[专升本类试卷]江苏省专转本(高等数学)模拟试卷67.doc
江苏专升本高等数学真题(附答案)
江苏专转本高数考纲及重点总结一、函数、极限和连续(一)函数(1)理解函数的概念:函数的定义,函数的表示法,分段函数。
(2)理解和把握函数的简单性质:单调性,奇偶性,有界性,周期性。
(3)了解反函数:反函数的定义,反函数的图象。
(4)把握函数的四则运算与复合运算。
(5)理解和把握基本初等函数:幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数。
(6)了解初等函数的概念。
重点:函数的单调性、周期性、奇偶性,分段函数和隐函数(二)极限(1)理解数列极限的概念:数列,数列极限的定义,能根据极限概念分析函数的变化趋势。
会求函数在一点处的左极限与右极限,了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
(2)了解数列极限的性质:唯一性,有界性,四则运算定理,夹逼定理,单调有界数列,极限存在定理,把握极限的四则运算法则。
(3)理解函数极限的概念:函数在一点处极限的定义,左、右极限及其与极限的关系,x趋于无穷(x→∞,x→+∞,x→-∞)时函数的极限。
(4)把握函数极限的定理:唯一性定理,夹逼定理,四则运算定理。
(5)理解无穷小量和无穷大量:无穷小量与无穷大量的定义,无穷小量与无穷大量的关系,无穷小量与无穷大量的性质,两个无穷小量阶的比较。
(6)熟练把握用两个重要极限求极限的方法。
重点:会用左、右极限求解分段函数的极限,把握极限的四则运算法则、利用两个重要极限求极限以及利用等价无穷小求解极限。
(三)连续(1)理解函数连续的概念:函数在一点连续的定义,左连续和右连续,函数在一点连续的充分必要条件,函数的中断点及其分类。
(2)把握函数在一点处连续的性质:连续函数的四则运算,复合函数的连续性,反函数的连续性,会求函数的中断点及确定其类型。
(3)把握闭区间上连续函数的性质:有界性定理,最大值和最小值定理,介值定理(包括零点定理),会运用介值定理推证一些简单命题。
(4)理解初等函数在其定义区间上连续,并会利用连续性求极限。
重点:理解函数(左、右连续)性的概念,会判别函数的中断点。
江苏省专转本(高等数学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
江苏省专转本(高等数学)模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1.已知连续函数f(x)满足f(x)=x2+x∫01f(x)dx,则f(x)=( )。
A.f(x)=x2+xB.f(x)=x2-xC.f(x)=x2+D.f(x)=x2+正确答案:C解析:用代入法可得出正确答案为C。
2.函数在x=0处( )。
A.连续但不可导B.连续且可导C.不连续也不可导D.可导但不连续正确答案:B解析:3.关于的间断点说法正确的是( )。
A.x=kπ+为可去间断点B.x=0为可去间断点C.x=kπ为第二类无穷间断点D.以上说法都正确正确答案:D解析:对于x=kπ,当k=0,即x=0时,,x=0为可去间断点。
当k≠0时,,x=kπ为第二类无穷间断点。
4.设D:x2+y2≤R2,则=( )。
A.=πR3B.∫02πdθ∫0Rrdr=πR2C.∫02πdθ∫0Rr2dr=πR3D.∫02πdθ∫0RR2dr=2πR3正确答案:C解析:在极坐标中,0≤r≤R,0≤θ≤2π,。
5.抛物面在点M0(1,2,3)处的切平面是( )。
A.6x+3y-2z-18=0B.6x+3y+2z-18=0C.6x+3y+2z+18=0D.6x-3y+2z-18=0正确答案:B解析:设切平面方程为6x+3y+2z-18=0。
6.幂级数的收敛半径是( )。
A.0B.1C.2D.+∞正确答案:B解析:,收敛半径。
填空题7.,则a=______,b=______。
正确答案:-4,3解析:并且x2+ax+b=0,所以a=-4,b=3。
8.u=f(xy,x2+2y2),其中f为可微函数,则=______。
正确答案:yf’1+2xf’2解析:令w=xy,v=x2+y2,则u=f(w,v),=f’w(w,v)·y+f’v(w,v)·2x。
数学模拟试卷专转本
江苏省普通高校专转本统一考试高等数学模拟试卷(一)一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分.)1.已知当时,函数是的等价无穷小,则常数( ).(A) (B) (C) (D)2.若是奇函数,在点处可导,则是函数的( ).(A) 跳跃间断点 (B) 可去间断点 (C) 无穷间断点 (D) 连续点3.对于反常积分的收敛性,正确的结论是( ).(A)当时收敛 (B)当时收敛 (C)当时收敛 (D)对的任意取值均不收敛4.直线与的位置关系是( ).(A)平行 (B)重合 (C)斜交 (D)垂直5.设曲线与在点处相切,则的值分别为( ).(A) (B) (C) (D)6..对级数,以下说法中正确的是( ).(A) 对任意常数,级数都发散 (B) 对任意常数,级数都条件收敛(C) 对任意常数,级数都绝对收敛 (D) 对不同常数,级数的敛散性不同二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分.)7.设函数在点处连续的,则 .8.设,则 .9.设,则 .0.设, 则 .11.设,则 .12.将展开为的幂级数,得.三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分.)13.求极限.14.设函数由方程确定,求.15. 求不定积分.16.计算定积分.17.求过点且与平面垂直,又与直线平行的平面的方程.18.计算二重积分,其中为由直线围成的闭区域.19.设函数可导,且满足,求.20.求微分方程的通解.四、综合题(本大题共2小题,每小题10分,满分20分.)21.设,求(1) 函数的单调区间与极值;(2) 曲线的凹凸区间与拐点;(3) 函数在区间上的最大值与最小值.22.求常数22.求常数的值,使直线位于曲线的上方(即对一切,恒有 ≥),且直线,,和曲线所围成的平面图形的面积最小.五、证明题(本大题共2小题,每小题9分,满分18分.)23.设函数有二阶连续导数,令,若复合函数满足,证明:满足.24.设在上可导,且,证明:在内存在唯一的点,使所围平面图形被直线分成面积相等的两部分.江苏省普通高校专转本统一考试高等数学模拟试卷(二)一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分.)1.若,则分别为( ).(A) (B) (C) (D)2.点是函数的( ).(A)无穷间断点 (B)跳跃间断点 (C)可去间断点 (D)连续点3.设当时,是的高阶无穷小,而又是的高阶无穷小,则正整数=( ).(A) (B) (C) (D)4.考虑下列5个函数: ①; ②; ③; ④; ⑤.上述函数中,当时,极限存在的是 ( ).(A) ②③⑤ (B) ①④ (C) ③⑤ (D) ①②③⑤5.设二阶可导,,则( ).(A) (B)(C) (D)6.下列级数中,收敛的是( ).(A) (B) (C) (D)二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分.)7.设为多项式,,,则 .8.曲线在点处的切线方程为 .9.若函数在点处可导,且,则 .10.函数在闭区间上的最小值为 .11.设,则.12.