2.2点的极坐标与直角坐标的互化

8.以 (

2,


4

)为圆心，2

为半径的圆的极坐标方程是(C)

A.   (sin  cos ) B.   sin  cos

C.   2(sin  cos ) D.   2(sin  cos )

5.若两条曲线的极坐标方程分别为 1 与
  2 cos    ,它们相交于 A, B 两点,求线段
 3
AB的长．

解：由   1 得 x2  y2  1

  2cos(   )  cos  3 sin,2   cos  3 sin

3

，

 x2  y2  x  3y  0

由

x2

 

x

2

 

y2 y2

1 x



3y  0

得 A(1,0), B( 1 ,  3 ) 22

2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴

重合;

3. 两种坐标系的单位长度相同.

例1. 将点M的极坐标 (5, 2 )化成直角坐标.
3

点M的直角坐标为 ( 5 , 5 3 )
22

例2. 将点M的直角坐标 (

3,1)

化成极坐标. (2, 7 )

6

练习：

1.把点M 的极坐标 (8, 2 ), (4,11 ), (2, )

3.  3 的直角坐标方程是
4

解：tan  y tan 3  y ,即y  x( y  0)

x

4x

4.极坐标方程  sin  2 cos所表示的

曲线是

解：因给定的不恒等于零, 得 2＝ sin  2 cos

化 成直 角坐 标方 程为x2  y2  y  2x
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )

这个点如何用极坐标表示?

在直角坐标系中, 以原点作 y M(1, 3)

为极点,x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相同的长

θ
O

x

度单位.

设点M的极坐标为(ρ,θ)

  12 （ 3）2  2 tan  3  3   

1

3

M (2,  )或(2, 2k   ) k  Z

3

6

化成直角坐标；

2.把点P的直角坐标( 6, 2) (2,2)和(0,15)
，
化成极坐标。

）百度文库
解（2）由直角坐标化为极坐标的公式： 解（1）由极坐标化为直角坐标的公式：
 x2 x2 cosy2;;tyan syin.
x
得得极直坐角标坐分标别分为别(为2 2(,1164,4),(23),2(,2743),,(125),,3(22),0)
王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com


y2

y0

小节： 1、极坐标化为平面直角坐标 2、平面直角坐标化为极坐标



例4、求曲线   sin  3cos 的直角坐标方程

解：  2   sin  3 cos（两边同乘以 ）

 x   cos ; y   sin； 2  x2  y2

 x2

 3x

新疆 源头学子小屋
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即( x 1)2  ( y  1 )2  5 这是以点(1, 1 )为圆心，

24

2

半径为 5 的圆。 2

6.极坐标方程  sin2   2  cos  0 表示的曲线是_____ 抛物线
7.极坐标方程 4sin2   3所表示的曲线是（ B ）
A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆 D.抛物线

 AB 

1



1 2

2 



 

0



2
3 2 



3

课堂小结：
1、将直角坐标方程化成极坐标方程，只要将 x = ρcos θ，y = ρsin θ代入再化简即可
2、将极坐标方程化为直角坐标方程,可将方 程化成 ρcos θ，ρsin θ 和ρ2的形式,再 分别替换成 x，y，x2 +y2，有时要两边先乘 以ρ ；

3

3

极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y)，极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
 2  x 2  y 2 , tan  y ( x  0)
x
通常情况下，将点的直角坐标, 化为极
坐标时，取   0, 0, 

互化公式的三个前提条件：

1. 极点与直角坐标系的原点重合;