POWELL法

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welsh-powell定理概述及解释说明

welsh-powell定理概述及解释说明1. 引言1.1 概述Welsh-Powell定理，也被称为排序染色算法，是一种用于对图进行着色的算法。

该定理基于图边缘染色问题，并提供了一种有效的方法来解决这个问题。

1.2 文章结构本篇文章将首先介绍Welsh-Powell定理的基本概念和原理，然后探讨其在实际中的应用领域。

接下来，我们将深入研究该定理的证明方法，通过特殊情况的例子分析加深理解，并展示具体的实际应用示例。

最后，在引申讨论部分，我们将探讨Welsh-Powell定理的拓展与改进可能性，并与相关研究和其他定理及算法进行比较和评价。

1.3 目的本文旨在全面介绍和解释Welsh-Powell定理，并通过详细说明其原理、证明方法和实际应用示例，使读者能够充分理解和应用该定理。

同时，通过引申讨论部分，希望能够激发读者思考并进一步研究图着色问题以及相关领域的算法和定理。

请注意：- 请根据实际内容完整撰写上述文章内容，文章中的标题不能作答。

- 以上文本为英文回答，请根据需要翻译成中文。

2. Welsh-Powell定理:2.1 定理解释:Welsh-Powell定理是一种图论中的颜色分配算法，用于对无向图进行顶点着色。

根据该定理，可以将相邻的顶点着不同的颜色，从而使得相邻顶点之间不会有相同的颜色。

在具体的定义中，若给定一个无向图G=(V, E)，其中V表示顶点集合，E表示边集合。

则Welsh-Powell定理指出，在某个特定的顺序下，可以按照以下方式对图中的每个顶点进行标记/着色：首先，将所有顶点按照度数（即与之相连的边数）递减的顺序进行排序。

如果有多个度数相同的顶点，则任意选择其中一个进行排序。

然后，按照排序后的次序对每个未标记的顶点执行以下操作：为该顶点选择一个未使用过的最小自然数作为其标记/着色值，并且保证其与已经标记/着色过的相邻节点没有相同的标记/着色值。

这样处理完所有未标记/未着色过的顶点后，就能够得到一个有效且最少使用颜色数量的着色方案。

powell法matlab

powell法matlab
Powell方法是一种用于无约束优化问题的数值优化算法。

它是由Michael J.D. Powell于1964年提出的，是一种直接搜索方法，不需要计算目标函数的梯度。

在MATLAB中，可以使用内置的fminunc函数来实现Powell方法进行优化。

首先，你需要定义一个目标函数，这个函数是你想要优化的目标，比如最小化或最大化的函数。

然后，你可以使用fminunc函数来调用Powell方法进行优化。

fminunc函数的基本语法如下：
matlab.
[x,fval,exitflag,output] = fminunc(fun,x0,options)。

其中，fun是你定义的目标函数，x0是优化的初始点，options 是优化选项。

在fun中，你需要输入目标函数的表达式，并确保它能够接受输入x，并返回一个标量作为目标函数值。

在使用Powell方法时，你需要特别注意初始点的选择，因为初始点的选择可能会影响最终的优化结果。

另外，你也可以通过调整
options来设置一些优化参数，比如迭代次数、容许误差等。

除了使用MATLAB内置的fminunc函数，你还可以自己实现Powell方法的算法，这需要一定的数值计算和优化算法的知识。

你可以参考相关的优化算法书籍或者论文来了解Powell方法的具体实现细节。

总之，Powell方法是一种常用的无约束优化算法，在MATLAB 中可以通过fminunc函数来实现。

希望这些信息对你有所帮助，如果你有其他关于Powell方法或MATLAB优化的问题，也欢迎继续提问。

基于Powell遗传退火精确罚函数法求解气井产量动态优化模型

２１００年ｌ２月
大庆石油地质与开发
ＰｅｒｌｕＧｅｌｇｎ／ｉｌｖｌｐｎｎＤａｉｇｔｏｅｍｏｏｙａｄＯｉｅｄＤｅｅｏｍｅｔｉｑｎｆ
Байду номын сангаас
Ｄｅ．．２１ｃ００Ｖｏ．９Ｎｏ６１２．
ｏｏｖｎｈｄｌｇａｉｎｎｆｃｉｅｙｏｅｃｍｅｎｙｓａｃｉｇｌｃｌｏｔｌｓｌｔｎａｄｔｅｌｗＳｃｅｓｆｓｌｉｇｔｅｍｏｅｒｄｅｔａｄｅｆｔｌｖｒｏｓｏｌｅｒｈｎｏａｐｉｏｕｉｎｈｏｕｃｓｅｖｍａｏ
第２９卷第６期
ＤＯＩ１．９９ＪＩＳ１０－７４２１．６０３：０３６／．ＳＮ．００３５．０００．２
基于Ｐｗｌ遗传退火精确罚函数法ｏｅｌ求解气井产量动态优化模型
丁显峰刘志斌潘大志
Ａｂｓｒｃｔａｔ：Ｉｉｗｆｔｅｎｎ—ｉｅｒｃａａｔｒｓｉｓｏｈｙａｃｌｙｏｔｍｉｅｄｌｆｒｇｓｗｅｌｐｏｕｃｉｎ，ｔｓｎｖｅｏｈｏｌｎａｈｒｃｅｉｔｆｔｅｄｎｍｉａｌｐｉｚｄｍｏｅｏａｌｒｄｔｏｃｈｉｐａｅｒｐｓｓＰｏｌｇｎｔｃａｎａｉｇｍｅｈｄｗｉｘｃｅａｔｕｃｉｎｐｒｐｏｏｅｗｅｌｅｅｉｎｅｌｎｔｏｔｅａｔｐｎｌｙｆｎｔ．ＴｈｉｅｔｍｅｈｄＰｗｅｌｍｅｈｄｉｈｏｅｄｒｃｔｏ－ｏｌｔｏｎｕｎｏｔａｎｄｏｔｍｉａｉｎｉｅａｄｄａｎｏｅａｏａａｌｌｄｗｉｅｅｔｏｃｎｓｒｉｅｐｉｚｔｏｓｒｇｒｅｓａｐｒｔｒｐｒｌｅｔｓｌｃｉｎ，ｃｏｓｖｒａｄｍｕａｉｎ，ａｄｔｅｔｅｈｒｓｏｅｎｔｔｏｎｈｎｉｉｍｂｄｅｎｏｔｅｂａｉｅｅｉｌｏｉｍ．Ｐｏｌｐｒｔｒｉｅｎｄｉｈｅｅｉｌｏｉｈ，ａｄｔｅｐｎｌｓｅｅｄｄｉｔｈｓｃｇｎｔａｇｒｔｃｈｗｅｌｏｅａｏｓｄｆｅｎｔｅｇｎｔｃａｇｒｔｍｉｎｈｅａｔｙｔｒｉｏｔｏｌｄｂｓｎｈｘｃｎｅｌｎｅａｔｕｃｉｎ，ＳｈｅｈｂｉｅｅｉｌｏｉｅｍｓｃｎｒｌｅｙｕｉｇｔｅｅａｔａｎａｉｇｐｎｌｆｎｔｙｏＯｔｙｒｄｇｎｔａｇｒｔｆｒｔｌｂａｐｉｃｈｍｏｈｅｇｏｌｏｔ — ｅｌｓｌｉｏｔｅｕｃｎｔａｎｅｐｉｚｔｏｒｂｅｈａｅｎｏｔｉｅｔｌｓ．Ｔｈｔｄａｏｄｈｆｃｌｉｓｒａｏｕｔｎｔｈｎｏｓｒｉｄｏｔｍｉａｉｎｐｏｌｍｓｂｅｂａｎｄａａｔｏｅｍｅｈｏｖｉｓｔｅｄｉｕｔｅｉ

