2020版高三数学(文科)一轮复习精练：第四章16同角三角函数基本关系式及诱导公式Word版含解析
2020版高考数学大一轮复习第4章三角函数、解三角形第1讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导
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技巧点拨 1.已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函 角的三角函数值进行求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不 的应用. 2.对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存 充分利用给定的式子,结合诱导公式将角进行转化.
在终边上任取一个异于原点的点时应分两种情况,进而用三
求解.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的值,再求
(3)若角α终边上的点的坐标中含参数,要讨论参数的各种情
数值的符号.判断三角函数值的符号或根据三角函数值的符
般利用三角函数在各象限内的符号规律进行求解.
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考法2 利用同角三角函数的基本系和诱导公式化简求值
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C方法帮•素养大提升
方法 分类讨论思想在三角函数 应用
方法 分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用
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素养提升 (1)本题在三角函数的化简求值过程中,体现了分类讨论思想 种情况不符合题意,也不能省略讨论的步骤,提升数学思维的 (2)三角形中的三角函数问题,要注意隐含条件的挖掘以及三 理的应用.
C方法帮•素养大提升 方法 分类讨论思想在三角函数化简求值中的应用
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考情精解读
命题规律 聚焦核心素养
命题规律 考点内容
考纲要求
考题取样
1.任意角的三角函数
理解
2017北京,T12
2.同角三角函数的基 本关系
3.诱导公式
理解
2016全国Ⅲ,T5
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，则.【答案】3【解析】===3.【考点】同角三角函数基本关系式2.若tan α＝3，则 sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝______.【答案】【解析】sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝＝＝＝.3.已知f(α)＝，则f的值为________．【答案】－【解析】∵f(α)＝＝－cos α，∴f＝－cos＝－cos＝－cos＝－.4.化简＋＝________.【解析】原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.5.已知α∈(，π)，tanα＝－，则sin(α＋π)＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】由题意可知，由此解得sin2α＝，又α∈(，π)，因此有sinα＝，sin(α＋π)＝－sinα＝－，故选B．6.记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】解法一：因为cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝＝，所以tan100°＝－tan80°＝－＝－．解法二：因为cos(－80°)＝k，所以cos80°＝k，所以tan100°＝－tan80°＝＝－．7.已知sinαcosα＝，且π<α<，则cosα－sinα的值为()A．－B．C．－D．【答案】B【解析】∵π<α<，∴cosα>sinα，∴cosα－sinα>0，又∵(cosα－sinα)2＝1－2cosαsinα＝，∴cosα－sinα＝．8.若3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin2θ的值是________．【答案】【解析】∵3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，即3sinθ－cosθ＝0，即tanθ＝．∴cos2θ＋sin2θ＝＝＝＝＝＝．9.（5分）（2011•福建）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函数间的基本关系化简后，得到关于sinα的方程，根据α的度数，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函数值，由α的范围即可得到α的度数，利用α的度数求出tanα即可．解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，则sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，则α=，所以tanα=tan=．故选D点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的范围．10.已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．【答案】－【解析】将sin α－cos α＝两边平方，得2sin α·cos α＝，(sin α＋cos α)2＝，sin α＋cos α＝，＝＝－(sin α＋cos α)＝－．11.在△ABC中,若sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根,则△ABC是 ( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∵sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根∴sinA+cosA=∴(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=即sinAcosA=-∵0o<A<180o,∴sinA>0,所以cosA<0,即90o<A<180o故知△ABC是钝角三角形12.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴.【考点】三角函数求值.13.在中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，则 .【答案】【解析】∵成等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（1）∵且，∴代入（1）式中，，∴，∴，∴，∴.【考点】1.等差中项；2.倍角公式；3.诱导公式.14.已知，，则．【答案】【解析】由题意，，．【考点】同角间的三角函数关系．15.若则【答案】【解析】，得，∴.【考点】求三角函数值.16.α是第二象限角，tanα＝－，则sinα＝________．【答案】【解析】由解得sinα＝±.∵α为第二象限角，∴sinα>0，∴sinα＝.17. cos＝________．【答案】－【解析】cos＝cos＝cos(17π＋)＝－cos＝－.18.已知其中若．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先由已知条件求得的值，再由平方关系可得的值，把拆为，最后利用两角和的余弦公式即可求得的值；（2）考查了三角函数中知一求三的思想，即这几个量“知一求三”．可先利用差角余弦公式将展开，求得的值，两边平方即可求得的值，再由平方关系即可求得的值，最后由商关系即可求得的值．试题解析：（1）由已知得：，（2）由，得，两边平方得：，即，∵，且，从而． 12分【考点】1．平面向量的数量积运算；2．应用三角恒等变换求三角函数的值．19.已知x∈(0,),则函数f(x)=的最大值为()A．0B．C．D．1【答案】C【解析】由已知得,f(x)==tanx-tan2x=-(tanx-)2+,∵x∈(0,),∴tanx∈(0,1),=.故当tanx=时,f(x)max20.已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.(1)求cos3(-θ)+sin3(-θ)的值.(2)求tan(π-θ)-的值.【答案】(1) -2 (2) 1+【解析】【思路点拨】先由方程根的判别式Δ≥0,求a的取值范围,而后应用根与系数的关系及诱导公式求解.解：由已知,原方程的判别式Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,∴a≥4或a≤0.又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,则a2-2a-1=0,从而a=1-或a=1+(舍去),因此sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-.(1)cos3(-θ)+sin3(-θ)=sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθ·cosθ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2.(2)tan(π-θ)-=-tanθ-=-(+)=-=-=1+.21.若sinθcosθ>0,则θ在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【答案】B【解析】∵sinθcosθ>0,∴sinθ,cosθ同号.当sinθ>0,cosθ>0时,θ在第一象限,当sinθ<0,cosθ<0时,θ在第三象限,因此,选B.22.＝()A．－B．－C．D．【解析】＝＝＝＝sin 30°＝.23.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.【答案】－【解析】f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.24. 4cos 50°－tan 40°＝________.【答案】【解析】4cos 50°－tan 40°＝＝＝＝＝＝.25.已知α∈，且cos α＝－，则tan α＝________.【答案】2【解析】利用同角三角函数的基本关系求解．由条件可得sin α＝－，所以tan α＝＝＝2.26.若α，β∈，cos ＝，sin ＝－，则cos (α＋β)＝________.【答案】【解析】∵α，β∈，∴－<α－<，－<－β<，由cos ＝和sin ＝－得α－＝±，－β＝－，当α－＝－，－β＝－时，α＋β＝0，与α，β∈矛盾；当α－＝，－β＝－时，α＝β＝，此时cos (α＋β)＝－.27.若cos ＝，则cos ＝()．A．－B．－C．D．【答案】D【解析】∵cos ＝，∴cos ＝2cos 2－1＝－，即sin 2x＝，∴cos ＝sin 2x＝.28.已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为________．【答案】－【解析】∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2cos θsin θ＝，∴2cos θsin θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－＝，又θ∈，∴sin θ＜cos θ，∴sin θ－cos θ＝－.29.已知，则=____________.【答案】【解析】，根据，可知：，故答案为.【考点】同角三角函数的基本关系式的运算30.已知，且，则．【答案】【解析】因为，所以。
2020版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件理新人教A版
触类旁通 利用诱导公式化简求值的思路
(1)给角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐 角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的 应用．
2在对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定 关系，充分利用给定的关系结合诱导公式来将角进行转化.特别要注意每一个 角所在的象限，防止搞错三角函数名称及符号.
解析
2．(2019·淮北模拟)sin43π·cos56π·tan－43π的值是________． 答案 －34 3
答案
解析 原式＝sinπ＋3π·cosπ－6π·tan－π－π3＝－sinπ3·－cos6π·－tanπ3＝
第2讲
同角三角函数的基本 关系与诱导公式
基础知识整合
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：____□_0_1_s_in_2_α_＋__co_s_2_α＝__1_______.
(2)商数关系：__□0_2__ta_n_α_＝__csoi_ns_αα____.
2．六组诱导公式
1．同角三角函数基本关系式的常用变形 (sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα； (sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2； (sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα. 2．诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．
)
A．－
2 4
B.
2 4
C．－2 2 D．2 2
答案 C
答案
解析 由已知得 sinα＝－ 1－cos2α＝－ csoinsαα＝－2 2，选 C.
