河北省2017中考数学复习第六单元圆第24讲与圆有关的位置关系课件
中考数学一轮复习课件第24节 与圆有关的位置关系
知识点一
与圆有关的位置关系
点与圆的位置关系(设圆的半径为r,点到圆心的距离为d)
点在圆外⇔d > r;
点在圆上⇔d
=
r;
点在圆内⇔d
<
r.
知识点二
直线与圆的位置关系
1.几种位置关系的区别
直线与圆的
位置关系
相离
相切
相交
0
1
2
图形
公共点个数
圆心到直线的距离d与
半径r的大小关系
d >
r
d =
r
d <
(2)若 CE=OA,sin∠BAC= ,求 tan∠CEO 的值.
思路导引:(2)过点 O 作 OH⊥BC 于点 H,由 sin∠BAC=
= ,可以假设 BC=4k,AB=5k,则 AO=OC=CE= k,
用 k 表示出 OH,EH,可得结论.
(2)解:如图所示,过点 O 作 OH⊥BC 于点 H.
r=3 时,☉B 与 AC 的位置关系是(
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
B
)
2.(2022 自贡)P 为☉O 外一点,PT 与☉O 相切于点 T,OP=10,∠OPT=30°,则 PT 长为(
和计算与圆切线有关问题的常用方法.
[变式2] (2022连云港)如图所示,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,A为切点,连结BC,与☉O交于点D,
连结OD.若∠AOD=82°,则∠C= 49 °.
考点三
切线的判定
[典例3] (2022南充)如图所示,AB为☉O的直径,点C是☉O上一点,点D是☉O外一点,∠BCD=∠BAC,连
《第24章 圆》 与圆有关的位置关系复习课件 (1)解析
D． ．．F
C
O．
E
B
a+b-c 2
B D
C
E·
A
2.直线和圆的位置关系:
．
O l
．
O l
．
O
l
(1) 相离: 一条直线与一个圆没有公共点,叫做 直线与这个圆相离.
(2) 相切: 一条直线与一个圆只有一个公共点,叫 做直线与这个圆相切.
(3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫 做直线与这个圆相交.
直线与圆位置关系的识别:
r．
∠C=110度，则∠FPE=__5_5__度
A
D P
C
.o
F
E
B
6．如图，已知△ABC的三边长分别为AB=4cm，
BC=5cm，AC=6cm，⊙O是△ABC的内切圆，
切点分别是E、F、G，则AE= 2.5cm
，
BF= 1.5cm ，CG= 3.5cm 。
7．如图，⊙M与x 轴相交于点A（2，0）， B（8，0），与y轴相切于点C，则圆心M 的坐标为_M__（__5_，_4_）__.
第24章圆知识体系复习
----与圆有关的位置关系
第三协作区九年级备课组
学习目标
1、复习点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系， 会用数量大小判断各种位置关系。 2、综合运用切线的性质和判定解决问题。
学习重点 综合运用切线的性质和判定解决问题。
独立自学
1.点和圆的位置关系
(1)点在圆内 (2)点在圆上 (3)点在圆外
(1) 6
3.如图,已知PA、PB切圆O于点A,B,过弧AB上 任一点E作圆O的切线,交PA,PB于点C,D,若
PA=8，则:(1) △PCD的周长=__1_6_______; (2)若∠P=70°∠COD=___5__5 P
(河北专版)2017年中考数学总复习第6单元圆第24课时圆的基本性质课件
(二)
河北中考考点梳理
(2)推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧．如图，已知CB是直径，AD不 ︵ ︵ 是直径，AE＝DE，则BC⊥_____ AD ，AC＝CD， ︵ ︵ AB＝BD.
(二)
河北中考考点梳理
2. 垂径定理的应用
如图，⊙O的半径OD与弦AB垂直，用r表示圆的半
1. (2016自贡)如图, ⊙O中, 弦AB与CD交于点M, ∠A＝ 45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是(
C )
A．15°
B．25° C．30° D．75°
(三)
河北中考题型突破
由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，
可得∠C＝∠AMD－∠A＝75°－45°＝30°； 又∠C和∠B同为弧AD所对的圆周角， 所以∠B＝∠C＝30°.
