江苏省徐州高级中学苏教版高中数学选修1-1学案：2.3.1抛物线的标准方程

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数学知识点苏教版选修(1-1)2.4《抛物线》word教案-总结

2.4抛物线2.4.1 抛物线的标准方程【教学目标】1.知识目标（知识与技能）（1）理解并掌握抛物线的定义；（2 会推导抛物线的标准方程；(3) 掌握四种形式的标准方程的数形特点，并会简单的应用。

2. 能力目标（过程与方法）（1）研究抛物线定义的过程中培养学生观察、抽象概括能力；（2）通过选择恰当的坐标系进一步培养学生的思维优化意识，提高建立坐标系的能力；（3）通过写出不同位置的抛物线的标准方程，培养学生的比较、类比、归纳思维能力；（4）培养学生数形结合、分类讨论、对比的数学思想方法。

3．情感目标（情感态度与价值观）（1）强化学生的注意力及新旧知识的联系，树立学生求真的勇气和自信心；（2）通过欣赏抛物线图形的对称性、建立恰当的坐标系求标准方程等及图形与标准方程唤起美感意识；（3）通过定义和标准方程的学习，培养实事求是、勇于探索、严密细致的科学态度。

【教学重点】1.掌握抛物线的定义及标准方程；2.会用待定系数法和定义法，求抛物线的标准方程。

【教学难点】1.抛物线的标准方程的推导；【教学方法】1.动画演示法；2.观察探究法；3.类比法；4.图表法；5.多媒体辅助教学法。

【教学过程】一、复习：、椭圆、双曲线的定义及相关概念；、椭圆、双曲线标准方程的推导过程；二、新课引入：、实例引入：观察生活中的几个实例（1）截面图；（2）卫星接收天线（观察其轴截面）；（3）太阳灶（观察其轴截面）；（4）探照灯（观察其轴截面）；（5）投球时球的运行轨迹（播放动画演示其轨迹）、复习引入：在平面内到一定点的距离和到一条定直线距离的比是常数e 的点的轨迹，0〈e < 1时是什么图形？（椭圆）e > 1时是什么图形？（双曲线）e =1时它又是什么图形呢？（让学生大胆猜想，猜想后用几何画板演示动画，让学生认真观察动点所满足的条件，让学生对抛物线由感性认识上升到理性认识）师指出：画出的曲线叫抛物线。

类比：使学生看到曲线上任一点到定点和到定直线的距离之比等于常数是圆锥曲线的一个共同的本质属性，明确抛物线与椭圆、双曲线之间的联系）.课题引入在初中，我们学习了二次函数2y ax bx c =++，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：（1）24y x =，（2）24y x =-的图象（展示两个函数图象）：师：……那么，如果问你怎么样的曲线是抛物线，你可以回答我吗？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 2.4.1 抛物线的标准方程》6

抛物线的标准方程教学设计一、教学目标（一）教学知识点1．抛物线的定义2．抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线抛物线的标准方程中〔,〕是抛物线上任意一点，由抛物线定义得化简得解法二：以定点F为原点，过F垂直于直线的直线为轴，过F且与直线平行的直线为轴，建立直角坐标系〔如右图所示〕，那么定点F0,0，的方程为＝－〔,〕是抛物线上任意一点，由抛物线定义得化简得解法三：以过F且垂直于直线的直线为轴，轴与交于Ｋ，以线段KF的垂直平分线为轴建立直角坐标系〔如右图所示〕，那么定点F,0，的方程为＝－设动点M〔,〕是抛物线上任意一点。

由抛物线定义得：化简得：通过比拟可以看出，第三种解法的答案不仅具有较简的形式，而且方程中一次项的系数是焦点到准线距离的２倍。

我们把这个方程叫做抛物线的标准方程。

它表示抛物线的焦点在轴的正半轴上，坐标是，它的准线方程是。

探究二、抛物线的位置及其方程还有没有其它形式？选择一名探究开口向上的学生求出方程，对于还有两种叫学生再次思考如何快速得到它们的方程。

方法一：还是利用定义，方法二：利用对称性得到。

如下表所示：探究三、你如何记忆这张表？由学生总结：（1）①方程的一次项决定焦点的位置②一次项系数的符号决定开口方向（2）抛物线可分左右型上下型来记〔三〕例题例１求以下抛物线的焦点坐标和准线方程12=6 〔2〕225=0 3=a2a>0例２根据以下条件写出抛物线的标准方程：1焦点坐标是F〔0，-2〕2焦点在直线3-4-12=0上3 抛物线过点A〔-3，2〕。

评述：在解决关于抛物线的问题时，抛物线的焦点与准线的距离起着十分重要的作用。

在解题时，联想它的图形，有利于我们准确、迅速地得到正解的答案。

〔四〕课时小结1、抛物线的定义和标准方程的推导；2、抛物线的四种标准方程及相应的焦点坐标、准线方程；在求相关量时，应先“定位〞；后“定量〞。

3、数形结合的思想。

〔五〕课后作业P46 1、2、3。

高中数学选修1-1《抛物线》说课教案

课题：抛物线及其标准方程本节课的教学设计本节教材是在学生学习了椭圆、双曲线之后，因此在教学中，要时时注意与前两种曲线进行对比，求曲线方程的步骤、建系方法都是学生已经理解和掌握了的，我充分调动学生已有的知识，引导学生把新旧知识有机融合，掌握知识的系统结构。

一、教学理念在“以学生发展为核心”的理念下，不仅要关注学生“学会”知识，而且还要特别关注学生“会学”知识。

本节课在实验的基础上，以问题为核心，创设情景，通过教师适时的引导，生生间、师生间的交流互动，启迪学生的思维，使学生通过自己的分析、反思、纠正，不断完善并形成抛物线的概念，推导抛物线的方程，建构自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦。

在这一过程中，教师只是一名组织者，引导者，促进者。

二、教学方法为了充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习，我采用了“引导探究”式的教学模式，在课堂教学过程中，我始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线，思维为核心”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和概括，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学的全过程。

三、教学手段直尺—三角板教具在本节课的概念形成过程中起到非常重要的作用，为学生的自主探究活动提供了实物载体，相关的实验材料可向学生预先布置，做好准备，计算机为教师进行教学演示和学生的观察提供了平台，二者有机结合，协调发挥作用，使课堂更加紧凑有序。

四、教学设计为了突破本节课的难点——抛物线概念的形成，我注重与同学们所熟知的二次函数对比，通过变换坐标系的建立，一方面强化学生求曲线方程的基本功，另一方面与二次函数联系起来，使学生有一种“顿悟”的感觉。

