1981全国高考文科数学试题

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1981年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案

1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一．（本题满分6分）设A 表示有理数的集合，B 表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A ∪B, 2.A ∩B. 解：1.A ∪B={实数},2.A ∩B=Φ二．（本题满分8分）化简：3242222227]2)([][])(3[a b a ba b a b a b a -÷-⨯+-解：原式=2)(38b a b -三．（本题满分6分）在A 、B 、C 、D 四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果解：1.选举种数P 42=12（种）所有可能的选举结果：AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD 、 BA 、CA 、DA 、CB 、DB 、DC2.选举种数C 43=4（种）所有可能的选举结果： ABC 、ABD 、ACD 、BCD四．（本题满分10分）求函数f(x)=sinx+cosx 在区间（-π，π）上的最大值解：.2)(,)(),(,2,2)(),4sin(2)(值在这个区间上取得最大故的一个周期的定义区间是恰好区间为周期以为振幅以所以x f x f x f x x f ππππ-+= 五．（本题满分10分）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明答：.sin sin sin cCb B a A == 证：引AD 垂直BC 于D;引BE 垂直CA 的延长线于E 设△ABC 的面积为S ，则;sin 21)180sin(2121A bc A bc BE AC S =-︒=⋅=B ac AD BC S sin 2121=⋅=又 C ab AD BC S sin 2121=⋅= C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===∴将上式除以,21abc 得：.sin sin sin cCb B a A == 六．（本题满10分）已知正方形ABCD 的相对顶点A （0，-1）和C （2，5），求顶点B 和D 的坐标解：设AC 中点为M （x,y ）,则有)2,1(),(.2251,1220M y x M y x =∴=+-==+=又设AC 斜率为k ，则k=3因此得BD 的斜率为31=-k 故有直线BD 的方程：(1))1(312--=-x y 又以M 点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为(2) 10)2()1(22=-+-y xB a解方程（1）、（2）得B、D的坐标为（4，1）及（-2，3）（注：用复数法解亦可）七．（本题满分17分）设1980年底我国人口以10亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？解：1.所求人口数x（亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿)2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)20≤12，（1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即 lg(1+y%)≤0.00396. ∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 答：略八．（本题满分15分）ABCD-A 1B 1C 1D 1为一正四棱柱，过A 、C 、B 1三点作一截面，求证：截面ACB 1⊥对角面DBB 1D 1证：设AC 、BD 交于O 点作截面ACB 1、对角面BB 1D 1D 以及它们的交线OB 1的图形由于AC 1是正四棱柱，所以ABCD 是正方形，故AC ⊥BD;又BB 1⊥底面ABCD ，故BB 1⊥AC ∴AC ⊥对角面BB 1D 1D已知AC 在截面ACB 1内，故有截面ACB 1⊥对角面BB 1D 1D九．（本题满分18分）1．设抛物线y 2=4x 截直线y=2x+k 所得的弦长为53，求k 的值2．以本题（1）得到的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点做成三角形当这三角形的面积为9时，求P 的坐标解：设直线与抛物线的交点为P 1（x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).解方程组： x k x kx y x y 4)2(2422=+⎩⎨⎧+==得 D 1 C 1A C222121222121212221222121244(1)01,.4()()4(1)412.4,2,()4()4(12).(12)4(12)45,: 4.x k x k k x x k x x x x x x x x k k k P P y x k y y x x k k k k +-+=+=-=∴-=+-=--⋅=-=+-=-=-=-+-==-即故有又因在直线上故即解得2．设x 轴上一点P 的坐标为（a ,0）又点P 到直线P 1P 2的距离为h ，则有=h 依题意得△PP 1P 2的面积关系：.1,5|,42|6,5|42|53219-==∴-=-⋅⋅=a a a a 即。

1981年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案

1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一．（本题满分6分）设A 表示有理数的集合，B 表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A ∪B, 2.A ∩B. 解：1.A ∪B={实数},2.A ∩B=Φ二．（本题满分8分）化简：3242222227]2)([][])(3[a b a ba b a b a b a解：原式=2)(38b a b三．（本题满分6分）在A 、B 、C 、D 四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果解：1.选举种数P 42=12（种）所有可能的选举结果：AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD 、 BA 、CA 、DA 、CB 、DB 、DC2.选举种数C 43=4（种）所有可能的选举结果： ABC 、ABD 、ACD 、BCD四．（本题满分10分）求函数f(x)=sinx+cosx 在区间（-π，π）上的最大值解：.2)(,)(),(,2,2)(),4sin(2)(值在这个区间上取得最大故的一个周期的定义区间是恰好区间为周期以为振幅以所以x f x f x f x x f五．（本题满分10分）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明答：.sin sin sin cCb B a A 证：引AD 垂直BC 于D;引BE 垂直CA 的延长线于E 设△ABC 的面积为S ，则;sin 21)180sin(2121A bc A bc BE AC SB ac AD BC S sin 2121又 C ab AD BC S sin 2121 C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21将上式除以,21abc 得：.sin sin sin c Cb B a A六．（本题满10分）已知正方形ABCD 的相对顶点A （0，-1）和C （2，5），求顶点B 和D 的坐标解：设AC 中点为M （x,y ）,则有)2,1(),(.2251,1220M y x M y x又设AC 斜率为k ，则k=3因此得BD 的斜率为31k 故有直线BD 的方程：(1))1(312 x y 又以M 点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为B a(2) 10)2()1(22 y x解方程（1）、（2）得B 、D 的坐标为（4，1）及（-2，3）（注：用复数法解亦可）七．（本题满分17分）设1980年底我国人口以10亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？解：1.所求人口数x （亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿)2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)20≤12，（1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2. 即 lg(1+y%)≤0.00396. ∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 答：略八．（本题满分15分）ABCD-A 1B 1C 1D 1为一正四棱柱，过A 、C 、B 1三点作一截面，求证：截面ACB 1⊥对角面DBB 1D 1证：设AC 、BD 交于O 点作截面ACB 1、对角面BB 1D 1D 以及它们的交线OB 1的图形由于AC 1是正四棱柱，所以ABCD 是正方形，故AC ⊥BD;又BB 1⊥底面ABCD ，故BB 1⊥AC ∴AC ⊥对角面BB 1D 1D已知AC 在截面ACB 1内，故有截面ACB 1⊥对角面BB 1D 1D九．（本题满分18分）1．设抛物线y 2=4x 截直线y=2x+k 所得的弦长为53，求k 的值2．以本题（1）得到的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点做成三角形当这三角形的面积为9时，求P 的坐标D 1 C 1A C解：设直线与抛物线的交点为P 1（x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).解方程组： x k x kx y xy 4)2(2422得222121222121212221222121244(1)01,.4()()4(1)412.4,2,()4()4(12).(12)4(12)45,: 4.x k x k k x x k x x x x x x x x k k k P P y x k y y x x k k k k 即故有又因在直线上故即解得2．设x 轴上一点P 的坐标为（a ,0）又点P 到直线P 1P 2的距离为h ，则有h 依题意得△PP 1P 2的面积关系：.1,5|,42|6,5|42|53219 a a a a 即。

1981年试题全国高考数学试题及参考答案

1981年试题(理工农医类)一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A＝{有理数},B＝{无理数},试写出:(1)A∪B,(2)A∩B.[Key]一、解:(1)A∪B＝{实数}.(或A∪B＝R,或A∪B＝实数集合.)(2)A∩B＝.(或A∩B＝{ },或A∩B＝空集.)二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.[Key] 二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.[Key] 三、解: (1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.[Key] 四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA.证法一:平面几何证法.如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2＝CD2＋DB2＝(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝b2＋c2－2bccosA.如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得a2＝CD2＋BD2＝[bsin(180°－A)]2＋[c＋bcos(180°－A)]2＝b2＋c2－2bccosA.如果∠A是直角,cosA＝0,∴a2＝b2＋c2＝b2＋c2－2bccosA.证法二:解析几何证法以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2＝│BC│2 ＝(c－bcosA)2＋(－bsinA)2＝b2＋c2－2bccosA.五、解不等式(x为未知数):[Key] 五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x－a－b－c)>0.原不等式的解是x≠0,x>a＋b＋c.六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.[Key]所以当n＝1时等式成立.(ii)假设当n＝k时等式成立,即所以当n＝k＋1时等式也成立.根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087＝0.00377 lg1.0092＝0.00396 lg1.0096＝0.00417lg1.0200＝0.00860 lg1.2000＝0.07918 lg1.3098＝0.11720lg1.4568＝0.16340 lg1.4859＝0.17200 lg1.5157＝0.18060[Key] 七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,……的第21项,即x＝10×(1.02)20,两边取对数,得lgx＝1＋20lg1.02＝1.17200,∴x＝14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10×(1＋y%)20≤12,即(1＋y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1＋y%)≤lg1.2.即lg(1＋y%)≤0.00396.∴1＋y%≤1.0092,y%≤0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、在120°的二面角P－a－Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB＝10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.[Key] 八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D 作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.∠ADC为二面角P－a－Q的平面角,∴∠ADC＝120°.又AD＝2,BCDE为矩形,∴ CD＝BE＝4.连结AC,由余弦定理得又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF＝60°,AD＝2,连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.[Key] 九、解法一:(1)设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1, (i)将(i)式代入双曲线方程,得(2－k2)x2＋(4k2－2k)x－4k2＋4k－3＝0, (ii)到此,若指出所求轨迹的参数方程是这就是所要求的轨迹方程.(2)设所求直线方程为y＝k(x－1)＋1,代入双曲线方程,整理得(2－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－3＝0, (iii)由第二式解出k＝2,但k＝2不满足第一式,所以(Ⅰ)无解. 答:满足题中条件的直线m不存在.解法二:(1)设l的参数方程为其中t是参数,θ为AP的倾斜角.代入所给双曲线方程,整理得: (2cos2θ－sin2θ)t2＋2(4cosθ－sinθ)t＋5＝0.(v)(2)也可用设m的参数方程的方法讨论此问,得出满足条件的直线m不存在的结论.十、附加题:计入总分.已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图).设AC＝a,BC＝b,作数列u1＝a－b,u2＝a2－ab＋b2,u3＝a3－a2b＋ab2－b3,……,u k＝a k－a k－1b＋a k－2b2－……＋(－1)k b k;求证:u n＝u n－1＋u n－2(n≥3).[Key] 十、证法一:通项公式可写为u k＝a k－a k－1b＋a k－2b2－…＋(－1)k b k因a－b＝AC－BC＝AC－AF＝FC＝1,ab＝AC·BC＝CD2＝1.于是有证法二:由平面几何知识算出通项公式可写为要证u n＝u n－1＋u n－2成立,只要证明a n＋1－(－1)n＋1b n＋1＝a n－(－1)n b n＋a n－1－(－1)n－1b n－1,即a n－1·a2－(－1)n－1b n－1·b2＝a n－1·a＋(－1)n－1b n－1·b＋a n－1－(－1)n－1b n－1, 或或上式确是等式,故证得u n＝u n－1＋u n－2.。

高考数学普通高等学校招生全国统一考试81

高考数学普通高等学校招生全国统一考试81第I 卷（选择题共50分）一、选择题1、设集合{4|41|9,}A x x R =-≥∈；{|0,}3xB x x R x =≥∈+；则A B = A 、(32]-- B 、5(32][0,)2--C 、5(0,3][,)2-+∞D 、5(0,3)[,)2-+∞2、若复数312a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数；则实数a 的值为A 、-2B 、4C 、-6D 、6 3、给出下列三个命题 ① 若1a b ≥>-；则11a ba b≥++② 若正整数m 和n 满足m n ≤2n ③ 设()11,P x y 是圆221:9O x y +=上的任意一点；圆2O 以(),Q a b 为圆心；且半径为1。

