广东省广州市第三中学初高中数学教材衔接导学案：第九课 一元二次不等式 精品
3.2 一元二次不等式及其解法(导学案)
§3.2 一元二次不等式及其解法 学习目标1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式；3. 掌握一元二次不等式的解法。
学习过程一、课前预习1、阅读教材7679~P P ，回答下列问题（1）什么叫一元二次不等式？（2）一元二次不等式250x x -≤所对应的一元二次方程250x x -=与所对应的一元二次函数25y x x =-零点的关系怎样？（3）你能从一元二次函数25y x x =-的图象中看出不等式250x x -≤的解吗？（4）不等式250x x -+≥与不等式250x x -≤解集相同吗？（5）书本上讨论一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<时，为什么只讨论0a >情况？0a <的情况不要求掌握吗？（6）解一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<（0a >）的方法和步骤是什么？（7）一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<（0a <）能化归到（6）求解吗？（8）完成课本77页底部的表格 二、例题 例1 求不等式0232>+-x x 的解集.类推：不等式0)4)(3(>--x x 的解集为 . 不等式0)6)(5(>+-x x 的解集为 .不等式0))((21>--x x x x 的解集为 （其中12x x <）.例2 求不等式2320x x -+<的解集.类推：不等式(3)(4)0x x --<的解集为 .不等式(5)(6)0x x -+<的解集为 .不等式12()()0x x x x --<的解集为 （其中12x x <）.例3 求不等式2320x x -+-≤的解集.例4 求不等式0122>+-x x 的解集.类推：不等式0)3(2>-x 的解集为 .不等式2(6)0x +≥的解集为 .不等式2(6)0x +<的解集为 .不等式2(3)0x -≤的解集为 .不等式0)(21>-x x 的解集为 .例5 求不等式2230x x -+->小结：1、解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式.（2）判断∆的符号.（3）求方程c bx ax ++2=0的根.（4）画出与不等式对应的函数c bx ax y ++=2的图象；（5）根据图象写出不等式的解集.※ 动手试试解下列关于x 的不等式：（1）0322>-+x x （2）0)12)(13(≤-+x x（3）012≥+-x x （4）0122<++x x（5）0))(1(2>-+a x x （6）172153-+≥--x x x x§3.2 一元二次不等式及其解法(解析版)§3.2 一元二次不等式及其解法（1） 学习目标1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式；3. 掌握一元二次不等式的解法。
数学《一元二次不等式》教学设计(优秀4篇)
数学《一元二次不等式》教学设计（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如总结报告、心得体会、应急预案、演讲致辞、合同协议、规章制度、条据文书、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as summary reports, insights, emergency plans, speeches, contract agreements, rules and regulations, documents, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you would like to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!数学《一元二次不等式》教学设计（优秀4篇）作为一名教师，常常要写一份优秀的教案，教案是实施教学的主要依据，有着至关重要的作用。
一元二次不等式教案（精选3篇）
一元二次不等式教案（精选3篇）一元二次不等式篇1教学内容3.2一元二次不等式及其解法三维目标一、知识与技能1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组)，正确地求出分式不等式的解集；3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式；4.会利用一元二次不等式，对给定的与一元二次不等式有关的问题，尝试用一元二次不等式解法与二次函数的有关知识解题.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.进一步提高学生的运算能力和思维能力；2.培养学生分析问题和解决问题的能力；3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想.教学重点1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.教学难点1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.教学方法启发、探究式教学教学过程复习引入师：上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系。
回顾下等比数列的性质。
生：略师：某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两种ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算），公司B的收费原则是第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）那么，一次上网在多少时间以内能够保证选择公司A的上网费用小于等于选择公司B所需费用。
学生自己讨论点题，板书课题新课学习1.一元二次不等式只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
广东省广州市第三中学七年级数学下册导学案(无答案)第九章第7课时 9.3一元一次不等式组(1)
（4）第7课时 9.3一元一次不等式组（1）【学习目标】1．了解一元一次不等式组及其相关概念；2．掌握一元一次不等式组的解法并会在数轴上表示解集。
【学习过程】一、预习导入：1.现有两根木条a 和b ，a 长10 cm ，b 长3 cm.如果再找一根木条c ，用这三根木条钉成一个三角形木框，那么对木条c 的长度有什么要求？①考虑三角形两边之和大于第三边，可列不等式为考虑三角形两边之差小于第三边，可列不等式为②把 一元一次不等式组。
二、探究新知：1.我们可以利用数轴确定不等式组的解集：（1）⎩⎨⎧>>24x x 其解集为（2）⎩⎨⎧><24x x 其解集为（3）⎩⎨⎧<>24x x 其解集为（4）⎩⎨⎧<<24x x 其解集为上面的表示可以用口诀来概括为2、将下列数轴上的x 的范围用不等式表示出来：（2）（3） （1）【小结】设a 、b 是已知实数且a ＞b ，那么不等式组表一：不等式组解集例1、解不等式组：⎩⎨⎧>-<+423532x x ⎪⎩⎪⎨⎧->-++<+x x x x 213521132例2、x 取哪些整数值时，不等式)1(325->+x x 与x x 237121-≤-都成立？三、对应练习1、解不等式组：（1）⎩⎨⎧->--<-2541662x x x x （2） 521,10.x x -≥-⎧⎨->⎩ （3）(32)41214x x x x --≤⎧⎪⎨-<-⎪⎩2.不等式组10213xx-≥⎧⎨->-⎩的整数解是（）Ａ、－１，０Ｂ、－１，１Ｃ、０，１Ｄ、无解四、总结归纳：1、由几个一元一次不等式组组合起来，组成了___________________________________2、解一元一次不等式组时，先_____________________,再___________________________。
初升高数学衔接班教案(学生版)一元二次不等式
不等式一、 【归纳初中知识】初中阶段我们已经学习过一元一次不等式的解法，但在高中学习中往往不够用，我们来总结一下已经学习过不等式的解法：解b ax >应该分三种情况讨论：1. 若0=a ，且0≥b ，不等式无解；若0,0<=b a ，不等式有无数解2. 若0>a ，则解为ab x >3. 若0<a ，则解为a b x < 二、 【衔接高中知识】我们在高中阶段主要会接触到三类不等式：1. 一元二次不等式：其通常求解方法有“因式分解乘积法”、“二次函数图像法”；2. 分式不等式：其主要求解方法为将分式不等式转化为整式不等式；3. 简单的高次不等式：常用求解方法为“因式分解乘积法”规律总结：①一般地，解不等式先使不等式右边为______②一般地，对于一元二次不等式)0(02<>++c bx ax ，先化二次项系数为_______，然后找出方程02=++c bx ax 的两根21,x x ，最后根据不等号：小于取______，大于取_____。
三、 【例题精讲】例1：因式分解法解不等式：062<-+x x例2：因式分解法解不等式：3522->-x x例3：图像法解不等式0122<++-x x例4：已知不等式022>++bx ax 的解集为321<<-x ，求022<++a bx x 的解集例5：解不等式：（1）0113<+-x x （2） 1312≥+-x x例6：解不等式：0)12)(2(2<--+x x x课后习题1、不等式0262<--x x 的解集为______________2、不等式0322<--x x 的解集为_________________________3、已知不等式02<+-b ax x 的解集为32<<x ，则不等式012≥+-bx ax 的解为_______4、不等式12<-x 的解集为_______________5、不等式0)3)(2)(1(<+-+x x x 的解集为____________________6、不等式04322>--x x 的解集为____________________________7、不等式221>-+x x 的解集为________________8、解不等式0)6)(2(2≥-++x x x9、解不等式：063222<++--+x x x x。
