2014年高考天津卷理科数学试题(Word版含答案)

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2014年天津市高考数学试卷(理科)(附参考答案+详细解析Word打印版)

2014年天津市普通高等学校招生统一考试数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．9454．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=16．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC 于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④A F•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为．14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．20．（14分）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．2014年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．【解答】解：复数==，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．945【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，∵跳出循环的i值为4，∴输出S=1×3×5×7=105．故选：B．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．4．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【分析】令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．【解答】解：令t=x2﹣4＞0，可得x＞2，或x＜﹣2，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=log t随t的减小而增大，所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC 于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，FB2=FD•FA．即结论②成立．由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故选：D．【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b ＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．②当a＞0，b＜0时，a＞b．③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b ＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．【解答】解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．11．（5分）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为﹣．【分析】由条件求得，S n=，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，由此求得a1的值．【解答】解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，即=a1•（4a1﹣6），解得a1=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为3．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+（y﹣2）2=4，可得a的值．【解答】解：直线ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲线ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，∵△AOB是等边三角形，∴B（a，a），代入x2+（y﹣2）2=4，可得（a）2+（a﹣2）2=4，∵a＞0，∴a=3．故答案为：3．【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B的坐标是解题的关键，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）∪（9，+∞）．【分析】由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=a|x ﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的图象，当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|=，当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），即x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，若x=1，则4=0不成立，故x≠1，则方程等价为a===||=|x﹣1++5|，设g（x）=x﹣1++5，当x＞1时，g（x）=x﹣1++5≥，当且仅当x﹣1=，即x=3时取等号，当x＜1时，g（x）=x﹣1++5=5﹣4=1，当且仅当﹣（x ﹣1）=﹣，即x=﹣1时取等号，则|g（x）|的图象如图：若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则满足a＞9或0＜a＜1，故答案为：（0，1）∪（9，+∞）【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx•（sinx cosx）====所以，f（x）的最小正周期=π．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，由x∈[﹣，]得，2x∈[﹣，]，则∈[，]，∴当=﹣时，即=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为．【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值．【解答】（Ⅰ）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，则，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为．（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC 的方向向量，根据•=0，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【解答】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∴=（0，1，1），=（2，0，0）∵•=0，∴BE⊥DC；（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），设平面PBD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，则=（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角θ满足：sinθ===，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（Ⅲ）∵=（1，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），由F点在棱PC上，设=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），故=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），由BF⊥AC，得•=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，解得λ=，即=（﹣，，），设平面FBA的法向量为=（a，b，c），由，得令c=1，则=（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：cosα===，故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．【分析】（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|．可得，再利用b2=a2﹣c2，e=即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．可设椭圆方程为，设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得，．利用圆的性质可得，于是=0，得到x0+y0+c=0，由于点P在椭圆上，可得．联立可得=0，解得P．设圆心为T（x1，y1），利用中点坐标公式可得T，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|，可得，化为a2+b2=3c2．又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．∴e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．因此椭圆方程为．设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得=（x0+c，y0），=（c，c）．∵，∴=c（x0+c）+cy0=0，∴x0+y0+c=0，∵点P在椭圆上，∴．联立，化为=0，∵x0≠0，∴，代入x0+y0+c=0，可得．∴P．设圆心为T（x1，y1），则=﹣，=．∴T，∴圆的半径r==．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．∵直线l与圆相切，∴，整理得k2﹣8k+1=0，解得．∴直线l的斜率为．【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．【分析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，x i∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．（Ⅱ）由于a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，可得a n﹣b n≤﹣1．由题意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（a n﹣1﹣b n﹣1）q n﹣2+（a n﹣b n）q n﹣1≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）q n﹣2﹣q n﹣1再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，x i∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，∴s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（a n﹣1﹣b n﹣1）q n﹣2+（a n﹣b n）q n﹣1≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）q n﹣2﹣q n﹣1=（q﹣1）（1+q+…+q n﹣2）﹣q n﹣1=﹣q n﹣1=﹣1＜0．∴s＜t．【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．20．（14分）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（Ⅱ）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x1=a，x2=a，则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令h（x）=，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=x ﹣ae x ，∴f′（x ）=1﹣ae x ；下面分两种情况讨论：①a ≤0时，f′（x ）＞0在R 上恒成立，∴f （x ）在R 上是增函数，不合题意； ②a ＞0时，由f′（x ）=0，得x=﹣lna ，当x 变化时，f′（x ）、f （x ）的变化情况如下表：∴f （x ）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna ），减区间是（﹣lna ，+∞）；∴函数y=f （x ）有两个零点等价于如下条件同时成立：①f （﹣lna ）＞0；②存在s 1∈（﹣∞，﹣lna ），满足f （s 1）＜0；③存在s 2∈（﹣lna ，+∞），满足f （s 2）＜0；由f （﹣lna ）＞0，即﹣lna ﹣1＞0，解得0＜a ＜e ﹣1；取s 1=0，满足s 1∈（﹣∞，﹣lna ），且f （s 1）=﹣a ＜0，取s 2=+ln ，满足s 2∈（﹣lna ，+∞），且f （s 2）=（﹣）+（ln ﹣）＜0；∴a 的取值范围是（0，e ﹣1）．（Ⅱ）证明：由f （x ）=x ﹣ae x =0，得a=，设g （x ）=，由g′（x ）=，得g （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，并且当x ∈（﹣∞，0）时，g （x ）≤0，当x ∈（0，+∞）时，g （x ）≥0，x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e﹣1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意的a1、a2∈（0，e﹣1），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中0＜X1＜1＜X2；g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g（X i）＞g（Y i），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；又由X、Y＞0，得＜＜；∴随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明：∵x1=a，x2=a，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，设=t，则t＞1，∴，解得x1=，x2=，∴x1+x2=…①；令h（x）=，x∈（1，+∞），则h′（x）=；令u（x）=﹣2lnx+x﹣，得u′（x）=，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；∴由①得x1+x2随着t的增大而增大．由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，∴x1+x2随着a的减小而增大．【点评】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．。

