第五章 导数与微分
第五章-微分方程
第五章 微分方程第一节 微分方程的基本概念 一、基本概念微分方程的定义：①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. 微分方程的阶、解与通解：微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数)(x f y =代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解.初始条件与特解：用未知函数与其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。
例1 课本294页 例1二、独立的任意常数线性相关与线性无关：设)(),(21x y x y 是定义在区间),(b a 的函数，若存在两个不全为零的数21,k k ，使得对于区间),(b a 的任一x ，恒有0)()(2211=+x y k x y k成立，则称函数)(),(21x y x y 在区间),(b a 线性相关，否则称为线性无关.显然，函数)(),(21x y x y 线性相关的充分必要条件是)()(21x y x y 在区间),(b a 恒为常数. 如果)()(21x y x y 不恒为常数，则)(),(21x y x y 在区间),(b a 线性无关.独立的任意常数：在表达式)()(2211x y C x y C y += (1C ,2C 为任意常数) 中,1C ,2C 为独立的任意常数的充分必要条件为)(1x y ,)(2x y 线性无关.例2 课本297页 例4第二节 可分离变量的微分方程 一、定义形如)()(d d y g x f xy= 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x 的函数，另一个仅是y 的函数，即)(),(y g x f 分别是变量y x ,的已知连续函数.二、求解方法可分离变量的微分方程)()(d d y g x f xy=的求解方法,一般有如下两步: 第一步:分离变量 x x f y y g d )(d )(=， 第二步:两边积分 ⎰⎰=x x f y y g d )(d )(.[例1]求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解.解先合并dx 与dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得dx x dy y y 1112-=- 两端积分⎰⎰-=-dx x dy y y1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解.)1(122-=-x C y注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下,用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中.[例2] 已知 ,tan 2cos )(sin 22x x x f +=' 当10<<x 时，求).(x f解设,sin 2x y =则,21sin 212cos 2y x x -=-=.1sin 1sin cos sin tan 22222yyx x x x x -=-==所以原方程变为,121)(y y y y f -+-='即.112)(yy y f -+-=' 所以 =)(y f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y y 112dy 2y -=,)1ln(C y +-- 故 C x x x f +-+-=)]1ln([)(2).10(<<x第三节 线性微分方程 一、一阶线性微分方程定义 ：形如)()(d d x Q y x P xy=+. 的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中)(),(x Q x P 都是x 的已知连续函数，“线性”是指未知函数y 和它的导数y '都是一次的. 求解方法 ：一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的求解方法,一般有如下两步: 第一步：先用分离变量法求一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+所对应的齐次线性微分方程0)(d d =+y x P xy的通解⎰=-x x P c C y d )(e . 第二步：设⎰=-x x P x C y d )(e )(为一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的解,代入该方程后,求出待定函数)(x C .第三步: 将)(x C 代入⎰=-xx P x C y d )(e )(中,得所求一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的通解. 注：只要一阶线性微分方程是)()(d d x Q y x P xy=+的标准形式,则将⎰=-x x P x C y d )(e )(代入一阶线性微分方程后,整理化简后,必有)(e )(d )(x Q x C xx P =⎰'-,该结论可用在一阶线性微分方程的求解过程中,以简化运算过程. 一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的求解公式： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C x x Q y x x P x x P d e )(e d )(d )( (其中C 为任意常数). [例1] 求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y 的特解.解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有x x y y y d 11d 12-=-，两边积分，得=-⎰y y yd 12⎰-x x d 11，求积分得121ln 1ln 21C x y +-=-，1222)1ln(1ln C x y +-=-， 1222e )1(1C x y -=-，222)1(e 11-±=-x y C ，记 0e12≠=±C C ，得方程的解 22)1(1-=-x C y .可以验证 0=C 时，1±=y ，它们也是原方程的解，因此，式22)1(1-=-x C y 中的 C 可以为任意常数，所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y （C 为任意常数）.代入初始条件 20==x y得 3=C ，所以特解为 22)1(31-=-x y .[例2] 求微分方程（1）xy yy +='，（2） x xy y x cos e 22=-'的通解.