高中数学新课程创新教学设计案例--一元二次不等式
49 一元二次不等式教材分析一元二次不等式的解法是高中数学的一个重要内容，它是进一步学习不等式的基础，同时是解决有关实际问题的重要方法之一．这节课通过具体例子，借助二次函数的图像求解不等式，进而归纳、总结出一元二次不等式，一元二次方程与二次函数的关系，得到利用二次函数图像求解一元二次不等式的方法．最后，说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此又引出了简单分式不等式的解法．这节内容的重点是一元二次不等式的解法，难点是弄清一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系．教学目标1. 让学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程．2. 通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，熟练掌握应用二次函数图像解一元二次不等式的方法．3. 通过一元二次不等式转化为一元一次不等式组的解法，让学生体会等价转化的数学思想，培养学生的逻辑推理能力．任务分析这节课的主要任务是应用二次函数的图像解一元二次不等式．首先通过实例抽象出一元二次不等式模型，让学生感受到现实生活中存在大量的一元二次不等式，从而得出本节的主要任务．然后通过解决一些具体的一元二次不等式，让学生体会和总结出借助二次函数的图像解一元二次不等式的方法．最后抽象和概括出一元二次不等式与相应函数、方程的关系．学习方法是讲练结合，引导学生从具体到一般地总结出一元二次不等式的图像解法．教学设计一、问题情境1. 出示问题（1）某产品的总成本ｃ（万元）与产量ｘ（台）之间满足关系：ｃ＝3000＋20ｘ－0.1ｘ2，其中ｘ∈（0，240），ｘ∈Ｎ，若每台产品售价25万元，试求生产者不亏本时的最低产量ｘ．引导学生建立一元二次不等式模型：由题意，得销售收入为25ｘ（万元），要使生产者不亏本，必须使3000＋20ｘ－0.1ｘ2≤25ｘ，即ｘ2＋50ｘ－30000≥0．（2）国家为了加强对某特种商品生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知每件产品70元，不加收附加税时，每年大约产销100万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（即税率为R％），则每年的产销量要减少10R万件．要使每年在此项经营中所收取的附加税税金不少于112万元，问R应怎样确定．2. 引导学生建立一元二次不等式模型设产销量为每年x（万件），则销售收入为每年70x（万元），从中征收的税金为70x·R％（万元），并且ｘ＝100－10R．由题意，知70（100－10R）·R％≥112，即R2－10R＋16≤0．如何求解以上两个一元二次不等式呢？二、建立模型1. 对于不等式ｘ2＋50ｘ－30000≥0，可以借助二次函数的图像来解决设二次函数f（ｘ）＝ｘ2＋50ｘ－30000，抛物线开口向上，与ｘ轴交点的横坐标是相应二次方程ｘ2＋50ｘ－30000＝0的解．此时ｘ1＝－200，ｘ2＝150．如图，所谓解不等式ｘ2－50ｘ－30000≥0，就相当于求使函数f（ｘ）≥0的ｘ的集合．考虑图像在ｘ轴及其上方的部分，即f（ｘ）≥0，相应的ｘ的集合｛ｘ｜ｘ≤－200或ｘ≥150｝就是不等式的解集．结合实际，可知生产者不亏本时的最低产量为150台．运用完全类似的方法，可以求解不等式R2－10R＋16≤0的解集为｛R｜2≤R≤8｝．2. 教师明晰设ａ＞0，解一元二次不等式ａx2＋ｂｘ＋ｃ＞0（＜0），首先，设ｆ（ｘ）＝ａs2＋ｂｘ＋ｃ．（1）计算Δ＝ｂ2－4ａｃ，判断抛物线ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ轴交点的情况．（2）若Δ≥０，解一元二次方程ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0，得两根为ｘ1，ｘ2，（ｘ1≤ｘ）．2（3）结合（1）（2）画出ｙ＝ｆ（ｘ）的图像．（4）解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞0，就相当于使ｆ（ｘ）＞0．考虑图像在ｘ轴上方的部分，即ｆ（ｘ）＞0，相应的ｘ的集合就是ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集．解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＜0，就相当于使ｆ（ｘ）＜0．考虑图像在ｘ轴下方的部分，即ｆ（ｘ）＜0，相应的ｘ的集合就是ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜0的解集．根据上述内容，结合图像写出不等式的解集．思考：对于一元二次不等式的二次项系数ａ，如果ａ＜0，上述结论如何？三、解释应用［例题］1. 解不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0．解：∵Δ＝（－3）2－4×2×（－2）＝25＞0，方程2ｘ2－3ｘ－2＝0的两根为ｘ1＝－，ｘ2＝2，∴不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0的解集为｛ｘ｜ｘ＜－或ｘ＞2｝．2. 解不等式－ｘ2＋2ｘ－3≥0．3. 已知不等式ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ＞0的解集为R，求ｍ的取值范围．解：（1）当ｍ＝0时，原不等式可化为2ｘ＞0，解集不是R．（2）当ｍ＜0时，抛物线ｙ＝ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ开口向下，解集也不是R．（3）当ｍ＞0时，须满足［练习］1. 解下列不等式．（1）－3ｘ2＋6ｘ＞2．（2）4ｘ2－4ｘ－1＞0．（3）ｘ2－3ｘ＋5＞0．（4）－6ｘ2－ｘ＋2≤0．4. 以每秒ａ（ｍ）的速度从地面垂直向上发射子弹，t（ｓ）后，子弹上升的高度ｘ可由ｘ＝ａｂ－4.9ｔ2确定．已知发射后5ｓ，子弹上升的高度为245ｍ，问：子弹保持在245ｍ以上高度有多少秒？四、拓展延伸一元二次不等式（ａｘ＋ｂ）（ｃｘ＋ｄ）＞0（＜0）也可以根据实数运算的符号法则求解，如解不等式（ｘ＋4）（ｘ－１）＜0．注意到不等式左边是两个ｘ的一次式的积，右边是0，那么它可以根据积的符号法则化为一次不等式组：点评这篇案例设计完整，思想清晰．案例首先从实际问题情境引入，关注不等式从现实问题中的抽象过程，进而利用从已有知识，即二次方程的根的情况及一元二次函数的图像与一元二次不等式的解的关系归纳出一般结论，体现了用数形结合处理问题的思想方法，培养了学生的类比推理能力．例、习题的变形培养了学生灵活运用知识，处理问题的能力，既巩固了所学新知识，又培养了学生灵活解题的能力．“拓展延伸”开发了学生的内在潜力，培养了学生的等价转化意识，为将来处理较复杂问题提供了行之有效的方法．。
高中数学《一元二次不等式解法》导学案
高中数学《一元二次不等式解法》导学案例1.解关于x 的不等式 ﹣x 2﹣2x+3＞0；{}331x x a x x +<-解：不等式可变形为-(-1)()＞0;0，不等式解集为＜＜例2.解关于x 的不等式2111x x -≥+ {}2112012;11x x x x x x x x ----≥≥-≥++解：不等式可变形为0,即，故＜或例3.已知关于x 的不等式ax 2﹣3x +2＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞b}（1）求a ，b ； （2）解关于x 的不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0 （c ∈R）()()()()()(){}{}22232101222202;2ax x a x x b a b ax ac b x bc x c x c x x c c x x c c c x c x -+=--==-++=-++=--<∅解：＞解得：当＞2，不等式解集为＜＜;当=2，不等式解集为当＜2，不等式解集为＜＜1.函数f （x ）=log 2（x 2+2x ﹣3）的定义域是（ ）A ．[﹣3，1 ]B ．（﹣3，1）C ．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）2.集合A={x|x 2﹣2x≤0}，B={x|y=lg （1﹣x ）}，则A∩B 等于（ ） A ． {x|0＜x≤1} B ． {x|0≤x＜1} C ． {x|1＜x≤2} D ． {x|1≤x＜2}3.设集合M={x|0≤x＜3}，N={x|x 2﹣3x ﹣4＜0}，则集合M∩N 等于（ ） A ． {x|0≤x＜1} B ． {x|0≤x≤1} C ． {x|0≤x＜3} D ． {x|0≤x≤3} 4.设关于x 的不等式（a x ﹣1）（x+1）＜0（a ∈R）的解集为{x|﹣1＜x ＜1}，则a 的值是（ ） A ． ﹣2 B ． ﹣1 C ． 0 D ． 1 5．若不等式x 2+2x ﹣3≥0的解集是（ ） A ． {x|﹣3≤x≤1} B ． {x|x≤﹣3或x≥1}C ． {x|x≥1}D ． {x|x≤﹣3}6．不等式的（x ﹣2）（2x ﹣3）＜0解集是（ ） A ．（﹣∞，）∪（2，+∞） B ．R C ．（，2） D ．φ 7．不等式﹣x 2+3x+4＜0的解集为（ ）一元二次不等式与二次函数关系20ax bx c ++>意味着20y ax bx c y ++>=中部分，20ax bx c ++<意味着20y ax bx c y ++<=中部分212ax bx c a x x x x ++=(-)(-)，求出两个根21,x x ；根据图像可知：开口向上时，大于取两边，小于取中间，反之亦然。
一元二次不等式导学案
函数y x25x的图像与x轴的交点是：
当时，函数图像位于x轴上方，此时y,
即：
当时，函数图像位于x轴上方，此时y,
即：则
一兀二次不等式x5x0的解集为.
