2019含有几个小三角形(参考教案一)语文
小学一年级数学《数一数有几个三角形》优秀教案
小学一年级数学《数一数有几个三角形》优秀教案。
一、教学目标本次数学教学的主要目标是让学生能够：1、理解三角形这个概念，并能够准确地区分出三角形、四边形、五边形等不同形状。
2、掌握简单的数学计算方法，准确地数一数一个图形中有几个三角形。
3、通过数学学习，培养学生的观察力和细心程度，以及帮助他们建立基本的逻辑思维。
二、教学重难点在本次课程的教学过程中，我们需要关注以下两个重点：1、如何教会学生正确地数一数三角形，并能够准确地用数字表达出来。
2、如何让学生在进行数学计算时，观察角度、判断颜色、统计数量等方面有充分的准备，并避免出现简单的错误。
三、教学内容1、导入在本次课程中，我们可以通过问答和实物演示等方式来引入三角形的概念。
问答环节：老师：同学们，你们知道什么是三角形吗？学生们：三角形就是有三个角的图形。
老师：那么，你们知道怎么区分三角形、四边形和五边形吗？学生们：三角形是有三个角的，四边形有四个角的，五边形有五个角的。
实物演示环节：老师：同学们，请注意看这个图形，我拿出一个指针，指着其中一个角，你们看到了吗？那么这个图形是什么？学生们：三角形。
老师：非常好，那如果有一个图形连着一条线段，线段把这个图形划分成了两个三角形，你们知道怎么数吗？学生们：一、二。
2、教学过程在正式的教学过程中，我们需要采取一些具体的教学方式，向学生传授一些实用的数学技能和观察方面的知识。
1、我们引导学生观察图形。
老师：同学们，请认真看这幅图，它由几个三角形组成？学生们：四个。
老师：非常好，那么你们可以具体说说是哪四个三角形吗？学生们：……（学生开始逐渐慢慢且不确定地用手指着发表意见）老师：在左上角的是第一个三角形，右上角的是第二个三角形，下面的是第三个三角形，最后在左下角的是第四个三角形。
你们明白了吗？学生们：明白了。
老师：那么，你们知道如何计算这四个三角形的数量吗？请你们想一想。
学生们：四个。
老师：非常好，那现在我们继续看下面这个图，该由几个三角形组成呢？2、我们可以教学一些具体的计算技巧。
人教版四年级数学下册第五单元三角形——多边形的内角和教案
多边形的内角和◎教学笔记教学内容教科书P66例7，完成P66“做一做”，P67～68“练习十六”第4、5、7*题。
教学目标1.通过测量、剪拼、观察等活动探究四边形的内角和,能运用四边形的内角和为360°这一规律解决一些实际问题。
2.会运用探索三角形的内角和的经验探索四边形的内角和并得出结论,经历观察、思考、推理、归纳的过程,培养学生的探究推理能力、发现能力、观察和动手操作能力。
3.在各种活动中体验探索的乐趣和成功的快乐,培养合作探究精神,掌握一些学习与研究的方法。
教学重点通过动手操作，探索发现四边形的内角和的度数,并应用这一规律解决问题。
教学难点探索四边形的内角和时，如何把四边形转化成三角形。
教学准备课件,量角器,四边形纸片，剪刀。
教学过程一、提问激趣，导入新课1.课件出示一组平面图形。
师：观察这些图形，它们分别是什么图形？有什么共同特点？哪里是它们的内角？【学情预设】预设1：它们分别是长方形、正方形、梯形、平行四边形。
预设2：它们都是四边形,它们都有四条直的边和四个角,其中的四个角就是它们的内角。
【设计意图】通过复习四边形的相关知识,唤醒学生已有的知识经验,为进一步探究四边形的内角和打下坚实基础。
2.联系猜想，揭示课题。
师：上节课我们学习了三角形的内角和,同学们猜想一下,这些四边形的内角和是多少度呢?【学情预设】预设1：认为这些图形不一样,内角和度数不相同。
预设2：认为四边形的内角和与形状没有关系,有的学生可能猜等于180°,有的猜测大于180°,有的猜测等于360°，等等。
师：四边形的内角和到底是多少呢？谁猜的是对的呢？今天这节课我们一起来研究它。
（板书课题：多边形的内角和）【设计意图】学生的学习应当是生动活泼的和富有个性化的过程。
不管学生猜测的结果是多少,我们都要肯定他们的大胆猜测,给予他们充分想象的空间,激发他们探究的兴趣。
二、合作交流，探索四边形的内角和1.阅读与理解。
美术一年级上册教案-第6课 找找三角形2-苏少版
美术一年级上册教案-第6课找找三角形2-苏少版一、教学目标1.学生能够准确地认识三角形的概念。
2.学生可以用手指、笔、图钉等工具锐化所需要的三角形。
3.学生能够掌握三角形的四种分类方法，深入理解三角形的分类原理。
二、教学重难点1.教学重点：学生能够掌握三角形的基本概念及分类方法。
2.教学难点：学生掌握三角形分类的深层次原理及能力。
三、教学方法1.演示法2.讨论法3.问题解决法4.讲授法四、教学过程1. 导入新知识•通过讨论小学生在生活中常见的三角形，如“等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形”，让孩子们认识三角形的外形特征。
2. 教学重难点讲解•定义三角形–以书本或者三边形样本作为教具，可以展示一下三角形的基本概念，学生可以通过字母、标记符号、角度等标志来定义三角形。
•三角形的基本分类–根据三角形内部的角度，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
–根据三角形外部长度，可将三角形分为等腰三角形和普通三角形等五种类型。
–可以通过板书，PPT及各种三角形样本的展示，让学生更深入地理解分类的原理。
•三角形的锐化–让学生使用手指、笔、图钉等工具，锐化所需要的三角形，学生可以根据不同角度，尝试多种锐化方式。
3. 讲解展示•让学生观看一些三角形图片，让学生观察这些图片中的三角形是否有特点，让学生自行锐化以加深印象。
4. 实践操作1.让学生在作业本上画出所学的不同类型的三角形；2.让学生分组，相互出题，让小组内的学生尝试锐化；3.学生相互观察，共同讨论不同类型三角形的锐化方法，对于真正的三角形可进行操作。
4.师生共同完成类比试验，了解科学实践的过程。
五、教学总结本节课通过多种方式让学生体验不同类型三角形的锐化过程，学生在观察锐化的同时，深入理解了三角形分类的原理，加深了对三角形基本概念的认识，提高了科学学习兴趣，提高了科学思维能力。
六、板书设计•三角形分类–以角度为基础：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
2019人教版八年级数学上册第十三章133《等腰三角形》讲义第11讲(有答案)语文
第11讲等腰三角形1、等腰三角形性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
（三线合一）2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.1、定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。
它是特殊的等腰三角形。
2、性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。
（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线考点1、等腰三角形性质例1、一个等腰三角形的一个内角是40°，则它的顶角是（）A．40°B．50°C．60°D．40°，100°例2、在钝角三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，AD把△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为（）．A．150° B．124°C．120° D．108°例3、如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF ＝DE，则∠E＝______度．（例2）（例3）例4、已知△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为。
例5、在△ABC中，AB=AC，CD=CB，若∠ACD=42°，则∠BAC=______°．例6、已知一个等腰三角形的周长为18cm。
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）如果一腰上的中线将该等腰三角形的周长分为1：2两部分，那么各边的长为多少？例7、如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．1、对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（）A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等D．以上说法都是错误的2、等腰三角形的两内角度数之比是1∶2，则顶角的度数是（）A．90°B．45° C．36° D．90°或36°3、△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4、如图，在△ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠ADE=∠AED，且∠BAD=60°，则∠EDC= 度．5、如图所示，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，把△ADC沿直线AD折过来，点C落在C′处，如果BC′=5，则BC=______．6、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点D，若∠ADC=130°，则∠BAC=_____度．（4）（5）（6）7、如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC上的点，∠BAD与∠CDE满足什么条件时AD=AE？写出你的推理过程．8、如图，在△ABC中，AB=AC，CD为AB边上的高，求证：∠BCD=1∠A．29、如图．在△ABC中，AB=AC，F为AC上一点，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD=145°，求∠A和∠EDF的值．考点2、等腰三角形的判定例1、下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A.∠A=30°，∠B=60°B.∠A=50°，∠B=80°C.AB=AC=2，BC=4D.AB=3，BC=7，周长为10例2、如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）例3、如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为______．例4、如图，P是∠AOB的角平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，PC∥OB交OA于点C，（例3）（例4）例5、如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．（1）上述三个条件中，哪两个条件______可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．例6、如图AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于E．①求∠DBC的度数．②猜想△BDC的形状并证明．例7、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF。
知识点24 三角形(含多边形及其内角和)2019
n 10
【解析】①若 n 2 n 8 3n ，则 n 8 3n
，解得 n 4 ，即 4 n 10 ，
正整数 n 有 6 个：4，5，6，7，8，9；
n 2 3n n 8
n 2
②若 n 2 3n n 8 ，则 3n n 8
A．2cm，3cm，4cm
B．3cm，6cm，76cm
C．2cm，2cm，6cm
D．5cm，6cm，7cm
【答案】C．
【解析】A、2+3＞4，能组成三角形；B、3+6＞7，能组成三角形；
C、2+2＜6，不能组成三角形；D、5+6＞7，能够组成三角形．故选 C．
【知识点】三角形三边关系．
1. （2019·河北）下列图形为正多边形的是(
【答案】3 【解析】如图，延长 BC、AD 交于 F，由∠ BEC＝∠ DEC ，CE⊥ BC，再加公共边 EC 通过角边角 可证△ECF≌ △ ECB ， 由 全 等 三 角 形 得 性 质 得 到 FC＝ BC ， 又 因 AB∥ DC，根据平行线分线段
1
成比例定理可得 FD＝DA，所以 DC 是△FAB 的中位线，再由三角形中位线定理可得 DC＝ AB ＝
，解得 n 4 ，即 2 n 4 ，
正整数 n 有 2 个：3 和 4； 综上所述，满足条件的 n 的值有 7 个，
故选：D．
【知识点】三角形三边关系
7．（2019·毕节）如图， ABC 中， CD 是 AB 边上的高， CM 是 AB 边上的中线，点 C 到边 AB 所
在直线的距离是 ( )
度数是
.