幂级数的收敛域为 .三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分.)13.求极限.14.设,求.15. 求不定积分.16.计算定积分.17.求过点,且平行于平面,又与直线相交的直线方程.18.计算,其中.19.设具有二阶连续偏导数,求.20.求微分方程的通解.四、综合题(本大题共2小题,每小题10分,满分20分.)21.求由曲线,直线,和曲线的一条切线所围成图形面积的最小值.22.已知,试求: (1)函数的单调区间与极值; (2)曲线的凹凸区间与拐点;(3)曲线的渐近线.五、证明题(本大题共2小题,每小题9分,满分18分.)23.设函数在上连续,且是偶函数,证明也是偶函数.24.设是大于的常数,且,证明:对任意,有.江苏省普通高校专转本统一考试高等数学模拟试卷(三)一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分.)1.下列极限正确的是( ).(A) (B)(C) (D)2.设,则( ).(A)等于 (B)等于 (C)等于 (D)不存在3.函数的第一类间断点共有( ).(A)个 (B)个 (C)个 (D)个4.设,则( ).(A) (B) (C) (D)5.二次积分交换积分次序后得( ).(A) (B)(C) (D)6.下列级数中,收敛的是( ).(A) (B) (C) (D)二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分.)7.定积分的值为 .8.设,则 .9.设,,且,则 .10.设的一个原函数为,则 .11.幂级数的收敛域为 .12.若是某二阶常系数齐次线性微分方程的一个特解,则该微分方程为 .三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分.)13.求极限.14设函数由参数方程所确定,求 ,.15. 已知,求16.求定积分.17.求通过直线且平行于直线的平面方程.18.计算二重积分,其中是由曲线,直线及轴所围成的平面闭区域.19.设,其中具有二阶连续偏导数,求20.求微分方程 的通解.四、综合题(本大题共2小题,每小题10分,满分20分.)21.已知函数, (1)求函数的单调区间与极值; (2)讨论曲线的凹凸性;(3)求函数在闭区间上的最大值与最小值.22.设曲线与交于点,过坐标原点和点的直线与曲线围成一平面区域.(1)求平面区域绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积;(2)问为何值时,取得最大值?五、证明题(本大题共2小题,每小题9分,满分18分.)23.设函数的定义域为,且对任意和均有,又在处连续,.试证明函数在上连续.24.证明:当时,.江苏省普通高校专转本统一考试高等数学模拟试卷(四)一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分.)1.设函数在点处可导,且,则( ).(A) (B) (C) (D)2.点是函数的( ).(A) 跳跃间断点 (B) 可去间断点 (C) 无穷间断点 (D) 振荡间断点3.若抛物线与曲线相切,则( ).(A) (B) (C) (D)4.是可导函数的极大值的充分条件为:对满足 的任意,都有( ).(A) (B) (C) (D)5.若的原函数为,则( ).(A) (B)(C) (D)6.设函数与在上均具有连续导数,且为奇函数,为偶函数,则( ).(A) (B) (C) (D)二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分.)7.设,则 .8.设,则 .9.曲线在点处的切线方程为 .10.若向量与平行,且,则 .11.设,则 .12.将函数展开为的幂级数,得.三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分.)13.求极限.14.设, 求. 15.设,求.16.计算定积分.17.求过点,并与直线垂直又与平面平行的直线方程.18.计算,其中为由直线,及围成的闭区域.19.设,其中具有二阶连续偏导数,求.20.求微分方程 满足初始条件的特解.四、综合题(本大题共2小题,每小题10分,满分20分.)21.设在取得极值,求常数的值,并求该曲线的凹凸区间与拐点.22.已知函数与满足下列条件:(1),; (2),,记由曲线与直线,,所围平面图形的面积为,求.五、证明题(本大题共2小题,每小题9分,满分18分.)23.证明:当,时,.24.证明:.江苏省普通高校专转本统一考试高等数学模拟试卷(五)一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分.)1.设, ,则、的值分别为( ).(A) (B) (C) (D)2.设在处可导,且,则曲线在点处的切线的斜率为( ).(A) (B) (C) (D)3.设与都是恒大于零的可导函数,且,则当时,有( ).(A) (B)(C) (D)4.直线与平面的位置关系是( ).(A)平行 (B)垂直 (C)斜交 (D)直线在平面上5.设是连续函数,则( ).(A)(B)(C) (D)6.幂级数的收敛域为().(A) (B) (C) (D)二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分.)7.设函数在处连续,则 .8.设直线是曲线的一条切线,则 .9. .10.设,则 .11.设,则.12.微分方程的通解为 .三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分.)13.求极限.14.设,求.15.求不定积分.16.计算定积分.17.求通过点,,且平行于轴的平面方程.18.计算,其中为由曲线,直线,围成的闭区域.19.已知函数由方程确定, 求,.20.求微分方程的通解.四、综合题(本大题共2小题,每小题10分,满分20分.)21.设某平面图形由曲线与直线围成,求该平面图形的面积,以及该平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积.22.已知,试求: (1)函数的单调区间与极值; (2)曲线的凹凸区间与拐点;(3)函数在闭区间上的最大值与最小值.五、证明题(本大题共2小题,每小题9分,满分18分.)23.设在处连续,,证明:在处可导的充分必要条件是. 24.证明:.江苏省普通高校专转本统一考试高等数学模拟试卷(六)一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分.)1.若,则分别为( ).(A) (B) (C) (D)2.点是函数的( ).(A)无穷间断点 (B)跳跃间断点 (C)可去间断点 (D)连续点2.若当时,与是等价无穷小,则( ).(A) (B) (C) (D)4.曲线的渐近线共有( ).(A)条 (B)条 (C)条 (D)条5.若为函数的一个原函数,则【 】(A) (B)(C) (D)6.设,则【 】(A) (B) (C) (D)二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分.)7.设,则 .8.设, 则 .9.设,则 .10. .11.微分方程的通解为 .12.级数的收敛半径为 .三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分.)13.求极限.14.求由方程所确定的二元函数的全微分.15. 