一元二次不等式x25x0的解集为。
新 知 导 练
题组一解下列不等式
(1)x22x30
规范解答：解不等式 就是求不等式的解 集。结果要写成
3.2一元二次不等式及其解法
学习 环节
过程
归纳纠偏
新 知 导 学
1、一元二次不等式的定义。
我们把只含有，并且未知数的最高次数是
的不等式，称为一兀二次不等式。
2
2、画出二次函数y x 5x的图像，观察一元二次方程
x 5x0的根、二次函数y x 5x的图像与x轴的交点、满 足一元二次不等式x 5x0的x的范围的关系。并填写下面的内 容
2
等式x mx n 0的解集。
2、 已知不等式ax2bx c 0的解集为（-2,3）,判断二次项系数
a的符号
归纳：
一元二次方程
2
x 5x0的根（）
二次函数
2
y x 5x的图像
与x轴的交点（）
一元二次不等式2
x 5x0解集的 端点
归纳：
影响不等式解集的因
素有那些？
知识 应用
例4某中汽车在水泥路上的刹车距离s m和车速x km/h有如下
的形式。
归 纳 提 升
(2)4x24x10
(3)x22x30
填写下表
归纳：函数法解一元 二次不等式的步骤
判别式
b24ac
0
0
0
一元二次方程ax2bx c0
广东省广州市第三中学七年级数学下册9.3一元一次不等式组教案
广东省广州市第三中学七年级数学下册9.3 一元一次不等式组教课设计(1)教课设计9.3 一元一次不等式组（第一课时）教材解析：本节课以前学生已经学习了一元一次不等式，并会解简单的一元一次不等式，知道了用数轴表示一元一次不等式的解集分三步进行：画数轴、定界点、走方向。
而本节主要学习一元一次不等式组及其解集，这是学好利用一元一次不等式组解决实质问题的要点，同时要修业生会用数轴确立解集。
并且本课也经过一元一次不等式，一元一次不等式的解集，解不等式的看法来类推学习一元一次不等式组的一些看法，试试对学生类比推理能力进行培育。
七年级学生的理解能力和思想特色是，他们的抽象想象能力不强，常常需要依靠直观形象来解决问题。
为使课堂高效、生动、针对性强，我特将观察、思虑、谈论贯穿于整个教课环节之中，采纳启迪式教课法和师生互动式教课模式，注意师生之间的感情交流，并教给学生“多观察、动脑想、勇敢猜、勤研究”的商议式学习方法。
在教课中，踊跃利用板书和练习中的问题，向学生供给更多的活动机遇和空间，使学生在动脑、着手、动口的过程中获取充足的体验和发展，从而培育学生灵巧的把理论与实质问题应用相联合。
学生状况解析：学生已经学习了一元一次不等式，本节我们要学习一元一次不等式组，所以由一元一次不等式猜想一元一次不等式组的看法学生易于接受，同时能更好的培育学生的类比推理能力。
本节所选例题也真切的实现了低起点小台阶，次序渐进，能使学生更好的掌握知识。
教课目标： 1、知识与能力目标：认识一元一次不等式组和、一元一次不等式组的解集的看法，掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴确立一元一次不等式组的解集。
2、过程与方法目标：让学生经历知识的拓展过程，会应用数轴确立一元一次不等式组的解集，感觉并掌握数形联合思想。
3、感情态度与价值观目标：让学生能踊跃参加问题的谈论，感觉数形联合思想解决问题的作用，养成自主研究学习的优异习惯。
教课要点解析：1、理解有关不等式组的看法。
高中数学《一元二次不等式及其解法》导学案 (2)
第三章不等式§3.2一元二次不等式及其解法一、学习目标1.体会一元二次不等式与二次函数的关系,掌握一元二次不等式的解法.2.运用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式.3.解决简单一元二次不等式与函数的综合性问题.【重点，难点】教学重点：掌握一元二次不等式的解法.教学难点：运用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式。
二、学习过程【情景创设】炮弹发射后运行的高度h(km)与时间t(s)的关系可以用函数h=-t2+20t-1表示,试问炮弹运行到50 km以上的高空所需的时间是多少?上述问题就是通过解不等式-t2+20t-1≥50求出不等式解集的区间长度问题,该不等式是一个一元二次不等式,也就是我们这节课探究的重点——一元二次不等式的解法.【导入新课】1:解一元二次不等式的基本思想(1)形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫作.(2)基本思想:画出二次函数y=ax2+bx+c的图象,图象与x轴的交点对应的横坐标的集合就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解集,图象在x轴上方的点对应的横坐标的集合就是一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集,图象在x 轴下方的点对应的横坐标的集合就是一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集.2:二次函数、二次方程、二次不等式间的关系如下表,设f(x)=ax2+bx+c(a>0).Δ=b2-4ac Δ>0Δ=0Δ<0y=f(x)的示意图f(x)=0的根x1,x2x0=-错误!未找到引用源。
没有实数根f(x)>0的解集(-∞,x1)∪(x2,+∞)(-∞,-错误!未找到引用源。
)∪(-错误!未找到引用源。
,+∞)(-∞,+∞)f(x)<0的解集(x1,x2) ⌀⌀3:解含参数的一元二次不等式的一般步骤对字母系数分类讨论时,要注意确定分类的标准,而且分类时要不重不漏.一般方法是:(1)当二次项系数不确定时,按二次项系数、、三种情况进行分类.(2)判别式大于零时,还需要讨论两根的.(3)判别式不确定时,按判别式、、三种情况讨论.结合方程的根、函数的图象得到解集.4:(1)函数f(x)=ax2+bx+c>0在R上恒成立,则且.(2)若函数f(x)=log m(ax2+bx+c)的定义域为R,则或者.(3)若函数f(x)=log m(ax2+bx+c)的值域为R,则或者.【典型例题】例1.解下列一元二次不等式(1)x2+2x-15>0;(2)x2>2x-1解：(1)x2+2x-15>0⇔(x+5)(x-3)>0⇔x<-5或x>3,∴不等式的解集是{x|x<-5或x>3}.(2)x2>2x-1⇔x2-2x+1>0⇔(x-1)2>0⇔x≠1,∴不等式的解集是{x|x≠1}.【小结】解一元二次不等式可先将二次项系数化为正,再求对应方程的根,并根据根的情况画出草图,观察图象写出解集.例2. 含参数型的一元二次不等式已知a≠0,解关于x的一元二次不等式ax2+(a+2)x+2>0.解：由ax2+(a+2)x+2=0得方程的根为x=-错误!未找到引用源。
《一元一次不等式》精品导学案 人教版七年级数学下册导学案
9.2 一元一次不等式【总结解题方法 提升解题能力】 【知识点梳理】一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数, 未知数的次数是一次的不等式, 叫做一元一次不等式, 例如,2503x >是一个一元一次不等式． 二、一元一次不等式的解法1、解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2、一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似, 其根据是不等式的根本性质, 将不等式逐步化为：a x <〔或a x >〕的形式, 解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为ax b >〔或ax b <〕的形式〔其中0a ≠〕；(5)两边同除以未知数的系数, 得到不等式的解集.3、不等式的解集在数轴上表示：在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来, 能形象地说明不等式有无限多个解, 它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．三、常见的一些等量关系1、行程问题：路程＝速度×时间2、工程问题：工作量＝工作效率×工作时间, 各局部劳动量之和＝总量3、利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价,4、和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率5、银行存贷款问题：本息和＝本金+利息, 利息＝本金×利率6、数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+.四、列不等式解决实际问题列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似, 通常也需要经过以下几个步骤：(1)审：认真审题, 分清量、未知量及其关系, 找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼, 如“大于〞、“小于〞、“不大于〞、“至少〞、“不超过〞、“超过〞等；(2)设：设出适当的未知数；(3)列：根据题中的不等关系, 列出不等式；(4)解：解所列的不等式；(5)答：写出答案, 并检验是否符合题意．一、一元一次不等式的概念 1、以下式子中, 是一元一次不等式的是〔 〕.A 、x 2<1B 、y –3＞0C 、a +b =1D 、3x =22、以下式子中, 是一元一次不等式的有哪些?〔1〕3x+5＝0 〔2〕2x+3＞5 〔3〕384x < 〔4〕1x≥2 〔5〕2x+y ≤8 3、以下式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？〔1〕0x > 〔2〕1x1-> 〔3〕2x 2> 〔4〕3y x ->+ 〔5〕1x -= 二、一元一次不等式的解法1、不等式2(x+1)＜3x+1的解集在数轴上表示出来应为( ).2、关于x 的不等式2x-a ≤-1的解集为x ≤-1, 那么a 的值是_________．3、如果关于x 的不等式(a+1)x ＜a+1的解集是x ＞l, 那么a 的取值范围是________．4、解不等式2〔x+1〕﹣1≥3x+2, 并把它的解集在数轴上表示出来．5、解不等式：≤﹣1, 并把解集表示在数轴上． 6、假设3511+-=x y ,14522--=x y ,问x 取何值时, 21y y >． 7、关于x 的方程2233x m x x ---=的解是非负数, m 是正整数, 求m 的值． 8、关于y ,x 的方程组⎩⎨⎧-=++=+1p y 3x 41p y 2x 3的解满足y x >, 求p 的取值范围． 三、列不等式解决实际问题1、爆破施工时, 导火索燃烧的速度是0.8cm/s, 人跑开的速度是5m/s, 为了使点火的战士在施工时能跑到100m 以外〔包括100m 〕的平安地区, 导火索至少需要多长？2、某人方案20天内至少加工400个零件, 前5天平均每天加工了33个零件, 此后, 该工人平均每天至少需加工多少个零件, 才能在规定的时间内完成任务？3、水果店进了某种水果1t, 进价是7元/kg ．售价定为10元/kg, 销售一半以后, 为了尽快售完, 准备打折出售．如果要使总利润不低于2000元, 那么余下的水果至少可以按原定价的几折出售？4、某体育用品专卖店销售7个篮球和9个排球的总利润为355元, 销售10个篮球和20个排球的总利润为650元． 〔1〕求每个篮球和每个排球的销售利润；〔2〕每个篮球的进价为200元, 每个排球的进价为160元, 假设该专卖店方案用不超过17400元购进篮球和排球共100个, 且要求篮球数量不少于排球数量的一半, 请你为专卖店设计符合要求的进货方案．5、响应“家电下乡〞的惠农政策, 某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台, 其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍, 购置三种电冰箱的总金额不超过132000元．甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1200元/台、1600元/台、2000元/台．〔1〕至少购进乙种电冰箱多少台？