2021届江苏省南通市高三月考模拟测试 数学试题
2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题Word版含答案
2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试，一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，清将答案填写在等呼下 相应的位置上.)1 .已知集合 A={x|-1 vxv3} , B= { - L 0, 1, 2, 3},则 A 「| B=.2 .已知复数z 满足(l + i)z =3 —i (其中i 为虚数单位)，则复数z 的模为. 3 .双曲线下一丁 二 1的顶点到渐近线的距离为.4 54 . 口袋中有形状和大小完全相同的4个小球，球的编号分别为1, 2, 3, 4,若从袋中一次性摸出2个球, 则摸出的两个球编号之和为奇数的概率为.5 .函数/*) = J ； — log4(x — l)的定义域为.|x + 2|,-2<x<0八 c c ，贝4/(/(17))-tan ——,0< x< 24的值为.7 .设函数/。
)=碗(5・+ 土)(2>0)，若f(x)< /(£)对任意的实数X 都成立，则出的最小值为8 4v <n8 .己知函数/(x)=,则不等式/(制>一1+ 1的解集为 ________lgM x>09 .设aeR,函数/(x) = 3f —为奇函数，则函数/(X)的极大值为10・ 已知 sin(a - £)=金，0 < a < 三，则 cos(a + 二)= 6 5 2 12 11 .已知Iog2〃 + log2^ = 2,则2"+2,的最小值为 12 .如图，在△ABC 中，D 为AC 的中点，BC±BD, BC=2, 则B A B C=.13 .在锐角AABC 中，设角A, B, C 的对边分别为a, 6, c ,若」的取值范围为14 .定义在 R 上的函数 “X), »(X), /7(x),若对 Vx £R,点(主，h(x) ) > (x 9 g(x))关于点(x , f (x))对称，则称函数〃(x)是函数g(x)关于函数/‘(X)的"对称函数”.已知函数/z(x)是函数 g(X)=。
江苏省南通市2021届高三月考模拟测试(2020.9)
1江苏省南通市2021届高三月考模拟测试数学试题2020.9一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 03x <<是12x -<成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．12i 12i1i 1i-++=+-（ ） A ．1- B ．i - C ．1 D ．i3．设D 为ABC △的边BC 的延长线上一点，3BC CD =，则（ ） A ．1433AD AB AC =-B ．4133AD AB AC =+ C ．1433AD AB AC =-+D ．4133AD AB AC =- 4． 已知直线1l ：360x y +-=与圆心为()0,1M 5的圆相交于A ，B 两点，另一直线2l ：22330kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为（ ） A ．102B ． 52C ．)521D ．)5215． 一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ）1A 33B 3C 3D 3 6． 当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（ ） A ．π,6π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π,4π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π,3π2⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作垂直x 轴的直线交椭圆E 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方．若3AB =，2ABF △的内切圆的面积为9π16，则直线2AF 的方程是（ ） A ．3230x y +-= B ．2320x y +-= C ．4340x y +-=D ．3430x y +-=8． 已知()3ln 44x f x x x=-+，()224g x x ax =--+，若对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．258ln 2,16-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．15,84⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届江苏省南通市如皋中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
2021届江苏省南通市如皋中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．i 为虚数单位，512iz i=+， 则z 的共轭复数为 （ ） A ．2-i B ．2+iC ．-2-iD ．-2+i【答案】A【解析】试题分析：55(12)5i(12)2+12(12)(12)5i i i i z i i i i --====++-，则复数2+i 的共轭复数为2-i ；选A【解析】1.复数运算；2.共轭复数； 2．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（ ） A ．(1,2) B ．(2,)eC ．(,3)eD ．(3,)+∞【答案】A【分析】由函数零点存在性定理结合(1)0f <、(2)0f >，即可得解.【详解】因为函数2()ln 1f x x x=-+在()0,∞+上单调递增， 且2(1)ln11101f =-+=-<，2(2)ln 21ln 202f =-+=>， 所以函数()f x 的零点所在的大致区间为(1,2). 故选：A.【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 3．已知集合(){}lg 21A x x =-<，集合{}2230B x x x =--<，则AB 等于（ ）．A ．()2,12B ．()1,3-C ．()1,12-D ．()2,3【答案】C【分析】解不等式化简集合,A B ，再进行并集运算，即可得答案； 【详解】(){}lg 21{|212}A x x x x =-<=<<，{}{}223013B x x x x x =--<=-<<， ∴()1,12A B =-，故选：C.【点睛】本题考查解不等式及集合的并运算，考查运算求解能力，属于基础题. 4．指数函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）在R 上是减函数，则函数22()a g x x -=在其定义域上的单调性为（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减D ．在(0,)+∞上递减，在(,0)-∞上递增【答案】C【解析】结合指数函数的性质可知：01a <<，函数()g x 的导函数：()()322'a g x x--=，当(),0x ∈-∞时，()'0g x <，函数()g x 单调递减， 当()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 本题选择C 选项.5．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-【答案】D【分析】作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像，结合图像可知直线y ax =介于l 与x 轴之间，利用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解. 【详解】由题意可作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像.由图像可知：函数y ax =的图像是过原点的直线， 当直线介于l 与x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数()y f x =在第二象限的部分的解析式为22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x ≤，故2y '≤-， 故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a []2,0∈-. 故选：D【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.6．设函数()1ln1xf x x x-=+，则函数的图像可能为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后再利用特殊值判断. 【详解】由101xx->+，即()()110x x -+<， 解得11x -<<，所以函数()f x 的定义域为{}|11x x -<<，关于原点对称， 又()()11lnln 11x xf x x x f x x x+--=-==-+， 所以()f x 是偶函数，故排除AC ，又1111112lnln 01222312f -⎛⎫=⎪⎭+ ⎝=<，故排除B 故选：D【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及函数性质的应用，属于基础题.7．对于给定的复数z ，若满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是圆，则1z -的取值范围是（ ）A ．17172⎡⎤⎣⎦B ．17171⎡⎤⎣⎦C ．2⎤⎦D ．1⎤+⎦【答案】A【分析】求出圆心坐标和半径，利用1z -表示点Z 到1对应的点的距离，由这点到圆心的距离加减半径可得．【详解】满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是圆，圆心对应的复数是4i ，半径为2，1z -表示点Z 到1对应的点的距离，又14i -=∴12]z -∈， 故选：A ．【点睛】本题考查复数的几何意义，考查圆上的点到定点距离的最值问题，解题方法是把圆上的点到定点的距离转化为求定点到圆心距离．8．平面向量()2,1a =，2b =，4a b ⋅=，则向量a 、b 夹角的余弦值为（ ）A ．B ．45C D ．15【答案】A【分析】求得a 的值，利用平面向量数量积的定义可求得向量a 、b 夹角的余弦值. 【详解】设平面向量a 、b 的夹角为θ，()2,1a =，则5a =，由平面向量数量的定义可得cos 552a b a bθ⋅===⨯⋅.故选：A.【点睛】本题考查利用平面向量的定义求解向量夹角的余弦值，考查计算能力，属于基础题.二、多选题9．下列函数中，在其定义域内是偶函数的有（ ）A ．cos y x x =B ．2x y e x =+C ．y =D ．sin y x x =【答案】CD【分析】利用偶函数的定义逐一判断，即可得正确选项. 【详解】对于A ：cos y x x =，定义域为R ，()()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以cos y x x =是奇函数，故A 不正确；对于B ：2xy e x =+，定义域为R ，()22()()x x f x f x e x e x ---==-+-+≠，且()e ()x f x x f x -2-=+≠所以2x y e x =+是非奇非偶函数，故B 不正确；对于C ：lg y x 2=-2定义域为(),22,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣，关于原点对称，()22()lg2lg 2()f x x x f x -=--=-=，所以lg y x 2=-2是偶函数，故C 正确；对于D ：sin y x x =，定义域为R ，()()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，所以sin y x x =是偶函数，故D 正确；故选：CD【点睛】本题主要考查了利用偶函数的定义判断函数的奇偶性，属于基础题. 10．(多选题)下列四个条件，能推出1a ＜1b成立的有（ ） A ．b ＞0＞a B ．0＞a ＞b C ．a ＞0＞b D ．a ＞b ＞0【答案】ABD【分析】运用不等式的性质以及正数大于负数判断. 【详解】因为1a ＜1b 等价于110b a a b ab--=<， 当a ＞b ，ab ＞0时，1a ＜1b成立，故B 、D 正确. 又正数大于负数，A 正确，C 错误， 故选：ABD.【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题.11．