1－19＝－2 32，所以 tanα＝
解析
3．已知 sin(π＋θ)＝－ 3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则 θ 等于(
高考数学一轮复习 第四章 三角函数 解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式练习-人教版
第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式[A 级 基础巩固]1．(多选题)若cos(π＋α)＝－12，则sin(α－2π)可以等于()A.12B ．－12 C.32D ．－32解析：由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，所以sin α＝±32，故sin(α－2π)＝sin α＝±32. 答案：CD2．(2020·某某模拟)已知直线2x －y －1＝0的倾斜角为α，则sin 2α－2cos 2α＝() A.25B ．－65 C ．－45D ．－125解析：由题意知tan α＝2，所以sin 2α－2cos 2α＝2sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－2tan 2α＋1＝25. 答案：A3．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为()A ．－32B.32C ．－34D.34解析：因为5π4<α<3π2，所以cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， 所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，所以cos α－sin α＝32. 答案：B4．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于()A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， 所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝3，又|θ|<π2，所以θ＝π3.答案：D5．(2020·某某重点中学联考)已知3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫33π14＋α＝－5cos(5π14＋α)，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫15π14＋α＝()A ．－53B ．－35C.35D.53 解析：由3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫33π14＋α＝－5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π14＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53.答案：A6．(2020·某某一中月考)已知cos(α＋π)＝25，则sin(2α＋π2)＝()A.725B ．－725C.1725D ．－1725解析：由cos(α＋π)＝25，得cos α＝－25，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos 2α＝2cos 2α－1＝－1725.答案：D7．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是()A.35B ．－35 C ．－3 D ．3解析：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝ 1＋tan α1＋tan 2α＝35. 答案：A8．(多选题)已知－π2<θ<π2，则sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0，1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是()A ．－3B ．－13C ．－14D ．－1解析：由sin θ＋cos θ＝a ，a ∈(0，1)， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22， 又－π2<θ<π2，所以0<θ＋π4<π4，从而－π4<θ<0，因此－1<tan θ<0，则满足题目的取值为－13与－14.答案：BC9．(2017·卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________．解析：由角α与角β的终边关于y 轴对称，可知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z)，所以β＝2k π＋π－α(k ∈Z)，所以sin β＝sin α＝13.答案：1310．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________．解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案：－3311．(2020·潍坊一中质检)若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan αtan β＝________． 解析：因为sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，所以sin αcos β＝2cos αsin β，所以tan α＝2tan β， tan αtan β＝2. 答案：212．若sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin α·cos α＝________． 解析：由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α， 可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2， sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 答案：－25[B 级 能力提升]13．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数．若f (2 019)＝－1，则f (2 020)＝()A ．1B ．2C ．0D ．－1解析：因为f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－1，所以a sin α＋b cos β＝1，所以f (2 020)＝a sin(2 020π＋α)＋b cos(2 020π＋β)＝a sin α＋b cos β＝1.答案：A14．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝()A.15B.55C.255D ．1 解析：由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，所以cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23， 所以tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55， 所以|a －b |＝55. 答案：B15．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________． 解析：由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 即m 24＝1＋m2，解得m ＝1± 5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，所以m ≤0或m ≥4， 所以m ＝1－ 5. 答案：1－ 5[C 级 素养升华]16．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cosα＝________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.因为0<α<π4，所以0<sin α<cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝45.答案：3545。
2020版高考数学新增分大一轮新高考第四章 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 Word版含解析
§同角三角函数基本关系式及诱导公式
最新考纲.理解同角三角函数的基本关系式：＋＝，＝．.借助单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
．同角三角函数的基本关系
()平方关系：α＋α＝.
()商数关系：＝α.
．三角函数的诱导公式
公式一二三四五六
角π＋α(∈) π＋α－απ－α－α＋α
正弦α－α－αααα
余弦α－αα－αα－α
正切αα－α－α
口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限
概念方法微思考
．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？
提示根据角所在象限确定三角函数值的符号．
．诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？
提示所有诱导公式均可看作·±α(∈)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的是奇数还是偶数．
题组一思考辨析
．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
()若α，β为锐角，则α＋β＝.(×)
()若α∈，则α＝恒成立．(×)
()(π＋α)＝－α成立的条件是α为锐角．(×)
()若(π－α)＝(∈)，则α＝.(×)
题组二教材改编
．若α＝，<α<π，则α＝.
答案－
解析∵<α<π，
∴α＝－＝－，
∴α＝＝－.
．已知α＝，则的值为．
答案
解析原式＝＝＝.。
2020届高考文科数学一轮复习课时作业同角三角函数的基本关系式与诱导公式
课时作业(十八)第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式[时间：35分钟 分值：80分]1．cos(－2040°)＝( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－322．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝( ) A ．－1213 B.1213 C ．±1213 D.5123.1－2sin (π＋2)cos (π＋2)等于( )A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±(sin2－cos2)D ．sin2＋cos24．[2011·泰安期末] 已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin2α＝( ) A.53 B ．－134 C.135 D.134 5．已知sin θ－cos θ＝13，则sin2θ的值为( ) A ．－23 B.23 C ．－89 D.896.⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝( ) A ．tan x B ．sin xC ．cos x D.1tan x7．[2011·永州模拟] 若tan x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，则sin x ＝( ) A.－1±52 B.3＋12C.5－12D.3－128．[2011·福建六校联考] 已知－π2<θ<π2，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( )A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－139．[2011·全国卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 10．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x sin x －1的值是________． 11．[2012·长沙雅礼中学月考] 已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α－32πcos(π－α)tan(π＋α)＝________. 12．(13分)已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫－α＋32πcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－313π，求f (α)的值． 13．(6分)(1)已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2x cos 2x －sin2x＝( ) A.195 B ．－195 C.113 D ．－113(6分)(2)在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120°课时作业(十八)【基础热身】1．B [解析] cos(－2040°)＝cos2040°＝cos(6×360°－120°)＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－12. 2．A [解析] 由cos(α－π)＝－513得，cos α＝513，而α为第四象限角， ∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1213. 3．A [解析] 1－2sin(π＋2)cos(π＋2)＝sin 22＋cos 22－2sin2cos2＝(sin2－cos2)2，又∵sin2－cos2>0，故选A.4．D [解析] ∵tan α＝2，∴2sin 2α＋1sin2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝32tan α＋12tan α＝3＋14＝134，选择D.【能力提升】5．D [解析] 将sin θ－cos θ＝13两边平方得：1－2sin θcos θ＝19，sin2θ＝2sin θcos θ＝89. 6．D [解析] ⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos x sin x cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x. 7．C [解析] ∵tan x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，∴tan x ＝cos x ， ∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝－1±52.∵－1≤sin x ≤1，∴sin x ＝5－12.故选 C.8．C [解析] 因为sin θ＋cos θ＝a ，a ∈(0,1)，平方可得sin θcos θ＝a 2－12<0，因为－π2<θ<π2，故－π2<θ<0，且cos θ>－sin θ， ∴|cos θ|>|sin θ|，∴|tan θ|<1， －1<tan θ<0，满足题意的值为－13. 9．－55 [解析] ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15.又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 10.12 [解析] 1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x＝－1， ∴cos x sin x －1＝12. 11．－1225 [解析] 因为sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，所以sin α＝－35. 因为α是第三象限角，所以cos α＝－45，tan α＝34. 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－32πcos(π－α)tan(π＋α)， ＝cos α·(－cos α)·tan α＝－cos α·sin α＝－1225. 12．[解答] (1)f (α)＝sin αcos α(－sin α)sin α·sin α＝－cos α. (2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝－sin α＝15，∴sin α＝－15.又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265， ∴f (α)＝265. (3)∵－313π＝－6×2π＋53π， ∴f ⎝⎛⎭⎫－313π＝－cos ⎝⎛⎭⎫－313π＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋53π ＝－cos 53π＝－cos π3＝－12. 【难点突破】13．(1)B (2)A [解析] (1)f ′(x )＝cos x ＋sin x ，∵f ′(x )＝2f (x )，∴cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，∴tan x ＝3，∴1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝1＋sin 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x＝－195.故选B. (2)两式平方再相加得sin(A ＋B )＝12，∴A ＋B ＝30°或150°， 又∵3sin A ＝6－4cos B >2，∴sin A >23>12， ∴A >30°，∴A ＋B ＝150°，此时C ＝30°，故选A.。
高考数学复习同角三角函数的基本关系与诱导公式