【答案】54
【解析】连接 OB,CO,因为 ABCDE 为正五边形,AF 为外接圆直径,所以∠BOA=360°÷5=72°,所以
含有几个小三角形数学教案设计
含有几个小三角形數學教案設計教案名称：含有几个小三角形的数学探究一、教学目标：1. 使学生理解并掌握如何计算一个图形中包含的小三角形数量。
2. 培养学生的观察力和逻辑思维能力。
3. 提高学生的空间想象力。
二、教学内容：1. 计算简单的几何图形（如正方形，矩形，梯形等）中的小三角形数量。
2. 计算复杂的几何图形（如多边形，不规则形状等）中的小三角形数量。
三、教学步骤：1. 引入：展示一些简单的几何图形，让学生们数一数其中有多少个小三角形。
例如，一个正方形可以被分成两个小三角形。
2. 探索：引导学生们探索更复杂的图形，比如矩形、梯形等，并让他们尝试找出这些图形中能分割出多少个三角形。
3. 实践：分发给每个学生一张纸，让他们自己画出一个图形，并尝试计算其中的小三角形数量。
鼓励他们尽可能地创造独特的形状。
4. 反馈与讨论：让几个学生分享他们的发现，其他同学可以提出问题或者提供不同的解决方案。
教师在此过程中进行适当的引导和补充。
四、教学资源：1. 白板或黑板用于讲解示例。
2. 纸张和彩色笔供学生绘制和计算。
3. 教科书或其他参考书籍作为辅助材料。
五、作业设计：1. 设计一个新的几何图形，计算其中的小三角形数量。
2. 找到日常生活中的物体，尝试将它们分解为小三角形，计算其数量。
六、评估方式：1. 观察学生在课堂上的参与度和表现，包括他们的提问、解答问题的能力以及他们对概念的理解程度。
2. 检查学生的作业，看他们是否能够正确地计算图形中的小三角形数量。
3. 在课程结束时进行一次小型测验，测试学生对这一主题的理解程度。
以上就是关于"含有几个小三角形的数学探究"教案的设计，希望对您的教学有所帮助。
《三角形全等的判定》(边边边)参考教案
三角形全等的判定（一）教学目标1．三角形全等的“边边边”的条件．2．了解三角形的稳定性．3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程． 教学重点三角形全等的条件．教学难点寻求三角形全等的条件．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课出示投影片，回忆前面研究过的全等三角形．已知△ABC ≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．C 'B 'A 'C B A图中相等的边是：AB=A′B 、BC=B′C′、AC=A′C ．相等的角是：∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′．展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）．这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．Ⅱ．导入新课1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），•画出的两个三角形一定全等吗？2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．①三角形一内角为30°，一条边为3cm ．②三角形两内角分别为30°和50°．③三角形两条边分别为4cm 、6cm ．学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流． 结果展示：1．只给定一条边时：只给定一个角时：2．给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边．①3cm 3cm 3cm 30︒30︒30︒②50︒50︒30︒30︒③6cm4cm 4cm6cm可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？归纳：有四种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边．在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．已知一个三角形的三条边长分别为6cm 、8cm 、10cm ．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？1．作图方法：先画一线段AB ，使得AB=6cm ，再分别以A 、B 为圆心，8cm 、10cm 为半径画弧，•两弧交点记作C ，连结线段AC 、BC ，就可以得到三角形ABC ，使得它们的边长分别为AB=6cm ，AC=8cm ，BC=10cm ．2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．•这说明这些三角形都是全等的．3．特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC ，根据前面作法，同样可以作出一个三角形A′B′C′，使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′．将△A′B′C′剪下，发现两三角形重合．这反映了一个规律：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．请看例题．[例]如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．[分析]要证△ABD ≌△ACD ，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等． 证明：因为D 是BC 的中点所以BD=DC在△ABD 和△ACD 中(AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩公共边)所以△ABD ≌△ACD （SSS ）．生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，•而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．•例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．Ⅲ．随堂练习如图，已知AC=FE 、BC=DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AD=FB ．要用“边边边”证明△ABC ≌△FDE ，除了已知中的AC=FE ，BC=DE 以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？F DC BE A2．课本练习．Ⅳ．课时小结本节课我们探索得到了三角形全等的条件，•发现了证明三角形全等的一个规律SSS ．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．Ⅴ．作业1． 习题11.2 复习巩固1、2．Ⅵ．活动与探索如图，一个六边形钢架ABCDEF 由6条钢管连结而成，为使这一钢架稳固，请你用三条钢管连接使它不能活动，你能找出几种方法？C本题的目的是让学生能够进一步理解三角形的稳定性在现实生活中的应用． 结果：（1）可从这六个顶点中的任意一个作对角线，•把这个六边形划分成四个三角形．如图（1）为其中的一种．（2）也可以把这个六边形划分成四个三角形．如图（2）．板书设计(1)(2)。
人教A版2019高中数学选修4-1教学案：第一讲 四 直角三角形的射影定理_含答案
四直角三角形的射影定理[对应学生用书P14]1．射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理(1)文字语言：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)图形语言：如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.[对应学生用书P14][例1]如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若AD＝2 cm，DB＝6 cm，求CD，AC，BC的长．[思路点拨]在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．[解]∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝12＝23(cm)．∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝16＝4(cm)．∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝48＝43(cm)．故CD、AC、BC的长分别为2 3 cm,4 cm,4 3 cm.(1)在Rt△ABC中，共有AC、BC、CD、AD、BD和AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条．1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB上的高．已知BD＝4，AB＝29，试求出图中其他未知线段的长．解：由射影定理，得BC2＝BD·AB，∴BC＝BD·AB＝4×29＝229.又∵AD＝AB－BD＝29－4＝25.且AC2＝AB2－BC2，∴AC＝AB2－BC2＝292－4×29＝529.∵CD2＝AD·BD，∴CD＝AD·BD＝25×4＝10.2．已知：CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC，BC的长度比为AC∶BC＝3∶4.求：(1)AD∶BD的值；(2)若AB＝25 cm，求CD的长．解：(1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴AD·AB BD·AB＝AC2BC2.∴ADBD＝(ACBC)2＝(34)2＝916.(2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16，∴AD＝99＋16×25＝9(cm)，BD＝169＋16×25＝16(cm)．∴CD＝AD·BD＝9×16＝12(cm).[例2]DG⊥BE，F、G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE.[思路点拨]先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．[证明]∵CD垂直平分AB，∴△ACD和△BDE均为直角三角形，且AD＝BD.又∵DF⊥AC，DG⊥BE，∴AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2.∵AD2＝DB2，∴AF·AC＝BG·BE.将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的．在求解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形进行求解或证明．3．如图所示，设CD是Rt△ABC的斜边AB上的高．求证：CA·CD＝BC·AD.证明：由射影定理知：CD2＝AD·BD，CA2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.∴CA·CD＝AD2·BD·AB＝AD·BD·AB，BC·AD＝AD·AB·BD.即CA·CD＝BC·AD.4．Rt△ABC中有正方形DEFG，点D、G分别在AB、AC上，E、F在斜边BC上．