该二次函数的解析式;(2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.【答案】(1)223y x x =--.(2)令0y =,得2230x x --=,解方程,得13x =,21x =-. ∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30),和(10)-,.∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点.平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40),.3.已知二次函数的图象如图所示,求此抛物线的解析式.【答案与解析】解法一:设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0),由图象知函数图象经过点(3,0),(0,3). 则有930,3,1,2a b c c b a⎧⎪++=⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ 抛物线解析式为223y x x =-++.解法二:设抛物线解析式为12()()y a x x x x =--(a ≠0).由图象知,抛物线与x 轴两交点为(-1,0),(3,0).则有(1)(3)y a x x =+-,即223y ax ax a =--.又33a -=,∴ 1a =-.∴ 抛抛物物解析式为223y x x =-++.解法三:设二次函数解析式为2()y a x h k =-+(a ≠0).则有2(1)y a x k =-+,将点(3,0),(0,3)代入得 40,3,a k a k +=⎧⎨+=⎩ 解得1,4.a k =-⎧⎨=⎩ ∴ 二次函数解析式为2(1)4y x =--+,即223y x x =-++.【总结升华】二次函数的解析式有三种不同的形式,它们是相互联系、并可相互转化的,在实际解题时,。

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(基础)

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(基础)

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(基础)【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式;2. 经历探索由已知条件特点,灵活选择二次函数三种形式的过程,正确求出二次函数的解析式,二次函数三种形式是可以互相转化的.【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式 :(1)一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,a ≠0);(2)顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,a ≠0);(3)交点式:12()()y a x x x x =--(1x ,2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标,a ≠0).2.确定二次函数解析式常用待定系数法,用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步,设:先设出二次函数的解析式,如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+,或12()()y a x x x x =--,其中a ≠0;第二步,代:根据题中所给条件,代入二次函数的解析式中,得到关于解析式中待定系数的方程(组); 第三步,解:解此方程或方程组,求待定系数;第四步,还原:将求出的待定系数还原到解析式中.要点诠释:在设函数的解析式时,一定要根据题中所给条件选择合适的形式:①当已知抛物线上的三点坐标时,可设函数的解析式为2y ax bx c =++;②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时.可设函数的解析式为2()y a x h k =-+;③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1,0),(x 2,0)时,可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--.【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1.(2014秋•岳池县期末)已知二次函数图象过点O (0,0)、A (1,3)、B (﹣2,6),求函数的解析式和对称轴.【答案与解析】解:设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ,把O (0,0)、A (1,3)、B (﹣2,6)各点代入上式得解得,∴抛物线解析式为y=2x 2+x ;∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣.【总结升华】若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式:y=ax 2+bx+c (a ≠0).举一反三:【高清课程名称:待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号: 356565 关联的位置名称(播放点名称):例1】【变式】已知:抛物线2y ax bx c =++经过A (0,5-),B (1,3-),C (1-,11-)三点,求它的顶点坐标及对称轴.【答案】设52-+=bx ax y (a ≠0),据题意列⎩⎨⎧--=--+=-51153b a b a ,解得⎩⎨⎧=-=42b a , 所得函数为5422-+-=x x y对称轴方程:1=x ,顶点()31-,.2.(2015•巴中模拟)已知抛物线的顶点坐标为M (1,﹣2),且经过点N (2,3),求此二次函数的解析式.【答案与解析】解:已知抛物线的顶点坐标为M (1,﹣2),设此二次函数的解析式为y=a (x ﹣1)2﹣2,把点(2,3)代入解析式,得:a ﹣2=3,即a=5,∴此函数的解析式为y=5(x ﹣1)2﹣2.【总结升华】本题已知顶点,可设顶点式.举一反三:【高清课程名称:待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号: 356565 关联的位置名称(播放点名称):例2】 【变式】在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为(14)A -,,且过点(30)B ,. (1)求该二次函数的解析式;(2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.【答案】(1)223y x x =--.(2)令0y =,得2230x x --=,解方程,得13x =,21x =-. ∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30),和(10)-,.∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点.平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40),.3.已知二次函数的图象如图所示,求此抛物线的解析式.【答案与解析】解法一:设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0),由图象知函数图象经过点(3,0),(0,3). 则有930,3,1,2a b c c b a⎧⎪++=⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ 抛物线解析式为223y x x =-++.解法二:设抛物线解析式为12()()y a x x x x =--(a ≠0).由图象知,抛物线与x 轴两交点为(-1,0),(3,0).则有(1)(3)y a x x =+-,即223y ax ax a =--.又33a -=,∴ 1a =-.∴ 抛抛物物解析式为223y x x =-++.解法三:设二次函数解析式为2()y a x h k =-+(a ≠0).则有2(1)y a x k =-+,将点(3,0),(0,3)代入得 40,3,a k a k +=⎧⎨+=⎩ 解得1,4.a k =-⎧⎨=⎩ ∴ 二次函数解析式为2(1)4y x =--+,即223y x x =-++.【总结升华】二次函数的解析式有三种不同的形式,它们是相互联系、并可相互转化的,在实际解题时,一定要根据已知条件的特点,灵活选择不同形式的解析式求解.类型二、用待定系数法解题4.已知抛物线经过(3,5),A(4,0),B(-2,0),且与y 轴交于点C .(1)求二次函数解析式;(2)求△ABC 的面积.【答案与解析】(1)设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-(a ≠0),将(3,5)代入得5(32)(34)a =+- , ∴ 1a =-.∴ (2)(4)y x x =-+-.即228y x x =-++.(2)由(1)知C(0,8),∴ 1(42)8242ABC S =+⨯=△. 【总结升华】此题容易误将(3,5)当成抛物线顶点.将抛物线解析式设成顶点式.。