当()()22111a x b y -+-=时；圆1O 与2O 圆相切其中假命题的个数为A 、0B 、1C 、2D 、3 4、设α、β、γ为平面；为m 、n 、l 直线；则m β⊥的一个充分条件是 A 、,,l m l αβαβ⊥=⊥ B 、,,m αγαγβγ=⊥⊥C 、,,m αγβγα⊥⊥⊥D 、,,n n m αβα⊥⊥⊥5、设双曲线以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为焦点；其准线过椭圆的焦点；则双曲线的渐进线的斜率为A 、2±B 、43±C 、12±D 、34± 6、从集合{1；2；3；…；11}中的任意取两个元素作为椭圆22221x y m n+=方程中的m 和n ；则能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是 A 、43 B 、72 C 、86 D 、907、某人射击一次击中的概率是0.6；经过3次射击；此人至少有两次击中目标的概率为 A 、81125 B 、54125 C 、36125 D 、271258、要得到y x的图象；只需将函数24y x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点的A 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动π个单位长度 B 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）；再向右平行移动π个单位长度C 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）；再向左平行移动π个单位长度D 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）；再向右平行移动π个单位长度 9、设()1f x -是函数()()()112xx f x a a a -=->的反函数；则使()11f x ->成立的x 的取值范围为A 、21(,)2a a -+∞B 、21(,)2a a --∞C 、21(,)2a a a- D 、(,)a +∞ 10、若函数()()()3log 0,1a f x x ax a a =->≠在区间1(,0)2-内单调递增；则a 的取值范围是A 、1[,1)4B 、3[,1)4C 、9(,)4+∞D 、9(1,)4第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题：本大题共6小题；每小题4分；共24分；把答案填在题中横线上。

1981年全国高考数学试题及答案解析

1981年全国高考数学试题及答案解析(理工农医类)一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:(1)A ∪B,(2)A∩B.[Key]一、解:(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R,或A∪B=实数集合.)(2)A∩B=.(或A∩B={ },或A∩B=空集.)二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.[Key] 二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.[Key] 三、解: (1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.[Key] 四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.证法一:平面几何证法.如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2=CD2+DB2=(bsinA)2+(c-bcosA)2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得a2=CD2+BD2=[bsin(180°-A)]2+[c+bcos(180°-A)]2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是直角,cosA=0,∴a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.证法二:解析几何证法以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2=│BC│2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.五、解不等式(x为未知数):[Key] 五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x-a-b-c)>0.原不等式的解是x≠0,x>a+b+c.六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.[Key]所以当n=1时等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即所以当n=k+1时等式也成立.根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060[Key] 七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,……的第21项,即x=10×(1.02)20,两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10×(1+y%)20≤12,即(1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.[Key] 八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D 作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.∠ADC为二面角P-a-Q的平面角,∴∠ADC=120°.又AD=2,BCDE为矩形,∴ CD=BE=4.连结AC,由余弦定理得又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF=60°,AD=2,连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.[Key] 九、解法一:(1)设直线l的方程为y=k(x-2)+1, (i)将(i)式代入双曲线方程,得(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0, (ii)到此,若指出所求轨迹的参数方程是这就是所要求的轨迹方程.(2)设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,整理得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0, (iii)由第二式解出k=2,但k=2不满足第一式,所以(Ⅰ)无解.答:满足题中条件的直线m不存在.解法二:(1)设l的参数方程为其中t是参数,θ为AP的倾斜角.代入所给双曲线方程,整理得: (2cos2θ-sin2θ)t2+2(4cosθ-sinθ)t+5=0.(v)(2)也可用设m的参数方程的方法讨论此问,得出满足条件的直线m不存在的结论.十、附加题:计入总分.已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图).设AC=a,BC=b,作数列u1=a-b,u2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,……,u k=a k-a k-1b+a k-2b2-……+(-1)k b k;求证:u n=u n-1+u n-2(n≥3).[Key] 十、证法一:通项公式可写为u k=a k-a k-1b+a k-2b2-…+(-1)k b k因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,ab=AC·BC=CD2=1.于是有证法二:由平面几何知识算出通项公式可写为要证u n=u n-1+u n-2成立,只要证明a n+1-(-1)n+1b n+1=a n-(-1)n b n+a n-1-(-1)n-1b n-1,即a n-1·a2-(-1)n-1b n-1·b2=a n-1·a+(-1)n-1b n-1·b+a n-1-(-1)n-1b n-1, 或或上式确是等式,故证得u n=u n-1+u n-2.。