在每个阶段的教学中精心设计问题情景，为学生自主探究和发现创造条件。

高中数学选修1-1优质学案1：2.3.1抛物线及其标准方程

2.3.1 抛物线及其标准方程问题导学一、求抛物线的标准方程探究1：根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点．巩固1：动圆P 与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且与直线l ：x ＝1相切，求动圆圆心P 的轨迹方程．二、由抛物线方程求焦点坐标、准线方程探究2：已知下列抛物线的方程，分别求其焦点坐标和准线方程： (1) y 2＝8x ；(2)2x 2＋5y ＝0；(3)y 2＝ax (a ＞0)．巩固2：1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标为( )A ．(1,0)B ．⎝⎛⎭⎫12，0C ．⎝⎛⎭⎫14，0D ．⎝⎛⎭⎫0，1162．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点P (－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标．三、抛物线定义的应用探究3：(1)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆(2)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)巩固3：1．若抛物线y 2＝4x 上有一点P 到焦点F 的距离为5，且点P 在直线x ＋y －3＝0的上方，则P 的坐标为__________．2．抛物线x 2＝ay 过点A ⎝⎛⎭⎫1，14，则点A 到此抛物线焦点的距离为__________．四、与抛物线有关的最值问题探究4：已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|PA |的值最小．巩固4：1．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫14，－1B ．⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2) 2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的一点M 到定点A ⎝⎛⎭⎫72，4和焦点F 的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．当堂检测1．抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．82．以双曲线22=1169x y -的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝12x C ．y 2＝－20x D ．y 2＝20x3．已知动点M (x ，y )的坐标满足2|x -，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．以上均不对4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是__________．5．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为__________． [答案] 【问题导学】探究1：思路分析：(1)点在第三象限，则抛物线的焦点可能在x 轴的负半轴上，也可能在y 轴的负半轴上，按这两种情况进行讨论；(2)直线与坐标轴的交点有两个，分情况讨论焦点的位置，从而确定抛物线的标准方程．解：(1)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝1 6；若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝9 2．∴所求抛物线的标准方程为y2＝－13x或x2＝－9y．(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，∴所求抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x．巩固1：1．解：如图，设动圆圆心P(x，y)，过点P作PD⊥l于点D，作直线l′：x＝2，过点P作PD′⊥l′于点D′，连接PA．设圆A的半径为r，动圆P的半径为R，可知r＝1．∵圆P与圆A外切，∴|PA|＝R＋r＝R＋1．又∵圆P与直线l：x＝1相切，∴|PD′|＝|PD|＋|DD′|＝R＋1．∵|PA|＝|PD′|，即动点P到定点A与到定直线l′距离相等，∴点P的轨迹是以A为焦点，以l′为准线的抛物线．设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)，可知p＝4，∴所求的轨迹方程为y 2＝－8x ．:探究2：思路分析：解答本题可先把原方程转化为标准方程，求得参数p ，再求焦点坐标和准线方程．解：(1)∵p ＝4，∴所求抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程是x ＝－2． (2)2x 2＋5y ＝0化为x 2＝－52y ，且抛物线开口向下，∴p ＝54．∴抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－58，准线方程是y ＝58． (3)由于a ＞0，∴p ＝a2，∴抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a 4．巩固2： 1．D [解析]原方程化为标准方程为x 2＝14y ，焦点在y 轴上，且p ＝18，∴抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116． 2．解：由已知设抛物线的标准方程是x 2＝－2py (p ＞0)或y 2＝－2px (p ＞0)，把P (－2，－4)代入x 2＝－2py 或y 2＝－2px 得p ＝12或p ＝4，故所求的抛物线的标准方程是x 2＝－y 或y 2＝－8x ．当抛物线方程是x 2＝－y 时，焦点坐标是F ⎝⎛⎭⎫0，－14，准线方程是y ＝14．当抛物线方程是y 2＝－8x 时，焦点坐标是F (－2,0)，准线方程是x ＝2． :探究3： (1)思路分析：利用圆与圆外切、直线与圆相切的几何条件求轨迹． A [解析]由题意知动圆圆心C 到点(0,3)距离与到定直线y ＝－1的距离相等， ∴C 的圆心轨迹是抛物线．(2)思路分析：利用抛物线的定义将|FM |转化为点M 到准线的距离，再利用直线与圆相交的条件求解．C [解析]由抛物线方程为x 2＝8y ，得焦点坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2，则|FM |等于点M 到准线y ＝－2的距离， ∴|FM |＝y 0＋2．又圆与准线相交，∴|FM |＝y 0＋2＞4．∴y 0＞2．巩固3：1．(4,4) [解析]设P 的坐标为(x 0，y 0)， ∵抛物线方程为y 2＝4x ， ∴准线方程为x ＝－1． ∴|PF |＝x 0＋1＝5．∴x 0＝4．代入抛物线方程，得y20＝4x0＝16，∴y0＝±4．又∵P在直线x＋y－3＝0的上方，∴P的坐标为(4,4)．2．54[解析]把点A⎝⎛⎭⎫1，14代入抛物线方程得a＝4，即抛物线方程为x2＝4y，准线方程为y＝－1．由抛物线定义，得|AF|＝1＋14＝54．:探究4：思路分析：根据抛物线的定义把|PF|转化为点P到准线的距离，画出图形，通过观察图形，利用“数形结合”的思想即可求出点P的坐标．解：∵(－2)2＜8×4，∴点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部．如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，由抛物线的定义可知：|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|，当且仅当P，Q，A三点共线时，|PF|＋|PA|取得最小值，即为|AB|．∵A(－2,4)，∴不妨设|PF|＋|PA|的值最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝12．故使|PF|＋|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12．巩固4：1．A[解析]点Q(2，－1)在抛物线内部，如图所示．由抛物线的定义知，抛物线上的点P到点F的距离等于点P到准线x＝－1的距离，过Q点作x＝－1的垂线，与抛物线交于K，则K为所求，当y＝－1时，x＝14，∴P为⎝⎛⎭⎫14，－1．2．解：(1)当点A 在抛物线内部时，42＜2p ·72，即p ＞167时，|MF |＋|MA |＝|MA ′|＋|MA |．当A ，M ，A ′共线时(如图中A ，M ′，A ″共线时)，(|MF |＋|MA |)min ＝5．故p 2＝5－72＝32⇒p ＝3，满足3＞167，所以抛物线方程为y 2＝6x ．(2)当点A 在抛物线外部或在抛物线上时，42≥2p ·72，即0＜p ≤167时，连接AF 交抛物线于点M ，此时(|MA |＋|MF |)最小，即|AF |min ＝5，⎝⎛⎭⎫72－p 22＋42＝25， 72－p 2＝±3⇒p ＝1或p ＝13(舍去)．故抛物线方程为y 2＝2x ．综上，抛物线方程为y 2＝6x 或y 2＝2x ．当堂检测1．[答案]B [解析]由y 2＝4x 得焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1， ∴焦点到准线的距离为2．2．[答案]A [解析]由已知抛物线的焦点为(4,0)，则设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)． ∴=42p，p ＝8． ∴所求方程为y 2＝16x ．3．[答案]C [解析]设F (2,0)，l ：x ＝－2，则M 到F 的距离为，M 到直线l ：x ＝－2的距离为|x ＋2|＝|x ＋2|，所以动点M 的轨迹是以F (2,0)为焦点，l ：x ＝－2为准线的抛物线．4．[答案]6 [解析]由题意知P 到抛物线准线的距离为4－(－2)＝6，由抛物线的定义知，点P到抛物线焦点的距离也是6．5．[答案]5[解析]由x2＝4y知其准线方程为y＝－1，根据抛物线定义，点A与焦点的距离等于点A到准线的距离，其距离为4－(－1)＝5．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 2.4.1 抛物线的标准方程》5

（一）回顾抛物线的定义:（二）新课讲解1.推导抛物线的标准方程（开口向右）F设焦点F到准线的距离,求抛物线的方程：建系→设点→列式→化简整理（教材只给出了一种建系方式，但学生在建系时可能不只一种为了体现学生的主体地位，这里先让学生建系，教师再汇总学生的结果，并比较）∴抛物线的标准方程_________，焦点坐标为__________ , 准线方程为____________的几何意义：焦点F到准线的距离（焦准距）思考：若顶点在原点，焦点在轴负半轴上或在轴正半轴上或在轴负半轴上，你能写出这三种情况下抛物线的标准方程方程吗？标准方程图形开口方向焦点坐标准线方程2pxy2（>0）（把学生分为三组，分别推导上面表格中下面三行的抛物线的标准方程）归纳记忆规律：（先请学生归纳特点，教师补充）三例题讲解与当堂练习例1 求抛物线x y 42=的焦点坐标和准线方程。