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -，若AB BC =，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则下列结论中成立的是（ ）A ．EF 与1BB 垂直B ．EF ⊥平面11BDD BC ．EF 与1CD 所成的角为45︒ D ．//EF 平面1111D C B A【答案】ABD【分析】证明出11//EF A C ，111BB A C ⊥，可判断A 选项的正误；证明出11A C ⊥平面11BB D D ，结合11//EF A C 可判断B 选项的正误；计算出11AC D ∠的值，结合11//EF A C 以及异面直线所成角的定义可判断C 选项的正误；利用线面平行的判定定理可判断D 选项的正误.【详解】连接1A B 、11A C 、1A D ，则E 为1A B 的中点，对于A 选项，1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，111BB AC ∴⊥，E 、F 分别为1A B 、1BC 的中点，则11//EF A C ，1EF BB ∴⊥，A 选项正确；对于B 选项，四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥， 又111AC BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，11A C ∴⊥平面11BDD B ， 11//EF AC ，EF ∴⊥平面11BDD B ，B 选项正确；对于C 选项，易知11AC D 为等边三角形，则1160A C D ∠=，11//EF AC ，则EF 与1C D 所成的角为1160A C D ∠=，C 选项错误；对于D 选项，11//EF AC ，EF ⊄平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D CB A ，//EF ∴平面1111DC B A ，D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】本题考查线线垂直、线面垂直、线面平行以及异面直线所成角的判断，属于中等题.12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x e x =+，则下列命题正确的是（ ）A ．当0x >时，()()1xf x e x -=--B ．函数()f x 有3个零点C ．()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃D ．12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -< 【答案】BCD【分析】利用函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x <时，()()1xf x ex =+，求出()f x 在R 上的解析式，判断A 错；由A 分别令()0f x =，解出零点，判断B 对；由A 令()0f x <，求出解集，判断C 对；当0x <时，对函数求导判断出单调区间，求出最值，再利用奇函数的对称性得出函数的值域，要证明12,x x R ∀∈，()()122f x f x -<，即证明()f x 最大值与最小值的差的绝对值小于2，D 对．【详解】对于A ，当0x >时，0x -<，则由题意得()()1xf x e x --=-+，∵ 函数()f x 是奇函数，∴ ()00f =，且0x >时，()()()()11xx f x f x ex e x --=--=--+=-，A 错；∴()()()1,00,01,0x x e x x f x x e x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩， 对于B ，当0x <时，由()()10xf x e x =+=得1x =-，当0x >时，由()()10xf x ex -=-=得1x =，∴ 函数()f x 有3个零点-1,0,1，B 对； 对于C ，当0x <时，由()()10xf x e x =+<得1x <-，当0x >时，由()()10xf x ex -=-<得01x <<，∴ ()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃，C 对； 对于D ，当0x <时，由()()1xf x e x =+得()()2x f x e x '=+，由()()20xf x ex '=+<得2x <-，由()()20x f x e x '=+≥得20x -≤<，∴ 函数()f x 在(],2-∞-上单调递减，在[)2,0-上单调递增，∴函数在(),0-∞上有最小值()22f e --=-，且()()()01011xf x ex e =+<+=，又∵ 当0x <时，()()10xf x ex =+=时1x =-，函数在(),0-∞上只有一个零点，∴当0x <时，函数()f x 的值域为)2,1e ⎡-⎣，由奇函数的图象关于原点对称得函数()f x 在R 的值域为()()221,,11,1ee --⎤⎡-⋃-=-⎦⎣， ∴ 对12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<，D 对； 故选：BCD ．【点睛】本题考查导数在函数求值域中的应用，考查函数的性质，考查函数的表示方法，属于中档题．三、填空题13．如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为_______．【答案】23【分析】设BC 的中点为D ，连结AD ，过点P 作PO ⊥平面ABC ，角AD 于点O ，则A0=PO=R=2，AD=3，AB=BC=23.【详解】由题意，某中螺帽是由一个半径为R=2的半球体挖去一个正三棱锥P-ABC 构成的几何体，该正三棱锥P-ABC 的底面三角形ABC 内接于半球底面的大圆，顶点P 在半球面上， 设BC 的中点为D ，连结AD ，过点P 作PO ⊥平面ABC ，交AD 于点O ， 则AO=PO=R=2，AD=3，AB=BC=23所以1233332ABC S ∆=⨯=， 所以挖去的正三棱锥的体积为113322333ABC V S PO ∆==⨯=.【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及三棱锥的体积的计算，以及空间中线线、线面、面面位置关系等基础题知识，其中解答中根据组合体的结构特征，求得正三棱锥的底面边长和三棱锥的高，利用体积公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.14．函数e x y mx =-在区间(]03,上有两个零点，则m 的取值范围是_________．【答案】3e e,3⎛⎤⎥⎝⎦【解析】试题分析：由题意得e 0xy mx =-=，得xe m x=，设()()22(1)x x x x e e x e e x f x f x x x x⋅--=='=⇒，可得()f x 在区间(1,3)上单调递增；在区间(0,1)上单调递减，所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，同时也是最小值()1f e =，因为当0x →时，()f x →+∞，当3x =时，()333e f =，所以要使得函数e xy mx =-在区间(0,3]上有两个零点，所以实数m 的取值范围是3ee 3m <<．【解析】利用导数研究函数的单调性及极值（最值）． 15．已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝(),()()(),()()f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎨<⎩有三个零点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】3322a > 【分析】当a ≤0时，函数f (x )在R 上单调递增，F(x )至多两个零点，不满足题意．当a ＞0时，根据图像可知：当f (3a )≥0时，所以F (x ) 至多两个零点；当f (3a )＜0，即33273242a >=时，列式f (23)＜0或者203233f a ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎪<⎪⎩，可解得结果. 【详解】易得f'(x )＝3x 2－a ．当a ≤0时，()0f x '≥，函数f (x )在R 上单调递增，F (x )至多两个零点，不满足题意．当a ＞0时，令f'(x )＝3x 2－a ＝0，解得x ＝±3a ， 由()0f x '>，得3ax <-或3a x >，由()0f x '<，得33a a x -<<， 所以函数f (x )在(－∞，－3a )，(3a ，＋∞)上单调递增，在(－3a ，3a )上单调递减， 在同一坐标系中，分别作出函数f (x )，g (x )的图像，根据图像可知： 当f (3a)≥0时，所以F (x ) 至多两个零点；当f 3a ＜0，即3)1033a a a -<，又23()03a a -=，所以10333a a a a -+<，即2133a a >，所以33273242a >=时， 要使得F (x )有三个不同的零点，则f (23)＜0或者203233f a ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎪<⎪⎩，即322()1033a -+<或3221033233a a ⎧⎛⎫-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪>⎪⎩，即3518a >或435318a <≤，解得a ＞43．又3322a >且332423>，所以3322a >. 故答案为：332a >.或【点睛】本题考查了数形结合思想，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的零点，属于中档题. 16．在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin A 的最大值为_____. 【答案】215【分析】根据同角三角函数中的商数关系式，结合正弦和角公式化简， 并由正弦定理将角化为边，代入余弦定理即可表示出cos A ，再由基本不等式即可求得cos A 的取值范围，进而结合同角三角函数关系式求得sin A 的取值范围，即可求得sin A 的最大值.【详解】在ABC ∆中，tan tan 3tan tan A AB C+=， 则sin cos sin cos 3cos sin cos sin A B A CA B A C+=，通分化简可得()sin cos sin cos sin 3cos sin sin A B C C B A B C+=，由正弦和角公式可得()sin sin 3cos sin sin A C B A B C+=，所以2sin 3cos sin sin AA B C=，由正弦定理代入可得23cos a bc A=，即23cos a bc A =，又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 代入可得223cos 2cos bc A b c bc A =+-，所以2222cos 555b c bc A bc bc +=≥=，当且仅当b c =时取等号，则24cos 25A ≥，所以241sin 25A -≥，即221sin 25A ≤，所以sin A ≤则sin A .故答案为：5. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的综合应用，正弦和角公式化简三角函数关系式，正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，基本不等式求最值，综合性强，属于难题.四、解答题17．已知二次函数()f x 满足()(4)f x f x =--，(0)3f =，若1x ，2x 是()f x 的两个零点，且122x x -=. （1）求()f x 的解析式；（2）若0x >，求()()xg x f x =的最大值. 【答案】（1）2()43f x x x =++；（2）1. 【分析】（1）根据题意可得()f x 的对称轴为2x =-，零点为13x =-，21x =-，设()(3)(1)(0)f x a x x a =++≠，由(0)3f =即可求解.（2）利用基本不等式即可求解.【详解】（1）()(4)f x f x =--，1x ，2x 是()f x 的两个零点，且122x x -=. ()f x 的对称轴为：2x =-，可得13x =-，21x =-.设()(3)(1)(0)f x a x x a =++≠ 由(0)33f a ==，得1a =， 所以2()43f x x x =++（2）∵21()13()4324x x g x f x x x x x===≤=-++++，当且仅当3x x '=，x = ∴()g x的最大值是12-. 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.18．