〔2〕假设要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数, 那么有哪些购置方案？【稳固练习】一、选择题.1、以下各式中, 是一元一次不等式的是〔 〕.A 、5+4＞8B 、2x －1C 、2x ≤5D 、1x－3x ≥0 2、不等式3x ≤2〔x ﹣1〕的解集为〔 〕.A 、x ≤﹣1B 、x ≥﹣1C 、x ≤﹣2D 、x ≥﹣2 3、不等式6x 2x 34-≥-的非负整数解有〔 〕.A 、 1个B 、2个C 、3个D 、4个4、不等式475x a x ->+的解集是1x <-, 那么a 为〔 〕.A 、-2B 、2C 、8D 、55、关于x 的不等式2a x 2≥+-的解集如下图, 那么a 的值是〔 〕.A 、0B 、2C 、 -2D 、-46、小明用100元钱去购置三角板和圆规共30件, 三角板每副2元, 每个圆规5元, 那么小明最多能买圆规〔 〕.A 、12个B 、13个C 、14个D 、15个7、某商品进价为800元, 售价为1200元, 由于受市场供求关系的影响, 现准备打折销售, 但要求利润率100%-⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭售价进价利润率进价不低于5%, 那么至少可打( ). A 、六折 B 、七折 C 、八折 D 、九折8、某风景区招待所有一两层客房, 底层比二层少5间, 一旅行团共有48人, 假设全部安排住底层, 每间住4人, 房间不够；而每间住5人, 有的房间未住满；假设全部安排住二层, 每间住3人, 房间也不够；每间住4人, 有的房间未住满．这家招待所的底层共有房间 ( ) .A 、9间B 、10间C 、11间D 、12间9、一个两位数, 某个位数字比十位数字大2, 这个两位数不小于20, 不大于40, 那么这个两位数是多少？为了解决这个问题, 我们可设个位数字为x, 那么可列不等式〔 〕.A 、20≤10〔x-2〕+x ≤40B 、20＜10〔x-2〕+x ＜40C 、20≤x-2+x ≤40D 、20≤10x+x-2≤4010、张红家离学校1600米, 一天早晨由于有事耽误, 结果吃完饭时只差15分钟就上课, 忙中出错, 出门时又忘了带书包, 结果回到家又取书包共用3分钟, 只好坐小汽车去上学, 小汽车的速度是36千米／时, 小汽车行驶了1分30秒时又发生堵车, 她等了半分钟后, 路还没有畅通, 于是下车又开始步行, 问：张红步行速度至少是( )时, 才不至于迟到．A 、60米/分B 、70米/分C 、80米/分D 、90米/分二、填空题.1、不等式＞x ﹣1的解集是． 2、12(x –m )>3–32m 的解集为x >3, 那么m 的值为________. 3、假设关于x 的不等式30x a -≤只有六个正整数解, 那么a 应满足________.4、某种肥皂零售价每块2元, 对于购置两块以上(含两块), 商场推出两种优惠销售方法：第一种为一块按原价, 其余按原价的七折优惠；第二种为全部按原价的八折优惠．在购置相同数量的情况下, 要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多, 最少需要购置肥皂______块．5、一艘轮船上午6：00从长江上游的A 地出发, 匀速驶往下游的B 地, 于11：00到达B 地, 方案下午13：00从B 地匀速返回, 如果这段江水流速为3km/h, 且轮船在静水中的往返速度不变, 那么该船至少以 km/h 的速度返回, 才能不晚于19：00到达A 地．三、解答题.1、解不等式：3x ＞1–36x -． 2、解以下不等式：2x –5≤232x ⎛⎫-⎪⎝⎭. 3、解不等式2x –3<13x +, 并把解集在数轴上表示出来． 四、应用题.1、某工人方案在15天里加工408个零件, 前三天每天加工24个, 问以后每天至少加工多少个零件才能在规定时间内超额完成任务？2、某商店在一次促销活动中规定：消费者消费满200元或超过200元就可享受打折优惠．一名同学为班级买奖品, 准备买6本影集和假设干支钢笔．影集每本15元, 钢笔每支8元, 问他至少买多少支钢笔才能打折?3、某村为解决村民出行难的问题, 村委会决定将一条长为1200m 的村级公路硬化, 并将该项工程承包给甲、乙两工程队来施工．并将该项工程承包给甲、乙两工程队来施工, 假设甲、乙两队做需12天完成此项工程；假设甲队先做了8天后, 剩下的由乙队单独做还需18天才能完工．〔1〕问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？〔2〕又甲队每施工一天需要费用2万元, 乙队每施工一天需要费用1万元, 要使完成该工程所需费用不超过35万元, 那么乙工程队至少要施工多少天？4、今年3月12日植树节期间, 学校预购进A , B 两种树苗．假设购进A 种树苗3棵, B 种树苗5棵, 需2100元；假设购进A种树苗4棵, B种树苗10棵, 需3800元．〔1〕求购进A, B两种树苗的单价；〔2〕假设该学校准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵, 求A种树苗至少需购进多少棵．5、某冷饮店用200元购进A, B两种水果共20kg, 进价分别为7元/kg和12元/kg．〔1〕这两种水果各购进多少千克？〔2〕该冷饮店将所购进的水果全部混合制成50杯果汁, 要使售完后所获利润不低于进货款的50%, 那么每杯果汁的售价至少为多少元？6、青年志愿者爱心小分队赴山村送温暖, 准备为困难村民购置一些米面．购置1袋大米、4袋面粉, 共需240元；购置2袋大米、1袋面粉, 共需165元．〔1〕求每袋大米和面粉各多少元；〔2〕如果爱心小分队方案购置这些米面共40袋, 总费用不超过2140元, 那么至少购置多少袋面粉？7、某公司为了扩大经营, 决定购进6台机器用于生产某种活塞, 现有甲、乙两种机器供选择, 其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示, 经过预算, 本次购置机器耗资不能超过34万元．(1)按该公司要求可以有几种购置方案？(2)假设该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个, 那么为了节约资金应选择哪种方案？8、沃尔玛超市销售每台进价为320元和250元的A、B两种型号的电器, 下表是两天的销售情况：〔进价、售价均保持不变, 利润=销售收入﹣进货本钱〕〔1〕求A、B两种型号的电器的销售单价；〔2〕假设超市准备用不多于8200元的金额再采购这两种型号的电器共30台, 求A种型号的电器最多能采购多少台？〔3〕在〔2〕的条件下, 超市销售完这30台电器能否实现利润至少为2100元的目标？请给出相应的采购方案；假设不能, 请说明理由．参考答案一、一元一次不等式的概念1、以下式子中, 是一元一次不等式的是〔〕.A、x2<1B、y–3＞0C、a+b=1D、3x=2【答案】B【解析】A 、未知数次数是2, 属于一元二次不等式, 故本选项错误；B 、符合一元一次不等式的定义, 故本选项正确；C 、含有2个未知数, 属于二元一次方程, 故本选项错误；D 、含有1个未知数, 是一元一次方程, 故本选项错误； 应选B ．2、以下式子中, 是一元一次不等式的有哪些?〔1〕3x+5＝0 〔2〕2x+3＞5 〔3〕384x < 〔4〕1x ≥2 〔5〕2x+y ≤8【解析】解：(2)、(3)是一元一次不等式．3、以下式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？〔1〕0x > 〔2〕1x 1-> 〔3〕2x 2> 〔4〕3y x ->+ 〔5〕1x -=【解析】解：(1)是一元一次不等式．〔2〕〔3〕(4)(5)不是一元一次不等式, 因为：〔2〕中分母中含有字母, 〔3〕未知量的最高次项不是1次, 〔4〕不等式左边含有两个未知量, 〔5〕不是不等式, 是一元一次方程．二、一元一次不等式的解法1、不等式2(x+1)＜3x+1的解集在数轴上表示出来应为( ).【答案】C2、关于x 的不等式2x-a ≤-1的解集为x ≤-1, 那么a 的值是_________．【答案】－１【解析】由得：12a x -≤, 由112a -=-, 得1a =-．3、如果关于x 的不等式(a+1)x ＜a+1的解集是x ＞l, 那么a 的取值范围是________．【答案】1a -<4、解不等式2〔x+1〕﹣1≥3x+2, 并把它的解集在数轴上表示出来．【解析】解：去括号, 得2x+2﹣1≥3x+2,移项, 得2x ﹣3x ≥2﹣2+1,合并同类项, 得﹣x ≥1,系数化为1, 得x ≤﹣1,这个不等式的解集在数轴上表示为：5、解不等式：≤﹣1, 并把解集表示在数轴上．【解析】解：去分母得, 4〔2x ﹣1〕≤3〔3x+2〕﹣12,去括号得, 8x ﹣4≤9x+6﹣12,移项得, 8x ﹣9x ≤6﹣12+4,合并同类项得, ﹣x ≤﹣2,把x 的系数化为1得, x ≥2．在数轴上表示为：．6、假设3511+-=x y ,14522--=x y ,问x 取何值时, 21y y >． 【解析】解：∵3511+-=x y ,14522--=x y , 假设21y y >,那么有1452351-->+-x x 即 6101<x ∴当6101<x 时, 21y y >． 7、关于x 的方程2233x m x x ---=的解是非负数, m 是正整数, 求m 的值． 【解析】解：由2233x m x x ---=, 得x ＝22m -, 因为x 为非负数, 所以22m -≥0, 即m ≤2, 又m 是正整数, 所以m 的值为1或2．8、关于y ,x 的方程组⎩⎨⎧-=++=+1p y 3x 41p y 2x 3的解满足y x >, 求p 的取值范围． 【解析】解：由⎩⎨⎧-=++=+1p y 3x 41p y 2x 3, 解得：⎩⎨⎧--=+=7p y 5p x ∵y x >∴7p 5p -->+解得6p ->； ∴p 的取值范围为6p ->.三、列不等式解决实际问题1、爆破施工时, 导火索燃烧的速度是0.8cm/s, 人跑开的速度是5m/s, 为了使点火的战士在施工时能跑到100m 以外〔包括100m 〕的平安地区, 导火索至少需要多长？【解析】解：设导火索要xcm 长, 根据题意得：解得：16x ≥答：导火索至少要16cm 长．2、某人方案20天内至少加工400个零件, 前5天平均每天加工了33个零件, 此后, 该工人平均每天至少需加工多少个零件, 才能在规定的时间内完成任务？【解析】解：设以后平均每天加工x个零件,由题意的：5×33+〔20﹣5〕x≥400,解得：x≥2 153．∵x为正整数,∴x取16．答：该工人以后平均每天至少加工16个零件．3、水果店进了某种水果1t, 进价是7元/kg．售价定为10元/kg, 销售一半以后, 为了尽快售完, 准备打折出售．如果要使总利润不低于2000元, 那么余下的水果至少可以按原定价的几折出售？【解析】解：设余下的水果可以按原定价的x折出售,根据题意得：1t＝1000kg解得：8x≥答：余下的水果至少可以按原定价的8折出售．4、某体育用品专卖店销售7个篮球和9个排球的总利润为355元, 销售10个篮球和20个排球的总利润为650元．〔1〕求每个篮球和每个排球的销售利润；〔2〕每个篮球的进价为200元, 每个排球的进价为160元, 假设该专卖店方案用不超过17400元购进篮球和排球共100个, 且要求篮球数量不少于排球数量的一半, 请你为专卖店设计符合要求的进货方案．【解析】解：〔1〕设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x元, y元,根据题意得：,解得：,答：每个篮球和每个排球的销售利润分别为25元, 20元；〔2〕设购进篮球m个, 排球〔100﹣m〕个,根据题意得：,解得：≤m≤35,∴m=34或m=35,∴购进篮球34个排球66个, 或购进篮球35个排球65个两种购置方案．5、响应“家电下乡〞的惠农政策, 某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台, 其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍, 购置三种电冰箱的总金额不超过132000元．甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1200元/台、1600元/台、2000元/台．