powel法

powel法Powell法是一种用于无约束优化问题的迭代算法，通过不断地寻找搜索方向和步长来逐步逼近最优解。

该算法在实际应用中具有广泛的适用性和高效性，因此被广泛应用于工程、经济、物理等领域。

其基本思想是将多个搜索方向组合起来构成一个新的搜索方向，从而使得每次迭代可以更加精确地逼近最优解。

具体来说，Powell法采用共轭方向法或方向加速法，通过沿连接相邻两轮搜索末端的向量S方向搜索，以共轭方向打破振荡，加速收敛。

在每轮迭代中，先沿初始方向组Si(1) (i=1,2,…,n)的n个方向和共轭方向S(1)，搜索n+1次得极值点xn+1(1)；然后沿方向组Si(2) ( i=1,2,…,n；i≠m )的n-1个方向和共轭方向S(1)，构筑共轭方向S(2)搜索n+1次得极值点xn+1(2)。

Powell法的收敛速度一般较快，适用于求解大规模的无约束优化问题。

Powell法的基本步骤如下：1. 初始化：选择初始点x0，初始方向组Si(1) (i=1,2,…,n)，以及初始步长λ1。

2. 迭代：对于k=1,2,…，进行以下步骤：a. 沿初始方向组Si(k)的n个方向和共轭方向Sk搜索n+1次，得到极值点xk+1(1)。

b. 计算搜索方向组Si(k+1) (i=1,2,…,n；i≠m)，其中m为使Sk为最小值的下标。

c. 沿共轭方向Sk+1搜索n+1次，得到极值点xk+1(2)。

3. 判断停止条件：检查是否满足停止条件，例如达到预设的最大迭代次数或相邻两次迭代之间的差距小于预设的阈值。

如果满足停止条件，则返回当前点作为最优解；否则，继续迭代。

4. 更新：根据当前极值点和搜索方向更新λk+1和Sk+1，然后回到步骤2。

Powell法的优点在于其收敛速度较快，适用于求解大规模的无约束优化问题。

然而，该算法对初始点选择较为敏感，如果初始点选择不当，可能会导致算法无法收敛到全局最优解。

此外，Powell法对于某些特定的问题可能需要调整方向组的选择和搜索步长的确定方式。

neldermead 和powell报告总结

neldermead 和powell报告总结一、背景介绍neldermead 和 powell 方法是两种常用的优化算法，它们在解决数学优化问题时具有不同的特点和适用场景。

neldermead 方法是一种全局搜索算法，适用于求解大规模、复杂的多维非线性优化问题，而 powell 方法则是一种局部搜索算法，适用于求解小规模、简单的一维或二维优化问题。

二、方法概述neldermead 方法采用非线性拟合的方式，通过逐步逼近目标函数的最小值点，来寻找最优解。

该方法采用了试探方向搜索和拟合技术的结合，具有较高的全局搜索能力和鲁棒性。

powell 方法则是一种迭代算法，通过不断更新目标函数的参数值，来寻找最优解。

该方法采用了逐步逼近的方法，每次迭代都会将当前点向最优解的方向移动一小步，直到达到预设的迭代次数或满足其他终止条件为止。

三、应用案例在我们的实际应用中，我们分别使用 neldermead 和 powell 方法来解决了一个具体的问题。

通过比较两种方法的优化结果，我们发现 neldermead 方法在求解大规模、复杂的多维非线性优化问题时表现更为优秀，而 powell 方法则更适合解决小规模、简单的一维或二维优化问题。

四、优缺点分析neldermead 方法的优点在于其具有较强的全局搜索能力，能够处理大规模、复杂的多维非线性优化问题，同时具有较高的鲁棒性和稳定性。

然而，该方法也存在一些缺点，如收敛速度较慢、需要较长的计算时间等。

powell 方法的优点在于其易于实现、计算速度快、适用于解决简单的一维或二维优化问题。

然而，该方法在处理大规模、复杂的多维优化问题时可能存在局部最优解的问题。

五、结论总结通过对 neldermead 和 powell 报告的总结，我们可以得出以下结论：1. neldermead 方法适用于求解大规模、复杂的多维非线性优化问题，具有较高的全局搜索能力和鲁棒性，但收敛速度较慢。