练习：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程。

1232y x =- 2242y x = 3232x y =- 422y x = 520()y ax a =≠例2求满足下列条件的抛物线的标准方程。

（1）焦点为（0,-2） 2 准线方程为=1 3过P （-2，-4）练习：求满足下列条件的抛物线的标准方程。

（1）焦点为（-5,0）（2）准线方程为14y =- （3）过P （-3，2）（4）焦点到准线的距离为5 （5）抛物线的焦点与双曲线22169144x y -=的一个焦点相同（四课堂小结：（1）理解抛物线的定义，四种标准方程及参数的几何意义。

（2）抛物线标准方程与其焦点坐标及准线方程之间的对应关系。

3 数形结合的思想，分类讨论的思想思考题：已知点P 在抛物线22y x =上（1）若点P 的横坐标为2，求点P 到抛物线焦点的距离。

（2）若点P到抛物线焦点的距离为4，求点P的坐标（五）课后反思：（六）作业：活页作业——抛物线的标准方程。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 2.4.1 抛物线的标准方程》3

抛物线及其标准方程教学设计摘要：如何培养学生动手操作，合作探究的能力？本文以抛物线及其标准方程为载体，让学生在折纸中发现抛物线的定义，在折纸中巩固抛物线的定义，从而有效培养学生动手操作和探索发现能力；通过小组合作探究抛物线的标准方程，通过互问互答提高小组合作的水平，增强小组的凝聚力。

关键词：抛物线及其标准方程动手操作合作交流新的高中数学课程标准指出：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。

这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

笔者在设计《抛物线及其标准方程》时，很好的贯彻这一理念，下面给大家分享一下设计过程。

一．过程设计1．动手探索自主建构上课前先发一张如图1所示的讲义（16薄纸），让同学们对折，使得点A和点F重合，标记折痕和直线a 的交点A1，依次继续对折，使得点B和点F重合，标记折痕和直线b的交点B1，……当同学们大都得到E1点时，笔者让他们停下来时，抛出两个问题：问题1：E1和E、F的位置关系是什么？问题2：能否不再折纸，得到余下四个点（对称原理）？全部完成以后，引导学生发现这些点的公共特点（到直线和点F的距离相等），从而得到抛物线的定义（学生自主建构得到）。

教师用几何画板动态验证（略）。

l FA B C D E G H M Nabchgedmn图2图1（教师投影）抛物线的定义：平面内到一个定点F和一条定直线（F不在上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（如图2）。

定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。

说明：这里强调F 不在上，当F 在上时，引导学生思考此时轨迹是什么？问题3你能给出你所见过的抛物线模型吗？教师在学生回答的基础上，投影出以下（图3）和抛物线有关图案，让学生感受数学的美和实用性。

抛物线的生活实例喷泉灯卫星接收天线图32．小组合作再次建构问题4求曲线方程的一般步骤是什么？建系→设点→列等式→代方程→化简→检验（简单概括：建设现代化，现代化的成果需要检验）问题5你认为应如何选择坐标系，使所建立的抛物线的方程更简单？尝试一下？学生受已有经验和图形对称性的影响，一般会想到以下三种建系方式（如图4）：准线l:x=-p (p p -2px y 22>=(p p 2px y 22>+=(p 2px y 2>=焦点F （p,0）焦点F （0,0）准线l:x=0F ,02p 焦点（）o x y ··F M l N o y x··F M l N o y x ··F M lN: x 2p =-准线l图4（1）图4（2）图4（3）根据学生猜测，将同学们分成三组，分别探索出方程，交流比较所得结果，看哪一个最简洁。

高中数学选修1-1优质学案：2.3.1 抛物线及其标准方程

§2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程.知识点1抛物线的定义把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若点P到点F(1，0)的距离和直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.()(2)若点P到点F(1，0)的距离和直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.()(3)若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线.()提示(1)由抛物线的定义可知(1)正确.(2)由于定点F(1，0)在直线x＋y－1＝0上，所以点P的轨迹不是抛物线，即(2)错误.(3)由题意知点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是抛物线，(3)正确.[答案](1)√(2)×(3)√知识点2抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)⎝⎛⎭⎪⎫p2，0x＝－p2y2＝－2px(p>0)⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0x＝p2x2＝2py(p>0)⎝⎛⎭⎪⎫0，p2y＝－p2x2＝－2py(p>0)⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2y＝p2【预习评价】准线为x＝1的抛物线的标准方程为________.[解析]由题知抛物线的焦点在x轴的负半轴上，p2＝1，即p＝2，故抛物线的方程y2＝－4x.[答案]y2＝－4x题型一求抛物线的标准方程【例1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点为(－2，0)；(2)准线为y＝－1；(3)过点A(2，3)；(4)焦点到准线的距离为5 2.解(1)由于焦点在x轴的负半轴上，且p2＝2，∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y 2＝－8x . (2)∵焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1， ∴p ＝2，∴抛物线的标准方程为x 2＝4y .(3)由题意，抛物线方程可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝ny (n ≠0)，将点A (2，3)的坐标代入，得32＝m ·2或22＝n ·3， ∴m ＝92或n ＝43.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝92x 或x 2＝43y . (4)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52. ∴所求抛物线的标准方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .规律方法求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x 轴上的抛物线方程可设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x 2＝ay (a ≠0).【训练1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(3，－4)；(2)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上.解 (1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0).把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3，32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .方法二 ∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝by (b ≠0).把点(3，－4)分别代入，可得a ＝163，b ＝－94. ∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y . (2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x .方向1 利用抛物线的定义求轨迹(方程)【例2－1】动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线D.以上都不对[解析] 把方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|转化为x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5，设动点M (x ，y )，上式可看作动点M 到原点的距离等于动点M 到直线3x ＋4y －12＝0的距离，所以动点M 的轨迹是以原点为焦点，以直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线. [答案] C方向2 利用抛物线的定义求最值【例2－2】如图，已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，准线为l ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3，2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求此时P 点坐标.解如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|＋d的最小值的问题.将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.∵6>2，∴A在抛物线内部.设抛物线上动点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.∴点P坐标为(2，2).规律方法抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等. 【训练2】已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为()A.172 B.2 C. 5 D.92[解析]如图，由抛物线定义知|PA |＋|PQ |＝|PA |＋|PF |，则所求距离之和的最小值转化为求|PA |＋|PF |的最小值，则当A ，P ，F 三点共线时，|PA |＋|PF |取得最小值. 又A (0，2)，F (12，0)， ∴(|PA |＋|PF |)min ＝|AF | ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋（2－0）2＝172. [答案] A题型三抛物线的实际应用【例3】如图所示，一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍，若拱口宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值.解以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－a 4.设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， ∵点B 在抛物线上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝－2p ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，解得p ＝a 2， ∴抛物线方程为x 2＝－ay .将点E (0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a .∴点E 到拱底AB 的距离为a 4－|y |＝a 4－0.64a >3. 解得a >12.21.∵a 取整数，∴a 的最小整数值为13.规律方法以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，抛物线的应用主要解题步骤：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2)利用方程求点的坐标.【训练3】如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.(1)以隧道的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米).解(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，如图所示，因为点C(5，－5)在抛物线上，解得p＝52，所以该抛物线的方程为x2＝－5y.(2)设车辆高h米，则|DB|＝h＋0.5，故D(3.5，h－6.5)，代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.课堂达标1.抛物线y＝－18x2的准线方程是()A.x ＝132B.x ＝12C.y ＝2D.y ＝4[解析] 将y ＝－18x 2化为标准形式x 2＝－8y ，由此可知准线方程为y ＝2. [答案] C2.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线的方程为( ) A.y 2＝8x B.y 2＝4xC.y 2＝2xD.y 2＝±8x[解析] 由题意知，抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即为(－2，0)或(2，0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x . [答案] D3.已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A.2B.3C.115D.3716[解析] 易知直线l 2：x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 的准线，如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为PF 的长度，其中F (1，0)为抛物线y 2＝4x 的焦点. 由图可知，距离和的最小值，即F 到直线l 1的距离 d ＝|4＋6|（－3）2＋42＝2.[答案] A4.若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________. [解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1，0)，准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9. [答案] 95.若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝________.[解析] 由双曲线x 23－16y 2p 2＝1得标准形式为x 23－y 2p 216＝1，由此c 2＝3＋p 216，左焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 216，0.由y 2＝2px 得准线为x ＝－p 2，∴－ 3＋p 216＝－p2，∴p ＝4. [答案] 4课堂小结1.抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上.2.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型.因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my(m ≠0).。