求证：EF2＝BE·FC.证明：过点A作AH⊥BC于H.则DE∥AH∥GF.∴DE AH ＝BE BH ，GF AH ＝FC CH . ∴DE ·GF AH 2＝BE ·FCBH ·CH. 又∵AH 2＝BH ·CH ， ∴DE ·GF ＝BE ·FC . 而DE ＝GF ＝EF ， ∴EF 2＝BE ·FC .[对应学生用书P15]一、选择题1．已知Rt △ABC 中，斜边AB ＝5 cm ，BC ＝2 cm ，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 交AB 于E ，且AD ＝3.2 cm ，则DE ＝( )A ．1.24 cmB ．1.26 cmC ．1.28 cmD ．1.3 cm解析：如图，∵∠A ＝∠A ，∴Rt △ADE ∽Rt △ABC ， ∴AD AB ＝DEBC， DE ＝AD ·BC AB ＝3.2×25＝1.28.答案：C2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为( ) A ．1∶2 B ．2∶1 C ．1∶4D ．4∶1解析：设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为5，∴两直角边在斜边上的射影分别为15和45. 答案：C3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm ，斜边上的高为2.4 cm ，则这个直角三角形的面积为( )A ．7.2 cm 2B ．6 cm 2C ．12 cm 2D ．24 cm 2解析：长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为32－2.42＝1.8(cm)，由射影定理知斜边长为321.8＝5(cm)， ∴三角形面积为12×5×2.4＝6(cm 2)．答案：B4．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若CD ＝6 cm ，AD ∶DB ＝1∶2，则AD 的值是( )A ．6 cmB ．3 2 cmC ．18 cmD ．3 6 cm解析：∵AD ∶DB ＝1∶2， ∴可设AD ＝t ，DB ＝2t . 又∵CD 2＝AD ·DB ，∴36＝t ·2t ，∴2t 2＝36，∴t ＝32(cm)，即AD ＝3 2 cm. 答案：B 二、填空题5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1，则该三角形在直线l 上的射影的最大值为________．解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长． 答案： 26．如图所示，四边形ABCD 是矩形，∠BEF ＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是________．解析：因为四边形ABCD 为矩形， 所以∠A ＝∠D ＝90°.因为∠BEF ＝90°，所以∠1＋∠2＝90°. 因为∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠3. 所以△ABE ∽△DEF . 答案：①③7．在△ABC 中，∠A ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，AD ＝6，BD ＝12，则CD ＝__________，AC ＝__________，AB 2∶AC 2＝__________.解析：如图，AB 2＝AD 2＋BD 2，又AD ＝6，BD ＝12， ∴AB ＝6 5.由射影定理可得，AB 2＝BD ·BC ， ∴BC ＝AB 2BD＝15.∴CD ＝BC －BD ＝15－12＝3. 由射影定理可得，AC 2＝CD ·BC ， ∴AC ＝3×15＝3 5. ∴AB 2AC 2＝BD ·BC CD ·BC ＝BD CD ＝123＝4. 答案：3 35 4∶1 三、解答题8．如图：在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，DE 是Rt △BCD 斜边BC 上的高，若BE ＝6，CE ＝2.求AD 的长是多少．解：因为在Rt △BCD 中，DE ⊥BC ，所以由射影定理可得：CD 2＝CE ·BC ， 所以CD 2＝16， 因为BD 2＝BE ·BC ， 所以BD ＝6×8＝4 3.因为在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°， CD ⊥AB ，所以由射影定理可得： CD 2＝AD ·BD ，所以AD ＝CD 2BD ＝1643＝433.9．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且CD 2＝AD ·BD ，求证：∠ACB＝90°.证明：∵CD ⊥AB ， ∴∠CDA ＝∠BDC ＝90°. 又∵CD 2＝AD ·BD ， 即AD ∶CD ＝CD ∶BD ，∴△ACD ∽△CBD .∴∠CAD ＝∠BCD . 又∵∠ACD ＋∠CAD ＝90°， ∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝∠ACD ＋∠CAD ＝90°.10．已知直角三角形周长为48 cm ，一锐角平分线分对边为3∶5两部分． (1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长． 解：(1)如图，设CD ＝3x ，BD ＝5x ，则BC ＝8x ， 过D 作DE ⊥AB ， 由题意可得， DE ＝3x ，BE ＝4x ， ∴AE ＋AC ＋12x ＝48. 又AE ＝AC ，∴AC ＝24－6x ，AB ＝24－2x . ∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2， 解得：x 1＝0(舍去)，x 2＝2. ∴AB ＝20，AC ＝12，BC ＝16， ∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF ⊥AB 于F 点， ∴AC 2＝AF ·AB .∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)；同理：BF ＝BC 2AB ＝16220＝645(cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm ，645cm.[对应学生用书P16]近两年高考中，由于各地的要求不同，所以试题的呈现形式也不同．但都主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；一般试题难度不大，解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果．在使用平行线分线段成比例定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系．1.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．解析：由CD ＝2，AB ＝4，EF ＝3， 得EF ＝12(CD ＋AB )，∴EF 是梯形ABCD 的中位线，则梯形ABFE 与梯形EFCD 有相同的高，设为h ， 于是两梯形的面积比为 12(3＋4)h ∶12(2＋3)h ＝7∶5. 答案：7∶52.如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________．解析：连接AC ，BC ，则∠ACB ＝90°. 设AD ＝2，则AB ＝6， 于是BD ＝4，OD ＝1.如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ＝8，则CD ＝2 2. 在Rt △OCD 中，DE ＝OD ·CD OC ＝1×223＝223.则CE ＝DC 2－DE 2＝ 8－89＝83， EO ＝OC －CE ＝3－83＝13.因此CE EO ＝8313＝8.答案：8[对应学生用书P16]的直线上截得的线段所呈现的规律，主要用来证明比例式成立、证明直线平行、计算线段的长度，也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法，其中，平行线等分线段定理是线段的比为1的特例．[例1] 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DH ∥GC . 求证：EG ∥BH . [证明] ∵DE ∥BC ，AC AB∵DH ∥GC ，∴AH AC ＝ADAG .∴AE ·AB ＝AC ·AD ＝AH ·AG . ∴AE AH ＝AGAB.∴EG ∥BH . [例2] 如图，直线l 分别交△ABC 的边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，且AF ＝13AB ，BD ＝52BC ，试求EC AE.[解] 作CN ∥AB 交DF 于点N ，并作EG ∥AB 交BC 于点G ，由平行截割定理，知BF CN ＝DB DC ，CN AF ＝EC AE，两式相乘，得BF CN ·CN AF ＝DB DC ·ECAE ，即EC AE ＝BF AF ·DC DB. 又由AF ＝13AB ，得BFAF ＝2，由BD ＝52BC ，得DC DB ＝35，所以EC AE ＝2×35＝65.角关系．其应用非常广泛，涉及到多种题型，可用来计算线段、角的大小，也可用来证明线段、角之间的关系，还可以证明直线之间的位置关系．其中，三角形全等是三角形相似的特殊情况．[例3] 如图所示，AD 、CF 是△ABC 的两条高线，在AB 上取一点P ，使AP ＝AD ，再从P 点引BC 的平行线与AC 交于点Q .求证：PQ ＝CF .[证明] ∵AD 、CF 是△ABC 的两条高线， ∴∠ADB ＝∠BFC ＝90°. 又∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBF .CF CB又∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC . ∴PQ BC ＝AP AB .∴AP PQ ＝AB BC .∴AD CF ＝AP PQ. 又∵AP ＝AD ，∴CF ＝PQ .[例4] 四边形ABCD 中，AB ∥CD ，CE 平分∠BCD ，CE ⊥AD 于点E ，DE ＝2AE ，若△CED 的面积为1，求四边形ABCE 的面积．[解] 如图，延长CB 、DA 交于点F ，又CE 平分∠BCD ，CE ⊥AD .∴△FCD 为等腰三角形，E 为FD 的中点． ∴S △FCD ＝12FD ·CE＝12×2ED ·CE ＝2S △CED ＝2， EF ＝ED ＝2AE . ∴F A ＝AE ＝14FD .又∵AB ∥CD ， ∴△FBA ∽△FCD . ∴S △FBA S △FCD ＝(F A FD)2＝(14)2＝116.∴S △FBA ＝116×S △FCD ＝18. ∴S 四边形ABCE ＝S △FCD －S △CED －S △FBA ＝2－1－18＝78.系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错．[例5] 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC于E ，EF ⊥AB 于F .求证：CE 2＝BD ·DF .[证明] ∵∠ACB ＝90°，DE ⊥AC ，∴DE ∥BC .∴BD CE ＝ABAC .同理：CD ∥EF ，∴CE DF ＝ACAD .∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴AC 2＝AD ·AB . ∴AC AD ＝ABAC . ∴CE DF ＝BD CE. ∴CE 2＝BD ·DF .[对应学生用书P41] (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，已知AA ′∥BB ′∥CC ′，AB ∶BC ＝1∶3，那么下列等式成立的是( )A ．AB ＝2A ′B ′ B ．3A ′B ′＝B ′C ′ C ．BC ＝B ′C ′D ．AB ＝A ′B ′解析：∵AA ′∥BB ′∥CC ′，∴AB BC ＝A ′B ′B ′C ′＝13.∴3A ′B ′＝B ′C ′. 答案：B2.如图，∠ACB ＝90°.CD ⊥AB 于D ，AD ＝3、CD ＝2，则AC ∶BC 的值是( )A ．3∶2B ．9∶4 C.3∶ 2D.2∶ 3解析：Rt △ACD ∽Rt △CBD ，∴AC BC ＝AD CD ＝32.答案：A3．在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，若BD ＝3 cm ，AC ＝2 cm ，则CD 和BC 的长分别为( )A. 3 cm 和3 2 cm B ．1 cm 和 3 cm C ．1 cm 和3 2 cm D. 3 cm 和2 3 cm 解析：设AD ＝x ，则由射影定理得x (x ＋3)＝4， 即x ＝1(负值舍去)， 则CD ＝AD ·BD ＝3(cm)， BC ＝BD ·AB ＝3(3＋1)＝23(cm)． 答案：D4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，DE 是△ACD 的高，且AC ＝5，CD ＝2，则DE 的值为( )A.2215B.215C.3215D.2125解析：AC 2＝CD ·BC ， 即52＝2×BC ， ∴BC ＝252.∴AB ＝BC 2－AC 2＝ 2524－52＝5212. ∵DE AB ＝DC BC ，∴DE ＝2215. 答案：A5．如图所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝ABBC ；④AC 2＝AD ·AB .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①由∠B ＝∠ACD ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；②由∠ADC ＝∠ACB ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；③AC CD ＝ABBC，而夹角不一定相等，所以两个三角形不一定相似；④AC 2＝AD ·AB 可得AC AD ＝ABAC ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似．答案：C6.如图，DE ∥BC ，S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8，则AD ∶DB 的值为( )A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶5解析：由S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8 得S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9. ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC . ∴(ADAB )2＝S △ADE S △ABC ＝19. ∴AD AB ＝13，AD DB ＝12. 答案：C7．△ABC 和△DEF 满足下列条件，其中不一定使△ABC 与△DEF 相似的是( ) A ．∠A ＝∠D ＝45°38′，∠C ＝26°22′，∠E ＝108° B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝16 C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝c D ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40° 解析：A 中∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ＝108°， ∴△ABC ∽△DEF ；B 中AB ∶AC ∶BC ＝EF ∶DE ∶DF ＝2∶3∶4； ∴△ABC ∽△EFD ； D 中AB AC ＝DEDF，∠A ＝∠D ， ∴△ABC ∽△DEF ；而C 中不能保证三边对应成比例． 答案：C8．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°.CD ⊥AB 于D .若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( ) A.14 B.13 C.12D ．2解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶4. 令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)， ∴CD 2＝4x 2，∴CD ＝2x ，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12. 答案：C9.在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ∶CE ＝2∶3，连接AE 、BE 、BD 且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF ＝( )A ．4∶10∶25B ．4∶9∶25C ．2∶3∶5D ．2∶5∶25解析：∵AB ∥CD ， ∴△ABF ∽△EDF . ∴DE AB ＝DF FB ＝25. ∴S △DEF S △ABF ＝(25)2＝425.又△DEF 和△BEF 等高． ∴S △DEF S △EBF ＝DF FB ＝25＝410. 答案：A10．如图，已知a ∥b ，AF BF ＝35，BCCD ＝3.则AE ∶EC ＝( )A.125 B.512 C.75D.57解析：∵a ∥b ，∴AE EC ＝AG CD ，AF BF ＝AGBD .∵BCCD ＝3，∴BC ＝3CD ，∴BD ＝4CD . 又AF BF ＝35， ∴AG BD ＝AF BF ＝35.∴AG 4CD ＝35.∴AG CD ＝125. ∴AE EC ＝AG CD ＝125. 答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．如图，D ，E 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，BD ＝2AD ，那么△ADE的周长∶△ABC 的周长等于________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC . ∵BD ＝2AD ，∴AB ＝3AD .∴AD AB ＝13. ∴△ADE 的周长△ABC 的周长＝AD AB ＝13.答案：1312．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5， DE ＝6，则BF ＝________.解析：∵DE ∥BC ， ∴DE BC ＝AE AC ，∴BC ＝DE ·AC AE ＝6×53＝10， 又DF ∥AC ，∴DE ＝FC ＝6. ∴BF ＝BC －FC ＝4. 答案：413．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点O ，直线AO 与DE 、BC 分别交于N 、M ，若DN ∶MC ＝1∶4，则NE ∶BM ＝________，AE ∶EC ＝________.解析：OD OC ＝DN MC ＝14，∴OE OB ＝OD OC ＝14. ∴NE BM ＝OE OB ＝14. 又DE BC ＝OD OC ＝14， ∴AE AC ＝DE BC ＝14. ∴AE ∶EC ＝1∶3. 答案：1∶4 1∶314．阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7 m 宽的亮区(如图所示)，已知亮区一边到窗下的墙角距离CE ＝8.7 m ，窗口高AB ＝1.8 m ，那么窗口底边离地面的高BC 等于________m.解析：∵BD ∥AE ，∴BCAB ＝CDDE .∴BC ＝AB ·CDDE.∵AB ＝1.8 m ，DE ＝2.7 m ，CE ＝8.7 m ， ∴CD ＝CE －DE ＝8.7－2.7＝6(m)． ∴BC ＝1.8×62.7＝4(m)．答案：4三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，△ABC 中，BC 的中点为D ，∠ADB和∠ADC 的平分线分别交AB 、AC 于点M 、N .求证：MN ∥BC .证明：∵MD 平分∠ADB ， ∴AD BD ＝AM MB. ∵ND 平分∠ADC ，∴AD DC ＝ANNC .∵BD ＝DC ， ∴AM MB ＝AD BD ＝AD DC ＝AN NC. ∴MN ∥BC .16．(本小题满分12分)如图，已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ，求证：BP 2＝PE ·PF .证明：连接PC ， ∵AB ＝AC ，AD 是中线，∴AD 是△ABC 的对称轴，故PC ＝PB ， ∠PCE ＝∠ABP . ∵CF ∥AB ， ∴∠PFC ＝∠ABP ， 故∠PCE ＝∠PFC ， ∵∠CPE ＝∠FPC ， ∴△EPC ∽△CPF ， 故PC PF ＝PE PC， 即PC 2＝PE ·PF ， ∴BP 2＝PE ·PF .17．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是BD 上任意一点，过P 点的直线分别交AB 、DC 于E 、F ，交DA 、BC 的延长线于G 、H .(1)求证：PE ·PG ＝PF ·PH ；(2)当过P 点的直线绕点P 旋转到F 、H 、C 重合时，请判断PE 、PC 、PG 的关系，并给出证明．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴PE PF ＝PB PD .∵AD ∥BC ，∴PH PG ＝PBPD ，∴PE PF ＝PHPG.∴PE ·PG ＝PH ·PF . (2)关系式为PC 2＝PE ·PG .证明：由题意可得到右图， ∵AB ∥CD ， ∴PE PC ＝PBPD. ∵AD ∥BC ，∴PC PG ＝PBPD .∴PE PC ＝PCPG，即PC 2＝PE ·PG . 18．(本小题满分14分)某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、下两底分别为10 m 、20 m 的梯形空地上种植花木(如图)．(1)他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单位为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后(图中阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用；(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？解：(1)∵四边形ABCD 为梯形，∴AD ∥BC . ∴△AMD ∽△CMB ，∴S △AMD S △CMB ＝(AD BC )2＝14.∵种植△AMD 地带花费160元， ∴S △AMD ＝1608＝20(m 2)．∴S △CMB ＝80(m 2)．∴△CMB 地带的花费为80×8＝640元． (2)S △ABM S △AMD ＝BM DM ＝BC AD ＝2， ∴S △ABM ＝2S △AMD ＝40(m 2)． 同理：S △DMC ＝40(m 2)．所剩资金为：1600－160－640＝800元， 而800÷(S △ABM ＋S △DMC )＝10(元/m 2)． 故种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．。