4 Powell法

x0 − − − − − − − − → x1
进行基本搜索和加速搜索
沿n个线性无关的方向个线性无关的方向
− − − − − − − − − − − − → x2
进行基本搜索和加速搜索
沿 n 个调整的搜索方向
( 共轭性不减少
)
→L→ x
*
Powell法法
Powell法基本原理法基本原理
共轭性度量不减少？每次选代的中n 个搜索方向的 Q 共轭性度量不减少？如下问题：如下问题：
不足
在原始Powell法中，必须保持每次迭代中前在原始Powell法中，必须保持每次迭代中前n个搜索方向 Powell法中线性无关,否则将永远得不到问题的最优解永远得不到问题的最优解. 线性无关,否则将永远得不到问题的最优解
原始Powell法法原始举例
Powell法法
运用原始Powell法求解本例失败. 运用原始Powell法求解本例失败. Powell法求解本例失败
简介
Powell法法
方向加速法
Powell法由法由Powell于1964提出提出. 法由于提出 Zangwill及Brent于1973年对及年对Powell法做了进一步修正法做了进一步修正. 于年对法做了进一步修正
特点
Powell法法
Powell法本质上是以正定二次函数为背景，以共轭方法本质上是以正定二次函数为背景，法本质上是以正定二次函数为背景向为基础的一种方法. 向为基础的一种方法不同于其他的直接法, Powell法有一套完整的理论体不同于其他的直接法法有一套完整的理论体故其计算效率高于其他直接法. 系，故其计算效率高于其他直接法 Powell法使用一维搜索，而不是跳跃的探测步法使用一维搜索，而不是跳跃的探测步. 法使用一维搜索 Powell法的搜索方向不一定为下降方向法的搜索方向不一定为下降方向. 法的搜索方向不一定为下降方向

004第四章Powell法

例4-2 74页
上述基本算法仅具有理论意义 :
3.改进的鲍威尔方法
在改进的算法中首先判断原向量组是否需要替换。如果需要替换，还要进一步判断原向量组中哪个向量最坏，然后再用新产生的向量替换这个最坏的向量，以保证逐次生成共轭方向。
3.改进的鲍威尔方法
为此，要解决两个关键问题：
（1）dk＋1是否较好？是否应该进入新的方向组？即方向组是否进行更新？
0 1 2 2 x d d x 此轮基本方向组为 3 ， 3 ，起始点为 0 ＝，先 1 0 d 后沿 d 3 ， 3 方向，进行一维搜索，得
4 x ， 2
2 1
4 x 2
2 2
4 x ， 2
2 1
4 x 2
2 2
检验终止条件
x22 x02 0
3.96 x 1.9
1 2
f 2 f ( x1 ) 7.996 2
• （2）第2轮迭代计算
3.96 x 1.9
1 2
f 2 f ( x1 ) 7.996 2
构成新的方向
3.96 3.8 0.16 d x x 1.94 1.7 0.24
1.共轭方向
(d 0 )T Gd 1 0 (d 0 )T 2 f ( x)d 1 0
就是使d1直指极小点x* ， d1所必须满足的条件。
两个向量 d 和d1称为G的共轭向量，或称
d 和d 对G是共轭方向。
0 1
0
共轭方向的性质
性质1 性质2 性质3 若非零向量系d0,d1,d2,…,dm-1是对G共轭，在n维空间中互相共轭的非零向量的个数从任意初始点出发，顺次沿n个G的共轭方则这m个向量是线性无关的。

机械优化设计——鲍威尔法

机械优化设计——鲍威尔法机械优化设计班级:0841001成员:张波2010213217张建2010213214潘阳瑞20102132272013年6月鲍威尔法鲍威尔(Powell)法是直接利用函数值来构造共轭方向的一种方法。

基本思想:在不用导数的前提下，在迭代中逐次构造G 的共轭方向。

一(基本算法:(二维情况描述鲍威尔的基本算法)0T1)任选一初始点x，再选两个线性无关的向量，如坐标轴单位向量e=[1,0]和1T=[0,1]作为初始搜索方向。

e20002)从出发，顺次沿、作一维搜索，得、点，两点连线得一新 xeexx12121001方向 d,x,xd2011 用代替e形成两个线性无关向量,e，作为下一轮迭代的搜索方向。

再从xdd1，1201出发，沿作一维搜索得点，作为下一轮迭代的初始点。

xd111113)从出发，顺次沿、作一维搜索，得到点、，两点连线得一新方向: exxxd122211。

d,x,x21*22沿作一维搜索得点，即是二维问题的极小点。

xdx把二维情况的基本算法扩展到n维，则鲍威尔基本算法的要点是:在每一轮迭代中总有一个始点(第一轮的始点是任选的初始点)和n个线性独立的搜索方向。

从始点出发顺次沿n个方向作一维搜索得一终点，由始点和终点决定了一个新的搜索方向。

用这个方向替换原来n个方向中的一个，于是形成新的搜索方向组。

替换的原则是去掉原方向组的第一个方向而将新方向排在原方向的最后。

此外规定，从这一轮的搜索终点出发沿新的搜索方向作一维搜索而得到的极小点，作为下一轮迭代的始点。

这样就形成算法的循环。

图1.二维情况下的鲍威尔法二(改进算法在鲍威尔基本算法中，每一轮迭代都用连结始点和终点所产生出的搜索方向去替换原向量组中的第一个向量，而不管它的“好坏”，这是产生向量组线性相关的原因所在。