径、a表示弦长、d表示弦心距、h表示弓形高，则 有如下公式： (1)r＝d＋h；
1 1 2 2 2 a ＋d ＝ 2 a ＋(r－h) ； a (3)sin ∠AOD＝ ； 2r d cos∠AOD＝ . r
(2)r2＝
2
2
返回
(三)
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题组一 弦、弧、圆心角的关系
(二)
河北中考考点梳理
2．圆的有关性质
(1)对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形， 直径 所在的直线都是它的对称轴，圆心 每一条_______ 是它的对称中心． 不在同一直线上 (2)___________________ 的三点确定一个圆．
返回
(二)
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考点2
弦、弧、圆心角的关系
(三)
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2．(2016石家庄一模)如图，AB是⊙O的直径，点C在
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圆与圆的 位置关 系PPT完 美课件
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3．用坐标法解决几何问题时应注意以下几点 (1)应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系，不可随便建 立． (2)在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时 要注意取值范围． (3)最后要把代数结果转化成几何结论．
4．2.2 圆与圆的位置关系 4．2.3 直线与圆的方程的应用
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【课标要求】 1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法． 2．能利用直线与圆的方程解决简单的实际问题． 【核心扫描】 1．会进行圆与圆位置关系的判断．(重点) 2．用直线与圆、圆与圆的方程解决平面几何问题和其他综合问 题．(难点)
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3．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立适当的 平面直角坐标系 ，用坐标和方程表示问题 中的 几何元素 ，将平面几何问题转化为 代数问题 ． (2)通过代数运算，解决代数问题 ． (3)把代数运算结果 “翻译”成几何结论并作答．
d＝|r1－r2|
d< |r1－r2|
(2)代数法：设两圆的方程分别为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D21＋E12－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)， 联立方程xx22＋＋yy22＋＋DD12xx＋＋EE12yy＋＋FF12＝＝00，.
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河北省中考数学系统复习：第24讲与圆有关的位置关系
第24讲与圆有关的位置关系命题点近8年的命题形式考查方向点与圆的位置关系(T23(3)解) 作为圆的核心知识点的补充，在中考范围内仅出现一次()，并巧妙结合外心与扇形相关内容进行考查，估计这种形式将偶尔出现.切线的性质与判定(T25解)，(T23解)，(T25解)，(T26解)，(T25解)，(T24解)，(T25解)，(T25解)高频考点切线的性质与判定是河北省中考必考考点，呈现方式稳定，多以部分圆为背景(半圆或扇形，弓形等)，以旋转或折叠等方式，在变化过程中，对某一位置或某一时刻形成相切时，对对应的某一量进行求解，体现了从一般到特殊，再到一般的研究问题的思维过程.三角形的内心与外心(T15选，T23(3)解)，(T23(3)解)，(T9选)，(T6选)常考点作为圆的核心知识点的补充，近四年出现在中考试题中，既体现考查知识的连续性，又体现考查知识的全面性，估计这种全局设计方式在一定时期内将一直存在.命题点1三角形的内心与外心1．(·河北T6·3分)如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是(B) A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE2．(·河北T9·3分)如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(B)A．△ACD的外心 B．△ABC的外心C．△ACD的内心 D．△ABC的内心3．(·河北T15·2分)如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为(B)A ．4.5B ．4C ．3D ．