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 最新考纲考向预测1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x ＝tan x .2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π2，α±π的正弦、余弦、正切. 命题趋势 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技巧以及基本的运算能力.核心素养数学运算1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1．(2)商数关系：tan x ＝sin x cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中x ≠k π＋π2，k ∈Z .2．三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 α＋2k π (k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切tan αtan__α－tan__α－tan__α常用结论1．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．2．同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .(3)sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1.常见误区1．同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后，正确取舍．2．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意的角α，β，都有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (4)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．(易错题)已知cos(π＋α)＝23，则tan α＝( ) A ．52 B ．255 C ．±52D ．±255解析：选C.因为cos(π＋α)＝23， 所以cos α＝－23，则α为第二或第三象限角，所以sin α＝±1－cos 2α＝±53.所以tan α＝sin αcos α＝±53－23＝±52. 3．已知sin αcos α＝12，则tan α＋1tan α＝( ) A ．2 B ．12 C ．－2D ．－12解析：选A.tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.4．sin 2 490°＝________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝________．解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos 52π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－cos π3＝－12. 答案：－12 －125．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝sin αcos α·cos α＝sin α. 答案：sin α同角三角函数的基本关系式 角度一 “知一求二”问题(2020·北京市适应性测试)已知α是第四象限角，且tan α＝－34，则sinα＝( )A ．－35 B.35 C.45 D ．－45 【解析】 因为tan α＝sin αcos α＝－34， 所以cos α＝－43sin α ①.sin 2α＋cos 2α＝1 ②，由①②得sin 2α＝925，又α是第四象限角，所以sin α<0，则sin α＝－35，故选A.【答案】 A利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．角度二 sin α，cos α的齐次式问题已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 【解】 由已知得tan α＝12. (1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.关于sin α与cos α的齐n 次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的值．角度三sin α±cos α，sin αcos α之间的关系已知α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝1 5.(1)求sin α－cos α的值；(2)求sin 2α＋2sin2α1－tan α的值．【解】(1)由sin α＋cos α＝1 5，平方得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝1 25，整理得2sin αcos α＝－24 25.所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝49 25.由α∈(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cos α>0，所以cos α>0，则sin α－cos α<0，故sin α－cos α＝－7 5.(2)sin 2α＋2sin2α1－tan α＝2sin α（cos α＋sin α）1－sin αcos α＝2sin αcos α（cos α＋sin α）cos α－sin α＝－2425×1575＝－24175.sin α±cos α与sin αcos α关系的应用技巧(1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，sin α－cos α＝±2－t 2(注意根据α的范围选取正、负号)．(2)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可以知一求二．1．(2020·河南六市一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A ．43 B ．34 C ．－34D ．±34解析：选B.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝34.2．已知tan α＝－34，则sin α(sin α－cos α)＝( ) A.2125 B.2521 C.45D.54解析：选 A.sin α(sin α－cos α)＝sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－34代入得原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋1＝2125.3．(一题多解)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C ．22D ．1解析：选A.方法一：由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0， 所以cos α＝－22.又α∈(0，π)，所以α＝3π4， 所以tan α＝tan 3π4＝－1.方法二：因为sin α－cos α＝2， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.法三：由sin α－cos α＝2得1－sin 2α＝2，所以sin 2α＝－1. 设sin α＋cos α＝t ，所以1＋sin 2α＝t 2，所以t ＝0.由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin α＋cos α＝0得sin α＝22，cos α＝－22， 所以tan α＝－1.诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________．(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin （π－θ）等于________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°) ＝－sin 120°cos 210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＝32×32＝34.(2)由题意可知tan θ＝3，原式＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.【答案】 (1)34 (2)32【引申探究】 (变问法)若本例(2)的条件不变，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （－π－θ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝________．解析：由题意可知tan θ＝3， 原式＝－sin θ＋sin （π＋θ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π2＋θ ＝－sin θ－sin θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－2sin θ－sin θ＋cos θ＝2tan θtan θ－1＝2×33－1＝3.答案：3(1)诱导公式用法的一般思路①化负为正，化大为小，化到锐角为止；②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍． (2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等； ②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值是( )A ．－13 B.13 C.223 D ．－223解析：选A.因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－13.2．(多选)已知A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α，则A 的值可以是( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选AD.由已知可得，当k 为偶数时，A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α＝sin αsin α＋cos αcos α＋tan αtan α＝3；当k 为奇数时，A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α＝－sin αsin α＋－cos αcos α＋tan αtan α＝－1，所以A 的值可以是3或－1.故答案为AD.同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用(2020·湖北宜昌一中期末)已知α是第三象限角，且cos α＝－1010. (1)求tan α的值；(2)化简并求cos （π－α）2sin （－α）＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．【解】 (1)因为α是第三象限角，cos α＝－1010， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－31010，所以tan α＝sin αcos α＝3.(2)原式＝－cos α－2sin α＋cos α＝cos α2sin α－cos α＝12tan α－1，由(1)知tan α＝3，所以原式＝12×3－1＝15.求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本 思路①分析结构特点，选择恰当公式； ②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式化简 要求①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝35，所以tan α的值为( )A ．－43B ．－34C ．±43D ．±34解析：选C.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，所以sin α＝±45，tan α＝sin αcos α＝±43.2．已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，则cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α的值为( )A ．－15B ．－37 C.15 D.37解析：选 A.因为tan(π－α)＝－23，所以tan α＝23，所以cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－2－1＋6＝－15，故选A.[A 级 基础练]1．(多选)已知x ∈R ，则下列等式恒成立的是( ) A ．sin(－x )＝sin x B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝cos xC ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin xD ．cos(x －π)＝－cos x解析：选CD.sin(－x )＝－sin x ，故A 不成立；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝－cos x ，故B 不成立；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin x ，故C 成立；cos(x －π)＝－cos x ，故D 成立．2．(多选)若sin α＝45，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )A ．tan α＝43 B ．cos α＝35 C ．sin α＋cos α＝85D ．sin α－cos α＝－15解析：选AB.因为sin α＝45，且α为锐角， 所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，故B 正确， 所以tan α＝sin αcos α＝4535＝43，故A 正确，所以sin α＋cos α＝45＋35＝75≠85，故C 错误， 所以sin α－cos α＝45－35＝15≠－15，故D 错误．3．已知角α是第二象限角，且满足sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝( )A ． 3B ．－ 3C ．－33D ．－1解析：选B.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，得cos α－3cos α＝1，所以cos α＝－12， 因为角α是第二象限角，所以sin α＝32， 所以tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－ 3.4．已知f (α)＝sin （2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αtan （π＋α），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝( ) A ．12 B ．22 C ．32D ．－12解析：选A.f (α)＝sin （2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αtan （π＋α）＝－sin α·（－sin α）sin α·tan α＝sin 2αsin α·sin αcos α＝cos α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12.5．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选A.由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．故选A.6．计算：sin 11π6＋cos 10π3的值为________．解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π3＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.答案：－17．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0＜α＜π4，则sin α＝________，cos α＝________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.因为0＜α＜π4，所以0＜sin α＜cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝45.答案：35 45 8．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________． 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40°＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40°＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°＝1.答案：19．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.10．已知角θ的终边与单位圆x 2＋y 2＝1在第四象限交于点P ，且点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y .(1)求tan θ的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）的值．解：(1)由θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋y 2＝1，y <0，解得y ＝－32，所以tan θ＝－3212＝－ 3.(2)因为tan θ＝－3， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－3＋1－3－1＝2－ 3. [B 级 综合练]11．(多选)已知角θ的终边与坐标轴不重合，式子1－sin 2（π＋θ）化简的结果为－cos θ，则( )A ．sin θ>0，tan θ>0B ．