（1）解一 原方程可化为1d d +=xyx yx y ，令 x yu =， 则 1d d +=+u u x u x u ，即 x x u u u d d 12-=+ ，两边取积分 ⎰⎰-=+x x u u u d 1d )11(2， 积分得C x u uln ln ln 1-=-，将x y u =代入原方程，整理得原方程的通解为yx C y e = （C 为任意常数）.解二 原方程可化为11d d =-x yy x 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程01d d =-x yy x ，得其通解为 y C x =. 设y y C x )(=为原方程的解，代入原方程，化简得 1)(='y y C ，1ln)(C yy C =， 所以原方程的通解为 1ln C y y x=，即yx C ye = （C 为任意常数）.（2）解一 原方程对应的齐次方程02d d =-xy xy 分离变量，得xy x y2d d =，x x yyd 2d =， 两边积分，得x x y y⎰⎰=d 2d ，C x y +=2ln ，)e ln(ln e ln ln 22x x C C y =+=，2e x C y =，用常数变易法.设2e )(x x C y =代入原方程，得 x x C x x cos e e )(22='，x x C cos )(='，C x x x x C +==⎰sin d cos )(，故原方程的通解为 )(sin e 2C x y x += （C 为任意常数）.解二 这里x x P 2)(-=，x x Q x cos e )(2=代入通解的公式得)d e cos e (e d 2d 22⎰+⎰⋅⎰=---C x x y xx x x x=)d ecos e(e 222C x x x x x +⋅⎰-=)d cos (e 2C x x x +⎰=)(sin e 2C x x +（C 为任意常数）.小结 一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式 )()(x Q y x P y =+'，也可直接利用公式C x x Q y xx P x x P +⎰⎰=⎰-d e )((e d )(d )(）求通解.二、二阶常系数齐次线性微分方程定义：形如0=+'+''qy y p y的微分方程（其中q p ,均为已知常数，称为二阶常系数齐次线性微分方程. 求解方法：求解二阶常系数齐次线性微分方程,一般分为如下三步:第一步 写出方程0=+'+''qy y p y 的特征方程 02=++q pr r ，第二步 求出特征方程的两个特征根 1r ,2r ，第三步 根据下表给出的三种特征根的不同情形，写出0=+'+''qy y p y 的通解.[例3] 求微分方程02=+'-''y y a y 的通解.解 原方程对应的特征方程为 0122=+-ar r ，244222,1-±=a a r =12-±a a ，（1）当1>a ，即 1>a 或1-<a 时，特征方程有两个不相等的实根121-+=a a r ，122--=a a r ，故原方程的通解为xa a xa a C C y )1(2)1(122e e ---++=.（2）当1=a ，即1=a 或1-=a 时，特征方程有两个相等的实根 a r r ==21， 故原方程的通解为 axx C C y e )(21+=.（3）当1<a ，即 11<<-a 时，特征方程有两个共轭复根 22,11i a a r -±=，故原方程的通解为)1sin 1cos (e 2221x a C x a C y ax -+-=.三、二阶常系数非齐次线性微分方程定义：形如)(x f qy y p y =+'+''的微分方程（其中q p ,均为已知常数），称为二阶常系数非齐次线性微分方程.求解方法：求解二阶常系数非齐次线性微分方程, 一般分为如下三步:第一步 先求出非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''所对应的齐次线性微分方程方程0=+'+''qy y p y 的通解c y ;第二步 根据下表设出非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''的含待定常数的特解p y ,并将p y 代入非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''解出待定常数,进而确定非齐次方程)(x f qy y p y =+'+''的一个特解p y ;第三步 写出非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''的通解p c y y y +=.方程)(x f qy y p y =+'+''的特解p y 的形式表注:①表中的)(x P m 为已知的m 次多项式，)(x Q m 为待定的m 次多项式，如C Bx Ax x Q ++=22)( （C B A ,,为待定常数）.②在设微分方程 xm x P qy y p y λe )(=+'+''的特解时，必须注意把特解p y 设全.如：2)(x x P m =，那么 2120)(b x b x b x Q m ++=，而不能设20)(x b x Q m =.另外，微分方程的特解都是满足一定初始条件的解，上面所求的特解p y 一般不会满足题设初始条件，因此需要从通解中找出一个满足该初始条件的特解.[例4] 求微分方程 xx y y e 4=-''满足初始条件00==x y，10='=x y 的特解.解 对应齐次方程的特征方程为 012=-r ，特征根 12,1±=r ．故对应齐次微分方程的通解为 xx c C C y -+=e e 21.因为1=λ是特征方程的单根，所以设特解为 xP b x b x y e )(10+=，代入原方程得 x x b b b 4422010=++，比较同类项系数得 10=b ，11-=b ，从而原方程的特解为 xP x x y e )1(-=， 故原方程的通解为 =y xxC C -+ee 21x x x e )1(-+，由初始条件 0=x 时，0='=y y ，得 ⎩⎨⎧=-=+,2,02121C C C C从而11=C ，12-=C .因此满足初始条件的特解为 =y xx--ee x x x e )1(-+.[例5] 求微分方程 x y y y x2sin e 842=+'-''的通解.解 对应的齐次微分方程的特征方程 0842=+-r r ，特征根 i 222,1±=r .于是所对应的齐次微分方程通解为)2sin 2cos (e 212x C x C y x c +=．为了求原方程x y y y x2sin e842=+'-''的一个特解,先求x y y y )i 22(e 84+=+'-''（*）的特解.由于i 22+=λ是特征方程的单根，且1)(=x P m 是零次多项式。
数学分析5.5微分(含习题详解)
第五章导数和微分5 微分一、微分的概念定义1：设函数y=f(x)定义在点x0的某邻域U(x0)内. 当给x0一个增量△x，x0+△x∈U(x0)时，相应地得到函数的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0). 如果存在常数A，使得△y能表示为△y=A△x +o(△x)，则称函数f在点x0可微，并称上式中的第一项A△x为f在点x0的微分，记作：dy=A△x，或df(x)=A△x.当A≠0时，微分dy称为增量△y的线性主部。