三角形教案(7篇)
三角形教案（7篇）作为一名为他人授业解惑的教育工作者，就有可能用到教案，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。
那么教案应该怎么写才合适呢？以下是漂亮的小编为大家整编的三角形教案（较新7篇），欢迎参考阅读，希望大家能够喜欢。
初中数学三角形教案篇一学习目标：(1) 知识与技能：掌握三角形内角和定理的证明过程，并能根据这个定理解决实际问题。
(2) 过程与方法：通过学生猜想动手实验，互相交流，师生合作等活动探索三角形内角和为180度，发展学生的推理能力和语言表达能力。
对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。
逐渐由实验过渡到论证。
通过一题多解、一题多变等，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。
(3)情感态度与价值观：通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学生的学习数学的兴趣。
使学生主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流。
一、自主预习二、回顾课本1、三角形的内角和是多少度？你是怎样知道的？2、那么如何证明此命题是真命题呢？你能用学过的知识说一说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同伴进行交流。
3、回忆证明一个命题的步骤①画图②分析命题的题设和结论，写出已知求证，把文字语言转化为几何语言。
③分析、探究证明方法。
4、要证三角形三个内角和是180，观察图形，三个角间没什么关系，能不能象前面那样，把这三个角拼在一起呢？拼成什么样的角呢？①平角，②两平行线间的同旁内角。
5、要把三角形三个内角转化为上述两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。
如何把三个角转化为平角或两平行线间的同旁内角呢？① 如图1，延长BC得到一平角BCD，然后以CA为一边，在△ABC的外部画A。
② 如图1，延长BC，过C作CE△AB③ 如图2，过A作DE△AB④ 如图3，在BC边上任取一点P，作PR△AB，PQ△AC。
幼儿园中班数学三角形教案3篇
【导语】三⾓形是由同⼀平⾯内不在同⼀直线上的三条线段⾸尾顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应⽤。
以下是⽆忧考为⼤家精⼼整理的内容，欢迎⼤家阅读。
【篇⼀】幼⼉园中班数学三⾓形教案：三⾓形与多边形 ⼀、设计意图 在过去的与⼏何形体相关的活动设计中，我们惯于呈现⼀个个完整成型的⼏何形体让孩⼦观察辨认，在预想的多种感官参与（看看、说说、摸摸等）中、多种形式操作活动（找找、拼拼、剪剪等）中，让孩⼦们获得我们⾃以为的对某种⼏何图形的充分认识。
然⽽，对于这些⼏何形体从何⽽来、还有什么样的图形等具有开放性、延展性、启发性、挑战性的问题，⽼师鲜有思考，也极少能从数学活动这⼀平台让孩⼦获得相应的思考引领。
其实，在孩⼦们辨识的平⾯图形中，从最简单的三⾓形到各种不规整的多边形，它们都是⼏条"线"围成的封闭状图形，其中"线"的数量差异给这些各不相同的图形命名带来便利：有⼏条边（线），就是⼏边形。
⽽"线"，⼜是从"点"出发的某个⽅向的延伸。
当我们尝试从源头处厘清这些有关平⾯图形的知识链时，我们很容易就能找到引导孩⼦通向图形王国的⾃发、可持续性探索的数学活动平台：连点成线变图形。
⼆、活动⽬标 1．在连线活动中，增进对三⾓形"三条边、三个⾓"的图形特征的认识。
2．尝试对连点成线所围成的图形进⾏命名，了解多边形的命名⽅法。
3．⽤"连线"⽅式探索多边形与三⾓形之间的转换，初步感知图形之间互相转换的内在规律。
4．能与同伴合作，并尝试记录结果。
5．提⾼逻辑推理能⼒，养成有序做事的好习惯。
三、活动准备 1．背景⾳乐《雪绒花》、《的⼠⾼》，相机。
2．情境创设：蓝⾊块状星空图（蓝⾊展板为底，其上零星粘贴适量黄⾊⼩圆点作"星星"）围成⼀⽚，成"星空"状情境；另备1块"星空图"，置于⿊板上⽤于⽰范性操作，或制作相应ppt课件进⾏操作。
阳川乡中心学校2018-2019学年四年级下学期数学期中模拟试卷含解析
阳川乡中心学校2018-2019学年四年级下学期数学期中模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．（2分）1里面连续减去（）个0.1，结果是0。
A. 10B. 100C. 1000【答案】A【考点】一位小数的加法和减法，小数的数位与计数单位【解析】【解答】解：1里面连续减去10个0.1，结果为0.故答案为：A。
【分析】已知被减数是1、差是0，可得减数是1，即题目求得是1里面有几个0.1。
2．（2分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）。
A. 等腰三角形B. 线段C. 钝角D. 平行四边形【答案】D【考点】轴对称图形的辨识【解析】【解答】解：A,B,C它们各有一条对称轴。
而平行四边形，它没有对称轴。
故答案为：D。
【分析】平行四边形是中心对称图形，而轴对称图形是以对称轴为中心的两部分能够完全重合的图形。
3．（2分）把一个锐角三角形沿高剪开成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（）。
A. 90°B. 无法确定C. 180°【答案】C【考点】三角形的内角和【解析】【解答】把一个锐角三角形沿高剪开成两个小三角形，每个小三角形的内角和是180°.故答案为：C.【分析】任意一个三角形的内角和都是180°，据此解答.4．（2分）一位工人搬运1000只玻璃杯，每只杯子的运费是3分，破损一只要赔5分，最后这位工人得到运费26元。
搬运中他打碎了（）只杯子。
A. 30B. 50C. 60D. 80【答案】B【解析】【解答】解：26元=2600分（1000×3-2600）÷（3+5）=400÷8=50（只）故答案为：B【分析】先把26元换算成2600分。
假设都没有破损，则会得到1000×3的运费，一定比2600多，是因为把打碎的也当多3分来计算了，这样用一共多算的钱数除以每只杯子多算的（5+3）分即可求出打碎的杯子数。
《认识三角形》小班数学教案（精选9篇）
《认识三角形》小班数学教案（精选9篇）《认识三角形》小班数学教案（精选9篇）作为一无名无私奉献的教育工作者，通常需要用到教案来辅助教学，教案是实施教学的主要依据，有着至关重要的作用。
那要怎么写好教案呢？下面是小编整理的《认识三角形》小班数学教案，希望能够帮助到大家。
《认识三角形》小班数学教案篇1活动目标：1、培养幼儿对图形的兴趣和数学活动常规。
2、初步发展幼儿的观察力、分析能力和概括能力。
3、感知并说出三角形的基本特征，能找出和三角形相似的物体。
活动准备：多媒体、课件各一，图形若干。
活动分析：观察、对比是孩子们探究的过程，通过图形的对比引导幼儿感知三角形的基本特征，作为本次活动的重点。
活动中运用课件直观、形象的特点，通过多种游戏形式，采用启发法、提示法，引导幼儿进一步掌握并概括三角形的基本特征，从而突破难点部分。
活动的结束之际，组织幼儿进一步从生活环境中找出像三角形的物体，作为活动的延伸环节，自然结束。
活动过程：一、导入。
采用观察法，通过课件中图形宝宝的口吻引出三角形。
二、展开。
1、采用游戏法引导幼儿在众图形中寻找三角形。
2、引导幼儿观察三种三角形的共同特征，发现三角形有三条边、三个角。
3、动手操作：a、幼儿从图形筐中找出三角形，分别数出边、角的数量，进一步掌握三角形特征；b、观察并说出三角形像什么。
4、游戏“猜猜我是谁”。
组织幼儿根据图形渐渐露出部分猜测出图形，进一步巩固幼儿对图形特征的认识。
5、游戏“捉迷藏”幼儿从简单的画面中找出三角形。
6、引导幼儿观察并找出活动室中那些物品像三角形。
三、延伸。
请幼儿到生活环境中进一步寻找三角形的踪迹。
《认识三角形》小班数学教案篇2活动目标1、认识三角形的特征，知道三角形由3条边，三个角。
2、能将三角形和生活中常见实物进行比较，找出和三角形相似的物体。
3、发展幼儿观察力，空间想象力。
活动准备1、PPT一份，大三角板一个，长短不同的小棒，雪糕棒等活动过程一、导入：手指游戏：快乐的小鱼二、学习三角形特征1、认识三角形（1）出示魔法线昨天张老师得到了一根魔法线，我今天把他带来了，让我们一起把它叫出来。
2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题20正弦定理和余弦定理(教学案)含解析
2019年高考数学（文）一轮复习精品资料1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；1．正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理 内容sin A a ＝sin B b ＝sin C c＝2Ra 2＝b 2＋c 22bc cos__A ；b 2＝c 2＋a 22ca cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C常见 变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin_C ；(2)sin A ＝2R a ，sin B ＝2R b ，sin C ＝2R c； (3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C ；(4)a sin B ＝b sin A ， b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A cos A ＝2bc b2＋c2－a2； cos B ＝2ac c2＋a2－b2；cos C ＝2ab a2＋b2－c22. 三角形中常用的面积公式(1)S ＝21ah(h 表示边a 上的高)． (2)S ＝21bcsinA ＝21acsinB ＝21absinC.(3)S ＝21r(a ＋b ＋c)(r 为三角形的内切圆半径)． 3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况4.重要结论在△ABC 中，常有以下结论(1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin 2A ＋B ＝cos2C ；cos 2A ＋B＝sin2C .(5)tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . (6)∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .高频考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________. 