已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，且当0x >时，37,02()51,2x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨-->⎪⎩，()()g x f x a =-.（1）若函数()g x 恰有三个不相同的零点，求实数a 的值；（2）记()h a 为函数()g x 的所有零点之和.当11a -<<时，求()h a 的取值范围. 【答案】（1）2a =或2a =-；（2）()3312log 2,2log 21--.【分析】（1）作出函数()f x 的图象，函数()g x 恰有三个不相同的零点，即直线y a =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，由图象可得实数a 的值；（2）由()f x 的图象可知，当11a -<<时，()g x 有6个不同的零点，利用函数的奇偶性结合对称性得出()h a ，进而可得()h a 的取值范围． 【详解】（1）作出函数()f x 的图象，如图，由图象可知，当且仅当2a =或2a =-时，直线y a =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，∴当且仅当2a =或2a =-时，函数()g x 恰有三个不相同的零点.（2）由()f x 的图象可知，当11a -<<时，()g x 有6个不同的零点，设这6个零点从左到右依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，则1210x x +=-，5610x x +=，3x 是方程370x a -+-=的解，4x 是方程370x a ---=的解.∴3337()10log (7)log (7)10log 7ah a a a a+=---+++=- 当11a -<<时，714341,7743a a a +⎛⎫=-∈ ⎪--⎝⎭，∵()33()12log 2,2log 21h a ∈-- ∴当时11a -<<，()h a 的取值范围为()3312log 2,2log 21--.【点睛】本题考查函数与方程思想，考查考查函数的奇偶性和对称性，考查指对函数的性质，属于中档题．19．有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：（1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；（2）假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由. 【答案】（1）29140；（2）①答案见解析，238.6；②选择甲，理由见解析. 【分析】（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，可得P （A ）的值． （2）①设乙公司送餐员送餐单数为n ，可得当38n =时，386X =⨯，以此类推可得：当39n =时，当40n =时，X 的值．当41n =时，X 的值，同理可得：当42n =时，X 的值．求出X 的所有可能取值．可得X 的分布列及其数学期望．②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．【详解】（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，则()32035029140C P A C ==. （2）（ⅰ）设乙公司送餐员的送餐单数为n ，日工资为X 元，则当38n =时，386228X =⨯=；当39n =时，396234X =⨯=；当40n =时，406240X =⨯=；当41n =时，4067247X =⨯+=；当42n =时，40614254X =⨯+=.所以X 的分布列为：()228234240247254238.65105510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（ⅱ）依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为380.2390.2400.3410.2420.139.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以甲公司送餐员的日平均工资为80439.8239.2+⨯=元， 因为238.6239.2<，所以小张应选择甲公司应聘.（意对即可）【点睛】关键点点睛：根据题意求出随机变量的可能取值，写出随机变量的分布列与数学期望，根据古典概率计算公式、组合计算公式，计算所求概率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=︒.（1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求直线AD 与平面AEF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）64. 【分析】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，说明AC BD ⊥和AC FO ⊥即可证明；（2）连接DF ，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，利用向量法求解即可. 【详解】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥，又FO BD O ⋂=，∴AC ⊥平面BDEF（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF 为等边三角形，∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥， ∴FO ⊥平面ABCD .∵OA ，OB ，OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，设2AB =，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，∴2BD =，23AC =∵DBF 为等边三角形， 3.OF =∴3,0,0)A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，3)F ∵DB EF =，//DB EF ∴(0,3)E -(3,1,0AD =--，(3,0,3)AF =-，(0,2,0)EF =.设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则33020AF n x z EF n y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，得()1,0,1n =.设直线AD 与平面AEF 所成角为θ， 则||6sin cos ,4||||AD n AD n AD n θ⋅=<>==⋅. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的向量求法，属于中档题. 21．已知函数()ln f x kx x x =-，k ∈R ． （1）当2k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当01x <≤时，()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围； （3）设n N *∈，求证：ln1ln 2ln (1)2314n n n n -+++≤+． 【答案】（1）单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞；（2）[1,)+∞；（3）证明见解析.【分析】（1）代入2k =，求出'()f x ，再令'()0f x >求出其单调递增区间，令'()0f x <求出其单调递减区间；（2）求出'()f x ，再分类讨论k 的取值，验证其正确性，进而求出k 的取值范围；（3）利用（2）中得出的结论，取1k =，得到不等式ln 1x x x -≤，再令x =21n*()n N ∈，对不等式变形得到ln 1n n +≤12n -，进而证明原不等式. 【详解】解：（1）当2k =时，()2ln f x x x x =-，'()1ln f x x =-，由'()0f x >，解得0x e <<；由'()0f x <，解得x e >，因此函数()f x 单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞．（2）()ln f x kx x x =-，故'()1ln f x k x --＝．当1k 时，因为01x <≤，所以10ln k x -≥≥，因此'()0f x ≥恒成立，即()f x 在(]0,1上单调递增，所以()(1)f x f k ≤=恒成立．当1k <时，令'()0f x =，解得1(0,1)k x e -=∈．当1(0,)k x e -∈，'()0f x >，()f x 单调递增；当1(,1)k x e -∈，'()0f x <，()f x 单调递减； 于是1(1))(k f ef k -=＞，与()f x k ≤恒成立相矛盾．综上，k 的取值范围为[1,)+∞．（3）由（2）知，当01x <≤时，ln 1x x x -≤．令x =21n *()n N ∈，则21n +22n ln 1n ≤，即22ln 1n n -≤， 因此ln 1n n +≤12n -． 所以ln1ln 2ln 011(1) (23)12224n n n n n --+++≤+++=+. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与最值，以及不等式的证明相关问题，考查运算求解能力，属于中等题型.。
江苏省南通密卷2021届高三模拟试卷数学试题 Word版含答案
2021届南通密卷高三模拟试卷数学(考试时间：150分钟满分：150分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交监考老师.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|||2|,,}A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ） A.9 B.10 C.12 D.132.设z 是复数，则下列命题中正确的是（ ） A.若z 是纯虚数，则20z ≥ B.若z 的实部为0，则z 为纯虚数 C.若0z z -=，则z 是实数 D.若0z z +=，则z 是纯虚数3.关于函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠，有下列四个命题： 甲：a <0；乙：()0f x =的三根分别为1231,0,2x x x =-==； 丙：()f x 在(0,2)上恒为负； 丁：()f x 在(2,)∞+上单调递增.如果只有一个假命题，那么该命题是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁4.四色定理(Fourcolortheorem )又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一.它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里(FrancisGuthrie )提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理.某校数学兴趣小组在研究给四棱锥P ﹣ABCD 的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面(含公共棱的平面)不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的涂法有（ ） A.36种 B.72种 C.48种 D.24种5.函数()sin 2cos f x x x =-在[0,3]π上的零点个数为（ ）A.5B.6C.7D.86.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“112n n n S S S -++>的”（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形8.已知()(),x f x e g x ==若()()1221,f x g x d x x ==-，则d 的最小值为（ ）A.1ln22- B.1ln2- C.14 D.1e二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若非负实数a ，b 满足21a b +=，则下列不等式中成立的有（ ）A.214ab ≤B.2412a b +≥b ≥D.2234a b +≥10.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，那么下列说法中正确的有（ ）A.若点P 在双曲线C 上，则1222PF PFb k k a⋅= B.