1977-1987年全国高考文科数学试题参考答案

A BEDC A 1977年普通高等学校招生考试文科(北京市)数学试题参考答案满分100分，120分钟1．（本小题满分10分）解：101271433(1)=1=0933-+-+-.2．（本小题满分10分）21=24=3．（本小题满分10分）解：已知方程变形得21142x x x ++-=-，即 2320x x -+=，解得2x =，或1x =（舍去）.4．（本小题满分10分）解：sin105sin 75sin(3045)︒=︒=︒+︒=. 5．（本小题满分10分）解：正三棱柱形的体积3122sin 6010)2V cm =⋅⋅⋅︒⋅=. 6. （本小题满分10分）解：∵直线250x y +-=的斜率2k =-, ∴所求直线斜率2k '=-.∴过点(1,3)-且与已知直线平行的直线为32(1)y x +=--,即210x y ++=.7．（本小题满分10分）证：如图，在△BDC 与△CEB 中， ∵∠DBC =∠ECB ，∠BDC =∠CEB =900, BC =BC ，∴△BDC ≌△CEB ，CD =BE .8．（本小题满分10分）解：由余弦定理可得AB70=米.9．（本小题满分10分）解：设此数列为2,,,30(0,0)x y x y >>，则由已知条件得22302x y x y ⎧=⎨+=⎩，，解得6,18x y ==. ∴插入的两个正数为6，18， ∴所成的数列为2，6，18，30. 10．（本小题满分10分）解：（1）∵2(2)1y x =--， ∴顶点坐标为(2,1)-，对称轴方程为2x =. (2)函数243y x x =-+ 的图象如右图所示.（3）解方程组2433y x x y x ⎧=-+⎨=-⎩，，得交点坐标为(2,1)-）和(3,0).1978年普通高等学校招生全国统一考试数学满分100分，120分钟（理科考生五，六两题选做一题.文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题.）一、（下列各题每题4分，五个题共20分） 1.解：222444x xy y z -+-22(2)(2)x y z =--(22)(22)x y z x y z =---+.2.解：设底面半径为r ，则22ra a π=，即2a r π=，∴22224a a V r a a ππππ⎛⎫=⋅=⋅=⎪⎝⎭. 3．解：∵lg(2)0x +≥, ∴21x +≥，即1x ≥-， ∴函数定义域为[)1,-+∞.4.解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22. 5. 解：原式12425b = . 二、（本题满分14分）解：1）0k >时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①1k >时,长轴在y 轴上，2a =，b =; ②1k =时,为半径2r =的圆; ③1k <时,长轴在x 轴上，a =，2b =.如图：2) 0k =时，方程为24y =.图形是两条平行于x 轴的直线2±=y .如图.3）0k <时，方程为22124x y k-+=，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上.如图所示. 三、（本题满分14分）证：1)连接CA ，CB ，则∠ACB =900. 由条件得∠ACM =∠ABC ,∠ACD=∠ABC ，∴∠ACM =∠ACD ，∴△AMC ≌△ADC ， ∴CM =CD .同理CN =CD ，∴CD =CM =CN . 2）∵CD ⊥AB ，∠ACD =900， ∴ CD 2=AD ·DB .由1）知AM =AD ，BN =BD ， ∴CD 2=AM ·BN . 四、（本题满分12分）解：∵185b=，∴ 18log 5b =， ∴ 183618log (59)log 45log (182)⨯=⨯18181818log 5log 9log 18log 22a b a++==+-. 五、（本题满分20分）解：由条件得180A B C ++=︒， 2B A C =+，∴60,120B A C =︒+=︒.∵tan tan 2A C =∴tan tan (1tan tan )tan()A C A C A C +=-+(13=-=，……②∴由①，②知tan ,tan A C 是方程2x -(320x +=的两个根.解这个方程得121,2x x ==tan 1,tan 2A C ==tan 21A C ==， ∴45,75A C =︒=︒，或 75,45A C =︒=︒，∴45,60,75A B C =︒=︒=︒，或 75,60,45A B C =︒=︒=︒.∵顶点C 的对边c 上的高等于34，∴8,a b ====cos 45cos 60c AD DB b a =+=︒+︒4=，或8a ==，b ==cos 75cos 60c AD DB b a =+=︒+︒8=.六、（本题满分20分）证明：由223sin 2sin 1αβ+= 得2c o s 23s i n βα=，由3sin 22sin 20αβ-= 得3sin 2sin 23sin cos 2βααα==，2249sin cos 9sin ααα+22sin 2cos 21ββ=+=，即29sin 1α=.∵α为锐角，∴1sin 3α=.∴sin(2)sin cos2cos sin 2αβαβαβ+=+2sin (3sin )cos (3sin cos )ααααα=+ 223sin (sin cos )3sin 1αααα=+==.∵,αβ为锐角，∴22παβ+=.七、（本题满分20分）解：已知函数配方得：2214524m m y x ++⎛⎫=+-⎪⎝⎭， ∴y 的极小值为454m +-.1）由4504m +-=，得54m =-， ∴当54m =-时，y 的极值是0.2）设函数的顶点坐标为(,)x y ，则21122m x m +=-=--，45544m y m +=-=--，消去m 得1l ：34x y -=，∴不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线1l 上. 当1,0,1m =-时，函数式分别为211()42y x +=-，293()42y x +=+，251()42y x +=+（图略）.3）设l ：x y a -=为任一条平行于1l 的直线，与抛物线方程22(21)1y x m x m =+++-联立求解，消去y ，得22210x mx m a ++-+=，即2()1x m a +=-.当1-a ≥0，即a ≤1时，直线l 与抛物线相交，而a ＞1时，直线l 与抛物线不相交.当1a ≤时，x m =-直线l 与抛物线两交点的横坐标分别为m m --由条件知直线l 的倾斜角为45︒，直线l 被抛物线截出的线段长为[((m m ---=m 无关，因此直线l 被各抛物线截出的线段都相等.F aαN MEDCBA 1E D CB A 一九七八年副题1．（下列各题每题4分，五个题共20分）（1）解：原式=(1)(3)x y x y ---+.(2)解：原式2130124=-+-=⎝⎭．（3）解：由255010x x ⎧->⎨+≠⎩得2x <,且1x ≠-，∴函数的定义域∞(-,-1)(-1,2).（4）解：)(3312131322cm V ππ=-⋅⋅=．（5）解：原式=30．2．（本题满分14分）解：由已知条件得121239,40x x x x +==-， ∴121212113940x x x x x x ++==-， 1211140x x ⋅=-， ∴所求方程为：2403910x x +-=. 3. （本题满分14分）证：∵AD 是△ABC 的外接圆的切线， ∴∠B =∠1，∴△ABD ∽△ACD ，∴22ABC AB ACD AC ∆=∆的面积的面积．作AE ⊥BD 于点E ，则.2121CD BDAE CD AEBD ACD ABC =⋅⋅=∆∆的面积的面积 ∴CDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积. 4．（本题满分12分）证：作ME BD ⊥于E ，由△ABC 是等边三角形知，在直角△MBE 中，12BE BM =，2ME BM =，2tan 122ME ED a BM α==-，BM =类似地，过N 作NF BC ⊥于F ，在直角△NFC中，可证：CN =5．（本题满分20分）证：1）∵244(1)0p q m --+=，∴2414p q m -+=，∴432()444f x x px qx =-+ 222442()44p q p q p x --+⋅+2222(2x )(4)px p q x =---22244(2)()44p q p q px --+⋅+22222244(2x )2(2x )()44p q p q px px --=---⋅+2224(2x )4p q px -=--，∴()f x 恰好是一个二次三项式的平方.2）由条件得43224442(1)(1)x px qx p m m -+++++ 22(2)x ax b =++4322244(4)2x ax a b x abx b =-++++，B /P /P l CBA O y x∴22244 (1)44 (2)2(1)2 (3)(1). (4)p a q a b p m ab m b -=⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，由（1）得a p =-，代入（2）得244q p b -=，将,a b 代入（3）得242(1)24q p p m p -+=-⋅，即2[44(1)]0p p q m --+=，∵0p ≠，∴244(1)0p q m --+=.6．（本题满分20分）证（一）：∵,a b 不同时为0， ∴①可变形为0x x +=，设in s y y ==，则上式即为sin cos cos sin sin()0x y x y x y -=-=， ∴()x y k k Z π-=+∈，即 ()x y k k Z π=+∈.∴sin 2cos 2A x B x C +-sin(22)cos(22)A y k B y k C ππ=+++- sin 2cos 2A y B y C =+-222sin cos (cos sin )A y y B y y C =+--22222220ab a b A B C a b a b -=-+-=++，即22222()()0abA b a B a b C +-++=. 证（二）：当0,0a b =≠时，由①得 cos 0x =，结合②得B C -=，∴22222()()0abA b a B a b C +-++=；同理可得，当0,0a b ≠=时，22222()()0abA b a B a b C +-++=；当0,0a b ≠≠时，由由①得tan bx a=-，sin 2cos 2A x B x C +-2222222sin cos cos sin sin cos sin cos x x x x A B C x x x x-=⋅+⋅-++2222tan 1tan 1tan 1tan x x A B C x x -=⋅+⋅-++ 2222222111b b a a A B C b b a a -⋅-=⋅+⋅-++ 22222220ab a b A B C a b a b -=-⋅+⋅-=++,即22222()()0abA b a B a b C +-++=.综上可知，结论成立. 7．（本题满分20分）解：1）直线l ，圆C 和抛物线Q的方程为:L y x =；2: Q y x =； 22:1C x y +=. 草图如右图所示.2)由221y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得A点横坐标为2x =- 线段PA 的函数关系为1(),()322f x x x =-≤≤-；由222,1y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得B 点横坐标为2x =， ∴圆弧AB 的函数关系式为2())22f x x =-≤≤；抛物线上OB 一段的函数表达式为3()(02f x x =≤≤,POP S '∆=724OAB π=扇形S ， 14BOB S '∆=，71244π=+阴S .PβαCBAF ECBA1979年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）满分100分，120分钟一、（本题满分9分）解：∵2211221222y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴12min y =.二、（本题满分9分）解：()()2224241sin cos 1cos sin θθθθ⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()22221sin cos 1sin cos θθθθ=+++-⨯()()22221cos sin 1cos sin θθθθ+++-()()41cos21cos2θθ=-+ 224(1cos 2)4sin 2θθ=-=．三、（本题满9分）解：由条件知，甲中纯酒精与水的重量分别为1111m v m n +，1111n vm n +；乙中纯酒精与水的重量分别为2222m v m n +，2222n vm n +．混合后所得液体中纯酒精量为11221122m v m vm n m n +++112222111122()()()()m v m n m v m n m n m n +++=++；混合后所得液体中水的量为11221122n v n vm n m n +++112222111122()()()()n v m n n v m n m n m n +++=++．混合后所得液体中纯酒精与水之比是11222211[()()]:m v m n m v m n +++11222211[()()]n v m n n v m n +++．四、（本题满分9分）解：略．五、（本题满分14分）解：作PC AB ⊥于C ，设PC d =，在直角三角形PAC 中， cot AC d α=；在直角三角形PBC 中，cot BC d β=，∴(cot cot )S AC BC d αβ=+=+．当d D ≤，即cot cot SDαβ+≥时，应向外国船发出警告．六、（本题满分14分）解：设年增长率为x ，则由条件得40100(1)500x +=,即40(1)5x +=．取自然对数有40ln(1)ln5x +=．又lg5=1-0.3=0.7 ， ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61．利用ln(1)x x +≈,有x ≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%．答：每年约增长百分之四．七、（本题满分18分）证：连接CD ．∵∠CFD =900，∴CD 为圆O 的直径，又AB 切圆O 于D ， ∴CD ⊥AB ．又在直角三角形ABC 中，∠ACB =900， ∴2AC =AD ·AB ，2BC =BD ·AB ，∴22BD BC AD AC=．…⑴ 又∵2BD =BC ·BF ，2AD =AC ·AE ，∴22BD BC BFAD AC AE⋅=⋅．…⑵ 由（1）与（2）得44BC BF BC AC AE AC ⋅=⋅，∴33BF BC AE AC=．八、（本题满分18分）解：设割线12OPP 的直线方程为y kx =，代入圆的方程，得2222440x k x x kx +--+=，即22(1)2(12)40k x k x +-++=.由条件知，224(12)16(1)430k k k ∆=+-+=->，即34k >.设111222(,),(,)P x y P x y ，则12,x x 是上述方程的两个根，且1222(12)1k x x k ++=+，1222(12)1k ky y k++=+．设P 点的坐标是(,)x y ，P 是12PP 的中点， ∴2211212k kx x x ++=+=， 122(12)21y y k k y k ++==+.又P 点在直线y kx =上，∴yk x=，代入上式得2121()yx x y x+=+，即 222x y x y +=+，∴2215()(1)24x y -+-=8(0)5x <<．这是以1(,1)22为半径的圆，所求轨迹是这个圆在所给圆内的一段圆弧．说明：本题主要考查直线与圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式及点的轨迹方程．B Aβy xOP (x,y )O F E D C B A 1980年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）满分100分，120分钟一、（本题满分6分）解：1313)(32)=3213i i i i --+-（ 9797131313i i -==-.二．（本题满分10分）解：（略）方程组的解为123.x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，三．（本题满10分）证：以圆O 的直径AB 所在的直线为x 轴，圆心O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设圆O 的半径为1，则圆O 的方程是221x y +=，且(1,0),(1,0)A B -．设(,)P x y 是圆上异于A ，B 任一点，则有221y x =-，且1AP y k x =+，1BP yk x =-， ∴22221111AP BP y x k k x x -⋅===---， ∴PA ⊥PB ，∠APB 为直角.∴直径所对的圆周角是直角. 四．（本题满分12分）解：设1979年的工业总产值为a ，又设1980的轻工业产值比上一年增长x %，则按题意，1980年的轻工业产值为)10024()100101()1001()10020(⋅+⋅=+⋅⋅a x a ，解得：x =32.答：1980年轻工业产值应比上一年增长32%. 五．（本题满分14分）解：原式sin()4θ+sin()4sin()sin()44πθπθθ+==++． ∵3544ππθ<<， ∴342πππθ<+<，∴sin()04πθ+<，∴原式1=-．六．（本题满分16分）证：1 A D C A B C S S ∆∆=，且△ABC 与△ADC 有同底AC ， ∴两高线相等：BE DF =，设AC 与BD 交于点O ，则Rt △BOE ≌Rt △DOF .∴OB OD =. 即AC 平分BD （若,,E O F 重合、则已有OB BE DF OD ===）.2．逆命题：若四边形ABCD 的对角线AC 平分对角线BD ，则AC 必将四边形分成两个面积相等的三角形. 这个逆命题是正确的.证明如下：在上图中，由于OB OD =， ∠BOE =∠DOF （对顶角）， ∠BEO =∠DFO =2π， ∴△BOE ≌△DOF .∴BE DF =，即两高线相等. ∴S △ABC =21AC ·BE =21AC ·DF =S △ADC . 七．（本题满分16分）1．证明A E B D '''⊥； 2.求AE 的长解：1. AA '⊥平面A B C D ''''，EA B D D /C /B /A /C ∴AA B D '''⊥ ，又AE B D ''⊥，∴B D ''⊥平面AA E '， ∴B D A E '''⊥.2．1122A B A D A E B D '''''''⋅=⋅，∴68A E '⨯=∴ 4.8,6A E AE '===．八．（本题满分16分）解：1.由22sec tan 1t t -=得2214y x -=．∴曲线的普通方程为2214y x -=． 2．当20π<≤t 时，1,0x y ≥≥,得到的是曲线在第一象限的部分（包括(1,0)点）;当23π<≤πt 时，1,0x y ≤-≥,得到的是曲线在第二象限的部分（包括(1,0)-点）．cb a EDCBA 1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）满分100分，120分钟一、（本题满分6分）解：1. A ∪B ={实数},2. A ∩B =φ. 二、（本题满分8分）解：原式1444448263()()8=3()()a b a b a b a b a b a b a +-⨯⨯+-28()3b a b =-．三、（本题满分6分）解：1.选举种数2412P =（种）．所有可能的选举结果为：,,,,,AB AC AD BC BD CD ， ,,,,,BA CA DA CB DB DC ．2.选举种数C 43=4（种）所有可能的选举结果：,,,ABC ABD ACD BCD . 四、（本题满分10分）解：()sin cos )4f x x x x π=+=+，()f x是以2π为周期的周期函数，()f x 在区间(,)ππ-上的最大值为，当且仅当4x π=时()f x取最大值五、（本题满分10分）解：sin sin sin A B Ca b c==．证：在钝角三角形ABC 中，作AD 垂直BC 于D ，BE 垂直CA 的延长线于E ．设△ABC 的面积为S ，则111sin(180)sin 222S AC BE bc A bc A =⋅=︒-=．12S BC AD =⋅又1sin 2ac B =， 12S BC AD =⋅1sin 2ab C =，∴111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===，将上式除以1,2abc 得：sin sin sin A B Ca b c ==. 六、（本题满10分）解：设AC 中点为(,)P x y ,则有02151,222x y +-+====，即 (,)(1,2)P x y P =.又设AC 斜率为k ，则3k =，∴BD 的斜率为13-，∴直线BD 的方程为12(1)3y x -=--.………①以P 点为圆心，PA 为半径的圆的方程为 22(1)(2)10x y -+-=.………② 解方程①，②得,B D 的坐标为 (4,1),(2,3)-.（注：用复数法或向量方法求解）七、（本题满分17分）解：1.所求人口数x （亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，…的第21项，即2010(1.02)x =．两边取对数，得lg x =1+20lg1.02=1.17200, ∴x=14.859（亿) .2．设人口每年比上年平均递增率最高是y %，按题意得10×（1+y %)20≤12，即（1+y %)20≤1.2. 对上述不等式两边取对数得 20lg(1+y %)≤lg1.2，即 lg(1+y %)≤0.00396，∴1+y %≤1.0092, y %≤0.0092.B 1D 1C 1AB CD O A 1答：略. 八、（本题满分15分）证：设,AC BD 交于O 点，作截面1ACB ，联结1OB ，则面11DBB D 面11ACB OB =.∵1111ABCD A BC D -是正四棱柱， ∴ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD .又∵1BB ⊥底面ABCD ， ∴1BB ⊥AC . ∴AC ⊥面11DBB D . ∵AC 在截面1ACB 内， ∴截面1ACB ⊥对角面11DBB D . 九、（本题满分18分）解：1.设直线与抛物线的交点为 111222(,),(,)P x y P x y .解方程组24,2y x y x k⎧=⎨=+⎩得2(2)4x k x +=，即2244(1)0x k x k +-+=.………①由条件知2216(1)1616(21)0k k k ∆=--=-+>，即12k <.由条件知12,x x 是方程①的两个根，且212121,4k x x k x x +=-=，∴由条件知====4k =-.2.设x 轴上一点P 的坐标为(,0)P a ，又点P 到直线12PP 的距离为h ，则有5|42|-=a h . 依题意得△12PPP 的面积关系：192=⋅，即6|24|a =-，∴5a =或1a =-.D 1C 1B 1A 1D C1982年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）满分100分，120分钟一、（本题满分8分）解：1．{}0；2．R ；3．(0,)+∞；4．R 二、（本题满分7分）解：第15项146141520(1)()T C i =- 62038760C =-=-.三、（本题满分7分）解：1。