〔1〕至少购进乙种电冰箱多少台？〔2〕假设要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数, 那么有哪些购置方案？【解析】解：〔1〕设购置乙种电冰箱x台, 那么购置甲种电冰箱2x台, 丙种电冰箱〔80-3x〕台, 根据题意得1200×2x+1600x+〔80-3x〕×2000≤132000解这个不等式得x≥14∴至少购进乙种电冰箱14台；〔2〕根据题意得2x≤80-3x解这个不等式得 x≤16由〔1〕知 x≥14∴14≤x≤16又∵x为正整数∴x=14, 15, 16．所以, 有三种购置方案方案一：甲种电冰箱为28台, 乙种电冰箱为14台, 丙种电冰箱为38台.方案二：甲种电冰箱为30台, 乙种电冰箱为15台, 丙种电冰箱为35台.方案三：甲种电冰箱为32台, 乙种电冰箱为16台, 丙种电冰箱为32台．【稳固练习】一、选择题.1、以下各式中, 是一元一次不等式的是〔〕.A、5+4＞8B、2x－1C、2x≤5D、1x－3x≥0【答案】C；2、不等式3x≤2〔x﹣1〕的解集为〔〕.A、x≤﹣1B、x≥﹣1C、x≤﹣2D、x≥﹣2【答案】C ；【解析】去括号得, 3x ≤2x ﹣2, 移项、合并同类项得, x ≤﹣2, 应选：C ．3、不等式6x 2x 34-≥-的非负整数解有〔 〕.A 、 1个B 、2个C 、3个D 、4个【答案】C ；【解析】先求得解集为2x ≤, 所以非负整数解为：0,1,2；4、不等式475x a x ->+的解集是1x <-, 那么a 为〔 〕.A 、-2B 、2C 、8D 、5【答案】A ；【解析】由475x a x ->+, 可得53a x +<-, 它与1x <-表示同一解集, 所以513a +-=-, 解得2a =-； 5、关于x 的不等式2a x 2≥+-的解集如下图, 那么a 的值是〔 〕. A 、0 B 、2 C 、 -2 D 、-4【答案】A ；【解析】因为不等式2a x 2≥+-的解集为22a x -≤, 再观察数轴上表示的解集为1x -≤, 因此122a -=-, 解得0a =6、小明用100元钱去购置三角板和圆规共30件, 三角板每副2元, 每个圆规5元, 那么小明最多能买圆规〔 〕.A 、12个B 、13个C 、14个D 、15个【答案】B ；【解析】设买圆规x 件, 由题意得：52(30)x x +-≤100, 得x ≤1133, 且x 为正整数, 所以x 最大取13．7、某商品进价为800元, 售价为1200元, 由于受市场供求关系的影响, 现准备打折销售, 但要求利润率100%-⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭售价进价利润率进价不低于5%, 那么至少可打( ). A 、六折 B 、七折 C 、八折 D 、九折【答案】B ；【解析】解：设打x 折, 由题意得：1200800105%800x ⨯-≥, 解得x ≥7, 所以至少应打7折. 8、某风景区招待所有一两层客房, 底层比二层少5间, 一旅行团共有48人, 假设全部安排住底层, 每间住4人, 房间不够；而每间住5人, 有的房间未住满；假设全部安排住二层, 每间住3人, 房间也不够；每间住4人, 有的房间未住满．这家招待所的底层共有房间 ( ) .A 、9间B 、10间C 、11间D 、12间【答案】B ；【解析】设底层有房间x 间, 由题意得：4485483(5)484(5)48x x x x <⎧⎪>⎪⎨+<⎪⎪+>⎩得：39115x <<, 又x 为正整数, 所以10x =．9、一个两位数, 某个位数字比十位数字大2, 这个两位数不小于20, 不大于40, 那么这个两位数是多少？为了解决这个问题, 我们可设个位数字为x, 那么可列不等式〔 〕.A 、20≤10〔x-2〕+x ≤40B 、20＜10〔x-2〕+x ＜40C 、20≤x-2+x ≤40D 、20≤10x+x-2≤40 【答案】A ；10、张红家离学校1600米, 一天早晨由于有事耽误, 结果吃完饭时只差15分钟就上课, 忙中出错, 出门时又忘了带书包, 结果回到家又取书包共用3分钟, 只好坐小汽车去上学, 小汽车的速度是36千米／时, 小汽车行驶了1分30秒时又发生堵车, 她等了半分钟后, 路还没有畅通, 于是下车又开始步行, 问：张红步行速度至少是( )时, 才不至于迟到．A 、60米/分B 、70米/分C 、80米/分D 、90米/分 【答案】B ；【解析】设张红步行速度x 米／分才不至于迟到, 由题意可列不等式引11[153(1)]22x --+≥1160060012-⨯,化简得10x ≥700, x ≥70, 应选B ．二、填空题.1、不等式＞x ﹣1的解集是．【答案】 x ＜4 ；【解析】去分母得1+2x ＞3x ﹣3, 移项得2x ﹣3x ＞﹣3﹣1, 合并得﹣x ＞﹣4, 系数化为1得x ＜4．2、12(x –m )>3–32m 的解集为x >3, 那么m 的值为________. 【答案】32【解析】去括号得：12x −12m ＞3−32m , 移项得：12x ＞3−32m +12m , 合并同类项得12x ＞3−m ,系数化为1得x ＞6–2m , ∵不等式的解集为x ＞3, ∴6–2m =3, 解得：m =32,故答案为：32．3、假设关于x 的不等式30x a -≤只有六个正整数解, 那么a 应满足________. 【答案】1821a ≤<； 【解析】由得：3a x ≤, 673a≤<, 即1821a ≤<. 4、某种肥皂零售价每块2元, 对于购置两块以上(含两块), 商场推出两种优惠销售方法：第一种为一块按原价, 其余按原价的七折优惠；第二种为全部按原价的八折优惠．在购置相同数量的情况下, 要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多, 最少需要购置肥皂______块． 【答案】4；••2x, 得：x ＞3．最少需要购置肥皂4块时, 第一种方法比第二种方法得到的优惠多．5、一艘轮船上午6：00从长江上游的A 地出发, 匀速驶往下游的B 地, 于11：00到达B 地, 方案下午13：00从B 地匀速返回, 如果这段江水流速为3km/h, 且轮船在静水中的往返速度不变, 那么该船至少以 km/h 的速度返回, 才能不晚于19：00到达A 地． 【答案】33；【解析】解：设船xkm/h 的速度返回, 根据题意得出：6〔x ﹣3〕≥5〔x+3〕 解得：x ≥33,∴该船至少以33km/h 的速度返回, 才能不晚于19：00到达A 地． 故答案为：33．三、解答题.1、解不等式：3x ＞1–36x -． 解：3136x x ->-,去分母, 得()263x x >--, 去括号, 得263x x >-+, 移项, 合并同类项, 得39x >, 系数化为1, 得3x >.2、解以下不等式：2x –5≤232x ⎛⎫-⎪⎝⎭. 解：去括号得2x –5≤x –6,移项得, 2x –x ≤–6+5,合并同类项, 系数化为1得x ≤–1．3、解不等式2x –3<13x +, 并把解集在数轴上表示出来． 解：3〔2x –3〕<x +1, 在数轴上表示为： 6x –9<x +1, 5x <10,x<2,∴原不等式的解集为x<2,四、应用题.1、某工人方案在15天里加工408个零件, 前三天每天加工24个, 问以后每天至少加工多少个零件才能在规定时间内超额完成任务？【解析】解：设三天后每天加工x个零件, 根据题意得:24×3+(15-3)x＞408,解得 x＞28．因为x为正整数,所以以后每天加工的零件数至少为29个．2、某商店在一次促销活动中规定：消费者消费满200元或超过200元就可享受打折优惠．一名同学为班级买奖品,准备买6本影集和假设干支钢笔．影集每本15元, 钢笔每支8元, 问他至少买多少支钢笔才能打折?【解析】解：设该同学买x支钢笔, 根据题题意, 得:15×6+8x≥200,解得x≥3 134．故该同学至少要买14支钢笔才能打折．3、某村为解决村民出行难的问题, 村委会决定将一条长为1200m的村级公路硬化, 并将该项工程承包给甲、乙两工程队来施工．并将该项工程承包给甲、乙两工程队来施工, 假设甲、乙两队做需12天完成此项工程；假设甲队先做了8天后, 剩下的由乙队单独做还需18天才能完工．〔1〕问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？〔2〕又甲队每施工一天需要费用2万元, 乙队每施工一天需要费用1万元, 要使完成该工程所需费用不超过35万元, 那么乙工程队至少要施工多少天？【解析】解：〔1〕设甲单独做需要用x天, 乙单独做需要y天, 根据题意可得：,解得：．答：甲单独做需要用20天, 乙单独做需要30天；〔2〕甲的工效：1200÷20=60, 乙的工效：1200÷30=40,∵2×20=40＞35,∴设乙需要做a天, 由题意可得：2×+a≤35,解得：a≥15．答：乙工程队至少要施工15天．4、今年3月12日植树节期间, 学校预购进A, B两种树苗．假设购进A种树苗3棵, B种树苗5棵, 需2100元；假设购进A种树苗4棵, B种树苗10棵, 需3800元．〔1〕求购进A, B两种树苗的单价；〔2〕假设该学校准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵, 求A种树苗至少需购进多少棵．【解析】〔1〕设A种树苗的单价为x元, 那么B种树苗的单价为y元,可得：3521004103800x yx y+=⎧⎨+=⎩, 解得：200300xy=⎧⎨=⎩．答：A种树苗的单价为200元, B种树苗的单价为300元.〔2〕设购置A种树苗a棵, 那么B种树苗为〔30–a〕棵,可得：200a+300〔30–a〕≤8000,解得：a≥10.答：A种树苗至少需购进10棵．5、某冷饮店用200元购进A, B两种水果共20kg, 进价分别为7元/kg和12元/kg．〔1〕这两种水果各购进多少千克？〔2〕该冷饮店将所购进的水果全部混合制成50杯果汁, 要使售完后所获利润不低于进货款的50%, 那么每杯果汁的售价至少为多少元？【解析】〔1〕设A种水果购进了x千克, 那么B种水果购进了〔20–x〕千克,根据题意得：7x+12〔20–x〕=200,解得：x=8,那么20–x=12．答：购进A种水果8千克, B种水果12千克；〔2〕设每杯果汁的售价至少为y元,根据题意得, 50y–200≥200×50%,解得y≥6．答：每杯果汁的售价至少为6元．6、青年志愿者爱心小分队赴山村送温暖, 准备为困难村民购置一些米面．购置1袋大米、4袋面粉, 共需240元；购置2袋大米、1袋面粉, 共需165元．〔1〕求每袋大米和面粉各多少元；〔2〕如果爱心小分队方案购置这些米面共40袋, 总费用不超过2140元, 那么至少购置多少袋面粉？【解析】〔1〕设每袋大米x元, 每袋面粉y元,7、某公司为了扩大经营, 决定购进6台机器用于生产某种活塞, 现有甲、乙两种机器供选择, 其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示, 经过预算, 本次购置机器耗资不能超过34万元．(1)按该公司要求可以有几种购置方案？(2)假设该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个, 那么为了节约资金应选择哪种方案？【解析】解：(1)设购置甲种机器x台, 乙种机器〔6-x〕台．由题意, 得7x+5(6-x)≤34．解不等式, 得x≤2, 故x可以取0, l, 2三个值,所以, 该公司按要求可以有以下三种购置方案：方案一：不购置甲种机器, 购置乙种机器6台；方案二：购置甲种机器1台, 购置乙种机器5台；方案三：购置甲种机器2台, 购置乙种机器4台；(2)按方案一购置机器, 所耗资金为30万元, 日生产量6×60＝360(个)；按方案二购置, 所耗资金为1×7+5×5＝32〔万元〕, 日生产量为1×100+5×60＝400〔个〕, 按方案三购置, 所耗资金为2×7+4×5＝34(万元)；日生产量为2×100+4×60＝440〔个〕．因此, 选择方案二既能到达生产能力不低于380〔个〕, 又比方案三节约2万元资金, 故应选择方案二．8、沃尔玛超市销售每台进价为320元和250元的A、B两种型号的电器, 下表是两天的销售情况：〔进价、售价均保持不变, 利润=销售收入﹣进货本钱〕〔1〕求A、B两种型号的电器的销售单价；〔2〕假设超市准备用不多于8200元的金额再采购这两种型号的电器共30台, 求A种型号的电器最多能采购多少台？