求不定积分.16.计算定积分.17.求过点且垂直于直线的平面方程.18.计算,其中为由直线及围成的平面闭区域.19.设其中具有连续二阶偏导数,求.20.求微分方程 满足初始条件的特解.21.求由曲线与直线,所围平面图形的面积以及该平面图形分别绕轴、轴旋转一周所形成的旋转体的体积.22.试确定常数、、,使函数的图形有一拐点,且在处有极值,并求出的图形的凸区间.23.设在[]上连续,且,证明:在()内有且仅有一点,使.24.证明:当时,.江苏省普通高校专转本统一考试高等数学模拟试卷(七)一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分.)1.设函数,则在点处( )(A)极限不存在 (B)极限存在但不连续(C) 连续但不可导 (D) 可导且导数为2.设在点处可导,且,则点是函数的( )(A)无穷间断点 (B)跳跃间断点 (C)可去间断点 (D)连续点3.设,则()(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 34.方程在内()(A) 仅有一个实根 (B) 有二个实根 (C) 至少有二个实根 (D) 没有实根5.设,,且与轴垂直,则 ( )(A) (B) (C) (D)6.下列级数中,发散的是( )(A) (B) (C) (D)二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分.)7.设时,是比高阶的无穷小,则常数 .8.设,则.9.曲线的铅直渐近线的方程为 .10.函数在区间上的最大值为 .11.设,则全微分.12.幂级数的收敛域为 .三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分.)13.求极限.14.设 , 求.15.设,求.16. 求不定积分.17.计算定积分.18.求过点,且与直线垂直,又与平面平行的直线方程19.计算,其中.20.求微分方程的通解.四、综合题(本大题共2小题,每小题10分,满分20分.)21.求曲线上的一点,使在该点的切线和,,围成平面图形的面积最小.22.设函数在的某一邻域内具有二阶导数,且,,试求.五、证明题(本大题共2小题,每小题9分,满分18分.)23.证明:当时,.24.设,,,其中具有二阶连续偏导数,证明:.江苏省普通高校专转本统一考试高等数学模拟试卷(八)一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分.)1.设 存在,且 ,则 ( )(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) -22.当时, 是 的( )(A)同阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 低阶无穷小 (D)等价无穷小3.设在点处连续,则在点处取得极大值的充分条件为:对满足的任意,都有( ) (A) (B) (C) (D)4.若函数在点处可导,则在点处( ).(A)一定连续但不一定可导 (B)一定连续但不可导(C)一定连续且可导 (D)不一定连续且不一定可导5.设,则在区间上( )(A) 函数单调减少且其图形是凹的 (B) 函数单调减少且其图形是凸的(C) 函数单调增加且其图形是凹的 (D) 函数单调增加且其图形是凸的6.级数条件收敛的充要条件是()(A) (B) (C) (D)二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分.)7.设,则 .8.设存在,且,则.9.已知是偶函数,且,则 .10.,则 .11.设,且是互相垂直的单位向量,则以为邻边的平行四边形面积为.12.将展开为的幂级数,得 .三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分.)13.求极限.14.设,求.15. 求不定积分.16.计算定积分.17.一直线通过平面与直线的交点,且与直线平行,试求该直线方程.18.计算,其中D是直线所围成的闭区域.19.设,其中具有二阶连续偏导数,求.20.求微分方程的通解.四、综合题(本大题共2小题,每小题10分,满分20分.)21.求由曲线与直线所围平面图形的面积以及该平面图形分别绕轴、轴旋转一周所形成的旋转体的体积.22.设22.设,.(1)求的具体解析表达式;(2)讨论的连续性;(3)讨论的连续性.五、证明题(本大题共2小题,每小题9分,满分18分.)23.设函数具有连续偏导数,证明由方程 所确定的函数满足 .24.证明方程有且仅有一个实根.。
江苏省专转本(数学)模拟试题及参考答案(一)
江苏省普通高校专转本模拟试题及参考答案高等数学 试题卷一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在下列每小题中选出一个正确答 案,请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑)1. 要使函数21()(2)xx f x x −−=−在区间(0,2) 内连续,则应补充定义 f (1) =( )A. 2eB. 1e −C. eD. 2e − 2. 函数2sin ()(1)xf x x x =−的第一类间断点的个数为( )A. 0B. 2C. 3D. 1 3. 设'()1f x =,则0(22)(22)limh f h f h h→−−+=( )A. 2−B. 2C. 4D. 4−4.设()F x 是函数()f x 的一个原函数,且()f x 可导,则下列等式正确的是( ) A. ()()dF x f x c =+∫ B. ()()df x F x c =+∫ C.()()F x dx f x c =+∫ D.()()f x dx F x c =+∫5. 设2Dxdxdy =∫∫,其中222{(,)|,0}D x y x y R x =+≤>,则R 的值为( )A. 1B.D.6.下列级数中发散的是( )A 21sin n nn∞=∑. B. 11sin n n ∞=∑C. 1(1)nn ∞=−∑ D.211(1)sinnn n ∞=−∑ 7.若矩阵11312102A a −−= 的秩为2,则常数a 的值为( )A. 0B. 1C. 1−D. 28. 设1100001111111234D =−−,其中ij M 是D 中元素ij a 的余子式,则3132M M +=( ) A. 2− B. 2 C. 0 D. 1 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分) 9. 1lim sinn n n→∞=____________________________.10.设函数2sin ,0()10,0xx f x x x ≠ =+ =,则'(0)f =______________________________________.11.设函数()cos 2f x x =, 则(2023)(0)f =__________________________________________. 12.若21ax e dx −∞=∫,则常数a =___________________________________.13. 若幂级数1nnn a x +∞=∑的收敛半径为2,则幂级数11(1)nn n x a +∞=−∑的收敛区间为__________________. 14.