十二次对称准周期结构的自相似变换及准晶胞构造 !

图’ 图" $% 拼图做一次自相似变换后的图形 图中虚线画出变换
构造 $% 拼图准晶胞过程中的各种拼块集团及结构分析
（" ） 集团 +， （# ） 三 （!）( 个集团 # 边边相接之后会出现空隙， 个集团 + 互相覆盖之后会在中间留下一个三角形的空隙， （$ ） （% ） 集团 -， （& ） 集团 .， 它是最终得到的 / 准晶胞 集团 ,，
图)
修正的正六边形和正方形自相似变换法则 （ %） 顺时针方向的六边形， （+） 逆时针方向的六边形， （ #） 正方形 * 与 !"#"$%& 原来的
和 （+） 都在外围增加了 ( 个正方形， 而 （ #） 在外围增加了 ’ 个正方形 变换相比， 每次变换时， （ %）
法则可以消除前边提到的空洞 * 在新的变换规则中， 变换前的六边形、 正方形和菱形被完全包含在变换 后的小六边形、 小正方形和小菱形中 * 因此可以推 断， 按照这种自相似变换法则， 不管变换多少次拼图 中都不再会出现空洞 * 图 - 是按照修正后的自相似 变换法则， 从一个正方形出发经过三次自相似变换 得到的拼图， 从中可以看出其变换的完美性 *
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物
理
学
报
9’ 卷
因此我们对 !"#"$%& 的变换规则做了如下修正： 在正六边 在正方形的变换中增加了 ’ 个小正方形， 形的变换中增加了 ( 个小正方形， 修正后的变换规 则如图 ) 所示 * 至于菱形的变换法则没有改变 * 需要 注意的是， 正六边形又分为两种， 除了边上的箭头相
同外， 还在其内部用顺时针和逆时针分别标出以示 两种正六边形的变换法 区别 * 在自相似变换过程中， 则是不同的， 图) （ %） 是顺时针正六边形的变换法 则， 图（ 是逆时针正六边形的变换法则 * ) +） 经过修正后的六边形,正方形,菱形自相似变换
关键词：准晶体，拼图模型，自相似变换，覆盖理论
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［"， %］ 称为准晶胞 ， 它可与晶体结构中的晶胞类比 + 准
#F 引
言
［#］
晶胞之间的覆盖可以更好地描述准晶的生长过程和 稳定性 + 在急冷凝固的 G/2 人们用覆盖理论主要研究了十次对称准晶体的
［"—(］ ， 而用于研究其他对称性准晶 结构和物理性质
（批准号：#$&=&$’#） 资助的课题 + !国家自然科学基金 ! 通讯联系人 + >2407/：5:?@6AB C.A3 + ;DA + .E
和正三角形作为基本单元的十二次对称准周期拼图 +
’6 期
廖龙光等：十二次对称准周期结构的自相似变换及准晶胞构造
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［’(］ 接着， 用高维空间投影法得出同一类型的拼 !"#$%& 拼 图 1 随 后， 图， 我 们 称 之 为 )*+,-.$/0!"#$%&（ )! ） ［’4］ 导出了由正方形、 )232$+& 567菱形和正六边形作为基 本结构单元的十二次对称准周期拼图， 我们称之为
第 "( 卷 第 #$ 期 ’$$* 年 #$ 月 （#$） #$$$2)’*$L’$$*L"( L=$((2$%
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造彭罗斯拼图至少需要两种拼块， 为什么一种物质 中要有多种重复单元呢？彭罗斯拼图的严格拼接规 律如何在急冷的凝固过程中实现？另外， 彭罗斯模 型也 难 以 阐 明 准 晶 的 生 长 和 稳 定 性 + 因 此， 当
［ ］ 便 8A44;/3 & 提出用覆盖理论来描述准周期结构时，
’ F 十二次对称准晶体拼图模型的自相 似变换
［89， 8(］ 拼图 ， 它由正方形、 !/%012$3,456$7&（ !4） ):;菱形 和正三角形作为基本拼块构成的 * 其自相似变换规