sin θ<0，tan θ>0C ．sin θ<0，tan θ<0D ．sin θ>0，tan θ<0解析：选BD.1－sin 2（π＋θ）＝1－sin 2θ＝cos 2θ＝|cos θ|＝－cos θ，所以cos θ<0，角θ的终边落在第二或三象限，所以sin θ>0，tan θ<0或sin θ<0，tan θ>0，故选BD.12．(2020·陕西汉中月考)已知角α为第二象限角，则cos α·1＋sin α1－sin α＋sin 2α1＋1tan 2α＝( )A ．1B ．－1C ．0D ．2解析：选B.因为角α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α 1＋sin α1－sin α＝cos α（1＋sin α）2cos 2α＝cos α·1＋sin α|cos α|＝－1－sin α，sin 2α1＋1tan 2α＝sin 2α1＋cos 2αsin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝sin 2α1sin 2α＝sin 2α⎪⎪⎪⎪⎪⎪1sin α＝sin α，所以cos α1＋sin α1－sin α＋sin 2α1＋1tan 2α＝－1－sin α＋sin α＝－1.故选B.13．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈()0，π使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件． 由已知条件可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.所以sin 2α＝12，所以sin α＝±22.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32， 又β∈(0，π)，所以β＝π6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，此时①式不成立，故舍去． 所以存在α＝π4，β＝π6满足条件． 14．在△ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2 C2＝1；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B tan(C －π)＜0，求证：△ABC 为钝角三角形．证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ， 所以A ＋B 2＝π2－C2，所以cos A ＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2，所以cos 2A ＋ B 2＋cos 2C2＝1.(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B tan(C －π)＜0，所以(－sin A )(－cos B )tan C ＜0， 即sin A cos B tan C ＜0.因为在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π且sin A ＞0， 所以⎩⎨⎧cos B ＜0，tan C ＞0或⎩⎨⎧cos B ＞0，tan C ＜0，所以B 为钝角或C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．[C 级 创新练]15．(2020·山东肥城统考)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现黄金分割比例为5－12≈0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°.若m 2＋n ＝4，则m n2cos 227°－1＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C.因为m ＝2sin 18°，且m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4(1－sin 218°)＝4cos 218°，所以m n2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°cos 54°＝4sin 18°cos 18°sin 36°＝2.故选C.16．已知α，β∈(0，2π)且α<β，若关于x 的方程(x ＋sin α)(x ＋sin β)＋1＝0有实数根，则代数式3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β2－sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β＝________．解析：整理方程(x ＋sin α)(x ＋sin β)＋1＝0得x 2＋x (sin α＋sin β)＋sin αsin β＋1＝0.由题意得Δ＝(sin α＋sin β)2－4sin αsin β－4≥0， 即(sin α－sin β)2≥4①.因为－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以sin α－sin β∈[－2，2]，从而(sin α－sin β)2≤4②.由①②得sin α－sin β＝±2，所以⎩⎨⎧sin α＝1，sin β＝－1或⎩⎨⎧sin α＝－1，sin β＝1.因为α，β∈(0，2π)且α<β，所以α＝π2，β＝3π2，即⎩⎨⎧sin α＝1，sin β＝－1.因此3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β2－sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β＝3cos α－sin β2－sin αsin β＝12＋1＝13.答案：13第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 最新考纲考向预测1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x ＝tan x .2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π2，α±π的正弦、余弦、正切. 命题趋势 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技巧以及基本的运算能力.核心素养数学运算1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1．(2)商数关系：tan x ＝sin x cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中x ≠k π＋π2，k ∈Z .2．三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 α＋2k π (k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切tan αtan__α－tan__α－tan__α常用结论1．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．2．同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .(3)sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1.常见误区1．同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后，正确取舍．2．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意的角α，β，都有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (4)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．(易错题)已知cos(π＋α)＝23，则tan α＝( ) A ．52 B ．255 C ．±52D ．±255解析：选C.因为cos(π＋α)＝23， 所以cos α＝－23，则α为第二或第三象限角，所以sin α＝±1－cos 2α＝±53.所以tan α＝sin αcos α＝±53－23＝±52. 3．已知sin αcos α＝12，则tan α＋1tan α＝( ) A ．2 B ．12 C ．－2D ．－12解析：选A.tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.4．sin 2 490°＝________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝________．解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos 52π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－cos π3＝－12. 答案：－12 －125．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝sin αcos α·cos α＝sin α. 答案：sin α同角三角函数的基本关系式 角度一 “知一求二”问题(2020·北京市适应性测试)已知α是第四象限角，且tan α＝－34，则sinα＝( )A ．－35 B.35 C.45 D ．－45 【解析】 因为tan α＝sin αcos α＝－34， 所以cos α＝－43sin α ①.sin 2α＋cos 2α＝1 ②，由①②得sin 2α＝925，又α是第四象限角，所以sin α<0，则sin α＝－35，故选A.【答案】 A利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．角度二 sin α，cos α的齐次式问题已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 【解】 由已知得tan α＝12. (1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.关于sin α与cos α的齐n 次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的值．角度三sin α±cos α，sin αcos α之间的关系已知α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝1 5.(1)求sin α－cos α的值；(2)求sin 2α＋2sin2α1－tan α的值．【解】(1)由sin α＋cos α＝1 5，平方得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝1 25，整理得2sin αcos α＝－24 25.所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝49 25.由α∈(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cos α>0，所以cos α>0，则sin α－cos α<0，故sin α－cos α＝－7 5.(2)sin 2α＋2sin2α1－tan α＝2sin α（cos α＋sin α）1－sin αcos α＝2sin αcos α（cos α＋sin α）cos α－sin α＝－2425×1575＝－24175.sin α±cos α与sin αcos α关系的应用技巧(1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，sin α－cos α＝±2－t 2(注意根据α的范围选取正、负号)．(2)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可以知一求二．1．(2020·河南六市一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A ．43 B ．34 C ．－34D ．±34解析：选B.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝34.2．已知tan α＝－34，则sin α(sin α－cos α)＝( ) A.2125 B.2521 C.45D.54解析：选 A.sin α(sin α－cos α)＝sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－34代入得原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋1＝2125.3．(一题多解)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C ．22D ．1解析：选A.方法一：由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0， 所以cos α＝－22.又α∈(0，π)，所以α＝3π4， 所以tan α＝tan 3π4＝－1.方法二：因为sin α－cos α＝2， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.法三：由sin α－cos α＝2得1－sin 2α＝2，所以sin 2α＝－1. 设sin α＋cos α＝t ，所以1＋sin 2α＝t 2，所以t ＝0.由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin α＋cos α＝0得sin α＝22，cos α＝－22， 所以tan α＝－1.诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________．(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin （π－θ）等于________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°) ＝－sin 120°cos 210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＝32×32＝34.(2)由题意可知tan θ＝3，原式＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.【答案】 (1)34 (2)32【引申探究】 (变问法)若本例(2)的条件不变，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （－π－θ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝________．解析：由题意可知tan θ＝3， 原式＝－sin θ＋sin （π＋θ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π2＋θ ＝－sin θ－sin θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－2sin θ－sin θ＋cos θ＝2tan θtan θ－1＝2×33－1＝3.答案：3(1)诱导公式用法的一般思路①化负为正，化大为小，化到锐角为止；②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍． (2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等； ②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值是( )A ．－13 B.13 C.223 D ．－223解析：选A.因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－13.2．(多选)已知A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α，则A 的值可以是( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选AD.由已知可得，当k 为偶数时，A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α＝sin αsin α＋cos αcos α＋tan αtan α＝3；当k 为奇数时，A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α＝－sin αsin α＋－cos αcos α＋tan αtan α＝－1，所以A 的值可以是3或－1.故答案为AD.同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用(2020·湖北宜昌一中期末)已知α是第三象限角，且cos α＝－1010. (1)求tan α的值；(2)化简并求cos （π－α）2sin （－α）＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．【解】 (1)因为α是第三象限角，cos α＝－1010， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－31010，所以tan α＝sin αcos α＝3.(2)原式＝－cos α－2sin α＋cos α＝cos α2sin α－cos α＝12tan α－1，由(1)知tan α＝3，所以原式＝12×3－1＝15.求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本 思路①分析结构特点，选择恰当公式； ②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式化简 要求①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝35，所以tan α的值为( )A ．－43B ．－34C ．±43D ．±34解析：选C.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，所以sin α＝±45，tan α＝sin αcos α＝±43.2．