1981年高考数学试题

1981年高考数学试题(理工农医类)一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:(1)A∪B,(2)A∩B.二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.五、解不等式(x为未知数):六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.十、附加题:计入总分.已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图).设AC=a,BC=b,作数列u1=a-b,u2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,……,uk=ak-ak-1b+ak-2b2-……+(-1)kbk;求证:un=un-1+un-2(n≥3).1981年试题(理工农医类)答案一、解:(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R,或A∪B=实数集合.)(2)A∩B= .(或A∩B={ },或A∩B=空集.)二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、解: (1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA. 证法一:平面几何证法.如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2=CD2+DB2=(bsinA)2+(c-bcosA)2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得a2=CD2+BD2=[bsin(180°-A)]2+[c+bcos(180°-A)]2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是直角,cosA=0,∴a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.证法二:解析几何证法以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2=│BC│2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x-a-b-c)>0.原不等式的解是x≠0,x>a+b+c.所以当n=1时等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即所以当n=k+1时等式也成立.根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,……的第21项,即x=10×(1.02)20,两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10×(1+y%)20≤12,即(1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.∠ADC为二面角P-a-Q的平面角,∴∠ADC=120°.又AD=2,BCDE为矩形,∴ CD=BE=4.连结AC,由余弦定理得又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF=60°,AD=2,连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为九、解法一:(1)设直线l的方程为y=k(x-2)+1, (i)将(i)式代入双曲线方程,得(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0, (ii)到此,若指出所求轨迹的参数方程是这就是所要求的轨迹方程.(2)设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,整理得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0, (iii)。

1977-1987年全国高考文科数学试题

1977年普通高等学校招生考试文科(北京市)数学试题满分100分，120分钟1．（本小题满分10分）计算：.)971(33211-+-2．（本小题满分10分）化简：2626-+．3．（本小题满分10分）解方程.1241112--=+-x x x 4．（本小题满分10分）不查表求sin1050的值. 5．（本小题满分10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm ，底面边长是2cm ，求它的体积. 6. （本小题满分10分）一条直线过点(1,3)-，并且与直线250x y +-=平行，求这条直线的方程.7．（本小题满分10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等. 8．（本小题满分10分）为了测湖岸边,A B 两点的距离，选择一点C ，测得50CA =米，30CB =米，120ACB ∠=︒，求AB .9．（本小题满分10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数． 10．（本小题满分10分）已知二次函数243y x x =-+.（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;（2）画出它的图象; （3）求出它的图象与直线3y x =-的交点坐标.cb aACD1978年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科考生五，六两题选做一题.文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题.）一、（下列各题每题4分，五个题共20分）1.分解因式：222444x xy y z-+-.2.已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.3．求函数)2lg(xy+=的定义域.4.不查表求cos800cos350+cos100cos550的值.5.化简：12234214(0.1)()a b---⎛⎫⎪⎝⎭二、（本题满分14分）已知方程224kx y+=，其中k为实数.对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出显示其数量特征的草图.三、（本题满分14分）（如图）AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点，求证：1)CD=CM=CN. 2)CD2=AM·BN.四、（本题满分12分）已知18log9(2),185ba a=≠=.求36log45.五、（本题满分20分）已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tan tan2A C=，求角,,A B C的大小，又已知顶点C的对边c上的高等于,,a b c的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）．六、（本题满分20分）已知,αβ为锐角，且223sin2sin1αβ+=，3sin22sin20αβ-=.求证22παβ+=.七、（本题满分20分，文科考生不要求作此题）已知函数22(21)1y x m x m=+++-(m R∈）.1）m是什么数值时，y的极值是0？2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线1l上.画出1,0,1m=-时抛物线的草图，来检验这个结论.3）平行于1l的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于1l而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等.1E DC B A F aαN MEDCBA B /P /P lC B AO y x一九七八年副题1．（1）分解因式：222223x xy y x y -++--．(2)求25sin 30tan 0cot cos 46ππ︒-︒+-的值．（3）求函数lg(255)1x y x -=+的定义域．（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm ，母线的长等于2cm ，求它的体积．（5）计算(1111222112511023050095--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.2．已知两数12,x x 满足下列条件： 1）它们的和是等差数列1，3，…，的第20项;2）它们的积是等比数列2，-6，…，的前4项和．求根为211,1x x 的方程．3.已知：△ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D 点，求证： CDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积.4．（如图）CD 是BC 的延长线，AB BC = CA CD a ===，DM 与AB ，AC 分别交于M 点和N 点，且BDM ∠=α.求证：BM CN ==.5．设432()444f x x px qx =-+22(1)(1)(0)p m x m p ++++≠.求证：①如果()f x 的系数满足244(1)0p q m --+=,那么()f x 恰好是一个二次三项式的平方. ②如果()f x 与22()(2)F x x ax b =++表示同一个多项式，那么244(1)0p q m --+=. 6．已知：sin cos 0a x b x +=. ………① sin 2cos 2A x B x C +=.………………② 其中,a b 不同时为0.求证：22222()()0abA b a B a b C +-++=.7．已知l为过点3()22P --，倾斜角为300的直线，圆C 为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0,82(的抛物线．设A 为l 和C 在第三象限的交点，B 为C 和Q 在第四象限的交点．1）写出直线l ，圆C 和抛物线Q 的方程，并作草图 2）写出线段PA ，圆弧AB 和抛物线上OB 一段的函数表达式． 3）设,P B ''依次为从,P B 到x 轴的垂足求由圆弧AB 和直线段,,,BB B P P P PA ''''所包含的面积．F 1E D CBA βαP CB A 1979年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）满分100分，120分钟一、（本题满分9分）求函数2221y x x =-+的极小值. 二、（本题满分9分）化简()()2224241sin cos 1cos sin θθθθ⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．三、（本题满9分）甲，乙二容器内都盛有酒精．甲有1v 公斤，乙有2v 公斤．甲中纯酒精与水（重量）之比为1m :1n ,乙中纯酒精与水之比为2m :2n ．问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？四、（本题满分9分）叙述并且证明勾股定理．五、（本题满分14分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D 里以内的区域．设A 及B 是我们的观测站，A 及B 间的距离为S 里，海岸线是过A ，B 的直线，一外国船在P 点，在A 站测得∠BAP =α，同时在B 站测得∠ABP =β．问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？六、（本题满分14分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：0.1x <,可用：ln(1)x x +≈，取lg2=0.3, ln10=2.3) 七、（本题满分18分）设CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过D 作该圆的切线与CE 的延长线相交于点A ，与CF 的延长线相交于点B ．求证：33ACBC AE BF =．八、（本题满分18分）过原点O 作圆222440x y x y +--+=的任意割线交圆于12,P P 两点．求12PP 的中点P 的轨迹.D /A /EDBA C数学（文科）满分100分，120分钟一、（本题满分6分）化简.2331ii-- 二、（本题满分10分）解方程组235,4239,32 1.x y z x y z x y --=⎧⎪++=⎨⎪+=-⎩三、（本题满10分）用解析法证明直径所对的圆周角是直角. 四、（本题满分12分）某地区1979年的轻工业产值占工业总产值的20%，要使1980年的工业总产值比上一年增长10%，且使1980年的轻工业产值占工业总产值的24%，问1980年轻工业产值应比上一年增长百分之几？五、（本题满分14分）设3544ππθ<<，化简sin()4θ+六、（本题满分16分）1．若四边形ABCD 的对角线AC 将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC 必平分对角线BD .2．写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？2．逆命题：若四边形ABCD 的对角线AC 平分对角线BD ，则AC 必将四边形分成两个面积相等的三角形. 这个逆命题是正确的. 七、（本题满分16分）如图，长方形框架ABCD A B C D ''''-.三边,,AB AD AA '的长分别为6，8，3.6，AE与底面的对角线B D '' 垂直于E .1.证明A E B D '''⊥；2.求AE 的长. 1.把参数方程（t 为参数）sec ,2tan x t y t =⎧⎨=⎩化为直角坐标方程，并画出方程的曲线的略图. 2.当2320π<≤ππ<≤t t 及时，各得到曲线的哪一部分？y=2x+k y 2=4x y x P 2P 1O B 1D 1C 1A BC D OA 1数学（文科）满分100分，120分钟一、（本题满分6分）设A 表示有理数的集合，B 表示无理数的集合，即设A ={有理数}，B ={无理数}，试写出：1. A ∪B , 2. A ∩B . 二、（本题满分8分）化简：3242222227]2)([][])(3[a b a ba b a b a b a -÷-⨯+-.三、（本题满分6分）在,,,A B C D 四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果. 四、（本题满分10分）求函数()s i n c f x x x =+在区间(,)ππ-上的最大值，五、（本题满分10分）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明，六、（本题满10分）已知正方形ABCD 的相对顶点(0,1),(2,5)A C -，求顶点,B D 的坐标，七、（本题满分17分）设1980年底我国人口以10亿计算.（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，1111ABCD A BC D -为一正四棱柱，过1,,A C B 三点作一截面，求证：截面1ACB ⊥对角面11DBB D .九、（本题满分18分）1．设抛物线24y x =截直线2y x k =+所得的弦长为53，求k 的值.2．以本题（1）得到的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点做成三角形当这三角形的面积为9时，求P 的坐标.1982年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）满分100分，120分钟一、（本题满分8分）填表：求20(1)i-+展开式中第15项的数值．三、（本题满分7分）四、（本题满分10分）已知,1,2122=+=-yxyx求22yx-的值．五、（本题满分10分）以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图）．已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大？最大面积是多少？六、（本题满分12分）已知正方体1111ABCD A BC D-的棱长为a．1．用平面11A BC截去一角后，求剩余部分的体积;2．求1A B和1B C所成的角．七、（本题满分12分）已知定点,A B且2AB a=，如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2∶1，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．八、（本题满分16分）求︒-︒-︒+︒3512431179ctgtgctgtg的值．九、（本题满分18分）如图，已知△AOB中，,OA b OB a==，(,AOB a bθθ∠=≥是锐角）作1AB OB⊥，11B A∥BA;再作12A B OB⊥，22B A∥BA;1ABB，△112A B B，…的面积为S1，S2，…．求无穷数列S1，S2，…的和．h45°20m 60°30°PO BA三、（本题满分10分）1求函数)36(log 522x x y -+=的定义域.2.一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法. 四、（本题满分12分）已知复数c o s s i n z i αα=+，求证：3312c o s 3z zα+=.五、（本题满分14分）在圆心为O ，半径为常数R 的半圆板内画内接矩形（如图）.当矩形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？求出这个最大面积. 六、（本题满分14分）如图，地平面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上选一基线AB ，AB =20米，在A 点处测得P 点的仰角∠OAP =300，在B 点处测得P 点的仰角∠OBP =450，又测得∠AOB =600，求旗杆的高度h （结果可以保留根号）. 七、（本题满分16分）如图，已知一块直角三角形板ABC 的BC边在平面α内，∠ABC =600，∠A C B =300，BC =24cm ，A 点在平面α内的射影为N ，AN =9cm A 为顶点的三棱锥A NBC -的体积（结果可以保留根号）.l 2l 1M O yx 八、（本题满分17分）一个等比数列有三项.如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成等比数列，求原来的等比数列. 九、（本题满分17分）如图，已知两条直线1l :2320x y -+=, 2l :3230x y -+=.有一动圆（圆心和半径都在变动）与1l ，2l 都相交，并且1l ，2l 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24求圆心M 的轨迹方程，并说出轨迹的名称.AE D C B 1984年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（这份试题共八道大题，满分120分）一、（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1.数集{}(21),X n n Z π=+∈与数集{}(41),Y n k Z π=±∈之间的关系是A.X ⊂YB.X ⊃YC.X =YD.X ≠Y2.函数()y f x =与它的反函数1()y f x -=的图象 A.关于y 轴对称B.关于原点对称C.关于直线0x y +=对称D.关于直线0x y -=对称3.复数i 2321-的三角形式是A.)3sin()3cos(π-+π-iB.3sin 3cos π+πiC.3sin 3cos π-πiD.65sin 3cos π+πi4.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交D.无数条直线不相交5.方程27910x x -+=的两根可分别作为A.一椭圆和一双曲线的离心率B.两抛物线的离心率C.一椭圆和一抛物线的离心率D.两椭圆的离心率二、（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1.已知函数0)32(log 5.0>-x ，求x 的取值范围.2．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积.3．已知实数m ，x 满足22(21)x i x --0m i +-=,求m 及x 的值.4.求)2)(1()()2()1(lim222--++++++∞→n n n n n n n n 的值. 5．求6)12(xx -的展开式中x 的一次幂的系数.6.要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）. 三、（本题满分12分）本题只要求画出图形1．画出方程24y x =-的曲线. 2．画出函数2)1(1+=x y 的图象. 四、（本题满分12分）已知等差数列,,a b c 中的三个数都是正数，且公差不为零.数列cb a 1,1,1不可能成等差数列. 五、（本题满分14分）把α-β-α-422cos sin 2sin 411化成三角函数的积的形式(要求结果最简）. 六、（本题满分14分）如图，经过正三棱柱底面一边AB ，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD的面积为32cm 2，求截得的三棱锥D ABC -的体积.七、（本题满分14分）某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%.问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771) . 八、（本题满分15分）已知两个椭圆的方程分别是221:9450C x y +-=， 222:96270C x y x +--=.1．求这两个椭圆的中心、焦点的坐标. 2．求经过这两个椭圆的交点且与直线2110x y -+=相切的圆的方程.1985年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题满分120分，120分钟一、（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分1.如果正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，那么四面体A ABD '-的体积是 A .3 2a B .33a C .34a D .36a 2.tan 1x =是54x π=的 A.必要条件 B.充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要的条件3.设集合{}{}0,1,2,4,5,7,1,3,6,8,9X Y ==，{}3,7,8Z =，那么集合()X Y Z 是 A .{{}0,1,2,6,8 B .{}3,7,8C .{}1,3,7,8D .{}1,3,6,7,8 4.在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间)2,0(π上的增函数又是以π为周期的偶函数？A.).(2R x x y ∈= B.)(|sin |R x x y ∈= C.)(2cos R x x y ∈= D.)(2sin R x e y x∈=5.用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有A .96个B .78个C .72个D .64个二、（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1.求函数的定义域142--=x x y .2.求圆锥曲线2236210x y x y -++-=的离心率.3.求函数242y x x =-+-在区间[]0,3上的最大值和最小值. 4.设6656510(31)x a x a x a x a -=++++,求6510a a a a ++++的值. 5.设i 是虚数单位，求()61i +的值. 三、（本题满分14分）设211S =， 2222121S =++，22222312321S =++++，………… 222221221n S n =++++++.用数学归纳法证明：公式3)12(2+=n n S n 对所有的正整数n 都成立. 四、（本题满分13分）证明三角恒等式42432sin sin 25cos 4x x x ++2cos3cos 2(1cos )x x x -=+. 五、（本题满分16分）1.解方程40.25log (3)log (3)x x -++40.25log (1)log (21)x x =-++.2.解不等式.152+>+x x六、（本题满分15分）设三棱锥V ABC -的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h ．求这个所棱锥底面的内切圆半径．七、（本题满分15分）已知一个圆C ：22412390x y x y ++-+=和一条直线l : 3450x y -+=.求圆C 关于直线l 的对称的圆的方程. 八、（本题满分12分）设首项为1，公比为(0)q q >的等比数列的前n 项之和为n S 1,1,2,nn n S T n S +==，求lim n n T →∞.1986年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题满分120分，120分钟一、（本题满分30分）1.在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 A.)4sin 4(cos2π-πi B.)4sin 4(cos 2π+πi C.)4cos 4(sin 2π-πi D.)4cos 4(sin 2π-π-i2.函数15+=x y 的反函数是A.)1(log 5+=x yB.15log +=x yC.)1(log 5-=x yD.5log )1(-=x y 3.已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}I =，A ={3,4,5},{1,3,6}B =，那么集合{2,7,8}是A.A ∪BB.A ∩BC.A ∪BD.A ∩B 4.函数x x y 2cos 2sin 2=是A.周期为2π的奇函数B.周期为2π的偶函数C.周期为4π的奇函数D.周期为4π的偶函数5.已知0c <，在下列不等式中成立的一个是 A.c c 2> B.c c )21(> C.c c )21(2< D.c c )21(2>6.给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88.它们的和是A.1789B.1799C.1879D.18997.已知某正方体对角线长为a 那么，这个正方体的全面积是A.222aB.22aC.232aD.223a 8.如果方程220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->所表示的曲线关于直线y x =对称，那么必有 A.D E = B.D F =C.E F =D.D E F ==9.设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件10. 在下列各图中，2y ax bx =+与 (0)y ax b ab =+≠的图象只可能是A. B. C. D.二、（本题满分24分. 1.求方程4)5.0(5252=-+x x 的解.2.已知1,2312+ω+ω--=ω求i的值.3.在xoy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为(0,0),(1,0),(2,1),(0,3).求这个四边形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积．4.求.4572lim 22+++∞→n n n n 5.求523)12(x x -展开式中的常数项.6. 求椭圆14922=+y x 有公共焦点，且离心率为25的双曲线方程. 三、（本题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任一点，求证：平面PAC 垂直于平面PBC ．四、（本题满分10分）求满足方程|3|z +=的辐角主值最小的复数Z . 五、（本题满分12分）已知抛物线21y x =+，定点(3,1)A ，B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :PA =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线．六、（本题满分10分）甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两个公司各承包2项，问共有多少种承包方式．七、（本题满分12分）已知sin sin 3sin 5A A A a ++=， cos cos3cos5A A A b ++=. 求证：（1）当0b ≠时，tan 3aA b=； (2)222(12cos2)A a b +=+. 八、（本题满分12分）已知数列{}n a ,其中,913,3421==a a 且当3n ≥时，).(31211----=-n n n n a a a a （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求.lim n n a ∞→(-2.0)(2,0)(0,3)yx O 1987年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题满分120分，120分钟一、（本题满分24分）本题共有8个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内选对的得3分. 1.设S ，T 是两个非空集合，且S T ， T S ，令X S T =，那么S X = A.X B.T C.φ D.S 2.设椭圆方程为22221x y a b+=(0)a b >>，令222b a c -=，那么它的准线方程为A.c a y 2±=B.cb y 2±=C.c a x 2±=D.cb x 2±= 3.设3484log 4log 8log log 16m ⋅⋅=，那么m 等于A.29B.9C.18D.27 4.复数︒-︒40cos i 40sin 的辐角为 A.400 B.1400 C.2200 D.31005. 二次函数()y f x =的图象如图所示，那么此函数为 A.24y x =- B.24y x =- C.23(4)4y x =- D.23(2)4y x =-6.在区间)0,(-∞上为增函数的是A.)(log 21x y --= B.x xy -=1C.2)1(+-=x y D.21x y += 7.已知平面上一点P 在原坐标系中的坐标为(0,)(0)m m ≠，而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为(,0)m ，那么新坐标系的原点O '在原坐标系中的坐标为A.(,)m m -B.(,)m m -C.(,)m mD.(,)m m -- 8.要得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象 A.向左平行移动3π B.向右平行移动3πC.向左平行移动6πD.向右平行移动6π二、（本题满分28分.）本题共7小题，每一个小题满分4分.只要求写出结果. 1.求函数x 2sin y 2=的周期. 2.已知方程11y 2x 22=λ+-λ+表示双曲线，求λ的范围. 3.若(1)n x +的展开式中，3x 的系数等于x 的系数的7倍，求n . 4.求极限22221232lim n n n n n n →∞⎛⎫++++ ⎪⎝⎭.5.由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数.求这种五位数的个数.6.求函数)x 3x 21(lo g y 22-+=的定义域. 7.圆锥底面积为3π，母线与底面所的成角为600，求它的体积. 三、（本题满分10分.）发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t 的函数：sin ,sin(120)A B I I t I I t ωω==+︒，sin(240)C I I t ω=+︒. 求A B C I I I ++的值.四、（本题满分12分）在复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为i 2321,2+，求第三个顶点所表示的复数. 五、（本题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，已知PA BC ⊥，PA BC l ==，,PA BC 的公垂线ED h =.⊆⊆AB C E DP 求证三棱锥P ABC -的体积216V l h =.六、（本题满分12分）设对所有实数x ，不等式2222224(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a++++>+恒成立，求a 的取值范围.七、（本题满分12分）设数列12,,,,n a a a 的前n 项的和n S 与n a 的关系是1n n S ka =+，其中k 是与n 无关的常数，且1k ≠).1. 试写出用n ，k 表示的n a 的表达式;2. 若,1S lim n n =∞→求k 的取值范围.八、（本题满分10分）正方形ABCD 在直角坐标平面内，已知其一条边AB 在直线4y x =+上，,C D 在抛物线2x y =上，求正方形ABCD 的面积.。