〔3〕在〔2〕的条件下, 超市销售完这30台电器能否实现利润至少为2100元的目标？请给出相应的采购方案；假设不能, 请说明理由．【解析】解：〔1〕设A、B两种型号电器的销售单价分别为x元和y元,由题意, 得：2x+3y=1700,3x+y=1500,解得x=400元, y=300元,∴A、B两种型号电器的销售单价分别为400元和300元；〔2〕设采购A种型号电器a台, 那么采购B种型号电器〔30﹣a〕台,依题意, 得320a+250〔30﹣a〕≤8200,解得a≤10, a取最大值为10,∴超市最多采购A种型号电器10台时, 采购金额不多于8200元；〔3〕依题意, 得〔400﹣320〕a+〔300﹣250〕〔30﹣a〕≥2100,解得 a≥20,∵a的最大值为10,∴在〔2〕的条件下超市不能实现利润至少为2100元的目标．第四单元第1课函数一、根底稳固1．一般地, 如果在一个变化过程中有两个变量x和y, 并且对于变量x的每一个值, 变量y都有________的值与它对应, 那么我们称y是x的________, 其中________是自变量．2．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y, 其中y不是．．x的函数的是()A ．y ：正方形的面积, x ：这个正方形的周长B ．y ：等边三角形的周长, x ：这个等边三角形的边长C ．y ：圆的面积, x ：这个圆的直径D ．y ：一个正数的平方根, x ：这个正数 3．以下关系式中, y 不是．．x 的函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝|x |D ．|y |＝2x4．(泸州)以下曲线中不能．．表示y 是x 的函数的是( ) 5．表示函数的方法一般有________、__________和__________；函数的表示方法可以互相转化, 应用中要根据具体情况选择适当的方法．6．在下表中, 设x 表示乘公共汽车的站数, y 表示应付的票价．x /站 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y /元1112233344根据此表, 以下说法正确的选项是( ) A ．y 是x 的函数 B ．y 不是x 的函数C ．x 是y 的函数D ．以上说法都不对7．假设每上6个台阶就升高1 m, 那么上升高度h (单位：m)与上的台阶数m (单位：个)之间的函数关系式是( ) A ．h ＝6m B ．h ＝6＋mC ．h ＝m －6D ．h ＝m68．(随州)“龟兔赛跑〞这那么寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先, 但它因为骄傲在途中睡觉, 而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛, 以下函数图象可以表达这一故事过程的是( )9．对于一个的函数, 自变量的取值范围是使这个函数________的一切值；对于一个实际问题, 自变量的取值必须使____________有意义．如果当x ＝a 时y ＝b , 那么b 叫做当自变量x 的值为a 时的__________． 10．(内江)函数y ＝x ＋1x －1, 那么自变量x 的取值范围是( ) A ．－1＜x ＜1 B ．x ≥－1且x ≠1C ．x ≥－1D ．x ≠111．函数y ＝2x －1x ＋2中, 当x ＝a 时的函数值为1, 那么a 的值是( )A ．－1B ．1C ．－3D ．312．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3〔x ≤2〕x －1〔x ＞2〕当函数值y ＝6时, 自变量的值是( )A ．7B ．－3C ．－3或7D ．±3或7。
高三上学期《一元二次不等式及其解法》导学案
高三上学期《一元二次不等式及其解法》导学案一、教学内容解析一元二次不等式的解法是高中数学最重要的内容之一，在高中数学中起着广泛的应用工具作用，蕴藏着重要的数形结合思想，是代数、三角、解析几何交汇综合的部分，在高中数学中具有举足轻重的地位。
教科书中对一元二次不等式的解法，没有介绍较繁琐的纯代数方法，而是采取简洁明了的数形结合的方法，从具体到抽象，从特殊到一般，用二次函数的图象来研究一元二次不等式的解法。
教学中，利用几何画板的动态演示功能，引导学生结合二次函数的图象探究一元二次不等式、一元二次方程、二次函数“三个二次”间的联系，归纳总结出一元二次不等式的求解过程。
通过对一元二次不等式解集的探究过程，渗透函数与方程、数形结合、分类讨论等重要的数学思想。
一元二次不等式的解法是程序性较强的内容，探究中应注意对“特例”的处理，让学生注意对“特殊情况”的处理，才能让学习的内容更加完整。
因此，本节课教学的重点是围绕一元二次不等式的解法，通过图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，突出体现数形结合的思想。
二、教学目标解析.通过对一元二次不等式解法的探究，让学生了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
2.掌握一元二次不等式的求解步骤，尤其是对“特例”的处理。
3.通过图象解法渗透数形结合、分类化归等重要的数学思想，培养学生动手能力，观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质。
三、学生学情分析学生已有的认知基础是，学生已经学习了二次函数、一元二次方程、函数的零点等有关知识，为本节课的学习打下了基础。
学生根据具体的二次函数的图象得对应一元二次不等式的解集时问题不大，学生可能存在的困难：（1）二次函数是初中学习的难点，许多学生对二次函数的知识掌握欠缺，对本节课的顺利开展有一定的影响；（2）从特殊的一元二次不等式的求解到一般的一元二次不等式的求解，学生全面考虑不同情况下的解集有一定的困难。
高中数学《一元二次不等式及其解法》导学案
第1课时一元二次不等式及其解法1.一元二次不等式的定义□01只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集□02使一元二次不等式成立的x的值叫做一元二次不等式的□03解，□04所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根x1，x2x0＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集□05{x|x<x1或x>x2}□06{xx≠⎭⎬⎫－b2a□07Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集□08{x|x1<x<x2}□09∅□10∅1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一元二次方程的根就是相应函数的图象与x轴的交点．()(2)(x＋a)(x＋a＋1)<0是一元二次不等式．()(3)不论实数a取什么值，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集一定与相应方程ax2＋bx ＋c ＝0的解有关．( )(4)设二次方程f (x )＝0的两解为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式f (x )>0的解集不可能为{x |x 1<x <x 2}．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．做一做(1)(教材改编P 80T 1(1))不等式x (x ＋1)≤0的解集为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[－1,0) C ．(－∞，－1]D ．[－1,0](2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(3)当a >0时，若ax 2＋bx ＋c >0的解集为R ，则Δ应满足的条件为________． (4)已知不等式ax 2－bx ＋2<0的解集为{x |1<x <2}，则a ＋b ＝________. 答案 (1)D (2){x |－4<x <1} (3)Δ<0 (4)4探究1 不含参数的一元二次不等式的解法 例1 求下列不等式的解集： (1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－x 2＋8x －3>0； (3)x 2－4x －5≤0；(4)－4x 2＋18x －814≥0； (5)－12x 2＋3x －5>0；(6)－2x 2＋3x －2<0.解 (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12，又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3. (2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不等实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13，又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}．(3)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．(4)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94.(5)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，因为Δ＝62－40＝－4<0，所以原不等式的解集为∅.(6)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以原不等式的解集为R .拓展提升解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)根据图象写出不等式的解集． 【跟踪训练1】 求下列不等式的解集： (1)x 2－3x ＋1≤0； (2)3x 2＋5x －2>0； (3)－9x 2＋6x －1<0； (4)x 2－4x ＋5>0； (5)2x 2＋x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝9－4＝5>0，所以方程x 2－3x ＋1＝0有两个不等实数根x 1＝3－52，x 2＝3＋52，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪3－52≤x ≤3＋52. (2)原不等式可化为(3x －1)(x ＋2)>0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >13或x <－2. (3)原不等式可化为(3x －1)2>0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠13，x ∈R .(4)因为Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0，所以原不等式的解集为R . (5)因为Δ＝12－4×2＝－7<0，所以原不等式的解集为∅. 探究2 含参数的一元二次不等式的解法例2 解关于x 的不等式(a ∈R )： (1)2x 2＋ax ＋2>0； (2)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)Δ＝a 2－16，下面分情况讨论：①当Δ<0，即－4<a <4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R .②当Δ≥0，即a ≥4或a ≤－4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两个根为 x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．