定理5.10：函数f在点x0可微的充要条件是函数f在点x0可导，而且定义中的A=f’(x0).证：先证必要性：若f在点x0可微，则△y=A△x +o(△x)，即=A+o(1)，两边取极限得：f’(x0)==(A+o(1))=A.再证充分性：若f在点x0可导，则f在点x0的有限增量公式为：△y=f’(x0)△x+o(△x)，根据微分的定义，f在点x0可微且有dy=f’(x0)△x.微分的几何意义：(如图)当自变量由x0增加到x0+△x时，函数增量△y= f(x0+△x)-f(x0)=RQ，而微分则是在点P处的切线上与△x所对应的增量，即dy=f’(x0)△x=RQ’，且==f’(x0)=0，所以当f ’(x 0)≠0时，=0. 即当x →x 0时线段Q ’Q 远小于RQ ’。
若函数y=f(x)在区间I 上每一点都可微，则称f 为I 上的可微函数.函数y=f(x)在I 上任一点x 处的微分记作dy=f ’(x)△x ，x ∈I. 特别地，当y=x 时，dy=dx=△x ，则微分也可记为dy=f ’(x)dx ，即 f ’(x)=，可见函数的导数等于函数微分与自变量微分的商。
因此导数也常称为微商。
二、微分的运算法则1、d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)；2、d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x)；3、d=；4、d(f ◦g(x))=f ’(u)g ’(x)dx ，其中u=g(x)，或dy=f ’(u)du.例1：求y=x 2lnx+cosx 2的微分。
导数与微分章节总结
导数与微分章节总结导数与微分是微积分学中的重要概念，在现代科学和技术中有着广泛的应用。
导数是微积分中研究函数变化率的基本工具，微分则是导数的一种表达形式和应用。
一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，是函数图像在该点的切线斜率。
对于可导函数y=f(x)，其在点x处的导数定义为：$$\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$也可以表示为：$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$其中，$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$，$\Delta x$为自变量的增量。
二、导数的性质1.导数可加性和可乘性：若$f(x)$和$g(x)$在某一点$x_0$可导，则$(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$，$(f\cdotg)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)$。
2.导数的链式法则：若$y=f(u)$与$u=g(x)$都可导，则复合函数$y=f(g(x))$在$x=a$处可导，且有$y'=f'(g(x))\cdot g'(x)$。
3.导数的反函数法则：若$f(x)$在点$x_0$处可导且$f'(x_0)\ne0$，则$f(x)$在该点的反函数$f^{-1}(y)$在点$y_0=f(x_0)$处可导，且有$(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$。
三、微分的定义微分是反映函数在某一点处变化的一个量。
对于可导函数$y=f(x)$，在点$x_0$处的微分定义为：$$\mathrm{d}y=f'(x_0)\cdot\mathrm{d}x$$其中，$\mathrm{d}y$和$\mathrm{d}x$分别为函数$y=f(x)$在$x_0$处的微小增量和自变量$x$在$x_0$处的微小增量。
导数与微分课件
导数的计算
导数的计算可以通过使用导 数的定义和基本的微积分规 则。
导数的应用
导数的应用包括函数的单调 性、极值点和图像与导数的 关系。
微分的定义
增量与微分
微分是通过增量的概念进行定 义的，它描述了函数在某一点 上的变化情况。
微分的几何意义
微分具有几何意义，可以用来 描述件
欢迎来到本次的导数与微分ppt课件！在本课件中，我们将介绍导数和微分的 概念，探讨它们的应用和真实世界中的案例，帮助您更好地理解这一重要的 数学概念。
什么是导数和微分
我们将开始本次课程的旅程，从导数与微分的概念入手。导数是函数在某一点上的变化率或斜率。微分是通过 导数对函数进行近似的方法。让我们深入了解这两个重要的数学概念。
导数和微分的关系
1 密切联系
导数和微分是密切相关的 概念，导数提供了微分的 基础。
2 应用广泛
3 互相补充
导数和微分在数学和实际 应用中都起着重要的作用， 例如函数的图像和曲线拟 合。
通过导数和微分，我们可 以更好地理解函数的性质 和变化规律。
导数的定义
极限的概念
导数的定义涉及到极限的概 念，即函数在某一点上的变 化率。
微分的计算
微分可以通过使用微分的定义 和数学推导方法进行计算。
微分的应用
1
极值问题
微分可以帮助解决极值问题，即找到函数的最大值和最小值。
2
最优化问题
微分还可以应用于最优化问题，例如在限制条件下求函数的最大或最小值。
3
凸函数与微分
微分可以用于研究凸函数，以及凸函数与微分之间的关系。
总结
通过本次课程，我们深入了解了导数与微分的关系，学会了计算导数和微分， 并了解了它们在实际问题中的应用。下一节课，我们将进一步学习函数的积 分。
导数与微分-- 函数的微分
本讲学习目标： 1、复述函数在一点可微的概念，并指出何为函数的微分。 2、能够指出导数与微分的关系，并能利用这个关系计算函数的微分。 3、能够默写或复述微分的基本公式和基本法则。 4、指出微分的几何意义，能利用微分做简单的近似计算。
2.4.1 微分的定义
定义2.4.1 设函数y=f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，若相对于自变量x的微小增量∆x，相 应的函数增量 y f (x0 x) f (x0 ) 可表示为
dy x2 y x2 x 120.01 0.12
2.5.3 微分基本公式和基本法则
dy f (x)x
dx (x) x x
dy f (x)dx
dy f (x) dx
“微商”
1）微分基本公式：（常、幂、指、对、三角、反三角）
(sin x) cosx d(sin x) cosxdx
y ( y) dy dx
dy f (x)x
【例2.5.2】求函数 y x3 当x从 x0 2 变到x=2.01时的函数增量与函数微分。
解： 函数增量
又因为 所以
y f (x) f (x0 ) f (2.01) f (2) (2.01)3 23 8.12068 0.1206
y 3x2， y x2 3x2 12， x x x0 0.01