高考数学普通高等学校招生全国统一考试81.doc

高考数学普通高等学校招生全国统一考试81第I 卷（选择题共50分）一、选择题1、设集合{4|41|9,}A x x R =-≥∈，{|0,}3xB x x R x =≥∈+，则A B = A 、(32]-- B 、5(32][0,)2--C 、5(0,3][,)2-+∞ D 、5(0,3)[,)2-+∞2、若复数312a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为A 、-2B 、4C 、-6D 、6 3、给出下列三个命题 ① 若1a b ≥>-，则11a ba b≥++② 若正整数m 和n 满足m n ≤2n ≤③ 设()11,P x y 是圆221:9O x y +=上的任意一点，圆2O 以(),Q a b 为圆心，且半径为1。

当()()22111a x b y -+-=时，圆1O 与2O 圆相切其中假命题的个数为A 、0B 、1C 、2D 、3 4、设α、β、γ为平面，为m 、n 、l 直线，则m β⊥的一个充分条件是 A 、,,l m l αβαβ⊥=⊥ B 、,,m αγαγβγ=⊥⊥C 、,,m αγβγα⊥⊥⊥D 、,,n n m αβα⊥⊥⊥5、设双曲线以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐进线的斜率为A 、2±B 、43±C 、12±D 、34± 6、从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22221x y m n+=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是 A 、43 B 、72 C 、86 D 、907、某人射击一次击中的概率是0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为 A 、81125 B 、54125 C 、36125 D 、271258、要得到y x =的图象，只需将函数24y x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点的A 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动π个单位长度 B 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动π个单位长度C 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动π个单位长度D 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动π个单位长度 9、设()1f x -是函数()()()112xx f x a a a -=->的反函数，则使()11f x ->成立的x 的取值范围为A 、21(,)2a a -+∞B 、21(,)2a a --∞C 、21(,)2a a a- D 、(,)a +∞10、若函数()()()3log 0,1a f x x ax a a =->≠在区间1(,0)2-内单调递增，则a 的取值范围是A 、1[,1)4B 、3[,1)4C 、9(,)4+∞D 、9(1,)4第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上。

