高校自主招生数学模拟试卷及详细解析四
2024初升高自主招生数学试卷(四)及参考答案
2024初升高自主招生数学模拟试卷（四）一、选择题1．将4046减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，…依此类推，直至最后减去余下的则最后余下的数为()A.4B.3C.2D.12．若正实数a，b，c满足不等式组则a，b，c的大小关系为()A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b3．若实数a，b满足等式2a-b=2a2-2则a b=()A. C. D.44．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=33，点D是平面内一动点，且上ADB=30°，连CD，则CD长的最大值是()A.8B.9C.10D.115．已知三个实数x1，x2，x3它们中的任何一个数加上其余两数积的6倍总等于7，则这样的三元数组(x1，x2，x3)共有组()A.3B.4C.5D.66．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sin B=45，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰△ADE，使∠ADE=∠B，连CE，则CEBC ()A.65 B.56 C.58 D.5127．四边形ABCD 中，AC ，BD 是其两对角线，△ABC 是等边三角形，AD =6，BD =10，CD =8，则∠ADC =()A.30°B.45°C.60°D.75°二、填空题8．已知19个连续整数的和为380，则紧接在这19个数后面的21个连续偶数的和是__.9．已知x =54-，则(2x +1)(x +1)(2x +3)(x +2)=.10．在实数范围内因式分解：a 2-2b 2+3c 2-ab +bc +4ca =.11．在平面直角坐标系xOy 中，点A (4，0)，B (4，)，连OB ，AB ，若线段OB ，AB 分别交双曲线(0k y k x =>，0)x >于点D ，E （异于点B ），若DE 丄OB ，则k 的值为.12．把两个半径为8和一个半径为9的圆形纸片放在桌面上，使它们两两相外切，若要用一个圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于.13．在菱形ABCD 中，∠A =60°，点E ，F 分别在边AD ，AB 上，将△AEF 沿着EF 对折，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G ，若DG =4，BG =6，则△AEF 的面积等于.14．对于任意不为0的实数a ，b ，c 定义一种新运算“#”：①a #a =1；②a #(b #c )=(a #b )c ，则关于x 的方程(x 2)#2=x +4的根为.三、解答题15．回答下列问题：（1）解方程：x =(x 2+4x 一3)2+4x 2+16x 一15；（2）求所有的实数a ，使得关于x 的方程x 2-(2a -1)x +4a -3=0的两根均为整数.16．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一动点（异于C，D），连BE，以BE为对角线作正方形BGEF，EF与BD交于点H，连AF.（1）求证：A，F，C三点共线；（2）若CE：DE=1：2，求DHBH的值.17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=ax2+bx+c(a>0)经过点(0，-3)和(4，-11)，且在x轴上截得的线段长为（1）求抛物线C1的解析式；（2）已知点A在抛物线C1上，且在其对称轴右侧，点B在抛物线C1的对称轴上，若△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；（3）将抛物线C1向左平行移动3个单位得到抛物线C2，直线y=kx(k≠0)与C2交于E，F两点，直线2y xk=-与C2交于G，H两点，若M，N分别为线段EF和线段GH的中点，连接MN.求证：直线MN过定点.18．如图，等边△ABC内有一动点D，△CDE是等边三角形（点B，E在直线AC两侧），直线BD与直线AE交于点F.（1）判断∠AFC的大小是否为定值？若是定值，求出其大小；若不是定值，请说明理由.（2）若AB=5，CD=3，求线段AF长的最小值.参考答案1．答案：C解析：令,第二次余下的数为,,.故选：C.2．答案：B解析：由题意可得,因a ,b ,c 均为正实数,于是因此,故选：B.3．答案：A,根据非负性可知,所以故选：A.4．答案：B解析：要使长取到最大,则点C 与点D 位于直线两侧.延长到点E ,使4046=11211123323a a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭13111,4434a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭ 1202211114046220232023202220232023a a ⎛⎫⨯-=⨯==⨯= ⎪⎝⎭117,531326c abc c a a b c a ⎧<++<⎪⎪⎪<++<⎨⎪⎪⎪⎩11753132,6153,4a b c c a b c a c a b b ++⎧<<⎪⎪++⎪<<⎨⎪++⎪<<⎪⎩711133356a b c c ++>>>>>>b c a <<(21)20a b -+-=1,22a b ==b a =CD AB CB BE =连,则,,于是点D 在以为直径的圆上（与E 在直线同侧）,设圆心为O ,则,当C ,O ,D 三点共线时,长取到最大,最大值为,故选：B.5．答案：C 解析：由条件知①-②得,,所以或.当时,代入③得,又代入①得,消去得,解得于是,或.当,解得或故选：C.6．答案：D解析：由条件知,,所以,所以,又公共,所以,所以也是等腰三角形,于是发现,故选：D.7．答案：A解析：以为一边在四边形外作等边,连,则可证,所以,又,,于是,所以,故选：A.AE 30AEB ∠=︒4AE =AE AB 7OC ==CD 729+=12321331267,67,,67,x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③()()123160x x x --=12x x =316x =12x x =23267x x +=22367x x x +=3x ()()()222161670x x x --+=2x =()()123,,1,1,1x x x =1141,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭777,,666⎛⎫--- ⎪⎝⎭3x =121274136x x x x +==1216416x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩AD BD DC ==B BAD ADE ∠=∠=∠//DE AB CDE B ADE ∠=∠=∠DE ADE CDE ≌△△CDE △CDE BAD ∽△△11552236BC CD AB AB ===⨯=15226CE BD ==⨯=CD ABCD CDE △AE BCD ACE ≌△△10BD AE ==6AD =8DE =222AD DE AE +=90ADE ∠=︒906030ADC ∠=-=︒︒︒8．答案：1050解析：设19个连续整数中最小的整数是,则最大的整数是,,解得,所以紧接在这19个数后面的21个连续偶数分别为30,32,34,,70,.9．答案：42解析：由条件得,又.10．答案：解析：利用待定系数法或双十字相乘法.解析：由条件知,设,则,,又,,所以,,于是于,所以（舍）或12．答案：18解析：要使大圆形纸片的半径最小,只需这个大圆形纸片与三个小圆形纸片均内切,设最小半径大小为r ,则,解得.解析：作于点P ,设,则,,,,n 18n +380=11n = 1050=22540x x +-=()()()()()()()()211232212123x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=++++⎣⎦⎣⎦()()222522536742x x x x =++++=⨯=()()23a b c a b c ++-+:OB y =()D t 2k =2OD t =8OB =60AOB ∠=︒82BD t =-60BED ∠=︒DE =BE =AE ==E ⎛ ⎝k =2=4=t =k =222(8)8(915)r r -=++-18r =FP BD ⊥BP x =PF =2BF x =PF =102AF GF x ==-在中,,即,解得所以14．答案：4或-2解析：令,因,由得,令,由得,于是,所以,解方程得两根分别为4或-2.15．答案：（1）解析：（1）原方程可化为令,则原方程可化为,于是,整理得,所以于是或,当时,,解得当时,,解得综上,原方程的根为（2）不妨设两根为,,则根据韦达定理可知,,于是,所以6PG x=-Rt PFQ △222PF PG GF +=2223(6)(102)x x x +-=-x =AF =AE =AEF △b c a ==#1a a =()()###a b c a b c =#1a a =c b =()()###a b c a b c =()()###a b b a b b =()##1a b b a a ==#a b =)2#2x x =+4x =+x ==()()222434433x x x x x =+-++--243x x t +-=243x t t =+-()224343x t t t x x -=+--+-()2250x t x t -+-=()()50x t x t -++=x t =50x t ++=x t =2330x x +-=x =50x t ++=2520x x ++=x =x =x =1x ()212x x x ≤1221x x a +=-1243x x a =-()121221x x x x -+=-()()12223x x --=因,为整数,,于是,也为整数,且,所以或,当时,解得,此时当时,解得,此时16．答案：（1）见解析解析：证明：（1）在正方形和正方形中,所以,即,所以,所以,又,所以A ,F ,C 三点共线（2）因,设,则,,因,,公共,所以,于是即,解得所以17．答案：（1）（2）或1x 2x 12x x ≤12x -22x -1222x x -≤-122123x x -=⎧⎨-=⎩122321x x -=-⎧⎨-=-⎩122123x x -=⎧⎨-=⎩1235x x =⎧⎨=⎩a =122321x x -=-⎧⎨-=-⎩1211x x =-⎧⎨=⎩12a =ABCD BGEF 45ABD FBE ∠=∠=BE BF==ABD DBF FBE DBF ∠-∠=∠-∠ABF DBE ∠=∠ABF DBE ∽△△45BAF BDC ∠=∠=︒45BAC ∠=︒:1:2CE DE =CE t =2DE t =BD =BE =45BEH BDE ∠=∠=︒DBE ∠BEH BDE ∽△△=2BE BD BH =⋅210t BH =⋅BH =DH BD BH =-=-==263y x x =--()7,4()6,3-（3）解析：（1）由条件可知又,解得所以抛物线的解析式为.（2）当点A 在x 轴上方时,过点A 作轴于点P ,过点B 作直线的垂线,垂足为点Q ,因,,所以,又,,所以,于是.设,则,所以,解得,所以点同理当点A 在x 轴下方时,可求得,综上所述,点A 的坐标为或.（3）由条件知,联立得,于是点,同理可得,设,则,解得所以,其过定点.18．答案：（1）的大小是定值,定值大小为,理由见解析()0,1316411,c a b c ⎧⎪=-⎪⎪++=-⎨=0a >163a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩1C 263y x x =--AP x ⊥AP 90OAP BAQ ∠+∠=︒90OAP AOP ∠+∠=︒AOP BAQ ∠=∠OA AB =90OPA AQB ∠=∠=︒OAP ABQ ≌△△AP BQ =()2,63A m m m --3m >2633m m m --=-7m =()7,4A ()6,3A -()7,4()6,3-22:12C y x =-212y kx y x =⎧⎨=-⎩2120x kx --=2,22k k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭212,N k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭:MN y px q =+222221k k p q p q kk ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩22:1k MN y x k-=+()0,1AFC ∠120︒（2）解析：（1）的大小是定值,定值大小为,理由如下：在等边和等边中,,,,于是,即,所以,所以,所以C ,D ,F ,E 四点共圆,所以,于是（2）由（1）知,所以A,F ,C ,B 四点共圆.若最大,则最小.当时,最大,因,,所以,由（1）得,,于是在和中,,所以,所以,于是所以线段长的最小值为.4AFC ∠120︒ABC △CDE △AC BC =CE CD =60ACB DCE CDE ∠=∠=∠=︒ACB ACD DCE ACD ∠-∠=∠-∠ACE BCD ∠=∠ACE BCD ≌△△BDC AEC ∠=∠60CFE CDE ∠=∠=︒180********AFC CFE ∠=-∠=︒-=︒︒︒12060180AFC ABC ︒∠+︒+∠==︒CBF ∠AF CD BF ⊥CBF ∠5AB =3CD =4BD ==ACE BCD ≌△△4AE BD ==90AEC BDC ∠=∠=︒Rt CEF △Rt CDF △CE CD =CF CF=Rt Rt CEF CDF ≌△△30ECF DCF ∠=∠=︒EF =4AF AE EF =-=-AF 4。