2014年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8小题，每小题5分）1.（ 5分）（2014 ?天津）i 是虚数单位，复数 -------- =（）3+41 A . 1-i B . - 1+iC .丄+」D_ +_i25 2^77考点：复数代数形式的乘除运算. 专题：数系的扩充和复数.分析：将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3 -4i ，即求出值.解答：解：复数 7+1. (7+1) (3-41)|25 - 25! “.34-41 (3+蚯)(3-4i)=251故选A .点评：本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题.最小值为（）A . 2B . 3考点：简单线性规划. 专题：不等式的解法及应用.分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求解答：解：作出不等式对应的平面区域，由 z=x+2y ，得 y=-丄-*盂4违的截距最小，此时z 最小. 此时z 的最小值为z=1+2 xi=3, 故选：B .平移直线y=- ，由图象可知当直线 y=- 经过点B （1, 1）时，直线y=2. （ 5分）（2014?天津）设变量 z=x+2y 的z 的最大值. x ,则目标函数ic/Il-1-1■J/\点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.3.（5分）（2014?天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A . 15 B. 105 C. 245 D. 945考点：程序框图.专题：算法和程序框图.分析：算法的功能是求S=1 >3>5X-（2i+1 ）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值.解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=1 X3>5X->>2i+1 ）的值，•/跳出循环的i值为4,•••输出S=1 X3X5XM05 .故选：B.点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键.4. > 5分）> 2014?天津）函数f >x）=log >x2_4）的单调递增区间为> ）~2A . > 0, +7 B. （— a, 0）C. > 2, +呵D. > — a,—2）考点：复合函数的单调性.专题：函数的性质及应用.分析：令t=x2- 4 >0,求得函数f (x)的定义域为(-汽-2) U (2, + 8),且函数f ( x) =g (t) =log ]t.根据复合函数的单调性，本题即求函数t在(-8, - 2) U (2, + ^) 2上的减区间•再利用二次函数的性质可得，函数t在(-8,- 2) U (2, + 8)上的减区间.解答：解：令t=x2- 4 > 0,可得x > 2，或X V- 2,故函数f (x)的定义域为(- 8,- 2) U (2, + 8),当x€(-8,- 2)时，t随x的增大而减小，y=log 11随t的减小而增大，~2所以y=log ] (x2- 4)随x的增大而增大，即f (乂)在(-8,- 2)上单调递增.故选：D.点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题.2 2岂-耳=1 (a>0, b>0)的一条渐近线平行于直线a2b23• • 2 2 .2-c =a +b ,2 2--a =5, b =20,5. ( 5分)(2014?天津)已知双曲线y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线I上，则双曲线的方程为(=1[Too考点：双曲线的标准方程.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：先求出焦点坐标，利用双曲线£-£=1 (a>0, b>0)的一条渐近线平行于直线a21/, 2 2 2y=2x+10，可得=2，结合c =a +b，求出aa, b,即可求出双曲线的方程.解答：解：•••双曲线的一个焦点在直线I 上,令y=0，可得x= - 5,即焦点坐标为(-5, 0), ••• c=5,-=1 (a> 0, b > 0)的一条渐近线平行于直线I: y=2x+10 ,C.=1故选：A .点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题.6. （5分）（2014?天津）如图，△ ABC是圆的内接三角形，/ BAC的平分线交圆于点D ,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分/ CBF;②FB2=FD?FA；③AE?CE=BE ?DE;④AF?BD=AB ?BF .所有正确结论的序号是（）A .①②B .③④C .①②③D .①②④考点：与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用.专题：直线与圆.分析：本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项.解答：解：•••圆周角/ DBC对应劣弧CD，圆周角/ DAC对应劣弧CD,••• / DBC= / DAC .•••弦切角/ FBD对应劣弧BD，圆周角/ BAD对应劣弧BD ,•/ FBD= / BAF .•/ AD是/ BAC的平分线，•/ BAF= / DAC .•/ DBC= / FBD .即BD平分/ CBF .即结论①正确. 又由 / FBD= / FAB , / BFD= /AFB，得△ FBD 〜△ FAB .由,FB2=FD?FA .即结论②成立.r A rb由—-得AF?BD=AB ?BF .即结论④成立.AF _AB正确结论有①②④ .故答案为D点评：本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题.7. （ 5 分）（2014?天津）设 a , b€R ，贝U a >b”是 a|a|>b|b|”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题：简易逻辑.分析：根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 解答：解：若a >b ,① a > b%,不等式a|a|> b|b 等价为a?a > b?b ,此时成立.② 0>a > b ,不等式a|a >b|b|等价为-a?a >- b?b , 即卩a 2< b 2,此时成立.③ a^0 > b ,不等式a|a|> b|b 等价为a?a >- b?b ，即a >- b ,此时成立，即充分性成立. 若 a|a|> b|b|,① 当 a >0, b > 0 时，a|a |>b|b|去掉绝对值得，（a - b ）（a+b ）> 0，因为 a+b >0,所以 a -b >0，即 a >b .② 当 a > 0, b < 0 时，a > b .③ 当 a < 0, b < 0 时，a|a |>b|b|去掉绝对值得，（a - b ）（a+b ）< 0，因为 a+b < 0,所以a -b >0，即a >b .即必要性成立，综上a >b"是a|a |>b|b|”的充要条件，故选：C .点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键.& （ 5分）（2014?天津）已知菱形 ABCD 的边长为2, / BAD=120 °点 _ _.=入L-, I =』：’，若（_-?，* =1，-'上？-.1 =考点：专题：分析：平面向量数量积的运算. 平面向量及应用.利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由AL ? AF 1，求得4 A+4卩-2入=：3①；再由JE ?L,F --；,求得-入-入甘-下②.纟口合①②求得入+卩的值.解答：解:由题意可得若 AE ?AT = ( A5+BE ) ?(应5+DF )=阴存 AD +址■ AD +BI!・ DFE 、F 分别在边BC 、DC 上, 1B. 2C. 5D . 2 36?12A .=4 V4 p- 2 入—2=1 ,4 V+4 p- 2 入=3 ①.西?斎-EC ?（-氏）版呢=（1 -入）厩？（1 - P）瓦=（1- V）而? （1 -2=(1 - V (1-p) »>DOS120 = (1 -入—p+ 入)(-2)=-二，即-V p+ V =,-二②.3由①②求得V+尸二，6点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义, 属于中档题.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9. （5分）（2014?天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4: 5: 5: 6,则应从一年级本科生中抽取60 名学生.考点：分层抽样方法. 专题：概率与统计.分析：先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求.解答：解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为丄4+5+B+6 5故应从一年级本科生中抽取名学生数为300 >=60,故答案为：60.=2 >2 >Cos120°【-■ i' '■+ 入「，i?「i+ V I?『，'= -2+4 p+4 廿入卩2滋Xdos120°点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法, 应各层的样本数之比，属于基础题.利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对故答案为：上.10.（5分）（2014?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积为侧视图考点：由三视图求面积、体积. 专题：立体几何.分析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算. 解答：解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4,底面直径为2,圆锥的高为2，底面直径为4,几何体的体积V n点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.11. （5分）（2014?天津）设｛a n ｝是首项为a i ，公差为-1的等差数列，S n 为其前n 项和，若 S i , S 2, S 4成等比数列，则 a 1的值为 -丄.考点：等比数列的性质. 专题：等差数列与等比数列. 分析：n （ 2ai+l - n ）由条件求得，S n = -------------- ----------- ，再根据S 1,S 2, S 4成等比数列，可得％ Z=S 1?S 4, 由此求得a 1的值.m .正视图傭观圏兀.故答案为:再根据若S i, S2, S4成等比数列，可得S 2 2=S1?S4，即(施］-1) 2=a i? (4a i -6),解得a i=-—,1故答案为：-一.2点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题.12. (5分)(2014?天津)在△ ABC中，内角A, B, C所对的边分别是a, b, c,已知b-c4a，2sinB=3sinC,则cosA的值为一丄—考点：余弦定理；正弦定理.专题：解三角形.分析：由条件利用正弦定理求得a=2c, ,再由余弦定理求得cosA= * 的值.2 2bc解答：解：在△ ABC中，故答案为：-一.4点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.13. (5分)(2014?天津)在以0为极点的极坐标系中，圆p=4sin B和直线p in 9=a相交于A、B两点，若△ AOB是等边三角形，则a的值为3 .考点：简单曲线的极坐标方程.专题：坐标系和参数方程.分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+ (y- 2) 2=4，可得a 的值.解答：解：直线psin 0=a 即y=a, (a>0),曲线p=4sin 0,2 2 2即p =4 psin0,即x + (y - 2) =4,表示以C (0, 2)为圆心，以2为半径的圆，解答:解：由题意可得, a n=a i+( n —1)( —1 )=a i+1 -■/ b- c」a ①，2sinB=3sinC ,4••• 2b=3c ②，•/ △ AOB 是等边三角形，••• B (二a , a ),3直线和圆的位置关系，求出B 的坐214. ( 5 分)(2014?天津)已知函数 f ( x ) =|x +3x|, 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为 (0, 1)考点：专题：分析：根的存在性及根的个数判断. 函数的性质及应用. 由 y=f (x )- a|x - 1|=0 得 f (x ) =a|x - 1|,作出函数 y=f (x ), y=a|x - 1|的图象利用数形结合即可得到结论.解答：解：由 y=f (x ) - a|x — 1|=0 得 f (x ) =a|x - 1|, 作出函数y=f (x ), y=g (x ) =a|x - 1|的图象，当a 切，不满足条件，f a ts - 1)玄>1则 a > 0,此时 g (x ) =a|x - 1|=, _ ,L _ a (i _ PY 1当—3v x v 0 时，f (x ) = - x 2- 3x , g (x ) = - a (x - 1), 当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时-x 2 - 3x= - a (x - 1),即 x + (3 - a ) x+a=0, 则由△ = (3- a ) 2 - 4a=0，即 a 2- 10a+9=0，解得 a=1 或 a=9, 当a=9 时，g (x ) = - 9 (x - 1), g (0) =9，此时不成立，•此时 a=1,要使两个函数有四个零点，则此时0v a v 1,若a > 1,此时g (x ) = - a (x - 1 )与f (x ),有两个交点，此时只需要当x > 1时，f (x ) =g (x )有两个不同的零点即可，即 x +3x=a (x - 1),整理得 x + ( 3 - a ) x+a=0 ,则由△ = (3- a ) 2 - 4a > 0, 即卩 a 2 - 10a+9>0，解得 a v 1 (舍去)或 a > 9, 综上a 的取值范围是(0, 1) U (9, + s),方法 2：由 f (x )- a|x - 1|=0 得 f (x ) =a|x - 1|,x €R ,若方程 f (x )- a|x- 1|=0 恰有 4 U (9, +s).代入 x 2+ ( y - 2)2=4，可得(2+ (a -2) 2 =4,a > 0, - - a=3.点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法, 标是解题的关键，属于基础题.若x=1，则4=0不成立, 故x 力,f (J=1x 沖1 =1、丘 - 1 ) 2+5 (K- 1)|K -I || lx-11x-1+5|, 设 g (x ) =x — 1+'!当 x > 1 时，g (x ) =x — 1+，:Z-1+5 ■1—-— - ■■ I "，当且仅当 X _ 1口号,+5,则方程等价为|=|x - 1+1X-1仁1，即x=3时取等当X V 1时,=5 — 4=1，当且仅当—(x — 1)=—」L ,即卩x= — 1时取等号，Z- 1则|g ( X )I 的图象如图：若方程f (x )— a|x — 1|=0恰有4个互异的实数根, 则满足a > 9或0 V a v 1,故答案为:点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强, 难度较大.三、解答题(共6小题，共80分)I 7115. (13 分)(2014?天津)已知函数 f (x ) =cosx?sin (x+—)(I )求f (x )的最小正周期；jr| jr(n )求f (x )在闭区间［-——,——］上的最大值和最小值.4 4考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法. 专题：三角函数的图像与性质. 分析：(i )根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的,x €R .(n )由(i )化简的函数解析式和条件中x 的范围,求出2x- —的范围，再利用3正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值.解答: 解答解：(i )由题意得，1 . . V3 2=-=.i ；■: ' ■ ■q q=*「」「.I-：.」.(2工-中Vs qL ・2Sin所以, 由(I )得 f (x )|一 ,周期公式求出此函数的最小正周期;cosx )f (x ) =cosx? (—sinx2f (x )的最小正周期=n.16. （ 13分）（2014?天津）某大学志愿者协会有 6名男同学，4名女同学，在这10名同学中, 3名同学来自数学学院，其余 7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这 10名同学中随机选取 3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）（I ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；f n ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.考点：古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列. 专题：概率与统计. （I ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；兀口]，则 2疋一 "€[— 5717T ? -------------2 23 6 6,即吕口（2丈一芈）=- 乂时，_ 1~2f ( x ) 函数f （x ）取到最小值是:取到最大值是:丄，最小值为4点评：本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题.分析: 3名同学是来自互不相同学院的（n ）随机变量X 的所有可能值为0, 1, 2,3, P (X=k)3-k---- --- (k=0 , 1, 2,解答:3）列出随机变量 X 的分布列求出期望值.f I ）解：设选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A ,点评: _C 扣*弼49c10，=60所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为（n ）解：随机变量X 的所有可能值为2, 3）所以随机变量的分布列是2 3 lb随机变量0, 1, 2,4960(k=0, 1,31] 30 X 的数学期望 E47+3X7^^.5210 30 5本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望,考查应用概率解决实际问题的能力. 由 x€[- 所以，所求的最大值为丄，_]得，2x €[-sin 〔2蛊 - ¥ 1时, ],周期公式17. （ 13 分）（2014?天津）如图，在四棱锥 P- ABCD 中，PA 丄底面 ABCD ,AD 丄 AB ,AB // DC , AD=DC=AP=2 , AB=1，点 E 为棱 PC 的中点.（I ）证明：BE 丄DC ;（II ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（川）若F 为棱PC 上一点，满足 BF 丄AC ,求二面角F -AB - P 的余弦值.考点：专题：分析：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角. 空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何.（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE , DC 的方向向量,根据二了？ |-0 ,可得BE 丄DC ;（II ）求出平面PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线 BE 与平面PBD所成角的正弦值；（川）根据BF 丄AC ,求出向量IT 的坐标，进而求出平面 FAB 和平面ABP 的法向量, 代入向量夹角公式，可得二面角 F - AB - P 的余弦值. 解答: 证明：（1） •/ PA 丄底面ABCD , AD 丄AB ,以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，••• AD=DC=AP=2 , AB=1，点 E 为棱 PC 的中点.••• B ( 1, 0 , 0), C (2 , 2 , 0), D ( 0 , 2 , 0),P(0 , 0 , 2), E (1 , 1 , 1)-- ■- - N=(0 , 1 , 1), 1'= (2 , 0 , 0) I '=0 ,• BE 丄 DC ;(n ) v | i= ( - 1, 2, 0),可；=(1, 0, - 2),设平面PBD 的法向量| = (x , y , z ),令 y=1，则 >■= ( 2, 1, 1), 则直线BE 与平面PBD 所成角B 满足:(出)V|，■-= (1 , 2, 0),心(-2,- 2, 2), i= (2, 2, 0),由F 点在棱PC 上，设CF =疋P = (- 2入，-2入2 X) (0三入1) 故E?=^+EF = (1 - 2 人 2 - 2X, 2X (0W 入1 炙, 由 BF 丄 AC ,得 BF ?AC =2 (1 - 2 X +2 (2- 2 X =0,设平面FBA 的法向量为ii= (a , b , c ),令 c=1，则「i= ( 0,- 3, 1), 取平面ABP 的法向量| i = (0, 1, 0), 则二面角F - AB - P 的平面角 a 满足:故二面角F - AB - P 的余弦值为：— 10点评：本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键.ID 尸 BD-m*PB=0，得-s+2y=0 x - 2 z=0sin 0=in故直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为Vsn * AB = 0 n*BF=0COS a == 3I i | ■|n | 7103v'TC i10 即芋=(-，得18. (13分)(2oi4?天津)设椭圆亠+ 二=1 (a > b > o )的左、右焦点分别为 F i 、F 2，右顶a 2b 2点为A ，上顶点为B ,已知|AB|=丄丄|F i F 2|.2(I )求椭圆的离心率；(n )设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点 F 1,经过原点O 的直线I 与该圆相切，求直线I 的斜率.考点：直线与圆锥曲线的综合问题. 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：(I )设椭圆的右焦点为F 2 ( c , o ),由|AB|=V3|F 1F 2|.可得Qj + b 巫容x 2c , 再利用b 2=a 2 - c 2, e=即可得出.aj - ] ■ 1 . - =c (x o +c ) +cy o =0,(n )由(i )可得b 2=c 2 •可设椭圆方程为? 2亠;亡二1 ,设 P (x o , y o ),由 F i (-c , o ) , B( o , c ),可^得卩利用圆的性质可得-,于是I卜=。

2014年天津市高考数学试卷(理科)