已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，则cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α的值为( )A ．－15B ．－37 C.15 D.37解析：选 A.因为tan(π－α)＝－23，所以tan α＝23，所以cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－2－1＋6＝－15，故选A.[A 级 基础练]1．(多选)已知x ∈R ，则下列等式恒成立的是( ) A ．sin(－x )＝sin x B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝cos xC ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin xD ．cos(x －π)＝－cos x解析：选CD.sin(－x )＝－sin x ，故A 不成立；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝－cos x ，故B 不成立；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin x ，故C 成立；cos(x －π)＝－cos x ，故D 成立．2．(多选)若sin α＝45，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )A ．tan α＝43 B ．cos α＝35 C ．sin α＋cos α＝85D ．sin α－cos α＝－15解析：选AB.因为sin α＝45，且α为锐角， 所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，故B 正确， 所以tan α＝sin αcos α＝4535＝43，故A 正确，所以sin α＋cos α＝45＋35＝75≠85，故C 错误， 所以sin α－cos α＝45－35＝15≠－15，故D 错误．3．已知角α是第二象限角，且满足sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝( )A ． 3B ．－ 3C ．－33D ．－1解析：选B.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，得cos α－3cos α＝1，所以cos α＝－12， 因为角α是第二象限角，所以sin α＝32， 所以tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－ 3.4．已知f (α)＝sin （2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αtan （π＋α），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝( ) A ．12 B ．22 C ．32D ．－12解析：选A.f (α)＝sin （2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αtan （π＋α）＝－sin α·（－sin α）sin α·tan α＝sin 2αsin α·sin αcos α＝cos α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12.5．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选A.由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．故选A.6．计算：sin 11π6＋cos 10π3的值为________．解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π3＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.答案：－17．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0＜α＜π4，则sin α＝________，cos α＝________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.因为0＜α＜π4，所以0＜sin α＜cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝45.答案：35 45 8．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________． 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40°＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40°＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°＝1.答案：19．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.10．已知角θ的终边与单位圆x 2＋y 2＝1在第四象限交于点P ，且点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y .(1)求tan θ的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）的值．解：(1)由θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋y 2＝1，y <0，解得y ＝－32，所以tan θ＝－3212＝－ 3.(2)因为tan θ＝－3， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－3＋1－3－1＝2－ 3. [B 级 综合练]11．(多选)已知角θ的终边与坐标轴不重合，式子1－sin 2（π＋θ）化简的结果为－cos θ，则( )A ．sin θ>0，tan θ>0B ．sin θ<0，tan θ>0C ．sin θ<0，tan θ<0D ．sin θ>0，tan θ<0解析：选BD.1－sin 2（π＋θ）＝1－sin 2θ＝cos 2θ＝|cos θ|＝－cos θ，所以cos θ<0，角θ的终边落在第二或三象限，所以sin θ>0，tan θ<0或sin θ<0，tan θ>0，故选BD.12．(2020·陕西汉中月考)已知角α为第二象限角，则cos α·1＋sin α1－sin α＋sin 2α1＋1tan 2α＝( )A ．1B ．－1C ．0D ．2解析：选B.因为角α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α 1＋sin α1－sin α＝cos α（1＋sin α）2cos 2α＝cos α·1＋sin α|cos α|＝－1－sin α，sin 2α1＋1tan 2α＝sin 2α1＋cos 2αsin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝sin 2α1sin 2α＝sin 2α⎪⎪⎪⎪⎪⎪1sin α＝sin α，所以cos α1＋sin α1－sin α＋sin 2α1＋1tan 2α＝－1－sin α＋sin α＝－1.故选B.13．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈()0，π使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件． 由已知条件可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.所以sin 2α＝12，所以sin α＝±22. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，此时①式不成立，故舍去．所以存在α＝π4，β＝π6满足条件．14．在△ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2 C 2＝1；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B tan(C －π)＜0，求证：△ABC 为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C 2，所以cos A ＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2， 所以cos 2A ＋ B 2＋cos 2C 2＝1.(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B tan(C －π)＜0， 所以(－sin A )(－cos B )tan C ＜0，即sin A cos B tan C ＜0.因为在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π且sin A ＞0，所以⎩⎨⎧cos B ＜0，tan C ＞0或⎩⎨⎧cos B ＞0，tan C ＜0， 所以B 为钝角或C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．[C 级 创新练]15．(2020·山东肥城统考)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现黄金分割比例为5－12≈0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°.若m 2＋n ＝4，则m n 2cos 227°－1＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1解析：选C.因为m ＝2sin 18°，且m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4(1－sin 218°)＝4cos 218°，所以m n 2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°cos 54°＝4sin 18°cos 18°sin 36°＝2.故选C.16．已知α，β∈(0，2π)且α<β，若关于x 的方程(x ＋sin α)(x ＋sin β)＋1＝0有实数根，则代数式3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β2－sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β＝________． 解析：整理方程(x ＋sin α)(x ＋sin β)＋1＝0得x 2＋x (sin α＋sin β)＋sin αsin β＋1＝0.由题意得Δ＝(sin α＋sin β)2－4sin αsin β－4≥0，即(sin α－sin β)2≥4①.因为－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以sin α－sin β∈[－2，2]，从而(sin α－sin β)2≤4②.由①②得sin α－sin β＝±2，所以⎩⎨⎧sin α＝1，sin β＝－1或⎩⎨⎧sin α＝－1，sin β＝1.因为α，β∈(0，2π)且α<β，所以α＝π2，β＝3π2，即⎩⎨⎧sin α＝1，sin β＝－1. 因此3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β2－sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β＝3cos α－sin β2－sin αsin β＝12＋1＝13. 答案：13。
高考数学一轮复习专题训练—同角三角函数的基本关系式与诱导公式
同角三角函数的基本关系式与诱导公式考纲要求 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan__α.2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切 tan αtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (3)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.( )(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)对任意的角α，sin 2α＋cos 2α＝1. (2)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴上时，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13，当k 为偶数时，sin α＝－13.2.已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α＝( )A.54B.－54C.53D.－53答案 A解析 原式＝3tan α－1tan α＋2＝3×2－12＋2＝54.3.已知α为锐角，且cos α＝45，则sin(π＋α)＝( )A.－35B.35C.－45D.45答案 A解析 由题意得sin α＝1－cos 2α＝35，故sin(π＋α)＝－sin α＝－35.4.(2021·天津南开质检)cos 480°＝( ) A.－12B.12C.－32D.32答案 A解析 由诱导公式可得cos 480°＝cos(540°－60°)＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12.故选A.5.(2021·成都诊断)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝15，则下列结论错误的是( )A.θ∈⎝⎛⎭⎫π2，πB.cos θ＝－35C.tan θ＝－34D.sin θ－cos θ＝75答案 C解析 ∵sin θ＋cos θ＝15，①∴(sin θ＋cos θ)2＝⎝⎛⎭⎫152， 即sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝125，∴2sin θcos θ＝－2425，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925，∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cos θ<0， ∴θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin θ－cos θ＝75.② ①＋②得sin θ＝45，①－②得cos θ＝－35，∴tan θ＝sin θcos θ＝45－35＝－43.6.(2021·海南期末)若cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝15，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________.答案 15解析 sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝15.考点一 诱导公式的应用1.化简cos （π＋α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫11π2－αcos （π－α）sin （－π－α）sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的结果是( )A.－1B.1C.tan αD.－tan α答案 C解析 由诱导公式，得原式＝－cos α·（－sin α）·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α－cos α·sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin 2α·cos α－sin α·cos 2α＝tan α，故选C.2.(2021·长春模拟)已知α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3，则角α＝( ) A.π12 B.π6C.π4D.π3答案 C解析 由条件得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，又因为α为锐角，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，即sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3，所以有α－π3＝π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3，解得α＝π4，故选C. 3.(2021·皖北名校联考)sin 613°＋cos 1 063°＋tan(－30°)的值为________. 答案 －33解析 sin 613°＋cos 1 063°－tan 30°＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan 30°＝－sin 73°＋cos(－17°)－tan 30°＝－cos 17°＋cos 17°－33＝－33. 感悟升华 1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 考点二 同角三角函数基本关系及其应用角度1 切弦互化【例1】 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于( )A.1517B.－1517C.817D.－817(2)已知曲线f (x )＝23x 3在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝( )A.12B.2C.35D.－38答案 (1)D (2)C解析 (1)因为tan α＝－815，所以sin αcos α＝－815，所以cos α＝－158sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝64289，又α是第四象限角，所以sin α＝－817.(2)由f ′(x )＝2x 2，得tan α＝f ′(1)＝2， 故sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α－12tan α＋1＝35.