高中数学抛物线及其标准方程(一)教案苏教版选修1-1

抛物线及其标准方程（一）内容分析：一、复习引入：1椭圆的第二定义:2. 双曲线的第二定义：3．问题：到定点距离与到定直线距离之比是定值e 的点的轨迹，当0<e<1时是椭圆，当e>1时是双曲线。

此时自然想到，当e=1时轨迹是什么？二、讲解新课：1. 抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线2．推导抛物线的标准方程：3．抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出|KF|=p （p >0），则抛物线的标准方程如下：(1))0(22>=p px y , 焦点: 准线l ：(2))0(22>=p py x , 焦点: ，准线l ：(3))0(22>-=p px y , 焦点: 准线l ：(4) )0(22>-=p py x , 焦点: 准线l ：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p = 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x （2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号三、讲解范例：例1 （1）已知抛物线标准方程是x y 62=，求它的焦点坐标和准线方程（2）已知抛物线的焦点坐标是F （0，－2），求它的标准方程例2 已知抛物线的标准方程是（1）y 2＝12x ，（2）y ＝12x 2，求它的焦点坐标和准线方程．例3 求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F （－5，0）（2）经过点A （2，－3）四、课堂练习：1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（1）y 2＝8x （2）x 2＝4y （3）2y 2＋3x ＝0 （4）2ax y = 2．根据下列条件写出抛物线的标准方程（1）焦点是F （－2，0）（2）准线方程是31=y （3）焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上（4）经过点A （6，－2）3．抛物线x 2＝4y 上的点p 到焦点的距离是10，求p 点坐标课堂练习答案：1．（1）F （2，0），x ＝－2（2）（0，1），y ＝－1 （3）（83-，0），x ＝83 （4）（0，23-），y ＝23 2．（1）y 2＝－8x（2）x 2＝－34y （3）x 2＝8y 或x 2＝－8y （4）x y 322= 或 y x 182-= 3．（±6，9）点评：练习时注意（1）由焦点位置或准线方程正确判断抛物线标准方程的类型；（2）p 表示焦点到准线的距离故p ＞0；（3）根据图形判断解有几种可能五、小结：小结抛物线的定义、焦点、准线及其方程的概念；六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。

苏教版高中数学选修1-1《抛物线的几何性质》教案

抛物线的几何性质学习目标：1、掌握抛物线的几何性质，理解其产生过程；2、能应用抛物线的几何性质解决有关问题；学习重点：抛物线几何性质学习过程：一、问题情境1．上节课我们学习了抛物线，通过抛物线的定义研究了它的标准方程。

首先来回顾一下抛物线的定义及其标准方程。

2．同学们觉得这节课应该研究什么内容？类比椭圆、双曲线的研究过程，这节课应该来研究“抛物线的几何性质”。

二、探索研究同学们自己先类比探索“抛物线的几何性质有哪些？如何研究？”，必要时可与同桌交流你的结论。

三、归纳总结顶点准线范围对称轴焦点图形方程 l Fy x O lF y xO lF y x O l Fy xOy 2 = 2px （p >0） y 2 = -2px （p >0） x 2 = 2py （p >0） x 2= -2py （p >0） )0,2(pF )0,2(p F -)2,0(pF )2,0(p F -2px =2px -=2p y -=2p y =x ≥0 y ∈R x ≤0 y ∈R y ≥0 x ∈Ry ≤ 0x ∈R(0,0) x 轴 y 轴(0,0) (0,0) (0,0)x 轴 y 轴四、例题解析1．求满足下列条件的抛物线方程：(1) 顶点在坐标原点，焦点为F(5，0)；(2) 顶点在坐标原点，关于y 轴对称，且经过M(2, 22-)； (3) 顶点在坐标原点，准线方程为x=3分析：根据待定系数法设出抛物线的方程，由题意列出相应的关系式求解。

2．汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197mm ，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm 。

由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线。

为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1mm)课下思考：设过抛物线y 2=2px 的焦点F 的一条直线和抛物线有两个交点，且两个交点的纵坐标为和，求证：=-p 2。