【答案】32π(2)[2017·全国卷Ⅱ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________. 【答案】3π【解析】由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理， 得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A . ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B . ∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos B ＝21.∴B ＝3π. ∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝21. 又0<B <π，∴B ＝3π.【变式探究】(1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定(2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝∶1，c 2＝b 2＋bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________． (3)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝，sin B ＝21，C ＝6π，则b ＝________. 【答案】(1)B (2)45°，30°，105° (3)1【感悟提升】(1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断．②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．【变式探究】(1)已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是()A．x＞2 B．x＜2C．2＜x＜2 D．2＜x＜2(2)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB＝________.【答案】(1)C(2)1高频考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例2、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 【答案】B【解析】∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .又sin A >0，∴sin A ＝1，∴A ＝2π，故△ABC 为直角三角形． 【方法技巧】判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断． (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．提醒 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．【变式探究】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝4π，b 2－a 2＝21c 2. (1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 解 (1)由b 2－a 2＝21c 2及正弦定理得sin 2B －21＝21sin 2C .【感悟提升】(1)对于面积公式S ＝21ab sin C ＝21ac sin B ＝21bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 【变式探究】四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解 (1)由题设A 与C 互补及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．② 由①②得cos C ＝21，BD ＝， 因为C 为三角形内角，故C ＝60°. (2)四边形ABCD 的面积 S ＝21AB ·DA sin A ＋21BC ·CD sin C ＝×3×21sin60°＝2.高频考点三 正弦、余弦定理的简单应用例3、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定【答案】B【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．(2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．【变式探究】(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝32，AB ＝3，AD ＝3，则BD 的长为______．【答案】(1)D (2)【解析】(1)∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，高频考点三 和三角形面积有关的问题【例3】[2017·全国卷Ⅰ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为3sinA a2. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解 (1)由题设得21ac sin B ＝3sinA a2，即21c sin B ＝3sinA a. 由正弦定理得21sin C sin B ＝3sinA sinA. 故sin B sin C ＝32.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－21， 即cos(B ＋C )＝－21.所以B ＋C ＝32π，故A ＝3π.由题意得21bc sin A ＝3sinA a2，a ＝3，所以bc ＝8. 由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝.故△ABC 的周长为3＋.【变式探究】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝，△ABC 的面积为23，求△ABC 的周长.【方法规律】三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝21ab sin C ＝21ac sin B ＝21bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【变式探究】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2a －b )cos C －c cos B ＝0.(1)求角C 的值；(2)若三边a ，b ，c 满足a ＋b ＝13，c ＝7，求△ABC 的面积.解 (1)根据正弦定理，(2a －b )cos C －c cos B ＝0可化为(2sin A －sin B )cos C －sin C cos B ＝0.整理得2sin A cos C ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A . ∵0<A <π，∴sin A ≠0，∴cos C ＝21. 又∵0<C <π，∴C ＝3π.(2)由(1)知cos C ＝21，又a ＋b ＝13，c ＝7，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝169－3ab ＝49，解得ab ＝40. ∴S △ABC ＝21ab sin C ＝21×40×sin 3π＝10.高频考点四 利用均值不等式破解三角函数最值问题例4、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝cosB tanA ＋cosA tanB. (1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．【变式探究】已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c tan C ＝(a cos B ＋b cos A )．(1)求角C ；(2)若c ＝2，求△ABC 面积的最大值．解 (1)∵c tan C ＝(a cos B ＋b cos A )，∴sin C tan C ＝(sin A cos B ＋sin B cos A )，∴sin C tan C ＝sin(A ＋B )＝sin C ，∵0＜C ＜π，∴sin C ≠0， ∴tan C ＝，∴C ＝3π.(2)∵c ＝2，C ＝3π，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得12＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ， ∴ab ≤12，∴S △ABC ＝21ab sin C ≤3，当且仅当a ＝b ＝2时，△ABC 的面积取得最大值3.1. （2018年全国III 卷）的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知，所以由余弦定理，所以，，故选C.2. （2018年浙江卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =，b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．【答案】 (1).(2). 33. （2018年全国I卷）△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．【答案】【解析】根据题意，结合正弦定理，可得，即，结合余弦定理可得，所以A为锐角，且，从而求得，所以△的面积为。
2019秋八年级数学上册第2章三角形2.6用尺规作三角形第1课时已知三边作三角形教案1新