2命题点2 切线的性质与判定4．(·河北T24·11分)如图，在△OAB 中，OA ＝OB ＝10，∠AOB ＝80°，以点O 为圆心，6为半径的优弧MN ︵分别交OA ，OB 于点M ，N .(1)点P 在右半弧上(∠BOP 是锐角)，将OP 绕点O 逆时针旋转80°得OP ′.求证：AP ＝BP ′；(2)点T 在左半弧上，若AT 与MN ︵相切，求点T 到OA 的距离；(3)设点Q 在优弧MN ︵上，当△AOQ 的面积最大时，直接写出∠BOQ 的度数．解：(1)证明：∵∠AOP ＝∠AOB ＋∠BOP ＝80°＋∠BOP ，∠BOP ′＝∠POP ′＋∠BOP ＝80°＋∠BOP ， ∴∠AOP ＝∠BOP ′.又∵OA ＝OB ，OP ＝OP ′， ∴△AOP ≌△BOP ′(SAS)． ∴AP ＝BP ′.(2)连接OT ，过点T 作TH ⊥OA 于点H . ∵AT 与MN ︵相切，∴∠ATO ＝90°. ∴AT ＝OA 2－OT 2＝102－62＝8. ∵12OA ·TH ＝12AT ·OT ， ∴TH ＝AT ·OT OA ＝8×610＝245. ∴点T 到OA 的距离为245.(3)10°或170°.(注：当OQ ⊥OA 时，△AOQ 的面积最大，且左右两半弧上各存在一点)重难点1 切线的性质如图，AB 是⊙O 的直径，且长为10，点P 是AB 下方的半圆上不与点A ，B 重合的一个动点，点C 为AP 的中点，延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD ，过点D 作⊙O 的切线交PB 的延长线于点E ，连CE.(1)若∠ADC＝30°，求BD ︵的长； (2)求证：△DAC≌△ECP；(3)在点P 运动过程中，若tan ∠DCE＝12，求AD 的长．【思路点拨】 (1)利用同弧所对圆周角与圆心角之间的关系，可求得∠DOB＝60°，利用弧长公式求BD ︵的长；(2)先证得四边形DCPE 是矩形，从而证明△DAC≌△ECP；(3)可以利用tan ∠DCE 在Rt △DAC 中获得三边的数量关系，在Rt △AOC 中建立方程求解．【自主解答】 解：(1)∵∠ADC＝30°，OA ＝OD ，∴∠OAD＝30°.∴∠DOB＝60°. ∴l BD ︵＝60×π×5180＝5π3.(2)证明：连接OP.∵AO＝OP ，点C 是AP 的中点，∴∠DCP＝90°. ∵DE 是⊙O 的切线，∴∠CDE＝90°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB＝90°.∴四边形DCPE 是矩形．∴DC＝EP. 又∵AC＝CP ，∠ACD＝∠CPE＝90°，∴△DAC≌△ECP(SAS )． (3)由(2)知，四边形DCPE 是矩形，△DAC≌△ECP， ∴∠ADC＝∠CEP＝∠DCE. ∵tan ∠DCE＝12，∴tan ∠ADC＝12.∴设AC ＝x ，则DC ＝2x ，AD ＝5x.在Rt △AOC 中，OC ＝2x －5，AO 2＝AC 2＋OC 2，∴52＝x 2＋(2x －5)2，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝4.∴AD＝4 5.【变式训练1】 如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC＝60°，P 是OB 上一点，过点P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，过点C 的切线CD 交PQ 于点D ，连接OC.(1)求证：△CDQ 是等腰三角形；(2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO 的值．解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°.∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°. 又∵∠BAC＝60°，OA ＝OC ，∴△OAC 是等边三角形，∠ABC＝∠Q＝30°.∴∠ACO＝60°.∴∠DCQ＝180°－90°－60°＝30°. ∴∠DCQ＝∠Q.∴△CDQ 是等腰三角形．(2)设⊙O 的半径为x ，则AB ＝2x ，AC ＝x ，BC ＝3x. ∵△CDQ≌△COB，∴CQ＝BC ＝3x.∴AQ＝AC ＋CQ ＝(1＋3)x.∴AP＝12AQ ＝1＋32x.∴BP＝AB －AP ＝3－32x ，PO ＝AP －AO ＝3－12x.∴BP∶PO＝ 3. 方法指导1．遇切线，通常的方法是连接过切点的半径，利用切线垂直于过切点的半径，构建直角三角形，进而利用直角三角形进行求解或证明．2．在圆中还可以获得直角的方法有：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，直径所对的圆周角是直角． 3．以圆为背景的求解题，往往转化成解双直角三角形或者相似三角形．Ｋ重难点2 切线的判定(·聊城)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，作ED⊥EB 交AB 于点D ，⊙O 是△BED 的外接圆．