双曲线22221y x a b-=的焦点均在以12F F 为直径的圆上C.双曲线C 上存在点P ，使得122PF PF a +=D.双曲线C 上有8个点P ，使得12PF F 是直角三角形11.法国数学家柯西(A.Cauchy ，17891857-研究了函数21,0()0,0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩的相关性质，并证明了()f x 在0x =处的各阶导数均为0.对于函数()f x ，有如下判断，其中正确的有（ ）A.()f x 是偶函数B.()f x 在是(),0∞-上单调递减C.()()f f e π-<D.若()a f x b ≤<恒成立，则b a -的最小值为112.在锐角三角形ABC 中，三个内角满足A B C <<，则下列不等式中正确的有（ ） A.cos 2C C π+< B.cos cos A B B A ->-C.sin 2C C π>D.sin sin B B A A>三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设02πθ<<，向量()3cos2,cos ,1,sin .2a b θθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭若a b ⊥则tan θ=__________. 14.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a a+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.若椭圆1C 与抛物线2C 相交于点A ，B ，且直线AB 经过点F ，则椭圆1C 的离心率为___________.15.已知()f x 在(0,)∞+上是减函数，且()()()1f x f y f xy +=+对任意的(0,)x ∞∈+都成立，写出一个满足以上特征的函数()f x =___________. 16.已知菱形ABCD 的边长为2，3ABC π∠=.现将菱形沿对角线AC 折成空间几何体ABCD '.设空间几何体ABCD '的外接球为球O ，若球O 的表面积为8π，则二面角B ﹣AC ﹣D '的余弦值为___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在①1a ，3a 的等差中项是3，①24,a a 的等比中项是a 12，①13514a a a ++=.这三个条件中任选择两个，补充在下面问题中并解答.如果选多种方案解答，按第一种方案计分. 已知正项等比数列{}n a 满足_____，____. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项积为n T ，求数列21log n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .18.在①ABC 中，①ABC =2①ACB ，①ABC 和①ACB 的平分线交于点D. （1）若58AB AC =，求cos DCB ∠的值； （2）若AB CD =，求①BDC 的大小.19.某厂工会在征求职工对节假日期间的业余生活安排意见时，随机抽取200名职工(其中35岁以下职工占75%)进行问卷调查.统计数据显示，35岁以下职工愿意观看电影的占80%，35岁及以上职工愿意观看电影的占40%. （1）完成下列2×2联列表，并判断能否有99.9%的把握认为观看电影与年龄有关.愿意观看电影不愿意观看电影合计35岁以下 35岁及以上 合计（2）该厂工会节假日期间共组织4次观看电影活动，统计35岁以下职工观看电影场次如表： 观看场次 1 2 3 4 占比40%30%20%10%现采用分层抽样的方法从中抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，记这2人观看电影的总场次为X ，求X 的概率分布和数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20()P K k ≥0.010 0.005 0.001 k 06.6357.87910.82820.如图，在正三棱锥S ﹣ABC 中，E 是高SO 上一点，12AO SA =，直线EA与底面所成角的正切值为2.（1）求证：AE ①平面EBC ；（2）求三棱锥E ABC -外接球的体积.21.已知抛物线24y x =，点(2,0),(4,0)P Q .过点Q 的直线交抛物线于点A ，B ，AP ，BP 分别交抛物线于点C ，D ，连接AD ，DC ，CB .（1）若直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，求21k k 的值； （2）过点P 与x 轴垂直的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ，求证：.PE PF = 22.已知函数()cos ,()ln (1ln )cos f x x g x x x x x xππππ=+=-+-.（1）求证：函数()f x 在区间30,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有2个零点； （2）求证：函数()g x 有唯一的极值点.2021届南通密卷高三模拟试卷数学 参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤17.解：（1）记数列{}n a的公比为(0)q q >.选①①，则2131124424116,,a a a a q a a a q a ⎧+=+=⎨==⎩ 解得12,a q ==所以数列{}n a 的通项公式为122n na +=.选①①，则21311241351116,14,a a a a q a a a a a q a q ⎧+=+=⎨++=++=⎩ 解得12,a q ==所以数列{}n a 的通项公式为122n na +=.选①①，则24424112413511114,a a a q a a a a a a q a q ⎧==⎨++=++=⎩解得12,a q ==所以数列{}n a 的通项公式为122n na +=.（2）由题意得()()33231242n n n n n n T L +++=⨯⨯⨯==，所以()214411log 333n T n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，从而411111111111134253621123n S n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4111111323123n n n ⎛⎫=++--- ⎪+++⎝⎭()()()22212484493123n n n n n ++=-+++ 18.解：（1）在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB ACACB ABC∠∠=.因为52,8ABC ACB AB AC ∠∠==，所以4cos 5ACB ∠=.因为CD 平分ACB ∠，所以24cos 2cos 15ACB DCB ∠∠=-=，解得cos DCB ∠=负根舍去). （2）因为2,2ABC ACB ABC DBC ∠∠∠∠==，所以.ACB DBC ∠∠= 在ABC 和BCD 中，由正弦定理得sin sin AB BCACB BAC∠∠=，sin sin CD BCCBD BDC∠∠=因为AB CD =，所以sin sin .BAC BDC ∠∠=因为(),0,BAC BDC ∠∠π∈，所以.BAC BDC ∠∠π+= 记DCB ∠θ=，则6,3BAC BDC ∠πθ∠πθ=-=-， 所以()()63πθπθπ-+-=，解得9πθ=，所以23BDC π∠=. 19.解：（1）从而22200(120302030)28.5710.8281401506050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为观看电影与年龄有关.（2）用分层抽样的方法抽取的10人中，观看场次为1,2,3,4的人数分别为4，3，2，1.从这10人中随机抽取2人，观看电影的总场次x 的可能取值为2,3,4,5,6,7，其概率分别为：()()()11112243423422210101024112,3,4151545C C C C C C P X P X P X C C C +========= ()()()1111112114132312212221010102425,6,794545C C C C C C C C C P X P X P X C C C ++========= 所以X 的概率分布为所以()42234567415154594545E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.（1）证明：延长,AO 交BC 于点.D因为SO ⊥平面ABC ，所以EAO ∠即为直线EA 与底面所成的角， 从而tan 2EAO ∠=，所以2EO AO =.设2,AO =则1,4,OE OD SA AB SO =====以O 为坐标原点，与CB 平行的直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OS 所 在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -， 则()())()(0,0,0,0,2,0,,,O A BC E -，所以()()(23,0,0,3,1,2,0,2,.BC BE AE =-=--=设平面EBC 的法向量为(),,n x y z =，由00n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 取1z =，则0y x =，即()0,2,1n = 所以()20,2,12AE n ==，即//AE n ，所以AE ⊥平面EBC .（2）解：由题意知三棱锥E ABC -为正三棱锥，设其外接球的球心为()0,0,Ot '由O A O E '='=解得t=，所以外接球的半径r ⎛==⎝⎭所以外接球的体积3432V π⎛== ⎝⎭. 21.（1）解：设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，直线AC 的方程为12x m y =+，所以4343122122344334121244,44y y y y y y k k y y x x y y x x y y ---=====-+-+-.联立122,4,x m y y x -+⎧⎨=⎩得21480,y m y --= 所以2113113Δ16320,4,8.m y y m y y ⎧=+>⎪+=⎨⎪=-⎩同理248y y =-由题意得直线AB 的方程为()14.y k x =-联立()124,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()222211184160,k x k x k -++=所以()2221121122112Δ8464084,16,k k k x x k x x ⎧=+->⎪⎪+⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩从而()()()2212112112124441616y y k x x k x x x x ⎡⎤=--=-++=-⎣⎦，所以2121212134122888k y y y y y yk y y y y ++===-=+-- （2）证法1:由题意得直线PF 的方程为2x =. 设直线AD 的斜率为3k ，则14314144y y k x x y y -==-+，所以直线AD 的方程为()11144y y x x y y -=-+.令2x =，则()111442E y x y y y =-++.同理()122342F y x y y y =-++.所以()()()()11212121212122212121122221428848814288488E F x y y y x y y y y y y y y PEx PF y y y y x y y y y y y y -+--+--=====---+-+-∣∣∣ 证法2：设()()2,,2,E F E y F y . 因为A ，,E D 三点共线，所以()()14141112214142244E y y y yy y x x y y x x ---=-=---，即()111442E y y x y y -=-+，所以2111442.4E y y y y y ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭因为41228,16y y y y =-=-. 所以2222121212121111121244222848464324E y y y y y y y y y y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-()2111221333y y y y y =--=- 同理()222212341243F y y y y y y y ⎛⎫=+-=- ⎪+⎝⎭.