高校自招数学试题及答案
高校自招数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333…（循环）B. πC. √2D. 1答案：B、C2. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值。
A. 7B. 4C. 1D. 2答案：A3. 若a > b > 0，下列不等式中正确的是：A. a^2 > b^2B. a + b > 2√(ab)C. a/b > b/aD. a^3 > b^3答案：D4. 已知等差数列的首项为1，公差为2，求第10项的值。
A. 19C. 17D. 16答案：A5. 圆的半径为5，求圆的面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B6. 已知三角形ABC，∠A = 90°，AB = 3，AC = 4，求BC的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A7. 函数y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是什么？A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (2, 4)D. (-2, 4)答案：A8. 已知正弦函数sin(x)的周期为2π，求余弦函数cos(x)的周期。
B. 2πC. 4πD. 8π答案：B9. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长度是两直角边长度的平方和的平方根。
设a和b是直角边，c是斜边，下列哪个表达式是正确的？A. c = √(a^2 + b^2)B. a = √(c^2 + b^2)C. b = √(c^2 - a^2)D. c = √(b^2 - a^2)答案：A10. 已知一个数列的前三项为1, 1, 2，且每一项都是前两项的和，求第5项的值。
A. 4B. 5C. 6D. 7答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 根据二项式定理，展开式(a + b)^3的通项公式是________。
答案：T_{r+1} = C_{3}^{r}a^{3-r}b^{r}12. 如果一个函数是奇函数，那么f(-x)等于________。
高中自主招生数学模拟试题及答案(供参考)
唐山市 唐山一中 自主招生测试题一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7，则这四个实数的积是2.若实数a 满足42a a -+=，则1a a-的值是 3.如图，三角形ABC 的面积为2，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，,AD AE x y AB AC ==，且12y x -=，则三角形BDE 面积的最大值是 4.若关于x 的方程||2||x b a --=有四个实数解，则化简||||||||a b a b a ba b a b a b +-++++-的结果是 5.若非零的实数,,,a x y z满足等式=22x y xy yz zx+++的值是6.如图，在直角三角形ABC 中，4,3AC BC ==，D 是斜边AB 上一动点，DE BC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F ，当EF 的长最小时，cos FED ∠=7.多项式6431x x x -++被2x x -除的余式是 8.已和,,a b c 是互不等的实数，三个方程①20x ax b ++=; ②20x bx c ++=;③20x cx a ++=中，①②有公共根p ，②③有公共根q ，③①有公共根r ，则abc =9.我们有一个结论：对于任何一个正整数n ，若n 是偶数，将其减半；若n 是奇数，将其乘以3加1，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到1.如正整数6n =，按上述规则变换后，可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,1.如果正整数n 按上述变换后的第8个数是1（n 是第1个数，1可多次出现），则n 的所有可能值的个数是 10.如图的一个无穷数表，其中2014在表中出现的次数是二、解答题（本大题5小题，共70分）11.（本题满分12分）已知点(A B ，函数1533y x =+的图象是直线l ，点(,)P a b 在l 上，满足APB ∠是钝角，试求a 的取值范围.12.（本题满分12分）已知关于x 的函数2y kx =-（1）求k 的取值范围；（2）若函数图象与x 轴有两个不同的交点1(,0),(x x .试A DEA CBDFEl求k 的值，并根据图象指出当13k x k ++≤≤时，函数的最大值和最小值.13.（本题满分12分）如图，点D 是三角形ABC 外接圆上一点，DB 的延长线交过点A 的切线于点E .若AB AC =，AC ∥BD，AE =4DB =，求FC 的长.14.（本题满分16分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，过点B 、C 作圆的切线交于点P ，点Q 是BC 的中点，求证：AB AQ AC AP ⋅=⋅.15.（本题满分18分）编号为1,2,,25的2515号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加0.250.25试题及解答一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7，则这四个实数的积是 解：这四个实数的和为245763+++=，所以这四个数分别是62,64,65,67----，即4,2,1,1-，其积是-8. 2.若实数a 满足42a a -+=，则1a a-的值是 解：去分母得242a a -+，移项得2240a a -+=. t =，则方程变为2340t t +-=，∴1t =或4t =-（舍去）.1=得2210a a --=，所以1a a-=2. 3.如图，三角形ABC 的面积为2，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，,AD AE x y AB AC ==，且12y x -=，则三角形BDE 面积的最大值是 解：∵(1)(1)2(1)BDEABE ABE ABC BD AES S x S x S x y AB AC∆∆∆∆==-=-=- 221192(1)()212()248x x x x x =-+=-++=--+，∴三角形BDE 面积的最大值是98. 4.若关于x 的方程||2||x b a --=有四个实数解，则化简||||||||a b a b a ba b a b a b +-++++-的结果是 解：显然0a ≥.若0a =，则方程可变为|2|x b -=，方程最多两解，不合题意，所以0a >. 方程可化为|2|x b a -=±.当b a <时，方程可化为|2|x b a -=+，有两解，不合题意. 当b a =时，|2|2,|2|0x a x -=-=,有三解，不合题意.当b a >时，|2|,|2|x b a x b a -=+-=-方程有四解，符合题意.A BD E故0b a >>.从而||1111||||||a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b b a a b+-+-+++=+++=-++=+-+-2. 5.若非零的实数,,,a x y z 满足等式=，则22x y xy yz zx+++的值是解：若320x y -=，则=430y z -=； 若430y z -==320x y -=；若320x y -≠且430y z -≠，则由230(32)0y x a x y ->⎧⎨-⎩≥得0a <；由430(43)0y z a y z ->⎧⎨-⎩≥得0a >，矛盾.故320x y -=且430y z -=.于是643x y z ==，可令2,3,4x t y t z t ===，所以 2222222496128x y t t xy yz zx t t t ++==++++12. 6.如图，在直角三角形ABC 中，4,3AC BC ==，D 是斜边AB 上一动点，DE BC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F ，当EF 的长最小时，cos FED ∠=解：连结CD ，则CD EF =，所以EF 的长最小时即为CD 的长最小，此时CD AB ⊥,于是FED FCD B ∠=∠=∠，所以cos cos BC FED B AB ∠===35. 7.多项式6431x x x -++被2x x -除的余式是解：64341(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x -++=+-++-++，所以余式是+1x .8.已和,,a b c 是互不等的实数，三个方程①20x ax b ++=; ②20x bx c ++=;③20x cx a ++=中，①②有公共根p ，②③有公共根q ，③①有公共根r ，则abc =解：由20p ap b ++=，20p bp c ++=得，()0a b p b c -+-=，∴c bp a b-=-. 同理a c q b c -=-，b ar c a-=-. ∴1pqr =-.又,,p q r 互不相等，如p q =，则,p q ①③的公共根，于是p q r ==，从而1p q r ===-，代入①②③有1,1,1b a c b a c -=--=--=-，三式相加得03=-，矛盾. 由上述结论可知，①的两根为,p r ；②的两根为,p q ；③的两根为,q r . 由根与系数关系，有,,a pr b pq c rq ===，故222abc p q r ==1.9.我们有一个结论：对于任何一个正整数n ，若n 是偶数，将其减半；若n 是奇数，将其乘以3加1，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到1.如正整数6n =，按上述规A CBDFE则变换后，可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,1.如果正整数n 按上述变换后的第8个数是1（n 是第1个数，1可多次出现），则n 的所有可能值的个数是 解：反推∴n 的所有可能值的个数是6.2014在表中出现的次数是解：观察知，表中第m 行第n 列的数是1mn +.由12014mn +=得201331161mn ==⨯⨯，m是2013的正约数，所以(,)m n 有8对，从而2014在表中出现的次数是8. 二、解答题（本大题5小题，共70分）11.（本题满分12分）已知点(A B ，函数1533y x =+的图象是直线l ，点(,)P a b 在l 上，满足APB ∠是钝角，试求a 的取值范围.解：以AB 为直径作圆，交l 于点,C D ,则点P 在线段CD 上（不含端点）.………4分 设点00(,)C x y ，则00220015(1)335(2)y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩…………………………6分 把（1）代入（2），整理得，220x x +-=，∴2,1x x =-=，……………………………8分 ∴(2,1),(1,2)C D -.故a 的取值范围是21a -<<.……………12分12.（本题满分12分）已知关于x 的函数22(1)3y kx k x k =-+++的图象与x 轴有交点. （1）求k 的取值范围；（2）若函数图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)x x ，且212122(1)34kx k x k x x ++++=.试求k 的值，并根据图象指出当13k x k ++≤≤时，函数的最大值和最小值. 解：（1）当0k =时，函数为23y x =-+，图象与x 轴有交点.…………………2分 当0k ≠时，图象与x 轴有交点的条件是解得1k ≤.…………………………………………………………………………分 综上，k 的取值范围是1k ≤.……………………………………………………4分 （2）12122(1)3,k k x x x x k k+++==.………………………………………………5分 由2112(1)30kx k x k -+++=得，21132(1)kx k k x ++=+，16 81 2 32 464 108 1128 20316 25 l∴212122(1)34kx k x k x x ++++=可化为12122(1)()4k x x x x ++=………………………………………………………8分∴2(1)32(1)4k k k k k+++⋅=⋅解得，1k =或2k =-.…………………………………………………………………10分 但1k =时，函数图象与x 轴仅有一个交点，舍去. 2k =-时，函数为22132212()22y x x x =-++=--+，画图可知当1x -≤≤1时，最大值为32，最小值为3-.…………………………………………………………………………12分13.（本题满分12分）如图，点D 是三角形ABC 外接圆上一点，DB 的延长线交过点A 的切线于点E .若AB AC =，AC ∥BD，AE =4DB =，求FC 的长.解：∵AE 是圆的切线，∴2AE EB ED =⋅.设EB x =，则(4)45x x +=，解得5x =.…………………3分 ∵AE 是圆的切线,∴EAB ACB ∠=∠. ∵AB AC =,∴ACB ABC ∠=∠,∴EAB ABC ∠=∠,∴AE ∥BC ,…………………………5分 又BD ∥AC ，∴四边形AEBC 是平行四边形,………………7分∴5BC AE AC BE ====.