【例2.5.5】设函数 y ln(x x2 1) ，求dy 。
解： dy
1
d (x x2 1)
1
[dx d ( x 2 1)]
x x2 1
x x2 1
1
[dx 1 d (x2 1)]
1 [dx 2x dx]
x x2 1
2 x2 1
x x2 1
大一高等数学教材章节目录
大一高等数学教材章节目录第一章导言第1节数学的发展和数学的定义第2节数学基本概念与基本运算第3节数学语言与符号第二章集合论与逻辑第1节集合的基本概念与运算第2节布尔代数与命题逻辑第3节谓词逻辑与命题公式第三章数列与极限第1节数列的概念与性质第2节数列极限的定义第3节数列极限的性质与计算方法第四章函数与连续第1节函数的概念与性质第2节函数的分类与表示第3节连续函数与间断点第五章导数与微分第1节导数的定义与性质第2节函数的求导法则第3节高阶导数与隐函数求导第六章微分中值定理与应用第1节微分中值定理第2节高阶导数的应用第3节泰勒公式及其应用第七章积分与不定积分第1节定积分与不定积分的概念第2节积分运算法则第3节不定积分与定积分的关系第八章微积分基本定理与应用第1节微积分基本定理与反函数微分法第2节曲线的弧长与体积第3节平面和空间曲线的曲率和曲率半径第九章偏导数与多元函数微分学第1节多元函数的定义与性质第2节偏导数的计算法则第3节多元函数的极值与最值第十章重积分与曲面积分第1节重积分的概念与性质第2节二重积分的计算方法第3节曲面积分与曲线积分第十一章空间解析几何第1节空间直线与平面的方程第2节空间曲线的方程与求交问题第3节空间曲面的方程与性质第十二章常微分方程第1节常微分方程的基本概念第2节一阶常微分方程的解法第3节高阶常微分方程的解法第十三章概率论与数理统计第1节概率的基本概念与性质第2节随机变量与概率分布第3节统计量与估计第十四章线性代数第1节矩阵与线性方程组第2节向量空间与变换矩阵第3节特征值与特征向量以上是大一高等数学教材的章节目录，每个章节都包含了该主题的基本概念、性质和相关计算方法。
希望这份目录能够帮助你在学习高等数学的过程中更好地组织学习内容，理解各个章节的关系和内在逻辑。
祝你在数学学习中取得好成绩！。
《数学分析》第五章导数和微分1
《数学分析》第五章导数和微分1《数学分析》第五章导数和微分1导数和微分是数学分析中非常重要的概念。
导数以及微分的概念不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理、经济、工程等各个学科中都起着关键的作用。
本章首先介绍导数的概念和性质。
导数是描述函数变化快慢的指标，它衡量了函数在其中一点附近的变化率。
直观地说，如果函数在其中一点附近呈现出逐渐增大的趋势，那么该点的导数将是正值；如果函数在其中一点附近呈现出逐渐减小的趋势，那么该点的导数将是负值。
导数的符号和数值都能够揭示出函数局部性质的特点。
导数的计算通常使用极限的概念。
通过定义极限，我们可以精确地计算出函数在其中一点的导数值。
导数的定义以及计算方法是数学分析中的重要内容，对于理解函数的变化规律以及解决实际问题有着重要的帮助。
接下来，本章详细介绍了一阶导数和高阶导数的概念。
一阶导数是函数变化最基本的指标，它描述了函数在其中一点的瞬时变化率；而高阶导数则描述了函数变化率的变化率，它们在一阶导数的基础上进一步深化了对函数性质的研究。
导数和微分在实际问题中有着丰富的应用。
通过导数和微分可以解决各种数学建模中的问题，如最大值、最小值的求解、函数图形的研究、曲线的切线和法线的求解等等。
导数和微分在物理学、经济学、工程学等应用领域也有着广泛的运用，如速度和加速度的求解、最优化问题的分析等。
在本章的最后，还介绍了一些与导数和微分相关的基本定理，如费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理等。
这些定理是导数和微分性质的重要推论，它们在数学分析和应用领域中起着重要的作用。
总之，导数和微分是数学分析中重要的概念，它们具有广泛的应用价值。
通过深入学习导数和微分的概念、性质和计算方法，我们可以更好地理解函数的特性、求解实际问题，为数学和应用科学的发展做出贡献。
2.许寿裳,王薄清.数学分析[M].高等教育出版社,2024.。
高等数学第五章5
α ± iβ不是特征根
k =0
α ± iβ是单根
k =1
第5节 微分方程在医学医学问题
药物动力学模型
c(t ) = c0 e
− kt
k0 − kt x = (1 − e ) k
一、药物动力学模型
药物进入机体后，在随血液到达各个器官和 药物进入机体后， 组织的过程中，广泛采用房室模型 房室模型来研究药 组织的过程中，广泛采用房室模型来研究药 物在体内的吸收、分布、 物在体内的吸收、分布、代谢和排泄的时间 过程。 过程。 血药浓度：药物在血液中的浓度。 血药浓度：药物在血液中的浓度。血药浓度 的变化能够定量地反映出其他体液、 的变化能够定量地反映出其他体液、组织及 器官内药物水平的变化。 器官内药物水平的变化。 房室：就是机体的某一个部分。 房室：就是机体的某一个部分。假定血药浓 度在一个房室内是常数， 度在一个房室内是常数，在不同房室之间按 照一定规律转移。 照一定规律转移。
二、肿瘤生长模型
决定。 肿瘤的生长速率由当前 肿瘤的体积 V决定。
dV b = kV dt
表征肿瘤生长速 率的参数， 率的参数，也称 为形状参数
dV kt b = kV 当b = 1时， V = Ce dt 1− b 当b ≠ 1时， V = (1 − b)(kt + C )
肿瘤在 ∆t = t 2 − t1的增长情况
其特解为： 其特解为： ~ = x k eαx [Q ( x) cos βx + R ( x) sin βx] y
l l
其中 l = max{m, n}
l次多项式 次多项式
k由特征根的情况决定
~ = x k eαx [Q ( x) cos βx + R ( x) sin β x] y l l
高等数学第五章微积分基本公式
F(x) = ∫a f (t)dt + ∫b f (t)
练习题答案
一、1、0； 2、
； 3、
；
4、 ； 5、(1) ； (2)0,0；
7、
8、 ；
9、1.
二、1、
；
2、
3、
三、 1、 ； 2、 ； 3、
； ； 4、 . ； 4、4.
四、1、0；
2、 .
六、 , 0.
七、
.
⎧0 , x < 0
⎪⎪1
e d π
∫dx ⎜ ∫ I1
=， cos −π
mxa⋅ cos
nxdx
,
⎝ π
sin m x ⋅ sin nxdx
（1）、 当 （2）、 当 6、设 （1）、 当 （2）、 当 7、
8、
时， =__ , =_____ ， 时， =___ , =_____ .
时， =____ , 时， =_____ .
前述变速直线运动的路程问题表明： 定积分的值等于被积函数的一个原函数 在时间区间上的增量，这个事实启发我 们去考察一般的情况，得到肯定的回答。 这就是微积分基本公式。
定理 3（微积分基本公式）
如果 是连续函数 的一个原函数，则
在区间 上 .
证
已知 是 的一个原函数，
∵ 又
也是
的一个原函x数,
Φ ( x ) = ∫ f ∴ F( x) − Φ( x) = C x ∈[a,b]