所以E F y y =， 从而.PE PF =22.证明：(1)由题意得()2sin f x x x π'=--.①当()0,x π∈时，()0f x '<，所以()f x 在区间()0,π上单调递减， 从而()()0f x f π>=，所以()f x 在区间()0,π上没有零点.①当3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()32cos 0f x x x π-+''=>，所以()f x '在区间3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 因为134()0,1029f f ππππ''⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，所以存在3,2t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t '=， 从而可列下表：所以存在3,2t πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0.f α=又因为()0f π=，所以()f x 在区间3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点. 综上，所以()f x 在区间30,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上有2个零点. （2）由题意得()g x 的定义域为()()0,,sin ln ln g x x x ∞πππ++-'=. 记()()sin ln ln ,h x g x x x πππ==+-'则()()cos h x x f x x π='+=. ①当()0,x α∈时，由（1）知，若()0,x π∈，则()0h x '>，所以()h x 在区间()0,π上单调递增； 若[),x πα∈，则()0h x '≤，所以()h x 在区间[),πα上单调递减. 又因为()0h π=，所以()0h x ≤在()0,α上恒成立，且()0h α<， 即()0g x '≤在()0,α上恒成立，且()0g α'<，所以()g x 在区间()0,α上不存在极值点.①当3,2x πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 由（1）知()0h x '>，所以()h x 在区间3,2πα⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即()g x '在区间3,2πα⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 又因为()333270,1ln 13ln ln 02228g g e παπ⎛⎫<=-+>-+=> ⎪⎭''⎝， 所以存在3,2πβα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g β'=，从而可列下表：所以x β=是()g x 在区间3,2πα⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极小值点.（3）当3,2x π∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()33sin ln ln sin ln ln 1ln 022g x x x x ππππππππ=+->+-≥-+>' 即()g x 在区间3,2π∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()g x 在区间3,2π∞⎛⎫+⎪⎝⎭上不存在极值点 综上，函数()g x 有唯一的极值点.。
2021年5月2021届江苏省南通市普通高中高三下学期5月考前练习卷(四模)数学试卷参考答案
高三练习卷（答案） 第 1 页（共10页）高 三 练 习 卷数学（参考答案与评分建议）一、选择题（单选）： 1．C 2．A 3．B 4．C5．B6．D7．A8．B二、选择题（多选）：9．BCD10．BC11．ABC12．ABD三、填空题： 13．4514．e x C +，C 为任意常数（或ln(1)x C ++，32ax bx x d +++，sin x C +等） 15．1，4 16四、解答题：17．【解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ．因为62a =，4512a a +=， 所以6645222212a a a a q q qq +=+=+=， 所以()()26121310q q q q --=-+=， 因为0n a >，所以0q >，所以12q =，…………3分 所以()666711222n n n n a a q---==⨯=． …………5分（2）法一：()()()()642281352111112222n n n b a a a a -----==⨯⨯⨯⨯()()26422871122n n n---++--== ． …………8分 所以数列{}n b 的最大项为344096b b ==.…………10分2021年5月2021届江苏省南通市普通高中高三下学期5月考前练习卷（四模）数学试卷高三练习卷（答案） 第 2 页（共10页）法二：因为712n n a -=，所以()282112n n a --=．由()2821112n n a --=≥，得4n ≤．…………8分 所以数列{}n b 的最大项为344096b b ==．…………10分18．【解】在PBC △中，30C γ∠==︒，15CPB βγ∠=-=︒，1BC =．由正弦定理sin sin BC PB CPB C=∠∠，即1sin15sin 30PB =︒︒，所以12sin15PB =︒． …………4分在PAB △中，因为15A α∠==︒，45ABP β∠==︒， 所以180120APB A ABP ∠=︒-∠-∠=︒．由正弦定理sin sin BP AB A APB=∠∠，所以2sin120231cos302sin 15AB ︒===+-︒︒， …………8分所以51322DE AB AD EB =--=+-=所以隧道DE的长度为km ．…………12分说明：本题也可以借助山的高度，利用平面几何知识求解． 19．【解】（1）取AD 的中点O ，连结OB OC OP ，，． 在△P AD 中，因为PA PD =，O 为AD 所以PO AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ．…………2分 因为BC ⊂平面ABCD ， 所以PO BC ⊥．O D CBA2021年5月2021届江苏省南通市普通高中高三下学期5月考前练习卷（四模）数学试卷。
2021届江苏省南通市高三月考模拟测试 数学试题
江苏省南通市2021届高三月考模拟测试数学试题2020.9一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 03x <<是12x -<成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．12i 12i1i 1i-++=+-（ ） A ．1- B ．i - C ．1 D ．i3．设D 为ABC △的边BC 的延长线上一点，3BC CD =，则（ ） A ．1433AD AB AC =-B ．4133AD AB AC =+ C ．1433AD AB AC =-+D ．4133AD AB AC =-4． 已知直线1l ：360x y +-=与圆心为()0,1M 的圆相交于A ，B 两点，另一直线2l ：22330kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．)51D ．)515． 一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ）A B C D 6． 当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（ ） A ．π,6π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π,4π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π,3π2⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作垂直x 轴的直线交椭圆E 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方．若3AB =，2ABF △的内切圆的面积为9π16，则直线2AF 的方程是（ ） A ．3230x y +-= B ．2320x y +-= C ．4340x y +-=D ．3430x y +-=8． 已知()3ln 44x f x x x=-+，()224g x x ax =--+，若对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．258ln 2,16-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．15,84⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年江苏省南通市高考数学模拟试卷(四)
2021年江苏省南通市高考数学模拟试卷(四)2021年江苏省南通市高考数学模拟试卷（四）一、填空：这个大问题有14个小问题，每个小问题5分，总共70分。
1.（5分）如果集合a={x | 2＜x＜2}，集合B是一组自然数，那么a∩ B=22.（5点）如果复数Z=a1+（a+1）I（a∈ R）是一个纯虚数，那么a=。
3.（5点）样本的频率分布直方图中有11个小矩形。
如果中间的一个小矩形的面积等于其他10个小矩形的面积之和，并且样本大小为160，则中间组的频率为。
4.（5分）从两个红色球、两个黄色球和一个白色球中随机抽取两个球，则两个球具有不同颜色的概率为。
5.（5分）。
根据图中所示的伪代码，输出结果s为6．（5分）三棱锥sabc中，面sab，sbc，sac都是以s为直角顶点的等腰直角三角形，且ab=bc=ca=2，则三棱锥sabc的表面积是．7.（5点）如果已知f是双曲线C的焦点：2xmy=4m（M>0），则从f点到C渐近线的距离为。
8.（5分）与其大小关系为。
（与“>”或“<”相关））的图象，只需将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）二29.（5分）得到y=cos(个单位，则φ的最小值为．10．（5分）若函数f（x）=，如果定义字段中正好有两个零，则正实数a的值为．*11．（5分）已知{an}，{bn}均为等比数列，其前n项和分别为sn，tn，若对任意的n∈n，总有=，则=．2二12．（5分）如图，在圆o：x+y=4上取一点a（，1），e、f为y轴上的两点，且ae=af，延长ae，af分别与圆交于点mn．则直线mn的斜率为．第1页，共26页13．（5分）如图，ab=bc=1，∠apb=90°，∠bpc=45°，则=．14.（5点）已知正实数a、B和C满足+=1，++=1，则实数c的取值范围是．二、答：这个主要问题有6个小问题，共90分。
请在答题纸指定区域作答，并在作答时写下文字描述、证明过程或计算步骤。
南通市2022-2021年高考高三数学5月月考模拟试题 (3)
高考高三数学月考模拟试题第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1、()()=+--321i i i （ ）A. i +3B.i --3C. i +-3D. i -3 2、862lim22+--→x x x x 的值为 ( )A ．0B ．1C ．21-D ．31 3、有以下四个命题：其中真命题的序号是 （ ）①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥；③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ．、A ①②、B ③④、C ①④、D ②③4、设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则231x y x +++取值范围是 （ ）.A [3,11].B [2,6].C [3,10].D [1,5]5、某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号 1 2 3 4 5 6 节目如果A 、B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，则节目单上不同的排序方式有（ ） A ．192种 B ．144种C ．96种 D ．72种6、已知→→b a ,为非零向量，命题0:>•→→b a p ，命题→→b 、a q :的夹角为锐角，则命题p 是命题q 的( )A.充分不必要的条件B. 既不充分也不必要的条件C.充要条件D. 必要不充分的条件7、已知圆x x g x x f y x y x C 2)(,log )()0,0(4:222==≥≥=+与函数的图象分别交于22212211),,(),,(x x y x B y x A +则的值为 （ ） 16、A 8、B 4、C 2、D8、在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()f x 的图象恰好通过()n n N +∈个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数。