若向量组1(1,0,2,0)α=,2(1,0,0,2)α=,3(0,1,1,1)α=,4(2,1,,2)k α=线性相关,则k =_____________________________________.三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分) 15. 求极限22sin lim(cos 1)x x t tdtx x →−∫;16.求不定积分22x x e dx ∫;17.求定积分21sin 2x dx π−∫; 18.设函数(,)z z x y =由方程cos y x e xy yz xz =+++所确定的函数,求全微分dz . 19.求微分方程''4'5x y y y xe −−−=的通解; 20.求二重积分Bxydxdy ∫∫,其中D 为由曲线2(0)y x x ≥及直线2x y +=和y 轴所围成的平面闭区域;21.设矩阵A 与B 满足关系是2AB A B =+,其中301110014A= ,求矩阵B .22.求方程组12341234123436536222x x x x x x x x x x x x ++−=−++=− −+−= 的通解; 四、证明题(本大题10分)23.证明:当04x π−<<时,0sin xt e tdt x <∫.五、综合题(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)24.求曲线x =及直线2y =与y 轴所围成的平面图形的面积并计算该图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积..25.设定义在(,)−∞+∞上的函数()f x 满足方程'()()f x f x x −=,且(0)0f =,求: (1)函数()f x 的解析式;(2)曲线()y f x =的单调区间和极值点.参考答案一、单项选择题1. B2. D3. D4. D5. B6. B7. A8. B9. C 二、填空题9. 1 10. 1 11. 0 12. 1ln 2213. (1,3)− 14. 4三、计算题15. 2232022250022sin sin 2sin()4lim lim 4lim (1cos )63()2x x x x x t tdt t tdt x x x x x x x →→→===−∫∫; 16. 2222222222222222222224x x x x x x x xxe e x e e e x e e e x e dx x x dx x dx x c =−=−+=−++∫∫∫;17.26206111sin (sin )(sin )22212x dx x dx x dx πππππ−=−+−−∫∫∫; 18. 因为sin sin ,,z zz x y zx y yz x x x x y x ∂∂∂−−−−=+++=∂∂∂+ 且0,y yz zz e x z e x z y x y yy y x∂∂∂−−−=++++=∂∂∂+ 所以可得sin y x y z e x zdzdx dy y x y x−−−−−−=+++. 19. 解:因为特征方程为2450r r −−=,特征值为125,1r r ==−,所以齐次微分方程''4'50y y y −−=的通解为5112x x y c e c e −=+; 设''4'5x y y y xe −−−=的一个特解为*()x y x ax b e −=+,可得11*()1236x y x x e −=−+,所以原方程的通解为:511211*()1236x x x y y y c e c e x x e −−=+=+−+.20. 由22y x x y =+= 可得交点坐标(11),, 可得21116xBxydxdydx xydy ==∫∫∫∫; 21. 因为2AB A B =+,所以可得(2)A E B A −=,从而可得:1(2)B A E A −=−;又因1211(2)221111A E −−−−=−−− ,所以可得1522(2)432223B A E A −−− =−=−− − ; 22.求方程组12341234123436536222x x x x x x x x x x x x ++−=−++=− −+−= 的通解; 解:111361113611136101241513601012010120101212212031240011200112100120101200112−−−−−−→−→−→− −−−−−−− →− − 一个特解为2220 ,齐次线性方程组12341234123430530220x x x x x x x x x x x x ++−=−++= −+−= 的一组基础解系为:11111η= ,所以原方程组的通解为:123412121210x x c x x=+. 四、证明题 23.证明:当04x π−<<时,0sin xt e tdt x <∫.证明:令0()sin xt f x x e tdt =−∫,则有'()1sin x f x e x =−,令:''()sin cos 0x x f x e x e x =−−=,可得4x π=−,当04x π−<<,''()0f x <,所以当04x π−<<时,'()1sin x f x e x =−为递减函数,可得'()1sin '(0)1x f x e x f =−>=,所以当04x π−<<时,0()sin xt f x x e tdt =−∫为递增函数,因此可得:0()sin (0)0xt f x x e tdt f =−>=∫,从而可证得:0sin x t e tdt x <∫; 五、综合题 24.求曲线x =及直线2y =与y 轴所围成的平面图形的面积并计算该图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积..解:x x y = ⇒ =,则图形面积为:20Aydx dx = 旋转体的体积:2222200022y V x dy ydy ππππ====∫∫; 25.设定义在(,)−∞+∞上的函数()f x 满足方程'()()f x f x x −=,且(0)0f =,求: (1)函数()f x 的解析式;(2)曲线()y f x =的单调区间和极值点. 解:(1)()()()1dxdxx x x f x e xe dx c e xe dx c x ce −−−−−∫∫=+=+=−++∫∫,又因为(0)0f =,所以可得:1c =−,即:()1x f x x e −=−+−; (2)令'()10x f x e −=−+=,可得0x =; x(,0)−∞ 0 (0,)+∞ '()f x −+因此可知:(,0)−∞为函数()1x f x x e −=−+−的递减区间,(0,)+∞为函数()1x f x x e −=−+−的递增区间,点(0,0)为函数()1x f x x e −=−+−的极小值点.。
江苏省普通高校“专转本”统一考试数学模拟试卷全真8套试卷兴国版本(1)
一、单项选择题(每小题 4 分,共 24 分)
1.当 x 0,1 cos2x 与 ln(1 ax 2 ) 是等价无穷小,则 a (
)。
A1
B2
C3
D4
2.曲线
y
xx
x2 x
1x
2 的垂直渐近线为(
)。
A x 0 B x 1 C x 2 D 无垂直渐近线
)。
A xy
B 2xy
xy 1
C
8
6.下列级数中,发散的是 (
1n
n
A
n1
n2 1
C
1n sin
1
n1
n 1
D xy 1
)。
B
n1
1 n
n 2n
1n n3 1 n3 1
D
n1
二、填空题(每小题 4 分,共 24 分)
lim 2x 12x
7.极限 x 2x 1 =