高中数学选修1-1教学设计-抛物线及其标准方程

2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.(重点)2.会求简单的抛物线的方程.(重点)3.了解抛物线的实际应用.(难点)4.能区分抛物线标准方程的四种形式.(易混点)[基础·初探]教材整理抛物线的定义与标准方程阅读教材P 56～P 58“思考”部分，完成下列问题. 1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程四种不同标准形式的抛物线方程图形标准方程 y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)焦点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2准线方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)标准方程y 2＝2px (p >0)中的p 的几何意义是焦点到准线的距离.( ) (2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定.( ) (3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.( )(4)抛物线可看作双曲线的一支.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)×[小组合作型]求抛物线的标准方程求适合下列条件的抛物线的标准方程，并写出它们的准线方程和焦点坐标.(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上；(3)焦点到准线的距离为52.【精彩点拨】本题主要考查抛物线标准方程的求法，解题的关键是明确标准方程的类型和参数p 的值.【自主解答】 (1)∵点(－3,2)在第二象限， ∴设抛物线方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py (p >0).将点(－3,2)代入方程，得2p ＝43或2p ＝92.∴当焦点在x 轴上时，所求抛物线方程是y 2＝－43x ，其焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，准线方程为x ＝13；当焦点在y 轴上时，所求抛物线方程为x 2＝92y ，其焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，98，准线方程为y ＝－98.(2)令x＝0，由方程x－2y－4＝0，得y＝－2. ∴抛物线的焦点为F(0，－2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则由－p2＝－2，得2p＝8，∴所求抛物线方程为x2＝－8y.令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4. ∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则由p2＝4，得2p＝16，∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上，所求抛物线方程为x2＝－8y或y2＝16x. 其准线方程为y＝2或x＝－4，焦点坐标为(0，－2)或(4,0).(3)由焦点到准线的距离为52，可知p＝52.∴所求抛物线方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax a，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay a[再练一题]1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y＝－1;【导学号：97792027】(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.【解】(1)由准线方程为y＝－1知抛物线焦点在y轴正半轴上，且p2＝1，则p＝2.故抛物线的标准方程为x2＝4y.(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2，则焦点到准线的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2－p 2＝p ＝3，因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x .抛物线的实际应用喷灌的喷头装在直立管柱OA 的顶点A 处，喷出水流的最高点B 高5 m ，且与OA 所在的直线相距4 m ，水流落在以O 为圆心，半径为9 m 的圆上，则管柱OA 的长是多少？【精彩点拨】根据题意先建立坐标系，设出抛物线方程，把实际问题转化为数学问题.【自主解答】如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)，因为点C (5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p ·(－5)，因此2p ＝5，所以抛物线的方程为x 2＝－5y ，点A (－4，y 0)在抛物线上，所以16＝－5y 0，即y 0＝－165，所以OA 的长为5－165＝1.8 (m).所以管柱OA 的长为1.8 m.在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.[再练一题]2.某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽8 m ，一木船宽4 m ，高2 m ，载货的木船露在水面上的部分为0.75 m ，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？【解】以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系.(如图)设抛物线的方程是x2＝－2py(p＞0)，由题意知A(4，－5)在抛物线上，故16＝－2p×(－5)⇒p＝8 5，则抛物线的方程是x2＝－165y(－4≤x≤4)，设水面上涨，木船面两侧与抛物线形拱桥接触于B、B′时，木船开始不能通航.设B(2，y′)，∴22＝－165y′⇒y′＝－54.∴54＋0.75＝2.故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m时，木船开始不能通航.[探究共研型]抛物线定义的应用探究1 抛物线中p的几何意义是什么？【提示】抛物线标准方程中的p的几何意义是焦点到准线的距离.探究2 抛物线定义的功能是什么？【提示】根据抛物线的定义，抛物线上的任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，抛物线定义的功能是可以把点点距转化为点线距，从而使有关的运算问题变得简单、快捷.(1)若动点M到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则动点M的轨迹方程是________.(2)如图231，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2).求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标.图231【精彩点拨】(1)中先由抛物线的定义确定点M的轨迹，再写方程.(2)由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d的问题.【自主解答】(1)如图，设点M的坐标为(x，y).由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x＋4＝0的距离.根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线，且p2＝4，即p＝8.因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为y2＝16x.【答案】y2＝16x(2)如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|＋d的最小值的问题.将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝± 6.∵6＞2，∴A在抛物线内部.设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为7 2 .即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.∴点P坐标为(2,2).1.对于动点到定点的距离比此动点到定直线的距离大多少或小多少的问题，实际上也是抛物线问题.2.抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.[再练一题]3.(1)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) 【导学号：97792028】A.172B.2C. 5D.92(2)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________.【解析】 (1)如图，由抛物线定义知|PA |＋|PQ |＝|PA |＋|PF |，则所求距离之和的最小值转化为求|PA |＋|PF |的最小值，则当A 、P 、F 三点共线时，|PA |＋|PF |取得最小值.又A (0,2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，∴(|PA |＋|PF |)min ＝|AF |＝⎝⎛⎭⎪⎫0－122＋－2＝172.故选A.(2)依题意，点Q 为坐标原点，所以p2＝1，则p ＝2.【答案】 (1)A (2)21.抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( )A.(1,0)B.⎝⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，18【解析】抛物线的标准方程为x 2＝12y ，所以p ＝14，故焦点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫0，18.【答案】 D2.抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A.1 B.2 C.4D.8【解析】抛物线焦点到准线的距离是p ＝4.【答案】 C3.若双曲线x 2m －y 23＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则m ＝________.【解析】双曲线x 2m －y23＝1的右焦点为(m ＋3，0)，抛物线y 2＝12x 的焦点F (3,0)，∴m ＋3＝3，∴m ＝6. 【答案】 64.以抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作圆与直线x ＋2＝0相切，则这些圆必过一定点，这个定点的坐标是________.【解析】抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＋2＝0，根据抛物线的定义，圆心到直线x ＋2＝0的距离等于圆心到焦点的距离，所以这些圆必过抛物线的焦点，所以应填(2,0).【答案】 (2,0)5.已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m 的值.【解】设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，准线方程为x ＝p2，根据抛物线的定义，点M 到焦点的距离等于5，也就是M到准线的距离为5，则3＋p2＝5，∴p ＝4，因此，抛物线方程为y 2＝－8x ，又点M (－3，m )在抛物线上，于是m 2＝24， ∴m ＝±2 6.。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 2.4.1 抛物线的标准方程》0

《抛物线及其标准方程》教学设计课题：抛物线及其标准方程课时：第一课时一、背景分析1 、课标的要求（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

（2）经历从具体情境中抽象出椭圆，抛物线模型的过程，掌握椭圆，抛物线的定义、标准方程及简单性质。

（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的有关性质，体会数形结合的思想。

（4）了解圆锥曲线的简单应用。

2、本节课在圆锥曲线中的地位：圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容。

而抛物线在圆锥曲线中地位仅次于椭圆而高于双曲线，抛物线在初中以二次函数的形式初步探讨过，本节内容安排篇幅不多，并非不重要，主要是因为学生对于椭圆、双曲线的基本知识和研究方法已经熟悉了，这里精简介绍，学生是可以接受的，它是高考的重要考察内容，要引起师生足够的重视。

3、学习任务分析（1）通过实验，结合几何画板课件，观察、发现和认识抛物线。

（2）坐标法求抛物线的标准方程是本节课的重点和难点。

通过几何画板动态演示建立不同的坐标系，对比所得方程的异同，使学生认识到恰当建立坐标系的重要性。

（3）由抛物线的标准方程，熟练写出焦点坐标、准线方程；反之也会。

（4）放手让学生类似地推导开口向左、向上、向下的情况下的标准方程。

让学生根据课件展示的图形填充表格、对比异同。

（5）的坐标为（，），定点F到定直线的距离为（，）到定点F的距离|MF|与动点M（，）到直线的距离d之比为1，转化出关于、的等式，化简即得到抛物线的标准方程。

三种建系思路：（1），以准线为轴，过焦点垂直准线的线做轴以为轴，过点F且垂直于的直线为轴建立直角坐标系，则点F（（,,由抛物线定义得，（2），轴不变，以过焦点垂直于轴的线做轴以定点F为原点，过点F且垂直于的直线为轴建立直角坐标系则点F（0 ,0）, 的方程为= - （,,由抛物线定义得化简的，（3），轴不变，以右图（1）方式做轴。

取过点F且垂直于的直线为轴，轴与交于K，以线段KF的垂直平分线为轴建立直角坐标系，则点F（ ,0），的方程为设动点M（,,由抛物线定义得，化简的（此处要求学生自己观察三种推到方法，并观察方程的特点，让学生自己体会哪种方法推倒的方程更容易记忆理解，从而得出方程的标准形式）注意强调：①,到点F4,0的距离比到直线50x+=的距离小1，试判断点M的轨迹是什么图形？四、课堂小结：1图形的画法2方程的推倒3表格内容的总结（教学过程整体回顾一遍，有助学生理解课程的思路，对知识性内容列表小结，方便学生比较记忆，可把知识尽快化为学生的素质；对数学思想方法的小结，可使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和作用）五、课后作业：1抛物线的焦点坐标是A D2、顶点在原点，准线方程为=2的抛物线的标准方程是：（）A B C D3平面上到定点和到定直线距离相等的点的轨迹为A直线 B抛物线 C双曲线 D椭圆-12=0上的抛物线的标准方程（作业设置共4道题，其中1，2题为必做题，为基础题型，学生都必须掌握，3题4题为选做题，学有余力的学生可以做，并且作为下一节课的例题练习当堂解决，使学生可以提高知识难度，拔高学习层次，以应对高考的复杂题型。