【高考试题】1981年全国高考数学试题★答案

【高考试题】1981年全国高考数学试题★答案 (理工农医类)一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:(1)A ∪B,(2)A∩B.[Key]一、解:(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R,或A∪B=实数集合.)(2)A∩B=.(或A∩B={ },或A∩B=空集.)二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.[Key] 二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.[Key] 三、解: (1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.[Key] 四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.证法一:平面几何证法.如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2=CD2+DB2=(bsinA)2+(c-bcosA)2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得a2=CD2+BD2=[bsin(180°-A)]2+[c+bcos(180°-A)]2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是直角,cosA=0,∴a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.证法二:解析几何证法以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2=│BC│2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.五、解不等式(x为未知数):[Key] 五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x-a-b-c)>0.原不等式的解是x≠0,x>a+b+c.六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.[Key]所以当n=1时等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即所以当n=k+1时等式也成立.根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060[Key] 七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,……的第21项,即x=10×(1.02)20,两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10×(1+y%)20≤12,即(1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.[Key] 八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D 作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.∠ADC为二面角P-a-Q的平面角,∴∠ADC=120°.又AD=2,BCDE为矩形,∴ CD=BE=4.连结AC,由余弦定理得又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF=60°,AD=2,连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.[Key] 九、解法一:(1)设直线l的方程为y=k(x-2)+1, (i)将(i)式代入双曲线方程,得(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0, (ii)。

高考数学普通高等学校招生全国统一考试81

高考数学普通高等学校招生全国统一考试81第I 卷（选择题共50分）一、选择题1、设集合{4|41|9,}A x x R =-≥∈，{|0,}3xB x x R x =≥∈+，则A B = A 、(32]-- B 、5(32][0,)2--C 、5(0,3][,)2-+∞D 、5(0,3)[,)2-+∞2、若复数312a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为A 、-2B 、4C 、-6D 、6 3、给出下列三个命题 ① 若1a b ≥>-，则11a ba b≥++ ② 若正整数m 和n 满足m n ≤()2n m n n -≤③ 设()11,P x y 是圆221:9O x y +=上的任意一点，圆2O 以(),Q a b 为圆心，且半径为1。

当()()22111a x b y -+-=时，圆1O 与2O 圆相切其中假命题的个数为A 、0B 、1C 、2D 、34、设α、β、γ为平面，为m 、n 、l 直线，则m β⊥的一个充分条件是 A 、,,l m l αβαβ⊥=⊥ B 、,,m αγαγβγ=⊥⊥C 、,,m αγβγα⊥⊥⊥D 、,,n n m αβα⊥⊥⊥5、设双曲线以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐进线的斜率为 A 、2± B 、43±C 、12±D 、34± 6、从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22221x y m n+=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是 A 、43 B 、72 C 、86 D 、907、某人射击一次击中的概率是0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为 A 、81125 B 、54125 C 、36125 D 、271258、要得到2y x =的图象，只需将函数224y x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点的A 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动π个单位长度 B 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动π个单位长度C 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动π个单位长度D 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动π个单位长度 9、设()1f x -是函数()()()112xx f x a a a -=->的反函数，则使()11f x ->成立的x 的取值范围为A 、21(,)2a a -+∞B 、21(,)2a a --∞C 、21(,)2a a a- D 、(,)a +∞10、若函数()()()3log 0,1a f x x ax a a =->≠在区间1(,0)2-内单调递增，则a 的取值范围是A 、1[,1)4 B 、3[,1)4 C 、9(,)4+∞ D 、9(1,)4第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上。

1981年全国高考数学试题

1981年试题(理工农医类)一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:(1)A ∪B,(2)A∩B.[Key]一、解:(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R,或A∪B=实数集合.)(2)A∩B=.(或A∩B={ },或A∩B=空集.)二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.[Key] 二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.[Key] 三、解: (1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.[Key] 四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.证法一:平面几何证法.如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2=CD2+DB2=(bsinA)2+(c-bcosA)2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得a2=CD2+BD2=[bsin(180°-A)]2+[c+bcos(180°-A)]2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是直角,cosA=0,∴a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.证法二:解析几何证法以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2=│BC│2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.五、解不等式(x为未知数):[Key] 五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x-a-b-c)>0.原不等式的解是x≠0,x>a+b+c.六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.[Key]所以当n=1时等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即所以当n=k+1时等式也成立.根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060[Key] 七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,……的第21项,即x=10×(1.02)20,两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10×(1+y%)20≤12,即(1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.[Key] 八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D 作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.∠ADC为二面角P-a-Q的平面角,∴∠ADC=120°.又AD=2,BCDE为矩形,∴ CD=BE=4.连结AC,由余弦定理得又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF=60°,AD=2,连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.[Key] 九、解法一:(1)设直线l的方程为y=k(x-2)+1, (i)将(i)式代入双曲线方程,得(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0, (ii)到此,若指出所求轨迹的参数方程是这就是所要求的轨迹方程.(2)设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,整理得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0, (iii)由第二式解出k=2,但k=2不满足第一式,所以(Ⅰ)无解.答:满足题中条件的直线m不存在.解法二:(1)设l的参数方程为其中t是参数,θ为AP的倾斜角.代入所给双曲线方程,整理得: (2cos2θ-sin2θ)t2+2(4cosθ-sinθ)t+5=0.(v)(2)也可用设m的参数方程的方法讨论此问,得出满足条件的直线m不存在的结论.十、附加题:计入总分.已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图).设AC=a,BC=b,作数列u1=a-b,u2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,……,u k=a k-a k-1b+a k-2b2-……+(-1)k b k;求证:u n=u n-1+u n-2(n≥3).[Key] 十、证法一:通项公式可写为u k=a k-a k-1b+a k-2b2-…+(-1)k b k因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,ab=AC·BC=CD2=1.于是有证法二:由平面几何知识算出通项公式可写为要证u n=u n-1+u n-2成立,只要证明a n+1-(-1)n+1b n+1=a n-(-1)n b n+a n-1-(-1)n-1b n-1,即a n-1·a2-(-1)n-1b n-1·b2=a n-1·a+(-1)n-1b n-1·b+a n-1-(-1)n-1b n-1, 或或上式确是等式,故证得u n=u n-1+u n-2.。

数学试卷81年普通高等国统一考试.文科数学试题及答案

1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一．（本题满分6分）设A 表示有理数的集合，B 表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A ∪B, 2.A ∩B. 解：1.A ∪B={实数},2.A ∩B=Φ二．（本题满分8分）化简：3242222227]2)([][])(3[a b a ba b a b a b a -÷-⨯+-解：原式=2)(38b a b -三．（本题满分6分）在A 、B 、C 、D 四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果解：1.选举种数P 42=12（种）所有可能的选举结果：AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD 、 BA 、CA 、DA 、CB 、DB 、DC2.选举种数C 43=4（种）所有可能的选举结果： ABC 、ABD 、ACD 、BCD四．（本题满分10分）求函数f(x)=sinx+cosx 在区间（-π，π）上的最大值解：.2)(,)(),(,2,2)(),4sin(2)(值在这个区间上取得最大故的一个周期的定义区间是恰好区间为周期以为振幅以所以x f x f x f x x f ππππ-+= 五．（本题满分10分）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明答：.sin sin sin cCb B a A == 证：引AD 垂直BC 于D;引BE 垂直CA 的延长线于E 设△ABC 的面积为S ，则;sin 21)180sin(2121A bc A bc BE AC S =-︒=⋅=B ac AD BC S sin 2121=⋅=又 C ab AD BC S sin 2121=⋅= C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===∴将上式除以,21abc 得：.sin sin sin c Cb B a A ==六．（本题满10分）已知正方形ABCD 的相对顶点A （0，-1）和C （2，5），求顶点B 和D 的坐标解：设AC 中点为M （x,y ）,则有)2,1(),(.2251,1220M y x M y x =∴=+-==+=又设AC 斜率为k ，则k=3因此得BD 的斜率为31=-k 故有直线BD 的方程：(1))1(312--=-x y 又以M 点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为(2) 10)2()1(22=-+-y xB a解方程（1）、（2）得B、D的坐标为（4，1）及（-2，3）（注：用复数法解亦可）七．（本题满分17分）设1980年底我国人口以10亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？解：1.所求人口数x（亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿)2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)20≤12，（1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即 lg(1+y%)≤0.00396. ∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 答：略八．（本题满分15分）ABCD-A 1B 1C 1D 1为一正四棱柱，过A 、C 、B 1三点作一截面，求证：截面ACB 1⊥对角面DBB 1D 1证：设AC 、BD 交于O 点作截面ACB 1、对角面BB 1D 1D 以及它们的交线OB 1的图形由于AC 1是正四棱柱，所以ABCD 是正方形，故AC ⊥BD;又BB 1⊥底面ABCD ，故BB 1⊥AC ∴AC ⊥对角面BB 1D 1D已知AC 在截面ACB 1内，故有截面ACB 1⊥对角面BB 1D 1D九．（本题满分18分）1．设抛物线y 2=4x 截直线y=2x+k 所得的弦长为53，求k 的值2．以本题（1）得到的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点做成三角形当这三角形的面积为9时，求P 的坐标解：设直线与抛物线的交点为P 1（x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).解方程组： x k x kx y x y 4)2(2422=+⎩⎨⎧+==得 D 1 C 1A C222121222121212221222121244(1)01,.4()()4(1)412.4,2,()4()4(12).(12)4(12)45,: 4.x k x k k x x k x x x x x x x x k k k P P y x k y y x x k k k k +-+=+=-=∴-=+-=--⋅=-=+-=-=-=-+-==-即故有又因在直线上故即解得2．设x 轴上一点P 的坐标为（a ,0）又点P 到直线P 1P 2的距离为h ，则有=h 依题意得△PP 1P 2的面积关系：古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

1981年全国统一高考数学试卷(文科)