。
8.设
f
(1) x
。 。
。
10.交换二次积分次序
C 高阶无穷小
D 低阶无穷小
2.曲线
y
ex ex
ex ex
的渐近线共有(
)条。
A 1 B 2 C3 D4
3.设 f x 的一个原函数为 x2 tet2 dt ,则 f x =( 0
)。
A
2 2x2 ex2 B 6x 4x3 ex2
C 6x 2 8x 6 e x4
D 2 4x 4 e x4
图形为 D。 (1)求 D 的面积;
(2)求 D 绕 x 轴旋转所得几何体的体积。
江苏省专转本《高等数学》全真模拟试卷 2
江苏专转本高等数学模拟测试题.doc
一.选择题( 每小题 4 分, 共24 分)1. 当x 0 时, 1 cos 2x 与l n(1 ax ) 是等价无穷小,则常数a的值为( )2A. 1B. 2C.3D. 4解:本题考查无穷小阶的比较,就是求两个函数比值的极限,条件说是等价无穷小,那么比值的极限是1,即有12(2 x)x1 cos2 2 2lim lim 12 2x 0 x 0ln(1 ax ) ax a则a 2 ,选B。
2. 曲线y2x xx(x 1)(x 2)的垂直渐近线是( )A. x 0B. x 1C. x 2D. 没有垂直渐近线解:所谓垂直渐近线就是若lim f (x) (也可以是单侧极限,即左极限或右极限为无穷大),则称x x0 x x 为垂直渐近线。
一般拿来讨论极限的x 为函数中无定义的点,本题有三个无定义的点,即x 0 ,x1,x 2,但是在求极限时01y函数经过化简后变成,因此只有x 2 limx 2 x12,所以选C。
3. 设sin x( ) ln(1 )x t t dt ,则(x) ( ) 0A. sin x cos x ln(1 sin x)B. sin x l n(1 sin x)C. sin x c os x l n(1 sin x)D. sin x l n(1 sin x)解:本题考查变上限积分函数求导公式,选A。
4. 下列级数中条件收敛的是( )A.n ( 1)2n n 1 B.n( 1)n n11C.n1n( 1)n12n1D.n 1n( 1)n2解:本题考查绝对收敛与条件收敛的概念,首先要知道无论是绝对收敛还是条件收敛都是满足收敛,只是收敛的“强度”不同罢了。
选项 A 与D都是满足绝对收敛的,选项C一般项的极限不是零,显然发散,只有选项 B 满足条件收敛。
5. 将二重积分D2 2x y dxdy ,D{( x, y) |x y 2 x2 ,0 x 1}化成极坐标下的二次积分,则得( )A.2 24 d r dr B.0 02 24 d r dr C.0 0242 2d r dr D.242 2d r dr解:本题考查二重积分的极坐标变换,首先关键是画出积分区域来,作图如下:本题积分区域形如右图阴影部分,显然答案选D。
江苏省专转本高等数学模拟测试题答案详解
江苏省专转本高等数学模拟测试题一.选择题(每小题4分,共24分) 1.当 0x→时, 1cos 2x -与2ln(1)ax +是等价无穷小,则常数a 的值为( )A. 1B. 2C.3D. 4解:本题考查无穷小阶的比较,就是求两个函数比值的极限,条件说是等价无穷小,那么比值的极限是1,即有222001(2)1cos 222lim lim 1ln(1)x x x x ax ax a→→-===+ 则2a=,选B 。
2.曲线2(1)(2)x xy x x x -=--的垂直渐近线是( )A.0x = B. 1x = C. 2x = D. 没有垂直渐近线解:所谓垂直渐近线就是若0lim ()x xf x →=∞(也可以是单侧极限,即左极限或右极限为无穷大),则称0x x =为垂直渐近线。
一般拿来讨论极限的0x 为函数中无定义的点,本题有三个无定义的点,即0x =,1x =,2x =,但是在求极限时函数经过化简后变成12y x =-,因此只有21lim2x x →=∞-,所以选C 。
3. 设sin 0()ln(1)xx t t dt ϕ=+⎰,则()x ϕ'=( )A. sin cos ln(1sin )x x x +B. sin ln(1sin )x x +C. sin cos ln(1sin )x x x -+D. sin ln(1sin )x x -+ 解:本题考查变上限积分函数求导公式,选A 。
4. 下列级数中条件收敛的是( )A.21(1)nn n∞=-∑ B.1(1)1nn n ∞=-+∑ C.11(1)21nn n n ∞=+-+∑ D.1(1)2nnn ∞=-∑解:本题考查绝对收敛与条件收敛的概念,首先要知道无论是绝对收敛还是条件收敛都是满足收敛,只是收敛的“强度”不同罢了。
选项A 与D 都是满足绝对收敛的,选项C 一般项的极限不是零,显然发散,只有选项B 满足条件收敛。
5.将二重积分D⎰⎰,{(,)|1}D x y x y x =≤≤≤≤化成极坐标下的二次积分,则得( )A.224d r drπθ⎰⎰B.240d dr πθ⎰C. 2224d r dr ππθ⎰⎰D. 2204d dr ππθ⎰解: 本题考查二重积分的极坐标变换,首先关键是画出积分区域来,作图如下: 本题积分区域形如右图阴影部分,显然答案选D 。
江苏省专转本(高等数学)模拟试卷10(题后含答案及解析)
江苏省专转本(高等数学)模拟试卷10(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1.若=( )。
A.B.C.2D.4正确答案:B解析:令,当x→∞时,t→0,则。
2.要使f(x)=在点x=0处连续,应给f(0)补充定义的数值是( )。
A.kmB.C.lnkmD.ekm正确答案:A解析:=lnekm=km,∴f(0)=km,选A项。
3.设f(x2)=x4+x2+1,则f’(1)=( )。
A.1B.3C.-1D.-3正确答案:C解析:(1)∵f(x2)=(x2)2+x2+1,∴f(x)=x2+x+1。
(2)f’(x)=2x+1,f’(-1)=-2+1=-1,选C项。
4.已知f(x)=(x-3)(x-4)(x-5),则f’(x)=0有( )。
A.一个实根B.两个实根C.三个实根D.无实根正确答案:B解析:(1)∵f(x)在[3,4]连续在(3,4),可导且f(3)=f(4)=0,∴f(x)在[3,4]满足罗尔定理条件,故有f’(ξ1)=0(3=( )。
A.e-x(x+1)+CB.-e-x(x+1)+CC.e-x(1-x)+CD.e-x(x-1)+C正确答案:A解析:∵F(x)=e-x,f(x)=F’(x)=-e-x,∴原式=∫xdF(x)=xF(x)-∫F(x)dx=xe-x-∫e-xdx=(x+1)e-x+C选A项。
填空题7.=______。
正确答案:解析:本题是考查幂指函数求极限,先把极限变形为,此题是形如1∞型的不定式,可以利用两个重要极限公式的推广公式求解:,注:等价无穷小替换,x→0+。
8.函数f(x)=2x2-x+1在区间[-1,3]上满足拉格朗日中值定理的ξ=______。
正确答案:ξ=1解析:由已知可得f’(x)=4x-1,令4x-1==3,解该方程即为满足拉格朗日定理的ξ=1。
9.=______,其中D为以点O(0,0)、A(1,0)、B(0,2)为顶点的三角形区域。
江苏省专转本(高等数学)模拟试卷67(题后含答案及解析)
江苏省专转本(高等数学)模拟试卷67(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1.已知∫f(x)dx=e2x+C,则∫f′(一x)dx=( )。