江苏省徐州经济技术开发区高级中学高中数学选修1-1学

一、预习检查1．完成下表:2．求抛物线x y 42=的焦点坐标和准线方程.3．求经过点)4,2(--P 的抛物线的标准方程．二、问题探究探究1：回顾抛物线的定义，依据定义，如何建立抛物线的标准方程？探究2：方程mx y =2是抛物线的标准方程吗?试将其与抛物线的标准方程辨析比较．例1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线042=--y x 上，求抛物线的方程.例2．已知抛物线的焦点在y 轴上，点)3,(-m M 是抛物线上的一点,M 到焦点的距离是5,求m 的值及抛物线的标准方程,准线方程.例3．抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆922=+y x 相交,公共弦MN 的长为52.求该抛物线的方程,并写出其焦点坐标与准线方程.三、思维训练1．在平面直角坐标系xOy 中,若抛物线x y 42=上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6,则点P 的横坐标为=x ．2．抛物线ax y =2的焦点到其准线的距离是．3．设F 为抛物线x y 42=的焦点,C B A ,,为该抛物线上三点,若=++,则C F B F A F++= ．4．若抛物线24y x =上两点B A ,到焦点的距离和为5,则线段AB 的中点到y 轴的距离是．5．（理）已知抛物线22(0)y px p =>，有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为2y x =，求此抛物线的方程。

四、课后巩固1．抛物线22x y -=的准线方程是．2．抛物线)0(42>=p px y 上一点M 到焦点的距离为a ,则点M 到y 轴的距离为．3．已知抛物线)0(2>=a ax y ,焦点到准线的距离为p ,则=ap ．4．经过点)2,4(-P 的抛物线的标准方程为．5．顶点在原点,以双曲线1322=-y x 的焦点为焦点的抛物线方程是．6．抛物线的顶点在原点,以x 轴为对称轴,过焦点且倾斜角为43π的直线被抛物线所截得的弦长为8,求抛物线的方程．7．若抛物线22(0)y px p =->上有一点M ,其横坐标为9-，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M 的坐标。

高中数学选修1-1优质学案4-2.3.1 抛物线及其标准方程

2.3.1 抛物线及其标准方程【课程学习目标】1.掌握抛物线定义、标准方程及其几何图形.能用待定系数法求抛物线的标准方程.2.理解标准方程中“p”与抛物线的开口方向、焦点位置的关系.3.亲自体验由具体的演示实验探寻出一般数学结论的过程,体会探究的乐趣,激发学习热情.学习运用类比的思想探寻另三种标准方程.【第一层级知识记与理解】知识体系梳理【创设情境】如图,把一根直尺固定在画图板内直尺l的位置上,截取一根绳子的长度等于AC的长度,现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处,另一端用图钉固定在F处;用一支粉笔扣着绳子,紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧,然后使三角板紧靠着直尺上下滑动,这样粉笔就描出一条曲线.【知识导学】问题1:在上述情境中,点M到点F与点M到直线l的距离.(填相等或不相等),理由是.问题2:平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过F)的距离的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的,定直线l叫作抛物线的准线.如果定义中不加上条件“l不经过F”,即若点F在直线l上,满足条件的动点P的轨迹是,而不是抛物线. 问题3:抛物线的标准方程的四种形式:标准方程图像焦点F 坐标准线l 方程y 2=2px (p>0)x=-p2(续表)标准方程图像焦点F 坐标准线l 方程y 2=-2px (p>0)x=p2(0,p2)y=-p2(0,-p2)y=p2问题4:已知抛物线的标准方程,如何得到焦点坐标?先观察方程的结构,一次项变量为x (或y ),则焦点在 (或y )轴上;若系数为正,则焦点在半轴上;系数为负,则焦点在半轴上;若一次项变量为x ,则焦点的横坐标是一次项系数的 ,纵坐标为 ;若一次项变量为y ,则焦点的纵坐标是一次项系数的 ,横坐标为0.【基础学习交流】1.抛物线y 2=-8x 的焦点坐标是( ). A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) D.(-4,0)2.抛物线y 2=8px (p>0),F 是焦点,则p 表示( ). A.F 到准线的距离 B.F 到准线距离的14C.F到准线距离的1D.F到y轴的距离83.抛物线y=4x2的焦点坐标为,准线方程为.4.根据下列条件写出抛物线的标准方程:(1)准线方程是y=3;(2)过点P(-2√2,4);(3)焦点到准线的距离为√2.【第二层级思维探究与创新】重点难点探究【探究一】求抛物线的焦点坐标和准线方程求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1)y2=-14x;(2)5x2-2y=0;(3)y2=ax(a>0).【探究二】求抛物线的标准方程(1)已知抛物线的焦点在y轴上,并且经过点M(√3,-2√3),求抛物线的标准方程;(2)已知抛物线的焦点在坐标轴上,且抛物线过点(-3,2),求它的标准方程.【探究三】求动点的轨迹方程动点M (x ,y )到y 轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,求动点M (x ,y )的轨迹方程.思维拓展应用【应用一】已知抛物线的标准方程如下,分别求其焦点和准线方程: (1)y 2=6x ;(2)2y 2+5x=0;(3)x=ay 2(a ≠0).【应用二】如图,过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ,交抛物线于A 、B 两点,且|F A|=3,则抛物线的方程是 .【应用三】已知点A (0,-2),B (0,4),动点P (x ,y )满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =y 2-8. (1)求动点P 的轨迹方程;(2)设(1)中所求轨迹与直线y=x+2交于C 、D 两点.求证:OC ⊥OD (O 为原点).【第三层级技能应用与拓展】基础智能检测1.在直角坐标平面内,到点(1,1)和直线x+2y=3距离相等的点的轨迹是().A.直线B.抛物线C.圆D.椭圆2.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为().A.18B.-18C.8D.-83.已知圆x2+y2+6x+8=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切,则p=.4.已知抛物线的方程是y=ax2,求它的焦点坐标和准线方程.全新视角拓展已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线F A与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=().A.2∶√5B.1∶2C.1∶√5D.1∶3——★ 参考答案 ★——知识体系梳理问题1:相等由|AC |=|MC |+|AM |,|AC |=|MF |+|AM |,得|MC |=|MF | 问题2:相等焦点过点F 且垂直于l 的直线问题3:(p2,0) (-p2,0) x 2=2py (p>0) x 2=-2py (p>0)问题4:x 正负 14 0 14基础学习交流 1.[答案]B[解析]依题意,抛物线开口向左,焦点在x 轴的负半轴上,由2p=8,得p2=2,故焦点坐标为(-2,0),故选B. 2.[答案]B[解析]化为标准形式y 2=2×(4p )x (p>0),则4p 就是焦点F 到准线的距离,所以p 表示焦点F 到准线的距离的14.3.[答案](0,116) y=-116[解析]将抛物线方程y=4x 2化为标准方程x 2=14y ,易知:抛物线开口向上,焦点在y 轴的正半轴上,由2p=14,得p 2=116,故焦点坐标为(0,116),准线方程为y=-116.4.[答案]解:(1)由准线方程为y=3知,抛物线的焦点在y 轴负半轴上,且p2=3,则p=6,故所求抛物线的标准方程为x 2=-12y.(2)∵点P (-2√2,4)在第二象限,∴设所求抛物线的标准方程为y 2=-2px (p>0)或x 2=2py (p>0), 将点P (-2√2,4)代入y 2=-2px ,得p=2√2;代入x 2=2py ,得p=1.∴所求抛物线的标准方程为y 2=-4√2x 或x 2=2y.(3)由焦点到准线的距离为√2,得p=√2,故所求抛物线的标准方程为 y 2=2√2x ,y 2=-2√2x ,x 2=2√2y 或x 2=-2√2y.重点难点探究探究一:[解析](1)因为p=7,所以焦点坐标是(-72,0),准线方程是x=72.(2)抛物线方程化为标准形式为x 2=25y ,因为p=15,所以焦点坐标是(0,110),准线方程是y=-110.(3)由a>0知,p=a 2,所以焦点坐标是(a 4,0),准线方程是x=-a4.【小结】1.当抛物线方程不是标准形式时,先转化为标准形式,第(3)小题规定“a>0”,如果去掉“a>0”,并不影响结果,表示是一样的. 2.求抛物线焦点、准线方程的方法首先要将抛物线方程化成标准形式,求出p 后根据抛物线的位置写出焦点和准线方程,注意准线与坐标轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的14.探究二:[解析](1)∵抛物线的焦点在y 轴上,并且经过点M (√3,-2√3),∴可设它的标准方程为x 2=-2py (p>0).又∵点M 在抛物线上,∴(√3)2=-2p (-2√3),即p=√34,∴所求方程是x 2=-√32y. (2)设所求的抛物线方程为y 2=-2px 或x 2=2py (p>0), ∵抛物线过点(-3,2),∴22=-2p (-3)或(-3)2=2p ·2, 得p=23或p=94,故所求抛物线方程为y 2=-43x 或x 2=92y.【小结】求抛物线标准方程的步骤: (1)设出抛物线的标准方程; (2)根据已知条件求得p ; (3)得抛物线的标准方程.探究三:[解析]∵动点M 到y 轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2, ∴动点M 到定点(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离相等. ∴动点M 的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,且p=4. ∴抛物线的方程为y 2=8x ,此即为所求动点M 的轨迹方程. 【问题】上述解答完整吗?【结论】错解只考虑了一种情况.在此题中,(2,0)到y 轴的距离为2,∴x 轴上原点左侧的点也满足题中条件. 于是,正确解答为:∵动点M 到y 轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2, ∴动点M 到定点(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离相等. ∴动点M 的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,且p=4. ∴抛物线的方程为y 2=8x.又∵x 轴上(0,0)点左侧的点到y 轴的距离比它到(2,0)点的距离小2, ∴M 点的轨迹方程为y=0(x<0).综上,动点M 的轨迹方程为y=0(x<0)或y 2=8x.【小结】本题考查抛物线的定义、标准方程,判断动点M 到定点(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离相等是解题的关键.思维拓展应用应用一:(1)∵2p=6,∴p=3. 又∵开口向右,∴焦点坐标是(32,0),准线方程为x=-32.(2)将2y 2+5x=0变形为y 2=-52x.∴2p=52,p=54,开口向左. ∴焦点为(-58,0),准线方程为x=58.(3)∵原抛物线方程为y 2=1a x ,∴2p=1|a |.当a>0时,p2=14a ,抛物线开口向右,焦点坐标为(14a,0),准线方程为x=-14a;当a<0时,p 2=-14a,抛物线开口向左,焦点坐标为(14a,0),准线方程为x=-14a.故当a ≠0时,抛物线x=ay 2的焦点坐标为(14a,0),准线方程为x=-14a.应用二:y 2=3x 由题意可知直线l 的斜率为√3,则x A -p 2=12|F A|=32,y A =√32|F A|=32√3,而y A 2=2px A ,∴(3√32)2=2p (32+p 2),∴p=32或-92(舍去), ∴所求抛物线的方程为y 2=3x.应用三:(1)由题意可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x ,-2-y )·(-x ,4-y )=y 2-8, 化简得x 2=2y.(2)将y=x+2代入x 2=2y 中,得x 2=2(x+2), 整理得x 2-2x-4=0,可知Δ=20>0. 设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2), x 1+x 2=2,x 1·x 2=-4, ∵y 1=x 1+2,y 2=x 2+2,∴y 1y 2=(x 1+2)(x 2+2)=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=4. ∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0,∴OC ⊥OD.基础智能检测 1.[答案]A[解析]∵定点(1,1)在直线x+2y=3上,∴轨迹为直线. 2.[答案]B[解析]∵y=ax 2,∴x 2=1a y ,其准线为y=2,∴a<0,2=1-4a ,∴a=-18. 3.[答案]4或8[解析]抛物线的准线方程为x=-p2,圆心坐标为(-3,0),半径为1,由题意知3-p2=1或p2-3=1,∴p=4或p=8.4.[答案]解:抛物线的方程y=ax 2化成形式:x 2=1a y.当a>0时,x 2=2×12ay ,p=12a,所以焦点坐标是F (0,14a),准线方程是y=-14a;当a<0时,x 2=-2×1-2ay ,p=1-2a,所以焦点坐标是F (0,-1-4a),即F (0,14a),准线方程是y=-14a.综上可知,抛物线的焦点坐标是F (0,14a ),准线方程是y=-14a .全新视角拓展 [答案]C[解析]如图所示,|FM ||MN |=|MB ||MN |=|OF ||FA |=√5.。