江苏省南通、连云港等七市2021届高三下学期3月(一模)数学 试题(含答案)
2020～2021学年高三年级模拟考试卷数 学(满分：150分 考试时间：120分钟)2021．03一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合M ，N ，P 均为R 的非空真子集，且M ∪N ＝R ，M ∩N ＝P ，则M ∩(∁R P )＝( ) A. M B. N C. ∁R M D. ∁R N2. 已知x ∈R ，则“－3≤x ≤4”是“lg (x 2－x －2)≤1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 欧拉恒等式：e i π＋1＝0被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e 、圆周率π、虚数单位i 、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：e i θ＝cos θ＋isin θ(θ∈R )中，令θ＝π得到的．根据欧拉公式，e 2i 在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. “帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”．右图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面．若各斜坡面与底面所成二面角的正切值为12，底面矩形的长与宽之比为5∶3，则正脊与斜脊长度的比值为( )A. 35B. 89C. 910D. 1 5. 已知a ，b ，c 均为单位向量，且a ＋2b ＝2c ，则a·c ＝( ) A. －12B. －14C. 14D. 126. 函数f (x )＝sin x cos x ＋3cos 2x 的图象的一条对称轴为( ) A ．x ＝π12 B. x ＝π6 C. x ＝π3 D. x ＝π27. 某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草、植树两项劳动．依据劳动表现，评定为“优秀”“合格”2个等级，结果如下表：等级项目 优秀 合格 合计 除草 30 15 45 植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为( )A. 5B. 10C. 15D. 208. 若a ln a ＞b ln b ＞c ln c ＝1，则( )A. e b ＋c ln a ＞e c ＋a ln b ＞e a ＋b ln cB. e c ＋a ln b ＞e b ＋c ln a ＞e a ＋b ln cC. e a ＋b ln c ＞e c ＋a ln b ＞e b ＋c ln aD. e a ＋b ln c ＞e b ＋c ln a ＞e c ＋a lnb 二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知数列{a n }是等比数列，下列结论正确的是( )A. 若a 1a 2＞0，则a 2a 3＞0B. 若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0C. 若a 2＞a 1＞0，则a 1＋a 3＞2a 2D. 若a 1a 2＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＜010. 已知函数f (x )＝|x 2－a |(a ∈R )，则y ＝f (x )的大致图象可能为( )11. “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，…则( )A. 在第9条斜线上，各数之和为55B. 在第n (n ≥5)条斜线上，各数自左往右先增大后减小C. 在第n 条斜线上，共有2n ＋1－（－1）n4个数D. 在第11条斜线上，最大的数是C 3712. 如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB (A 为塔顶，B 为塔底)的高度，选取与B 在同一水平面内的两点C 与D (B ，C ，D 不在同一直线上)，测得CD ＝s .测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有∠ACB ，∠ACD ，∠BCD ，∠ADB ，∠ADC ，∠BDC ，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB 的高度的是( )A. s ，∠ACB ，∠BCD ，∠BDCB. s ，∠ACB ，∠BCD ，∠ACDC. s ，∠ACB ，∠ACD ，∠ADCD. s ，∠ACB ，∠BCD ，∠ADC三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知随机变量X ～N (2，σ2)，P (X ＞0)＝0.9，则P (2＜X ≤4)＝________．14. 能使“函数f (x )＝x |x －1|在区间I 上不是单调函数，且在区间I 上的函数值的集合为[0，2]”是真命题的一个区间I 为________．15. 已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为P ，右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 2的顶点与C 1的中心O 重合．若C 1与C 2相交于点A ，B ，且四边形OAPB 为菱形，则C 1的离心率为________．16. 在三棱锥P ABC 中，AB ⊥BC ，AC ＝8，点P 到底面ABC 的距离为7.若点P ，A ，B ，C 均在一个半径为5的球面上，则P A 2＋PB 2＋PC 2的最小值为________．三、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分10分) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝5c ，c sin A ＝1，点D 是边AC 的中点，BD ⊥AB ，求c 和∠ABC 的值．18.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＋1＝4a n ，n ∈N *，且a 1＝4. (1) 求证：{a n ＋1－2a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2) 在①b n ＝a n ＋1－a n ；②b n ＝log 2a nn ；③b n ＝a n ＋2a n ＋1a n这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答．已知数列{b n }满足________，求{b n }的前n 项和T n .(注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．)如图，在三棱台ABCA 1B 1C 1，AC ⊥A 1B ，点O 是BC 的中点，A 1O ⊥平面ABC . (1) 求证：AC ⊥BC ；(2) 若A 1O ＝1，AC ＝23，BC ＝A 1B 1＝2，求二面角B 1BCA 的大小．20. (本小题满分12分) 甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”(即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束).比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分．已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为23.(1) 甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分X 的概率分布列和数学期望； (2) 甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (3，1)在C 上，且PF 1·PF 2＝10.(1) 求C 的方程；(2) 斜率为－3的直线l 与C 交于A ，B 两点，点B 关于原点的对称点为D .若直线P A ，PD 的斜率存在且分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．已知函数f (x )＝e ax (ln x ＋1)(a ∈R )，f ′(x )为f (x )的导数． (1) 设函数g (x )＝f ′（x ）e ax ，求g (x )的单调区间；(2) 若f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)， ①求实数a 的取值范围；②求证：当a ＜2e 32时，f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2.2020～2021学年高三年级模拟考试卷(南通、连云港等七市) 数学参考答案及评分标准1. D2. B3. B4. B5. C6. A7. C8. C9. AC 10. ABD 11. BCD 12. ACD 13. 0.414. 答案不唯一，只要形如[a ，2]或(a ，2]，其中0≤a ＜1的均正确． 15. 1316. 19817. 解：在直角三角形ABD中，BD 2＝AD 2－AB 2＝(b 2)2－c 2＝c 24，所以BD ＝c 2.所以sin A ＝BD AD ＝55.(2分)因为c sin A ＝1，所以c ＝ 5.(4分) 由b ＝5c 得b ＝5. 因为sin A ＝55，A ∈(0，π2)，所以cos A ＝1－sin 2A ＝255.(5分) 在△ABC 中，由余弦定理，得a ＝52＋（5）2－2×5×5×255＝10.(7分)由正弦定理，得a sin A ＝b sin ∠ABC ，即5sin ∠ABC ＝1055， 所以sin ∠ABC ＝22.(9分) 因为∠ABC ∈(π2，π)，所以∠ABC ＝3π4.(10分)18. (1) 证明：当n ≥2时，因为S n ＋1＝4a n ，所以S n ＝4a n －1，两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n－1.所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1).(2分)当n ＝1时，因为S n ＋1＝4a n ，所以S 2＝4a 1. 又a 1＝4，故a 2＝12，于是a 2－2a 1＝4，所以{a n ＋1－2a n }是以4为首项、2为公比的等比数列．(3分) 所以a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，两边除以2n ＋1，得a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝1.(4分)又a 12＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以2为首项、1为公差的等差数列．所以a n2n ＝n ＋1，即a n ＝(n ＋1)·2n .(6分)(2) 解：若选①：b n ＝a n ＋1－a n ，即b n ＝(n ＋2)·2n ＋1－(n ＋1)·2n ＝(n ＋3)·2n .(8分) 因为T n ＝4×21＋5×22＋6×23＋…＋(n ＋3)×2n ，所以2T n ＝4×22＋5×23＋6×24＋…＋(n ＋3)×2n ＋1.两式相减，得－T n ＝4×21＋(22＋23＋…＋2n )－(n ＋3)×2n ＋1(10分) ＝8＋4×（2n －1－1）2－1－(n ＋3)×2n ＋1＝－(n ＋2)×2n ＋1＋4，所以T n ＝(n ＋2)×2n ＋1－4.(12分)若选②：b n ＝log 2a nn ，即b n ＝log 2n ＋1n ＋log 22n ＝log 2n ＋1n ＋n ，(8分)所以T n ＝(log 221＋log 232＋…＋log 2n ＋1n )＋(1＋2＋…＋n )＝log 2(21×32×…×n ＋1n )＋（1＋n ）n 2＝log 2(n ＋1)＋（1＋n ）n 2.(12分)若选③：b n ＝a n ＋2a n a n ＋1，即b n ＝4a n ＋1－4a n a n ＋1a n ＝4(1a n －1a n ＋1)，(8分)所以T n ＝4(1a 1－1a 2)＋4(1a 2－1a 3)＋…＋4(1a n －1a n ＋1)＝4(1a 1－1a n ＋1)(10分)＝4[14－1（n ＋2）2n ＋1]＝1－1（n ＋2）2n －1.