【精选】新课标Ⅰ高考数学总复习专题03导数分项练习含解析文

专题03 导数
一．基础题组
1. 【2008全国1，文4】曲线在点处的切线的倾斜角为（）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【答案】B
【解析】,
2. 【2005全国1，文3】函数，已知在时取得极值，则=
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
【答案】D
3.【2017新课标1，文14】曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．
【答案】
【解析】
试题分析：设，则，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
【考点】导数几何意义
【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设
是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在
点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
4. 【2013课标全国Ⅰ，文20】(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；,
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
【解析】(1)f′(x)＝e x(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.
故b＝4，a＋b＝8.
5. 【2011全国1，文20】
已知函数，.
(Ⅰ)证明：曲线
（Ⅱ）若求a的取值范围。

【解析】(Ⅰ)，，故x=0处切线斜率
，又
即，当
故曲线,
（Ⅱ），令
，
故
6. 【2009全国卷Ⅰ,文21】已知函数=x4-3x2+6.
(1)讨论的单调性;
(2)设点P在曲线y=上,若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点,求l的方程.
【解析】:(1)f′(x)=4x3-6x=4x·()().
当x∈(-∞,)和x∈(0,)时,f′(x)＜0;
当x∈(,0)和x∈(,+∞)时,f′(x)＞0.
因此,在区间(-∞,)和(0,)上是减函数,在区间(,0)和(,+∞)上是增函数.
7. 【2007全国1，文20】（本小题满分12分）设函数在及时取得极值。

,
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对任意的，都有成立，求c的取值范围。

【解析】：
（Ⅰ），
因为函数在及取得极值，则有，.
即
解得，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
.
当时，；
当时，；
当时，.
二．能力题组
1.【2007全国1，文11】曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）
A. B. C. D.
【答案】：A
【解析】：对x求导，得y'=x²+1
在点(1,4/3)处，导数为y'=2，∴此处切线为:y-(4/3)=2(x-1)
即6x-3y-2=0
与两坐标轴的交点是(0,-2/3)和(1/3,0)
∴与坐标轴围成的三角形的面积是：S=(2/3)*(1/3)/2=1/9
2.【2011新课标，文21】
21.（本小题满分12分）,
【解析】
3. 【2008全国1，文21】,
已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
【解析】：（1）
求导：
当时，，
在上递增
当，求得两根为
即在递增，递减，
递增
（2），且
解得：
4. 【2010全国1，文21】已知函数f(x)＝3ax4－2(3a＋1)x2＋4x.
(1)当a＝时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在(－1,1)上是增函数，求a的取值范围．,
(ⅰ)当a＝0时①恒成立；
(ⅱ)当a＞0时①成立，当且仅当3a·12＋3a·1－1≤0，
解得a≤.
(ⅲ)当a＜0时①成立，即3a(x＋)2－－1≤0成立，当且仅当－－1≤0.解得a≥－.
综上，a的取值范围是－，]．
三．拔高题组
1. 【2014全国1，文12】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是( )
（B）（C）（D）
【答案】C
【解析】根据题中函数特征，当时，函数显然有两个零点且一正一负; 当时，求
导可得：，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：和
时函数单调递增; 时函数单调递减，显然存在负零点; 当时，求导可得：
，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：和时函
数单调递减; 时函数单调递增，欲要使得函数有唯一的零点且为正，则满足：，即得：
，可解得：，则．
2. 【2014全国1，文21】设函数，曲线处的切线斜率为0
（1）求b;
（2）若存在使得，求a的取值范围。

【解析】（1），
由题设知，解得.
当时，，在单调递减，在单调递增.
所以，存在，使得的充要条件为，
而，所以不合题意.
（ⅲ）若，则.
综上，a的取值范围是.
3. 【2012全国1，文21】已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax.
(1)讨论f(x)的单调性；,
(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y＝f(x)上，求a的值．
(2)由题设知，x1，x2为方程f′(x)＝0的两个根，
故有a＜1，x12＝－2x1－a，x22＝－2x2－a.
因此f(x1)＝x13＋x12＋ax1
＝x1(－2x1－a)＋x12＋ax1＝x12＋ax1
＝(－2x1－a)＋ax1＝(a－1)x1－.
同理，f(x2)＝(a－1)x2－.
因此直线l的方程为y＝(a－1)x－.
设l与x轴的交点为(x0,0)，得，
．
由题设知，点(x0,0)在曲线y＝f(x)上，故f(x0)＝0，
解得a＝0或或.
4. 【2015高考新课标1，文21】（本小题满分12分）设函数.
（I）讨论的导函数的零点的个数；
（II）证明：当时.,
【答案】（I）当时，没有零点；当时，存在唯一零点.（II）见解析
【解析】
试题分析：（I）先求出导函数，分与考虑的单调性及性质，即可判断出零点个数；（II）由
（I）可设在的唯一零点为，根据的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最
小值，即可证明其最小值不小于，即证明了所证不等式.
试题解析：（I）的定义域为，.
当时,，没有零点；
当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足
且时，,故当时，存在唯一零点.
由于，所以.
故当时，.
考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.
5.【2016新课标1文数】若函数在单调递增，则a的取值范围是
（A）（B）（C）（D）
【答案】C
【解析】
试题分析：对恒成立，
故，即恒成立，
即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最
小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C．
6.【2016新课标1文数】（本小题满分12分）已知函数.
（I）讨论的单调性；,
（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】(I)见解析；(II)
.
【解析】
试题分析：(I)先求得再根据1,0,2a的大小进行分类确定的单调性；(II)
借助第(I)问的结论,通过分类讨论函数的单调性,确定零点个数,从而可得a的取值范围为.
试题解析： (I)
(i)设，则当时，；当时，.
所以f（x）在单调递减，在单调递增.
(ii)设，由得x=1或x=ln(-2a).
①若，则，所以在单调递增.
②若，则ln(-2a)<1,故当时，；
当时，，所以在单调递增，在
单调递减.
③若，则，故当时，，当
时，，所以在单调递增，在单调递减.
(II)(i)设，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.
又，取b满足b<0且，
则，所以有两个零点.
(ii)设a=0，则，所以只有一个零点.
(iii)设a<0，若，则由(I)知，在单调递增.
又当时，<0，故不存在两个零点；若，则由(I)知，在单
调递减，在单调递增.又当时<0，故不存在两个零点.
综上，a的取值范围为.
【考点】函数单调性，导数应用
7. 【2017新课标1，文21】已知函数=e x(e x−a)−a2x．,
（1）讨论的单调性；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递减，在
单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；（2）
．
【解析】
试题分析：（1）分，，分别讨论函数的单调性；（2）分，，分
别解，从而确定a的取值范围．
试题解析：（1）函数的定义域为，，
①若，则，在单调递增．
②若，则由得．
当时，；当时，，故在单调递减，在
单调递增．
③若，则由得．
当时，；当时，，故在单
调递减，在单调递增．
（2）①若，则，所以．
②若，则由（1）得，当
时，取得最小值，最小值为．从而当且仅
当
，即
时，
．
【考点】导数应用。