高中数学选修1-1优质学案2：2.3.1抛物线及其标准方程

2．3.1 抛物线及其标准方程学习目标：1.掌握抛物线的定义及其标准方程．2．了解抛物线的实际应用．3．能区分抛物线标准方程的四种形式．预习提示：1.我们知道，二次函数的图象是抛物线，那么抛物线上的点应满足什么条件呢？2. 抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？3．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，建立的抛物线方程才能更简单？4．抛物线方程中p有何意义？标准方程有几种类型？抛物线的开口方向由什么决定？5．抛物线与二次函数有何关系？课堂探究：例1、(1)抛物线y2＝2px(p＞0)上一点A(6，y0)，且点A到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是()A．4 B．8C．13 D．16(2)若点P到定点F(4,0)的距离比它到定直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是()A．y2＝－16xB．y2＝－32xC．y2＝16xD．y2＝16x或y＝0(x＜0)变式训练：(1)抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则A点到抛物线焦点的距离为() A．2B．3 C．4 D．5(2)若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x例2、分别求适合下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点M(－6,6)．(2)焦点在直线l：3x－2y－6＝0上．(3)已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程．变式训练：若把本例题目改为：(1)过点(1,2)．(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．试求抛物线的标准方程．例3、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．变式训练：定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点M到y 轴的距离的最小值．例4、如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?变式训练：某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货后木船露在水面上的部分高为34m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？当堂达标：1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是()A．(2,0)B．(－2,0) C．(4,0) D．(－4,0)2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x3．已知动点M(x，y)的坐标满足x－22＋y2＝|x＋2|，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上均不对4．抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．[答案]1.【提示】抛物线上的点满足到定点的距离等于它到定直线的距离．2. 【提示】不能，若l经过点F，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于l的一条直线．3．【提示】根据抛物线的几何特征，可以取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，以F到l的垂线段的中垂线为y轴建系．4．【提示】p是抛物线的焦点到准线的距离抛物线的标准方程有四种类型：①焦点在x轴的正半轴上，其标准方程为y2＝2px(p＞0)；②焦点在x轴的负半轴上，其标准方程为y2＝－2px(p＞0)；③焦点在y轴的正半轴上，其标准方程为x2＝2py(p＞0)；④焦点在y轴的负半轴上，其标准方程为x2＝－2py(p＞0)．抛物线的方程中一次项决定开口方向．5．【提示】二次函数的[解析]式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当b，c为0时，y＝ax2表示焦点在y轴上的抛物线，标准方程为x2＝1a y，a＞0时抛物线开口向上，a＜0时，抛物线开口向下，当抛物线的开口方向向左或向右时，方程为y2＝2px，这是一条曲线，不能称为函数．课堂探究：例1、【自主解答】(1)由题意6＋p2＝10，∴p＝8.(2)因为点F(4,0)在直线x＋5＝0的右侧，且P点到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，所以点P到F(4,0)的距离与到直线x＋4＝0的距离相等．故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p＝8，故P点的轨迹方程为y2＝16x.例1、【自主解答】(1)由题意6＋p2＝10，∴p＝8.(2)因为点F(4,0)在直线x＋5＝0的右侧，且P点到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，所以点P到F(4,0)的距离与到直线x＋4＝0的距离相等．故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p＝8，故P点的轨迹方程为y2＝16x.[答案](1)B(2)C变式训练：[解析](1)由抛物线的定义，点A到焦点的距离等于它到准线的距离，而A到准线的距离为4＋p2＝4＋1＝5.(2)由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x＋1＝0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，其方程为y2＝8x.[答案](1)D(2)A例2、【自主解答】(1)由于点M(－6,6)在第二象限，∴过M的抛物线开口向左或开口向上．若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y2＝－2px(p＞0)，将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x；若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)，将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y.综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，∴抛物线的焦点是F(2,0)，∴p2＝2，∴p＝4，【答案】(1)D(2)A例2、【自主解答】(1)由于点M(－6,6)在第二象限，∴过M的抛物线开口向左或开口向上．若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y2＝－2px(p＞0)，将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x；若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)，将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y.综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，∴抛物线的焦点是F(2,0)，∴p2＝2，∴p＝4，∴抛物线的标准方程是y2＝8x.②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，即抛物线的焦点是F(0，－3)，∴错误!。