_____ . _____ .
9、
________ .
二、求导数： 1、 设函数
由方程
定，求 ；
2、 设
,求 ；
3、 4、设
；
，求
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05第五章 导数和微分习题§5.1导数的概念1、已知直线运动方程为2510t t s +=，分别令01.0,1.0,1=∆t ，求从t=4至t t ∆+=4这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。
2、等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。
3、设4)(,0)(0='=x f x f ，试求极限xx x f x ∆+∆→∆)(lim 00。
4、设⎩⎨⎧<+≥=,3,,3,)(2x b ax x x x f 试确定的a,b 值，使f在x=3处可导。
5、试确定曲线y x ln =上哪些点的切线平行于下列直线：（1）;1-=x y （2）32-=x y6、求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程：（1）).1,0(,cos )2();1,2(,42p x y p x y ==7、求下列函数的导函数： ⎩⎨⎧<≥+==,0,1,0,1)()2(;)()1(3x x x x f xx f8、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f m（m 为正整数），试问：（1）m 等于何值时,f 在x=0连续；（2）m 等于何值时,f 在x=0可导； （3）m 等于何值时,f '在x=0连续。
9、求下列函数的稳定点：(1)f(x)=sinx-cosx ；(2)x x x f ln )(-=。
10、设函数f 在点0x 存在左右导数，试证明f 在点0x 连续。
11、设0)0()0(='=g g ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )()(x x xx g x f求)0(f '。
12、设f 是定义在R 上的函数，而且对任何Rxx ∈21,，都有)()()(2121x f x f x x f =+。
若1)0(='f ，证明对任何R x ∈，都有)()(x f x f ='。
53隐函数与参数方程的求导法则
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第五章：导数与微分
5.3隐函数与参数方程求导法则
dy 例1. 设y( x )是 由 方 程 y r 确 定 的 隐 函 数 ， 求 . x dx
2 2 2
解法一： 由方程 2 y 2 r 2解得y r 2 x 2，于是 x
此方法称为对数求导法 。
对数求导法是将 y = f (x) 两端取自然对数后再求导，这里 如有必要，可先将 y = f (x) 两端取绝对值。此方法常用于若干 因式的积、商或根式组成的函数和幂指函数的求导，其好处在 于把积变成和、商变成差、幂指变成乘积。
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第五章：导数与微分
5.3隐函数与参数方程求导法则
2x 2 y 7x 0， 即 k y y . 2 7 2y
1 由 已 知 l ， 所 求 切 线 的 斜 率 2. k k 2
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第五章：导数与微分
5.3隐函数与参数方程求导法则
当k 2时，双曲线与所求直线 相切，故
7x 2， 即 7 x 4 y . 2y
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第五章：导数与微分
5.3隐函数与参数方程求导法则
x2 y2 练 习 ： 求 垂 直 于 直 线 2 x 4 y 3 0并 与 双 曲 线 l: 1 2 7 相切的直线方程。
解：
设 双 曲 线 上 一 点 , y )的 切 线 斜 率 为， 则 由 隐 函 数 求 (x k 导法，有
这即是参数方程所表示 函数的求导法。
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第五章：导数与微分
例.
5.3隐函数与参数方程求导法则
第五讲 导数与微分,微分中值定理及导数的应用
则 f 为I上的凸函数
第五讲 导数与微分，微分中值Th及导数的应用
定义 2：设曲线 y f (x)在点（x0，f (x0 )）处有穿过曲线的切线，且在切点旁， 曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这是切点（x0，f (x0 )）为曲线 y f (x) 的拐点. Th1：设 f 为区间 I 上的可导函数，则下述论断互相等价 （i） f 为 I 上的凸函数 （ii） f (x) 为 I 上的增函数 （iii）对 x1, x2 I ，有 f (x2 ) f (x1) f (x1)( x2 x1)
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x
绝对误差 y f (x0) x
相对误差 y f (x0 ) x y f (x)
第五讲 导数与微分，微分中值Th及导数的应用
7. 微分学基本 Th（导数的应用） （1）费马 Th （2）Rolle 中值 Th （3）Lagrange 中值 Th
f
'(x0 )
lim
x x0
f
'( )
f '(x0
0)
同理可得若 f '(x) 在 x0 点处存在右极限，则必有
f
'(x0 )
第五讲 导数与微分，微分中值Th及导数的应用
Th2：设 f 为区间 I 上的二阶可导函数，则在 I 上 f 为凸（凹）函数
f (x) 0 ( f (x) 0), x I
Th3：......,则 (x0 , f (x0 )) 为曲线 y
f (x) 的拐点
f (x) 0
Th4:设 f 在 x0 可导。在U 0 (x0 ) 内二阶可导，若在U 0 (x0 ) 和U 0 (x0 ) 上 f (x) 的
高中数学导数与微分
高中数学导数与微分导数和微分是高中数学中重要的概念，对于理解函数的变化趋势、求解极值和函数的近似计算具有重要意义。
本文将探讨导数和微分的含义、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、导数的定义及计算方法导数是描述函数变化率的工具，表示函数在某一点处的瞬时变化率。
设函数y=f(x)，如果极限$$\lim_{{h\to 0}}\frac{{f(x+h)-f(x)}}{h}$$存在，则称该极限为函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)。
导数的计算方法可以通过极限的定义进行推导，也可以利用一些常见函数的导数法则进行计算。
1.1 基本导数法则对于常见的初等函数，我们可以根据其性质和定义来求导。
例如：（1）常数函数的导数为0：若f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0；（2）幂函数的导数规则：若f(x)=x^n，其中n为整数，则f'(x)=nx^(n-1)；（3）指数函数和对数函数的导数规则：若f(x)=a^x，其中a为正实数且不为1，则f'(x)=a^x*lna；若f(x)=lnx，则f'(x)=1/x。
其他常见函数的导数规则还包括三角函数、反三角函数、指数型和对数型函数等，可以根据函数的性质灵活运用。
1.2 导数的计算在具体计算导数时，需要根据导数的定义或者导数法则进行变形和化简。
常用的导数计算方法有：（1）用极限的定义计算：根据极限的定义，利用函数在某一点的极限表达式进行转化和化简，最后求出导数的值；（2）利用导数法则进行计算：对于复杂的函数，可以利用导数法则进行简化。
例如，对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导数。
二、微分的概念与性质微分是导数的一个应用，用于近似计算和函数的变化分析。