(12分) 19. (1) 证明：因为A 1O ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以A 1O ⊥AC .(1分)因为AC ⊥A 1B ，A 1B ∩A 1O ＝A 1，A 1B ⊂平面A 1BO ，A 1O ⊂平面A 1BO ， 所以AC ⊥平面A 1BO .(3分)因为BC ⊂平面A 1BO ，所以AC ⊥BC .(4分)(2) 解：以O 为坐标原点，与CA 平行的直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，OA 1所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则O (0，0，0)，A (23，－1，0)，B (0，1，0)，A 1(0，0，1).所以OB →＝(0，1，0)，AB →＝(－23，2，0)，OA 1＝(0，0，1)，于是AB ＝4.由ABCA 1B 1C 1是三棱台，所以AB ∥A 1B 1. 因为A 1B 1＝2，所以A 1B 1＝12AB →＝(－3，1，0).所以OB 1＝OA 1＋A 1B 1＝(－3，1，1). 设平面BB 1C 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎨⎧n ·OB →＝0，n ·OB 1＝0，得⎩⎨⎧y ＝0，－3x ＋y ＋z ＝0，取x ＝1，则y ＝0，z ＝3，即n ＝(1，0，3).(9分)因为OA 1⊥平面ABC ，所以平面ABC 的法向量为OA 1＝(0，0，1)，(10分) 所以cos 〈n ，OA 1〉＝n ·OA 1|n |·|OA 1|＝1×0＋0×0＋3×112＋02＋（3）2×02＋02＋12＝32.因为二面角B 1BCA 为钝二面角， 所以二面角B 1BCA 的大小是5π6.(12分)20. 解：(1) 依题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，且 P (X ＝0)＝(13)3＋C 1323×(13)2×13＝19， P (X ＝1)＝C 24(23)2×(13)2×13＝881， P (X ＝2)＝C 24(23)2×(13)2×23＝1681， P (X ＝3)＝C 23(23)2×13×23＋(23)3＝1627，(4分) 所以X 的概率分布列为所以E (X )＝0×19＋1×881＋2×1681＋3×1627＝18481.(6分)(2) 记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A .设第i 场甲、乙两队积分分别为X i ，Y i ，则Y i ＝3－X i ，i ＝1，2. 因为两队积分相等，所以X 1＋X 2＝Y 1＋Y 2，即X 1＋X 2＝(3－X 1)＋(3－X 2)，所以X 1＋X 2＝3.(8分)所以P (A )＝P (X 1＝0)P (X 2＝3)＋P (X 1＝1)P (X 2＝2)＋P (X 1＝2)P (X 2＝1)＋ P (X 1＝3)P (X 2＝0)(10分)＝19×1627＋881×1681＋1681×881＋1627×19 ＝1 1206 561. 答：甲、乙比赛两场后，两队积分相等的概率为1 1206 561.(12分)21. (1) 解：设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c ＞0)，其中c ＝a 2＋b 2. 因为PF 1·PF 2＝10，所以（3＋c ）2＋1×（3－c ）2＋1＝10， 解得c 2＝16或c ＝0.又c ＞0，故c ＝4.(2分)所以2a ＝（3＋4）2＋1－（3－4）2＋1＝42，即a ＝2 2.(4分) 所以b 2＝c 2－a 2＝8.所以C 的方程为x 28－y 28＝1.(5分)(2) 证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则D (－x 2，－y 2). 设直线l 的方程为y ＝－3x ＋m ，与双曲线C 方程联立， 消去y ，得8x 2－6mx ＋m 2＋8＝0.由Δ＝(－6m )2－32(m 2＋8)＞0，得|m |＞8. x 1＋x 2＝3m4，x 1x 2＝m 2＋88.(7分)所以y 1y 2＝(－3x 1＋m )(－3x 2＋m )＝9x 1x 2－3m (x 1＋x 2)＋m 2＝－m 28＋9.(8分) 所以k 1·k 2＝y 1－1x 1－3·－y 2－1－x 2－3＝y 1y 2＋y 1－y 2－1x 1x 2＋3x 1－3x 2－9(10分)＝－m 28＋8－3（x 1－x 2）m28－8＋3（x 1－x 2）＝－1.所以k 1·k 2为定值．(12分)22. (1) 解：依题意，f (x )的定义域为(0，＋∞)，且g (x )＝f ′（x ）e ax ＝a ln x ＋a ＋1x， 则g ′(x )＝ax －1x2.①当a ≤0时，g ′(x )＜0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，g (x )单调递减；(2分) ②当a ＞0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1a ，所以，当x ∈(0，1a )时，g ′(x )＜0，g (x )递减；当x ∈(1a，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )递增．综上，当a ≤0时，g (x )的减区间为(0，＋∞)，无增区间； 当a ＞0时，g (x )的减区间为(0，1a )，增区间为(1a，＋∞).(4分)(2) ①解：因为f (x )有两个极值点，所以g (x )有两个零点．由(1)知，a ≤0时不合； 当a ＞0时，g (x )最小值＝g (1a)＝a (2－ln a ).(ⅰ) 当0＜a ＜e 2时，g (x )＞g (1a )＞0，g (x )没有零点，不合；(ⅱ) 当a ＝e 2时，g (1a )＝0，g (x )有一个零点1a，不合；11(ⅲ) 当a ＞e 2时，g (1a )＜0.(6分)g (1a2)＝a (a ＋1－2ln a )， 设φ(a )＝a ＋1－2ln a ，a ＞e 2，则φ′(a )＝1－2a ＞0.所以φ(a )＞φ(e 2)＝e 2－3＞0，即g (1a 2)＞0.所以存在x 1∈(1a 2，1a)，使得g (x 1)＝0.因为g (1e )＝e ＞0，所以存在x 2∈(1a ，1e )，使得g (x 2)＝0.f (x )的值变化情况如下表：＋－＋所以当a ＞e 时，f (x )有两个极值点．综上，实数a 的取值范围是(e 2，＋∞).(8分) ②证明：因为a ＜2e 32，g (2a )＝a (32＋ln 2a )＞0，所以1a 2＜x 1＜1a ＜x 2＜2a.(9分)因为x 1，x 2是g (x )＝a ln x ＋a ＋1x 的两个零点，所以ln x 1＋1＝－1ax 1，ln x 2＋1＝－1ax 2.所以f （x 1）x 1＝e ax 1（ln x 1＋1）x 1＝－e ax 1ax 21，f （x 2）x 2＝e ax 2（ln x 2＋1）x 2＝－e ax 2ax 22.记h (x )＝－e axax 2(1a 2＜x ＜2a )，则h ′(x )＝－e ax （x －2a ）x3＞0， 所以h (x )在(1a 2，2a)上单调递增．因为1a 2＜x 1＜1a ＜x 2＜2a ，所以h (x 1)＜h (x 2)，即f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2.(12分)。
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江苏省南通市2021届高三月考模拟测试数学试题2020.9一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 03x <<是12x -<成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．12i 12i1i 1i-++=+-（ ） A ．1- B ．i - C ．1 D ．i3．设D 为ABC △的边BC 的延长线上一点，3BC CD =，则（ ） A ．1433AD AB AC =-B ．4133AD AB AC =+ C ．1433AD AB AC =-+D ．4133AD AB AC =-4． 已知直线1l ：360x y +-=与圆心为()0,1M 的圆相交于A ，B 两点，另一直线2l ：22330kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．)51D ．)515． 一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ）A B C D6． 当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（ ） A ．π,6π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π,4π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π,3π2⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作垂直x 轴的直线交椭圆E 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方．若3AB =，2ABF △的内切圆的面积为9π16，则直线2AF 的方程是（ ） A ．3230x y +-= B ．2320x y +-= C ．4340x y +-=D ．3430x y +-=8． 已知()3ln 44x f x x x=-+，()224g x x ax =--+，若对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．258ln 2,16-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．15,84⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +与(2)f x +都为奇函数，则（ ）A. ()f x 为奇函数B. ()f x 为周期函数C.(3)f x +为奇函数D.(4)f x +为偶函数10．设{})(*N n a n ∈是等差数列，d 是其公差，n S 是其前n 项和.若,,87665S S S S S >=<则下列结论正确的是0.<d A 0.7=a B 59.S S C > 的最大值均为与n S S S D 76.11． 已知双曲线C过点且渐近线为y x =，则下列结论正确的是（） A.C 的方程为2213x y -= B.CC.曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点D.直线10x =与C 有两个公共点 12．声音是由物体震动产生的波，期中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数1()sin sin 22f x x x =+，则下列结论正确的是（）A.2π是()f x 的一个周期 B ．()f x 在[]0,2π上有3个零点C.()f x．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．。
13．若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有 种(用数字填空)14．在52x ⎛- ⎝的展开式中，2x 的系数为______．15． △ABC 的内角A ,B ,C的对边分别为222,,.=2a b c a b c +-∆且，ABC 的面积为S ,36cos cos a S B C =+，则的最大值为__________.16．已知，若方程有2个不同的实根，则实数m 的取值范围是________.(结果用区间表示)()()ln ,024,24x x e f x f e x e x e <≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩()0f x mx -=四、解答题：本题共6小题，共70分。