用待定系数法求二次函数解析式的几种方法

用待定系数法求二次函数解析式的几种方法

用待定系数法求二次函数解析式的几种方法待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。

基本原理是,通过把二次函数拆分为两个一次函数的乘积,然后根据给定的条件将未知的系数代入到两个一次函数之中,从而计算出二次函数的解析式。

首先,我们可以用待定系数法计算二次函数的标准形式的解析式。

一般来说,二次函数的标准形式是ax^2+bx+c=0,根据定理,二次函数的根为: x = [-b (b^2-4ac)] / 2a.二次函数分解为两个一次函数相乘:ax^2 + bx + c = a(x+p)(x+q),p + q = -b, pq = c.结合给定的条件,将未知的系数代入到两个一次函数之中,即可求得p、q的值。

最后,根据互相关联的关系,计算出q p的值,就可以得到二次函数的标准形式的解析式。

其次,我们可以用待定系数法求解二次函数的非标准形式的解析式。

一般来说,非标准形式的二次函数是一般形式ax^2 + bx + c = 0类似于标准形式,我们可以将二次函数分解为两个一次函数相乘:ax^2 + bx + c = a(x + p/a )(x + q/a)。

对于任意给定的一般形式的二次方程,我们可以先将它降幂变为标准形式,然后再计算p、q的值。

最后,根据互相关联的关系,计算出 q p的值,就可以得到二次函数的非标准形式的解析式。

再次,我们还可以用待定系数法解决一些特殊情况下的二次函数。

比如说,二次函数在x=0处有极值点时,ax^2+bx+c= 0.种情况下,我们可以将二次函数分解为两个一次函数:ax^2 + bx + c = a(x + p)(x + q) + ap, q = 0。

根据给定的条件,将未知的系数代入到两个一次函数之中,即可求得p、q的值。

最后,根据互相关联的关系,计算出q p的值,就可以得到二次函数的特殊情况下的解析式。

总之,待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。

它可以用来求解二次函数的标准形式和非标准形式,以及一些特殊情况下的二次函数的解析式。

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解设定二次函数的解析式为$f(x)=ax^2+bx+c$,其中$a$、$b$和$c$为待定系数。

一、已知函数的根情况一:已知函数的两个根$x_1$和$x_2$,则有以下条件:$$f(x_1)=0$$$$f(x_2)=0$$代入二次函数解析式,可得:$$a{x_1}^2+b{x_1}+c=0$$$$a{x_2}^2+b{x_2}+c=0$$将上述方程组化简,得:$$a{x_1}^2+b{x_1}=-c$$$$a{x_2}^2+b{x_2}=-c$$注意到$x_1$和$x_2$为已知值,$a$、$b$和$c$为待定系数,上述方程可以看作是一个关于$a$、$b$和$c$的线性方程组。

通过解这个方程组,即可求出$a$、$b$和$c$。

情况二:已知函数的一个根$x_1$和函数经过的一个点$(x_3,y_3)$,则有以下条件:$$f(x_1)=0$$$$f(x_3)=y_3$$代入二次函数解析式,可得:$$a{x_1}^2+b{x_1}+c=0$$$$a{x_3}^2+b{x_3}+c=y_3$$将上述方程组化简,得:$$a{x_1}^2+b{x_1}=-c$$$$a{x_3}^2+b{x_3}=y_3-c$$同样地,将上述方程看作是一个关于$a$、$b$和$c$的线性方程组,求解即可得到$a$、$b$和$c$的值。

二、已知函数的值当已知二次函数经过的两个点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$时,同样可以通过设定$a$、$b$和$c$为待定系数,列出方程组来求解。

将已知点代入二次函数解析式,可得:$$a{x_1}^2+b{x_1}+c=y_1$$$$a{x_2}^2+b{x_2}+c=y_2$$进一步化简,得:$$a{x_1}^2+b{x_1}=y_1-c$$$$a{x_2}^2+b{x_2}=y_2-c$$同样地,上述方程可看作是一个关于$a$、$b$和$c$的线性方程组,通过求解该方程组,即可求出$a$、$b$和$c$的值。

待定系数法求二次函数解析式

待定系数法求二次函数解析式

待定系数法求二次函数解析式1.内容提要:二次函数解析式有三种表达形式,1.一般式:y=ax 2+bx+c ;其中 a≠0, a, b, c 为常数2.顶点式:y=a(x -h)2+k ;其中a≠0, a, h, k 为常数,(h,k)为顶点坐标。