在实际问题中，我们常常需要通过微分求出函数的局部线性逼近，并利用微分结果进行问题的求解。
2.1 微分的定义设函数y=f(x)在点x处有导数f'(x)，则称函数y=f(x)在点x处的微分为：$$\mathrm{d} y=f'(x)\mathrm{d} x$$其中，dx表示自变量x的增量，dy表示相应的函数值的增量。
数学分析5.1导数的概念(讲义)
第五章导数和微分1 导数的概念一、导数的定义定义1：设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f’(x0). 若该极限不存在，则称f在点x0处不可导.令x=x0+△x，△y=f(x0+△x)-f(x0)，则：==f’(x0).∴导数是函数增量△y与自变量增量△x之比的极限. 这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称为差商)，而导数f’(x0)则为f在x0处关于x的变化率.注：显然常量函数f(x)=C在任何一点x的导数都等于零.例1：求函数f(x)=x2在点x=1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程.解：f’(1)===2.∴曲线在点(1,1)处的切线方程为：y-1=2(x-1)，即y=2x-1.例2：证明函数f(x)=|x|在点x=0处不可导.证：f’(0)=，∵=1，=-1，∵不存在，∴f在点x=0处不可导.设f(x)在点x0可导，则ε=f’(x0)-是当△x→0时的无穷小量，于是ε·△x=o(△x)，即△y=f’(x0)△x+o(△x)，称为f在点x0的有限增量公式.该公式对△x=0仍成立.定理5.1：若函数f在点x0可导，则f在点x0连续.注：可导是连续的充分而非必要条件.例3：证明函数f(x)=x2D(x)仅在点x0=0处可导，其中D(x)为狄利克雷函数.证：当x0≠0时，由归结原理可得f在x= x0处不连续，∴f在x= x0处不可导.当x0=0时，∵D(x)有界，∴f’(0)==xD(x)=0.即f仅在点x0=0处可导.定义2：设函数y=f(x)在点x0的某右邻域(x0, x0+δ)上有定义，若右极限=(0<△x<δ)存在，则称该极限值为f在点x0的右导数，记作f’+(x0). 类似地，定义左导数为f’-(x0)==.右导数和左导数统称为单侧导数.定理5.2：若函数f在点x0的某右邻域内有定义，则f’(x0)存在的充要条件是：f’+(x0)与f’-(x0)都存在，且f’+(x0)=f’-(x0).例4：设f(x)=，讨论f(x)在x=0处的左右导数与导数.解：f’+(0)===0.f’-(x0) ===1.∵f’+(x0)≠f’-(x0)，∴f在x=0处不可导.二、导函数若函数在区间I上每一点都可导(区间端点只考虑单侧导数)，则称f为I上的可导函数. 对每一个x∈I，都有一个导数f’(x)(或单侧导数)与之对应，函数f’就称为f 在I上的导函数，简称为导数. 记作f’, y’或，即：f’(x)=, x∈I注：f’(x0)可写作：y’或例5：证明：(1)(x n)’=nx n-1，n为正整数；(2)(sinx)’=cosx，(cosx)’=-sinx；(3)(log a x)’=log a e (a>0，a≠1，x>0)，特别的(ln x)’=.证：(1)对于y=x n, ==x n-1+x n-2△x +…+△x n-1，∴(x n)’==(x n-1+x n-2△x +…+△x n-1)=x n-1=nx n-1.(2)∵==，由cosx在R上连续可得：(sinx)’==cosx.又==，由sinx在R上连续可得：(cosx)’== -sinx.(3)∵=log a=log a，又由log a x的连续性可得：(log a x)’=log a=log a=log a e.当a=e时，ln e=1，∴(ln x)’=.三、导数的几何意义曲线y=f(x)在点(x0,y0)的切线方程为：y-y0=f’(x0)(x-x0).即函数f在点x0的导数f’(x0)是曲线fy=(x)在点(x0,y0)的切线斜率.若α表示这条切线与x轴正方向的夹角，则f’(x0)=tanα.例6：求曲线y=x3在点P(x0,y0)处的切线方程与法线方程.解：y’=3x2, ∴f’(x0)=3x02==.当x0≠0时，曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=f’(x0)(x-x0)，即y=3x02x-2y0；法线方程为y-y0=(x-x0)，即y=x y0.当x0=0时，切线方程为y=0，法线方程为x=0.定义3：若函数f在点x0的某邻域U(x0)内对一切x∈U(x0)有f(x0)≥f(x)或f(x0)≤f(x)，则称f在点x0取得极大(小)值，称点x0为极大(小)值点. 极大值和极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点.例7：证明：若f’+(x0)>0，则存在δ>0. 对任何x∈(x0,x0+δ)，有f(x0)<f(x).证：∵f’+(x0)=>0，由保号性可知，存在δ>0，对一切x∈(x0,x0+δ)，有>0，∴对任何x∈(x0,x0+δ)，有f(x0)<f(x).定理5.3(费马定理)：设函数f在点x0的某邻域内有定义，且在点x0可导，若点x0为f的极值点，则必有f’(x0)=0.我们称满足方程f’(x0)=0的点为稳定点. 稳定点不一定是极值点。
导数与微分题型与做题方法总结
导数与微分题型与做题方法总结目录1. 导数与微分题型概述 (3)1.1 导数的概念 (4)1.2 微分的概念 (4)1.3 导数与微分的联系 (4)2. 导数题型分类及解题方法 (5)2.1 一阶导数求法 (6)2.1.1 利用导数定义求导 (6)2.1.2 利用导数公式求导 (7)2.1.3 利用求导法则求导 (7)2.2 高阶导数求法 (7)2.2.1 利用高阶导数公式求导 (8)2.2.2 利用求导法则求高阶导数 (9)2.3 复合函数求导 (9)2.3.2 分部积分求导 (10)2.4 隐函数求导 (11)2.4.1 直接求导法 (12)2.4.2 对数求导法 (13)2.5 参数方程求导 (13)3. 微分题型分类及解题方法 (14)3.1 微分公式及运算 (15)3.1.1 微分的基本公式 (15)3.1.2 微分的运算规则 (16)3.2 微分在近似计算中的应用 (16)3.2.1 微分近似计算公式 (17)3.2.2 微分近似计算的步骤 (17)3.3 微分在经济学中的应用 (18)3.3.1 边际分析 (19)4. 导数与微分综合题型及解题技巧 (21)4.1 导数与微分的综合应用 (22)4.1.1 导数与微分在几何中的应用 (23)4.1.2 导数与微分在物理中的应用 (24)4.2 解题步骤及注意事项 (25)4.2.1 分析题意，确定题型 (26)4.2.2 选择合适的求导方法 (27)4.2.3 注意细节，避免错误 (28)5. 案例分析及解题思路 (29)5.1 一阶导数求法案例分析 (29)5.2 高阶导数求法案例分析 (30)5.3 复合函数求导案例分析 (30)5.4 隐函数求导案例分析 (31)5.5 参数方程求导案例分析 (32)5.6 微分公式及运算案例分析 (32)5.7 微分在近似计算中的应用案例分析 (33)5.8 微分在经济学中的应用案例分析 (33)6. 常见错误及注意事项 (34)6.1 求导过程中的常见错误 (34)6.2 微分运算中的常见错误 (36)6.3 注意事项总结 (37)7. 总结与展望 (38)7.1 导数与微分的重要性 (39)7.2 学习建议及展望 (40)1. 导数与微分题型概述导数和微分是数学中的重要概念，用于描述函数的变化率和通过微小变化对函数值的影响。
高中数学(人教版)第5章导数和微积分求导法则课件
导数的四则运算
同理可得
1 2 ( cot x ) csc x. 2 sin x
1 cos x sin x (iii) (sec x ) 2 2 cos x cos x cos x
f ( x0 ) 1 . ( y0 ) (6)
证 设 Δx x x0 , Δy y y0 , 则 Δx ( y0＋ Δy ) ( y0 ), Δy f ( x0Δx ) f ( x0 ) .