当a ＝－4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}； 当a >4或a <－4时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a2－16)；当a ＝4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠－1}． (2)若a ＝0，原不等式⇒－x ＋1<0⇒x >1； 若a <0，原不等式⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0⇒x <1a 或x >1；若a >0，原不等式⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，(*)其解的情况应由1a 与1的大小关系决定，故 ①当a ＝1时，式(*)⇒x ∈∅； ②当a >1时，式(*)⇒1a <x <1； ③当0<a <1时，式(*)⇒1<x <1a .综上所述，当a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. 拓展提升解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式，分类讨论的结果最后不能合并．【跟踪训练2】 (1)解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0； (2)解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0. 解 (1)原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.方程x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2. 由a 2－a ＝a (a －1)可知： ①当a <0或a >1时，a 2>a . 解原不等式得x >a 2或x <a .②当0<a <1时，a 2<a ，解原不等式得x >a 或x <a 2. ③当a ＝0时，原不等式为x 2>0，∴x ≠0. ④当a ＝1时，原不等式为(x －1)2>0，∴x ≠1. 综上可知：a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1}．(2)方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式的解集为{x |a ＜x ＜－1}； 当a ＝－1时，原不等式的解集为∅；当a ＞－1时，原不等式的解集为{x |－1＜x ＜a }． 探究3 “三个二次”之间的转化关系例3 若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，求不等式bx 2＋2ax －c －3b <0的解集．解 因为ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，所以a <0且－3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋4＝－ba ，－3×4＝ca ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a .所以不等式bx 2＋2ax －c －3b <0，即为－ax 2＋2ax ＋15a <0，即x 2－2x －15<0， 故所求的不等式的解集为{x |－3<x <5}．[变式探究] 本例中把{x |－3<x <4}改为{x |x <－3或x >4}，其他条件不变，则不等式的解集又如何？解 因为ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－3或x >4}，所以a >0且－3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋4＝－ba ，－3×4＝c a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a ，所以不等式bx 2＋2ax －c －3b <0，即为－ax 2＋2ax ＋15a <0，即x 2－2x －15>0，解得x <－3或x >5，故所求不等式的解集为{x |x <－3或x >5}． 拓展提升三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：【跟踪训练3】 (1)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－2或x >－12，则ax 2－bx ＋c >0的解集为________；(2)已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，则不等式ax 2＋bx －1>0的解集为________．答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2 (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <1 解析 (1)由题意可得－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且a <0， 故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－b a ，(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝c a ，解得a ＝c ，b ＝52c ，所以不等式ax 2－bx ＋c >0即为2x 2－5x ＋2<0，解得 12<x <2.(2)∵方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a ，－12×2＝2a ，∴a ＝－2，b ＝3，故ax 2＋bx －1>0可变为－2x 2＋3x －1>0， 即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.[规律小结]1.对一元二次不等式概念的三点说明(1)“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可．(2)“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制．(3)必须是整式不等式．2.解含参数的不等式时应注意的问题(1)解含参数的不等式时，必须注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论．(2)了解哪些情况需要分类讨论．①二次项系数为字母时，要分等于零、大于零、小于零三类讨论． ②对应方程的根无法判断大小时，要分类讨论．③若判别式含参数，则在确定解的情况时需分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况进行讨论．[走出误区]易错点⊳解含参数的不等式时分类讨论不全出错 [典例] 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)>0.[错解档案] 当a ＝0时，原不等式化为x －2<0，其解集为{x |x <2}；当a ≠0时，方程(x －2)(ax －2)＝0的两根为x 1＝2，x 2＝2a . (1)当2a ＝2，即a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2，x ∈R }； (2)当2a >2，即0<a <1时，原不等式的解集为{|x x >2a 或x <2； (3)当2a <2，即a <0或a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a或x >2.综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2，x ∈R }； 当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2a 或x <2； 当a <0或a >1时，原不等式的解集为{|x x <2a 或x >2.[误区警示] 当a <0或a >1时，只注意到了2a <2，而忽略了当a <0时，原不等式二次项系数为负数，此时不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <2. [规范解答] 以上同错解． (3)当2a <2，即a <0或a >1时，①当a <0时，原不等式的二次项系数为负数，因此原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <2； ②当a >1时，原不等式的二次项系数为正数，因此原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a 或x >2. 综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2，x ∈R }； 当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2a 或x <2； 当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a 或x >2；当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <2. [名师点津] 解ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论.1．在下列不等式中，解集是∅的是( ) A ．2x 2－3x ＋2>0 B ．x 2＋4x ＋4≤0 C ．4－4x －x 2<0 D ．－2＋3x －2x 2>0答案 D解析 A 的解集为R ；B 的解集是{x |x ＝－2}；C 的解集为{x |x >－2＋22或x <－2－22}，D 选项中Δ＝9－4×2×2＝－7<0，解集为∅，故选D.2．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( ) A.{|x －23≤x ≤12 } B.{|x x ≤－23或x ≥12} C.{|x x ≥12 }D.{|x x ≤－32}答案 B解析 ∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.故选B. 3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( ) A.{|x x ≠－13} B ．{|x －13≤x ≤13}C ．∅D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13答案 D解析 原不等式可变形为(3x ＋1)2≤0.∴x ＝－13.故选D.4．若不等式x 2＋(m －3)x ＋m ≤0的解集不是空集，则m 的取值范围是________．答案 m ≥9或m ≤1解析 由题意知Δ＝(m －3)2－4m ≥0，即m 2－10m ＋9≥0，∴m ≥9或m ≤1. 5．解不等式1<x 2－3x ＋1<9－x . 解 由x 2－3x ＋1>1，得x 2－3x >0， ∴x <0或x >3.由x 2－3x ＋1<9－x ，得x 2－2x －8<0， ∴－2<x <4，∴原不等式的解集为{x |x <0或x >3}∩{x |－2<x <4} ＝{x |－2<x <0或3<x <4}．A 级：基础巩固练一、选择题1．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是( ) A ．{x |x ＜－4或x ＞3} B ．{x |－4＜x ＜3} C ．{x |x ≤－4或x ≥3} D ．{x |－4≤x ≤3}答案 C 解析 使y ＝x 2＋x －12有意义，则x 2＋x －12≥0.∴(x ＋4)(x －3)≥0，∴x ≤－4或x ≥3.2．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)答案 B解析 ∵x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0，∴x 2＋x －2<0.