1981年全国统一高考数学试卷（文科）一、解答题（共9小题，满分100分）1．（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：（1）A∪B，（2）A∩B．2．（8分）（1981•北京）化简：．3．（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．4．（10分）（1981•北京）求函数f（x）=sinx+cosx在区间（﹣π，π）上的最大值．5．（10分）（1981•北京）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明．6．（10分）（1981•北京）已知正方形ABCD的相对顶点A（0，﹣1）和C（2，5），求顶点B和D的坐标．7．（17分）设1980年底我国人口以10亿计算．（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？8．（15分）（1981•北京）ABCD﹣A1B1C1D1为一正四棱柱，过A、C、B1三点作一截面，求证：截面ACB1⊥对角面DBB1D1．9．（18分）（1981•北京）（1）设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为，求k的值．（2）以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形，当这三角形的面积为9时，求P的坐标．1981年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、解答题（共9小题，满分100分）1．（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：（1）A∪B，（2）A∩B．考点：交集及其运算；并集及其运算．分析：根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得A∪B，又由有理数、无理数的定义，可得A∩B．解答：解：（1）根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得A∪B=R，（2）有理数、无理数的定义，没有一个数既是有理数又是无理数，则A∩B=Φ．点评：本题结合实数的分类与有理数、无理数的关系，考查集合间的交集、并集的运算，是概念类型的试题，难度较小．2．（8分）（1981•北京）化简：．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：利用指数幂的运算法则，把原式转化为，由此能求出其结果．解答：解：原式===．点评：本题考查指数幂的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．3．（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．考点：组合及组合数公式；排列及排列数公式．专题：计算题；阅读型．分析：（1）由题意知本题是一个从四个元素中选两个元素的问题，只要用排列数表示出来即可，列举时注意可以按照一定的顺序进行，比如先写出包含A的，再写包含B的去掉重复的．（2）本题和前一个问题是有一定的区别的，上一问选正、副班长各一人包括选出来，安排谁当什么，而本题只是选出三个人即可，与顺序无关．解答：解：（1）选举种数A42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC．（2）选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD．点评：排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．4．（10分）（1981•北京）求函数f（x）=sinx+cosx在区间（﹣π，π）上的最大值．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：把函数f（x）的解析式提取，然后利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用周期公式T=求出函数的周期，得到（﹣π，π）为函数的一个周期，根据正弦函数的最大值为1得到f（x）的最大值即可．解答：解：f（x）=（sinxcos+cosxsin）=，所以f（x）以为振幅，以2π为周期，区间（﹣π，π）恰好是f（x）的一个周期的定义区间，故f（x）在区间上取得最大值．点评：考查学生灵活运用两角和的正弦函数公式化简求值，会求正弦函数的周期和最大值．5．（10分）（1981•北京）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明．考点：正弦定理．专题：证明题．分析：先写出正弦定理，然后证明．先分别作BC、AC边上的高线，根据三角形的面积公式分别表示出以BC、AC、AB为底边的面积，然后根据同一个三角形的面积相等得到等式，最后同时除以可得证．解答：解：．证：引AD垂直BC于D；引BE垂直CA的延长线于E．设△ABC的面积为S，则=；∴，将上式除以，得：．点评：本题主要考查正弦定理的证明．属基础题．6．（10分）（1981•北京）已知正方形ABCD的相对顶点A（0，﹣1）和C（2，5），求顶点B和D的坐标．考点：直线和圆的方程的应用；中点坐标公式．专题：计算题．分析：本题可利用正方形在平面坐标系中中心的性质，对角线的斜率乘积为﹣1，进行解题，联立方程，求解即可．解答：解：设AC中点为M（x，y），则有，∴M（x，y）=M（1，2）．又设AC斜率为k，则k=3，因此得BD的斜率为．故有直线BD的方程：，又以M点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=10 （2）解方程（1）、（2）得B、D的坐标为（4，1）及（﹣2，3）．（注：用复数法解亦可）点评：本题考查学生对于直线和坐标系的运用，及直线垂直，中点的关系等，是中档题．7．（17分）设1980年底我国人口以10亿计算．（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？考点：数列的应用．专题：应用题．分析：（1）由题意知所求人口数x（亿）x=10×（1.02）20，两边取对数可的答案．（2）设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%）20≤12，（1+y%）20≤1.2．由此解可得答案．解答：解：（1）所求人口数x（亿）是等比数列10，10×1.02，10×（1.02）2，的第21项，即x=10×（1.02）20，两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200，∴x=14.859（亿）（2）设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%）20≤12，（1+y%）20≤1.2．根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg（1+y%）≤lg1.2，即lg（1+y%）≤0.00396，∴1+y%≤1.0092，y%≤0.0092．点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要注意公式的灵活运用．8．（15分）（1981•北京）ABCD﹣A1B1C1D1为一正四棱柱，过A、C、B1三点作一截面，求证：截面ACB1⊥对角面DBB1D1．考点：平面与平面垂直的判定．专题：证明题；综合题．分析：设AC、BD交于O点，作截面ACB1、对角面BB1D1D以及它们的交线OB1，要证明截面ACB1⊥对角面DBB1D1，只需证明截面ACB1内的直线AC垂直对角面DBB1D1内的相交直线BB1、BD即可．解答：证明：设AC、BD交于O点，作截面ACB1、对角面BB1D1D以及它们的交线OB1如图，由于AC1是正四棱柱，所以ABCD是正方形，故AC⊥BD；又BB1⊥底面ABCD，故BB1⊥AC，∴AC⊥对角面BB1D1D，已知AC在截面ACB1内，故有截面ACB1⊥对角面BB1D1D．点评：本题考查平面与平面的垂直，考查逻辑思维能力，是中档题．9．（18分）（1981•北京）（1）设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为，求k的值．（2）以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形，当这三角形的面积为9时，求P的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题．分析：（1）设出交点坐标，联立直线和抛物线的方程，整理，由韦达定理，算出（x1﹣x2）2，（y﹣y2）2，再有两点间距离公式计算出弦长．求出k．1（2）设出P点坐标，由点p到直线的距离求出三角形的高，再由面积公式代入求解，即得．解答：解：（1）设直线与抛物线的交点为P1（x1，y1），P2（x2，y2）．解方程组：，得（2x+k）2=4x，即4x2+4（k﹣1）x+k2=0，故有x1+x2=1﹣k，x1x2=．∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=．又因P1，P2在直线y=2x+k上，故（y1﹣y2）2=4（x1﹣x2）2=4（1﹣2k）．根据题设条件，即（1﹣2k）+4（1﹣2k）=45，解得：k=﹣4．（2）设x轴上一点P的坐标为（a，0）又点P到直线P1P2的距离为h，则有．依题意得△PP1P2的面积关系：，即6=|2a﹣4|，∴a=5，a=﹣1．点评：“设而不求”仍是圆锥曲线问题的常用方法，在第一题的处理中，也可直接用弦长公式l AB=|x1﹣x2|．。