又由AC ∥BD 得，BF BDFC AC=45=，解得FC =.…………12分 14.（本题满分16分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，过点B 、C 作圆的切线交于点P ，点Q 是BC 的中点，求证：AB AQ AC AP ⋅=⋅. 证明：连接OP ，则点Q 在OP 上.…………………2分∵OB PB ⊥,OP BC ⊥,∴2PB PQ PO =⋅.…………4分 设PA 交⊙O 于M ，则2PB PM PA =⋅.……………6分 ∴PQ PO PM PA ⋅=⋅, ∴POM ∆∽PAQ ∆， ∴OM AQOP AP=…………………………………………8分 ∴OB AQOP AP=…………………………………………10分 又∵OQ ∥AC ， ∴BOP BAC ∠=∠，∴OBP ∆Rt ∽ACB ∆Rt ， ∴OB ACOP AB =，………………………………………12分 ∴AQ ACAP AB=，∴AB AQ AC AP ⋅=⋅.…………………………………16分 15.（本题满分18分）编号为1,2,,25的25张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的15号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加0.25，乙手中卡片编号的平均数也增加0.25，求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数. 解：12325325++++=.…………………………………………………………2分 设乙原来手中有卡片x 张，平均数为y ， 则原来甲手中有25x -张卡片，平均数为32525xyx--.…………………………………4分由题意得，150.25(1)13103250.25(2)2425xy y x xy xy xx +⎧=+⎪⎪+⎨--⎪=+⎪--⎩………………………………………6分 由(1)得，59144y x =- (3)……………………………………………………………8分 由(2)得，1(310)(25)(325)(24)(25)(24)4xy x xy x x x --=--+--，22131025253103252424325(25)(24)4xy x x y xy x x y x x ⨯--+=⨯--++--，即11550(25)(24)4xy x x x =----………………………………………………………11分将(3)代入(2)得，259111550(25)(24)444x x x x x -=----， 解得16x =.………………………………………………………………………………15分 故原来甲手中有9张卡片，乙手中有16张卡片.把16x =代入（3），得434y =. 于是甲原来9张卡片总和为325153xy -=，平均数为17.因此,可写出如下一种原来甲、乙手中所持的卡片：甲：13,14,15,16,17,18,19,20,21.…………………………………………………………18分。
2024年辽宁省高考数学模拟试题04(解析版)
2024年高考数学模拟试题04（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的75%分位数是（）A ．12B ．16C ．17D ．18.5【答案】C【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.【详解】依题意这10个数据从小到大排列为：6，8，9，10，11，13，15，17，20，21，又1075%7.5⨯=，所以75%分位数为从小到大排列的第八个数，即为17.故选：C 2．若复数()412i 34iz +=+，则z =（）AB C ．5D ．253．2022年北京冬奥会期间，主办方需从3名高三学生、2名高二学生、1名高一学生中随机抽取两名学生参加接待外宾活动．若抽取的两名学生中必须有一名高三学生，则另一名是高二或高一学生的概率为（）A ．34B ．14C ．25D ．354．已知双曲线()22:10,0x y E a ba b-=>>的左、右焦点分别为12,,F FP 为E 上一点，且124PF PF b +≥，则E的离心率的取值范围为（）A ．B ．2⎤⎦C ．(D ．⎛ ⎝⎦5．已知数列{}n a 满足110a =，2110n n a a +=，若10110s t a a a ⋅=，则s t +的最大值为（）A ．10B ．12C ．16D ．186．已知函数()23log f x x =，正数,a b 满足()()310f a f b +-=，则ab+的最小值为（）A ．6B ．8C ．12D ．247．已知三棱锥,A BCD AB BC E-==为BC中点，A BC D--为直二面角，且AED∠为二面角A BC D--的平面角，三棱锥A BCD-的外接球O表面积为84π5，则平面BCD被球O截得的截面面积及直线AD与平面BCD所成角的正切值分别为（）A．4π5B．4π,55C．16π,55D．16π,55过F 作平面BCD 的垂线，过两垂线的交点即为三棱锥A 则四边形OHEF 是矩形，OF 连接,OB BF ，设BCD △外接圆半径设球O 半径为OB R =，因为球8．某地计划对如图所示的半径为a 的直角扇形区域ABC 按以下方案进行扩建改造，在扇形ABC 内取一点P使得BP =，以BP 为半径作扇形PBE ，且满足22PBE PBC θ∠=∠=，其中0π02θθ<≤<，0cos θ=则图中阴影部分的面积取最小值时θ的大小为（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之4、创新与综合题
高考数学精品复习资料2019.5专题之4、创新与综合题一、选择题。
1．(复旦大学)设正整数n可以等于4个不同的正整数的倒数之和,则这样的n的个数是A.1B.2C.3D.42．(同济大学等九校联考)设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为错误！未找到引用源。
的旋转,τ表示坐标平面关于y轴的镜面反射,用τσ表示变换的复合,先做τ,再做σ,用σk 表示连续做k次σ的变换,则στσ2τσ3τσ4是A.σ4B.σ5C.σ2τD.τσ2二、解答题。
3．(南京大学)求所有满足tan A+tan B+tan C≤[tan A]+[tan B]+[tan C]的非直角三角形.4．(浙江大学)如图,一条公路两边有六个村庄,要建一个车站,要求到六个村庄的距离之和最小,应该建在哪里最合适?如果再在边上增加一个村庄呢?5．(清华大学)A、B两人玩一个游戏,A选择n枚硬币,B根据自己的策略将这些硬币全部摆放在位点上,之后A选取一个至少有2枚硬币的位点,取走一枚硬币,再将另一枚硬币移动到相邻位点,A若在有限步内根据规则在指定点P处放上一个硬币则获胜.问在一条有5个位点的线段和7个位点的圆环上,A分别至少选择多少枚硬币时,无论点P的位置如何均可保证获胜?6．(清华大学)有64匹马,每匹马的速度保持不变且各不相同,现通过比赛来完成排名,若每场比赛最多只能有8匹马参赛,问理想状态下能否在50场比赛内完成排名?7．(清华大学)有100个集装箱,每个集装箱装有两件货物.在取出来的过程中货物的顺序被打乱了,现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中.集装箱的体积都是1,且每个集装箱最多放两件货物,若装了一件货物后装不下第二件货物,那么就将这个集装箱密封,把第二件货物装到下一个集装箱中.问在最坏情况下需要多少个集装箱?8．(清华大学)请写出一个整系数多项式f(x),使得错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
是其一根.9．(清华大学)将长为n的棒锯开,要求锯成的每段长都是整数,且任意时刻,锯成的所有棒中最长的一根严格小于最短的一根的2倍,如6只能锯一次,6=3+3,而7能锯2次,7=4+3,4又能锯为2+2,问长为30的棒最多能锯成几段?若a,b,c中没有1,则a≥2,b≥2,c≥2,a+b+c=abc化为错误！未找到引用源。
清华大学2019年自主招生数学试题(含详细解析)
1清华大学自主招生数学试题2019.061.一个四面体棱长分别为6，6，6，6，6，9，求外接球的半径.2.求值：1221(1sin )x x dx --⎰.3.已知P 为单位圆上一动点，(0,2)A ，(0,1)B -，求2||||AP BP ⨯的最大值.4.AB 为圆O 的直径，CO AB ⊥，M 为AC 中点，CH MB ⊥，则下列选项正确的是（）A.2AM OH =B.2AH OH =C.△BOH ∽△BMAD.忘记5.{1,2,3,,15}A =⋅⋅⋅，{1,2,3,4,5}B =，f 是A 到B 的映射，若满足()()f x f y =，则称有序对(,)x y 为“好对”，求“好对”的个数最小值.6.若对c ∀∈R ，,a b ∃，使得()()()f a f b f c a b -=-成立，则称函数()f x 满足性质T ，下列函数不满足性质T 的是（）A.32()33f x x x x =-+ B.21()1f x x =+ C.1()x f x e += D.()sin(21)f x x =+7.已知||||1a b == ，12a b ⋅= ，()()0c a c b --= ，若||1d c -= ，求||d 的最大值.8.椭圆22162x y +=，过(2,0)F 的直线交椭圆于A 、B 两点，点C 在直线3x =上，若△ABC 为正三角形，求△ABC 的面积.9.圆224x y +=上一点00(,)x y 处的切线交抛物线28y x =于A 、B 两点，且满足90AOB ∠=︒，其中O 为坐标原点，求0x .10.设a 为44444444各位数字和，b 是a 的各位数字之和，c 为b 的各位数字之和，求c 的值.11.实数x 、y 满足22(2)1x y +-≤的最大值和最小值.初高中数学学习资料的店。
自主招生考试数学试卷及参考答案
自主招生考试数学试卷及参考答案(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--22第2自主招生考试 数学试题卷亲爱的同学：欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点：1．全卷共三大题，满分120分，考试时间为100分钟。
2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成。
试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。
做在试题卷上无效。
3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。
4．答题过程不准使用计算器。
祝你成功!一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程a(x 2-1)－2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况2．如图，P P P 123、、是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得三个三角形P A O P A O P A O 112233、、，设它们的面积分别是S S S 123、、，则 A S S S 123<< B S S S 213<< C S S S 132<<D S S S 123==3．如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是33第5A π－1B π－2C 121-πD 221-π4．由325x y a x y a x y a m-=+⎧⎪+=⎪⎨>⎪⎪>⎩得a>－3,则m 的取值范围是A m>－3B m ≥－3C m ≤－3D m<－3 5．如图，矩形ABCG （AB <BC ）与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，APE ∠的顶点P 在线段BD 上移动，使APE ∠为直角的点P 的个数是 A 0 B 1 C 2 D 36．已知抛物线y=ax 2+2ax+4(0<a<3),A （x 1，y 1）B(x 2，y 2)是抛物线上两点，若x 1<x 2,且x 1+x 2=1－a,则A y 1< y 2B y 1= y 2C y 1> y 2D y 1与y 2的大小不能确定二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7． 二次函数y ＝ax 2+(a －b ）x —b 的图象如图所示，44那么化简222||a ab b b -+-的结果是______▲________.8． 如图所示，在正方形 ABCD 中，AO ⊥BD 、OE 、FG 、HI 都垂直于 AD ，EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ，若已知 S ΔA JI =1， 则S 正方形ABCD = ▲9．将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体,其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为 ▲ 10．用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片 ▲ 张 （2）第n 个图案中有白色纸片 ▲ 张（3）从第1个图案到第100个图案，总共有白色纸片 ▲ 张第10题 第7题第8题5511.如图所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= ▲12．阅读下列证明过程： 已知，如图四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ≠BC ，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．读后完成下列各小题．(1)证明过程是否有错误？如有，错在第几步上，答： ▲ ． (2)作DE ∥AB 的目的是： ▲ ．(3) 判断四边形ABED 为平行四边形的依据是： ▲ ． (4)判断四边形ABCD 是等腰梯形的依据是 ▲ ．(5)若题设中没有AD ≠BC ，那么四边形ABCD 一定是等腰梯形吗为什么 答 ▲ ．自主招生考试第11题第12题66数学标准答案一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7． ______－1__________ 8． 256 9． 57610．（1） 13 （2） 3n+1 （3） 15250 11. a b12．(1)没有错误 (2)为了证明AD ∥BC(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)梯形及等腰梯形的定义 (5) 不一定，因为当AD ＝BC 时，四边形ABCD 是矩形 三、解答题（本题共5小题，共60分．解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）13.（本小题10分）某公园门票每张10元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多游客，该公园除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年）。