(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)已知⊙O 的半径为2.5，BE ＝4，求BC ，AD 的长．【思路点拨】 (1)证AC 是⊙O 的切线，可转化为证OE⊥AC；(2)求BC ，AD 的长可通过证明△BDE∽△BEC 和△AOE∽△ABC.【自主解答】 解：(1)证明：连接OE. ∵OB＝OE ，∴∠OBE＝∠OEB.∵BE 平分∠ABC，∴∠OBE＝∠CBE. ∴∠OEB＝∠CBE.∴OE∥BC.又∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC. 又∵OE 是⊙O 的半径，∴AC 为⊙O 的切线． (2)∵ED⊥BE，∴∠BED＝∠C＝90°. 又∵∠DBE＝∠EBC，∴△BDE∽△BEC. ∴BD BE ＝BE BC ，即54＝4BC .∴BC＝165. ∵∠AEO＝∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△AOE∽△ABC. ∴AO AB ＝OE BC ，即AD ＋2.5AD ＋5＝2.5165.∴AD＝457. 【变式训练2】 (·安顺)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点O 为BC 的中点，AC 与半圆O 相切于点D.(1)求证：AB 是半圆O 所在圆的切线；(2)若cos ∠ABC＝23，AB ＝12，求半圆O 所在圆的半径．解：(1)证明：作OE⊥AB 于点E ，连接OD ，OA. ∵AB＝AC ，点O 是BC 的中点，∴∠CAO＝∠BAO. ∵AC 与半圆O 相切于点D ，∴OD⊥AC.又∵OE⊥AB，∴OD＝OE ，即OE 是半圆O 所在圆的半径． ∴AB 是半圆O 所在圆的切线．(2)∵AB＝AC ，点O 是BC 的中点，∴AO⊥BC. 在Rt △AOB 中，OB ＝AB·cos ∠ABC＝12×23＝8.根据勾股定理，得OA ＝AB 2－OB 2＝4 5.∵S △AOB ＝12AB·OE＝12OB·OA，∴OE＝OB·OA AB ＝853，即半圆O 所在圆的半径为853.方法指导1．证明某条直线是圆的切线的方法：(1)若这条直线经过圆上一点，需证明这条直线和经过这一点的半径垂直；(2)若没有明确直线经过圆上一点，需证明圆心到这条直线的距离等于圆的半径． 2．不能或不易直接求解的边长可转化成易求两条边长的差或和．重难点3 三角形的内心与外心如图，点O 为锐角△ABC 的外心，四边形OCDE 为正方形，其中E 点在△ABC 的外部，判断下列说法正确的是(B )A ．点O 是△AEB 的外心，点O 是△AED 的外心 B ．点O 是△AEB 的外心，点O 不是△AED 的外心C ．点O 不是△AEB 的外心，点O 是△AED 的外心 D ．点O 不是△AEB 的外心，点O 不是△AED 的外心【变式训练3】 如图，若点O 是AB 的中点，且点O 不是一个三角形的外心，则这个三角形可以是(B )A ．△ABCB ．△ABEC ．△ABFD ．△ABD【变式训练4】如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是(A)A．点O是△ABC的内心B．点O是△ABC的外心C．△ABC是正三角形D．△ABC是等腰三角形【变式训练5】如图，△ABC的外心坐标是(B)A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(－2，－2) D．(－1，－1)方法指导1．判断点是某个三角形的外心，只需说明点到此三角形的三个顶点的距离相等即可；判断点是某个三角形的内心，只需说明点到此三角形三边的距离相等即可．2．三角形的内心是三角形角平分线的交点，又是三角形内切圆的圆心；三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点，又是三角形外接圆的圆心．它是串联圆与三角形之间的关键点，可以利用它从一个图形过渡到另一个图形．重难点4切线长定理如图，△ABC是一张周长为17 cm的三角形纸片，BC＝5 cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为(B)A．12 cm B．7 cm C．6 cm D．随直线MN的变化而变化【思路点拨】由切线长定理，可将△AMN的周长转化成求AD＋AE的和，而BD＋CE的和等于BC.【变式训练6】如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点．若∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A 的度数是99°．方法指导1．由切线长定理及三角形周长可得： ①AD＝12C △ABC －BC ；②BD＝12C △ABC －AC ；③CE＝12C △ABC －AB.2．若已知三角形的内切圆及切点，求线段的长或周长时，往往用到切线长定理．1．已知⊙O 的半径为6，圆心O 到直线l 的距离为10，则反映直线l 与⊙O 的位置关系的图形是(D )2．已知⊙O 的半径是3，点P 在圆内，则线段OP 的长可能是(A )A ．2B ．3C ．4D ．5 3．