2014年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题.每小题5分）1．（5分）i是虚数单位.复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i2．（5分）设变量x.y满足约束条件.则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）阅读如图的程序框图.运行相应的程序.输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．9454．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0.+∞）B．（﹣∞.0）C．（2.+∞）D．（﹣∞.﹣2）5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0.b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10.双曲线的一个焦点在直线l上.则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=16．（5分）如图.△ABC是圆的内接三角形.∠BAC的平分线交圆于点D.交BC于E.过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下.给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④7．（5分）设a.b∈R.则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2.∠BAD=120°.点E、F分别在边BC、DC上.=λ.=μ.若•=1.•=﹣.则λ+μ=（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题.每小题5分.共30分）9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向.拟采用分层抽样的方向.从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6.则应从一年级本科生中抽取名学生．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）.则该几何体的体积为m3．11．（5分）设{an }是首项为a1.公差为﹣1的等差数列.Sn为其前n项和.若S1.S2.S4成等比数列.则a1的值为．12．（5分）在△ABC中.内角 A.B.C所对的边分别是 a.b.c.已知b﹣c= a.2sinB=3sinC.则cosA的值为．13．（5分）在以O为极点的极坐标系中.圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点.若△AOB是等边三角形.则a的值为．14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|.x∈R.若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根.则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题.共80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+.x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣.]上的最大值和最小值．16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学.4名女同学.在这10名同学中.3名同学来自数学学院.其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学.到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数.求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图.在四棱锥P﹣ABCD中.PA⊥底面ABCD.AD⊥AB.AB∥DC.AD=DC=AP=2.AB=1.点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点.满足BF⊥AC.求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2.右顶点为A.上顶点为B.已知|AB|=|F1F2 |．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点.以线段PB为直径的圆经过点F1.经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率．19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0.1.2.….q﹣1}.集合A={x|x=x1+x2q+…+xnq n﹣1.xi∈M.i=1.2.…n}．（Ⅰ）当q=2.n=3时.用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s.t∈A.s=a1+a2q+…+anq n﹣1.t=b1+b2q+…+bnq n﹣1.其中ai.bi∈M.i=1.2.….n．证明：若an ＜bn.则s＜t．20．（14分）设f（x）=x﹣ae x（a∈R）.x∈R.已知函数y=f（x）有两个零点x1.x2.且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．2014年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题.每小题5分）1．（5分）（2014•天津）i是虚数单位.复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i.即求出值．【解答】解：复数==.故选A．2．（5分）（2014•天津）设变量x.y满足约束条件.则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】作出不等式对应的平面区域.利用线性规划的知识.通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域.由z=x+2y.得y=﹣.平移直线y=﹣.由图象可知当直线y=﹣经过点B（1.1）时.直线y=﹣的截距最小.此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3.故选：B．3．（5分）（2014•天津）阅读如图的程序框图.运行相应的程序.输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．945【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值.根据条件确定跳出循环的i值.计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值.∵跳出循环的i值为4.∴输出S=1×3×5×7=105．故选：B．4．（5分）（2014•天津）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0.+∞）B．（﹣∞.0）C．（2.+∞）D．（﹣∞.﹣2）【分析】令t=x2﹣4＞0.求得函数f（x）的定义域为（﹣∞.﹣2）∪（2.+∞）.且函数f（x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性.本题即求函数t在（﹣∞.﹣2）∪（2.+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得.函数t在（﹣∞.﹣2）∪（2.+∞）上的减区间．【解答】解：令t=x2﹣4＞0.可得 x＞2.或 x＜﹣2.故函数f（x）的定义域为（﹣∞.﹣2）∪（2.+∞）.当x∈（﹣∞.﹣2）时.t随x的增大而减小.y=log t随t的减小而增大.所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大.即f（x）在（﹣∞.﹣2）上单调递增．故选：D．5．（5分）（2014•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0.b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10.双曲线的一个焦点在直线l上.则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】先求出焦点坐标.利用双曲线﹣=1（a＞0.b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10.可得=2.结合c2=a2+b2.求出a.b.即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上.令y=0.可得x=﹣5.即焦点坐标为（﹣5.0）.∴c=5.∵双曲线﹣=1（a＞0.b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10.∴=2.∵c2=a2+b2.∴a2=5.b2=20.∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．6．（5分）（2014•天津）如图.△ABC是圆的内接三角形.∠BAC的平分线交圆于点D.交BC于E.过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下.给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④【分析】本题利用角与弧的关系.得到角相等.再利用角相等推导出三角形相似.得到边成比例.即可选出本题的选项．【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD.圆周角∠DAC对应劣弧CD.∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD.圆周角∠BAD对应劣弧BD.∴∠FBD=∠BAF．∵AD是∠BAC的平分线.∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB.∠BFD=∠AFB.得△FBD～△FAB．由.FB2=FD•FA．即结论②成立．由.得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故答案为D7．（5分）（2014•天津）设a.b∈R.则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】根据不等式的性质.结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若a＞b.①a＞b≥0.不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b• b.此时成立．②0＞a＞b.不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b• b.即a2＜b2.此时成立．③a≥0＞b.不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b.即a2＞﹣b2.此时成立.即充分性成立．若a|a|＞b|b|.①当a＞0.b＞0时.a|a|＞b|b|去掉绝对值得.（a﹣b）（a+b）＞0.因为a+b＞0.所以a﹣b＞0.即a＞b．②当a＞0.b＜0时.a＞b．③当a＜0.b＜0时.a|a|＞b|b|去掉绝对值得.（a﹣b）（a+b）＜0.因为a+b＜0.所以a﹣b＞0.即a＞b．即必要性成立.综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件.故选：C．8．（5分）（2014•天津）已知菱形ABCD的边长为2.∠BAD=120°.点E、F分别在边BC、DC上.=λ.=μ.若•=1.•=﹣.则λ+μ=（）A．B．C．D．【分析】利用两个向量的加减法的法则.以及其几何意义.两个向量的数量积的定义由•=1.求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣.求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．【解答】解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1.∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣.即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=.故答案为：．二、填空题（共6小题.每小题5分.共30分）9．（5分）（2014•天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向.拟采用分层抽样的方向.从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6.则应从一年级本科生中抽取60 名学生．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例.再用样本容量乘以该比列.即为所求．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法.一年级本科生人数所占的比例为=.故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60.故答案为：60．10．（5分）（2014•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）.则该几何体的体积为m3．【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体.判断圆柱与圆锥的高及底面半径.代入圆锥与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体.其中圆柱的高为4.底面直径为2.圆锥的高为2.底面直径为4.∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．11．（5分）（2014•天津）设{a n }是首项为a 1.公差为﹣1的等差数列.S n 为其前n 项和.若S 1.S 2.S 4成等比数列.则a 1的值为 ﹣ ．【分析】由条件求得.S n =.再根据S 1.S 2.S 4成等比数列.可得=S 1•S 4.由此求得a 1的值．【解答】解：由题意可得.a n =a 1+（n ﹣1）（﹣1）=a 1+1﹣n.S n ==.再根据若S 1.S 2.S 4成等比数列.可得 =S 1•S 4.即=a 1•（4a 1﹣6）.解得 a 1=﹣. 故答案为：﹣．12．（5分）（2014•天津）在△ABC 中.内角A.B.C 所对的边分别是a.b.c.已知b ﹣c= a.2sinB=3sinC.则cosA 的值为 ﹣ ．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c.b=.再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC 中. ∵b ﹣c= a ①.2sinB=3sinC. ∴2b=3c ②.∴由①②可得a=2c.b=．再由余弦定理可得 cosA===﹣.故答案为：﹣．13．（5分）（2014•天津）在以O为极点的极坐标系中.圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点.若△AOB是等边三角形.则a的值为 3 ．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程.求出B的坐标的值.代入x2+（y﹣2）2=4.可得a的值．【解答】解：直线ρsinθ=a即y=a.（a＞0）.曲线ρ=4sinθ.即ρ2=4ρsinθ.即x2+（y﹣2）2=4.表示以C（0.2）为圆心.以2为半径的圆.∵△AOB是等边三角形.∴B（ a.a）.代入x2+（y﹣2）2=4.可得（a）2+（a﹣2）2=4.∵a＞0.∴a=3．故答案为：3．14．（5分）（2014•天津）已知函数f（x）=|x2+3x|.x∈R.若方程f（x）﹣a|x ﹣1|=0恰有4个互异的实数根.则实数a的取值范围为（0.1）∪（9.+∞）．【分析】由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|.作出函数y=f（x）.y=a|x ﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|.作出函数y=f（x）.y=g（x）=a|x﹣1|的图象.当a≤0.两个函数的图象不可能有4个交点.不满足条件.则a＞0.此时g（x）=a|x﹣1|=.当﹣3＜x＜0时.f（x）=﹣x2﹣3x.g（x）=﹣a（x﹣1）.当直线和抛物线相切时.有三个零点.此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1）.即x2+（3﹣a）x+a=0.则由△=（3﹣a）2﹣4a=0.即a2﹣10a+9=0.解得a=1或a=9.当a=9时.g（x）=﹣9（x﹣1）.g（0）=9.此时不成立.∴此时a=1.要使两个函数有四个零点.则此时0＜a＜1.若a＞1.此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x）.有两个交点.此时只需要当x＞1时.f（x）=g（x）有两个不同的零点即可.即x2+3x=a（x﹣1）.整理得x2+（3﹣a）x+a=0.则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0.即a2﹣10a+9＞0.解得a＜1（舍去）或a＞9.综上a的取值范围是（0.1）∪（9.+∞）.方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|.若x=1.则4=0不成立.故x≠1.则方程等价为a===||=|x﹣1++5|.设g（x）=x﹣1++5.当x＞1时.g（x）=x﹣1++5≥.当且仅当x﹣1=.即x=3时取等号.当x＜1时.g（x）=x﹣1++5=5﹣4=1.当且仅当﹣（x﹣1）=﹣.即x=﹣1时取等号.则|g（x）|的图象如图：若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根.则满足a＞9或0＜a＜1.故答案为：（0.1）∪（9.+∞）三、解答题（共6小题.共80分）15．（13分）（2014•天津）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+.x ∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣.]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简.再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围.求出的范围.再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得.f（x）=cosx•（sinx cosx）====所以.f（x）的最小正周期=π．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=.由x∈[﹣.]得.2x∈[﹣.].则∈[.].∴当=﹣时.即=﹣1时.函数f（x）取到最小值是：.当=时.即=时.f（x）取到最大值是：.所以.所求的最大值为.最小值为．16．（13分）（2014•天津）某大学志愿者协会有6名男同学.4名女同学.在这10名同学中.3名同学来自数学学院.其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学.到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数.求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数.代入古典概型概率公式求出值；（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0.1.2.3.（k=0.1.2.3）列出随机变量X的分布列求出期望值．【解答】（Ⅰ）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A.则.所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为．（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0.1.2.3.（k=0.1.2.3）所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望．17．（13分）（2014•天津）如图.在四棱锥P﹣ABCD中.PA⊥底面ABCD.AD⊥AB.AB ∥DC.AD=DC=AP=2.AB=1.点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点.满足BF⊥AC.求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【分析】（I）以A为坐标原点.建立如图所示的空间直角坐标系.求出BE.DC的方向向量.根据•=0.可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一个法向量.代入向量夹角公式.可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF⊥AC.求出向量的坐标.进而求出平面FAB和平面ABP的法向量.代入向量夹角公式.可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【解答】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD.AD⊥AB.以A为坐标原点.建立如图所示的空间直角坐标系.∵AD=DC=AP=2.AB=1.点E为棱PC的中点．∴B（1.0.0）.C（2.2.0）.D（0.2.0）.P（0.0.2）.E（1.1.1）∴=（0.1.1）.=（2.0.0）∵•=0.∴BE⊥DC；（Ⅱ）∵=（﹣1.2.0）.=（1.0.﹣2）.设平面PBD的法向量=（x.y.z）.由.得.令y=1.则=（2.1.1）.则直线BE与平面PBD所成角θ满足：sinθ===.故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（Ⅲ）∵=（1.2.0）.=（﹣2.﹣2.2）.=（2.2.0）.由F点在棱PC上.设=λ=（﹣2λ.﹣2λ.2λ）（0≤λ≤1）.故=+=（1﹣2λ.2﹣2λ.2λ）（0≤λ≤1）.由BF ⊥AC.得•=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0.解得λ=. 即=（﹣..）.设平面FBA 的法向量为=（a.b.c ）. 由.得令c=1.则=（0.﹣3.1）.取平面ABP 的法向量=（0.1.0）. 则二面角F ﹣AB ﹣P 的平面角α满足： cosα===.故二面角F ﹣AB ﹣P 的余弦值为：18．（13分）（2014•天津）设椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2.右顶点为A.上顶点为B.已知|AB|=|F 1F 2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点.以线段PB 为直径的圆经过点F 1.经过原点O 的直线l 与该圆相切.求直线l 的斜率．【分析】（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F 2（c.0）.由|AB|=|F 1F 2|．可得.再利用b 2=a 2﹣c 2.e=即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b 2=c 2．可设椭圆方程为.设P （x 0.y 0）.由F 1（﹣c.0）.B （0.c ）.可得.．利用圆的性质可得.于是=0.得到x0+y+c=0.由于点P在椭圆上.可得．联立可得=0.解得P．设圆心为T（x1.y1）.利用中点坐标公式可得T.利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c.0）.由|AB|=|F1F2|.可得.化为a2+b2=3c2．又b2=a2﹣c2.∴a2=2c2．∴e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．因此椭圆方程为．设P（x0.y）.由F1（﹣c.0）.B（0.c）.可得=（x+c.y）.=（c.c）．∵.∴=c（x0+c）+cy=0.∴x0+y+c=0.∵点P在椭圆上.∴．联立.化为=0.∵x≠0.∴.代入x0+y+c=0.可得．∴P．设圆心为T（x1.y1）.则=﹣.=．∴T.∴圆的半径r==．设直线l的斜率为k.则直线l的方程为：y=kx．∵直线l与圆相切.∴.整理得k2﹣8k+1=0.解得．∴直线l的斜率为．19．（14分）（2014•天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0.1.2.….q﹣1}.集合A={x|x=x1+x2q+…+xnq n﹣1.xi∈M.i=1.2.…n}．（Ⅰ）当q=2.n=3时.用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s.t∈A.s=a1+a2q+…+anq n﹣1.t=b1+b2q+…+bnq n﹣1.其中ai.bi∈M.i=1.2.….n．证明：若an ＜bn.则s＜t．【分析】（Ⅰ）当q=2.n=3时.M={0.1}.A={x|.xi∈M.i=1.2.3}．即可得到集合A．（Ⅱ）由于ai .bi∈M.i=1.2.….n．an＜bn.可得an﹣bn≤﹣1．由题意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1].再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）解：当q=2.n=3时.M={0.1}.A={x|.xi∈M.i=1.2.3}．可得A={0.1.2.3.4.5.6.7}．（Ⅱ）证明：由设s.t∈A.s=a1+a2q+…+anq n﹣1.t=b1+b2q+…+bnq n﹣1.其中ai.bi∈M.i=1.2.….n ．a n ＜b n .∴a n ﹣b n ≤﹣1．可得s ﹣t=（a 1﹣b 1）+（a 2﹣b 2）q+…++≤﹣[1+q+…+q n ﹣2+q n ﹣1] =＜0．∴s ＜t ．20．（14分）（2014•天津）设f （x ）=x ﹣ae x （a ∈R ）.x ∈R.已知函数y=f （x ）有两个零点x 1.x 2.且x 1＜x 2．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a 的减小而增大；（Ⅲ）证明x 1+x 2随着a 的减小而增大．【分析】（Ⅰ）对f （x ）求导.讨论f′（x ）的正负以及对应f （x ）的单调性.得出函数y=f （x ）有两个零点的等价条件.从而求出a 的取值范围；（Ⅱ）由f （x ）=0.得a=.设g （x ）=.判定g （x ）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x 1=a .x 2=a.则x 2﹣x 1=lnx 2﹣lnx 1=ln.令=t.整理得到x 1+x 2=.令h （x ）=.x ∈（1.+∞）.得到h （x ）在（1.+∞）上是增函数.故得到x 1+x 2随着t 的减小而增大．再由（Ⅱ）知.t 随着a 的减小而增大.即得证．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=x ﹣ae x .∴f′（x ）=1﹣ae x ；下面分两种情况讨论：①a ≤0时.f′（x ）＞0在R 上恒成立.∴f （x ）在R 上是增函数.不合题意； ②a ＞0时.由f′（x ）=0.得x=﹣lna.当x 变化时.f′（x ）、f （x ）的变化情况如下表：∴f（x）的单调增区间是（﹣∞.﹣lna）.减区间是（﹣lna.+∞）；∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：①f（﹣lna）＞0；②存在s1∈（﹣∞.﹣lna）.满足f（s1）＜0；③存在s2∈（﹣lna.+∞）.满足f（s2）＜0；由f（﹣lna）＞0.即﹣lna﹣1＞0.解得0＜a＜e﹣1；取s1=0.满足s1∈（﹣∞.﹣lna）.且f（s1）=﹣a＜0.取s2=+ln.满足s2∈（﹣lna.+∞）.且f（s2）=（﹣）+（ln﹣）＜0；∴a的取值范围是（0.e﹣1）．（Ⅱ）证明：由f（x）=x﹣ae x=0.得a=.设g（x）=.由g′（x）=.得g（x）在（﹣∞.1）上单调递增.在（1.+∞）上单调递减.并且当x∈（﹣∞.0）时.g（x）≤0.当x∈（0.+∞）时.g（x）≥0.x 1、x2满足a=g（x1）.a=g（x2）.a∈（0.e﹣1）及g（x）的单调性.可得x1∈（0.1）.x2∈（1.+∞）；对于任意的a1、a2∈（0.e﹣1）.设a1＞a2.g（X1）=g（X2）=a1.其中0＜X1＜1＜X2；g（Y1）=g（Y2）=a2.其中0＜Y1＜1＜Y2；∵g（x）在（0.1）上是增函数.∴由a1＞a2.得g（Xi）＞g（Yi）.可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；又由X、Y＞0.得＜＜；∴随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明：∵x1=a.x2=a.∴lnx1=lna+x1.lnx2=lna+x2；∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln.设=t.则t＞1.∴.解得x1=.x2=.∴x1+x2=…①；令h（x）=.x∈（1.+∞）.则h′（x）=；令u（x）=﹣2lnx+x﹣.得u′（x）=.当x∈（1.+∞）时.u′（x）＞0.∴u（x）在（1.+∞）上是增函数.∴对任意的x∈（1.+∞）.u（x）＞u（1）=0.∴h′（x）＞0.∴h（x）在（1.+∞）上是增函数；∴由①得x1+x2随着t的增大而增大．由（Ⅱ）知.t随着a的减小而增大.∴x1+x2随着a的减小而增大．。