故选C.角度2 sin α±cos α与sin αcos α的转化【例2】(2020·东北三省三校联考)若sin θ－cos θ＝43，且θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝( ) A.－23B.23C.－43D.43答案 A解析 由sin θ－cos θ＝43得1－2sin θcos θ＝169，即2sin θcos θ＝－79，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝29，又θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，∴sin θ＋cos θ<0， ∴sin θ＋cos θ＝－23， 则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－23，故选A. 感悟升华 1.(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)形如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.【训练1】 (1)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan(π＋α)等于( )A.－513B.513C.－125D.125(2)(2021·兰州诊断)已知sin α＋cos α＝75，则tan α＝________.答案 (1)C (2)43或34解析 (1)因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－125.(2)将sin α＋cos α＝75两边平方得1＋2sin αcos α＝4925，∴sin αcos α＝1225，∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝1225， 整理得12tan 2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝43或tan α＝34.考点三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( ) A.53B.23C.13D.59(2)已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. (3)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________. 答案 (1)A (2)－33(3)0 解析 (1)由3cos 2α－8cos α＝5， 得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5， 即3cos 2α－4cos α－4＝0， 解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53.故选A. (2)∵⎝⎛⎭⎫π6－α＋⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝π， ∴tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.(3)∵cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 感悟升华 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等.【训练2】 (1)已知α是第四象限角，且3sin 2α＝8cos α，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2 021π2＝( ) A.－223B.－13C.223D.13(2)(2020·上海徐汇区期中)若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 答案 (1)C (2)35解析(1)∵3sin 2α＝8cos α，∴sin 2α＋⎝⎛⎭⎫3sin 2α82＝1， 整理可得9sin 4α＋64sin 2α－64＝0， 解得sin 2α＝89或sin 2α＝－8(舍去)，又∵α是第四象限角，∴sin α＝－223，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋2 021π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋1 010π＋π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α＝223，故选C. (2)∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35.A 级 基础巩固一、选择题 1.tan 420°＝( ) A.－ 3 B. 3 C.33D.－33答案 B解析 tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝ 3. 2.若角α的终边在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A.3B.－3C.1D.－1答案 B解析 由角α的终边在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3，故选B. 3.已知3s in(π＋θ)＝cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A.－π6B.－π3C.π6D.π3答案 A解析 ∵3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)， ∴－3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－33， ∵|θ|<π2，∴θ＝－π6.4.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79答案 A解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫432＝－79. 5.1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝( )A.sin 2－cos 2B.sin 2＋cos 2C.±(sin 2－cos 2)D.cos 2－sin 2答案 A 解析1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 6.已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35 B.－35C.－3D.3答案 A 解析sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.故选A.7.(2021·四川名校联考)在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，则cos A －sin A 的值为( )A.－32B.－52C.52D.±32答案 B解析 ∵在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，∴A 为钝角，∴cos A －sin A <0， ∴cos A －sin A ＝－（cos A －sin A ）2 ＝－cos 2A ＋sin 2A －2sin A cos A ＝－1－2×⎝⎛⎭⎫－18＝－52. 8.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝( ) A.355B.377C.31010D.13答案 C解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0. 消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角). 二、填空题9.(2021·西安调研)sin(－570°)＋cos(－2 640°)＋tan 1 665°＝________.答案 1解析 原式＝sin(－570°＋720°)＋cos(－2 640°＋2 880°)＋tan(1 665°－1 620°)＝sin 150°＋cos 240°＋tan 45°＝sin 30°－cos 60°＋1＝12－12＋1＝1. 10.若sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝________. 答案 35解析 sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋θ ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35. 11.已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________.答案 －43解析 由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43. 12.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________.答案 1－ 5解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2，解得m ＝1±5， 又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.B 级 能力提升13.已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15B.55C.33D.255答案 B解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos α≠0，所以 2sin α＝cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以5sin 2α＝1，sin 2α＝15，sin α＝55.故选B. 14.已知α∈[0，2π)，cos α＋3sin α＝10，则tan α＝( )A.－3B.3或13C.3D.13 答案 C解析 因为(cos α＋3sin α)2＝10，所以cos 2α＋6sin αcos α＋9sin 2α＝10，所以cos 2α＋6sin αcos α＋9sin 2αcos 2α＋sin 2α＝10，所以1＋6tan α＋9tan 2α1＋tan 2α＝10，所以tan α＝3. 15.(2021·嘉兴联考)已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝________，cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.答案 －74 34 解析 sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α， ∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－1－⎝⎛⎭⎫342＝－74.cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34. 16.已知2θ是第一象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么tan θ＝________. 答案 22解析 因为sin 4θ＋cos 4θ＝59， 所以(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59. 所以sin θcos θ＝23，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝23， 即tan θ1＋tan 2θ＝23，解得tan θ＝2或tan θ＝22. 又因为2θ为第一象限角，所以2k π<2θ<2k π＋π2，k ∈Z . 所以k π<θ<π4＋k π，k ∈Z . 所以0<tan θ<1.所以tan θ＝22.。
2020版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件文
(2)∵f(α)=(1-+2ssiinn���2���)������(+-csoisn������������)-+cocos2s������������
=
57.
-21-
考点1
考点2
考点3
(方法二)联立
sin������
+
cos������
=
-
1 5
,①
sin2������ + cos2������ = 1,②
由①得,sin α=-15-cos α,将其代入②,
整理得 25cos2α+5cos α-12=0.
因为-π2<α<0,所以
sin������
(1)求 sin2������ + cos������ 的值;
sin������-cos������ 1-tan������
(2)求m的值; (3)求方程的两根及此时θ的值. 思考sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子之间有怎样的 关系?
-16-
考点1
考点2
2 5
关闭
解析
关闭
解析 答案
知识梳理 双基自测
12345
-10-
自测点评 1.平方关系和商数关系式中的角都是同一个角,且商数关系式中α≠ +kππ2,k∈Z. 2.利用平方关系式解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要根 据角α的范围确定. 3.公式化简求值时,要利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函 数,其步骤:去负—脱周—化锐,特别注意函数名称和符号的确定.
050°)=
.
(2)设 f(α)=1+2ssiinn2(π������++���c���o)csos32(ππ+-������������)--csoisn(2π+π2+������)������ (1+2sin α≠0),则
高三第一轮复习--同角三角函数的关系式及诱导公式
4 sin sin 4 2 1 sin 8 . （ 2 ）灵活运用平方关系是化简的重 1 1 sin 8 ； n z
要手段之一。
例2、已知 tan 2 。
4 sin 2 cos （1）求 的值； 5 sin 3 cos
符 号 看 象 限 。
函 数 名 改 变 ，
以上九组公式称为诱导公式，其规 律可总结为：
奇变偶不变，
符号看象限。
例1、化简下列各式： sin k cos[(k 1) ] 1 . k Z sin[(k 1) ] cos(k ) 练习 练习 6 6 （1）分清 k 的奇偶，决定函数值符号 1 4sin cos n 1 4 n 1 化简下列各式： 2 sin . 2 是关键； 化简 4 cos
+ cotα + cosα
- sinα - cotα
tan(90°+α) =
sin(2700-α)
=
- cosα
cos(2700- α) = - sinα
tan(2700- α) = + cotα sin(270° +α) = - cosα cos(270° + α) = + sinα tan(270° + α) = - cotα
桂林装修 桂林装饰好啊，请各位稍等片刻！”说着一转身迈开大步直冲正面中间的一间房子去了。随着伙计的身影，耿正看到在这间房子的门口挂着写有 “柜房”的大木牌。只听伙计一边进门一边大声说：“耿掌柜，快去看，有一挂用红布蒙了的大骡车进咱们店了，一共三个人呢，说是 要见你！”话音刚落，那个让耿正兄妹三人经常回忆起来的，并且由于回忆而越来越熟悉的大哥快步走出来了。七年半过去了，昔日的 那个年轻大哥如今已经变成了一个结实的壮年汉子，但依然还是一脸的善良和慈祥模样。看着眼前这面带欣喜且激动不已的三个年青人， 耿大业一时间愣在了那里。略停顿一下，他试探着问：“请问，你们是？”耿正顺手将大白骡的缰绳递给那位报信的伙计。兄妹三人一 起上前眼含热泪给大哥深深施礼，耿正声音哽咽地说：“大哥，您可记得七年半之前的夏天，山那边发生溃坝的当晚，您和大嫂曾经挽 留落难的仨兄妹在您的小饭店里住了一夜，还„„”耿大业傻傻地张大嘴巴：“啊！你们是„„”“是我们！我们要回老家去了，特地 来看望您和大嫂的„„”“快请进屋说话！这骡车怎么„„”“咱们慢慢细说！”耿大业吩咐伙计将骡车赶进靠里边的大车棚内，将骡 子卸了喂上草料。伙计牵起大白骡进车棚去了。耿大业伸出有力的大手抓住耿正的双肩晃一晃，激动地大声说：“好兄弟，好兄弟啊！” 再转过来抓住耿直的双肩晃一晃，高兴地说：“小兄弟，你长大了，个头比你哥哥当年还高呢，长得也真像啊！”再仔细地端详耿英， 拍一拍她的肩膀，说：“好妹子，了不起啊！”他激动得不知道说什么好了：“七年多了，我和你们大嫂经常想起你们来，老惦念呢！ 咱们到家里说话，你们大嫂又快生娃了，在家里歇着呢。”说着朝大院的西北方向扬扬头，说：“喏，就在大院儿里„„”当他领着耿 正兄妹仨往家里走去时，一个胖墩墩的小男娃儿忽然从靠北边的屋子里跑了出来，口里还欢叫着：“爹，我在屋里就能听见是你回来 了！”一边说着，一边就高兴地向耿大业扑来。耿正和耿英同时蹲下身来准备抱他，小家伙却像泥鳅一样“哧溜”一下就窜到了耿大业 的身后。耿大业把小家伙拉到身前来，挨个儿指着耿正、耿直和耿英对他说：“小铁蛋儿，这是大叔叔、这是二叔叔、这是姑姑，快叫 啊！”小家伙眨巴着小眼睛看看三人，再抬头看看爹爹。耿大业再说一遍：“叫大叔叔、二叔叔、姑姑！”这一回，小家伙亮着小嗓子 叫了。耿英高兴地答应着将小家伙抱起来，欣喜地说：“你叫小铁蛋儿，好一个可爱的小铁蛋儿啊！”这边正高兴着呢，耿大嫂听着外 面热闹的说话声也出来了。她已经怀孕八个多月了，笨拙地挺着大肚子一边往前走一边问：“他爹，这是„„”耿英一看见大嫂如此模 样，赶快将小铁蛋儿递到耿
高考数学第一轮考点复习课件 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1.理解同角三角函数的基本关系式：
考 纲
sin2x＋cos2x＝1，csoinsxx＝tanx.
要 求
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式．
热 点 提 示
同角三角函数的基本关系式和诱导公式是三角函 数部分的重要基础知识，对三角函数的考查都会 涉及到这部分知识，在高考中除了和其他知识一 起综合考查外，有时也直接考查，直接考查时常 以小题形式出现.
sinx＋cosx＝15 ① ， sin2x＋cos2x＝1 ② 由①得 sinx＝15－cosx，将其代入②，整理得 25cos2x－5cosx－12＝0.