(·宜昌)如图，直线AB 是⊙O 的切线，C 为切点，OD∥AB 交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上，连接OC ，EC ，ED ，则∠CED 的度数为(D )A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°4．(·河北模拟)九个相同的等边三角形如图所示，已知点O 是一个三角形的外心，则这个三角形是(C )A ．△ABCB ．△ABEC ．△ABD D ．△ACE5．(·保定模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，点D ，E 分别是AC ，AB 的中点，则以DE 为直径的圆与BC 的位置关系是(B )A ．相切B ．相交C ．相离D ．无法确定6．(·烟台)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE 的度数为(C)A．56° B．62°C．68° D．78°7．(·石家庄长安区模拟)如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上．若过点M作⊙O的一条切线MK，切点为K，则MK＝(B)A．3 2 B．2 5 C．5 D.348．(·烟台)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(－1，－2)．9．(·安徽)如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E.若点D是AB的中点，则∠DOE＝60°．10．(·邵阳)如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为D，连接BC，BC平分∠ABD.求证：CD为⊙O的切线．证明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠OCB＝∠DBC.∴OC∥BD.∵BD⊥CD，∴OC⊥CD.又∵OC为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线．11．(·黄冈)如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C.(1)求证：∠CBP＝∠D；(2)若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．解：(1)证明：连接OB.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.∴∠A＋∠D＝90°.∵BC为切线，∴OB⊥BC，即∠OBC＝90°.∴∠OBA＋∠CBP＝90°.∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA.∴∠CBP＝∠D.(2)∵OP⊥AD，∴∠POA＝90°.∴∠P＋∠A＝90°.∴∠P＝∠D.又∵∠A＝∠A，∴△AOP∽△ABD.∴APAD＝AOAB，即1＋BP4＝21.∴BP＝7.12．(·荆门)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，I是△ABC的内心，将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为(A)A．(－2，3) B．(－3，2) C．(3，－2) D．(2，－3)提示：I(3，2)．13．(·台州)如图，等边三角形ABC 边长是定值，点O 是它的外心，过点O 任意作一条直线分别交AB ，BC 于点D ，E.将△BDE 沿直线DE 折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E 分别交AC 于点F ，G ，连接OF ，OG ，则下列判断错误的是(D )A ．△ADF≌△CGEB ．△B′FG 的周长是一个定值C ．四边形FOEC 的面积是一个定值D ．四边形OGB′F 的面积是一个定值提示：连接OA ，OC ，易证△DOF≌△GOF≌△GOE，△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，△ADF≌△CGE，故选项A 正确；∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF＝GF ＝GE.∴△ADF≌△B′GF≌△CGE.∴B′F＝AF ，B′G＝CG.∴C △B′FG ＝FG ＋B′F ＋B′G＝FG ＋AF ＋CG ＝AC(定值)，故选项B 正确；S 四边形FOEC ＝S △OCF ＋S △OCE ＝S △OCF ＋S △OAF ＝S △AOC ＝13S △ABC (定值)，故选项C 正确；S四边形OGB′F＝S △OFG ＋S △B′GF ＝S △OFD ＋S △ADF ＝S四边形OFAD＝S △OAD ＋S △OAF ＝S △OCG ＋S △OAF ＝S △OAC －S △OFG ，过点O 作OH⊥AC于点H ，∴S △OFG ＝12FG·OH，由于OH 是定值，FG 变化，故△OFG 的面积变化，从而四边形OGB′F 的面积也变化，故选项D 错误． 