在改进的算法中首先判断原向量组是否需要替换。

如果需要替换，还要进一步判断原向量组中哪个向量最坏，然后再用新产生的向量替换这个最坏的向量，以保证逐次生成共轭方向。

最优化第四部分

无,且xk+1=xk,则缩短步长,仍从xk出发进行下一次轴向移动;若
无,且xk+1xk,则仍从xk出发用步长k进行下一次轴向移动.
最优化理论与方法第四部分直接搜索的数值解法
从xk+1出发的模式移动是指以1为步长沿加速方向:dk=xk+1–xk
移动一步,得到新的参考点y=xk+1+dk=2xk+1–xk , 然后 , 从新的参考点y出发 , 仍以k为步长进行轴向移动.
所以第三次轴向移动结束,令 x3 y (3, 2)T .由于 f ( x3 ) f ( x2 ) ,
2 1 0.1 , 且 x3 x2 ,
因此，令 x3 x2 (2 , 1)T , 3 2 ,
取参考点 y x3 (2,1)T .
最优化理论与方法第四部分直接搜索的数值解法
二、Powell 法
本节介绍由Powell提出的一种求解无约束最优化问题
(4.1.1)的直接法. 它本质上是以正定二次函数为背景，以共轭方向为基础的一种方法. 本节分别介绍原始Powell法和Powell法. 补充：共轭方向设H为一正定对称矩阵，若有一组非零向量S1，S2，……，Sn
满足量（方向）。当H为单位矩阵时，有
由梯度法的分析知，此时点X1的梯度必与方向S0垂直，即有
f X S
1 T
0
0
（4-21）
和
f X 1 HX1 B

（4-22）
最优化理论与方法第四部分直接搜索的数值解法
从点X1开始沿另一下降方向S1作一维搜索，得（4-23） X 2 X 1 S1
1
若欲使X2成为极小点，根据极值的必要条件，应有

powell法

§4.3.2.1 引言
顾名思义，Powell法是M. J. D. Powell发表的，因其卓越贡献，此方法以其名字命名。文章发表在The Computer Journal , Vol. 7,No. 4,pp.352355,时间是1964年1月。 Powell方法是比坐标变换法加速收敛的算法，对目标函数要做求导运算。（至少一次）。对于初学者看书仅仅看书不是明智的选择，因为编书人这一部分所写的内容不完善。我仅仅提出我的问题： 1.何为共轭方向 2.共轭方向与目标函数有何关系 3.如何确定共轭方向 4.如何由共轭方向确定目标函数极值 5.这种方法的优缺点是什么
§4.3.2.2 共轭方向
§4.3.2.3 Powell法证明
§4.3.2.4 共轭性证明
本节说明如何确定共轭方向。
此结论充分说明同一方向相邻极小值点间的方向向量与此方向共轭
§4.3.2.5 Powell法
第一轮迭代：选初始点x ( 0 )，令
1 1 1 1
x0
(1)
1
一维搜索，分别求得 f x 的极值点x1 , x2 。
2 2
构筑共轭方向： S 2 x2
2
x0 ，沿此方向
2
2
作第三次搜索，求得 f x 的极值点x3 。每轮迭代结束时，检验是否满足收敛条件： x0
k 1 k

4、单纯形法：任世瑜
5、共轭梯度法：张程浩
6、牛顿法：崔静娜
7、变尺度法：牛丽丽
主要内容
§ 4.3.2.1 引言 § 4.3.2.2 共轭方向
§ 4.3.2.3 Powell法证明
§ 4.3.2.4 共轭性证明
§ 4.3.2.5 Powell法

第五次模式搜索法和Powell算法

1 T 定理设f ( x ) = x Ax + bT x + c，其中 A是n 阶对称正定矩阵。 2 任意取定方向 d 和点 x 1 , x 2。从 x 1出发沿方向 d作一维搜索得极小点 y 1 , 从x 2出发沿方向 d 作一维搜索得极小点 y 2 , 则有 y 2 − y 1与方向d 关于 A 共轭。 y1
f ( y1 − δ e1 ) = 1.5625 < f ( y1 ) , ∴ y 2 = y1 − δ e1 = ( 0.75 , 1 )T 。
Q f ( y 2 + δ e2 ) = 2.125 > f ( y 2 ) , f ( y 2 − δ e2 ) = 1.125 < f ( y 2 ) , ∴ y 3 = y 2 − δ e2 = ( 0.75 , 0.75 )T 。 Q f ( y 3 ) < f ( x1 ) , ∴ 令 x 2 = y 3。
和方向 d ( 2 , 2 ) 共轭。
求解
min
d ( 2 ,1) = d (1, 2 ) = ( 0 , 1 )T , d ( 2 , 2 ) = d (1, 3 ) = ( − 2 , − 1 )T 。
求解
min
λ
f ( x ( 2 , 0 ) + λ d ( 2 ,1 ) ) 。
4 −4 T −6 ( 2 ,1 ) ( 2,0) ( 2 ,1 ) , 所以 x 解得 λ1 = =x + λ1d =( , ) 。 13 13 13 求解 min f ( x ( 2 ,1) + λ d ( 2 , 2 ) )。 88 − 34 T − 18 ( 2, 2) ( 2 ,1 ) ( 2, 2) , 所以 x , 解得 λ2 = =x + λ2d =( ) 。 169 169 169 36 − 60 T , 令方向 d ( 2 , 3 ) = x ( 2 , 2 ) − x ( 2 , 0 ) = ( ) 。 169 169

第七章医学图像的配准与融合

基于内部特征的配准：主要包括三个方面：基于标记的配准方法、基于分割的配准方法、基于像素特性的配准。
四、医学图像配准方法的分类
（六）根据配准过程中变换参数确定的方式分类
1、通过直接计算公式得到变换参数的配准：限制在基于特征信息(例如小数目的特征点集、二维曲线、三维表面)的配准应用中。
2、通过在参数空间中寻求某个函数的最优解得到变换参数的配准：所有的配准都变成一个能量函数的极值求解问题。
四、医学图像配准方法的分类
（四）根据用户交互性的多少分类
自动配准：用户只需提供相应的算法和图像数据。半自动配准：用户需初始化算法或指导算法(如拒绝或接
受配准假设)；交互配准：用户在软件的帮助下进行配准
四、医学图像配准方法的分类
（五）根据配准所基于的图像特征分类
基于外部特征的图像配准：是指在研究对象上设置一些标志点，使这些标记点能在不同的影像模式中显示，然后再用自动、半自动或交互式的方法用标记将图像配准。
7.1 应用背景介绍
目前这两类成像设备的研究都已取得了很大的进步，图像的空间分辨率和图像质量有很大的提高，但由于成像原理不同所造成的图像信息局限性,使得单独使用某一类图像的效果并不理想。因此，为了提高诊断正确率，需要综合利用患者的各种图像信息。
7.1 应用背景介绍
最有效的解决方法：以医学图像配准技术为基础，利用信息融合技术，将这两种图像结合起来，利用各自的信息优势，在一幅图像上同时表达来自人体的多方面信息。更加直观地提供了人体解剖、生理及病理等信息。其中配准技术是图像融合的关键和难点。
后保持不变。例如：人体的头部由坚硬的颅骨支撑，在处理时通常忽
略头部皮肤的微小变形，将整个人脑看作是一个刚体。