2024年高职单独招生考试数学模拟试题及答案
2024年高职院校单独招生考试数学题库一、选择题1、若集合S={-2,0,2}，则（A）A.2∈SB.-2∉S2、若集合S={a,b,c}，则C.1∈S（A）A.a∈SB.b∉S3、若集合S={-2,0,2}，则C.d∈S（A）A.-2∈SB.2∉S4、若集合S={-2,0,2}，则C.1∈S（A）A.0∈SB.2∉SC.1∈S5、30︒=弧度（C）A.πB.3π C.π266、45︒=弧度（A）A.πB.4π C.π267、90︒=弧度（B）A.πB.3π C.π268、60︒=弧度（A）A.πB.3π C.π269、等差数列{a n}中，a1=1，a2=4，则A.7B.8C.9a3=（A）10、等差数列{a n}中，a1=2，a2=5A.7B.8C.9，则a3=（B）11、等差数列{a n}中，a1=-5，a2=-1，则A.3B.8C.9a3=（A）12、等差数列{a n}中，a1=1，a2=5A.7B.8C.9，则a3=（C）13、cosπ的值是（A）3A.1B.22 C.3 2214、sinπ的值是（C）3A.1B.22 C.3 2215、cosπ的值是（C）6A.1B.22 C.3 2216、sinπ的值是（B）4A.12B.22 C.3217、log216=（C）A.218、log39=B.3 C.4（A）A.219、log327=B.3 C.4（B）A.2B.3C.420、log381=（C）A.2B.3C.421、已知：sin α<0，tan α>0，则角α是（A ）A.第三象限角B.第二象限角C.第四象限角22、已知：sin α>0，tan α<0，则角α是（B ）A.第三象限角B.第二象限角C.第四象限角23、已知：tan α<0，cos α>0，则角α是（C ）A.第三象限角B.第二象限角C.第四象限角24、已知：tan α<0，cos α<0，则角α是（B ）A.第三象限角B.第二象限角C.第四象限角25、直线y =x -1的倾斜角为（A ）A.π B.4πC.π3626、直线y =x +8的倾斜角为（A ）A.π B.4πC.π3627、直线y =x +5的倾斜角为（A ）A.π B.4πC.π3628、直线y =-x +5的倾斜角为（A ）A.3π B.4πC.π3629、实数12与3的等比中项为（B ）A.-6B.±6C .630、实数1与16的等比中项为（B ）A.-4B.±4C .431、实数2与32的等比中项为（B ）A.-8B.±8C .832、实数4与9的等比中项为（B ）A.-6B.±6C.633、已知正方体的边长是1，则正方体的体积为（A ）A.1B.8C.2734、已知正方体的边长是2，则正方体的体积为（B）A.1B.8C.2735、已知正方体的边长是4，则正方体的体积为（A）A.64B.8C.2736、已知正方体的边长是3，则正方体的体积为（C）A.1B.8C.2737、已知角A为第一象限角，cos A=4，则sin A=5（B）A.2B.53 C.4 5538、已知角A为第二象限角，sin A=3，则cos A=5（C）A.-25B.-35C.-4539、已知角A为第一象限角，sin A=3，则cos A=5（C）A.2B.53 C.4 5540、已知角A为第一象限角，sin A=4，则cos A=5（B）A.2B.53 C.4 5541、不等式x<2的解集是（A）A.{x-2<x<2}B.{x x<-2或x>2}C.{x x<2}42、不等式x>3的解集是（B）A.{x x<-3}B.{x x<-3或x>3}C.{x x>3}43、不等式x≥3的解集是（B）3-2x⎪A.{x x ≤-3} B.{x x ≤-3或x ≥3} C.{x x ≥3}44、不等式x >4的解集是（B ）A.{x x <-4}B.{x x <-4或x >4}C.{x x >4}45、下列函数为奇函数的是（B）A.y =x4B.y =1x 3C.y =4x +546、下列函数为奇函数的是（B ）A.y =1x 4B.y =x 3C.y =4x +547、下列函数为偶函数的是（A ）A.y =3x 4B.y =7xC.y =2x +148、下列函数为偶函数的是（A ）A.y =-x2 B.y =1xC.y =2x +149、设f (x )=1，则f (1)=（B ）A.2B.1C.1250、设f (x )=8，则f ⎛1⎫=2（C ）⎝⎭A.2 B.1 C.451、设f (x )=1则f (2)=（B ）3A.2 B.1 C.1252、设f (x )=1则f (53A.2B.1C.)=（C ）133+2x53、若角α终边上一点P(-12,5)，则tanα的值为（B）A.-1213B.-512C.-51354、若角α终边上一点P(-5,-12)，则cosα的值为（C）A.-1213B.5 C.-5121355、若角α终边上一点P(12,-5)，则tanα的值为（B）A.-1213B.-512C.-51356、若角α终边上一点P(-5,-12)，则sinα的值为（A）A.-1213B.512C.-51357、若函数y=A.[-1,+∞)1-x，则其定义域为B.[1,+∞)C.(-∞,1]（C）58、若函数y=A.[-2,+∞)2-x，则其定义域为B.[2,+∞)C.(-∞,2]（C）59、若函数y=A.[-1,+∞)x+1，则其定义域为B.[1,+∞)C.(-∞,1]（A）60、若函数y=A.[-1,+∞)x-1，则其定义域为B.[1,+∞)C.(-∞,1]（B）二、填空题1、{a,b}∩{a,c}={a}2、{2,3}∩{2,4}={2}3、{x,y}∩{y,z}={y}4、{-1,2}∩{1,2}={2}3565、数列-4，1，6，的前五项和为306、数列1，4，7，的前五项和为357、数列2，5，8，的前五项和为408、数列-1，2，5，的前五项和为259、函数y =sin ⎛4x +π⎫的最小正周期是π ⎪⎝⎭10、函数y =sin ⎛2x -π⎫的最小正周期是π⎪⎝⎭11、函数y =cos ⎛x +π⎫的最小正周期是2π⎪⎝⎭12、函数y =⎛1x -π⎫的最小正周期是4πcos ⎪⎝26⎭13、若log 2x =5，则x =3214、若log 4x =3，则x =6415、若log 5x =2，则x =2516、若log 3x =4，则x =8117、已知：cot α=3，则2cot α-4=1cot α+1218、已知：cot α=1，则52-5cot α15+10cot α=719、已知：tan α=2，则tan α+1=15-tan α20、已知：tan α=2，则tan α+1=36+tan α821、在0︒~360︒之间，与760︒角的终边相同的角是40∘22、在0︒~360︒之间，与770︒角的终边相同的角是50∘223、在0︒~360︒之间，与400︒角的终边相同的角是40∘24、在0︒~360︒之间，与390︒角的终边相同的角是30∘25、若复数z =-3+5i ，则复数的虚部为526、若复数z =12+3i ，则复数的实部为1227、若复数z 1=3+6i ，z 2=-3+2i ，则z 1-z 2=28、若复数z 1=7-2i ，z 2=-3+5i ，则z 1+z 2=6+4i 4+3i 29、若圆的标准方程为(x +1)2+(y -5)2=16，则圆的面积为16π30、若圆的标准方程为x 2+y 2=3，则圆的面积为3π31、若圆的标准方程为(x +1)2+y 2=16，则圆的面积为32、若圆的标准方程为x 2+y 2=25，则圆的面积为25π16π33、数列1，2，3，4，的第n 项为n 2345n +134、数列1，1，1，1，的第n 项为11⨯235112⨯313⨯414⨯5n1n (n +1)、数列，，，，的第项为14916n 236、数列12，3，5，7468，的第n 项为2n -12n37、函数y =x 2+4x -5的图像与y 轴的交点坐标是(0,-5)38、函数y =x 2+2x +2的图像与y 轴的交点坐标是(0,2)39、函数y =x 2+4x -5的图像与x 轴的交点坐标是(-5,0),(1,0)40、函数y =x 2-2x +3的图像与y 轴的交点坐标是(0,3)三、解答题1、已知：设全集为实数集R ，A ={x -3<x ≤5}，B ={x x ≤3}，C ={x x >-1}求：A∩B，A∪B，A∩B∩C解：A∩B={x-3<x≤3}A∪B={x x≤5}A∩B∩C={x-1<x≤3}2、已知：设全集为实数集R，A={x2<x<7}，B={x x>3}，C={x x≤4}求：A∩B，A∪B，A∩B∩C解：A∩B={x3<x<7}A∪B={x x>2}A∩B∩C={x3<x≤4}3、已知：设全集为实数集R，A={x-1≤x≤5}，B={x x≥2}，C={x x<3}求：A∩B，A∪B，A∩B∩C解：A∩B={x2≤x≤5}A∪B={x x≥-1}A∩B∩C={x2≤x<3}4、已知：设全集为实数集R，A={x-1<x<7}，B={x x≥2}，C={x x≤4}求：A∩B，A∪B，A∩B∩C解：A∩B={x2≤x<7}A∪B={x x>-1}A∩B∩C={x2≤x≤4}5、已知：等差数列-2，2，6，.求：（1）公差d；（2）通项公式a n；（3）第9项a9；（4）前9项的和s9解：（1）d=4（2）a n=a1+(n-1)d=4n-6n （3）把n =9代入（2）得a 9=30（4）s =9(a 1+a 9)=9(-2+30)=1269226、已知：等比数列1，1，1，1，248求：（1）公比q ；（2）通项公式a n ；（3）第9项a 9；（4）前6项的和S 6解：（1）q =12（2）a n =()2n -1或a =1n 2n -1（3）把n =9代入（2）得a 9=1256a (1-q 6)⎛1⎫6⎪263（4）s =1=⎝⎭=61-q 1-13227、已知：等差数列-3，2，7，.求：（1）公差d ；（2）通项公式a n ；（3）第8项a 8；（4）前8项的和S 8解：（1）d =5（2）a n =a 1+(n -1)d =5n -8（3）把n =8代入（2）得a 8=32（4）s =8(a 1+a 8)=8(-3+32)=1168228、已知：等比数列1，3，9，27，求：（1）公比q ；（2）通项公式a n ；（3）第9项a 9；（4）前6项的和S 6解：（1）q =3（2）a =3n -1（3）把n =9代入（2）得a 9=38=6561a (1-q 6)（4）s 6=1=1-q1-361-3=3641-1。
高中自主招生考试数学真题-四种命题及其关系真题(配完整解析)