14．(·南京)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝4，以CD 为直径作⊙O.将矩形ABCD 绕点C 旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O 相切，切点为E ，边CD′与⊙O 相交于点F ，则CF 的长为4．提示：连接OE ，延长EO 交CD′于点G ，则OE ＝OC ＝2.5.∴OG＝EG －OE ＝1.5.∴CG＝OC 2－OG 2＝2.∴CF＝2CG ＝4.15．【分类讨论思想】(·宁波)如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连接PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，BP 的长为3或43．提示：分两种情况讨论：①当⊙P与直线CD相切时，BP＝3；②当⊙P与直线AD相切时，PB ＝4 3.16．(·扬州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO 于点F.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，点P是BC边上的动点，当PE＋PF取最小值时，直接写出BP的长．解：(1)证明：作OH⊥AC于点H.∵AB＝AC，AO⊥BC，∴AO平分∠BAC.又∵OE⊥AB，OH⊥AC，∴OH＝OE，即OH为⊙O的半径．∴AC是⊙O的切线．(2)∵点F是OA的中点，∴OA＝2OF＝2OE＝6.又∵OE＝3，∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°.∴AE＝3 3.∴S阴影＝S△AOE－S扇形EOF＝12×3×33－60×π×32360＝93－3π2.(3)作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于点P，此时PE＋PF最小．∵OF′＝OF＝OE，∴∠F′＝∠OEF′.∵∠AOE＝∠F′＋∠OEF′＝60°，∴∠F′＝30°.∴∠F′＝∠EAF′.∴EF′＝EA＝33，即PE＋PF最小值为3 3.在Rt△OPF′中，OP＝tan30°·OF′＝3，在Rt△ABO中，OB＝tan30°·OA＝23，∴BP＝23－3＝ 3.11 / 11。
圆与圆的位置关系ppt课件
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圆与圆的 五 种 位置关系 圆心距为d
r1
r2
O1
O2
r1
r2
O1
O2
rr1 1
r2
O1 O2
相交
外离 d>r1 +r2
无公共点 4条公切线
外切 d=r1 +r2 | r1 -r2|<d<r1 +r2
唯一公共点
两个公共点
3条公切线
2条公切线
r1 r2
O1 O2
r1 r2
x 12 y 42 25.
圆把C圆1的C2圆的x 心方2是程2 点化 y（为 2-标12准，1方-04.程），,半得径长r1=5.求标两及圆半心径坐 圆C1的圆心是点（2，2）,半径长r2= 10（. 配方法）
圆C1与圆C2的连心线长为
圆C1与圆C2的半径之和是 1 22 4 22 3 5,
几何方法 代数方法
各有何优劣，如何选用？
（1）当Δ=0时，有一个交点，两圆位置关系如何？
内切或外切
（2）当Δ<0时，没有交点，两圆位置关系如何？
内含或相离
几何方法直观，但不能求出交点； 代数方法能求出交点，但Δ=0， Δ<0时，不能判断 圆的位置关系。
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小结：
1、研究两圆的位置关系可以有两种方法:
y
（-1,1） A
. （2，2）C2
O
. （-1，-4）
x
B（3,-1）
x+2y-1=0
C1
20
判断C1和C2的位置关系
解：联立两个方程组得
x2 y2 2x 8 y 8 0 ①
2024年中考数学复习课件-第24讲 与圆有关的位置关系
【解析】如图37，设光盘的圆心为 .由题意知， ， 分别切 于点 ， ，连接 ， ， ， 分别为 的切线， 为 的平分线， ， .又 ，
.在 中， ， ， 这张光盘的半径约是 ．
【答案】6.9
考点专练
图10
7.如图10， ， ， 是 的切线，切点分别为 ， ， .若 ， ，则 的长是( ) .
①直线和圆相交 ___ ②直线和圆相切 ___ ③直线和圆相离 ___
直线与圆的位置关系
3.圆的切线
圆的切线
定义
直线和圆仅有____个公共点（即直线和圆______）时，这条直线叫作圆的切线，这个唯一的公共点叫作______
性质
圆的切线垂直于过切点的______
考点三 切线的判定
名师指导判定圆的切线的两种思路： （1）若已知直线与圆的交点，则作出过该点的半径，证明直线与该半径垂直，即“作半径，证垂直”； （2）若不能确定直线与圆的交点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径，即“作垂直，证半径”．
例3 （2023·广西）如图5， 平分 ， 与 相切于点 ，延长 交 于点 ，过点 作 ，垂足为点 .