A.2e—2x+CB.e—2x+CC.一2e—2x+CD.e—2x+C正确答案:C解析:原式两边分别求导得,f(x)=2e2x,再两边求导,得f′(x)=4e2x,则f′(—x)=4e—2x,∫f′(—x)dx=∫4e—2xdx= —2∫e2xd(—2x)= —2e—2x+C,故选C项。
2.在下列极限求解中,正确的是( )。
A.B.C.D.正确答案:D解析:= —1=0,而sin(x2+1)有界,所以sin(x2+1)=0,=23.下列级数中条件收敛的是( )。
A.B.C.D.正确答案:C解析:,而收敛,所以绝对收敛,因为,,收敛.故绝对收敛,为交错级数,且其通项的绝对值趋于0,据莱布尼兹准则知,它是收敛级数。
另外,由于,而调和级数发散,据第一比较准则知发散,故此级数条件收敛。
==∞发散。
4.曲线y=x3一3x在开区间(0,1)内为( )。
A.单调上升,且上凹B.单调下降,且下凹C.单调上升,且下凹D.单调下降,且上凹正确答案:D解析:当0<x<1时,y′=3x2一3<0,y″=6x>0。
曲线单调下降,且上凹,故选D项。
5.若直线l与Ox平行,且与曲线y=x—ex相切,则切点坐标为( )。
A.(1,1)B.(一1,1)C.(0,一1)D.(0,1)正确答案:C解析:根据题意得:y′=1一ex=0x=0,代入得y= 一1。
6.f(x)=且f(x)在x=0处连续,则a的值为( )。
A.1B.0C.D.正确答案:C解析:使用洛必达法则可知:,根据f(x)在x=0处连续,可知a=。
填空题7.设y=y(x)满足exy+sin(x2y)=y3,则y′(0)=____________。
江苏省专转本(高等数学)模拟试卷3(题后含答案及解析)
江苏省专转本(高等数学)模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1.已知∫f(x)dx=e2x+C,则∫f’(-x)dx=( )。
A.2e-2x+CB.e-2x+CC.-2e-2x+CD.e-2x+C正确答案:C解析:原式两边分别求导得,f(x)=2e2x,再两边求导,得f’(x)=4e2x,则f’(-x)=4e-2t。
∫f’(-x)dx=∫4e-2xdx=-2∫e2xd(-2x)=-2e-2x+C。
故选C项。
2.在下列极限求解中,正确的是( )。
A.B.C.D.正确答案:D解析:3.下列级数中条件收敛的是( )。
A.B.C.D.正确答案:C解析:4.曲线y=x3-3x在开区间(0,1)内为( )。
A.单调上升,且上凹B.单调下降,且下凹C.单调上升,且下凹D.单调下降,且上凹正确答案:D解析:当00。
曲线单调下降,且上凹,故选D项。
5.若直线l与Ox平行,且与曲线y=x-ex相切,则切点坐标为( )。
A.(1,1)B.(-1,1)C.(0,-1)D.(0,1)正确答案:C解析:根据题意得:y’=(1-ex)’=0x=0,代入得y=-1。
6.且f(x)在x=0处连续,则a的值为( )。
A.1B.0C.D.正确答案:C解析:使用洛必达法则可知:,根据f(x)在x=0处连续,可知a=。
填空题7.x+y=tany确定y=y(x),则dy=______。
正确答案:(coty)2解析:两边对x求导y’=1/(x+y)2·(1+y’) 整理得y’=1/(x+y)2=(coty)28.函数,y”(0)=______。
正确答案:9.设u=exysinx,=______。
正确答案:exy(ysinx+cosx)解析:=exy·ysinx+exy·cosx=exy(ysinx+cosx)。
江苏省专转本(高等数学)模拟试卷6(题后含答案及解析)
江苏省专转本(高等数学)模拟试卷6(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1.若=( )。
A.B.2C.3D.正确答案:C解析:用变量代换求极限,令,x→0时,t→0,,故选C项。
2.设F(x)是f(x)的一个原函数,则=( )。
A.B.C.D.正确答案:B解析:,故答案为B项.3.,则k的值为( )。
A.1B.C.D.-2正确答案:B解析:根据结论:。
4.下列无穷积分收敛的是( )。
A.B.C.D.正确答案:B解析:。
5.设y=f(x)为[a,b]上的连续函数,则曲线y=f(x),x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形面积为( )。
A.B.C.D.正确答案:C解析:对于在[a,b]上函数f(x)有时取正值,有时取负值,所以求面积时f(x)要带上绝对值。
6.的间断点有( )。
A.一个B.两个C.三个D.0个正确答案:B解析:其定义域为x≥3,间断点为x=4,x=5。
填空题7.设f(x)=(x500-1)g(x),其中g(x)在x=l处连续,g(1)=4,则f’(1)=______。
正确答案:2 000解析:8.y=y(x)由ln(x+y)=exy确定,则x=0处的切线方程为______。
正确答案:y-e=(e2-1)x解析:由ln(x+y)=exy,得(1+y’)=exy(y+xy’),x=0,y=e,(1+y’)=e,k=y’(0)=e2-1,所以方程为:y-e=(e2-1)x。
9.=______。
正确答案:解析:。
10.=______。
正确答案:1解析:11.若函数为连续函数,则a+b=______。
正确答案:1解析:b=-1,所以a+b=1。
12.设函数y=2x2+ax+3在x=1处取得极小值,则a=______。
正确答案:-4解析:由极值存在的必要条件知:y’|x=1=0,即4+a=0,故a=-4。
江苏省专转本高数模拟试题与解析第六套
江苏省专转本高数模拟试题与解析第六套江苏省2022年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷(六)解析高等数学注意事项:1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。
2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上,写在草稿纸上无效。
3.本试卷五大题24小题,满分150分,考试时间120分钟。
一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,共24分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的,请把所选项前的字母填在题后的括号内)。
1、下列各极限正确的是()1某A、lim(1)e某0某C、lim某in某1B、lim(1)某e某某1111D、lim某in1某0某某2、已知当某0时,某2ln(1某2)是inn某的高阶无穷小,而inn某又是1co某的高阶无穷小,则正整数n()A、1B、2C、3D、43、若f(某)f(某),且在0,内f(某)0、f(某)0,则在(,0)内必有()''A、f(某)0,f(某)0''B、f(某)0,f(某)0C、f(某)0,f(某)0D、f(某)0,f(某)0某244、曲线y2的渐近线共有()某5某6A、1条B、2条C、3条D、4条5、设f(某)有连续的导函数,且a0、1,则下列命题正确的是()A、f(a某)d某1f(a某)CB、f(a某)d某f(a某)CaC、(f(a某)d某)af(a 某)D、6、下列级数条件收敛的是()f(a某)d某f(某)C2nA、2n1nB、n1nn11(1)nC、nn1D、n1(1)nn二、填空题(本大题共6小题,每小题6分,共24分,请把正确答案的结果添在划线上)。