高中自主招生考试数学真题-四种命题及其关系真题（配完整解析）一．选择题（共8小题）1．命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是假命题，可取下面哪组值反例说明（）A．a＝1，b＝1B．a＝﹣1，b＝﹣1C．a＝1，b＝2D．a＝﹣1，b＝1 2．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若a2＝b2，则a＝b；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．下列说法中，正确的有（）个①，，，0，cos60︒五个数中，其中是无理数的有2个．②关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣10有两个实数根，那么字母m的取值范围是m＞﹣1且m≠0．③平行四边形，圆，正六边形，线段四个图形既是中心对称图形，也是轴对称图形．④“若a＝b，则|a|＝|b|”，它的逆命题是假命题．⑤相等的圆心角所对的弧相等⑥单项式的次数是3次．A．1个B．2个C．3个D．4个4．给出下列4个命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④对顶角相等，它们的逆命题是真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．下列说法正确的有（）①在，，π，﹣3.1415926，中，共有3个无理数．②若a＝b，则a2＝b2，它的逆命题是真命题．③若n边形的内角和是外角和的3倍，则它是八边形．④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．A．1个B．2个C．3个D．4个7．下列正确叙述的个数是（）①每个命题都有逆命题②真命题的逆命题是真命题③假命题的逆命题是真命题④每个定理都有逆定理⑤每个定理一定有逆命题⑥命题“若a＝b，那么a3＝b3”的逆命题是假命题．A．1B．2C．3D．48．已知命题：如果a＝b，那么|a|＝|b|．该命题的逆命题是（）A．如果a＝b，那么|a|＝|b|B．如果|a|＝|b|，那么a＝bC．如果a≠b，那么|a|≠|b|D．如果|a|≠|b|，那么a≠b二．填空题（共16小题）9．命题“若a＝b，则﹣a＝﹣b”的逆命题是．10．命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是命题．（填写“真”或“假”）11．命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为．12．命题“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是．13．对于命题“如果a＝b，那么ac＝bc．”，它的逆命题是命题．（填“真”或“假”）14．命题“如a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）15．命题：“如果a＝b，那么3a＝3b”的逆命题是，该逆命题是（填“真”或“假”）命题．16．“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）17．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题是．18．命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是命题（填“真”或“假”）．19．命题“若a2＝b2，则a＝b．”的逆命题是．20．命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是，该命题是命题（填真或假）．21．命题：“若a＝b，则a4＝b4”，该命题的逆命题是；该命题的逆命题是命题．（填“真”或“假”）22．命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是，该命题的逆命题是命题（填真或假）23．命题“如果，那么a＝b”的逆命题是：．24．命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是．高中自主招生考试数学真题-四种命题及其关系真题（配完整解析）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是假命题，可取下面哪组值反例说明（）A．a＝1，b＝1B．a＝﹣1，b＝﹣1C．a＝1，b＝2D．a＝﹣1，b＝1【解答】解：命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是假命题，可以取a＝﹣1，b＝1说明．故选：D．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若a2＝b2，则a＝b；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补是真命题；②若a2＝b2，则a＝b的逆命题是若a＝b，则a2＝b2是真命题；③锐角与钝角互为补角的逆命题是互补的角是锐角与钝角，是假命题；④相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，是真命题；故选：B．【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键．3．下列说法中，正确的有（）个①，，，0，cos60︒五个数中，其中是无理数的有2个．②关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣10有两个实数根，那么字母m的取值范围是m＞﹣1且m≠0．③平行四边形，圆，正六边形，线段四个图形既是中心对称图形，也是轴对称图形．④“若a＝b，则|a|＝|b|”，它的逆命题是假命题．⑤相等的圆心角所对的弧相等⑥单项式的次数是3次．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①正确．，，，0，cos60︒五个数中，其中，是无理数．②错误．mx2﹣2x﹣10是代数式，表示方程．③错误．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形．④正确．“若a＝b，则|a|＝|b|”，它的逆命题是假命题．⑤错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．⑥错误．单项式的次数是2次．故选：B．【点评】本题考查无理数、一元二次方程、代数式、中心对称图形、轴对称图形、圆心角与弧之间的关系、单项式的次数的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．4．给出下列4个命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④对顶角相等，它们的逆命题是真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；②若|a|＝|b|，则a＝b的逆命题是若a＝b，则|a|＝|b|，是真命题；③直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；④对顶角相等的逆命题是相等的角是对项角，是假命题；它们的逆命题是真命题的个数是2个．故选：B．【点评】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，用到的知识点是逆命题．5．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；②若|a|＝|b|，则a＝b的逆命题是若a＝b，则|a|＝|b|，是真命题；③直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；④相等的角是对项角的逆命题是对顶角是相等的角，是真命题；它们的逆命题是真命题的个数是3个．故选：B．【点评】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，用到的知识点是逆命题．6．下列说法正确的有（）①在，，π，﹣3.1415926，中，共有3个无理数．②若a＝b，则a2＝b2，它的逆命题是真命题．③若n边形的内角和是外角和的3倍，则它是八边形．④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：在，，π，﹣3.1415926，中，共有2个无理数，所以①错误；若a＝b，则a2＝b2，它的逆命题为若a2＝b2，则a＝b，此是逆命题为假命题，所以②错误；若n边形的内角和是外角和的3倍，即（n﹣2）×180°＝3×360°，解得n＝8，即它是八边形，所以③正确；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，所以④错误．故选：A．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．7．下列正确叙述的个数是（）①每个命题都有逆命题②真命题的逆命题是真命题③假命题的逆命题是真命题④每个定理都有逆定理⑤每个定理一定有逆命题⑥命题“若a＝b，那么a3＝b3”的逆命题是假命题．A．1B．2C．3D．4【解答】解：把原命题的题设与结论交换得到它的逆命题，所以①正确；真命题：若a＝b，则|a|＝|b|，其逆命题为：若|a|＝|b|，则a＝b，它是假命题，所以②错误；假命题：若am＞bm，则a＞b，其逆命题：若a＞b，则am＞bm，它是假命题，所以③错误；真命题的逆命题不一定是真命题，所以④错误；每个定理一定有逆命题，所以⑤正确；命题“若a＝b，那么a3＝b3”的逆命题为“若a3＝b3，则a＝b”，它是真命题，所以⑥错误．故选：B．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理论证的真命题叫定理；两个命题的题设与结论互换的命题互为逆命题．8．已知命题：如果a＝b，那么|a|＝|b|．该命题的逆命题是（）A．如果a＝b，那么|a|＝|b|B．如果|a|＝|b|，那么a＝bC．如果a≠b，那么|a|≠|b|D．如果|a|≠|b|，那么a≠b【解答】解：已知本题中命题的题设是a＝b，结论是|a|＝|b|，所以它的逆命题中的题设是|a|＝|b|，结论是a＝b，所以本题中的逆命题是如果|a|＝|b|，那么a＝b．故选：B．【点评】本题考查了互逆命题的知识．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．二．填空题（共16小题）9．命题“若a＝b，则﹣a＝﹣b”的逆命题是若﹣a＝﹣b，则a＝b．【解答】解：命题“若a＝b，则﹣a＝﹣b”的逆命题是若﹣a＝﹣b，则a＝b，故答案为：若﹣a＝﹣b，则a＝b【点评】此题考查命题问题，关键是根据命题的题设和结论进行颠倒得出逆命题即可解答．10．命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是真命题．（填写“真”或“假”）【解答】解：“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是“如果a＝b，那么a2＝b2．”“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是真命题，故答案为：真．【点评】本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．11．命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为同旁内角互补，两直线平行．【解答】解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，故其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”．故应填：同旁内角互补，两直线平行．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．12．命题“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是若a2＝b2，则a＝b．【解答】解：命题“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是若a2＝b2，则a＝b．【点评】写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换．在写逆命题时要用词准确，语句通顺．13．对于命题“如果a＝b，那么ac＝bc．”，它的逆命题是假命题．（填“真”或“假”）【解答】解：命题“如果a＝b，那么ac＝bc．”，它的逆命题是“如果ac＝bc，那么a＝b．”，是假命题，故答案为：假．【点评】本题考查的是命题的概念、命题的真假判断，掌握逆命题的概念是解题的关键．14．命题“如a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是假命题．（填“真”或“假”）【解答】解：命题“如a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是如果|a|＝|b|，那么a＝b，是假命题，【点评】本题考查的是命题的逆命题、以及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．15．命题：“如果a＝b，那么3a＝3b”的逆命题是如果3a＝3b，那么a＝b，该逆命题是真（填“真”或“假”）命题．【解答】解：根据题意得：命题“如果a＝b，那么3a＝3b”的条件是如果a＝b，结论是3a＝3b，故逆命题是如果3a＝3b，那么a＝b，该命题是真命题．故答案为：如果3a＝3b，那么a＝b，真．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．也考查了命题的真假判断．16．“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是假命题．（填“真”或“假”）【解答】解：若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是若a2＝b2，则a＝b．此逆命题为假命题．故答案为假．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．17．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题是若|a|＝|b|，则a＝b．【解答】解：命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题是：“若|a|＝|b|，则a＝b”．故答案为若|a|＝|b|，则a＝b【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．18．命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是真命题（填“真”或“假”）．【解答】解：“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是“如果a＝b，那么a2＝b2．”“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是真命题，【点评】本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．19．命题“若a2＝b2，则a＝b．”的逆命题是若a＝b，则a2＝b2．【解答】解：命题“若a2＝b2，则a＝b”的条件是a2＝b2，结论是a＝b，故逆命题是：若a＝b，则a2＝b2．