【答案】A
图13
9.（2022·玉林）如图13，在 网格中，各小正方形的边长均为1，点 ， ， ， ， ， 均在格点上，点 是 的外心.在不添加其他字母的情况下，除 外,把你认为外心也是点 的三角形都写出来：________________________.
图13
提示： ， ， ， ， ， 除 外， ， ， 的外心也是点 .
（1）求证： .
证明：如图36，连接 为 的直径， .又 ， .
图36
（2）求证： 是 的切线.
图7
图36
中考数学夺分复习 第一篇 考点过关 第六单元 圆 课时24 与圆有关的位置关系课件
∴OD⊥BE.∴∠D+∠DFO=90°.
∵AC=FC,∴∠CAF=∠CFA.
∵∠CFA=∠DFO,∴∠CAF=∠DFO.
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODF.
∴∠OAD+∠CAF=∠ODF+∠OFD=90°,
即∠OAC=90°.∴OA⊥AC.
图24-4
第十四页，共四十六页。
2
.
[解析]如图,连接 OC,BC.
∵DC 切☉O 于点 C,∴∠OCD=90°.∵BD=OB,☉O 的半径为 2,
∴BC=BD=OB=OC=2,即△ BOC 是等边三角形,
∴∠BOC=60°.∵AB 为☉O 的直径,点 B 是的中点,
∴CE=EF,AB⊥CF,即△ OEC 为直角三角形.
);
∴∠BPD=∠APD,∴选项B成立;
∵PA,PB是☉O的切线,
D.AB平分PD
∴AB⊥PD,∴选项C成立;只有当
AD∥PB,BD∥PA时,AB平分PD,
∴选项D不一定成立.故选D.
图24-2
第十二页，共四十六页。
4.如图24-3,AT切☉O于点A,AB是☉O的直径
[解析(jiě xī)]∵AT是☉O的切线,
∴OF=2.
在 Rt△ ODF 中,∵OD=5,OF=2,
∴DF= 52 + 22 = 29.
图24-10
第二十八页，共四十六页。
4
3
例 3 [2017·柳州]如图 24-11,已知 AO 为 Rt△ ABC 的角平分线,∠ACB=90°, = ,
以 O 为圆心,OC 为半径的圆分别交 AO,BC 于点 D,E,连接 ED 并延长,交 AC 于
初中中考数学一轮复习第一部分教材同步复习第六章圆第24讲与圆有关的位置关系实用课件
(2)若∠A＝60°，DF＝ 3，求⊙O 的直径 BC 的长． 【解答】 ∵∠A＝60°，DF＝ 3， ∴在 Rt△AFD 中，AF＝taDn6F0°＝ 33＝1，∴AD＝2. ∵DF⊥AB，CB⊥AB，∴DF∥BC，∴△ADF∽△ACB，∴AADC＝DCBF， ∴CB＝CD，∴AC＝BC＋2，∴BC2＋2＝①_____2_____∠A
1 ∠BOC＝90°＋②_____2_____∠A
作三角形任意两边的垂直平分线， 作三角形任意两角的平分线，其交
画法 其交点即为圆心O，以圆心O到任 点即为圆心O，过O点作任一边的垂
一顶点距离为半径作⊙O即可
线确定半径作⊙O即可
7
• 【注意】 圆中常用的辅助线： • (1)有弦，可作弦心距，与弦的一半、半径构成直角三角形； • (2)有直径，寻找直径所对的圆周角，这个角是直角； • (3)有切点，连接切点与圆心，这条线段是半径且垂直于切线； • (4)有内心，可作边的垂线，垂线过内心且垂直平分这条边．
相切
1
d③___＝_______r
相离
0
d④_____>_____r
3
知识点二 切线的性质和判定
• 1．切线的性质 • (1)定理：圆的切线①__垂__直__于____过切点的半径． • (2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线经过②切_点_________. • (3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线经过③圆_心_________. • 2．切线的判定 • (1)设d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径，若d＝r，则直线与圆相
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知识点三 三角形的外接圆与内切圆
名称
外接圆
内切圆
圆心
三角形的外心
三角形的内心
中考数学复习 第6章 圆 第24讲 与圆有关的位置关系课件
∵在Rt△GEH中，EG∶EF＝ ∶2，
பைடு நூலகம்
设EG＝ m，则EF＝2m，
5
∴EH＝m. 5
第八页，共十五页。
∴EG2－EH2＝GH2，即( m5)2－m2＝64，解得m＝4.