2014年天津高考理科数学试题含答案(Word版)

则该几何体的体积 _______ m . 其前 n 和.若 S1 , S 2 , S 4 成等比数列则 a1 的
3
11 设 { an }是首值 __________.
a1 公差 -1 的等差数列 Sn
12 在 D ABC 中内角 A, B, C 所对的边别是 a, b, c . 知 b - c = 的值 _______. 13 在
数 a 的取值范围 __________. 解答题 15 本题共 6 道大题 13 满 80 ．解答写出文说明证明过程或演算骤．
本小题满
知函数 f ( x ) = cos x ⋅ sin x + 求 f ( x ) 的最小周期求 f ( x) 在 16 本小题满区间 − 13 男
0,1,2,L, q - 1} 集合知 q 和 n 均给定的大于 1 的自然数.设集合 M = {
D
-
17 25 + i 7 7
2 设变
x y 满足束条
x + y − 2 ≥ 0, x − y − 2 ≤ 0, 则目标函数 z = x + 2 y 的最小值 y ≥ 1,
C 4 D 5
A 2
B
3
3 阅读右边的程序框
行相的程序输出的 S 的值
A 15
B 105
1
C 245

π
3 2 − 3 cos x + 3 4
x∈R .
π π , 4 4
学 4
的最大值和最小值.
某大学志愿者协会有 6
女学. 在这 10
学中 3
学来自数学学院其余 7 学到希望小学
学来自物理化学等其他互相的七个学院. 现从这 10 进行支教活动求选出的 3 设X 17 如位学被选到的可能性相 .

2014年天津理科数学试题及答案解析

绝密 ★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么 •如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+()()()P AB P A P B =.•圆柱的体积公式V Sh =. •圆锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示圆柱的底面面积，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆柱的高. h 表示圆锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数734ii+=+（）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+ 解：A()()()()73472525134343425i i ii i i i i +-+-===-++-.xED CBA （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 解：B 作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点()1,1时，z 取得最小值3.（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（（A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945解：B 1i =时，3T =，3S =；2i =时，5T =，15S =；3i =时，7T =，105S =，4i =输出105S =.（4）函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（）（A ）()0,+¥ （B ）(),0-¥ （C ）()2,+¥（D ）(),2-?解：D 240x ->，解得2x <-或2x >.由复合函数的单调性知()f x 的单调递增区间为(),2-?.（5）已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -= 解：A 依题意得22225b ac c a bìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，双曲线的方程为221520x y -=.（6）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA = ；③AE CE BE DE ? ；④AF BD AB BF ? .则所有正确结论的序号是（）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ 解：D 由弦切角定理得FBDEAC BAE ?? ，又BFD AFB ? ，所以BFD D ∽AFB D ，所以BF BDAF AB=，即AF BD AB BF ? ，排除A 、C .又FBDEAC DBC ?? ，排除B .（7）设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的（）（A ）充要不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充要也不必要条件解：C 设()f x x x =，则()220,0,x x x x f x ìï³-=í<ïïïî，所以()f x 是R 上的增函数，“a b >”是“a a b b >”的充要条件.（8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =.若1AE AF?，23CE CF?-，则l m +=（）（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712解：C 因为120BAD ?，所以cos1202AB AD AB AD ?鬃=-.因为BE BC l =，所以AE AB AD l =+，AF AB AD m =+. 因为1AE AF?，所以()()1AB AD ABAD l m +?=，即3222l m l m +-=① 同理可得23l m l m --=-②，①+②得56l m +=. 第Ⅱ卷注意事项： 1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2014年天津高考理科数学试题逐题详解 (纯word解析版)