2．6 用尺规作三角形第1课时已知三边作三角形1．已知三边会作三角形；(重点)2．已知底边及底边上的高会作等腰三角形；(重点，难点)3．会作已知角的平分线．(重点，难点)一、情境导入小明在一个工程施工图上看到一个三角形图形，他想用直尺和圆规画一个与这个三角形全等的三角形，应当怎样画？二、合作探究探究点一：已知三边作三角形【类型一】已知三边作三角形已知三条线段a、b、c，用尺规作出△ABC，使BC＝a，AC＝b、AB＝c.解：作法：1.作线段BC＝a；2．以点C为圆心，以b为半径画弧，再以B为圆心，以c为半径画弧，两弧相交于点A；3．连接AC和AB，则△ABC即为所求作的三角形，如图所示．方法总结：已知三角形三边的长，根据全等三角形的判定定理SSS知，三角形的形状和大小也就确定了．作三角形相当于确定三角形三个顶点的位置．因此可先确定三角形的一条边(即两个顶点)，再分别以这条边的两个端点为圆心，以已知线段长为半径画弧，两弧的交点即为另一个顶点．【类型二】已知三边作三角形的运用已知：线段a，b，m，求作△ABC，使AB＝a，AC＝b，BC边上的中线等于m.解析：本题中，已知两边和第三边上的中线，可考虑倍长中线，即作△ABE ，使AB ＝a ，AE ＝2m ，BE ＝b ，再取AE 的中点D ，倍长中线BD .解：作法：1.作线段AB ＝a ；2．分别以A 、B 为圆心，2m ，b 为半径画弧，两弧交于E ，连接AE 、BE ； 3．取AE 中点D ，连接BD 并延长至C ，使DC ＝BD ； 4．连接AC ，∴△ABC 即为所求．方法总结：有关三角形的中线的作图、计算或证明，如果直接解题较麻烦，一般可以把中线延长，使延长部分等于中线长．探究点二：已知底边和底边上的高作等腰三角形已知线段c ，求作△ABC ，使AC ＝BC ，AB ＝c ，AB 边上的高CD ＝12c .解析：由题意知，△ABC 是等腰三角形，高把底边垂直平分，且高等于底边长的一半． 解：作法：1.作线段AB ＝c ；2．作线段AB 的垂直平分线EF ，交AB 于D ；3．在射线DF 上截取DC ＝12c ，连接AC ，BC ，则△ABC 即为所求作的三角形，如图所示．方法总结：已知底边长作等腰三角形时，一般可先作底边的垂直平分线，再结合等腰三角形底边上的高可确定另一个顶点的位置．探究点三：作已知角的平分线 【类型一】 作已知角的平分线用尺规作图作出∠ABC 的平分线．解：作法：1.在BA ，BC 上分别截取BM ，BN ，使BM ＝BN ；2．分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，在∠ABC 内两弧交于点O ；3．过点O 作射线BP ，则BP 为所求作的∠ABC 的平分线，如图所示．方法总结：作角平分线的理论依据是全等三角形的判定定理SSS ，如本题中，△BMO ≌△BNO ，从而有∠ABP ＝∠CBP .【类型二】 作已知角的平分线与作线段的垂直平分线的综合运用如图，已知点M 、N 和∠AOB ，求作一点P ，使P 到点M 、N 的距离相等，且在∠AOB的角平分线上．解析：P 到点M 、N 的距离相等，则点P 在线段MN 的垂直平分线上，又在∠AOB 的角平分线上，即是这两条线的交点．解：1.作∠AOB 的平分线OC ；2．作MN 的垂直平分线DE ，与OC 交于点P ；点P 就是所求作的点，如图所示．方法总结：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，所以要求作一点，使这一点到已知两点的距离相等，则这一点一定在连接已知两点的线段的垂直平分线上．三、板书设计1．已知三边作三角形2．已知底边和底边上的高作等腰三角形 3．作已知角的平分线本节课学习了用尺规作图作三角形，作图时要学会分析．一般先画一个满足题目已知条件的草图，有时结合基本作图和已知条件可作一个与求作三角形相关联的三角形，然后应用有关条件结合基本作图考虑作出其余的图形．。
解三角形教学设计下学期数学人教A版(2019)必修第二册
课题解三角形年级高一教学背景分析本节课是在学习了正、余弦定理后，安排的一节应用课. 正余弦定理沟通了三角形中边与角的关系，用这两个定理可实现边角互化，从而简化问题，明确解题方向. 解三角形主要有两种类型：一是解三角形中的边角互化，二是利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题.在本节课的教学中，从这两种题型出发，用方程的思想作支撑，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题.教学目标教学目标：1．通过熟悉三角形中边与角的正余弦关系、公式的结构特点，知道这两种关系能解决解三角形中哪些问题，养成善于观察、善于总结的品质.2．能根据问题中所给的边角关系，做出合理选择，实现边角的转化，从而解决问题，归纳总结解题方法，提高分析和解决问题的能力.3．通过分析、探索、发现和归纳, 感受“要求什么——能求什么——怎么求”这一思考问题的方法和过程, 培养数学建模素养.重点：综合运用正弦定理、余弦定理进行边角转化，从而解决问题．难点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解．（一）复习回顾，温故知新思考：首先，我们一起来回顾一下这两个定理相关的知识1、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin===（R为ABC外接圆半径）（1）公式的常用变形：①②③（2）面积公式111sin csin sin222S ab C b A ac B2、余弦定理：2222cosa b c bc A=+-2222cosb ac ac B=+-2sin,2sin,2sina R Ab R Bc R C⇒===sin,sin,sin222a b cA B CR R R===::sin:sin:sina b c A B C=2222cos c a b ab C =+-.公式的常用变形：222cos 2b c a Abc ，222cos 2a c b Bac，222cos 2a b c Cab【设计意图】回顾定理的相关知识，理清知识结构，明确研究范围.（二）探究新知例1．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边边长分别是a 、b 、c ，若3A π=，3a =，1b =，求c 的值．（1解）【师生活动】学生先分析解题思路，教师给出规范答题过程.【分析】边边角问题可以直接利用正弦定理求出B ，求出C ，然后求解c 即可．也可运用余弦定理来求解． 【解答】解法一：由正弦定理sin sin a bA B =，∴31πsin sin 3B =，∴1sin 2B =， a b >，所以A B >．角A 、B 、C 是ABC ∆中的内角． ∴π6B =，∴π2C =， ∴222c a b =+=．故答案为：2． 解法二：π3,1,3a b A由余弦定理 2222cos a b c bc A得 220c c 21c c 或（舍）变式1. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边边长分别是a 、b 、c ，若3A π=，3b =，1a =，求c 的值．（0解）变式2. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边边长分别是a 、b 、c ，若6A π=，3a =，1b =，求c 的值．（2解）小组讨论：正余弦定理在解三角形中分别适用哪些情形？预设：正弦定理适用情形：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边及一边对角.（关注多解条件）正弦定理可用但不方便的情形：已知两边及夹角.余弦定理适用情形：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边；（3）已知两边及一边对角.（对多解情况的判断更为方便和清晰）追问：如何处理多解的情形？预设：多解时注意检验.检验方法：①三角形内角和为1800②大边对大角、两边之和大于第三边.③画三角形.④将解代回已知条件，看是否符合.【设计意图】例1及其变式体现出解边边角问题时出现的无解、1解、2解情况，学生通过练习回顾正余弦内容，结合题目的已知条件以及学生做题所选用的方法，小组讨论如何合理选择用正余弦定理.例 2. 在ABC ∆中，已知cos ,sin ,c a B b a C 试判断ABC ∆的形状.【解答】（法一：边化角）cos sin sin cos sin sin sin sin c a B C A B b a CB A C又sin sin()sin cos cos sin BA C A C A Cπcos sin 0cos 0,,sin 12A C A AA 即 sin cos ,CB BC 即故ABC ∆是等腰直角三角形. （法二：角化边）222222cos c sin 12sin sin sin a c b c a B a a b c A acb a CB C B C故ABC ∆是等腰直角三角形.设计意图：合理转化边角关系.解题中，题目条件不一定刚刚好满足总结的定理结构需要我们适当转化，去匹配已有经验，适当调整，寻求解决办法.这两个定理在实际生活中有什么作用呢？首先给出测量问题中相关角的概念仰角：目标视线在水平线上方与水平线的夹角；俯角：目标视线在水平线下方与水平线的夹角；方位角：从某点的正北方向起，按顺时针方向旋转到目标方向线所成的最小正角； 方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角（仰角、俯角） （方位角） （方向角）例3. 如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，设计一种测量A ，铅垂 线 水平线仰角 俯角 北东A135°北东A40°B60°OB 两点间的距离的方案，并求出A ，B 间的距离．【师生活动】在和学生讨论建立数学模型的方法上着 重强调可行性.【分析】这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，本质上还是解三角形的问题.【解析】测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离，BAC ，ACB . 利用正弦定理求出AB 长度.sin(180)sin ACAB BACACB ACB思考：测量问题中，对于可到达的两点之间的距离，一般直接测量. 一点可到达，一点不可到达用例1，两点均不可到达，该如何测量呢？变式 1. 若A ，B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A ，B 两点间的距离的方法，并求出A ，B 间的距离．【学生活动】小组讨论并提出解决这个实际问题的方法.【教师活动】引导学生充分展示自己的见解，营造一个探讨和辩论的氛围，激发学生的创造力.【分析】这研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题. 首先需要构造三角形. 若测量者在A ，B 两点的对岸取定一点C （称作测量基点），则在点C 处只能测出ACB 的大小，因而无法解决问题. 为此，可以再取一点D ，测出线段CD 的长，以及ACD ，CDB ，BDA ，这样就可借助正弦和余弦定理算出距离了.【解析】如图，在,A B 两点的对岸选定两点C ，D ，测得CD a ，并且在C ，D 两点分别测得BCA，ACD，CDB， BDA，在ADC 和BDC 中，应用正弦定理得sin()sin()sin[180()]sin()ACa asinsinsin[180()]sin()BCa a于是在ABC 中,由余弦定理可得AB 两点间的距离222cos ABACBCAC BC追问：还有其他计算AB 两点间距离的方法吗？ 预设：在BDC 中进行计算. 师生总结解题思路：测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、两点间都不可达. 解决此类问题的方法是选择合适的辅助测量点，构造三角形，将其转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.(1)两点（A 、B ）间不可达又不可视：测量的要素是边,AC BC ，角C ,求解方法是利用余弦定理.（2）两点（A 、B ）间可视但不可达：测量的要素是边BC 、角,B C ，求解方法是利用三角形内角和定理(π)AB C 及正弦定理.(3) 两点（A 、B ）间都不可达：测量的要素是边CD 、,,,ADB ADC ACDACB , 求解方法是利用三角形内角和定理(π)A B C 及正、余弦定理.【设计意图】引导学生寻求在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式，并强化学生的数学建模意识.例4.在ABC 中，,236,2.b a B A（1） 求cos A ; （2） 求c .【分析】边边角问题中多解问题 【解法】（1）,2sin sin sin sin 2a b a b BAABAA326sin 2sin cos AA A6(0,π),sin 0.cos 3A A A(2) （法1）由222262cos 92446,3a b c bc A c c 得即28150,3 5.c c cc得或若3,,c ac A C 则得，又ππ2,π,,.42B A A BC A C B解得则2,3,26b a ab这与矛盾.3c不符合，舍去.