3.交点式:y=a(x -x 1)(x -x 2);其中a≠0, a, x 1,x 2 为常数,x 1,x 2是抛物线与横轴两交点的横坐标.每种形式都有三个待定的系数,所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点:(1) 根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式,一般已知抛物线的顶点,用y=a(x -h)2+k(a≠0)(简称顶点式);已知抛物线与x 轴的两个交点(或与x 轴的一个交点及对称轴),用y=a(x -x 1)(x -x 2)(a≠0)(简称两点式);(2) 解题过程中待定的系数越少,需构造的方程也越少,这样可以大大简化计算过程,故尽量由已知直接确定某些系数;(3) 若题目给定二次函数解析式的某种形式(如y=ax 2+ bx+c=0 (a≠0)),那么最后的结果必须写成此种形式。

2.例题分析:(1)一般式法例1、已知二次函数的图象经过A(0,1),B(1,2),C(2,-1)三点,那么这个二次函数的解析式是?解:设二次函数是y=ax 2+bx+c ,由已知函数图象过(0,1),(1,2),(2,-1)三点。

得:⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++=12421c b a c b a c , 解得:⎪⎩⎪⎨⎧==-=132c b a ∴ 函数解析式为y=-2x 2+3x+1.小结:因为过任意三点,可以用“一般式”,求解列出三元一次方程组,注意消元,求出a 、b 、c 值。

(2)顶点坐标法例2、某抛物线的顶点为(-2,3),并经过点(-1,5)。

求此抛物线的解析式。

解:(方法一)设二次函解析式为:y=a(x -h)2+k ,其顶点是(h, k).∵顶点是(-2,3),∴ y=a(x+2)2+3.又∵过(-1,5)点,∴ 5=a(-1+2)2+3.∴ a=2,∴ y=2(x+2)2+3, ∴ y=2x 2+8x+11.∴ 函数解析式为:y=2x 2+8x+11.小结:因为有顶点坐标,又过任意一点,可以用顶点式,分别代入顶点坐标,和任意一点坐标,求出a 值,结果写成一般式。

待定系数法求二次函数

待定系数法求二次函数

待定系数法求二次函数
待定系数法求二次函数的方法:当知道二次函数的图象上的三个点的坐标,或知道二
次函数的三组x,y的对应值,则用二次函数的一般形式y=ax2+bx+c来求。

1、当知道二次函数的图象上的三个点的坐标,或知道二次函数的三组x,y的对应值,则用二次函数的一般形式y=ax2+bx+c来求较合适.
2、当知道二次函数的图象的顶点坐标,用二次函数的顶点式y=ax-h2+k顶点坐标
为h,k来求较合适,当然还包括对称轴、最大值(或最小值)的情形。

(1)二次函数一般关系式:y=ax2+bx+ca≠0
(2)二次函数顶点式:y=ax-h2+k
对于以上这两种函数,要理解关系式,及其性质和图象。

y=ax2+bx+ca≠0这是一个二元二次方程,若要求a、b、c,必须知道三个不同的解,
然后联立方程组,从而求出a、b、c的值。

感谢您的阅读,祝您生活愉快。

待定系数法求二次函数解析式

待定系数法求二次函数解析式

待定系数法求二次函数解析一般式:y=ax2+bx+c(a≠0) 顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)一、若已知二次函数经过三点坐标用一般式求二次函数解析式例1 已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6),求它的解析式。

解:设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得解得∴解析式为y=x2+2.变式:已知一个二次函数,当x=-1时,y=3;当x=1时,y=3;当x=2时,y=6。

求二次函数的解析式。

二、若已知二次函数的顶点坐标,或对称轴可用顶点式求二次函数解析式例2 已知二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(3,10),求这个二次函数的解析式。

解:设函数关系式为: y=a(x-3)2+10由于二次函数的图象过点(0,1),将(0,1)代入y=a(x-3)2+10得1=a(0-3)2+10解得 a=-1∴解析式为y=- (x-3)2+10,即y=-x2+6x+1待定系数法求二次函数解析一般式:y=ax2+bx+c(a≠0) 顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)一、若已知二次函数经过三点坐标用一般式求二次函数解析式例1 已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6),求它的解析式。

解:设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得解得∴解析式为y=x2+2.变式:已知一个二次函数,当x=-1时,y=3;当x=1时,y=3;当x=2时,y=6。

求二次函数的解析式。

二、若已知二次函数的顶点坐标,或对称轴可用顶点式求二次函数解析式例2 已知二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(3,10),求这个二次函数的解析式。

解:设函数关系式为: y=a(x-3)2+10由于二次函数的图象过点(0,1),将(0,1)代入y=a(x-3)2+10得1=a(0-3)2+10解得 a=-1∴解析式为y=- (x-3)2+10,即y=-x2+6x+1变式1:已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8,求它的解析式。

相关主题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
相关文档
最新文档