请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)在ABC △中，3sin 2sin A B =，tan C = （1）求cos2C ；（2）若1AC BC -=，求ABC △的周长．18．(本小题满分12分)已知正项等比数列{}n a 满足3112S S -=，212314a S +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2212211log log n a n b a a +-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．(本小题满分12分)某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案： 方案一：交纳延保金6000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1500元；方案二：交纳延保金7740元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费a 元．某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得下表：以上100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率，记X表示这两台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算？20．(本小题满分12分)如图所示，在四面体ABCD中，AD AB⊥，平面ABD⊥平面ABC，AB BC AC==，且4+=．AD BC（1）证明：BC⊥平面ABD；（2）设E为棱AC的中点，当四面体ABCD的体积取得最大值时，求二面角C BD E--的余弦值．21．(本小题满分12分)已知椭圆()2222:10x y O a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆O 上运动，若PAB △面积的最大值为O 的离心率为12．（1）求椭圆O 的标准方程；（2）过B 点作圆E ：()2222x y r +-=，()02r <<的两条切线，分别与椭圆O 交于两点C ，D (异于点B )，当r 变化时，直线CD 是否恒过某定点?若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．22．(本小题满分12分) 已知函数()2113ln 244f x x a xx =+++-，()ln g x x =．（1）求证：()21114f x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭；（2）用{}max ,p q 表示p q ，中的最大值，记()()(){}max ,h x f x g x =，讨论函数()h x 零点的个数．江苏省南通市2021届高三月考模拟测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. A2. A3. C4.B5.C6. C7. D8. A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.ABC 10. ABD 11.AC 12.ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．。
13．72 14．80 15．6 16．1(,)e-∞四、解答题：本题共6小题，共70分。
请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）∵tan C 1cos 6C =，∴2117cos 221618C ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭．（2）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．∵3sin 2sin A B =，∴32a b =，∵1AC BC b a -=-=，∴2a =，3b =．由余弦定理可得2222cos 13211c a b ab C =+-=-=，则c ABC △的周长为5+18．（1）设数列{}n a 的公比为q由已知0q >，由题意得21111+123214a q a q a a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，所以275180q q --=，解得2q=，12a =.因此数列{}n a 的通项公式为2n n a =.（2）由（1）知，22122111111()log log (21)(21)22121n a n b a a n n n n +-===-+--+，∴11111111(1)(1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++.19．（1）X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6， ()11105525P X ==⨯=，()1111210525P X ==⨯⨯=，()11121722101055100P X ==⨯+⨯⨯=，()121313221055105P X ==⨯⨯+⨯⨯=， ()2231114255101050P X ==⨯+⨯⨯=，()2365251025P X ==⨯⨯=，()33961010100P X ==⨯=， X ∴的分布列为X123456P125 125 17100 15 1150 625 9100（2）选择延保方案一，所需费用1Y 元的分布列为：()111116960007500900010500120008580455025100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= (元)选择延保方案二，所需费用2Y 元的分布列为：2Y7740 7740a + 77402a +P67100 625 9100()()()2676921774077407740277401002510050aE Y a a =⨯+⨯++⨯+=+(元) ()()122184050aE Y E Y ∴-=-， 当()()1221840050aE Y E Y -=->，即02000a <<时，选择方案二， 当()()1221840050aE Y E Y -=-=，即2000a =时，选择方案一，方案二均可，当()()1221840050aE Y E Y -=-<，即2000a >时，选择方案一．20. （1）证明：因为AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD 平面ABC AB =，AD ⊂平面ABD ，所以AD ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥．因为AB BC AC =，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥， 因为ADAB A =，所以BC ⊥平面ABD ．（2）解：设()04AD x x =<<，则4AB BC x ==-，四面体ABCD 的体积()()()2321114816326V f x x x x x x ==⨯-=-+()04x <<．()()()()2113161643466f x x x x x =-+=--'， 当403x <<时，()0f x '>，()V f x =单调递增； 当443x <<时，()0f x '<，()V f x =单调递减． 故当43AD x ==时，四面体ABCD 的体积取得最大值．以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B ，80,,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，8,0,03C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，840,,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，44,,033E ⎛⎫⎪⎝⎭．设平面BCD 的法向量为(),,x y z =n ，则00BC BD ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n ，即80384033x y z ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩， 令2z =-，得()0,1,2=-n ，同理可得平面BDE 的一个法向量为()1,1,2=-m ，则==． 由图可知，二面角C BD E --为锐角，故二面角C BD E --． 21. （1）由题可知当点P 在椭圆O 的上顶点时，PAB S △最大，此时122PAB S ab ab =⨯==△222122ab c a a a b c ⎧=⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪-=⎩，b =1c =， ∴椭圆O 的标准方程为22143x y +=． （2）设过点()2,0B 与圆E 相切的直线方程为()2y k x =-，即20kx y k --=， ∵直线与圆E ：()2222x y r +-=相切，∴d r ==，即得()2224840r k k r -++-=． 设两切线的斜率分别为1k ，()212k k k ≠，则121k k =，设()11,C x y ，()22,D x y ，由()()12222221112341616120143y k x k x k x k x y =-⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩，∴211211612234k x k -=+，即211218634k x k -=+，∴11211234k y k -=+； 同理：22212222186863443k k x k k --==++，212222112123443k k y k k --==++； ∴()112221111222211112211121243348686414334CD k k y y k k k K x x k k k k k ----++===---+-++， ∴直线CD 的方程为()21112221111286343441k k k y x k k k ⎛⎫-+=- ⎪ ⎪+++⎝⎭． 整理得()()()()111222111714412141k k k y x x k k k =-=-+++，∴直线CD 恒过定点()14,0．22．（1）证明：设()()21111ln 14x f x a x x x ϕ⎡⎤⎛⎫=--+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，定义域为()0,+∞， 则()22111x x x x xϕ'-=-=． 当01x <<时，()0x ϕ'<；当1x >时，()0x ϕ'>，故()x ϕ在()0,1内是减函数，在()1,+∞内是增函数，所以1x =是()x ϕ的极小值点，也是()x ϕ的最小值点，所以()()()min 10x x ϕϕϕ≥==，所以()21114f x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭． （2）解：函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()23233211111212222x x x x f x x x x x x '+---=--==， 当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()0,1内是减函数，在()1,+∞内是增函数，所以1x =是()f x 的极小值点，也是()f x 的最小值点，即()()min 1f x f a ==，若0a =，则()()()()221311132444x x f x g x x x x -+-=+-=-， 当01x <<时，()()f x g x >；当1x =时，()()f x g x =；当1x >时，()()f x g x <．所以()()(),01,1f x x h x g x x ⎧<<⎪=⎨≥⎪⎩，于是()h x 只有一个零点1x =．当0a >，则当01x <≤时，()()f x g x >，此时()()0h x f x a =≥>， 当1x >时，()0f x a >>，()0g x >，此时()0h x >，所以()h x 没有零点．当0a <，则当01x <<时，根据（1）可知，()21114f x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，而01<，所以()211104f a >-+=， 又因为()()min 10f x f a ==<，所以()f x 在()0,1上有一个零点0x ，从而一定存在()01,c x ∈，使得()()f c g c =， 即21130244a c c +-+=，所以2311424a cc -=+． 当x c >时，()()22211311112024224444c x c x g x f x a x x c cx cx x x c -+⎛⎫-=--+-=--++=-+> ⎪⎝⎭， 所以()()g x f x >，从而()()(),0,f x x c h x g x x c ⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，于是()h x 有两个零点0x 和1．故当0a <时，()h x 有两个零点．综上，当0a =时，()h x 有一个零点，当0a >时，()h x 没有零点，当0a <时，()h x 有两个零点．。