1981年全国普通高等学校招生统一考试

1981年全国普通高等学校招生统一考试物理一、(18分)本题分6个小题．每小题提出了四个答案,其中只有一个是正确的．选出你认为正确的答案,把它的号码填写在本小题后的方括号内．每小题选出正确答案的,得3分;选错的,得-1分;不答的,得0分．每小题只许选一个答案．如果写了两个答案,不论写在括号内或括号旁,本小题得-1分．(1)如图,在光滑的水平桌面上有一物体A,通过绳子与物体B相连．假设绳子的质量以及绳子与定滑轮之间的摩擦力都可忽略不计,绳子不可伸长．如果物体B的质量是物体A的质量的3倍,即m B=3m A,那么物体A和B 的加速度的大小等于:(2)在光滑的水平桌面上放一物体A,A上再放一物体B,A、B间有摩擦．施加一水平力F于B,使它相对于桌面向右运动．这时物体A相对于桌面:答( ) (3)平行板电容器,其两板始终保持和一直流电源的正、负极相连接,当两板间插入电介质时,电容器的带电量和两板间的电势差的变化是:1．带电量不变,电势差增大．2．带电量不变,电势差减小．3．带电量增大,电势差不变．4．带电量减小,电势差不变．(4)把一个架在绝缘支座上的导体放在负电荷形成的电场中,导体处于静电平衡时,导体表面上感应电荷的分布如图所示,这时导体:1．A端的电势比B端的电势高．2．A端的电势比B端的电势低．3．A端的电势可能比B端的电势高,也可能比B端的电势低．4．A端的电势与B端的电势相等．(5)一段粗细均匀的镍铬丝,横截面的直径是d,电阻是R．把它拉制成直径是2．10000R4．100R(6)假设火星和地球都是球体,火星的质量M火和地球的质量M地之比M火/M地=p,火星的半径R火和地球的半径R地之比R火/R地=q,那么火星表面处的重力加速度g火和地球表面处的重力加速度g地之比g火/g地等于:1．p/q2．2．pq2．3．p/q 4．pq二、(24分)本题分6个小题,每小题4分．把正确答案填写在题中空白处(不要求写出演算过程)．(1)1标准大气压= 毫米水银柱= 帕斯卡(即牛顿/米2)(水银的密度ρ=13．6克/厘米3,重力加速度g=9．81米/秒2．本题答案要求取三位有效数字)．(2)一照相机,用焦距f=0．20米的凸透镜做镜头,用来为一个站立在镜头前4．2米处的儿童照相时,底片应该离镜头米,底片上像的高度和儿童的身高之比是1: ．(3)把5欧姆的电阻R1和10欧姆的电阻R2串联起来,然后在这段串联电路的两端加15伏特的电压,这时R1消耗的电功率是瓦特,R2消耗的电功率是瓦特．把R1和R2改为并联,如果要使R1仍消耗与原来同样大小的电功率,则应在它们两端加伏特的电压,这时R2消耗的电功率是瓦特．(4)右下图是一列沿x轴正方向传播的机械横波在某一时刻的图像．从图上可看出,这列波的振幅是米,波长是米,P处的质点在此时刻的运动方向．(5)质量是m的质点,以匀速率v作圆周运动,圆心在坐标系的原点O．在质点从位置1运动到位置2(如右图所示)的过程中,作用在质点上的合力的功等于;合力冲量的大小是,方向与x轴正方向成(逆时针计算角度)．三、(10分)(1)用游标卡尺(图1)测一根金属管的内径和外径时,卡尺上的游标位置分别如图2和图3所示．这根金属管的内径读数是厘米,外径读数是厘米,管壁厚是厘米．(2)用下图所示的天平称质量前,先要进行哪些调节?说明调节哪些部件和怎样才算调节好了．(3)用万用电表电阻挡判断一只PNP型晶体三极管的基极时,电表指针的偏转情况如下图所示．哪只管脚是基极?四、(10分)使一定质量的理想气体的状态按图1中箭头所示的顺序变化,图线BC是一段以纵轴和横轴为渐近线的双曲线．(1)已知气体在状态A的温度T A=300K,求气体在状态B、C和D的温度各是多少．(2)将上述状态变化过程在图2中画成用体积V和温度T表示的图线(图中要标明A、B、C、D四点,并且要画箭头表示变化的方向)．说明每段图线各表示什么过程．五、(10分)一光电管的阴极用极限波长λ0=5000埃的钠制成．用波长λ=3000埃的紫外线照射阴极,光电管阳极A和阴极K之间的电势差U=2．1伏特,光电流的饱和值I=0．56微安．(1)求每秒内由K极发射的电子数．(2)求电子到达A极时的最大动能．(3)如果电势差U不变,而照射光的强度增到原值的三倍,此时电子到达A极时的最大动能是多大?(普朗克恒量h=6．63×10-34焦耳·秒,电子电量e=1．60×10-19库仑,真空中的光速c=3．00×108米/秒．)六、(14分)用均匀导线弯成正方形闭合线框abcd,线框每边长8．0厘米,每边的电阻值为0．010欧姆．把线框放在磁感应强度为B=0．050特斯拉的匀强磁场中,并使它绕轴OO＇以ω=100弧度/秒的匀角速度旋转,旋转方向如图所示．已知轴OO＇在线框平面内,并且垂直于B,当线框平面转至和B平行的瞬时(如图所示):(1)每个边产生的感生电动势的大小各是多少?(2)线框内感生电流的大小是多少?在图中用箭头标出感生电流的方向．(3)e、f分别为ab和cd的中点,e、f两点间的电势差U ef(即U e-U f)是多大?七、(14分)在光滑水平面的两端对立着两堵竖直的墙A和B,把一根倔强系数是k的弹簧的左端固定在墙A上,在弹簧右端系一个质量是m的物体1．用外力压缩弹簧(在弹性限度内)使物体1从平衡位置O向左移动距离s,紧靠着1放一个质量也是m的物体2,使弹簧、1和2都处于静止状态,然后撤去外力,由于弹簧的作用,物体开始向右滑动．(1)在什么位置物体2与物体1分离?分离时物体2的速率是多大?(2)物体2离开物体1后继续向右滑动,与墙B发生完全弹性碰撞．B与O之间的距离x应满足什么条件,才能使2在返回时恰好在O点与1相遇?设弹簧的质量以及1和2的宽度都可忽略不计．1981年全国普通高等学校招生统一考试物理参考答案一、(1)〔3〕(2)〔2〕(3)〔3〕(4)〔4〕(5)〔2〕(6)〔1〕评分说明:全题18分,每小题3分．(1)每小题答案正确的给3分,答案错误的给-1分,未答的给0分．(2)每小题选择了两个或两个以上答案的,无论答案写在括号内或括号旁,都给-1分．(3)六个小题分数的代数和,如果是正数或0,这就是本题的得分;如果是负数,本题得分记作0．二、(1)760;1．01×105．评分说明:共4分．第一个答案正确的给2分．错误的给0分．第二个答案,正确的给2分;数量级和前两位有效数字正确而第三位有效数字有出入的,给1分;数量级不对的,给0分．(2)0．21;20评分标准:共4分．两个答案都要求准确到第二位有效数字．每个答案正确的给2分．错误的给0分．(3)5,10,5,2．5评分说明:共4分,每个答案正确的,给1分,错误的,给0分．(4)0．03,2,沿y轴正方向(或向上)．评分说明:共4分．前两个答案,正确的各给1分;错误的给0分．第三个答案正确的给2分;未用文字回答而画一向上箭头表示方向的,同样给2分;错误的给0分．评分说明:共4分．第一个答案1分．第二个答案,正确的给2分;错误的给0分．第三个答案,正确的给1分．评分说明:共4分．每个答案,正确的给2分;错误的给0分．三、(1)2．37,3．03,0．33．评分说明:共3分．每个答案,正确的给1分;错误的给0分．(2)要进行两步调节:1．使天平的底板B水平．调节螺旋S,直到重垂线Q的小锤尖端跟小锥体Z的尖端对正,这就表示底板水平了．2．使天平平衡．调节螺旋S＇,使指针D指在标尺K的中央,这就表示天平平衡了．评分说明:共4分．第一步调节,占2分;只答出要调节底板水平的,给1分;既答对调节S又答出调节好了的标志的,再给1分,二者缺一的,不再给分．第二步调节,也占2分;只答出要调节天平平衡的,给1分;既答对调节S＇又答出调节好了的标志的,再给1分,二者缺一的,不再给分．(3)管脚3是基极．评分说明:本小题3分．用文字答出管脚3是基极或在图中管脚3旁注明基极(或注明b)的,都给3分．不要求说明理由．四、(1)由P-V图上可知,气体在A、B、C、D各状态下的压强和体积分别为P A=4大气压,V A=10升;P B=4大气压;P C=2大气压,V C=40升;P D=2大气压,V D=20升．已知T A=300K,设气体在C、D各状态下的温度分别为T C、T D,则根据理想气体状态方程有:由此可求得:T C=600K;T D=300K．由于在P-V图上．图线BC是一段以纵轴和横轴为渐近线的双曲线,在这一状态变化过程中PV=常数,所以P B V B=P C V C由此可求得:由PV=常数,可断定BC是等温过程,设气体在状态B的温度为T B则:T B=T C=600K．(2)在V-T图上状态变化过程的图线如下:AB是等压过程,BC是等温过程,CD是等压过程．评分说明:全题10分．(1)3分,(2)7分．(1)中,每个答案,正确的给1分;数值错误的,给0分．数值正确而缺单位或单位错误的,无论在几个答案中出现,只扣1分．直接由P-V图上断定V B=20升,并正确求出T B的,同样给分．(2)中,A、B、C、D四个点,每个点正确标明的,各给1分．AB、BC、CD三条图线画正确并说明是什么过程的,各给1分;图线画对而未说明是什么过程的,各给0分;在图上未画箭头或三个箭头未画全的,扣1分．图上两个坐标轴每有一个未注明坐标分度值的,扣1分．五、(1)每秒内发射的电子数为:(2)每个光子的能量为:=6．63×10-19焦耳(b)钠的逸出功为:=3．98×10-19焦耳(c)每个电子在电场中被加速而获得的能量为:eU=1．60×10-19×2．1焦耳=3．36×10-19焦耳(d)根据能量守恒定律,电子的最大动能为:=(6．63-3．98+3．36)×10-19焦耳=6．01×10-19焦耳(或=3．76电子伏特)．(3)当光强增到3倍时,以上结果不变．评分说明:全题10分．(1)3分,(2)6分,(3)1分．(1)中,正确算出结果(a)的,给3分．单纯数字计算错误(包括数字正确而数量级错误)扣1分．(2)中,正确算出光子能量(b)的,给1分．正确算出逸出功(c)的,再给2分．正确算出电子在电场中获得的能量(d)的,再给1分．根据能量守恒关系正确算出电子最大动能的,再给2分．直接列出式(e)并算出正确结果的,同样给6分．如果考生根据爱因斯坦方程,正确算出电子离开K时的最大动能,即只漏去eU一项,把它当作本题答案的,给4分．单纯数字计算错误扣1分．数值正确而缺单位或单位错误的,扣1分．(3)中,答案正确的,给1分,六、(1)令l表示每边边长,R表示其电阻值,则l=0．08米,R=0．010欧姆,设cd段感生电动势的大小为ε1 ,ab段感生电动势的大小为ε2 ,则=×0．05×0．082×100伏特=0．024伏特．(a)da段和bc段不切割磁力线,所以它们的电动势都是零．(2)线框中的总电动势为:ε=ε1 +ε2 = 0．032伏特．(c)线框中的感生电流为:根据楞次定律或右手定则,可判断电流方向沿dcbad．(3)解法一:U e-U f是ebcf一段电路两端的电势差．它应等于eb段的路端电压U eb,bc段两端的电势差U bc与cf段的路端电压U cf的代数和,即:U ef=U eb+U bc+U cf．(e)=0伏特, (f)U bc=-IR=-0．8×0．010伏特=-0．008伏特(g)=0．008伏特, (h)所以:U ef=U eb+U bc+U cf(i)解法二:闭合电路dcbad中的总电动势等于总电势降落．在edcf一段电路中,电动势等于总电动势的一半;电阻等于总电阻的一半,因而电势降落是总电势降落的一半,于是,在这段电路中,电势升正好等于电势降．由此可见,两端的电势差等于零．评分说明:全题14分．(1)5分,(2)4分,(3)5分．(1)中,正确求出ε1和ε2的,各给2分;答出da和bc段电动势都是零的,合给1分;单纯数字计算错误扣1分;ε1和ε2的答案数值正确而缺单位或单位错误的,无论出现一次或二次,只扣1分．因把v=ωr的关系搞错而引起答案错误的,只扣1分．(2)中,正确算出总电动势(c)的,给1分;进一步正确算出电流(d)的,再给2分;直接求出结果(d)的,同样给3分;电流方向正确的再给1分;数值错误和单位错误的扣分同(1)中规定．(3)中,(e)、(f)、(g)和(h)各占1分;利用以上四式进一步正确算出结论(i)的,再给1分;不分步计算,直接正确列出(i)式并算出结果的,同样给5分;单纯运算错误的,扣1分．只有U ef等于零的结论,而无任何推算过程、无任何论述或论述错误的,均不给分．结论正确但论述不够清楚的,酌情给分．七、(1)到达平衡位置O前,1和2一起作加速运动．到O点后,1开始减速,2开始作匀速运动．因而2和1将在O点分离．到达O点前,把1、2和弹簧看作一个系统只有系统内的弹簧的弹性力作功,所以系统的机械能守恒,令v表示1和2到达O点时的速率,则有:这就是分离时物体2的速率．(2)分离后,在下一次相遇前,1以O点为平衡位置作简谐振动,振动的周期为:从1和2分离时开始计时,即令该时刻t=0,则1通过O点的时刻为:- 11 -过O 点后,2以匀速率v 向右作直线运动．与B 相碰时,由于碰撞是完全弹性的,碰撞后2的速率不变,运动反向．令x 表示B 与O 点间的距离,则2返回O 点的时刻为:如2恰好在O 点与1相遇,则:t 2=t 1． (d)将(b)、(c)两式代入(d),即得x 应满足的条件为:评分说明:全题14分．(1)4分,(2)10分．(1)中,答出在O 点分离的,给2分;列出机械能守恒方程并求出2的速率的,再给2分．(2)中,知道和2分离后1作简谐振动,并写出振动周期公式(a)的,给2分;正确列出1经过O 点的时刻t 1,即式(b)的,再给4分．对于t 1,只回答了n=1或n=2一次的,扣3分;只回答了n=1和n=2两次的,扣2分;只回答了n 为奇数或为偶数一种情形的,扣2分．由于这一步考虑不全面,导致本题最后答案不全的,后面不重复扣分．答出2与墙B 碰撞后,速率不变,运动反向的(不要求证明),给1分,又正确求出2返回O 点的时刻(c)的,再给1分．正确列出1和2在O 点相遇的条件,即(d)的,给1分;进一步求出距离x,即(e)的,再给1分．将(d)、(e)两步并作一步直接求出结果的,同样给2分．本题中的单纯演算错误,可视其对物理过程或最后结果的影响程度,酌情扣分．。

1981年全国统一高考数学试卷理科

对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

一九八八年高考数学试卷

一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，是奇函数的是（）A. \( f(x) = x^2 - 1 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \frac{1}{x} \)D. \( f(x) = |x| \)2. 若 \( \sin A = \frac{1}{2} \)，且 \( A \) 为锐角，则 \( \cos 2A \) 的值为（）A. \( \frac{3}{4} \)B. \( \frac{1}{4} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{1}{3} \)3. 下列不等式中，恒成立的是（）A. \( x^2 + 1 > 0 \)B. \( \frac{1}{x} + x > 2 \)C. \( x^2 - x + 1 > 0 \)D. \( x^2 - 2x + 1 < 0 \)4. 已知等差数列的前三项分别为1，a，b，则 \( a + b \) 的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 65. 若复数 \( z \) 满足 \( |z - 1| = |z + 1| \)，则 \( z \) 所对应的点在复平面上的轨迹是（）A. 以原点为圆心，2为半径的圆B. 以原点为圆心，1为半径的圆C. 线段AB（A(-1,0)，B(1,0)）D. 线段CD（C(-1,0)，D(1,0)）二、填空题（每题5分，共25分）1. \( \sqrt{3} + \sqrt{2} \) 的平方是______。

2. \( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{1988} \) 的值是______。

3. 若 \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \)，则 \( \sin 2\alpha \) 的值是______。

4. 二项式 \( (x + y)^5 \) 展开式中 \( x^3y^2 \) 的系数是______。

1981年高考数学理工农医类、全国卷真题

1981年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:(1)A∪B,(2)A∩B。

二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果。

三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是。

四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明。

五、解不等式(x为未知数):六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立。

七、设1980年底我国人口以10亿计算。

(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.十、附加题:计入总分.已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图).设AC=a,BC=b,作数列u1=a-b,u2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,……,uk=ak-ak-1b+ak-2b2-……+(-1)kbk;求证:un=un-1+un-2(n≥3).1981年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）参考答案一、解:(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R,或A∪B=实数集合.)(2)A∩B= .(或A∩B={ },或A∩B=空集.)二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、解: (1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.证法一:平面几何证法.如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2=CD2+DB2=(bsinA)2+(c-bcosA)2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得a2=CD2+BD2=[bsin(180°-A)]2+[c+bcos(180°-A)]2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是直角,cosA=0,∴a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2=│BC│2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x-a-b-c)>0.原不等式的解是x≠0,x>a+b+c.所以当n=1时等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,……的第21项,即x=10×(1.02)20,两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10×(1+y%)20≤12,即(1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.∠ADC为二面角P-a-Q的平面角,∴∠ADC=120°.又AD=2,BCDE为矩形,∴ CD=BE=4.连结AC,由余弦定理得又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF=60°,AD=2,连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为九、解法一:(1)设直线l的方程为y=k(x-2)+1, (i)将(i)式代入双曲线方程,得(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0, (ii)到此,若指出所求轨迹的参数方程是这就是所要求的轨迹方程.(2)设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,整理得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0, (iii)由第二式解出k=2,但k=2不满足第一式,所以(Ⅰ)无解.答:满足题中条件的直线m不存在.解法二:(1)设l的参数方程为其中t是参数,θ为AP的倾斜角.代入所给双曲线方程,整理得:(2cos2θ-sin2θ)t2+2(4cosθ-sinθ)t+5=0.(v)(2)也可用设m的参数方程的方法讨论此问,得出满足条件的直线m不存在的结论.十、证法一:通项公式可写为u k=a k-a k-1b+a k-2b2-…+(-1)k b k因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,于是有证法二:由平面几何知识算出通项公式可写为要证u n=u n-1+u n-2成立,只要证明a n+1-(-1)n+1b n+1=a n-(-1)n b n+a n-1-(-1)n-1b n-1,即a n-1·a2-(-1)n-1b n-1·b2=a n-1·a+(-1)n-1b n-1·b+a n-1-(-1)n-1b n-1, 或或上式确是等式,故证得u n=u n-1+u n-2.。

1981全国高考文科数学试题

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