∵－π2<x<0，∴scionsxx＝＝－45 35
，
所以 sinx－cosx＝－75.
解法二：∵sinx＋cosx＝15，
∴(sinx＋cosx)2＝(15)2，
解：(1)f(α)＝sinα·ctaonsααs·(i－nαtanα)＝－cosα. (2)∵cos(α－32π)＝－sinα， ∴sinα＝－15，cosα＝－ 525－12＝－25 6， ∴f(α)＝25 6.
【例 1】 已知 sin(3π＋α)＝2sin(32π＋α)，求下列 各式的值．
(1)5ssiinnαα－＋42ccoossαα；(2)sin2α＋sin2α.
▪ 1．由一个角的一个三角函数值求其他三 角函数值时，要注意讨论角的范围．
▪ 2.注意公式的变形使用，弦切互化、三角 代换、消元是三角代换的重要方法，要尽 量减少开方运算，慎重确定符号．
▪
▪ 3.注意“1”的灵活代换，如1＝sin2α＋ cos2α.
▪ 4.应用诱导公式时，重点是“函数名称” 与“正负号”的正确判断，一般常用“奇 变偶不变，符号看象限”的口诀．
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.若，则A．B．C．D．【答案】C【解析】由，可得：同正或同负，即可排除A和B，又由，故.【考点】同角三角函数的关系2.设，向量，若，则______.【答案】【解析】因为，所以，即，所以；因为，所以，故，所以，故答案为.【考点】共线定理；三角恒等变换.3.已知sin(π－α)＝log，且α∈，则tan(2π－α)的值为________．8【答案】【解析】sin(π－α)＝sin α＝log＝－，8又α ∈，得cos α＝＝，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.4. sin6000等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.故D正确.【考点】诱导公式.5. [2014·滨州模拟]sin600°＋tan240°的值等于()A．－B．C．－D．＋【答案】B【解析】sin600°＋tan240°＝sin240°＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝，选B项．6.已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．【答案】－【解析】将sin α－cos α＝两边平方，得2sin α·cos α＝，(sin α＋cos α)2＝，sin α＋cos α＝，＝＝－(sin α＋cos α)＝－．7.的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】．【考点】同角三角函数．8.已知，，则．【答案】【解析】由题意，，．【考点】同角间的三角函数关系．9.已知，则= .【答案】【解析】.【考点】三角函数同角公式，二倍角的正弦公式.10.已知角θ的终边经过点P(－x，－6)，且cosθ＝－，则sinθ＝____________，tanθ＝____________．【答案】－，【解析】cosθ＝＝－，解得x＝sinθ＝＝－，tanθ＝11.已知cos(-α)=,则sin(α-)等于()A．B．-C．D．-【答案】B【解析】∵sin(α-)=-sin(-α)=-sin(+-α)=-cos(-α),而cos(-α)=,∴-cos(-α)=-,故sin(α-)=-.12.若角α的终边落在直线x+y=0上,则+的值等于()A．-2B．2C．-2或2D．0【答案】D【解析】原式=+,由题意知角α的终边在第二、四象限,sinα与cosα的符号相反,所以原式=0.13.已知角α终边经过点P(x,-)(x≠0),且cosα=x.求sinα+的值.【答案】【解析】【思路点拨】利用三角函数定义先确定P到原点的距离r,再代入三角函数公式可解. 解:∵P(x,-)(x≠0),∴点P到原点的距离r=,又cosα=x,∴cosα==x.∵x≠0,∴x=±,∴r=2.当x=时,P点坐标为(,-),由三角函数的定义,有sinα=-,=-,∴sinα+=--=-;当x=-时,同理可求得sinα+=.14.设sin＝，则sin 2θ＝()A．－B．－C．D．【答案】A【解析】因为sin＝，即sin θ＋cos θ＝，所以sin θ＋cos θ＝，两边平方得1＋2sin θcos θ＝，所以sin 2θ＝－.15.若tan θ＋＝4，则sin 2θ的值 ()．A．B．C．D．【答案】D【解析】由tan θ＋＝4，得＝4，∴4sin θcos θ＝1，则sin 2θ＝.16.已知sin x＝，x∈，则tan＝______.【答案】－3【解析】∵sin x＝，x∈，∴cos x＝－.∴tan x＝－.∴tan＝＝－3.17.已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α等于()．A．B．C．－D．－【答案】C【解析】∵sin α＋2cos α＝，∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝＝－.18.若sin＝，则sin＝______.【答案】-【解析】sin＝－cos＝－cos＝2sin2－1＝－.19.已知函数.（1）求的最小正周期和最小值；（2）若，且，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】(1)首先根据二倍角公式进行化简，并将函数的解析式化为的形式，然后利用最小正周期公式,最小值为,可得结果；(2)将代入,化简，利用得到三角函数值，根据，得到的值.此题考察三角函数的化简求值，属于基础图.试题解析：（1）解：， 4分，，所以的最小正周期为，最小值为. 8分（2）解：，所以， 11分因为，，所以，因此的值为.【考点】1.三角函数的化简；2.三角函数的求值.20.已知，，则的值是 .【答案】【解析】先由，结合的范围，求出，再利用两角和的正切公式可得．【考点】已知一个三角函数值，求其他三角函数值；两角和的正切公式．21.若3cos ＋cos (π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin 2θ的值是______．【答案】【解析】∵3cos ＋cos (π＋θ)＝0，即3sin θ－cosθ＝0，即tanθ＝.∴cos2θ＋sin2θ＝＝＝＝=22.在△ABC中，a=15，b=10，A=60o，则cosB= 。
高三数学一轮复习课件 第四章 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
A.{1，－1,2，－2}
B.{－1,1}
√C.{2，－2}
D.{1，－1,0,2，－2}
解析 当 k 为偶数时，A＝ssiinn αα＋ccooss αα＝2；
当 k 为奇数时，A＝－sisninαα－ccooss αα＝－2.
(2)(2018·太原质检)化简：tanπ＋αcos2π＋αsinα－32π＝ －1 . cos－α－3πsin－3π－α
A.－
2 6
B.
2 6
C.－23
√D.23
(2)已知 sin α＝25 5，则 tan(π＋α)＋csoins5522ππ＋－αα＝
52或－52
.
3 课时作业
PART THREE
基础保分练
1.已知 α 是第四象限角，tan α＝－152，则 sin α 等于
1 A.5
(2)商数关系：
sin cos
αα＝tan
αα≠π2＋kπ，k∈Z
.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
角 2kπ＋α(k∈Z)
二 π＋α
三
四
－α π－α
正弦
sin α
－__s_i_n_α_ _－__s_in__α_ __s_in__α_
五 π2－α
_c_o_s__α_
六 π2＋α
__c_o_s_α__
α＝tan
－sin α α·cos α·tan
α＝－tan1
α＝2
1
6＝
6 12 .
1 2 3 4 5 67
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
自主演练
题型一 同角三角函数基本关系式的应用
1.已知 α 是第四象限角，sin α＝－1123，则 tan α 等于
高考数学复习讲义：同角三角函数的基本关系与诱导公式
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3．已知 tanπ6－α＝ 33，则 tan56π＋α＝________. 解析：tan56π＋α＝tanπ－π6＋α＝tan[ π－( π6－α ) ] ＝－tanπ6－α＝－ 33.
答案：－
3 3
返回
研透高考·深化提能
1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函 数的步骤
也就是：“负化正，大化小，化到锐角为终了．”
“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：
①sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋
ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；
②sin
α，cos
α的齐次分式如acssiinn
α＋bcos α＋dcos
αα的问题常采
用分式的基本性质进行变形．
(2)切化弦：利用公式tan
返回
(2)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则cos2α－1 sin2α＝(
)
7
25
A.5
B. 7
7
24
C.25
D.25
返回
[解析] ∵sin α＋cos α＝15，
∴1＋2sin αcos α＝215，
∴2sin αcos α＝－2245，(cos α－sin α)2＝1＋2245＝4295.
3
课时跟踪检测
返回
突破点一 同角三角函数的基本关系
返回
抓牢双基·自学回扣
[基本知识]
1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R ) ． (2)商数关系： tan α＝csions ααα≠kπ＋π2，k∈Z .
返回
2．同角三角函数基本关系式的应用技巧
高考数学一轮复习同角三角函数的基本关系与诱导公式
2
－cos α）2＝1－2sin αcos α＝ ，∴sin α－cos α＝ .
答案 D
目录
｜解题技法｜
“sin α±cos α，sin α·cos α”之间关系的应用
sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即（sin α±cos α）2＝
(sin+cos)2 −1
3cos−sin
3−tan
）
1
2
α＝2，故cos α＋ sin
2
2α＝
cos2 +sincos
1+tan
3
＝
＝ ，故选A.
cos2 +sin2
1+tan2 5
答案 A
目录
｜解题技法｜
利用“齐次化切”求齐次式值的方法
（1）若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cos α的n次幂，将分式的分子与
π
2
（4）sin α＝tan αcos α ≠ + π,∈ .