由假设, f 1 在点 x0 的某邻域内连续,
0
(4)
导数的四则运算
1 证 设 g( x ) ，则 f ( x ) u( x )g( x ). 对 g( x ), 有 v( x ) 1 1 v ( x0 Δ x ) v ( x0 ) g ( x0 Δ x ) g ( x 0 ) Δx Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 1 . Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 由于 v ( x ) 在点 x0 可导, v( x0 ) 0, 因此
1
反函数 的导数
π2) 上 (ii) y arctan x 是 x tan y 在 ( π 2，
的反函数，故
1 1 1 (arctan x ) 2 2 sec x 1 tan y (tan y )
1 2, 1 x x ( ,).
同理有
1 (arccot x ) , x ( , ). 2 1 x
sec x tan x.
同理可得
(csc x ) csc x cot x .
导数与微分
第五章 导数与微分（12学时）引 言导数与微分是数学分析的基本概念之一。
导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。
导数的概念在于刻划瞬时变化率。
微分的概念在于刻划瞬时改变量。
求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。
本章主要内容如下： 1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义； 2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念；3． 讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。
4． 可导与连续，可导与微分的关系。
导数与微分有广泛的应用，特别对研究初等函数变化的性态是极为有效的工具，因此学好本章内容意义非凡。
总起来讲： 1） 什么是导数？2） 导数有何用？ 3） 怎么算导数？4） 什么是微分？为什么引进？怎么算？§1 导数的概念教学目的：使学生准备掌握导数的概念。
明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。
教学要求： 深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。
教学重点： 导数的概念。
教学难点： 导数的概念。
学时安排： 2学时 教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。
教学程序：一 导数的定义1． 引言（背景）导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。
具体来讲，导数的思想最初是有法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的。
后经牛顿、莱布尼兹（Leibuiz ）等数学家的努力，提炼出了导数的思想，给出了导数的精确定义。
在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。
问题1. 已知曲线求它的切线：曲线方程)(x f y =，),(00y x p =是其上一点，求)(x f y =通过点p 的切线方程。
第五章导数和微分
h0
h
lim
h0
cos( x
h) 2
sin h 2
h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
例3 求函数 y x n (n为正整数)的导数.
解 ( x n ) lim ( x h)n x n
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
更一般地 ( x ) x1 . ( R)
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1) x 11
1 x2
.
例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x
h0
h
a x lim a h 1 h0 h
h0
h
h h 0
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
四、导数旳几何意义与物理意义
1.几何意义
y
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率 , 即
f ( x0 ) tan , (为倾角)o
y f (x)
如果存在着点 x0的一个邻域 , 对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
如果存在着点 x0的一个邻域 , 对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
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第 五 章 导数与微分§1 导数在第一章我们研究了函数，，函数的概念刻画了因变量随自变量变化的依赖关系，但是，对研究运动过程来说，仅知道变量之间的依赖关系是不够的，还需要进一步知道因变量随自变量变化的快慢程度，比如我国的卫星发射技术已进入世界先进行列，并且即将发可见研究物体每时每刻的速度是很重要的，掌握速度变化规律是科学技术中的一个重要课题。
一、实例1、变速运动物体的速度问题在中学里我们学过 平均速度ts ∆∆， 平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解， 这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求， 至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律。
不过瞬时速度的概念并不神秘， 它可以通过平均速度的概念来把握。
根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动。
通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”。
设物体运动的路程是时间的函数 )(t S ，则在 0t 到 t 这段时间内的平均速度为0t t )S(t S(t)v --=可以看出 t 与 0t 越接近，平均速度 v 与 0t 时刻的瞬时速度越接近，当 t 无限接近0t 时，平均速度 v 就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在 0t 时刻的瞬时速度， 即物体在 0t 时刻的瞬时速度为0t t 0t t )S(t S(t)lim)v(t 0--=→ （1）按照这种思想和方法计算自由落体的瞬时度如下：因为自由落体运动的运动方程为：T],[0t ,gt21s 2∈=，按照上面的公式0t t 022t t 00t t gt )t (t 2g limt t gt 21gt 21lim t t s s lim v(t)0=+=--=--=→→→这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式。