2014年天津高考理科数学试题逐题详解（纯word 解析版）一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【2014年天津卷（理01）】i 是虚数单位，复数734ii +=+ A.1i - B.1i -+ C.17312525i + D.172577i -+【答案】A 【解析】()()()()73472525134343425i i i i i i i i +-+-===-++-【2014年天津卷（理02）】设变量x 、y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】画出可行域，如图所示．解方程组⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，得⎨⎪⎧x ＝1，即点A (1，1)．当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值，即z min ＝1³1＋2³1＝3.【2014年天津卷（理03）】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A.15B.105C.245D.945【答案】B【解析】1i =时，3T =，3S =；2i =时，5T =，15S =；3i =时，7T =，105S =，4i =输出105S =.【2014年天津卷（理04）】函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间为A.(0，)+∞B.(-∞，0)C.(2，)+∞D.(-∞，2)-【答案】D【解析】要使f (x )单调递增，需有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x <0，解得x <－2.【2014年天津卷（理05）】已知双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为A.221520x y -= B.221205x y -= C.2233125100x y -= D.2233110025x y -=【答案】A【解析】由题意知，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，∴b a＝2.∵双曲线的左焦点(－c ，0)在直线l 上，∴0＝－2c ＋10，∴c ＝5.又∵a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的方程为x 25－y 220＝1.【2014年天津卷（理06）】如图，ABC ∆是圆的内接三角形，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②2FB FD FA =⋅；③AE CE BE DE ⋅=⋅；④AF BD AB BF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是A.①②B.③④C.①②③D.①②④1＝∠3，∠2＝∠4，且∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴BD 平分∠CBF ，∴△ABF∽△BDF .∵AB BD ＝AF BF ，∴AB ²BF ＝AF ²BD .∵AF BF ＝BF DF，∴BF 2＝AF ²DF .故①②④正确．【2014年天津卷（理07）】设a 、b R ∈，则“a b >”是“||||a a b b >”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当ab ≥0时，可得a >b 与a |a |>b |b |等价．当ab <0时，可得a >b 时a |a |>0>b |b |；反之，由a |a |>b |b |知a >0>b ，即a >b .【2014年天津卷（理08）】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，BE BC λ=，DF DC μ=.若1AE AF ⋅=，23CE CF ⋅=-，则λμ+= A.12 B.23 C.56 D.712 【答案】C【解析】建立如图所示的坐标系，则A (－1，0)，B (0，－3)，C (1，0)，D (0，3)．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由BE ＝λBC 得(x 1，y 1＋3)＝λ(1，3)，解得⎩⎨⎧x 1＝λ，y 1＝3（λ－1），即点E (λ，3(λ－1))．由＝μ得(x 2，y 2－3)＝μ(1，－3)，解得⎩⎨⎧x 2＝μ，y 2＝3（1－μ），即点F (μ，3(1－μ))．又∵AE ²AF ＝(λ＋1，3(λ－1))²(μ＋1，3(1－μ))＝1，①＝(λ－1, 3(λ－1))²(μ－1, 3(1－μ))＝－23.②①－②得λ＋μ＝56.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.【2014年天津卷（理09）】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取____名学生.【答案】60【解析】由分层抽样的方法可得，从一年级本科生中抽取学生人数为300³44＋5＋5＋6＝60【2014年天津卷（理10）】一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_________3m .【答案】20π3【解析】由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V ＝π³12³4＋13π³22³2＝20π3.【2014年天津卷（理11）】设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S 、2S 、4S 成等比数列，则1a 的值为____________.【答案】12- 【解析】依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-.【2014年天津卷（理12）】在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_____________.【答案】14- 【解析】因为2sin 3sin B C =，所以23b c =，解得32cb =，2a c =. 所以2221cos 24b c a A bc +-==-.【2014年天津卷（理13）】在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于A 、B 两点.若AOB ∆是等边三角形，则a 的值为___________.【答案】3【解析】将ρ＝4sin θ与ρsin θ＝a 转化为直角坐标方程分别为x 2＋(y －2)2＝4与y ＝a .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，x 2＋（y －2）2＝4，得x 2＝－a 2＋4a ，且0<a <4. ∵△AOB 为等边三角形，∴a 2＝3(－a 2＋4a )，解得a ＝3或a ＝0(舍)【2014年天津卷（理14）】已知函数2()|3|f x x x =+，x R ∈.若方程()|1|0f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为_____________.【答案】01a <<或9a >.【解析】在同一坐标系内分别作出y ＝f (x )与y ＝a |x －1|的图像如图所示．当y ＝a |x －1|与y ＝f (x )的图像相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋a ＝－x 2－3x ，a >0，整理得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则Δ＝(3－a )2－4a ＝a 2－10a ＋91|与y ＝f (x )的图像有四个交点时，0<a <1或a >9.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【2014年天津卷（理15）】（本小题满分13分）已知函数2()cos sin()34f x x x x π=++，x R ∈. ⑴求()f x 的最小正周期； ⑵求()f x 在闭区间[4π-，]4π上的最大值和最小值.解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ²⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ²cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.【2014年天津卷（理16）】（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. ⑴求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；⑵设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13²C 27＋C 03²C 37C 310＝4960，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.P (X ＝k )＝C k 4²C 3－k 6C 310(k ＝0，1，2，3)，随机变量X 的数学期望E (X )＝0³16＋1³12＋2³310＋3³130＝65.【2014年天津卷（理17）】（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点. ⑴证明：BE DC ⊥；⑵求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；⑶若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值.解：方法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)．C 由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1)．(1)证明：向量BE ＝(0，1，1)故BE ²DC ＝0，所以BE ⊥DC .(2)向量BD ＝(－1，2，0)，PB ＝(1，0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ²BD ＝0，n ²PB ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0. 不妨令y ＝1，可得n ＝(2，1，1)为平面PBD 的一个法向量．于是有cos 〈n ，BE 〉＝n ²BE |n |²|BE |＝26³2＝33，所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3) 向量BC ＝(1，2，0)，CP ＝(－2，－2，2)，AC ＝(2，2，0)，AB ＝(1，0，0)．由点F 在棱PC 上，设CF ＝λ，0≤λ≤1.故BF ＝BC ＋CF ＝BC ＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF ²AC ＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34，即BF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，32.设n 1＝(x ，y ，z )为平面FAB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1²AB ＝0，n 1²BF ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3，1)为平面FAB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0，1，0)，则cos 〈，〉＝n 1²n 2|n 1|²|n 2|＝－310³1＝－31010.易知二面角F AB P 是锐角，所以其余弦值为31010.方法二：(1)证明：如图所示，取PD 中点M ，连接EM ，AM .由于E ，M 分别为PC ，PD 的中点，故EM ∥DC ，且EM ＝12DC .又由已知，可得EM ∥AB 且EM ＝AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以BE ∥AM .因为PA ⊥底面ABCD ，故PA ⊥CD ，而CD ⊥DA ，从而CD ⊥平面PAD .因为AM ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AM .又BE ∥AM ，所以BE ⊥CD .(2)连接BM ，由(1)有CD ⊥平面PD ⊥EM .又因为AD ＝AP ，M 为PD的中点，所以PD ⊥AM ，可得PD ⊥BE ，所以PD ⊥平面BEM ，故平面BEM ⊥平面PBD ，所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM .而BE ⊥EM ，可得∠EBM 为锐角，故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD ＝22，而M 为PD 中点，可得AM ＝2，进而BE ＝ 2.故在直角三角形BEM 中，tan ∠EBM ＝EM BE ＝AB BE ＝12，因此sin ∠EBM ＝33，所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)如图所示，在△PAC 中，过点F 作FH ∥PA 交AC 于点H .因为PA ⊥底面ABCD ，所以FH ⊥底面ABCD ，从而FH ⊥AC .又BF ⊥AC ，得AC ⊥平面FHB ，因此AC ⊥BH .在底面ABCD 内，可得CH ＝3HA ，从而CF ＝3FP .在平面PDC 内，作FG ∥DC 交PD 于点G ，于是DG ＝3GP .由于DC ∥AB ，故GF ∥AB ，所以A ，B ，F ，G 四点共面．由AB ⊥PA ，AB ⊥AD ，得AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥AG ，所以∠PAG 为二面角F AB P 的平面角．在△PAG 中，PA ＝2，PG ＝14PD ＝22，∠APG ＝45°.由余弦定理可得AG ＝102，cos ∠PAG ＝31010，所以二面角F AB P 的余弦值为31010.【2014年天津卷（理18）】（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知12||||AB F F =.⑴求椭圆的离心率；⑵设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率.解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2.又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2. 故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c ，0)，B (0，c )，有＝(x 0＋c ，y 0)，＝(c ，c )．由已知，有²＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.① 又因为点P 在椭圆上，所以x 202c 2＋y 20c2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c .代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝（x 1－0）2＋（y 1－c ）2＝53c . 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 3－2c 3k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15，所以直线l 的斜率为4＋15或4－15.【2014年天津卷（理19）】（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{0M =，1，2，...，1}q -，集合12{|A x x x x q ==++...1n n x q -+，i x M ∈，1i =，2，...，}n . ⑴当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ；⑵设s 、t A ∈，12s a a q =++...1n n a q -+，12t b b q =++...1n n b q -+，其中i a 、i b M ∈，1i =，2，...，n .证明：若n n a b <，则t s <.解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2²2＋x 3²22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0，所以s <t .【2014年天津卷（理20）】（本小题满分14分）设()()xf x x ae a R =-∈，x R ∈.已知函数()y f x =有两个零点1x ，2x ，且12x x <.⑴求a 的取值范围；⑵证明21x x 随着a 的减小而增大； ⑶证明12x x +随着a 的减小而增大.解：(1)由f (x )＝x －a e x，可得f ′(x )＝1－a e x. 下面分两种情况讨论：(i)a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立，可得f (x )在R 上单调递增，不合题意． (ii)a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：这时，f (x “函数y ＝f (x )有两个零点”等价于如下条件同时成立：①f (－ln a )>0；②存在s 1∈(－∞，－ln a )，满足f (s 1)<0；③存在s 2∈(－ln a ，＋∞)，满足f (s 2)<0.由f (－ln a )>0，即－ln a －1>0，解得0<a <e －1.而此时，取s 1＝0，满足s 1∈(－∞，－ln a )，且f (s 1)＝－a <0；取s 2＝2a ＋ln 2a，满足s 2∈(－ln a ，＋∞)，且f (s 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －e 2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2a －e 2a <0.故a 的取值范围是(0，e －1)．(2)证明：由f (x )＝x －a e x＝0，有a ＝x e x .设g (x )＝x e x ，由g ′(x )＝1－x ex ，知g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．并且，当x ∈(－∞，0]时，g (x )≤0; 当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>0.由已知，x 1，x 2满足a ＝g (x 1)，a ＝g (x 2)．由a ∈(0，e －1)及g (x )的单调性，可得x 1∈(0，1)，x 2∈(1，＋∞)．对于任意的a 1，a 2∈(0，e －1)，设a 1>a 2，g (ξ1)＝g (ξ2)＝a 1，其中0<ξ1<1<ξ2；g (η1)＝g (η2)＝a 2，其中0<η1<1<η2.因为g (x )在(0，1)上单调递增，所以由a 1>a 2，即g (ξ1)>g (η1)，可得ξ1>η1.类似可得ξ2<η2.又由ξ1，η1>0，得ξ2ξ1<η2ξ1<η2η1，所以x 2x 1随着a 的减小而增大．(3)证明：由x 1＝a e x 1，x 2＝a e x 2，可得ln x 1＝ln a ＋x 1，ln x 2＝ln a ＋x 2.故x 2－x 1＝ln x 2－ln x 1＝ln x 2x 1.设x 2x 1＝t ，则t >1，且⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝tx 1，x 2－x 1＝ln t ，解得x 1＝ln t t －1，x 2＝t ln t t －1，所以x 1＋x 2＝（t ＋1）ln tt －1.①令h (x )＝（x ＋1）ln xx －1，x ∈(1，＋∞)，则h ′(x )＝－2ln x ＋x －1x（x －1）2. 令u (x )＝－2ln x ＋x －1x，得u ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2. 当x ∈(1，＋∞)时，u ′(x )>0.因此，u (x )在(1，＋∞)上单调递增，故对于任意的x ∈(1，＋∞)，u (x )>u (1)＝0，由此可得h ′(x )>0，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增．因此，由①可得x 1＋x 2随着t 的增大而增大．而由(2)，t 随着a 的减小而增大，所以x 1＋x 2随着a 的减小而增大．。

2014年高考数学天津卷(理工类) 附详细答案解析

由图知,当 a=0 时,两函数的图象只有 2 个交点,
当 a<0 时,两图象没有交点,故必有 a>0.
若曲线 y= -x2-3x(-3≤x≤0)与
直线 y=-a(x-1)(x≤1)相切,
联立方程得 x2+(3-a)x+a=0,则由Δ=0 得 a=1(a=9 舍去),
因此当 0<a<1 时,f(x)的图象与 y=a|x-1|的图象有 4 个交点;
的值为
.
12.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c=1ᳳa , 2sin B=3sin C,则 cos A 的
值为
.
13.在以 O 为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a 相交于 A,B 两点,若△AOB 是
等边三角形,则 a 的值为
.
14.已知函数 f (x)=|x2+3x|,x∈R.若方程 f (x)-a|x-1|=0 恰有 4 个互异的实数根,则实数 a 的
=· 拰 · 拰 · 拰 ·
=2×2×cos 120°+2·(2μ)+2λ·2+2λ·2μ·cos 120°
=-2+4(λ+μ)-2λμ=1,所以 4(λ+μ)-2λμ=3.
由
·
= - 2,得(2-2λ)·(2-2μ)·
1 2
=
-
2,所以
λμ=λ+μ
-
2
,
因此有
ᳳ
4(λ+μ)-2(λ+μ)+
=பைடு நூலகம்
3,解得
λ+μ=
5,故选
C.
6
二、填空题