江苏省徐州高级中学苏教版高一数学选修1-1学案：2.2.1双曲线的标准方程(2)

一、预习检查1. 焦点的坐标为（-6，0）、（6，0），且经过点A （-5，2）的双曲线的标准方程为．2. 已知双曲线2288kx ky -=的一个焦点为()0,3，则k 的值为．3. 椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是．4.焦点在x 轴上的双曲线过点3)P -，且(0,5)Q 与两焦点的连线互相垂直，则该双曲线的标准方程为．二、问题探究例1、已知B A ,两地相距800m ，一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s ，设声速为340 m ／s ．(1)爆炸点应在什么样的曲线上？ (2)求这条曲线的方程．例2、根据下列条件，求双曲线的标准方程（1）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上；（2）与双曲线221164x y -= 有相同焦点，且经过点()2,23 ．例3、(理)已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，求双曲线方程.三、思维训练1、已知21,F F 是双曲线191622=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么PQ QF PF -+22的值为．2、已知双曲线1422=-y x 的两个焦点为分别为21,F F ，点P 在双曲线上且满足=∠21PF F ︒90，则21PF F ∆的面积是． 3、判断方程13922=---k y k x 所表示的曲线。

4、已知ABC ∆的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，使A C B sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹四、知识巩固1、若方程22123x y m m -=-- 表示双曲线，则实数m 的取值范围是．2、设21,F F 是双曲线1422=-y x 的焦点，点P 在双曲线上,且02190=∠PF F ,则点P 到x 轴的距离为．3、P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是．4、求与圆1)3(22=+-y x 及9)3(22=++y x 都外切的动圆圆心的轨迹方程．5、已知定点B A ,且4=AB ，动点P 满足3=-PB PA ，则PA 的最小值是．6、(理)过双曲线12514422=-y x 的一个焦点作x 轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离。

高中数学学案：抛物线(苏教版).doc

第2章圆锥曲线与方程(3)抛物线1.抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线Z 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.2.抛物线四种标准方程的几何性质: 标准方程图形顶点对称轴隹占八、、八、、准线离心率 y 2 = 2px(p > 0) L ;(0,0) X 轴倒 2& = }/K y 2 = —2px(p >0) J(0,0) x 轴 x" 2 5=1 x 2 = 2py(p > 0) X----- 1(0,0) A 轴陀) I 2=1 x = -2py(p > 0) v+v (0,0) 必轴同 3 & = 13.抛物线y2 =2px(p > 0)的几何性质：⑴范围因为p 〉0,由方程可知xNO,所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，lyl 也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向.⑶顶点(0, 0),离心率：e = l,焦点F(%,0),准线x = —%,焦准距p. ⑷ 焦半径：抛物线y2=2px(p 〉0)上一点P(x 0,y 0)到焦点F(|,0)的距离 IPFIf+翌抛物线= —2px(p 〉0)上一点尸(气，光)到焦点F (捉)的距离 I PF 1=1 x 0 1+|- 抛物线x 2= ±2py(p > 0)上一点P(x 0, y 0)到焦点F.,0)的距离Vmin4ac-b 24a 向下,Vm ax4ac-b 24a 应用：①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)(3)开口方向：。

〉0,向I PF 1=1 y 0 I +Zo 2(5)焦点弦：抛物线 y 2 = 2px(p > 0)的焦点弦 AB , A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)测 I AB 1= + x 2 + p .4.焦点弦的相关性质：焦点弦AB , A(x 1,y 1),5(x 2,y 2),焦点F(-|-,0) (1)以抛物线的焦点弦为直径的圆和抛物线的准线相切2p 2⑵刃光二-。

江苏省徐州高级中学高一数学选修1-1学案：2.3.2抛物线的几何性质

一、预习检查1．完成下表:2．过抛物线的且垂直于其的直线与抛物线的交于两点，连结这两点间的叫做抛物线的通径。

抛物线)0(22>=p px y 的通径为．3．若抛物线)0(22>-=p py x 上纵坐标为-4的点到焦点的距离为5，则焦点到准线的距离是．4．求顶点在原点,焦点为)0,5(F 的抛物线的方程.二、问题探究探究1: 根据抛物线的标准方程可以得到抛物线的哪些几何性质？探究2:根据你现有的知识,你能找出一种抛物线的画法吗?例1．经过抛物线px y 22=的焦点F 作一条直线与抛物线交于21,P P 两点，求证:以线段21P P 为直径的圆与抛物线的准线相切.例2．汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线,灯口直径为197mm ,反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm .由抛物线的性质可知,当灯泡安装在抛物线的焦点处时,经反光曲面反射后的光线是平行光线.为了获得平行光线,应怎样安装灯泡?(精确到1mm )三、思维训练1．如果抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴，焦点在直线01243=--y x 上，则抛物线的方程为．2．若抛物线)0(22>=p px y ，过其焦点F 倾斜角为3π的直线l 交抛物线于B A ,两点，且4=AB ，则此抛物线的标准方程为．3．抛物线ax y =2的焦点坐标与双曲线1322=-y x 的左焦点重合，则这条抛物线的方程是．4．已知抛物线x y 42=上两个动点),(),,(2211y x B y x A 及一个定点)2,1(M ，F 是抛物线的焦点，若BF MF AF ,,成等差数列，则=+21x x ．四、课后巩固1．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作两弦AB 和CD ，其所在直线倾斜角分别为6π和3π，则CD AB ,的大小关系是．2．过抛物线x y 342=的焦点，且与圆0222=-+y y x 相切的直线方程是．3．已知点M 是抛物线)0(22>=p px y 上的一点，F 为抛物线的焦点，若以MF 为直径作圆，则此圆与y 轴的位置关系是．４．已知抛物线x y 42=的准线与双曲线1222=-y ax 交于B A ,两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是．5．过抛物线x y 42=焦点的直线交抛物线于B A ,两点,以AB 为直径的圆中,面积的最小值为．６．已知),(),,(),,(332211y x C y x B y x A 是抛物线)0(22>=p px y 上三点,且它们到焦点F 的距离CF BF AF ,,成等差数列,求证:2321222y y y +=.7．已知抛物线C 的顶点在原点,焦点F 在x 轴的正半轴，设B A ,是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴）且8=+BF AF ，线段AB 的中垂线恒过定点)0,6(Q ．求此抛物线的方程．。