∴－2<x <1. 3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0. 所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．4．已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x <12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－13或x >12C ．{x |－3<x <2}D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >13答案 B解析 由题意可知，ax 2－5x ＋b ＝0的两个根分别为－3，2，利用根与系数的关系可得，－3＋2＝5a ，－3×2＝ba ，解得a ＝－5，b ＝30，则所求不等式可化为30x 2－5x －5>0，即(2x －1)(3x ＋1)>0，解得x <－13或x >12.故选B.二、填空题5．已知M ＝{x |－9x 2＋6x －1<0}，N ＝{x |x 2－3x －4<0}，则M ∩N ＝________. 答案⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <4且x ≠13解析 由－9x 2＋6x －1<0，得9x 2－6x ＋1>0. 所以(3x －1)2>0，解得x ≠13， 即M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R 且x ≠13.由x 2－3x －4<0，得(x －4)(x ＋1)<0，解得－1<x <4，即N ＝{x |－1<x <4}． 所以M ∩N ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <4且x ≠13.6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：答案 {x |x ＜－2或x ＞3}解析 由表知x ＝－2时y ＝0，x ＝3时，y ＝0. ∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 可化为y ＝a (x ＋2)(x －3)，又当x ＝1时，y ＝－6，∴a ＝1. ∴不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x <－2或x >3}．7．已知A ＝(1,2)，B ＝{x |x 2－2ax ＋a 2－1<0}，若A ⊆B ，则a 的取值范围是________．答案 [1,2]解析 方程x 2－2ax ＋a 2－1＝0的两根为a ＋1，a －1，且a ＋1>a －1，∴B ＝{x |a －1<x <a ＋1}．∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤1，a ＋1≥2，解得1≤a ≤2.三、解答题8．已知函数f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋m ，g (x )＝－(m ＋4)x －4＋m ，m ∈R . (1)比较f (x )与g (x )的大小； (2)解不等式f (x )≤0.解 (1)由于f (x )－g (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋m ＋(m ＋4)x ＋4－m ＝x 2＋3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋74>0， ∴f (x )>g (x )．(2)不等式f (x )≤0，即x 2－(m ＋1)x ＋m ≤0， 即(x －m )(x －1)≤0，当m <1时，其解集为{x |m ≤x ≤1}， 当m ＝1时，其解集为{x |x ＝1}， 当m >1时，其解集为{x |1≤x ≤m }．9．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B . (1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集． 解 (1)由x 2－2x －3<0，得－1<x <3， ∴A ＝(－1,3)．由x 2＋x －6<0，得－3<x <2， ∴B ＝(－3,2)，∴A ∩B ＝(－1,2)． (2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴－x 2＋x －2<0，∴x 2－x ＋2>0， ∴不等式x 2－x ＋2>0的解集为R .10．已知M 是关于x 的不等式2x 2＋(3a －7)x ＋3＋a －2a 2<0的解集，且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的解集．解 原不等式可化为(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0， 由x ＝0适合不等式得(a ＋1)(2a －3)>0， 所以a <－1或a >32.若a <－1，则－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)>5， 所以3－2a >a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ＋12<x <3－2a； 若a >32，由－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)<－54， 所以3－2a <a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪3－2a <x <a ＋12. 综上，当a <－1时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12，3－2a ；当a >32时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2a ，a ＋12.B 级：能力提升练1．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1(i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3答案 B解析 由(1－a i x )2<1，得1－2a i x ＋(a i x )2<1， 即a i ·x (a i x －2)<0. 又a 1>a 2>a 3>0.∴0<x <2a i，即x <2a 1，x <2a 2且x <2a 3.∵2a 3>2a 2>2a 1>0，∴0<x <2a 1. 2．若关于x 的不等式x 2－ax －6a <0的解集的区间长度不超过5个单位，求实数a 的取值范围．解 ∵x 2－ax －6a <0有解，∴方程x 2－ax －6a ＝0的判别式Δ＝a 2＋24a >0， ∴a >0或a <－24.解集的区间长度就是方程x 2－ax －6a ＝0的两个根x 1，x 2的距离， 由x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－6a ，得 (x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋24a . ∵|x 1－x 2|≤5，∴(x 1－x 2)2≤25， ∴a 2＋24a ≤25，∴－25≤a ≤1. 综上可得－25≤a <－24或0<a ≤1， 即a 的取值范围是[－25，－24)∪(0,1]．。
初中数学教案：解一元二次不等式
初中数学教案：解一元二次不等式解一元二次不等式一、引言解一元二次不等式是初中数学中的重要内容之一。
它可以帮助我们解决很多实际问题，并且在高中数学的学习中也扮演着重要的角色。
本教案将针对初中数学解一元二次不等式的具体方法和技巧进行详细讲解，帮助学生掌握解题的基本思路和步骤。
二、一元二次不等式的定义在开始讲解解一元二次不等式之前，我们先来了解一下一元二次不等式的定义。
一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c≥0或ax^2+bx+c≤0的不等式，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元二次不等式的目标就是找出使不等式成立的x的取值范围。
三、解一元二次不等式的基本思路解一元二次不等式的基本思路是将不等式化简为标准二次形式，并根据其对称轴的性质来确定不等式的解集。
具体步骤如下：1. 将一元二次不等式化简为标准二次形式，即将不等式左边的式子整理成(ax+b)^2的形式。
2. 根据二次曲线的对称性，确定二次曲线的对称轴为x=-b/2a，并以此为分界点判断不等式的解集。
3. 根据二次曲线的开口方向，确定不等式的解集是大于等于零还是小于等于零。
四、解一元二次不等式的具体方法下面我们通过几个例题来具体讲解解一元二次不等式的方法。
例题1：解不等式x^2-6x+8≥0。
解法：首先将不等式化简为标准二次形式，即(x-2)(x-4)≥0。
然后我们画出二次曲线y=(x-2)(x-4)，发现该二次曲线在x=2和x=4处与x轴相交。
由于二次曲线开口向上，根据对称轴x=3的位置，我们可以得出不等式的解集为x≤2或x≥4。
例题2：解不等式2x^2-5x+2>0。
解法：将不等式化简为标准二次形式，即(2x-1)(x-2)>0。
然后我们画出二次曲线y=(2x-1)(x-2)，发现该二次曲线在x=1/2和x=2处与x轴相交。
由于二次曲线开口向上，根据对称轴x=5/4的位置，我们可以得出不等式的解集为1/2<x<2。
数学《一元二次不等式》教学设计（通用7篇）
数学《一元二次不等式》教学设计数学《一元二次不等式》教学设计（通用7篇）作为一名无私奉献的老师，时常需要编写教学设计，教学设计把教学各要素看成一个系统，分析教学问题和需求，确立解决的程序纲要，使教学效果最优化。
你知道什么样的教学设计才能切实有效地帮助到我们吗？以下是小编收集整理的数学《一元二次不等式》教学设计，希望能够帮助到大家。
数学《一元二次不等式》教学设计篇1一、教材分析（一）教材的地位和作用“一元二次不等式解法”既是初中一元一次不等式解法在知识上的延伸和发展，又是本章集合知识的运用与巩固，也为下一章函数的定义域和值域教学作铺垫，起着链条的作用。
同时，这部分内容较好地反映了方程、不等式、函数知识的内在联系和相互转化，蕴含着归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、概括能力、探究能力及创新意识。
（二）教学内容本节内容分2课时学习。
本课时通过二次函数的图象探索一元二次不等式的解集。
通过复习“三个一次”的关系，即一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系；以旧带新寻找“三个二次”的关系，即二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系；采用“画、看、说、用”的思维模式，得出一元二次不等式的解集，品味数学中的和谐美，体验成功的乐趣。
二、教学目标分析根据教学大纲的要求、本节教材的特点和高一学生的认知规律，本节课的教学目标确定为：知识目标——理解“三个二次”的关系；掌握看图象找解集的方法，熟悉一元二次不等式的解法。
能力目标——通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力，“从具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力。
情感目标——创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用。
三、重难点分析一元二次不等式是高中数学中最基本的不等式之一，是解决许多数学问题的重要工具。
本节课的重点确定为：一元二次不等式的解法。
要把握这个重点。
关键在于理解并掌握利用二次函数的图象确定一元二次不等式解集的方法——图象法，其本质就是要能利用数形结合的思想方法认识方程的解，不等式的解集与函数图象上对应点的横坐标的内在联系。