2014年天津市高考数学试卷(理科)附送答案

2014年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．9454．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=16．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC 于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为．14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．20．（14分）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．2014年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）（2014•天津）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．【解答】解：复数==，故选A．2．（5分）（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．3．（5分）（2014•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．945【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，∵跳出循环的i值为4，∴输出S=1×3×5×7=105．故选：B．4．（5分）（2014•天津）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【分析】令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．【解答】解：令t=x2﹣4＞0，可得x＞2，或x＜﹣2，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=log t随t的减小而增大，所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D．5．（5分）（2014•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．6．（5分）（2014•天津）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，FB2=FD•FA．即结论②成立．由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故答案为D7．（5分）（2014•天津）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b ＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．②当a＞0，b＜0时，a＞b．③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b ＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选：C．8．（5分）（2014•天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．【解答】解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故答案为：．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（2014•天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．10．（5分）（2014•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．11．（5分）（2014•天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为﹣．【分析】由条件求得，S n=，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，由此求得a1的值．【解答】解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，即=a1•（4a1﹣6），解得a1=﹣，故答案为：﹣．12．（5分）（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．13．（5分）（2014•天津）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a 相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为3．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+（y﹣2）2=4，可得a的值．【解答】解：直线ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲线ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，∵△AOB是等边三角形，∴B（a，a），代入x2+（y﹣2）2=4，可得（a）2+（a﹣2）2=4，∵a＞0，∴a=3．故答案为：3．14．（5分）（2014•天津）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x ﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）∪（9，+∞）．【分析】由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=a|x ﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的图象，当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|=，当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），即x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，若x=1，则4=0不成立，故x≠1，则方程等价为a===||=|x﹣1++5|，设g（x）=x﹣1++5，当x＞1时，g（x）=x﹣1++5≥，当且仅当x﹣1=，即x=3时取等号，当x＜1时，g（x）=x﹣1++5=5﹣4=1，当且仅当﹣（x﹣1）=﹣，即x=﹣1时取等号，则|g（x）|的图象如图：若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则满足a＞9或0＜a＜1，故答案为：（0，1）∪（9，+∞）三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2014•天津）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x ∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx•（sinx cosx）====所以，f（x）的最小正周期=π．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，由x∈[﹣，]得，2x∈[﹣，]，则∈[，]，∴当=﹣时，即=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为．16．（13分）（2014•天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值．【解答】（Ⅰ）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，则，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为．（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）所以随机变量X的分布列是X0123P随机变量X的数学期望．17．（13分）（2014•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC 的方向向量，根据•=0，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【解答】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∴=（0，1，1），=（2，0，0）∵•=0，∴BE⊥DC；（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），设平面PBD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，则=（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角θ满足：sinθ===，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（Ⅲ）∵=（1，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），由F点在棱PC上，设=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），故=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），由BF⊥AC，得•=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，解得λ=，即=（﹣，，），设平面FBA的法向量为=（a，b，c），由，得令c=1，则=（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：cosα===，故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：18．（13分）（2014•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．【分析】（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|．可得，再利用b2=a2﹣c2，e=即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．可设椭圆方程为，设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得，．利用圆的性质可得，于是=0，得到x0+y0+c=0，由于点P在椭圆上，可得．联立可得=0，解得P．设圆心为T（x1，y1），利用中点坐标公式可得T，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|，可得，化为a2+b2=3c2．又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．∴e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．因此椭圆方程为．设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得=（x0+c，y0），=（c，c）．∵，∴=c（x0+c）+cy0=0，∴x0+y0+c=0，∵点P在椭圆上，∴．联立，化为=0，∵x0≠0，∴，代入x0+y0+c=0，可得．∴P．设圆心为T（x1，y1），则=﹣，=．∴T，∴圆的半径r==．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．∵直线l与圆相切，∴，整理得k2﹣8k+1=0，解得．∴直线l的斜率为．19．（14分）（2014•天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．【分析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|，x i∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．（Ⅱ）由于a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，可得a n﹣b n≤﹣1．由题意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1]，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|，x i∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i ∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，∴a n﹣b n≤﹣1．可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1]=＜0．∴s＜t．20．（14分）（2014•天津）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（Ⅱ）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x1=a，x2=a，则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令h（x）=，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣ae x，∴f′（x）=1﹣ae x；下面分两种情况讨论：①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意；②a＞0时，由f′（x）=0，得x=﹣lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣lna）﹣lna（﹣lna，+∞）f′（x）+0﹣f （x）递增极大值﹣lna﹣1递减∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna），减区间是（﹣lna，+∞）；∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：①f（﹣lna）＞0；②存在s1∈（﹣∞，﹣lna），满足f（s1）＜0；③存在s2∈（﹣lna，+∞），满足f（s2）＜0；由f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜e﹣1；取s1=0，满足s1∈（﹣∞，﹣lna），且f（s1）=﹣a＜0，取s2=+ln，满足s2∈（﹣lna，+∞），且f（s2）=（﹣）+（ln ﹣）＜0；∴a的取值范围是（0，e﹣1）．（Ⅱ）证明：由f（x）=x﹣ae x=0，得a=，设g（x）=，由g′（x）=，得g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，并且当x∈（﹣∞，0）时，g（x）≤0，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥0，x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e﹣1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意的a1、a2∈（0，e﹣1），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中0＜X1＜1＜X2；g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g（X i）＞g（Y i），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；又由X、Y＞0，得＜＜；∴随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明：∵x1=a，x2=a，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，设=t，则t＞1，∴，解得x1=，x2=，∴x1+x2=…①；令h（x）=，x∈（1，+∞），则h′（x）=；令u（x）=﹣2lnx+x﹣，得u′（x）=，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；∴由①得x1+x2随着t的增大而增大．由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，∴x1+x2随着a的减小而增大．。

2014天津市高考理科数学试卷(含答案)

2014天津市高考理科数学试卷(含答案)绝密★ 启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：•如果事件，互斥，那么•如果事件，相互独立，那么. •圆柱的体积公式. •圆锥的体积公式 . 其中表示圆柱的底面面积，其中表示圆锥的底面面积，表示圆柱的高. 表示圆锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. （1）是虚数单位，复数（）（A）（B）（C）（D）（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的的值为（）（A）15 （B）105 （C）245 （D）945 （4）函数的单调递增区间是（）（A）（B）（C）（D）（5）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）（A）（B）（C）（D）（6）如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点 .在上述条件下，给出下列四个结论：① 平分；② ；③ ；④ . 则所有正确结论的序号是（）（A）①② （B）③④ （C）①②③ （D）①②④ （7）设，则|“ ”是“ ”的（）（A）充要不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充要也不必要条件（8）已知菱形的边长为2，，点分别在边上，， .若，，则（）（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷注意事项： 1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

[精品]2014年全国高考天津省高中数学理科试卷和答案

绝密★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：•如果事件A，B互斥，那么•如果事件A，B相互独立，那么()()()P A B P A P B=+()()()P AB P A P B=.•圆柱的体积公式V Sh=. •圆锥的体积公式13V Sh =.其中S表示圆柱的底面面积，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆柱的高. h表示圆锥的高.ED CBA 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数734ii+=+（）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+ （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（）（A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945（4）函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（）（A ）()0,+¥ （B ）(),0-¥ （C ）()2,+¥ （D ）(),2-?（5）已知双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -= （6）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA =?；③AE CEBE DE ??；④AF BDAB BF ??.则所有正确结论的序号是（）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ （7）设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的（）（A ）充要不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充要也不必要条件（8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ?，点,E F 分别在边,BC DC上，BE BC l =，DF DC m =.若1AE AF ?，23CE CF ?-，则l m +=（）（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2014年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）（2014•天津）i 是虚数单位，复数=（）+i +解：复数==2．（5分）（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）﹣3．（5分）（2014•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）4．（5分）（2014•天津）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）=logy=log ty=log（5．（5分）（2014•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）﹣=1 ﹣=1﹣=1 ﹣=1先求出焦点坐标，利用双曲线=1=2∵双曲线﹣=1∴∴双曲线的方程为﹣=16．（5分）（2014•天津）如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD 平分∠CBF； ②FB 2=FD•FA ； ③AE•CE=BE•DE； ④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）7．（5分）（2014•天津）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）8．（5分）（2014•天津）已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=120°，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）•=3 ①；再由=﹣ 解：由题意可得若•（+）•（+）++•+•=••（﹣））=•（，﹣，故答案为：．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（2014•天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 60 名学生．解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为==6010．（5分）（2014•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 m 3．×ππ故答案为：11．（5分）（2014•天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为﹣．==S==，故答案为：﹣．12．（5分）（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．，再由余弦定理求得cosA=c= a ①，b=cosA==，故答案为：﹣．13．（5分）（2014•天津）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB 是等边三角形，则a的值为 3 ．是等边三角形，∴B（，可得（14．（5分）（2014•天津）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）∪（9，+∞）．1|=a==1++5|1++5≥1=+5﹣三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2014•天津）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．求的范围，求出）=cosx•（sinx====）的最小正周期=，]﹣]∈，]∴当﹣时，即）取到最小值是：当=时，即时，）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式16．（13分）（2014•天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．（则名同学是来自互不相同学院的概率为（的数学期望17．（13分）（2014•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．的方向向量，根据=0 BF⊥AC，求出向量∴），=∵=0（Ⅱ）∵=），=的法向量=由，得====所成角的正弦值为．（Ⅲ）∵=），），上，设=故=+•=，即，，），=由，得，则的法向量==的余弦值为：18．（13分）（2014•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．|AB|=|F．可得，再利用e=．可设椭圆方程为，可得．利用圆的性质可得，于是=0在椭圆上，可得．联立可得PT，利用两点间的距离公式可得圆的半径|AB|=，可得∴e=．因此椭圆方程为．），可得=），∵∴．联立，化为=0≠0，∴，，可得∴P=﹣=∴T，r==∴，解得的斜率为19．（14分）（2014•天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．A={x|+≤﹣A={x|）q+…++=20．（14分）（2014•天津）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．a==，=a，则=ln，令，令，=+ln，满足（﹣﹣）＜，，由=＜＜；∴=a=a，∴lnx=ln，设∴，，…①；==﹣=。

2014年高考理科数学天津卷-答案

34i，即求出值【解析】作出可行域，如图：【解析】由弦切角定理得FBD EACBAE ，又AF BD AB BF =，排除A 、C. DBC ，排除B 、故选D.本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，【考点】圆的内接三角形和圆的基本性质，弦切角定理，所以||||cos1202AB AD AB AD =︒=-，所以AE AB AD λ=+，AF AB AD μ=+.因为1AE AF =，所以()()1AB AD AB AD λμ++=，即22λμλμ+-同理可得23λμλ---②，①+②得56λμ+=，故选C. 【提示】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义求得【考点】平面向量数量积的运算2120ππ4π2233+=m 几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，【考点】空间立体图形三视图、体积.结合图象可知01a <<或9a >.][),4∞+，所以][)9,∞+.结合图象可得01a <<或9a >.1sin 2x x ⎛+ ⎝3cos 2x x -3(14x -+3cos24x -π3x 的范围，再利用正弦函数的性质求出再已【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则120337373104960C C C C +=. 346310k k C C -(k =310130346310k kC C -(k =(0,0,2)P.由E为棱PC的中点，得(1,1,1)E.证明：向量(0,1,1)BE=，(2,0,0)DC=，故0BE DC=.所以，）向量(1,2,0)BD=-，(1,0,PB=设(,,)n x y z=为平面的法向量，则0,0,n BDn PB⎧=⎪⎨=⎪⎩即x-⎧⎨⎩不妨令1y=，可得(2,1,1)n=为平面的一个法向量2cos,||||6n BEn BEn BE==⨯所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33）向量(1,2,0)BC=，(2,CP=-，(2,2,0)AC=，(1,0,0)AB=由点F在棱PC上，设CF CPλ=，01≤.故()12,2,2BF BC CF BC CPλλλλ=+=+=-.BF AC⊥，得0BF AC=，因此，2(12)2(20λ+-=，解得即12BF⎛=-⎝设()1,,n x y z=为平面FAB的法向量，则110,0,n ABn BF⎧=⎪⎨=⎪⎩即不妨令z=，可得1(0,3,1)n=-FAB的一个法向量取平面ABP的法向量1(0,1,0)n=121212,||||10n nn nn n-==AB P-是锐角，所以其余弦值为31010.【提示】（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE ，DC 的方向向量，根据0BE DC =，可得BE DC ⊥；（2）求出平面PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）根据BFAC ，求出向量BF 的坐标，进而求出平面F AB 和平面ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F ABP 的余弦值，有10(F P x =+，1(,)F B c c =由已知，有110F P F B =，即00y c +=.又，故有0x +在椭圆上，故1.②由①和②可得20034x cx +不是椭圆的顶点，故4c x =-的坐标为4,c c ⎛⎫- ⎪可得1F P ，1F B .利用圆的性质可得11F B F P ⊥，于是110F B F P =，得到040cx =，解得，利用两点间的距离公式可得圆的半径1n n a q -++1n n b q -++1,2,,n 及n a ()11n n n a b b q --++--()211n n q q --++--1n q -。

2014年(天津卷)数学(理工类) 试题及答案详解

等边三角形,则 a 的值为
.
【答案】3
【解析】由ρ=4sin θ可得ρ2=4ρsin θ,所以 x2+y2=4y.
所以圆的直角坐标方程为 x2+y2=4y,其圆心为 C(0,2),半径 r=2;
由ρsin θ=a,得直线的直角坐标方程为 y=a,
由于△AOB 是等边三角形,
所以圆心 C 是等边三角形 OAB 的中心,
=-2+4(λ+μ)-2λμ=1,所以 4(λ+μ)-2λμ=3.
由
·
= - 2,得(2-2λ)·(2-2μ)·
1
=
-
2,所以
λμ=λ+μ
-
2
,
2
因此有 4(λ+μ)-2(λ+μ)+໚ = 3,解得 λ+μ= 5,故选 C.
6
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从
又因为一条渐近线与 l 平行,因此 = 2,可解得 a2=5,b2=20,
2
2
故双曲线方程为
=1,故选 A.
5 20
6.如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点 D,交 BC 于点 E,过点 B 的圆
的切线与 AD 的延长线交于点 F.在上述条件下,给出下列四个结论: ①BD 平分∠CBF; ②FB2=FD·FA;
2
2
5.已知双曲线 2
2
2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦
点在直线 l 上,则双曲线的方程为( ).

