在自然界与人类的社会活动中会出现各种各样的现象

第三章概率
在自然界与人类的社会活动中会出现各种各样的现象，既有确定性现象，又有随机现象。

随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法。

教科书把概率放在统计之后，体现了先统计后概率的思想。

现代社会是信息化的社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，做出合理的决策。

统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。

近年来，统计在实际中得到广泛的应用，用数据、图表等说明问题更有说服力，更直观、更容易理解。

概率为统计学的发展提供了理论基础。

由于概率统计的应用性强，有利于培养学生的应用意识和动手能力，在数学课程中，加强概率统计的份量成为必然。

“课标”设置了“统计与概率”的内容，目的就在于发展数学应用意识，使学生体会数学在实际中的应用价值，同时更全面地培养学生解决问题的能力。

本章包括3节，教学约需8课时，具体内容和课时分配（仅供参考）如下：
3.1 随机事件的概率约3课时
3.2 古典概型约2课时
3.3 几何概型约2课时
小结约1课时
一、教科书内容与课程学习目标
本章知识结构框图如下：
本章包括以下内容：（1）随机事件的概率的统计定义，通过一些具体实例介绍概率的意义，概率的基本性质；（2）古典概型的特征及概率的计算公式；（3）几何概型的特征及概率的计算公式；（4）利用随机模拟的方法估计随机事件的概率。

教科书首先通过具体实例给
出了随机事件的定义，通过抛掷硬币的试验，观察正面朝上的次数和比例，引出了随机事件出现的频数和频率的定义，并且利用计算机模拟掷硬币试验，给出试验结果的统计表和直观的折线图，使学生观察到随着试验次数的增加，随机事件发生的频率稳定在某个常数附近，从而给出概率的统计定义。

概率的意义是本章的重点内容。

教科书从下列几方面解释概率的意义：
（1）概率的大小可以用来检验游戏的公平性。

（2）正确理解随机事件的概率的意义，澄清日常生活中出现的一些错误认识。

例如，尽管抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，但连续两次抛掷硬币，不一定会出现一次正面和
一次反面。

又如，中奖率为
1
1000
的彩票，买1 000张不一定中奖。

（3）决策中的概率思想；
（4）每天听到的天气预报中降水概率的解释。

（5）用概率解释遗传学的机理。

通过掷骰子的试验，给出事件之间的关系与运算，包括包含关系、相等关系、并事件、交事件、互斥事件、对立事件。

利用频率与概率的关系，由频率的加法公式得到概率的加法公式。

通过掷硬币和掷骰子的试验，引入古典概型。

导出古典概型中计算某个随机事件的概率的公式。

教科书中的几个例题都有应用背景，学生比较熟悉，容易引起学生的学习兴趣。

教科书力求在每道例题计算出随机事件的概率后给出解释，帮助学生更好地理解概率的意义。

几何概型是新课标增加的内容，要求初步体会几何概型的意义，所以教科书中选用的例题都是比较简单的。

随机数的产生与随机模拟也是新课标增加的内容，教科书中分两部分介绍：第一部分是在第2节，分别介绍了用计算器和计算机中的Excel软件产生取整数值的随机数的方法，这样的随机数可以用在简单随机抽样中。

第二部分是在第3节，分别介绍了用计算器和计算机中的Excel软件产生取均匀随机数的方法。

通过具体实例，介绍了利用随机模拟的方法估计随机事件的概率、估计圆周率的值、近似计算不规则图形的面积。

通过阅读与思考“天气变化的认识过程”，加深学生对随机现象的理解，使学生了解人类认识随机现象的过程是逐步深入的。

通过阅读与思考“概率和密码”，让学生了解概率这门学科在实际中是十分有用的，目的是引发学生学习概率的兴趣。

二、本章编写中考虑的几个主要问题
1．联系实际介绍概率在实际中的应用
概率起源于现实生活，应用于现实生活，教科书无论在背景材料、例题和阅读与思考栏目的选材上都注意联系实际。

在介绍概率意义的部分，讨论了彩票中奖率的理解，体育比赛的发球权等游戏公平性的问题，天气预报中降水概率的理解，解释了遗传机理的统计规律。

古典概型部分的例题，涉及标准化考试中单选题与多选题的讨论，储蓄卡密码的问题，抽样检测产品是否合格的问题。

随机模拟部分的例题，包括模拟下雨概率的例题，近似计算不规则图形的面积。

阅读与思考“天气变化的认识过程”，介绍了天气变化的认识过程，概率在破译密码与反破译密码中的应用。

2．重视应用统计图与统计表
教科书中充分利用统计图与统计表直观清晰的特点，展示试验的结果。

在给出概率的统计定义之前，为使学生发现频率的稳定性，不仅仅让学生动手做掷硬币的试验，而且通过计算机模拟掷硬币的试验结果的统计表、历史上一些掷硬币的试验结果的统计表、掷硬币出现正面的频率随着试验次数的增加的折线图等多种手段，使学生更直观地感到频率稳定在一
个常数附近。

同时建议学生画出全班同学试验结果（每人10次试验，出现正面的次数取值为0，1，2，…，10）的条形图，观察试验结果的规律性。

在介绍奥地利遗传学家孟德尔的实验与发现时给出了试验结果的统计表，通过表格可以清晰看到无论是黄色豌豆与绿色豌豆的比、圆形豌豆与皱皮豌豆的比、长茎豌豆与短茎豌豆的比都接近3:1，由此可见其中具有规律性。