故答案为如果a＝b，那么a2＝b2．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．20．命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，该命题是假命题（填真或假）．【解答】解：根据题意得：命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的条件是如果a＝b，结论是a2＝b2”，故逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，该命题是假命题．故答案为：如果a2＝b2，那么a＝b；假．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．21．命题：“若a＝b，则a4＝b4”，该命题的逆命题是若a4＝b4，则a＝b；该命题的逆命题是假命题．（填“真”或“假”）【解答】解：“若a＝b，则a4＝b4”的条件是：a＝b，结论是：a4＝b4，∴逆命题是：若a4＝b4，则a＝b，若a4＝b4，则a＝±b，故为假命题，故答案为若a4＝b4，则a＝b，假．【点评】本题考查了互逆命题的知识以及真假命题的判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，难度适中．22．命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是如果a＝b，那么a2＝b2，该命题的逆命题是真命题（填真或假）【解答】解：命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的条件是如果a2＝b2，结论是a＝b，故逆命题是：如果a＝b，那么a2＝b2，为真命题．故答案为如果a＝b，那么a2＝b2，真．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．23．命题“如果，那么a＝b”的逆命题是：如果a＝b，那么．【解答】解：命题“如果a＝b”的逆命题是：如果a＝b，那么故答案为：如果a＝b，那么【点评】本题考查了逆命题的概念．关键是明确交换原命题的题设和结论，得到逆命题．24．命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b．【解答】解：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是：如果a2＝b2，那么a＝b．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．考点卡片1．四种命题及其关系四种命题及其关系．1、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．2、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的否命题．3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题．2．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）3．有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在a n中，a叫做底数，n叫做指数．a n读作a的n次方．（将a n看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．。
2024届襄阳四中押题卷数学答案
2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（四）数学参考答案一、单选题：1、C2、B3、D4、D5、B6、A7、A 8、B 6、【答案】A【解析】因为，，所以，，又因为，，构成等比数列，所以，所以，解得或显然数列的公比，，，，所以不合题意，舍去，故．7、【答案】A 【分析】利用中位线定理，结合截直线1PF 3b 求出2PF b =，再结合椭圆定义和勾股定理得到,,a b c 的关系，从而得解.【解析】如图，取弦AB 的中点D ，连接OD ，则OD AB ⊥，即1PF OD ⊥，因为12PF PF ⊥，所以2//OD PF ，因为O 为12F F 的中点，所以D 是1PF 的中点，所以22OD PF =，因为12PF PF ⊥，所以OD 垂直平分弦AB ，因为r b =，32BC b =，所以223122OD b b b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以2PF b =，由椭圆定义可得12122,2PF PF a F F c +==，所以()22222224a b b c a b c ⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩，解得35,22a b c ==53 A.8、【答案】B【解析】记至少有两个球颜色相同的事件为A ，两球颜色不同的事件为B ，因此212244348C C C 2643427()C 7035P A +⋅+⨯⨯===，1224348C C 243424()C 7035P AB ⋅⨯⨯===，所以有两个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为()8(|)()9P AB P B A P A ==．二、多选题：9、BD10、CD11、ACD11、【答案】ACD【解析】设直线AB 与直线12,l l 分别交于G 、H ，由题可知2GA AF ==，3FB BH ==，所以10GH MN ==，5AB =，故A 正确；如图以A 为原点建立平面直角坐标系，则()2,0F ，1:2l x =-，所以抛物线1Γ的方程为28y x =，连接PF ，由抛物线的定义可知PF MP =，PF NP =，又10MN =，所以5MP =，所以3P x =，代入28y x =，可得26P y =46MT NS ==，又10MN =，故四边形MNST 的面积为406B错误；连接QF，因为QF QT QS==，所以QFT QTF∠=∠，QFS QSF∠=∠，所以π22QTF QFT QFS QSFTFS QFT QFS∠+∠+∠+∠∠=∠+∠==，故0FS FT⋅=，故C正确；根据抛物线的对称性不妨设点D在封闭曲线APBQ的上部分，设,C D在直线12,l l上的射影分别为11,C D，当点D在抛物线BP，点C在抛物线AQ上时，11CD CC DD=+，当,C D与,A B重合时，CD最小，最小值为5CD=，当D与P重合，点C在抛物线AQ上时，因为(()3,,2,0P F，直线):2CD y x=-，与抛物线1Γ的方程为28y x=联立，可得2313120x x-+=，设()()1122,,,C x yD x y，则12133x x+=，所以122543CD x x=++=，所以255,3CD⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当点D在抛物线PA，点C在抛物线AQ上时，设:2CD x ty=+，与抛物线1Γ的方程为28y x=联立，可得28160y ty--=，设()()3344,,,C x yD x y，则348y y t+=，则()2343448888CD x x t y y t=++=++=+≥，当0=t，即CD AB⊥时取等号，故此时258,3CD⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当点D在抛物线PA，点C在抛物线QB上时，根据抛物线的对称性可知，255,3CD⎡⎤∈⎢⎣⎦；综上可得255,3CD⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D正确．三、填空题：12、3513、π37614、333+14、【解析】在ABD△中，22229AB BD AD AD=-=-，cos3AD ADADBBD∠==，在ADC△中，由余弦定理得，2222cosAC AD CD AD CD ADC=+-⋅⋅∠222cosAD CD AD CD ADB=++⋅⋅∠2123ADAD AD=++⋅2513AD=+，又因为AB AC=，所以29AD-2513AD=+，解得AD=，从而AB AC===，3sin3ADABDBD∠==.设ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得2sinACRABD===∠故2R=.所以()AB AM AB AO OM⋅=⋅+AB AO AB OM=⋅+⋅32AB OM AB OM=+⋅=+⋅，当AB与OM 同向时，AB AM⋅取得最大值为331)2AB AM ⋅==+=+ .四、解答题：15.【解析】(Ⅰ)()f x 的定义域为()0,+∞,()1f x a x'=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,+∞是单调递增；若0a >,则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>,当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<,所以()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减．(Ⅱ)由(Ⅰ)知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值．当0a >时()f x 在1x a=取得最大值,最大值为111ln 1ln 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭．令()ln 1g a a a =+-，则()g a 在()0,+∞是增函数，()10g =．于是，当01a <<时,()0g a <，当1a >时()0g a >，因此a 的取值范围是()0,1．16.【解析】（Ⅰ）()0.020.030.050.050.150.050.040.0121a ++++++++⨯= ，0.1a ∴=.（Ⅱ）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在(]12,14，(]14,16，(]16,18三组的频率之比为0.05:0.04:0.015:4:1=，10∴人中，周平均阅读时间在(]12,14的人数为510510⨯=人；在(]14,16的人数为410410⨯=人；在(]16,18的人数为110110⨯=人；则X 所有可能的取值为0,1,2,3，()36310C 2010C 1206P X ∴====；()2164310C C 6011C 1202P X ====；()1264310C C 3632C 12010P X ====；()34310C 413C 12030P X ====；X ∴的分布列为：X123P1612310130∴数学期望()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取1名学生，周平均阅读时间在(]8,12内的概率()10.150.120.52p =+⨯==；则()()202020202020C 11C 1C 222k k k k k k k P k p p --=-=⨯⨯=，若()P k 最大，则20C k最大，∴当10k =时，()P k 取得最大值.17．【解析】（Ⅰ）AB 为圆O 的直径，C 是圆O 上异于,A B 的点，故90,ACB CB AC ∠=∴⊥ ，又30,6,tanBAC AC MC MA AC BC BAC ∠∠====∴⨯==而222,MB BC MC MB BC MC=+=∴⊥.,,AC MC C AC MC=⊂平面MAC，BC∴⊥平面MAC.BC⊂平面,MBC∴平面MBC⊥平面MAC.（注：也可以由,,AB MB AC MC BC BC====，证明ABC MBC≅，得出BC MC⊥）（Ⅱ）设D为AC的中点，连接,DM DO，则MD AC⊥，OD AC⊥由（1）可知，BC⊥平面MAC；所以BC DM⊥,,AC BC C AC BC=⊂平面ABC，DM∴⊥平面ABC，如图以D为原点，分别以,,DA DO DM所在直线为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，由题意可得()()()(3,0,0,3,0,0,,A CB M--OO'⊥平面,ABC DM OO∴'∥，四边形ODMO'为矩形，(0,N∴设平面MBC的一个法向量为()1111,,n x y z=，(()3,0,,0,MC BC=--=-由1111103000n MC xn BC⎧⎧⋅=--=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩，令11z=-，可得11x y==，即)11n=-，设平面NAB的一个法向量为()2222,,n x y z=，()(,AB AN=-=-由22n ABn AN⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得222226030xx⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩，令2x=，可得223,1y z==-，即)21n=-.设平面MAC与平面NAB的夹角为θ则1212cos13n nn nθ⋅==∴平面MAC和平面NAB18.