2.（1）sin（kπ＋α）＝（－1）ksin α（k∈Z）；
（2）cos（kπ＋α）＝（－1）kcos α（k∈Z）.
目录
1.已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a＝0的两个根，则实数a的值为
5
A.
6
5
B.－
6
4
3
2 2
，所以tan
3
二象限角，所以cos α＝－
2 2
α＝± ，又α为第
3
sin
2
＝－ .故选D.
cos
4
α＝
目录
3.已知sin
π
−
2
2020届高考数学一轮复习第四章三角函数4.1三角函数的概念同角三角函数的关系式和诱导公式教师用书PDF含解析
简单的三角恒等变换
二倍角公式与辅助角 公式的应用
三 角 函 数 的 性 质 及 其 三角函数的周期性、单
应用
调性
解题方法 公式法
公式法
公式法 分类讨论法
公式法 公式法
核心素养 数学运算
数学运算
数学运算 数学运算 数学运算 数学运算
命题规律与趋势
０１ 考查内容 １． 任意角的 三 角 函 数 的 概 念， 同 角 三 角 函
４ ０ ５ 年高考 ３ 年模拟 Ｂ 版（ 教师用书）
§ ４．１ 三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式
考点
三角函数的概念、同角三角函数的
关系式及诱导公式
高频考点
１．弧度与角度的互化
（１）圆弧的长等于半径长时，这条圆弧所对的圆心角叫 １ 弧
度的角，用符号 ｒａｄ 表示．
（２）如果半径为 Ｒ 的圆ｓ
３
α＋
( ) ｓｉｎ
α－
π ２
＝ ｃｏｓ α－ｃｏｓ α ＝ ０．
答案
集合是｛ β ｜ β ＝ α＋ｋ·３６０°，ｋ∈Ｚ｝ ．
（４） 终边在 ｘ 轴上的角的集合是｛ α ｜ α ＝ ｋ·１８０°，ｋ∈Ｚ｝ ，终
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
若把 α 看成锐角，则角 ２ｋπ＋α（ ｋ∈Ｚ），π－α，π＋α，－α 分别
可看成第一，二，三，四象限角，这几组角的三角函数公式的记忆
口诀是“ 函数名不变，符号看象限” ．
2020届高考数学一轮复习第四章三角函数4.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式PDF含解析
１ ２
ｌｒ ＝
１ ２
｜ α ｜ ｒ２.
３.三角函数
正弦
余弦
正切
设 α 是一个任意角ꎬ它的终边与单位圆交于点 Ｐ( ｘꎬｙ) ꎬ 那么:
定义
ｙ 叫做 α 的正 弦ꎬ记作 ｓｉｎ α
ｘ 叫做 α 的余 弦ꎬ记作 ｃｏｓ α
ｙ ｘ
(ｘ≠０) 叫做
α
的正切ꎬ记作 ｔａｎ α
Ⅰ
各Ⅱ 象Ⅲ 限 符Ⅳ 号口
诀
＋
＋
三角函数的性质
三角函数的周期性、单 调性、最值等问题
①解三角形 ②三角恒等变换
①利用正弦定理解三 角形 ②两角和的正弦公式
①任意角的三角函数 ②三角 函数 的诱 导 公式
利用诱导公式求值
①三角函数的性质 ②三角恒等变换
三角函数的周期性、最 值等问题
①任意角的三角函数 ②三角函数诱导公式 ③两角差的余弦公式
考点一
三角函数的概念及同角三角函数
的基本关系
高频考点
１.任意角 ( １) 角的分类 任意角可按旋转方向分为正角、零角、负角. ( ２) 象限角
第一象限角的集合
{ } α
２ｋπ<α<
π ２
＋２ｋπꎬｋ∈Ｚ
第二象限角的集合
{ } α
π ２
＋２ｋπ<α<π＋２ｋπꎬｋ∈Ｚ
第三象限角的集合
{ } α
①三角函数的化简求 值问题 ②同角三角函数的基 本关系式与诱导公式
三角函数的图象
三角函数图象的变换
解题方法 数形结合法
核心素养
数学运算 逻辑推理
直接法
数学运算
公式法
数学运算
直接法
逻辑推理
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【课时训练】同角三角函数关系式及诱导公式
一、选择题
1．(2018大庆一中期末)已知α∈⎝
⎛⎭
⎪⎫－π2，0，sin α＝－3
5，则cos (π
－α)的值为( )
A ．－45
B ．4
5 C ．35 D ．－35
【答案】A
【解析】∵α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0，sin α＝－35，∴cos α＝45. ∴cos (π－α)＝－cos α＝－4
5.故选A. 2．(2019广东江门调研)sin 11π
3＝( ) A ．32 B ．－3
2 C ．12 D ．－12
【答案】B
【解析】sin 11π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－sin π3＝－32，故选B.
3．(2018长春第一次调研)1－2sin (π＋2)c os (π－2)＝( ) A ．sin 2－cos 2 B ．sin 2＋cos 2 C ．±(sin 2－cos 2) D ．cos 2－sin 2
【答案】A 【解析】1－2sin (π＋2)c os (π－2)
＝1－2sin 2c os 2 ＝
(sin 2－c os 2)2
＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2， 故选A.
4．(2018重庆凤鸣山中学月考)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝2
3，则这个三角形是( )
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
【答案】D
【解析】由sin α＋cos α＝23，得(sin α＋cos α)2＝4
9， ∴1＋2sin αcos α＝49，2sin αcos α＝－5
9. ∵α∈(0，π)，∴α为钝角．故选D.
5．(2018陕西西安模拟)已知cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫α－2π3＝( )
A ．－23
B ．－12
C ．23
D ．12
【答案】A
【解析】sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α
＝－sin ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－2
3.
故选A.
6．(2018东北三校联合模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π
2，则cos α－sin α的值为( )
A ．－3
2 B ．32 C ．－34
D ．34
【答案】B
【解析】∵5π4＜α＜3π
2，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α. ∴cos α－sin α＞0.
又(cos α－sin α)2
＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝3
4，
∴cos α－sin α＝3
2.
7．(2018武汉模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，sin α＋cos α＝－15，则tan ⎝
⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．7 B ．－7 C ．17 D ．－17
【答案】C
【解析】由sin α＋cos α＝－15两边平方，得1＋2sin αcos α＝1
25，∴2sin αcos α＝－2425.又∵π
2<α<π，此时sin α>0，cos α<0，sin α－cos α＝
(sin α－c os α)2
＝
1－2sin αc os α＝
1＋2425＝75，
联立，得⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＋c os α＝－15，
sin α－c os α＝7
5，
解得sin α＝35，cos α＝－45，∴tan α＝sin αc os α＝－3
4. ∴tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝1＋t a n α1－t a n α
＝1－341＋34
＝17.故选C.
8．(2018山西四校联考)已知tan α＝2，则4sin 3α－2c os α
5c os α＋3sin α＝( )
A ．25
B ．511
C ．35
D ．711
【答案】A
【解析】由tan α＝2，得sin α＝2cos α，又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝4
5.
原式＝4sin 3
α－2c os α5c os α＋3sin α
＝
4sin 2
α·t a n α－25＋3t a n α
＝
4×4
5×2－25＋6
＝2
5，故选
A.
二、填空题
9．(2018安徽皖南八校联考)已知sin α＝1
3，α是第二象限角，则tan (π－α)＝________.
【答案】2
4
【解析】∵sin α＝13，α是第二象限角，∴cos α＝－22
3. ∴tan α＝－2
4.故tan (π－α)＝－tan α＝2
4.
10．(2018温州模拟)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6＋α＝________.
【答案】－3
3
【解析】tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－α＝－3
3.
11．(2018哈尔滨期末)若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________．
【答案】1－5
【解析】由题意，知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m
4， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴m 24＝1＋m 2，
解得m ＝1±5.又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4.∴m ＝1－ 5.
12．(2018郑州质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π2，则
sin 3(π－α)＋c os (α＋π)
5c os ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫7π2－α的值为________．
【答案】335
【解析】∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π2，
∴－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α. 代入sin 2
α＋cos 2
α＝1，得cos 2
α＝1
5，
∴sin 3(π－α)＋c os (α＋π)5c os ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫72π－α＝sin 3α－c os α5sin α－3c os α＝8c os 3α－c os α7c os α＝87cos 2α－17＝3
35.
三、解答题
13．(2018江苏泰州中学月考)已知函数f (x )＝c os 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )
c os 2[(2n ＋1)π－x ]
(n ∈Z )．。