∴EH＝4. 连接OE，在Rt△OEH中，由勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)，得r2＝42＋(8－r)2，解 得r＝5. (2)当⊙O与AD相切时，此时AE＝1，有3个交点；当⊙O与BC相切时，此时AE＝3， 有4个交点．
第十五页，共十五页。
(2)已知圆的半径为1，求EF的长．
解：(1)证明：连接(liánjiē)OD，如图． ∵四边形AOCD是平行四边形，OA＝OC， ∴四边形AOCD是菱形． ∴△OAD和△OCD都是等边三角形．
∴∠AOD＝∠COD＝60°.
∴∠FOB＝60°. ∵EF为切线，∴OD⊥EF，∴∠FDO＝90°. 在△FDO和△FBO中，
第六页，共十五页。
∴△FDO≌△FBO.
∴∠OBF＝∠ODF＝90°.
∴OB⊥BF.∴BF是⊙O的切线(qiēxiàn)．
(2)在Rt△OBF中，
∵∠FOB＝60°，tan∠FOB＝
，BF
∴BF＝1×tan60°＝ .
OB
∵在Rt△EDO中，∠E＝903°－∠EOD＝30°，∴EF＝2BF＝ .
23
第十页，共十五页。
2．[2015·河北，6,3分]如图，AC，BE是⊙O的直径(zhíjìng)， 弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是( ) A．△ABE B．△ACF
C．△ABD D．△ADE
B 三角形的外心是其外接圆的圆心(yuánxīn)，则其三个顶点都在 该圆上，四个选项中只有△ACF的顶点F不在⊙O上，则△ACF的外接 圆不是⊙O，所以其外心不是点O.
中考数学复习讲义课件 第6单元 第24讲 与圆有关的位置关系
(2)若⊙O 的直径是 10，∠A＝45°，求 CE 的长．
解：∵AC 是⊙O 的直径，AC＝10， ∴∠B＝90°，OC＝OD＝5. ∵∠A＝45°，∴∠ACB＝45°. ∵BC∥DE，∴∠E＝∠ACB＝45°. 又∠ODE＝90°，∴△ODE 为等腰直角三角形． ∴OE＝ 2OD＝5 2.∴CE＝OE－OC＝5 2－5.
∴∠C＝∠ABD． ∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABD． ∴∠ODB＋∠BDE＝∠EDC＋∠BDE＝90°，即∠ODE＝90°. ∴OD⊥DE. 又∵OD 为⊙O 的半径， ∴FD 是⊙O 的切线．
(2)若 BC＝4，FB＝8，求 AB 的长．
解：由(1)可知 BE＝EC＝DE＝12BC＝2. 在 Rt△FBE 中，FE＝ FB2＋BE2＝ 82＋22＝2 17. ∴FD＝FE－DE＝2 17－2. ∵∠FDO＝∠FBE＝90°，∠OFD＝∠EFB， ∴△FDO∽△FBE.∴FFDB＝DBOE，即2 187－2＝O2D. 解得 OD＝ 172－1.∴AB＝2OD＝ 17－1.
(2)若 AD＝8，tan∠CAB＝34，求边 AC 及 AB 的长． 解：连接 BC． 由(1)知，∠DAC＝∠CAB． ∴tan∠DAC＝CADD＝tan∠CAB＝34. ∴CD＝34×8＝6.∴AC＝ CD2＋AD2＝ 62＋82＝10. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.
∴tan∠CAB＝BACC＝34.∴BC＝34×10＝125.∴AB＝ （125）2＋102＝225
11．(2021·毕节)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点 E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交 BC 于点 F，交⊙O 于点 D，连接 BD，BE. (1)求证：DB＝DE； 证明：∵点 E 是△ABC 的内心， ∴AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC． ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE. 又∵∠CAD 与∠CBD 所对弧为D︵C， ∴∠CBD＝∠CAD＝∠BAD． ∵∠DBE＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD， ∴∠DBE＝∠BED．∴DB＝DE.