【分析】（Ⅰ）由题意结合双曲线的性质，即可求得答案；（Ⅱ）方法一：设()1,0A-，()11,M x y，()22,N x y，设MN：y kx m=+，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，进而求出,P Q两点的纵坐标，结合2p Qy y+=，即可求得参数,m k之间的关系，代入y kx m=+，即可求得答案；方法二：设()1,0A-，()1,1P r+，()1,1Q r-，()11,M x y，()22,N x y，利用AP，AQ的方程求出1y，1x，22,x y的表达式，即可得,M N的坐标，从而求出MN的方程，可推出过定点，即可求得答案；方法三：设()1,0A-，()1,1P r+，()1,1Q r-，()11,M x y，()22,N x y，可得1AP AQk k+=，设MN：()11m x ny++=，联立双曲线方程化简得出()()()22121210m x n x y y-+-+-=，变形后利用根与系数的关系可得出12122111AP AQy y k k nx x+=+=-=++，求出n，即可推出MN过定点，即可求得答案..【解析】（Ⅰ）（ⅰ）由题意可知双曲线12y x =的实轴在y x =上，联立12y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即双曲线12y x =的两顶点为2222(,),(,)2222--，故实轴长为222222222222a ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（ⅱ）将曲线0C 绕原点顺时针转π4，得到曲线C ，曲线C 的方程为221x y -=；（Ⅱ）方法一：设()1,0A -，()11,M x y ，()22,N x y ，显然直线MN 的斜率存在，设MN ：y kx m =+，联立C ：221x y -=得()()2221210kxkmx m ---+=，所以()22Δ410m k =+->，12221km x x k +=-，()212211m x x k +=--①，因为MA ：()1111y y x x =++，令1x =，则1121P y y x =+，同理，2221Q yy x =+，②依题意得2p Q y y +=，③由①②③得，22222k m m kmk -+=-+-，所以()()20mk m k --+=，即m k =或2m k =-，若m k =，则MN ：()1y k x =+过点A ，不合题意；若2m k =-，则MN ：()12y k x =+-．所以，MN 恒过()1,2G --，所以，max 2d AG ==．当且仅当MN AG ⊥，即0k =时取得，此时MN 方程为2y =-，结合221x y -=，解得)5,2N-，)51Q y =-，15Q r y =-=，综上所述，点A 到直线MN 距离的最大值为2，此时圆E 5方法二：设()1,0A -，()1,1P r +，()1,1Q r -，()11,M x y ，()22,N x y ，则AP：211x yr=-+，AQ：211x yr=--，联立2210x y--=，得()22441011y yrr⎡⎤--=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，Ay=为此方程的一根，另外一根为1y，则()()124141ryr+=-+，代入AP方程得，()114821-+-=rx，同理可得()()224141ryr-=--，()228141xr=---，即()()()224181,4141rMr r⎛⎫+⎪-⎪-+-+⎝⎭，()()()224181,4141rNr r⎛⎫-⎪-⎪----⎝⎭，则2212154MNy y rkx x--==-，所以直线MN的方程为()()222584(1)144141r ry xr r⎡⎤-+=-++⎢⎥-+-+⎢⎥⎣⎦()25124r x-=+-，所以直线MN过定点()1,2G--,所以max2d AG==．当且仅当MN AG⊥，即2504MNrk-==时取得，解得r=,综上所述，点A到直线MN距离的最大值为2，此时圆E方法三：设()1,0A-，()1,1P r+，()1,1Q r-，()11,M x y，()22,N x y，则11122AP AQr rk k+-+=+=，依题意，直线MN不过点A，可设MN：()11m x ny++=，曲线C的方程221x y-=改写为()22111x y⎡⎤+--=⎣⎦，即()()221210x x y+-+-=，联立直线MN的方程得()()()2212110x x m x ny y⎡⎤+-+++-=⎣⎦，所以()()()22121210m x n x y y-+-+-=，若=1x-，则0y=，代入直线MN方程，无解；故1x≠-，两边同时除以()21x+得2221011y yn mx x⎛⎫+⋅+-=⎪++⎝⎭，则24840n m∆=-+>，12122111AP AQy y k k nx x+=+=-=++得12n=-，在直线MN：()1112m x y+-=中，令=1x-，则=2y-，所以，MN恒过()1,2G--，所以，max2d AG==，当且仅当MN AG⊥，即0,0MNk m=∴=时取得，此时1040∆=-+>，符合题意，且MN方程为2y=-，解得)2N-，)1Qy=--，1Qr y=-=综上所述，点A到直线MN距离的最大值为2，此时圆E【点睛】难点点睛：本题考查双曲线方程的求解以及直线和双曲线位置关系的应用，其中的难点是求解最值问题，解答时要注意利用直线方程和双曲线方程的联立，利用根与系数的关系式进行化简，难点就在于化简的过程十分复杂，计算量大，并且基本上都是有关字母参数的运算，需要有较强的计算能力.19.解：（Ⅰ）①4A ：3，1，7，5，任意两项和的结果有4，6，8，10，12共5个，而45a =，所以具有性质P .②5A ：2，4，8，16，32，任意两项和的结果有6，10，12，18，20，24，34，36，40，48共10个，而532a =，所以不具有性质P .………………4分（Ⅱ）对于数列6A ：2，4，8，16，32，m ，任意两项和不同的取值最多有15个，所以15m ≤.而5A ：2，4，8，16，32中任意两项和的结果有10个，且全是偶数.（i ）当m 为奇数时，()15i a m i +≤≤都是奇数，与前5项中任意两项和的值均不相同，则6A ：2，4，8，16，32，m 中所有()16i j a a i j +≤<≤的值共有15个，所以15m =.………………7分（ii ）当m 为偶数时，()15i a m i +≤≤都是偶数，所以1015m ≤<.所以{}10,12,14m ∈.10m =时，103242+=在前5项中任两项和的结果中未出现，所以6A ：2，4，8，16，32，m 中任意两项和的不同值的个数大于10，即10m >，矛盾.12m =时，123244+=，121628+=，12214+=这三个结果在前5项中任意两项和的结果中未出现，所以6A ：2，4，8，16，32，m 中任意两项和的不同值的个数大于12，即12m >，矛盾.14m =时，6A ：2，4，8，16，32，m 中任意两项和的不同值有6，10，12，16，18，20，22，24，30，34，36，40，46，48共14个，成立.综上，14m =或15m =.………………10分（Ⅲ）2024a 存在最小值，且最小值为4045.将2024A 的项从小到大排列构成新数列2024B ：122024,,,b b b ⋅⋅⋅，所以1213120242202420232024b b b b b b b b b b +<+<⋅⋅⋅<+<+<⋅⋅⋅<+.所以()12024i j b b i j +≤<≤的值至少有202320224045+=个.即()12024i j a a i j +≤<≤的值至少有4045个，即20244045a ≥.………………13分数列2024A ：1，3，5，…，4043，4047，4045符合条件.2024A ：1，3，5，…，4043，4047，4045可重排成等差数列2024B ：1，3，5，…，4045，4047，考虑()12024i j b b i j +≤<≤，根据等差数列的性质，当2024i j +≤时，11i j i j b b b b +-+=+；当2024i j +>时，i j i j n n b b b b +-+=+，因此每个()12024i j b b i j +≤<≤等于()122024k b b k +≤≤中的一个，或者等于()202412023l b b l +≤≤中的一个.所以2024B ：1，3，5，…，4045，4047中()12024i j b b i j +≤<≤共有4045个不同值.即2024A ：1，3，5，…，4043，4047，4045中()12024i j a a i j +≤<≤共有4045个不同值.综上，2024a 的最小值是4045，一个满足条件的数列2024A ：1，3，5，…，4043，4047，4045.………17分【点睛】方法点睛：对于数列的新定义，可根据数列n A 具有性质P ，根据其定义()1i j a a i j n +≤<≤中所有不同值的个数作为解题的思路进行分类讨论，从而即可求解.。
2023年江苏省南京大学自主招生综合评价数学试题及答案解析
2023年江苏省南京大学自主招生综合评价数学试题及答案解析6月10日考试时长：2小时1.从n ，2,1中随机抽取一个数X ，再从X ，2,1中随机抽取一个数Y ，求Y 的数学期望.2.在ABC ∆中，7=AB ，9=BC ，8=CA ，内切圆圆I 与AB CA BC ,,分别切于F E D ,,，过D 作EF DP ⊥于P ，求PI .3.求不定方程2023!3=-y x 的全部正整数解.4.已知素数p ，正整数b a ,，满足p b a <<<1的a 进制展开式为∑==1k i iiaa p ，p 的b 进制展开式为∑==2k i iibb p ，记()∑==1k i iixa x f ，()∑==2k i iixb x g ，证明：存在正整数bc >，使得()/|()g c f c .5.已知正整数n ，n n p 232+=，12+=n m ，证明：()1!11-∏-=km k qm .答案解析1.解析：利用条件期望公式，()()[]43412121n n X E XY E E Y E +=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==.2.解析：由熟知几何结论知：CEP BFP ∆∆∽，∴54==CE BF PE PF ∵72872987cos 222=⨯⨯-+=A ，∴710372923322=⨯⨯-+=EF .由海伦公式5122798289729872987=-+⨯-+⨯-+⨯++=∆ABC S .∴在EFI ∆中用斯特瓦尔特定理知：63115792059594522=⨯-=⋅⨯-=⋅-=EF PF PE r PI .4.解析：∵()()()a g b g p a f >==，故()()x g x f -的最高项系数为正.故在c 充分大时()()c g c f >.如果对任意b c >，使得()c g 整除()c f ，在有理数意义下做带余除法，()()()()x r x g x q x f +=这里()x q ，()x r 都是有理系数多项式，()()x g x r deg deg <，通分后设()()()()x tr x g x tq x tf +=，这里+∈N t ，()x tq ，()x tr 都是整系数多项式.∵对任意b c >，使得()c g 整除()c f .于是()c g 整除()c tr ，但()()x g x r deg deg <，故在c 充分大时，()()c tr x g >，因此()x r 是零多项式，即()()x f x g .∴()()p a f a g =，但是()x g 不是常数，否则p b =0矛盾.∴()()p b g a g =<<0，故()1=a g ，∴()1=x g ，这与()1>=p b g 矛盾.于是存在b c >，使得()c g 不能整除()c f .注：∵()()()a g b g p a f >==，故()()x g x f -的最高项系数为正，故在c 充分大时，()()c g c f >，故()c f 不能整除()c g .5.解析：先证：q 与!m 互质对任意素数m p ≤，若q p ，即()p nnmod 3222-≡，∴5≥p ，∴()()p nmod 13221-≡⋅-，∴()()p nmod 13221≡⋅-∴132-⋅模p 的阶为12+n ，从而121-+p n （∵()p p mod 121≡-）但121+≤≤-n m p 矛盾，故q 与!m 互质.再证对任意正整数x ，只要x 与!m 互质就有()1!11-∏-=km k xm ……（*）事实上，对任意素数m p ≤，!m 中p 幂次为∑+∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1#i i p m ，即为[]∑+∞=12,1#i j p m 的倍数中，， 故需证（*），只需证明对任意素数，*,N j m p ∈∀≤且m p j≤.有[]的倍数中，，jp m 2,1#[]的倍数中jm p x x x 1,,1,1#21---≤ 上式左边⎥⎦⎤⎢⎣⎡=j p m ，而对右边由欧拉定理()()jp p x j mod 1≡ϕ故右边()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≥--11111j j j p m p p m p m ϕ（∵p mp m ≥--11）故（*）成立，原命题获证.。
四校自招数学复附卷解析.pdf
7. 设点 P 速度为 6 ， Q 的速度为 3 ， R 的速度为 2 ，边长 AB 6
则 SAPR
3 AP·AR 4
3 6t (6 2t) 4
SBPQ
3 BP·BQ 4
3 3t (6 6t) 4
SCQR
3 CQ·CR 4
3 2t (6 3t) 4
⑵ y 1 (x 1)(x 4) ，故 B(0, 2) , C(1,0) , D(4,0) 2
⑶作点 B 关于 x 轴的对称点 E(0, 2)
2015 年初升高·自招真题解析·数理化
3
则 kAE
14
(2) 8
2
,
kCE
0 (2) 1
2
∴ A, E,C 三点共线
又 PA PB PA PE
x
3 2
x 2
当 x 2 时， 4x 9 12 1
x
2
∴要使上述方程有且仅有一个实根，则 a 0 且 a 1 2
【高中知识点】等价转化思想，参变分离思想，分类讨论思想，对勾函数的图像与性质
10.