在随机模拟部分，使用统计表和统计图能更好地展示试验结果。

3．注重统计思想和计算结果的解释
学习概率统计的知识，不是为了学会做几道题，重点是掌握它的思想方法和用它解决实际生活中的问题。

教科书中突出统计思想的解释，如在概率的意义部分，利用概率解释了统计中似然法的思想，解释了遗传机理中的统计规律。

统计试验中随机模拟方法的原理就是用样本估计总体的思想。

在古典概型部分，每道例题在计算出随机事件的概率后，都给出相应结果的解释或提出思考问题让学生做进一步的探究。

值得特别注意的是，之所以教科书不在概率之前安排计数原理的内容，主要是为了避免让复杂的计数冲淡了对统计思想的理解。

4．注重现代信息技术手段的应用
现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响，信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具，重视现代信息技术的使用是本套教科书的特点之一。

由于概率统计本身的特点，统计需要分析和处理大量的数据，概率中随机模拟方法需要产生大量的模拟试验结果，并需要分析和综合试验结果，所以现代信息技术的使用就显得更为必要了。

本章介绍了利用计算器产生（取整数值的）随机数和均匀随机数的方法，利用计算机中的Excel软件产生随机数的方法，同时给出了利用Excel软件整理试验结果的方法。

如在估计圆周率的值时，通过反复的试验可以给出圆周率的不同估计值，从而发现试验结果与试验次数的关系，两次相同的试验结果未必相同，多次试验结果的相对稳定性和规律性等。

三、教学中几个值得关注的问题
1．注重统计思想和概率意义的解释，不要把重点放在复杂的计数上，也不要补充计数原理方面的知识
某种具体的统计方法只能解决部分实际问题，在面临新的问题时，需要的是新思想。

教学的目的不仅仅是为了让学生掌握现有的知识，而是要培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，所以统计思想的解释就显得尤为重要。

在用频率近似概率时利用的是样本的数字特征估计总体的数字特征的统计思想。

同样随机模拟的理论依据仍然是用样本估计总体的思想。

在古典概型的教学中，重点应该是让学生学会判断某个问题是否具有古典概型的特征，即是否具有试验结果的有限性和每一结果出现的等可能性；能够把一些实际问题化为古典概型。

而不是把重点放在“如何计数”上。

因此，在本章学习之前，一定不要补充计数原理方面的知识。

2．注意与初中概率统计的衔接
这一章的知识与初中内容联系密切，一些内容在初中都接触过，要与初中内容衔接，就必须深入了解初中概率部分的内容、要求，了解它们与这一部分内容的联系与区别。

从小学到初中再到高中，概率统计的内容是采用逐步渗透、螺旋上升的方式。

在初中，介绍了随机事件的概念，要求会运用列举法计算简单随机事件的概率，通过试验，获得随机事件发生的频率，知道大量重复试验时频率可作为随机事件发生概率的估计值。

由此可以看到，高中有些内容是与初中相同的。

在教学中可以用回忆复习等方式先回顾初中相应的内容，在此基础上要有更深层次的理解。

比如，在频率与概率部分，不但知道频率可以作为概率的近似，而且要知道频率与概率的区别：频率是随机的，每次试验得到的频率可能是不同的，而随机事件的概率是一个常数，是随机事件发生可能性大小的度量，它不随每次试验的结果
改变。

在初中要求会运用列举法计算简单随机事件的概率，而高中提高到理解古典概型的特征，在古典概型中运用古典概型求概率的公式计算随机事件的概率。

随机事件的关系与运算、概率的性质、几何概型、随机模拟方法等是高中的新内容，初中没有涉及。

3．鼓励学生动手操作和主动参与，让他们在试验、观察、交流等活动中体会和理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性等相关内容
学习方式的转变是课程改革的一个重要目标，鼓励学生动手操作、主动参与统计试验，不但能激发学生学习概率统计的兴趣，而且学生在反复的统计试验中可以更好地体会和理解统计思想。

在引出概率的统计定义时，尽管学生在初中已经做过掷硬币的试验，但对试验数据的整理和分析是比较初步的，如果学生能动手画出条形图和折线图等，通过观察与交流的方式，可以对随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性有更深入的理解。

在概率的正确理解的部分，教学中可以让学生动手做两个试验，连续掷两个硬币的试验与边框中有放回的摸球试验，通过观察与分析、交流等方式帮助学生澄清日常生活中遇到的一些错误认识，如连续掷两次
硬币一定是一次正面朝上，一次反面朝上，或者某种彩票的中奖率为
1
1000
，那么买1 000
张这种彩票一定能中奖等。

在古典概型例3的教学中，让学生动手做掷两个骰子的试验，通过对试验结果的统计感受出现两个1点与一个1点、一个2点的概率是不同的。

4．重视现代信息技术的应用
现代信息技术对概率统计的发展起到了决定性的作用。

随机模拟试验需要产生大量的随机数，同时又要统计试验的结果，如果离开计算机的帮助，需要花费大量的时间，统计试验结果的困难是可想而知的。

用计算机进行模拟试验的另一个好处是相同的试验可以在短时间内多次重复，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识。

现代信息技术的应用使统计试验变得十分方便，而且可以通过大量重复试验比较结果的稳定性。

本章对学生的最低要求是会用计算器产生随机数进行简单的模拟试验，并统计试验结果。

有条件的学校可以让学生学会用一种统计软件，例如Excel软件，多次重复模拟试验，并统计模拟的结果，画出频率折线图等统计图。