7、已知f(0)2,则limh0f(h)f(h)h8、已知曲线y2某33某24某5,则其拐点为9、设函数(某)1te2cotdt,则函数(某)的导数(某)某2某tan2某21某)d某10、(11某211、交换积分次序20d某f(某,y)dy某2某12、如果a3,,2,b,2,1,且ab,则____________三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,共64分)。
江苏省专转本(高等数学)模拟试卷50(题后含答案及解析)
江苏省专转本(高等数学)模拟试卷50(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1.若则下列正确的是( ).A.B.C.D.正确答案:D解析:∴选D项.2.下列函数在[一1,1]上满足罗尔定理条件的是( ).A.y=exB.=1+|x|C.y=1-x2D.正确答案:C解析:逐一验证:对于A项,y=ex,e-1≠e,不满足f(-1)=f(1),选项B,y=1+|x|,在x=0处不可导,不满足,D项在x=0处不连续,故排除,选C 项.3.设f(x)=x(x2—12)(x2一22)…(x2一n2),则f’(0)=( ).A.(n!)2B.(一1)n(n!)2C.n!D.(一1)nn!正确答案:B解析:令g(x)=(x2一12)(x2—22) (x2)n2)f(x)=x.g(x)f’(x)=g(x)+xg’(x)f’(0)=g(0)+0=(一1)2(一2)2……(一n)2=(一1)n(n!)2选B项.注:本题用导数定义计算更方便!4.设f(x)=alnx+bx3一3x在x=1,x=2取得极值,则a,b为( ).A.B.C.D.正确答案:B解析:答案选B项.5.设e-2x是f(x)的一个原函数,则=( ).A.2e-2xB.8e-2xC.一2e-2xD.4e-2x正确答案:D解析:(1)(2)∵F(x)=e-2x,∴f(x)=(e-2x)’=一2e-2x.(3)原式=一2(一2)e-2x=4-2x选D项.6.著f(x)的二个原菌数为ln2x,则∫xf’(x)dx=( ).A.lnx—ln2x+CB.21nx+ln2x+CC.2lnx—ln2x+CD.lnx+ln2x+C正确答案:C解析:F(x)=ln2x,选C项。
填空题7.定积分∫02x一1|dx=____________.正确答案:1解析:8.曲线的拐点是_______.正确答案:(1,4)解析:当x=1时,当x∈(一∞,1)时,y’’<0,而当x∈(1,+∞)时,y’’>0,当x=1时,y=4,所以拐点是(1,4).9.若则F[f(f(x))]=________.正确答案:x解析:f[(f(x))]10.已知a,b均为单位向量,且,则以向量a.b为邻边的平行四边形的面积为___________.正确答案:解析:根据向量叉积,以向量a,b为邻边的平行四边形的面积为S=|a|.|b|sinθ=a.b,由已知,|a|=1,|b|=1,a.b=|a|.|b|cosθ=,可得sinθ=,可得平行四边形面积为11.的收敛半径和收敛域为___________.正确答案:解析:12.若=_____________.正确答案:解析:,把(1,一1)代入即可.解答题解答时应写出推理、演算步骤。
江苏省专转本高等数学模拟试卷带答案哈哈哈
专转本数学模拟试卷一.选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分,每项只有一个正确答案,请把所选项前的字母填在括号内) 1.若A x f x =-→)(lim 2,则对于给定的任意小的正数δ,使得当满足条件( )时,恒有ε<-A x f )((A)δ<-<00x x (B)δ<-<20x (C) δ<-<x 20 (D) δ<-<20x2.函数68x y -=的值域是( )(A)()+∞,0 (B) (]1,0 (C) ()1,0 (D) ()+∞∞-,3.⎰=)(sec xdx(A) c x x ++tan sec ln (B) c x x ++-tan sec ln (C) c x x +-cot csc ln (D) c x x +--cot csc ln 4.设在[]b a ,上0)(>x f ,0)(<'x f ,0)(>''x f ,令dx x f y b a⎰=)(1,))((2a b b f y -=,[]()a b b f a f y -+=)()(213,则有( )(A) 321y y y << (B) 312y y y << (C) 213y y y << (D) 132y y y <<5.两个非零向量a 与b垂直的充分必要条件是( )(A) 0=⋅b a(B) 0=⨯b a (C) 0=⨯a b (D) 0=⋅a a二.填空题(本大题共5小题,每小题2分,共10分,请把正确结果填在划线上) 1.方程()yx yee y x +=-确定的函数dxdy在()1,1的导数为 2. 函数x y sec =的导数为 3. xey y -=+'的通解是4.积分⎰'dx x v x u )()(=5.dx x ⎰-22sin ππ=三.计算题(本大题共14题,1-10题每题4分, 11-14题每题10分) 1. xxy cos 1sin 5+=,求导数y '2.求极限xx x x 2sin 1sinlim20→ 3.已知⎩⎨⎧=+=ty t x cos )1ln(2,求dx dy4.⎰+dx x x2cos 1cos5.⎰e edx x 1ln6.求方程xe y y y 36=-'+''的通解7.求)](cos[x f y =的一阶导数dx dy,二阶导数22dxy d8.试讨论函数x y sin =在0=x 处的连续性及可导性 9.求二重积分σd y x D⎰⎰22sin 3,其中D 为y 轴与曲线段y x cos =,22ππ≤≤-y 所围成的区域10.讨论函数)41(18363223≤≤+--=x x x x y 在何处取最大值11.设)(x f 在[]2,1上具有二阶导数)(x f '',且0)1()2(==f f ,如果)()1()(x f x x F -=,试证明至少存在一点()2,1∈ξ,使0)(=''ξF12.求由曲线)1ln(+=x y 在点()0,0处的切线与抛物线22-=x y 所围成的平面图形的面积13.设函数)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且0)()(==b f a f ,证明:在()b a ,内至少有一点ξ,使)(2)(ξξf f ='14.某公司年产量为x 百台机床,总成本为c 万元,其中固定成本为2万元,每产1百台增加1万元,市场上每年可销售此商品4百台,其销售总收入)(x R (单位:万元)是x 的函数,⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-=4840214)(2x x x x x R 问每年生产多少台利润最大?参考答案一.选择题1. C2. B3. A4. B5. A 二.填空题 1.ee +-11 2. x x tan sec 3.xe c x y -+=)( 4.⎰'-dx x u x v x v x u )()()()( 5.2 三.计算题1.解:'⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x y cos 1sin 5=2)cos 1()sin 0(sin )cos 1(cos 5x x x x x +--+⋅=x cos 15+ 2.