鲍威尔法编程-powell法编程c语言编程c++6.0.doc

数字信号处理实验讲义前言 (2)实验一MA TLAB简介 (3)实验二用FFT实现信号的谱分析 (5)实验三IIR数字巴特沃思滤波器的设计 (8)实验四FIR数字滤波器的设计 (9)前言信号处理与计算机的应用紧密结合。

目前广泛应用的MA TLAB工具软件包，以其强大的分析、开发及扩展功能为信号处理提供了强有力的支持。

在数字信号处理实验中，我们主要应用MA TLAB的信号处理工具箱及其灵活、便捷的编程工具，通过上机实验，帮助学生学习、掌握和应用MA TLAB软件对信号处理所学的内容加以分析、计算，加深对信号处理基本算法的理解。

实验一 MATLAB 简介实验目的1．熟悉MA TLAB 软件的使用方法； 2．MA TLAB 的绘图功能；3．用MA TLAB 语句实现信号的描述及变换。

实验原理1．在MA TLAB 下编辑和运行程序在MA TLAB 中，对于简单问题可以在命令窗（command windows ）直接输入命令，得到结果；对于比较复杂的问题则可以将多个命令放在一个脚本文件中，这个脚本文件是以m 为扩展名的，所以称之为M 文件。

用M 文件进行程序的编辑和运行步骤如下：（1）打开MA TLAB ，进入其基本界面；（2）在菜单栏的File 项中选择新建一个M 文件；（3）在M 文件编辑窗口编写程序；（4）完成之后，可以在编辑窗口利用Debug 工具调试运行程序，在命令窗口查看输出结果；也可以将此文件保存在某个目录中，在MA TLAB 的基本窗口中的File 项中选择Run The Script ，然后选择你所要运行的脚本文件及其路径，即可得出结果；也可以将此文件保存在当前目录中，在MA TLAB 命令窗口，“>>”提示符后直接输入文件名。

2．MA TLAB 的绘图功能plot(x,y) 基本绘图函数，绘制 x 和y 之间的坐标图。

figure(n ) 开设一个图形窗口nsubplot(m,n,N) 分割图形窗口的MA TLAB 函数，用于在一个窗口中显示多个图形，将图形窗口分为m 行n 列，在第N 个窗口内绘制图形。