2014年(天津卷)数学(理工类) 试题及答案详解

2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)一、选择题，共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位,复数7+i 3+4i= ().A.1- iB.-1+iC.1725+3125i D.-177+257i【答案】A 【解析】7+i 3+4i=(7+i )(3-4i )(3+4i )(3-4i )=25-25i 25=1- i,故选A .2.设变量x , y 满足约束条件{x +y -2≥0,x -y -2≤0,y ≥1,则目标函数z=x+2y 的最小值为( ).A.2B.3C.4D.5 【答案】B【解析】画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分). 由z=x+2y ,得y=-12x+12z ,作直线l :y= - 12x ,平移l ,由图形可知当l 经过可行域中的点A (1,1)时, z 取最小值, 且z min =1+2×1=3,故选B .3.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为( ). A.15 B.105 C.245 D.945 【答案】B【解析】第一次执行循环体T=2×1+1=3,S=1×3=3,i=2;第二次执行循环体T=2×2+1=5,S=3×5=15,i=3; 第三次执行循环体T=2×3+1=7,S=15×7=105,i=4. 这时满足i ≥4,跳出循环,输出S=105,故选B . 4.函数f (x )=lo g 12(x 2-4)的单调递增区间为( ).A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2) 【答案】D【解析】由x 2-4>0得x>2或x<-2,因此函数定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞).令t=x 2-4,当x ∈(-∞,-2)时, t 随x 的增大而减小, y=lo g 12t 随t 的减小而增大,所以y=lo g 12(x 2-4)随x 的增大而增大,即f (x )在(-∞,-2)上单调递增.故选D .5.已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l :y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( ). A.x 25−y 220=1 B.x 220−y 25=1 C.3x 225−3y 2100=1 D.3x 2100−3y 225=1【答案】A【解析】由于双曲线焦点在x 轴上,且其中一个焦点在直线y=2x+10上,所以c=5.又因为一条渐近线与l 平行,因此ba = 2,可解得a 2=5,b 2=20,故双曲线方程为x 25−y 220=1,故选A .6.如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论: ①BD 平分∠CBF ; ②FB 2=FD ·FA ; ③AE ·CE=BE ·DE ; ④AF ·BD=AB ·BF. 则所有正确结论的序号是( ).A.①②B.③④C.①②③D.①②④ 【答案】D【解析】由弦切角定理知∠FBD=∠BAD ,∵AD 平分∠BAC ,∠CBD=∠CAD ,∴∠BAD=∠DBC. ∴∠FBD=∠CBD ,即BD 平分∠CBF ,∴①正确; 由切割线定理知,∴②正确;由相交弦定理知,AE ·ED=BE ·EC ,∴③不正确; ∵△ABF ∽△BDF ,∴AB BD=AF BF.∴AF ·BD=AB ·BF ,∴④正确.故选D .7.设a ,b ∈R ,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】令f (x )=x|x|,则f (x )={x 2,x ≥0,-x 2,x <0,画出f (x )的图象(如图),易知f (x )在R 上为单调递增函数,因此a>b ⇔f (a )>f (b ), 故“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件,故选C .8.已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD=120°,点E ,F 分别在边BC , DC , BE=λBC , DF=μDC.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF⃗⃗⃗⃗⃗ = - 23,则 λ+μ=( ). A. 12B. 23C. 56D. 712【答案】C【解析】由于菱形边长为2,所以BE=λBC=2λ,DF=μDC=2μ,从而CE=2-2λ,CF=2-2μ.由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,得(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos 120°+2·(2μ)+2λ·2+2λ·2μ·cos 120° =-2+4(λ+μ)-2λμ=1,所以4(λ+μ)-2λμ=3.由CE⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ = - 23,得(2-2λ)·(2-2μ)·(-12)= - 23,所以 λμ=λ+μ - 23, 因此有4(λ+μ)-2(λ+μ)+43= 3,解得 λ+μ= 56,故选C .二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取名学生. 【答案】60【解析】依题意知,应从一年级本科生中抽取44+5+5+6×300=60(名).10.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m 3. 【答案】20π3【解析】由三视图可知,该几何体是一个组合体,其上部是一个圆锥,且底面圆半径为2,高为2; 下部是一个圆柱,底面圆半径为1,高为4, 故该几何体的体积 V=13·π·22·2+π·12·4=8π3+4π = 20π3.。

2014年天津高考数学(理科)答案word版

2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科数学试题答案与解析1. 解析()()7i 34i 7i 2525i1i 34i 2525+-+-===-+. 2. 解析作出可行域，如图所示.由2z x y =+得122z y x =-+，故将直线12y x =-向上平移，当过()1,1A 时，z 有最小值3.3. 解析 1S =，1i =；3S =，2i =；15S =，3i =；105S =，4i =，结束循环，输出105S =.4. 解析由240x ->得2x <-或2x >.又12log y u =为减函数，故()f x 的单调递增区间为(),2-∞-.评注本题考查对数型复合函数的单调性，注意定义域以及同增异减的判定方法.5. 解析由题意得2ba=且5c =.故由222c a b =+，得22254a a =+，则25a =，220b =，从而双曲线方程为221520x y -=. 6. 解析 ①F B D B A D ∠=∠，DBC DAC ∠=∠，故FBD CBD ∠=∠，即①正确.由切割线定理知②正确. ③BED AEC △△，故BE AEDE CE=，当DE CE ≠时，③不成立. ②ABF △△BDF ，故AB BDAF BF=，即AB BF AF BD ⋅=⋅，④正确.故①②④正确，选D. 7. 解析先证“a b >” ⇒“a a b b >”.若0a b >…，则22a b >，即a a b b >；若0a b >…，则0a a b b >…；若0a b >>，则22a b <，即a a b b ->-，从而a a b b >.再证“a a b b >” ⇒“a b >”.若a ，0b …，则由a a b b >，得22a b >，故a b >；若a ，0b …，则由a a b b >，得22a b ->-，即22a b <，故a b >；若0a …，0b <，则a b >.而0a <，0b …时，a a b b >不成立.2综上，“a b >”是“a a b b >”的充要条件.8. 解析以AB ，AD 为基向量，则()()AE AF AB AD AD AB λμ⋅=+⋅+=22AB AD μλ++()()()1421AB AD λμμλλμ+⋅=+-+①.()()()()2112113CE CF BC DC λμλμ⋅=-⋅-=---=-②，由①②可得56λμ+=.评注本题考查平面向量的基本定理，数量积等相关运算，难度适中等. 9. 解析43006020⨯=（名） 10. 解析该几何体由一个圆锥和一个圆柱组成，故体积()223120π14π22π33V m =⨯⨯+⨯⨯⨯=. 11. 解析 11S a =，2121S a =-，4146S a =-.故()()21112146a a a -=⨯-，解得112a =-. 12. 解析由2sin 3sin B C =得23bc =，即32b c =，代入14b c a -=，整理得2a c =，故2222229414cos 32422c c c b c a A bc c c +-+-===-⋅⋅.13. 分析本题考查极坐标，直线与圆.将极坐标方程转化为普通方程，再结合直线与圆的位置关系求解.解析由4sin r q =，224x y y +=，即圆的标准方程为()2224x y +-=，由sin a r q =知，直线y a =，如图所示，设圆与y 轴的另一个交点为D ，直线AB 与y 轴交点为C ，连接BD ，由对称性及AOB △是等边三角形知，30AOC BOC ∠=∠=︒，又90OBD ∠=︒，在Rt OBD △中，因为4OD =，则OB =BC =，OC ,所以.14. 分析本题考查函数的图像变换，零点问题，利用导函数秒杀.借助函数图像，求解方程实根.解析首先作函数()23f x x x =+的图像，如图所示，（将抛物线()23f x x x =+在x 轴下方的部分沿x 轴对称到x 轴上方，原x 轴上方的图像不变）.其次要将方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，等价转化为曲线()y f x =与折线1y a x =-恰有4个不同的公共点.最后结合图像，可将折线与曲线()y f x =有公共点的情况分类讨论：① 当0a ≤时，()y f x =与1y a x =-最多有2个公共点，不符合题意；② 当0a >时，又可分为折线1y a x =-左半支与曲线()y f x =有4个公共点.和折线1y a x =-左、右半支分别与曲线()y f x =有2个不同的公共点.如图所示，当折线1y a x =-的左半支与曲线()y f x =相切于点1P 时，即方程()()231x x a x -+=--的10∆=，整理得，()230x a x a +-+=，所以()2134a a ∆=--2109a a =-+()()190a a =--=，解得1a =或9a =（舍）.要使()1f x a x =-恰有4个互异的实数根，则需01a <<. 当折线1y a x =-的左半支与曲线()y f x =相切于点2P 时，即方程()231x x a x +=-的20∆=，整理得，()230x a x a +-+=，x所以()22340a a ∆=--=，解得1a =（舍）或9a =要使()1f x a x =-恰有4个互异的实数根，则需9a >.故实数a 的取值范围为()()0,19,+∞.评注利用图像法求解方程实根问题（零点问题）时，不仅仅要看交点的个数，还要考虑函数图像本身的变化趋势.15. 解析（I ）由已知，有()21cos sin 2f x x x x x ⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭2111πsin cos sin 2sin 22423x x x x x x ⎛⎫⋅==- ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==. （II ）因为()f x 在区间ππ,412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上式减函数，在区间ππ,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数.π144f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π1122f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 所以函数()f x 在闭区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为14，最小值为12-.评注本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识考查基本运算能力.16. 解析（I ）设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则()120337373104960C C C C P A C ⋅+⋅==.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为4960. （II ）随机变量X 的所以可能值为0，1，2，3.()()3463100,1,2,3K kC C P X k k C -===.所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 评注本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.17. 解析解法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P .由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E .（I ）证明：向量()0,1,1BE =，()2,0,0DC =，故0BE DC ⋅=.所以BE DC ⊥. （II ）向量()1,2,0BD =-，()1,0,2PB =-.设(),,x y z n =为平面PBD 的法向量，则0,0,BD PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.x y x z -+=⎧⎨-=⎩不妨令1y =，可得()2,1,1=n 为平面PBD 的一个法向量.于是有cos ,6BE BE BE⋅===⋅n n n 所以直线BE 与平面PBD . （III ）向量()1,2,0BC =，()2,2,2CP =--，()2,2,0AC =，()1,0,0AB =.由点F 在棱PC 上，设CF CP λ=，01λ剟.故()12,22,2BF BC CF BC CP λλλλ=+=+=--.由BF AC ⊥，得0BF AC ⋅=，因此，()()2122220λλ-+-=，解得34λ=.即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 设()1,,x y z =n 为平面FAB 的法向量，则110,0,AB BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,1130.222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩不妨令1z =，可得()10,3,1=-n 为平面FAB 的一个法向量.取平面ABP 的法向量()20,1,0=n ，则121212cos ,⋅==⋅n n n n n n 易知，二角面F AB P --解法二：（I ）证明：如图，取PD 的中点M ，连接EM ，AM .由于E ，M 分别为PC ，PD的中点，故//EM DC ，且12EM DC =，又由已知，可得//EM AB 且EM AB =，故四边形ABEM 为平行四边形，所以//AM BE .因为PA ⊥底面ABCD ，故PA CD ⊥，而CD DA ⊥，从而CD ⊥平面PAD，因为AM ∈平面PAD ，M E P D于是CD AM ⊥，又//AM BE ，所以BE CD ⊥.（II ）连接BM ，由（I ）有CD ⊥平面PAD ，得CD PD ⊥，而//EM CD ，故PD EM ⊥.又因为AD AP =，M 为PD 的中点，故PD AM ⊥，可得PD BE ⊥，所以PD ⊥平面BEM ，故平面BEM ⊥平面PBD ，所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE EM ⊥，可得EBM ∠为锐角，故EBM ∠为直线BE 与平面PBD 所成的角.依题意，有PD =M 为PD的中点，可得AMBE =故在直角三角形BEM中，tan EM AB EBM BE BE ∠===，因此sin EBM ∠=所以直线BE 与平面PBD. （III ）如图，在PAC △中，过点F 作//FH PA 交AC 于点H .因为PA ⊥底面ABCD ，故FH ⊥底面ABCD ，从而FH AC ⊥.又BF AC ⊥，得AC ⊥平面FHB ，因此AC BH ⊥.在底面 ABCD 内，可得3CH HA =，从而3CF FP =.在平面PDC 内，作//FG DC 交PD 于点G ，于是3DG GP =.由于//DC AB ，故//GF AB ，所以A ，B ，F ，G四点共面.由AB PA ⊥，AB AD ⊥，得AB ⊥平面PAD ，故AB AG ⊥.所以PAG ∠为二面角F AB P --的平面角.在PAG △中，PA=2，14PG =PD =045APG ∠=，由余弦定理可得AG =cos PAG ∠=所以二面角F AB P --.评注本题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.18. 解析（I ）设椭圆右焦点2F 的坐标为(),0c .由12AB F F =，可得2223a b c +=，又222b ac =-，则2212c a =.所以椭圆的离心率e =.（II ）由（I ）知222a c =，22b c =.故椭圆方程为222212x y c c+=.设()00,P x y .由()1,0F c -，()0,B c ，有()100,F P x c y =+，()1,F B c c =.由已知，110F P F B ⋅=，即()000x c c y c ++=.又0c ≠，故有000x y c ++=.①又因为P 在椭圆上，故22002212x y c c+=.②由①②可得20040x cx +=3.而点P 不在椭圆的顶点，故043x c =-，代入①得03cy =，即HF G ABCDP点P 的坐标为4,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭.设圆的圆心为()11,T x y ，则1402323c x c -+==-，12323c cy c +==，进而圆的半径r =.设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =.由l与圆相切，r ==，整理得2810k k -+=，解得4k =所以直线l的斜率为4或4评注本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力. 19. 分析本题考查数列与不等式.新定义与数列相关的集合问题，要理解集合中元素的性质特征.解析（1）当2q =，3n =时，由题意{}0,1M =，12324x x x x =++，(),1,2,3i x M i ∈=.则{}0,1,2,3,4,5,6,7A =.（2）因为,s t A ∈，所以112+++n n a s a a q q -=()()11+1++n n q q q a q ---≤…()()1111+n n n q q qa q --=-+++… ()111=1+1n n n q q a q q-----11=1n n n q a q ---+()1=11n n a q -+-.1112+++n n n n t b b b q b q q --=≥，又,n n a b M ∈，且n n a b <，所以1n n b a +≥.所以()()111111n n n n n n q q b a a q ---+>+-≥.即()1111n n n n q q t s b a -->-+≥≥，所以n n a b <，则s t <.20. 解析（I ）由()e x f x x a =-，可得()1e x f x a '=-，下面分两种情况讨论：①0a …时，()0f x '>在R 上恒成立，可得()f x 在R 上单调递增，不合题意.②0a >时，由()0f x '=，得ln x a =-.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：这时，()f x 的单调递增区间是(),ln a -∞-；单调递减区间是()ln ,a -+∞.于是，“()y f x =有两个零点”等价于如下条件时成立：（i ）()ln 0f a ->；（ii ）存在()1,ln s a ∈-∞-，满足()10f s <；（iii ）存在()2ln ,s a ∈-+∞，满足()20f s <.由()ln 0f a ->，即ln 10a -->，解得10e a -<<.而此时，取10s =，满足()1,ln s a ∈-∞-，且()10f s a =-<；取222ln s a a=+，满足()2ln ,s a ∈-+∞，且()22222e ln e 0a a f s a a ⎛⎫⎛⎫=-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以a 的取值范围是()10,e a -.（II ）证明：由()e x f x x a =-，有e x x a =.设()e x x g x =，由()1exxg x -'=，知()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.并且，当(],0x ∈-∞时，()0g x …；当()0,x ∈+∞时，()0g x >.由已知，1x ，2x 满足()1a g x =，()2a g x =.由()10,e a -∈，及()g x 的单调性，可得()10,1x ∈，()21,x ∈+∞.对于任意的1a ，()120,e a -∈，设12a a >，()()121g g a ξξ==，其中1201ξξ<<<；()()122g g a ηη==，其中1201ηη<<<.因为()g x 在()0,1上单调递增，故由12a a >，即()()11g g ξη>，可得11ξη>，类似可得22ξη<.又由1ξ，10η>，得222111ξηηξξη<<.所以21xx 随着a 的减小而增大. （III ）证明：由11e x x a =，22e x x a =，可得11ln ln x a x =+，22ln ln x a x =+. 故221211ln ln lnx x x x x x -=-=. 设21x t x =，则1t >，且2121,ln ,x tx x x t =⎧⎨-=⎩解得1ln 1tx t =-，2ln 1t t x t =-.所以()121ln 1t t x x t ++=-.（*）令()()1ln 1x xh x x +=-，()1,x ∈+∞，则()()212ln 1x x x h x x -+-'=-.令()12ln x x x xμ=-+-，得()21x x x μ-⎛⎫'= ⎪⎝⎭.当()1,x ∈+∞时，()0x μ'>.因此，()x μ在()1,+∞上单调递增，故对于任意()1,x ∈+∞，()()10x μμ>=，由此可得()0h x '>，故()h x 在()1,+∞上单调递增. 因此，由（*）可得12x x +随着t 的增大而增大.而由（II ），知t 随着a 的减小而增大，所以12x x +随着a 的减小而增大.评注本题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.。