（分析：sin b A a ，也就是图中的垂线长度实际上是小于3（a 的长度）的，所以点C 会有两种可能，如图中所示，于是产生两个解.但是又由于2BA ,所以我们只能要一种，也就是1AB . 因此在边边角问题中利用余弦定理出现多解情况，如果有其他条件，一定要检验.此类题目作图一目了然.） （法2）2cos 2cos 61cos 2133B AB A A ，由2222212cos 249621503b ac ac B c cc c 得即解得53cc或（舍）（分析：根据大边对大角，利用B 的余弦，得到关于c 的一元二次不等式，但是两根之积小于0，从而c 的值必然一正一负，只有唯一解.） （法3）6cos sin 3322,2sin 2sin cos 33AAB A B A A又, 221cos cos sin 3BA Asin sin()sin cos cos sin 539C A B A B A B由正弦定理sin sin a c AC即335339c 得5c .（用正弦定理避免了最后解一元二次方程出现两解的情况.）【总结】在利用两个定理解三角形时往往要通过解方程或不等式，这时容易产生增根，注意进行检验. 有两个角，尽量就不要用余弦定理；只有两边夹一角求对边的情况用余弦定理，因为没有交叉项，解题也会简单得多.在求三角函数时，有些情况会有余弦值为正、负数的要考虑，这时候你可以清楚的看出多出来的解是什么意义（正数是锐角、负数是钝角的区别），也可以根据题目中的具体数值直接判断哪个解是无效的.（四）课堂小结正余弦定理沟通了三角形中边与角的关系， 用这两个定理可实现边角互化，从而简化问题.思考：回顾本节课的学习过程,解三角形的问题中我们如何使用正余弦定理？ 预设：“边化角，角化边”是我们解决三角形问题的主要策略.（1）已知三边，或两边及夹角用余弦关系； （2）已知两角及任意一边用正弦关系（3）已知两边及一边对角，可用正弦关系、也可以用余弦关系.（此时会出现无解、一解、两解的情况）“边边角问题”求边，利用余弦关系，建立所求边的二次方程较为简便. 【设计意图】回顾整节课不断在解题中积累经验的过程，提炼解题策略和指导思想，获得深层的理解.反馈练习.1. 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边边长分别是a 、b 、c ，已知1sin cos sin cos ,,.2B a BC c B Ab a b 且求 【解答】原式可化为 1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B 等式两边都有sin B ，消去sin B1sin cos sin cos 2A C C A，1sin()2A C 即 1sin 2B .πa b A B B.,,63.一艘船向正北航行, 航行速度的大小为32.2 n mile/h, 在A处看灯塔S 在船的北偏东20°的方向上. 30分钟后, 船航行到B处, 在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向上. 已知距离此灯塔6.5海里以外的海区为航行安全区域, 这艘船可以继续沿正北方向航行吗？。
含有几个小三角形
含有几个小三角形教学内容：(《现代小学数学》第三册智力游戏)．教学目标：1．选择一个适当的图形为单位，进行图形的分解训练，分析几何图形之间包含的关系．2．初步培养学生观察能力、空间观念和推理能力． 3．养成仔细观察，认真审题的好习惯．教学重点：如何把一个图形分解成单位图形．教学难点：推导图形中的推理过程．教学用具：小黑板、彩色图形、小卷子两张(同题板1、题板2内容)教学过程：(课前板书课题：)一、复习导入师生问好，开始上课！1．导入师：这儿有三种图形，你知道它是什么形状吗？它呢？(师一个个出示，生分别说出是什么形状)2．准备题(一)师：我们看投影上的这些图形，你能从这些图形中找出一共有几个三角形、几个正方形、几个长方形吗？一共有( )个三角形( )个正方形( )个长方形(一问一问出示，用数字板反馈，并说出是哪几号图形)师：这节课我们一起来研究图形之间的包含关系．继续看投影．3．准备题(二)考眼力：下图中各是由几个相等的小三角形拼成的？二、探讨新知第一层次：动手实践1．师：请你想办法求出下面各题的结果．(出示题板1)(反馈①)生回答后追问：你是怎样想的？生：用摆了摆含有2个生：斜着画一条线，分成了2个小三角形生边说师边画：(反馈②③步骤同上)请学生用学具亲自来验证答案第二层次：讨论研究2．师：如果把这三个答案作为已知条件(板书：已知) 你能求出下面的问题吗？(出示题板2)师：用什么方法可以得到正确答案，前后桌4人一组进行讨论．(拿出小卷子2)(反馈①)生：可以画一画师追问：还有其他的方法吗？生：我们已经知道1个长方形含有2个小正方形，1个小正方形含有2个小三角形，2个小正方形含有(2×2=4)个小三角形，所以1个长方形有4个小三角形．师：刚才××同学用的方法太好了，他用的方法叫推理方法，根据已知的一个或几个判断，推导出最后的结论，这种方法就是推理的方法．还有谁用了推理的方法，你能说说你是怎样推理的吗？其他同学在心里和他一起说说．(反馈②)生：可以画一画生：可以用推理方法(同①的步骤)(采取个人说，同桌对说练习推理方法，请学生用单位图形验证所得的结论，肯定学生的答案和方法都很正确．)第三层次：运用推理师：刚才同学讨论得特别好，再出一问：(出示题板3)师：你能用推理方法得出结论吗？请4人一组讨论．反馈①生：画一画反馈②方法一：1个大正方形含有4个小正方形1个小正方形含有2个小三角形4个小正方形含有(2×4=8)个小三角形所以1个大正方形含有8个小三角形方法二：1个大正方形含有2个小长方形1个小长方形含有4个小三角形两个小长方形含有(4×2=8)个小三角形所以1个大正方形含有8个小三角形方法三：1个小正方形含有2个小三角形1个小长方形含有(2×2=4)个小三角形1个大正方形含有(2×2×2=8)个小三角形师：用推理的方法算出的结果是否正确，请4人一组用虚线画一画验证我们推理的结论正确吗？(事先发给每组一张有6个大正方形的纸)反馈：对比：师：上面两题所含的两种小三角形个数为什么不一样？生：小三角形的大小不一样，个数也不一样．三、巩固练习(投影反馈)1．下面的图形里含有几个这样的？2．涂阴影的小三角形拼成下面的图形，各需要几个？ 3．下面图形分别是用多少个像图内那样的小三角形组成的？你能用虚线画一画吗？板书设计：。
培智学校生活数学《认识三角行》公开课教案
授课班级
培智三年级
授课教师
XXX
教材分析：
本节课的内容选自人教版培智学校三年级上册活数学第二课中的《认识三角形》一节，以生活中常见的三角形物品形状为主题展开教学，认识三方形，把握三角形的基本特征。利用青海省特殊教育服务平台资源加强练习。
学情分析：
本班共计6名学生，根据学生智力障碍程度和图形认知能力，将他们分为3组。A组：XXX、XXX，2名同学认知能力较好，课前对三角形形已有基本认识，能独立完成学习人物。B组：XXX、XX、XX，这4名同学能在教师少量辅助下参与集体活动，能理解并完成教师指令，学习动机不强，注意力分散，需要教师时时提醒和鼓励。C组：XX,这名同学对图形的认知能力较低，需要从单一图形认识出发进行练习巩固。
应用资源
一、组织教学起立，问好。课堂纪律：听老师指令，跟着做：小手放桌上，眼睛看老师，耳朵竖起来，上课认真听。
二、聆听故事，激趣导入1.教师播放小故事视频《三角城堡的故事》，学生观看。师：视频中的出现了那个图形？（三角形，教师提示）2.教师小结：视频里多次出现了三角形，同学们记住他的样子了吗？这节课我们一起来认识三角形。（板书）
四、练习活动：进一步巩固认识三角形1.选一选（1）请学生选出三角形的物品。（2）学生充当小老师，点名其他同学们完成练习。2.拼一拼（1）将三角形拖至正确位置形成完成形状。（2）要求学生按不同形状分类。3.摆一摆（1）课件出示教师拿小棒摆三角形的示范视频，进行讲解，要求学生仔细观察。（2）教师将小棒分发给学生，要求学生尝试用三根小棒在课桌上摆出一个三角形。（教师对BC组同学进行辅助）4.画一画（1）播放课件，教师讲解将三个点连起来形成一个三角形。（2）讲作业纸分发给学生，要求学生连接三点形成三角形。（教师对BC组同学进行辅助）5.拿一拿按照教师口令从图形积木盒中拿出三角形的积木。
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含有几个小三角形（参考教案一）
教学内容：
含有几个小三角形(《现代小学数学》第三册智力游戏).
教学目标：
1.选择一个适当的图形为单位，进行图形的分解训练，分析几何图形之间包含的关系.
2.初步培养学生观察能力、空间观念和推理能力.
3.养成仔细观察，认真审题的好习惯.
教学重点：
如何把一个图形分解成单位图形.
教学难点：
推导图形中含有几个小三角形的推理过程.
教学用具：
小黑板、彩色图形、小卷子两张(同题板1、题板2
内容)
教学过程：
(课前板书课题：含有几个小三角形)
一、复习导入
师生问好，开始上课!
1.导入
师：这儿有三种图形，你知道它是什么形状吗?它呢?
(师一个个出示，生分别说出是什么形状)
2.准备题(一)
师：我们看投影上的这些图形，你能从这些图形中找出一共有几个三角形、几个正方形、几个长方形吗?
一共有( )个三角形
( )个正方形
( )个长方形
(一问一问出示，用数字板反馈，并说出是哪几号图形)
师：这节课我们一起来研究图形之间的包含关系.继续看投影.
3.准备题(二)
考眼力：下图中各是由几个相等的小三角形拼成的?
二、探讨新知
第一层次：动手实践
1.师：请你想办法求出下面各题的结果.(出示题板1)
(反馈①)生回答后追问：你是怎样想的?
生：用
摆了摆含有2个
生：斜着画一条线，分成了2个小三角形
生边说师边画：
(反馈②③步骤同上)
请学生用学具亲自来验证答案
第二层次：讨论研究
2.师：如果把这三个答案作为已知条件(板书：已知)
你能求出下面的问题吗?(出示题板2)
师：用什么方法可以得到正确答案，前后桌4人一组进行讨论.(拿出小卷子2)
(反馈①)生：可以画一画
师追问：还有其他的方法吗?
生：我们已经知道1个长方形含有2个小正方形，1个小正方形含有2个小三角形，2个小正方形含有
(2×2=4)个小三角形，所以1个长方形有4个小三角形.
师：刚才××同学用的方法太好了，他用的方法叫推理方法，根据已知的一个或几个判断，推导出最后的结论，这种方法就是推理的方法.
还有谁用了推理的方法，你能说说你是怎样推理的吗?其他同学在心里和他一起说说.
(反馈②)生：可以画一画
生：可以用推理方法(同①的步骤)
(采取个人说，同桌对说练习推理方法，请学生用单位图形验证所得的结论，肯定学生的答案和方法都很正确.)
第三层次：运用推理
师：刚才同学讨论得特别好，再出一问：(出示题板3)
师：你能用推理方法得出结论吗?请4人一组讨论.
反馈①生：画一画
反馈②
方法一：
1个大正方形含有4个小正方形
1个小正方形含有2个小三角形
4个小正方形含有(2×4=8)个小三角形
所以1个大正方形含有8个小三角形
方法二：
1个大正方形含有2个小长方形
1个小长方形含有4个小三角形
两个小长方形含有(4×2=8)个小三角形
所以1个大正方形含有8个小三角形
方法三：
1个小正方形含有2个小三角形
1个小长方形含有(2×2=4)个小三角形
1个大正方形含有(2×2×2=8)个小三角形
师：用推理的方法算出的结果是否正确，请4人一组
用虚线画一画验证我们推理的结论正确吗?(事先发给每组
一张有6个大正方形的纸)
反馈：
对比：师：上面两题所含的两种小三角形个数为什么不一样?
生：小三角形的大小不一样，个数也不一样.
三、巩固练习(投影反馈)
1.下面的图形里含有几个这样的
2.涂阴影的小三角形拼成下面的图形，各需要几个?
3.下面图形分别是用多少个像图内那样的小三角形组成的?你能用虚线画一画吗?
板书设计：。