⑴设 y a(x 5)2 9 ，将 (8,14) 代入，得 a 1
28
2
∴ y 1 x2 5 x 2 22
四校自招-数学·复附卷
1. 2x 6 y 1 (x 4) y2 (x z)2 2
x 4 , 则 2x 6 2 ∴ x 4， y 1 0， x z 故 x z 4 ， y 1 x y z 1
2. n 1001 1 998 ,
n3
n3
998 2 499 , n 3 4 , 故 n 3 499 或 998 ，共 2 个
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全国高校自主招生数学模拟试卷一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1．已知△ABC ，若对任意t ∈R ，||→BA －t →BC ≥||→AC ，则△ABC 一定为A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．答案不确定2．设log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，则x 的取值范围为A ．12＜x ＜1B ．x ＞12且x ≠1 C ． x ＞1 D ． 0＜x ＜13．已知集合A ＝{x |5x －a ≤0}，B ＝{x |6x －b ＞0}，a ，b ∈N ，且A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则整数对(a ，b )的个数为A ．20B ．25C ．30D ．42 4．在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1．已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为A ．[15，1)B ．[15，2)C ．[1，2)D ．[15，2)5．设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的 A . 充分必要条件 B . 充分而不必要条件C . 必要而不充分条件D . 既不充分也不必要条件 6．数码a 1，a 2，a 3，…，a 2006中有奇数个9的2007位十进制数－2a 1a 2…a 2006的个数为A ．12(102006＋82006)B ．12(102006－82006) C ．102006＋82006 D ．102006－82006二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7. 设f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ，则f (x )的值域是 ．8. 若对一切θ∈R ，复数z ＝(a ＋cos θ)＋(2a －sin θ)i 的模不超过2，则实数a 的取值范围为 ．9．已知椭圆x 216＋y 24＝1的左右焦点分别为F 1与F 2，点P 在直线l ：x －3y ＋8＋23＝0上. 当∠F 1PF 2取最大值时，比|PF 1||PF 2|的值为 ．10．底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3．11．方程(x 2006＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2004)＝2006x 2005的实数解的个数为 ．12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 ．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13. 给定整数n ≥2，设M 0(x 0，y 0)是抛物线y 2＝nx －1与直线y ＝x 的一个交点. 试证明对任意正整数m ，必存在整数k ≥2，使(x 0m ，y 0m )为抛物线y 2＝kx －1与直线y ＝x 的一个交点．14．将2006表示成5个正整数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5之和．记S ＝1≤i ＜j ≤5Σx i x j ．问：⑴ 当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5取何值时，S 取到最大值；⑵ 进一步地，对任意1≤i ，j ≤5有||x i －x j ≤2，当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5取何值时，S 取到最小值. 说明理由．15．设 f (x )＝x 2＋a . 记f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f (f n －1(x ))，n ＝1，2，3，…，M ＝{a ∈R |对所有正整数n ，||f n (0)≤2}．证明，M ＝[－2，14]．全国高校自主招生数学模拟试卷参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)答C ．解：令∠ABC ＝α，过A 作AD ⊥BC 于D ，由||→BA －t →BC ≥||→AC ，推出||→BA 2－2t →BA · →BC ＋t 2||→BC 2≥||→AC2,令t ＝→BA · →BC||→BC2，代入上式，得||→BA2－2||→BA2cos 2α＋||→BA2cos 2α≥||→AC2，即 ||→BA2sin 2α≥||→AC2,也即||→BA sin α≥||→AC ．从而有||→AD ≥||→AC ．由此可得∠ACB ＝π2．答B ．解：因为⎩⎨⎧x ＞0，x ≠12x 2＋x －1＞0，解得x ＞12且x ≠1．由log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，⇒ log x (2x 3＋x 2－x )＞log x 2⇒ ⎩⎨⎧0＜x ＜1，2x 3＋x 2－x ＜2或⎩⎨⎧x ＞1，2x 3＋x 2－x ＞2．解得0＜x ＜1或x ＞1．所以x 的取值范围为x ＞12且x ≠1． 答C ．解：5x －a ≤0⇒x ≤a 5；6x －b ＞0⇒x ＞b6．要使A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则⎩⎨⎧1≤b6＜2，4≤a 5＜5，即⎩⎨⎧6≤b ＜12，20≤a ＜25．所以数对(a ，b )共有C 61C 51＝30个． 答A ．解：建立直角坐标系，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，则F (t 1，0，0)(0＜t 1＜1)，E (0，1，12)，G (12，0，1)，D (0，t 2，0)(0＜t 2＜1)．所以→EF ＝(t 1，－1，－12)，→GD ＝(－12，t 2，－1)．因为GD ⊥EF ，所以t 1＋2t 2＝1，由此推出0＜t 2＜12．又→DF ＝(t 1，－t 2，0)，||→DF ＝t 12＋t 22＝5t 22－4t 2＋1＝5(t 2－25)2＋15，从而有15≤||→DF ＜1．答A ．解：显然f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a ＋b ≥0，则a ≥－b ，有f (a )≥f (－b )，即f (a )≥－f (b )，从而有f (a )＋f (b )≥0． 反之，若f (a )＋f (b )≥0，则f (a )≥－f (b )＝f (－b ),推出a ≥－b ，即a ＋b ≥0． 答B ．解：出现奇数个9的十进制数个数有A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059．又由于(9＋1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k 92006－k以及(9－1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k(－1)k 92006－k 从而得A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059＝12(102006－82006)． 填[0，98]．解：f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ＝1－12sin2x －12 sin 22x ．令t ＝sin2x ，则f (x )＝g (t )＝1－12t －12t 2＝98－12(t ＋12)2．因此－1≤t ≤1min g (t )＝g (1)＝0，－1≤t ≤1max g (t )＝g (－12)＝98．故，f (x )∈[0，98]．填[－55，55]．解：依题意，得|z |≤2⇔(a ＋cos θ)2＋(2a －sin θ)2≤4⇔2a (cos θ－2sin θ)≤3－5a 2．⇔－25a sin(θ－φ)≤3－5a 2(φ＝arcsin 55)对任意实数θ成立． ⇔25|a |≤3－5a 2⇒|a |≤55，故 a 的取值范围为[－55，55]．填3－1．.解：由平面几何知，要使∠F 1PF 2最大，则过F 1，F 2，P 三点的圆必定和直线l 相切于点P ．直线l 交x 轴于A (－8－23，0)，则∠APF 1＝∠AF 2P ，即∆APF 1∽∆AF 2P ，即|PF 1||PF 2|＝|AP ||AF 2| ⑴又由圆幂定理，|AP |2＝|AF 1|·|AF 2|⑵而F 1(－23，0)，F 2(23，0)，A (－8－23，0)，从而有|AF 1|＝8，|AF 2|＝8＋43．代入⑴，⑵得，|PF 1||PF 2|＝|AF 1||AF 2|＝88＋43＝4－23＝3－1．填(13＋22)π．解：设四个实心铁球的球心为O 1，O 2，O 3，O 4，其中O 1，O 2为下层两球的球心，A ，B ，C ，D 分别为四个球心在底面的射影．则ABCD 是一个边长为22的正方形。
所以注水高为1＋22．故应注水π(1＋22)－4×43π(12)3＝(13＋22)π．填1．解：(x 2006＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2004)＝2006x 2005⇔(x ＋1x 2005)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2004)＝2006 ⇔x ＋x 3＋x 5＋…＋x 2005＋1x 2005＋1x 2003＋1x 2001＋…＋1x ＝2006，故x ＞0，否则左边＜0． ⇔2006＝x ＋1x ＋x 3＋1x 3＋…＋x 2005＋1x 2005≥2×1003＝2006． 等号当且仅当x ＝1时成立．所以x ＝1是原方程的全部解．因此原方程的实数解个数为1． 填0.0434．解：第4次恰好取完所有红球的概率为210×(910)2×110＋810×210×910×110＋(810)2×210×110＝0.0434．证明：因为y 2＝nx －1与y ＝x 的交点为x 0＝y 0＝n ±n 2－42．显然有x 0＋1x 0=n ≥2．…(5分)若(x 0m ，y 0m )为抛物线y 2＝kx －1与直线y ＝x 的一个交点，则k ＝x 0m ＋1x 0m ．………(10分)记k m ＝x 0m ＋1x 0m ，由于k 1＝n 是整数，k 2＝x 02＋1x 02＝(x 0＋1x)2－2＝n 2－2也是整数， 且 k m ＋1＝k m (x 0＋1x 0)－k m －1＝nk m －k m －1，(m ≥2)(13.1)所以根据数学归纳法，通过(13.1)式可证明对于一切正整数m ，k m ＝x 0m ＋1x 0m 是正整数，且k m ≥2现在对于任意正整数m ，取k ＝x 0m ＋1xm ，满足k ≥2，且使得y 2＝kx －1与y ＝x 的交点为(x 0m ，y 0m )．……(20分)解：(1) 首先这样的S 的值是有界集，故必存在最大值与最小值。
若x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝2006，且使S ＝1≤i ＜j ≤5Σx i x j 取到最大值，则必有||x i －x j ≤1 (1≤i ，j ≤5) ………(5分) (*)事实上，假设(*)不成立，不妨假设x 1－x 2≥2，则令x 1'＝x 1－1，x 2'＝x 2＋1，x i '＝x i (i ＝3，4，5)．有x 1'＋x 2'＝x 1＋x 2，x 1'·x 2'＝x 1x 2＋x 1－x 2－1＞x 1x 2．将S 改写成S ＝1≤i ＜j ≤5Σx i x j ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)(x 3＋x 4＋x 5)＋x 3x 4＋x 3x 5＋x 4x 5同时有 S '＝x 1'x 2'＋(x 1'＋x 2')((x 3＋x 4＋x 5)＋x 3x 4＋x 3x 5＋x 4x 5．于是有S '－S ＝x 1'x 2'－x 1x 2＞0．这与S 在x 1，x 2，x 3，x 4，x 5时取到最大值矛盾．所以必有||x i －x j ≤1，(1≤i ，j ≤5)． 因此当x 1＝402，x 2＝x 3＝x 4＝x 5＝401时S 取到最大值． ……………………(10分)⑵ 当x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝2006，且||x i －x j ≤2时，只有（I ） 402， 402， 402， 400， 400； （II ） 402， 402， 401， 401， 400； （III ） 402， 401， 401， 401， 401；三种情形满足要求． ……………………(15分)而后两种情形是由第一组作x i '＝x i －1，x j '＝x j ＋1调整下得到的．根据上一小题的证明可知道，每次调整都使和式S ＝1≤i ＜j ≤5Σx i x j 变大．所以在x 1＝x 2＝x 3＝402，x 4＝x 5＝400时S取到最小值．………(20分)证明：⑴ 如果a ＜－2，则||f 1(0)＝|a |＞2，a ∈/M ． ………………………(5分) ⑵ 如果－2≤a ≤14，由题意，f 1(0)＝a ，f n (0)＝(f n －1(0))2＋a ，n ＝2，3，……．则 ① 当0≤a ≤14时，||f n (0)≤12，(∀n ≥1).事实上，当n ＝1时，||f 1(0)＝|a |≤12，设n ＝k －1时成立(k ≥2为某整数），则对n ＝k ，||f k (0)≤||f k －1(0)2＋a ≤(12)2＋14＝12．② 当－2≤a ＜0时，||f n (0)≤|a |，(∀n ≥1)．事实上，当n ＝1时，||f 1(0)≤|a |，设n ＝k －1时成立(k ≥2为某整数)，则对n ＝k ，有－|a |＝a ≤()f k －1(0)2＋a ≤a 2＋a注意到当－2≤a ＜0时，总有a 2≤－2a ，即a 2＋a ≤－a ＝|a |．从而有||f k (0)≤|a |．由归纳法，推出[－2，14]⊆M ．……………………(15分)⑶ 当a ＞14时，记a n ＝f n (0)，则对于任意n ≥1，a n ＞a ＞14且a n ＋1＝f n ＋1(0)＝f (f n (0))＝f (a n )＝a n 2＋a ．对于任意n ≥1，a n ＋1－a n ＝a n 2－a n ＋a ＝(a n －12)2＋a －14≥a －14．则a n ＋1－a n ≥a －14． 所以，a n ＋1－a ＝a n ＋1－a 1≥n (a －14)．当n ＞2－a a －14时，a n ＋1＞n (a －14)＋a ＞2－a ＋a ＝2，即f n ＋1(0)＞2．因此a ∈/M ．综合⑴，⑵，⑶，我们有M ＝[－2，14]． …………………………。