【天津数学】2014高考数学(理科)答案与解析

2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷注意事项：1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2、本卷共8小题，每小题5分，共40分。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）i 是虚数单位，复数7i34i+=+（）A ．1i -B ．1i -+C ．1731i 2525+D ．1725i 77-+【解析】A7i (7i)(34i)2525i1i 34i (34i)(34i)25++--===-++-（2）设变量x ，y 满足约束条件20201x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪⎩，，，≥≤≥则目标函数2z x y =+的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】B画出可行域，易知目标函数2z x y =+在1,1x y ==时取得最小值3（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（）(第3题图)i ≥4？输出S 否是i =i +1S =S ×T T =2i +1S =1，i =1结束开始A ．15B ．105C ．245D ．945【解析】B该框图意在计算连续正奇数乘积，当4i ≥输出时，实际计算的乘积为1357105S =⨯⨯⨯=（4）函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间为（）A ．(0),+∞B ．(0)-∞,C ．(2,)+∞D ．(,2)-∞-【解析】D函数的单调增区间是函数24y x =-的单调减区间与不等式240x ->的解集的交集，因此函数的单调递增区间是(,2)-∞-（5）已知双曲线22221(00)x y a b a b-=＞，＞的一条渐近线平行于直线:210l y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．2233125100x y -=D ．2233110025x y -=【解析】A由渐近线斜率为2知2b a =，因此5c a =，又∵左焦点坐标为(5,0)-，即5c =，a =故双曲线方程为221520x y -=（6）如图ABC △是圆的内接三角形，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②2FB FD FA =⋅；③AE CE BE DE ⋅=⋅；④AF BD AB BF ⋅=⋅．则所有正确结论的序号是（）F DCEBA(第6题图)A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②④【解析】D由AD 平分BAC ∠知,BAD CAD BD CD ∠=∠=，由弦切角以及圆周角关系可知：FBD CBD DCB DAB ∠=∠=∠=∠，因此①正确；由切割线定理可直接得出②正确；由相交弦定理可知③错误由上述结论可推知FDB ∆与FBA 相似，即FB DBFA BA=，因此④正确（7）设a b ∈R ，，则“a b ＞”是“a a b b ＞”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分又不必要条件【解析】C由a b >，可分三种情况：①0a b >≥，则22a a a b b b =>=②0a b >>，则0a a b b >>；③0a b ≥>，则22a a a b b b =->-=，综上可知，a a b b > 由a a b b >，亦可分三种情况①0a a b b >≥，由绝对值的非负性知此时a b 、非负，因此22a b >，两边开方得a b > ②0a a b b ≥>，此时显然0a b ≥>③0a a b b >>，同理可知a b 、同负，∴2222,a b a b ->-<，即a b <，∴a b > 综上可知，a b >因此a b >是a a b b >的充要条件（8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E F ，分别在边BC DC ，上，BE BC DF DC =λ=μ，．若213AE AF CE CF ⋅=⋅=-，，则λ+μ=（） A ．12B ．23C ．56D ．712【解析】C,AE AB AD AF AB AD λμ=+=+，代入已知得442(1)1AE AF μλλμ⋅=+-+=(1),(1)CE CB CF CD λμ=-=-，代入已知得22(1)(1)3CE CF μλ⋅=---=-两式联立消去λμ可得56λμ+=第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4556∶∶∶，则应从一年级本科生中抽取_____________名学生．【解析】60由分层抽样方法知抽取人数应为4300604556⨯=+++人（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为___________3m ．侧视图主视图俯视图(第10题图)【解析】20π3该几何体上半部分为圆锥，下半部分为圆柱，因此其体积为22120ππ22π1433V=⨯⨯⨯+⨯⨯=（11）设{}n a是首项为1a，公差为1-的等差数列，n S为其前n项和．若124S S S，，成等比数列，则1a的值为__________．【解析】12-由于该数列为等差数列，因此112141,2,46S a S a d S a d==+=+，由于124S S S、、等比且1d=-知2111(21)(46)a a a-=-，解得112a=-（12）在ABC△中，内角A B C，，所对的边分别是a b c，，．已知12sin3sin4b c a B C-==，，则cos A的值为_______．【解析】14-由2sin3sinB C=可得23b c=，代入14b c a-=可得2a c=，由余弦定理知2222229414cos32422c c cb c aAbc c c+-+-===-⋅⋅（13）在以O为极点的极坐标系中，圆4sinρθ=和直线sin aρθ=相交于A B，两点．若AOB△是等边三角形，则a的值为_______．【解析】3以极点为平面直角坐标系原点，极轴作为x轴正半轴建立平面直角坐标系，则4sinρθ=所表示圆的直角坐标方程为22(2)4x y+-=，而sin aρθ=则表示直线y a=由已知，直线截圆所得弦与原点组成三角形为正三角形，则弦AB所对圆心角为120︒，该弦到圆心距离等于半径的一半，因此易知213a=+=取值范围为______________．【解析】(0,1)(9,)+∞方程()10f x a x --=的实根与()y f x =图象和1y a x =-图象交点一一对应由函数图像变换可知，()f x 图象为将23y x x =+沿x 轴向上翻折得到，而1y a x =-图象则由y a x =图象沿x 轴向右平移一个单位得到。

2014天津高考数学理科

2014天津高考数学理科2014年天津高考数学理科试题一、填空题1. 已知集合 A = {2, 4, 6, 8}，B = {x | x 是不小于3的奇数}，则A ∩ B = ______。

2. 设∠ABC = 60°，AD 是 BC 延长线上的一点，且 AD = DC，则∠CDA = ______。

3. 2000 mL 饮料含有对人体每日需要的80 mg 维生素 C。

某厂使用一种浓度更高的饮料来生产新产品，则相同容积的新产品中维生素 C 的含量将是________mg。

4. 若 5 + ab= − 2，则数对(a,b) = ______。

二、选择题1. 已知若 f(x) = x - 1，则 f(-a) - f(1 - a) = ______。

A. 0B. 2aC. -2D. a + 12. 设函数 y = (1 + x - x^2) / (1 + x^3)，则 y 的定义域为____。

A. (-∞,∞)B. (-∞,-1]∪[-1,∞)C. (-∞, -1)∪(-1, ∞)D. (-1, 1)3. 已知线段 AB 长度为 a，BC 长度为 b，三角形 ABC 的面积为 S，则 ______。

A. S > (a+b)^2B. S < (a+b)^2C. S = (a+b)^2D. 无法确定4. 在△ABC 中，∠B = 90°，BM 是 AC 的中线，连结 BM，交 AC 于 D，则AD/DC = ______。

A. 1B. 2C. 3/2D. 3三、解答题1. 若 log2 (x + y) = log2 (x - y)，且 x > y > 0，求 x:y 的值。

2. 已知函数 f(x) = 2x^2 - (a + 1)x - a^2 + a + 2。

确定 a 的取值范围使得f(x) > 0 对一切实数 x 成立。

3. 函数y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) 的图像与 x 轴交于两个不同点，相应的二次函数对应的直接变换图像与 x 轴交于两个不同点，证明：其中|a| ≠ |c|。