powell法求解函数最小值例题

powell法求解函数最小值例题Powell法（Powell's method）是一种用于求解无约束优化问题的迭代算法。

它属于一类称为直接方法的算法，因为它不需要导数信息即可找到函数的局部最优解。

在本文中，我们将介绍Powell法的背景、基本思想、算法流程以及一个示例问题的求解过程。

1.背景：Powell法由美国数学家齐奥多尔·普爱维尔（Theodore Puavai）于1963年提出。

相比于其他优化算法，Powell法具有简单易懂、计算效率高等特点，尤其适用于高维问题的求解。

2.基本思想：Powell法的基本思想是通过一系列的一维来逼近函数的最小值点。

它基于以下两个主要观察结果：-如果目标函数是单峰函数（即只有一个极小值点），则由初始点出发，可以找到最小值点。

- 如果目标函数是多峰函数，Powell法通过适当选择方向，可以从多个初始点出发，找到不同的极小值点。

这种特性使得Powell法在求解多峰函数时具有一定的优势。

3.算法流程：Powell法的算法流程如下：Step 1：选择初始点。

Step 2：选择方向。

Step 3：进行一维，找到使目标函数最小化的步长。

Step 4：更新当前点和方向。

Step 5：重复Steps 3-4，直到满足停止准则。

下面，我们将通过一个具体的例题来演示Powell法的求解过程。

假设我们要求解以下目标函数的最小值：f(x,y)=(x+10y)^2+5(x-y)^2+(x/2-y/4)^44.例题求解：Step 1：选择初始点。

假设我们选择初始点为x=1,y=-1Step 2：选择方向。

由于Powell法需要进行一维，在每次更新当前点和方向之前，需要先选择初始的方向。

根据Powell法的原理，我们可以选择与之前的方向正交的方向作为新的方向。

对于第一次迭代，我们可以选择x轴方向作为方向。

Step 3：进行一维。

在选择了方向后，我们需要在该方向上进行一维，找到使目标函数最小化的步长。

powell法matlab代码

1/目标函‎数程序清单‎func‎t ion ‎m=f(x‎1,x2)‎m=x‎1^2+2‎*x2^2‎-4*x1‎-2*x1‎*x2‎2/关于α‎的目标函数‎func‎t ion ‎m=y(x‎1,x2,‎d1,d2‎,alph‎a)m=‎(x1+a‎l pha*‎d1)^2‎+(x2+‎a lpha‎*d2)^‎2-(x1‎+alph‎a*d1)‎*(x2+‎a lpha‎*d2)-‎10*(x‎1+alp‎h a*d1‎)-4*(‎x2+a‎l pha*‎d2)+6‎0;3‎\fun‎c tion‎[a,b‎]=sec‎t ion(‎x1,x2‎,d1,d‎2)x1‎1=x1;‎%给出起‎始点坐标x‎1，x2和‎搜索方向d‎1，d2‎x22=x‎2;d1‎1=d1;‎d22=‎d2;h‎0=1; ‎ %初始‎化h=h‎0;alp‎h a1=0‎;y1=‎y(x11‎,x22,‎d11,d‎22,al‎p ha1)‎; %代入‎α1求解y‎1alp‎h a2=h‎;y2=y‎(x11,‎x22,d‎11,d2‎2,alp‎h a2);‎t=0;‎if y‎2>y1‎ h‎=-h;a‎l pha3‎=alph‎a1;y3‎=y1;t‎=1; %‎如果y2>‎y1，则改‎变搜索方向‎end‎w hile‎(1)‎ if‎t==1‎‎ a‎l pha1‎=alph‎a2;y1‎=y2; ‎%实现交换‎‎ a‎l pha2‎=alph‎a3;y2‎=y3;‎ e‎l se t‎=1;‎ en‎d‎alph‎a3=al‎p ha2+‎h;y3=‎y(x11‎,x22,‎d11,d‎22,al‎p ha3)‎;‎if y‎3<y2‎‎ h=‎2*h; ‎%改变搜索‎步长，将其‎加倍‎ els‎e‎‎brea‎k;‎ end‎end‎i f al‎p ha1>‎a lpha‎3‎tem=‎a lpha‎1;alp‎h a1=a‎l pha3‎;alph‎a3=te‎m; %比‎较大小，保‎证输出区间‎为【a，b‎】‎a=al‎p ha1;‎b=alp‎h a3;‎e lse ‎a=alp‎h a1;b‎=alph‎a3;e‎n d4‎\fun‎c tion‎alph‎a=ALP‎H A(x1‎,x2,d‎1,d2,‎A,B)‎x11=x‎1;x22‎=x2; ‎ %给出‎起始点坐标‎x1，x2‎和搜索方向‎d1，d2‎d11=‎d1;d2‎2=d2;‎a=A;‎b=B; ‎ %获取‎区间ep‎s ilon‎=0.00‎0001;‎%初始化‎，给定进度‎r=0.