解:x x x x 2sin 1sinlim20→=xx x x x 22sin 21sinlim 0⋅→= 0120=⨯(注意本题不可用洛必塔法则) 3.解:t t t t t t dt dx dt dydx dy 2sin )1(12sin 22+-=+-==4.解:⎰+dx x x 2cos 1cos =⎰dx xx 2cos 2cos =⎰dx x cos 121=⎰xdx sec 21=c x x ++tan sec ln 215.解:⎰e edx x 1ln =⎰11ln edx x +⎰e dx x 1ln =⎰-11ln exdx +⎰exdx 1ln=[]⎰⋅+-11111ln e edx x x x x +[]dx x x x x e e⎰⋅-111ln=)1(01110---+-+-e e e e =)11(2e- 6.解:对应的齐次方程的特征方程为062=-+λλ得2,321=-=λλ于是对应的齐次方程的通解为x xe c ec y 2231+=-(其中21,c c 是任意常数)因为3=μ不是特征根,所以设特解为xAe y 3=*代入原方程,得61=A ,x e y 361=* 故原方程的通解为xx x e e c e c y y y 3223161++=+=-*(其中21,c c 是任意常数) 7.解:[])()(sin x f x f y '-='[][]2)()(cos x f x f y '-=''[])()(sin x f x f ''-8.解:)0(0sin lim )(lim 0f x x f x x ===→→∴x y sin =在0=x 处连续又1sin lim 0sin lim )0()(lim )0(000-=-=-=-='---→→→-x x x x x f x f f x x x 1sin lim 0sin lim )0()(lim )0(000==-=-='+++→→→+xxx x x f x f f x x x ∴x y sin =在0=x 处不可导9.解:σd y xD⎰⎰22sin 3=⎰⎰-22cos 022sin 3ππy ydx x dy =⎰-2232cos sin ππydy y=⎰232cos sin 2πydy y =()⎰-2022sin sin 1sin 2πy d y y=()⎰-2042sin sin sin2πy d y y=02sin 52sin 3253π⎪⎭⎫ ⎝⎛-y y =154 10.解:)2)(3(636662+-=--='x x x x y 令0='y ,得3,)(2=-=x x 舍去计算19)1(-=y ,63)3(-=y ,46)4(-=y 故)41(18363223≤≤+--=x x x x y 在1=x 处取得最大值19)1(-=y11.证明:设)1()2()()(f x x F x G --=,则)(x G 在[]2,1上连续,在)2,1(内可导而)1()1(f G =,)2()2(f G = 于是由0)1()2(==f f 知)2()1(G G =由罗尔定理知在)2,1(内至少有一点1ξ使0)(1='ξG ,即)1()(1f F ='ξ 又由)()1()()(x f x x f x F '-+='知)1()1(f F ='显然)()1()()(x f x x f x F '-+='在[]1,1ξ上满足罗尔定理条件于是在),1(1ξ内至少有一点ξ使0)(=''ξF 即在)2,1(内至少有一点ξ使0)(=''ξF 12.解:111)0(0=+='==x x y k ,切线方程为x y =切线与抛物线交点为()1,1--与()2,2 于是29)]2([212=--=⎰-dx x x S 13.证明:设)()(2x f ex F x-=,则)(x F 在[]b a ,上连续,在),(b a 内可导,且0)()(==b F a F于是由罗尔定理知在()b a ,内至少有一点ξ,使0)()(2)(22='+-='--ξξξξξf e f e F即)(2)(ξξf f ='14.解:设每年的产量为x 百台时利润为y 万元则⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤---=-=428402214)()(2x x x x x x x C x R y ⎩⎨⎧>-≤≤-='41403x x x y 令0='y 得3=x 计算()20-=y ,()253=y ,()24=y 故每年生产3百台时利润最大为()253=y 万元。
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[专升本类试卷]江苏省专转本(高等数学)模拟试卷67
一、选择题
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1 已知∫f(x)dx=e2x+C,则∫f′(一x)dx=( )。
(A)2e—2x+C
(B)e—2x+C
(C)一2e—2x+C
(D)e—2x+C
2 在下列极限求解中,正确的是( )。
(A)
(B)
(C)
(D)
3 下列级数中条件收敛的是( )。
(A)
(B)
(C)
(D)
4 曲线y=x3一3x在开区间(0,1)内为( )。
(A)单调上升,且上凹
(B)单调下降,且下凹
(C)单调上升,且下凹
(D)单调下降,且上凹
5 若直线l与Ox平行,且与曲线y=x—e x相切,则切点坐标为( )。
(A)(1,1)
(B)(一1,1)
(C)(0,一1)
(D)(0,1)
6 f(x)=且f(x)在x=0处连续,则a的值为( )。
(A)1
(B)0
(C)
(D)
二、填空题
7 设y=y(x)满足e xy+sin(x2y)=y3,则y′(0)=____________。
8 设函数y=2x2+ax+3在x一1处取得极小值,则a=____________。
9 z=ln,则=____________。
10 微分方程f′cosx—ysinx=1的通解为____________。
11 设|a|=1,a⊥b,则a.(a+b)=____________。
12 曲线y=2x与y=log2x关于____________对称。
三、解答题
解答时应写出推理、演算步骤。
13 求。
14 求∫xln(1+2x)dx。
15 将函数f(x)=xln(1+x)展开为x的幂函数(要求指出收敛区间)。
16 设z=,其中f(u)可导,求+。
17 求函数f(x)=的间断点并判断其类型。
18 求f(x)=在[e,e2]上的最大值。
19 求一曲线方程,此曲线在任一点处的切线斜率等于2x+y,并且曲线通过原点。
20 求微分方程y″=满足初始条件=2,= 一1的特解。
四、综合题
21 设f(x)在闭区间[0,1]上连续,在(0,1)内大于0,并满足xf′(x)=f(x)+3x2。
若曲线y=f(x)与x=1,y=0所围成的图形S的面积为2,求y=f(x)。
22 设g(t)=,其中D t是由x=t、y=t以及坐标轴围成的正方形区域,函数f(x)连续。
23 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告,根据统计资金,销售收入z(万元)与电台广告费用z(万元)及报纸广告费用y(万元)之间有如下关系:
五、证明题
24 证明:当x>0时成立。
25 设F(x)是f(x)的一个原函数,G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)= 一1,f(0)=1,证明:f(x)=e x或f(x)=e一x。