则是：将每个菱形变换为 ) 个小菱形、 8< 个小三角 形和 < 个小正方形； 将每个三角形变换为 8: 个小三 角形和 ) 个小正方形； 将每个正方形变换为 - 个小 菱形、 <: 个小三角形和 9 个小正方形 * 变换得到的 各个形状拼块的尺度分别是原来对应拼块的 < = ! ) 倍 * 图 9 画出了一次自相似变换前后的 !4 拼图 * 以 下我们从这些自相似变换过程中寻找十二次对称图 的覆盖模型描述 * 从图 9 首先注意到在 !4 拼图上有很多内部结 构相同的十二边形集团， 它由 9 个正方形、 8< 个正 三角形和 < 个菱形组成， 图9中 （!） 和 （"） 标出其 中的两个 * 如果把这样的十二边形集团作为基本结 构单元， 它们是不能铺满整个平面 （允许互相覆盖） 而不留空隙的 * 当我们把 !4 拼图做一次自相似变 换， 并把变换前 （称为第一代） 和变换后 （称为第二 代） 的拼图叠放在一起时， 可以看到， 在第一代拼块 的每一个顶点处， 第二代拼图都对应有一个十二边 形集团， 图9中 （ !） 就是其中之一 * 而在第一代拼块 中每一个正方形的其中一条边处， 第二代拼图也对 应有一个十二边形集团， 图9中 （ "） 是其中之一 * 若 将图 9 再做一次自相似变换， 则得到图 ( 的第三代 结构 * 上面提到的两类十二边形集团变换得到的第 三代图形是不同的 * 也就是说， 如果将这两类十二边 形集团都当作整体来考虑， 则它们有不同的变换规
图’
十二次对称按照 )232$+& 提出的变换法则， 从一个正方形出发经过三次变换后得到 右图是其中一个空洞周围部分的放大 图中会出现 : 个空洞，
的拼图
图9
十二次对称按照 )232$+& 提出的变换法则， 从一个正六边形出发经过三次变换后得到的拼图
图中
会出现 ( 个空洞， 右图是其中一个空洞周围部分的放大
自从 #*(& 年 ,:;.:340E 等
科学工作者已经在准 <E 合金中发现了准晶相以来， 晶体这一领域开展了大量的工作 + 准晶体具有长程 位置序和取向序， 但没有周期平移序， 因而准晶结构 可以具有五次、 八次、 十次、 十二次等传统晶体学所 不允许的旋转对称性 + 为了描述准晶体的结构， 人们 提出了许多几何模型， 其中用于描述二维准晶格的
［#)］ 十二次对称准晶结构有多种描述方式 + ［ ］ KC:740C0 等 #& 在实验中首先观察到十二次旋转对称 ［ ］ 电子衍射图， ,30456/7 #" 很快推导出由正方形、 )$J菱形
立即引起了大家的广泛关注 + 与彭罗斯拼图本质不 同的是， 覆盖模型中只需要一种结构单元， 即标有两 种颜色的正十边形， 通过一定的覆盖规则互相重叠， 便可形成二维准周期图形 + 这种单一的重复单元被
)232$+& 拼图 1 这两种准周期拼图之间存在一定的变换 关系， 并且都可以通过特定的自相似变换法产生 1 自相似变换是一种产生二维准周期结构的有效 方法：从某一小块拼图开始， 将其中基本的拼块按 一定的规律变换出多个拼块， 然后再将变换后的拼 块放大到原来拼块的尺度 1 这两个过程不断重复， 便 可产生任意大小的准周期图形 1 )232$+& 在文献 ［ ’4］
斯拼图由两种菱形构成， 一种锐角为 )%J， 一种锐角 为 =’J+ 当这两种菱形以一定的规则拼接时， 便可形 成二维十次对称的准周期结构 + 虽然彭罗斯拼图成功地解决了准周期结构的几 何构造问题， 并且也能解释准晶体的某些物理性质，
［)］ 但是关于拼图模型仍然存在一些疑问 + 例如：构
何结构性质 + 目的是从覆盖理论出发， 寻求十二次对 称准晶的准晶胞描述 + 首先从拼图模型的自相似变 换入手， 研究集团覆盖的规律， 在此过程中发现了 ,-.-/01 的 正 方 形2菱 形2六 边 形 自 相 似 变 换 中 的 错 误， 并且做了修正 + 然后在 ,30456/7289:/;1 正方形2菱 成功地构造出了十二 形2三角形拼图模型的基础上， 次对称准周期结构的准晶胞 +
十二次对称准周期结构的自相似变换及准晶胞构造 !
廖龙光 付 虹 傅秀军!
（华南理工大学理学院物理系， 广州 "#$%&$） （’$$( 年 #$ 月 ’) 日收到； ’$$* 年 ’ 月 & 日收到修改稿）
研究十二次对称准晶体模型的几何结构性质 + 修正了 ,-.-/01 在正方形2菱形2六边形拼图模型中自相似变换的 错误 + 在 ,30456/7289:/;1 正方形2菱形2三角形拼图模型的基础上， 成功地构造出了准晶胞， 使得十二次对称准周期结 构可以用覆盖理论描述 +