2、切线问题设曲线的方程为 )(x f ，p L 为过曲线上两点),(000y x P 与 ),(y x P 的割线，则p L 的斜率为0p x x )f(x f(x)k --=如图 ，当点),(y x P 沿着曲线趋近),(000y x P 时，割线 p L 就趋近于点),(000y x P处的切线，p k 趋近于切线的斜率 K ，因此切 线的斜率应定义为0x x x x )f(x f(x)limK 0--=→ （2）上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的物理意义，单从数量关系上看，它们有共同的本质：两者都表示函数因变量随自变量变化的快慢程度，即都反映了函数的变化率0x x x x )f(x f(x)lim--→二、导数概念上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的物理意义，单从数量关系上看它们有共同的本质，两者都表示函数因变量随自变量变化的快慢程度，即都反映了函数的变化率0x x x x )f(x f(x)lim--→ （3）定义1 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，若极限0x x x x )f(x f(x)lim--→存在，则称函数f 在点0x 可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，x x x x x x 0|dxdf ,|dxdy ,|y ,)(x f ==='' 等.若上述极限不存在，则称f 在点0x 不可导。
注：令x x ∆+=0，)()(00x f x x f y -∆+=，则（3）式可改写为)(x f Δx)f(x Δx)f(xlimΔxΔy lim000Δx 0Δx '=-+=→→ （4）所以，导数是函数增量△y 与自变量增量△x 之比xy ∆∆的极限，这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数)(0x f '则为f 在0x 处关于x 的变化率，它能够近似描绘函数)(x f y =在点0x 附近的变化性态。
三、例题例1 求函数 2)(x x f = 在点x=1处的导数，并求曲线在点（1，1）处的切线方程。
解：由定义求得Δx1Δx)(1limΔxf(1)Δx)f(1lim(1)f 2Δx 0Δx -+=-+='→→2Δx)(2lim ΔxΔx2Δx limΔx 2Δx =+=+=→→由此知道抛物线 2x y = 在点（1，1）处 的切线斜率为 2(1)f k ='= 所以切线方程为1)2(x 1y -=-即 12-=x y .例2 求函数 xy 1= 在 00≠x 处的导数解 根据导数的定义2000Δx 00000Δx 000Δx 0x 1Δx)(x x 1limΔx)(x Δxx Δx x x limΔx x 1Δxx 1lim)(x f -=+-=+--=-+='→→→例3 证明函数 |x |f(x)= 在点 0x 0=证: 因为⎩⎨⎧<->==--0x ,10x ,1x xx f(0)f(x)极限 0x f(0)f(x)limx --→ 不存在，所以)(x f在0=x 处不可导.例4 证明 函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0x ,00x ,x 1xsin f(x) 在0=x 处不可导证明 由于极限 0x f(0)f(x)limx --→，不存在,所以f(x)在0=x 处不可导.例5 常量函数 c f(x)= 在任何一点x 的导数都等于零，即 0(x)f ='接下来我们来了解一下函数在点χ0可导与函数在点χ0连续的关系，为此先介绍有限增量公式.由无穷小量和导数的定义，（4）式可写为 o(Δx))Δx (x f Δy 0+'= 我们称这个是式子为有限增量公式。
注：此公式对△χ= 0仍旧成立。
利用有限增量公式，可得下面结论：定理1 若函数)(x f 在0x 处可导，则函数)(x f0但是可导仅是连续的充分条件，而不是必要条件，比如：函数||x y = 在 0=x 处连续，但不可导。
例 证明函数)()(2x D x x f = 仅在点 χ= 0处可导。
其中 D （χ）为狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数x 当,0为有理数x 当,1D(x)证：当x 0≠0时，由归结原理可得 f(x)在 0x x = 处不连续，所以, 由定理5.1，x f(x)= 在 0≠=0x x 处不可导。
当 0x 0= 时，由于D(x) 为有界函数, 因此得到.0xD(x)lim 0x f(0)f(x)lim(0)f 0x 0x ==--='→→函数在一点的单侧导数类似于函数在一点有左、右极限, 对于定义在某个闭区间或半开区间上的函数，如果要讨论改函数在端点处的变化率时，就要对导数概念加以补充，引出单侧导数的概念。
定义2 设函数 )(x f y = 在点0x 的某右邻域 δ)x ,(x 00+上有定义，若右极限Δx)f(x Δx)f(x lim ΔxΔy lim 000Δy 0Δx -+=++→→ (0＜x ∆＜δ)或0x x x x )f(x f(x)lim0--+→ (δ+<<00x x x )存在，则称该极限值为 f 在点 x 0 的右导数，记作)('0x f +，类似地，可定义左导数Δx)f(x Δx)f(xlim )(x f 00Δx 0_-+='→-右导数和左导数统称为单侧导数。
例 ⎩⎨⎧<≥-=0,0,cos 1)(x xx x x f 讨论 )(x f 在0=x 处的左、右导数 ⎪⎩⎪⎨⎧<∆>∆∆∆-=∆-∆+0,10,cos 1)0()0(x x x xxf x f11lim )0(0cos 1lim)0(00=='=∆∆-='-→∆-+→∆+x x f xxf如同左、右极限与极限之间的关系，导数与单侧导数的关系是：定理2 若函数)(x f 在点0x 的某邻域内有定义，则)(0x f '存在的充分必要条件是：)(,)(00x f x f -+'' 都存在，且)('0x f + = )('0x f -。
说明：分段函数在分界点处讨论导数便是依据这一结论，通过左、右导数来判断该点是否存在导数及若存在应等于什么。
例 1lim0||lim )0(,||)(00-=-=-='=-→-→-xx x x f x x f x x1lim0||lim)0(00==-='-→+→+xx xx f x x例 讨论函数 x x x f sgn )(2= 在0=x 的导数。
解 ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,0,)(22x x x x x f00lim)0(20=-='-→-xx f xy00lim )0(20=-='+→+xx f x由定理2，0)0(='f连续函数不存在导数举例例如函数0=x 处是焦点，不可导函数0=x 处振荡，左右导数都不存在。
二 导函数若函数在区间I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称f 为I 上的可导函数。
此时对每一个χ∈I ，都有f 的一个导数)('x f （或单侧导数）与之对应，这样就定义了一个在I 上的函数，称为f 在I 上的导函数，也简称为导数，记作dxdf dxdy y x f ,,,)('' 等. 即I x ,Δxf(x)Δx)f(x lim(x)f 0Δx ∈-+='→.说明：1°区间上的可导概念与连续一样，也是逐点定义的局部概念。
2°在物理学中导数y ˊ也常用牛顿记号y ` 表示，而记号dxdy 是莱布尼茨首先引用的。
目前我们把 dxdy 看作为一个整体，也可把它理解为 dxdy 施加于y 的求导运算，待到学过“微分”之后，将说明这个记号实际上是一个“商”，相应于上述各种表示导数的形式，。
00x x x x |dxdy 或|f =='例6 证明： (i) 为正整数n ,nx)(x 1n n-=';,,0,)(2⎩⎨⎧>≤=x x x x x f ,x 0,0x ,x1xsin f(x)⎪⎩⎪⎨⎧=≠=(ii) sinx )(cosx ,cosx )(sinx -='='(iii) .x1)(lnx ,)0x ,1a ,0a (log x1)x (loge aa='>≠<='特别三、导数的几何意义我们知道时的极限即x x 正是割线斜率在k,的切线斜率x x 在点f(x)00→=0x x x x )f(x f(x)limk 0--=→由导数的定义，)('x f k =，所以曲线 )(x f y = 在点),(00y x 的切线方程是)x )(x (x f'y y 000-=- （7）这就是说：函数f 在点x 0 的导数 )('0x f 是曲线 )(x f y = 在点 （x 0，y 0）处的切线斜率，若α 表示这条切线与x 轴正向的夹角，则)(x f'0=tan α ，从而)('0x f ＞0 意味着切线与x 轴正向的夹角为锐角；)('0x f = 0表示切线与x 轴平行。