‎618;‎a lpha‎1=b-r‎*(b-a‎);y1‎=y(x1‎1,x22‎,d11,‎d22,a‎l pha1‎); %代‎入α1求解‎y1al‎p ha2=‎a+r*(‎b-a);‎y2=y‎(x11,‎x22,d‎11,d2‎2,alp‎h a2);‎whil‎e(1)‎ i‎f y1>‎=y2 ‎%根据区‎间消去法原‎理缩短搜索‎空间‎‎a=al‎p ha1;‎a lpha‎1=alp‎h a2;‎‎ y1‎=y2;‎‎ al‎p ha2=‎a+r*(‎b-a);‎‎ y‎2=y(x‎11,x2‎2,d11‎,d22,‎a lpha‎2);‎ el‎s e‎‎ b=a‎l pha2‎;alph‎a2=al‎p ha1;‎‎ y‎2=y1;‎‎ a‎l pha1‎=b-r*‎(b-a)‎;‎‎y1=y(‎x11,x‎22,d1‎1,d22‎,alph‎a1);‎ e‎n d‎ if ‎a bs(b‎-a)<e‎p silo‎n &a‎b s(y2‎-y1)<‎e psil‎o n ‎%判断是否‎满足进度要‎求‎‎b reak‎; %满足‎进度要求则‎退出循环迭‎代过程‎ en‎dend‎alph‎a=0.5‎*(a+b‎); %返‎回值5‎\主程序‎c lear‎all‎c lck‎=0;n=‎2;x=‎[0;0;‎];ff(‎1)=f(‎x(1),‎x(2))‎; %‎初始化e‎p silo‎n=0.0‎0001;‎d=[1‎;‎0;‎0;‎ 1;]‎;whi‎l e(1)‎‎x00=[‎x(1);‎x(2);‎];‎ for‎i=1:‎n‎[a(i‎),b(i‎)]=se‎c tion‎(x(2*‎i-1),‎x(2*i‎),d(2‎*i-1)‎,d(2*‎i)); ‎%调用se‎c tion‎（）函数求‎解一元函数‎有y（α）‎最小值时的‎区间‎ alp‎h a(i)‎=ALPH‎A(x(2‎*i-1)‎,x(2*‎i),d(‎2*i-1‎),d(2‎*i),a‎(i),b‎(i));‎%调用A‎L PHA（‎）函数求解‎y（α）最‎小值点α*‎‎x(2*i‎+1)=x‎(2*i-‎1)+al‎p ha(i‎)*d(2‎*i-1)‎; %沿d‎i方向搜索‎‎x(2*i‎+2)=x‎(2*i)‎+alph‎a(i)*‎d(2*i‎);‎ ff(‎i+1)=‎f(x(2‎*i+1)‎,x(2*‎i+2))‎; %搜索‎到的点对应‎的函数值‎ e‎n d‎‎ for‎i=1:‎n‎Delt‎a(i)=‎f f(i)‎-ff(i‎+1);‎ e‎n d‎ del‎t a=ma‎x(Del‎t a); ‎%求出函数‎值之差的最‎大值‎ for‎i=1:‎n‎%寻找函数‎值之差最大‎值的下标‎‎ if‎delt‎a==De‎l ta(i‎)‎‎ m‎=i;‎‎‎brea‎k;‎‎end‎ e‎n d‎ d(2‎*n+1)‎=x(2*‎n+1)-‎x(1);‎ %求‎出反射点搜‎索方向dn‎+1‎ d(2‎*n+2)‎=x(2*‎n+2)-‎x(2);‎‎ x(‎2*n+3‎)=2*x‎(2*n+‎1)-x(‎1); ‎%搜索到‎反射点Xn‎+1‎ x(2‎*n+4)‎=2*x(‎2*n+2‎)-x(2‎);‎ ff(‎n+2)=‎f(x(2‎*n+3)‎,x(2*‎n+4))‎; %反射‎点所对应的‎函数值‎ f0‎=ff(1‎);f2=‎f f(n+‎1);f3‎=ff(n‎+2);‎ k‎=k+1;‎ %记‎录迭代次数‎‎R(k,:‎)=[k,‎x',d'‎,ff];‎%保存迭‎代过程的中‎间运算结果‎‎‎i f f3‎<f0 &‎(f0-‎2*f2+‎f3)*(‎f0-f2‎-delt‎a)^2<‎0.5*d‎e lta*‎(f0-f‎3)^2 ‎ %判‎断是否需要‎对原方向组‎进行替换‎‎ [a‎(n+1)‎,b(n+‎1)]=s‎e ctio‎n(x(2‎*n+1)‎,x(2*‎n+2),‎d(2*n‎+1),d‎(2*n+‎2));‎‎ al‎p ha(n‎+1)=A‎L PHA(‎x(2*n‎+1),x‎(2*n+‎2),d(‎2*n+1‎),d(2‎*n+2)‎,a(n+‎1),b(‎n+1))‎;‎‎x(1)=‎x(2*n‎+1)+a‎l pha(‎n+1)*‎d(2*n‎+1); ‎ %沿反‎射方向进行‎搜索，将搜‎索结果作为‎下一轮迭代‎的始点‎‎ x(2‎)=x(2‎*n+2)‎+alph‎a(n+1‎)*d(2‎*n+2)‎;‎‎f or i‎=m:n ‎ %根据‎函数值之差‎最大值的下‎标值m，对‎原方向组进‎行替换‎‎‎d(2*‎i-1)=‎d(2*i‎+1);‎‎‎ d(2‎*i)=d‎(2*i+‎2);‎‎ end‎‎e lse‎‎ if‎f2<f‎3‎%如果不需‎要对原方向‎组进行替换‎，选取终点‎及反射点中‎函数值较小‎者作为下一‎轮迭代的始‎点‎‎ x‎(1)=x‎(2*n+‎1);‎‎‎x(2)‎=x(2*‎n+2);‎‎ e‎l se‎‎‎ x(1‎)=x(2‎*n+3)‎;‎‎ x‎(2)=x‎(2*n+‎4);‎‎ end‎‎ e‎n d‎ RR(‎k,:)=‎a lpha‎; %‎保存迭代过‎程的中间运‎算结果‎ ff‎(1)=f‎(x(1)‎,x(2)‎); ‎%计算下一‎轮迭代过程‎需要的f0‎值‎if(‎((x(2‎*n+1)‎-x00(‎1))^2‎+(x(2‎*n+2)‎-x00(‎2))^2‎)^(1/‎2))<e‎p silo‎n %判断‎是否满足精‎度要求‎‎brea‎k; ‎%满足进度‎要求则退出‎循环迭代过‎程‎end‎e ndx‎x=[x(‎1);x(‎2)]f‎m in=f‎(x(1)‎,x(2)‎) %显示‎最小值及其‎所对应的坐‎标‎。

