二阶导数在解高考函数题中的应用

浅谈二阶导数在解高考函数题中的应用
在历年高考试题中，导数部分是高考重点考查的内容，在六道解答题中必有一题是导数题。

这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。

解决这类题的常规解题步骤为：①求函数的定义域；②求函数的导数；③求)('x f 的零点；④列出)(),(',x f x f x 的变化关系表；⑤根据列表解答问题。

而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。

若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。

本文试以2010年全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。

例1.（全国卷Ⅰ第20题）
已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f .
（1） 若1)('2++≤ax x x xf ，求a 的取值范围；
（2） 证明：0)()1(≥-x f x .
原解答如下:
解（1）函数的定义域为（0，+∞），x
x x f 1ln )('+= ， 11ln 1)('22++≤+⇔++≤ax x x x ax x x xf ，
max )(ln ln x x a x x a -≥⇔-≥⇔ .
令,11)('ln )(-=-=x
x g x x x g 则 递减，时，当递增；
时，当)(,0)('1)(,0)('10x g x g x x g x g x <>><<
从而当1=x 时，1)1()(max -==g x g ，
故所求a 的范围是[-1,+∞﹚.
证明(2)由(1)知,01ln ≤+-x x ,则
① 10<<x 时，0)1(ln ln )(≤+-+=x x x x x f ；
② 0)111(ln ln )1ln (ln )(1≥+--=+-+=≥x
x x x x x x x x f x 时，. 综上可知，不等式成立.
对于（2）的证明，虽然过程简单，但思维难度大，对学生的观察能力和代数式的变形能力要求较高。

我们可以运用二阶导数的方法加以证明：
证法二:令0)F ,0F ),()1()(min ≥≥-=x x x f x x F （只需证）
（要证明. 因)(')1()(F'x f x x f x -+=）（ )1)(ln 1(1ln )1(x
x x x x x +-++-+= 2)1(ln 2++-=x
x x x ， 显然当1=x 时，0)('=x F ，
当10<<x 时，0)(',0ln ,21<<>+x F x x
x ， )(x F 在（0,1﹚递减；
当1>x 时，0ln ,21>>+x x
x ， )('x F 的符号仍不能判定，求二阶导数得
011ln 2)]'('[2>++=x
x x F ， 从而)('x F 在1>x 时递增，
0)1(')('=>F x F ，)(x F 在[ 1,+∞﹚递增，
所以当1=x 时，0)1()(min ==F x F ，
故0)(≥x F 成立，原不等式成立.
例题2（2010年高考数学全国卷Ⅱ（22）小题）
设函数()1x f x e -=-．
（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1x f x x ≥
+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1
x f x ax ≤+，求a 的取值范围． （原解答略）在原解答第（Ⅱ）问的解答中，用到了放缩代换，对考生的数学素质和解题能力要求很高，极少有考生能达到那样的要求.若用求二阶导数求解，则别有一番天地. （Ⅱ）解法二：由题设1)(,0+≤
≥ax x x f x ， 若0<a ，则当不恒成立时，1)(,011+≤
<+->ax x x f ax a x ； 若0)1)(1(1
(,01,0≤--+⇔+≤>+≥-x e ax ax x x f ax a x ）则. 令0)0(,)1)(1()(=--+=-g x e ax x g x 则，
0)(',1)1()('=-+-+=-x g a a ax e x g x ，
)12()]'('[ax a e x g x --=-,
∵0≥x ,
”），时取“仅当从而时，当===≤≤-≤≤∴21,0(0)]'('[,0122
10a x x g a a
∴0)0(')('),0[)('=≤+∞g x g x g 内递减，在，
∴,0)0()(),0[)(=≤+∞g x g x g 内递减，在
即原不等式成立. 当,120]'('[,01221a
a x x g a a -==>->得）令时， 从而当,0)]'('[120>-<<x g a
a x 时， 此时0)0(')(')12,0()('=>-g x g a
a x g 内递增，在， ∴不恒成立内递增，在1
)(,0)0()()12,0()(+≤=>-ax x x f g x g a a x g . 综上可知，210≤≤a . 由以上两个例子可以看出，当需要判定函数的单调性而求导之后不能直接判定导数的符号时（导函数中常含有指数或对数形式），常可以考虑用二阶导数法。

建议高三教师在高考数学复习时，对学生适当加以针对此类题型的指导、训练。

针对训练：
1、（2010年新课标全国卷第（21）题）：
设函数2()1x f x e x ax =---。

（1）若0a =，求()f x 的单调区间；
（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围。