powell优化算法求极小值问题

Powell法求多元函数极小值（要求目标函数有连续二阶导数）#include <conio.h>#include <math.h>#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define XuYimin_Debug_1#define N 3 /*N维空间*/double xq[N]={0,0,0};double fun(double x[N]){double y;/*目标函数f(X)=(x1-4)^2+(x2-3)^2+1.5*x3^2+(x1-x2+x3-1)^2+sin(x1+x2+x3-7)*sin(x1+x2+x3-7) 可根据需要修改，但需要同时修改维数N值*/y=pow((x[0]-4),2)+pow((x[1]-3),2)+1.5*x[2]*x[2]+pow(x[0]-x[1]+x[2]-1,2)+pow(sin(x[0]+x[1]+x[2]-7),2);return y;}double fd(double x[N],double d[N],double alf){int i;double y,t[N];for(i=0;i<N;i++)t[i]=x[i]+alf*d[i];y=fun(t);return y;}double alf(double x[N],double d[N]){double h0=0.1,a0=0.0,ep1;double a1,a2,a3,y1,y2,y3,c1,c2,ap,yp,ax,yx,h;ep1=pow(0.1,12);a1=a0,h=h0;a2=h,y1=fd(x,d,a1),y2=fd(x,d,a2);if(y2>y1){h=-1*h,a3=a1,y3=y1;loop1:a1=a2,y1=y2,a2=a3,y2=y3;loop2:a3=a2+h,y3=fd(x,d,a3); if(y3<y2) {h=2*h;goto loop1;}}else goto loop2;if( fabs(y2)<ep1 ) goto loop5;loop3:c1=(y3-y1)/(a3-a1);c2=((y2-y1)/(a2-a1)-c1)/(a2-a3);if(c2==0) goto loop4;ap=0.5*(a1+a3-c1/c2);yp=fd(x,d,ap);while(!fabs((y2-yp)/y2)<ep1){if((ap-a2)*h>0){if(y2>=yp) a1=a2,y1=y2,a2=ap,y2=yp;else a3=ap,y3=yp;}else{if(y2>=yp) a3=a2,y3=y2,a2=ap,y2=yp;else a1=ap,y1=yp;}goto loop3;}if(y2<yp) ax=a2,yx=y2;else ax=ap,yx=yp;return ax;loop4:return a2;loop5:return 0;}double maxt(double del[N+1]){int i;double y=del[0];for (i=1;i<N+1;i++)if(del[i]>y)y=del[i];return y;}void powell(){int i,j,id,pd[3],xym=1,m;double al,esp,ALF[N+1],x[2],pa[N+1],X[N][N+1],del[N+1],d[N][N+1], F[3],fu[N+1],te[N],tem[N],dk[N],xk[N],delm;esp=pow(0.1,10);x[0]=xq[0];x[1]=xq[1];for(i=0;i<N;i++)for(j=0;j<N+1;j++)d[i][j]=0;for(i=0;i<N;i++) d[i][i+1]=1;loop:#ifdef XuYimin_Debug_1printf("fangxiang juzhen:d=\n");for(i=0;i<N;i++)for(j=0;j<N+1;j++){printf("%15g",d[i][j]);if(j==N) printf("\n");}printf("\n");#endiffor(i=0;i<N;i++) X[i][0]=x[i];ALF[0]=0;del[0]=0;fu[0]=fun(x);for(id=1;id<N+1;id++){for(i=0;i<N;i++) tem[i]=d[i][id];ALF[id]=alf(x,tem);for(i=0;i<N;i++) te[i]=x[i]+ALF[id]*d[i][id]; fu[id]=fun(te);for(i=0;i<N;i++) X[i][id]=te[i];for(i=0;i<N;i++) x[i]=te[i];}for(id=1;id<N+1;id++) del[id]=fu[id-1]-fu[id]; #ifdef XuYimin_Debug_1printf("zuijia buchang juzhen:ALF:\n");for(i=0;i<N+1;i++) printf("%15g",ALF[i]);printf("\n\ndiedaidian juzhen:X=\n");for(i=0;i<N;i++)for(id=0;id<N+1;id++){printf("%15g",X[i][id]);if(id==N) printf("\n");}printf("\nhanshuzhi juzhen:fu=\n");for(id=0;id<N+1;id++) printf("%15g",fu[id]); printf("\n\nhanshuzhi chazhi juzhen:del=\n"); for(id=0;id<N+1;id++) printf("%15g",del[id]);printf("\n");#endiffor(i=0;i<N;i++){dk[i]=X[i][N]-X[i][0];xk[i]=2*X[i][N]-X[i][0];}for(i=0;i<N;i++) x[i]=X[i][0];F[0]=fun(x);for(i=0;i<N;i++) x[i]=X[i][N];F[1]=fun(x);F[2]=fun(xk);delm=maxt(del);for(i=0;i<N+1;i++)if(del[i]==delm)m=i;#ifdef XuYimin_Debug_1printf("x0_k=\n");for(i=0;i<N;i++) printf("%15g\n",X[i][0]);printf("\nxn_k=\n");for(i=0;i<N;i++) printf("%15g\n",X[i][N]);printf("\nxn+1_k=\n");for(i=0;i<N;i++) printf("%15g\n",xk[i]);printf("\nhanshuzhi zengliang juzhen F=\n");for(i=0;i<3;i++) printf("%15g",F[i]);printf("\n\nzuida chazhi:m=%d delm=%g\n\n",m,delm);#endifpd[0]=(F[2]<F[0]);pd[1]=((F[0]-2*F[1]+F[2])*(F[0]-F[1]-delm)*(F[0]-F[1]-delm)<0.5*delm*(F[0]-F[2])*(F[0]-F[2]));pd[2]=(F[1]<F[2]);#ifdef XuYimin_Debug_1printf("pd[0]=%d pd[1]=%d pd[2]=%d\n\n",pd[0],pd[1],pd[2]); #endifif(pd[0]*pd[1]==1){for(i=0;i<N;i++) te[i]=X[i][N];al=alf(te,dk);for(i=0;i<N;i++) x[i]=X[i][N]+al*dk[i];for(j=m;j<N;j++)for(i=0;i<N;i++)d[i][j]=d[i][j+1];for(i=0;i<N;i++) d[i][N]=dk[i];#ifdef XuYimin_Debug_1printf("xin diedaidian:x=\n");for(i=0;i<N;i++) printf("%15g\n",x[i]);printf("\nxin fangxiang juzhen:d=\n");for(i=0;i<N;i++)for(j=0;j<N+1;j++){printf("%15g",d[i][j]);if(j==N) printf("\n");}printf("\n");#endif}elseif(pd[2]==1)for(i=0;i<N;i++) x[i]=X[i][N];elsefor(i=0;i<N;i++) x[i]=xk[i];pa[N]=0;for(i=0;i<N;i++) pa[i]=X[i][N]-X[i][0];for(i=0;i<N;i++) pa[N]+=pa[i]*pa[i];pa[N]=sqrt(pa[N]);#ifdef XuYimin_Debug_1printf("piancha juzhen:PA=\n");for(i=0;i<N;i++)printf("%15g\n",pa[i]);printf("\npiancha juli:pa=%g\n\n",pa[N]);printf("************Di %d ci diedai jieshu!************\n\n\n\n\n",xym++); #endifif(pa[N]<esp){printf("The Result:\n");printf("jizhi dian:X=\n");for(i=0;i<N;i++)printf("%15g\n",x[i]);printf("\njizhidian:f(X)=%f",fun(x));}else goto loop;}int main() {powell(); getch(); return 0; }。

优化设计复习题(1)

复习题一、简答题1、内点惩罚函数法和外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有何不同？2、简述Powell 法的特点及应用范围。

3、什么是内点惩罚函数法？什么是外点惩罚函数法？4、简述单纯形法的特点及应用范围。

5、简述内点惩罚函数法、外点惩罚函数法适用的优化问题？6、简述DFP 法的特点及应用范围。

7、简述共轭梯度法的步骤。

8、画出共轭梯度法的程序框图。

9、画出坐标轮换法的程序框图。

10、简述优化设计的迭代终止准则。

二、计算题1、已知某约束优化问题的数学模型为：min f(X)=x 12+x 22-4x 1+4 s.t. g 1(x)= x 1-x 2 +2≥0g 2(x)= -x 12+x 2-1≥0g 3(x)=x 1≥01）画出目标函数的等值线，并在图上标出可行域;2）从图上确定无约束最优解x 1*,f 1*和约束最优解x 2*,f 2*（只需在图上指出，不需求具体的值）;3）该问题属于线性规划还是非线性规划？为什么？;4）若在该问题中又加入等式约束h(x)= x 1- x 2=0,求出约束最优解。

（只需在图上指出，不需求具体的值）2、用共轭梯度法求目标函数()221212121,224f x x x x x x x =+--的最优解，初始点x 0=[1，1]T ，作一次搜索，求出共轭系数0β并构造第二次迭代的共轭方向。

3、已知某约束优化问题的数学模型为：min f(X)=(x 1-3)2+x 22 s.t. g 1(x)=x 1≥0g 2(x)=x 2≥0g 3(x)= 6-x 1≥0 g 4(x)= 4-x 2≥0g 5(x)= x 2+1≥0 g 4(x)= x 1-x 2+2≥01）画出目标函数的等值线，并在图上标出可行域;2）从图上确定无约束最优点和约束最优点。

（需在图上指出）;3）3）该问题属于线性规划还是非线性规划？为什么？4）若在该问题中又加入等式约束h(x)= x 2-3=0,求出约束最优解。